Как найти ряд распределения дискретной случайной величины

1. Случайные величины. Законы распределения случайных величин

ЦЕЛЬ
ЛЕКЦИИ: ввести понятие случайной величины
и закона распределения; для дискретной
случайной величины определить ряд
распределения; ввести понятие функции
распределения и плотности распределения
вероятностей и определить их свойства.

Под случайной величиной понимается
величина, которая в результате опыта
со случайным исходом принимает то или
иное значение. Возможные значения
случайной величины образуют множество
,
которое называют множеством возможных
значений случайной величины.

Пример 1. Для игральной кости
случайной величиной Х
будет число выпавших очков. Множество
возможных значений
.

Пример 2. Тестирование изделия
до появления первого исправного.
Случайная величина Y
– число тестов, которое будет произведено.
Множество возможных значений

бесконечное, но счетное.

Впредь случайную величину будем
обозначать большими буквами, например
Х,
а их возможные значения – малыми; в
приведенных примерах –

и
.

Случайные величины могут быть дискретными
и недискретными. В теоретико-множественной
трактовке основных понятий теории
вероятностей случайная величина Х
есть функция элементарного события
,
где

– элементарное событие, принадлежащее
пространству
.
При этом множество

возможных значений случайной величины
состоит из тех значений, которые принимает
функция
.
Если множество

счетное или конечное, то случайная
величина Х
называется дискретной, если несчетное
– недискретной. При этом случайные
величины могут иметь различные
распределения.

1. Закон распределения. Ряд распределения

2. Дискретной случайной величины

Законом распределения случайной
величины называется любое правило
(таблица, функция), позволяющее находить
вероятности всевозможных событий,
связанных со случайной величиной.

Рядом распределения дискретной
случайной величины Х
называется таблица, в верхней строке
которой перечислены в порядке возрастания
все возможные
значения случайной величины

а в нижней – вероятности этих значений:

При этом

– вероятность того, что в результате
опыта случайная величина Х
примет значение
.

Ряд распределения записывается в виде
таблицы

Х:			…		…
		…		…	.

(4.1)

События
;
;
… несовместны и образуют полную группу,
поэтому сумма всех вероятностей

в (4.1) будет равна единице:

. (4.2)

Отсюда следует, что единица распределена
между возможными значениями случайной
величины.

Пример. Ряд распределения
случайной величины Х

Х:	0	1	2	3
0,24	0,46	0,26	0,04	.

(4.3)

Графическое изображение ряда распределения
называется многоугольником распределения.

Строится он так: для каждого возможного
значения случайной величины
восстанавливается перпендикуляр к оси
абсцисс, на котором откладывается
вероятность данного значения случайной
величины. Полученные точки для наглядности
соединяются отрезками прямых (см. рис.
4.1).

Кроме
этой геометрической интерпретации,
часто полезна механическая
интерпретация, при которой ряд
распределения рассматривается как ряд
материальных
точек на оси абсцисс, имеющих значения
,
и соответственно массы
в
сумме составляющие единицу (см. рис.
4.2).

Функция
распределения

Наиболее общей формой закона распределения,
пригодной как для дискретных, так и
недискретных случайных величин, является
функция распределения.

Функцией распределения случайной
величины Х
называется вероятность того, что она
примет значение меньшее, чем заданное
х (аргумент
функции)

. (4.4)

Геометрически определение (4.4)
интерпретируется как вероятность того,
что случайная точка попадает левее
заданной точки (см. рис. 4.3).

Свойства
функции распределения выводятся из
геометрической интерпретации (см. рис.
4.3–4.4):

1.

– неубывающая функция своего аргумента,
т. е. если
,
то
.

Для
доказательства представим событие

как сумму двух несовместных событий
(см. рис. 4.4)

,

где

.

По правилу
сложения вероятностей

;

.

Учитывая
выражение (4.4), получаем

, (4.5)

но так как
,
то окончательно имеем, что

.

2.
;
.

Перемещая

до бесконечности влево (при
)
или вправо (при
),
можно убедиться, что событие становится
либо невозможным
,
либо достоверным
.

Функция
распределения

любой случайной величины есть неубывающая
функция своего аргумента, значения
которой заключены между нулем и единицей;
причем
,
а
.
В отдельных точках эта функция может
иметь скачки (разрывы первого рода), на
некоторых участках она может быть
постоянной, на других – монотонно
возрастать (см. рис. 4.5).

С
помощью функции распределения можно
вычислить вероятность попадания
случайной точки на участок от

до
.
Для определенности левый конец участка
будем включать в него, а правый – нет.

Искомую
вероятность получаем из выражения
(4.5), положив

и
,

,

откуда

. (4.6)

Таким
образом, вероятность того, что случайная
величина Х
в результате опыта попадет на участок
от

до

(включая
),
равна приращению функции распределения
на этом участке (см. рис. 4.6). Другая запись
выражения (4.6)

,

где квадратная скобка означает, что
данный конец включается в участок, а
круглая – что не включается.

Вероятность отдельного значения
случайной величины. Если взять любую
точку

и примыкающий к ней участок
,
то, приближая

к
,
в пределе получаем

. (4.7)

Значение этого
предела зависит от того, непрерывна ли
функция

в точке

или терпит разрыв. Если функция в точке

совершает скачок, то предел (4.7) равен
величине этого скачка. Если же

везде непрерывна, то вероятность каждого
отдельного значения случайной величины
Х
равна нулю. Последнее утверждение не
означает, что событие

невозможно; оно возможно, но с нулевой
вероятностью.

Функция
распределения дискретной

случайной величины

Для случайной величины Х,
представленной рядом распределения

Х :	0	1	2	3
0,24	0,46	0,26	0,04	,

можно, задаваясь различными значениями
х, вычислить
функцию распределения
:

;

;

;

;

.

На
рис. 4.7 приведена рассчитанная функция
распределения
.
Жирными точками отмечены значения в
точках разрыва; функция

при подходе к точке разрыва слева
сохраняет свое значение (функция
“непрерывна
слева”). Заметим, что между скачками
функция

постоянна.

Функция распределения
любой дискретной случайной величины
есть разрывная ступенчатая функция,
скачки которой происходят в точках,
соответствующих возможным значениям
случайной величины, и равны вероятностям
этих значений. Сумма всех скачков функции
распределения равна единице.

Индикатор события. Индикатором
события А
называется случайная величина
,
равная единице, если в результате опыта
событие А
произошло, и – нулю, если не произошло:

Ряд распределения случайной величины

с вероятностью события А,
равной
,
имеет вид

:	0	1
		.

Многоугольник
распределения случайной величины

приведен на рис. 4.9, а функция распределения
– на рис. 4.10.

Непрерывная
случайная величина.

Плотность
распределения

Случайная
величина Х
называется непрерывной, если функция
распределения не только непрерывна в
любой точке, но и дифференцируема всюду,
кроме, может быть, отдельных точек, где
она терпит излом (см. рис. 4.11). Так как
скачков эта функция не имеет, то
вероятность любого отдельного значения
непрерывной случайной
величины равна нулю, т. е.

.

Поэтому говорить о распределении
вероятностей отдельных значений
не имеет смысла. В качестве закона
распределения непрерывных
случайных величин
вводится понятие плотности
распределения вероятностей
или плотности
распределения.

Исходим из механической
интерпретации распределения вероятностей.
Для дискретной случайной величины Х
в точках
сосредоточены
массы
,
сумма которых равна единице. Для
непрерывной случайной величины масса,
равная 1, “размазана” по числовой
оси с непрерывной в общем случае
плотностью (см. рис. 4.12). Вероятность
попадания случайной величины Х
на любой участок

может быть интерпретирована как масса,
приходящаяся на этот участок, а средняя
плотность на этом участке – как отношение
массы к его длине. Для участка

.

Но вероятность

определяется как приращение функции
распределения на этом участке

,

и, переходя к пределу при
,
получаем плотность в точке

,

т. е. производную функции распределения.

Плотностью
распределения

непрерывной случайной величины Х
в точке х
называется производная ее функции
распределения в этой точке

. (4.8)

Плотность распределения,
как и функция распределения
,
является одной из форм закона распределения,
но она существует только для непрерывных
случайных величин. График плотности
распределения

называется кривой распределения
(см. рис. 4.13).

Вероятность
попадания случайной величины Х
на участок

с точностью до бесконечно малых высших
порядков равна
.
Эта величина

называется элементом вероятности и
геометрически равна (приближенно)
площади элементарного прямоугольника,
опирающегося на отрезок длиной

и примыкающего к точке

(см. рис. 4.13).

Вероятность попадания случайной величины
Х
на участок от

до

равна сумме элементов вероятности на
всем этом участке, т. е. интегралу вида

. (4.9)

В геометрической
интерпретации эта вероятность равна
площади фигуры, ограниченной сверху
кривой распределения и опирающейся на
участок

(см. рис. 4.14). Функция распределения
теперь может быть вычислена следующим
образом:

. (4.10)

Геометрически (см. рис. 4.14) – это площадь,
ограниченная сверху кривой распределения
и лежащая левее точки
.

Свойства плотности распределения.

1. Плотность распределения – неотрицательная
функция

,

как
производная от неубывающей функции, и
еще потому, что плотность, как физическая
величина, не может быть отрицательной.

2.
Интеграл в бесконечных пределах от
плотности вероятности равен единице,
т. е.

. (4.11)

Это
свойство вытекает из выражения (4.10),
если верхний предел будет

и если учесть, что
.

44

Соседние файлы в папке 158_Tv

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно
возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин,
которые заранее не могут быть учтены.

Случайные
величины обозначаются прописными буквами

, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами

. Например, если случайная величина

 имеет три возможных
значения, то они будут обозначены так:

.

Дискретной называют случайную
величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с
определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной
величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной
случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их
вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и
графически.

При табличном задании закона
распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит
возможные значения, а вторая – их вероятности:

			…
			…

Приняв во внимание, что в одном
испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение,
заключаем, что события

 образуют полную
группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, то есть сумма
вероятностей второй строки таблицы, равна единице:

Если множество возможных значений

 бесконечно
(счетно), то ряд

 сходится и его
сумма равна единице.

Для наглядности закон распределения
дискретной случайной величины можно изобразить и графически. Для этого в
прямоугольной системе координат строят точки

, а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную
фигуру называют многоугольником распределения.

Смежные темы решебника:

• Непрерывная случайная величина
• Функция распределения вероятностей
• Математическое ожидание
• Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Задача 1

В партии
из 25 кожаных курток 5 имеют скрытый дефект. Покупают 3 куртки. Найти закон
распределения числа дефектных курток среди купленных. Построить многоугольник
распределения.

---

Задача 2

Устройство
состоит из пяти независимых элементов. Вероятность безотказной работы каждого
элемента в одном опыте равна p=0,7. Для случайной
величины X элементов, безотказно работавших в одном опыте,
построить закон распределения, их графики, найти ее числовые характеристики.

---

Задача 3

С
вероятностью попадания при явном выстреле p=0.88 охотник стреляет по
дичи до первого попадания, но успевает сделать не более n=6
выстрелов.

ДСВ X – число
промахов:

а) Найти
закон распределения X.

б)
Построить многоугольник распределения.

в) Найти
вероятность событий: X<2, X<3,
1<X<3.

---

Задача 4

Составьте
закон распределения дискретной случайной величины ξ, вычислите ее
математическое ожидание, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение,
коэффициенты асимметрии и эксцесса, все моменты, а также начертите ее
многоугольник распределения и график функции распределения. Сделайте выводы по
результатам расчетов.

Производятся
последовательные испытания 5 приборов, причем испытания прекращаются сразу
после того, как проверяемый прибор окажется надежным. Вероятность выдержать
испытание для каждого прибора равна 0,8. 
ξ – число испытаний, после которых закончится проверка.

---

Задача 5

В первой урне
6 шаров – 3 белых и 3 черных. Во второй 5 шаров –3 белых и 2 черных. Из первой
урны наудачу переложили во вторую 2 шара, после чего, из второй в первую
переложили 1 шар. Найти закон распределения случайной величины Х – числа белых
шаров в первой урне, после всех перекладываний шаров. Какова вероятность того,
что число белых шаров не больше, чем первоначально. Построить многоугольник
распределения.

---

Задача 6

В коробке
N=9 карандашей, из которых M=6 красных. Из этой коробки
наудачу извлекается n=5 карандашей.

а) Найти
закон распределения случайной величины X равной числу красных
карандашей в выборке.

б)
Построить многоугольник распределения.

в) Найти
вероятность события: 0<X<4.

---

Задача 7

Производятся
последовательные испытания 5 приборов, причем испытания прекращаются сразу
после того, как проверяемый прибор оказался надежным. Вероятность выдержать
испытание для каждого прибора равна 0,8. X – число испытаний, после
которых закончится проверка. Составьте закон распределения случайной величины X,
вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое
отклонение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции
распределения.

---

Задача 8

Проведено
n=5 независимых опытов. Вероятность взрыва в каждом опыте равна p=2/7.
Составить закон распределения числа взрывов, вычислить математическое ожидание,
дисперсию, среднеквадратическое отклонение и построить многоугольник
распределения.

---

Задача 9

Найти закон
распределения указанной дискретной СВ X и ее функции. распределения
F(x). Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и
среднее квадратичное отклонение σ(Х). Построить график
функции распределения F(x).

 Вероятность отказа прибора за время испытания
на надежность равна 0,2; СВ Х – число приборов, отказавших в работе, среди 5
испытываемых.

---

Задача 10

В интернет-магазине
приобретается смартфон. Курьер приносит на дом покупателю 5 одинаковых
смартфонов, среди которых три (заранее неизвестно какие) бракованные.
Покупатель проверяет один за другим, пока не найдет хороший прибор, но делает
не более трех попыток.

Составить
закон распределения случайной величины – числа произведенных попыток.

Найти ее
математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Построить
функцию распределения.

---

Задача 11

В команде
9 спортсменов, из них 4 – первого разряда и 5 – второго. Наудачу отобраны 3
спортсмена. Найти ряд распределения дискретной случайной величины Х – числа
спортсменов второго разряда среди отобранных.

---

Задача 12

 К контролеру с конвейера поступили 4 детали.
Вероятность брака для каждой детали равна 0,1. Детали проверяют одну за другой,
пока не наберут 2 доброкачественные. 
Найти закон распределения вероятностей для числа проверенных деталей.

---

Задача 13

Двое рабочих,
выпускающих однотипную продукцию, допускают производство изделий второго сорта
с вероятностями соответственно равными 0,4 и 0,3. У каждого рабочего взято по 2
изделия.  Для случайной величины Х –
числа изделий второго сорта среди отобранных для проверки четырех найти закон
распределения, математическое ожидание и дисперсию.

---

Задача 14

На викторине
задаются 3 вопроса. Вероятность правильно ответить на первый – p, на
второй – r, на третий – s. После неправильного
ответа игрок выбывает из игры. Найти распределение числа правильных ответов.
Вычислить математическое ожидание. Решить задачу, если:

а) p=0.7; r=0.6; s=0.3;

б)
p=0.8; r=0.4; s=0.1.

---

Задача 15

На
некоторой остановке автобус останавливается только по требованию. Вероятность
остановки равна 0,2. За смену автобус проходит мимо этой остановки 5 раз.
Составить закон распределения числа остановки за смену, найти математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.

---

Задача 16

Вероятность
того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3.
Аудитору на заключение представлено 3 баланса предприятия. Составить закон
распределения числа положительных заключений на проверяемые балансы.

---

Задача 17

Два товароведа
проверяют партию изделий. Производительность их труда соотносится как 5:4.
Вероятность определения брака первым товароведом составляет 85%, вторым – 90%.
Из проверенных изделий отбирают четыре. Найти а) математическое ожидание и б)
дисперсию числа годных изделий среди отобранных.

---

Задача 18

Два
станка выпускают детали с вероятностями брака 0,01 и 0,05 соответственно. В
выборке одна деталь выпущена первым станком и две – вторым.  Найти распределение числа бракованных деталей
в выборке.

---

Задача 19

Монета
подбрасывается до тех пор, пока герб не выпадет 2 раза, но при этом делается не
более 4 бросаний. Найти распределение числа подбрасываний.

---

Задача 20

Вероятность
сдачи данного экзамена для каждого из n=5 студентов равна p=0.6.
Случайная величина X (СВ X) – число студентов, сдавших экзамен. Найти закон
распределения указанной дискретной СВ X и ее функцию распределения F(x).
Вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и
среднее квадратическое отклонение σ(x). Построить график функции распределения F(x).

Дискретная случайная величина

На этой странице мы собрали краткую теорию и примеры решения учебных задач, в которых дискретная случайная величина уже задана своим рядом распределения (табличный вид) и требуется ее исследовать: найти числовые характеристики, построить графики и т.д. Примеры на известные виды распределения вы можете найти по ссылкам:

• Биномиальный закон распределения
• Гипергеометрический закон распределения
• Геометрический закон распределения
• Закон распределения Пуассона

Краткая теория о ДСВ

Дискретная случайная величина задается своим рядом распределения: перечнем значений $x_i$, которые она может принимать, и соответствующих вероятностей $p_i=P(X=x_i)$. Количество значений случайной величины может быть конечным или счетным. Для определенности будем рассматривать случай $i=overline{1,n}$. Тогда табличное представление дискретной случайной величины имеет вид:

$$
begin{array}{|c|c|}
hline
X_i & x_1 & x_2 & dots & x_n \
hline
p_i & p_1 & p_2 & dots & p_n \
hline
end{array}
$$

При этом выполняется условие нормировки: сумма всех вероятностей должна быть равна единице

$$sum_{i=1}^{n} p_i=1$$

Графически ряд распределения можно представить полигоном распределения (или многоугольником распределения). Для этого на плоскости откладываются точки с координатами $(x_i,p_i)$ и соединяются по порядку ломаной линией. Подробные примеры вы найдете ниже.

Числовые характеристики ДСВ

Математическое ожидание:

$$M(X) = sum_{i=1}^{n} x_i cdot p_i$$

Дисперсия:

$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = sum_{i=1}^{n} x_i^2 cdot p_i – (M(X))^2$$

Среднее квадратическое отклонение:

$$sigma (X) = sqrt{D(X)}$$

Коэффициент вариации:

$$V(X) = frac{sigma(X)}{M(X)}$$.

Мода: значение $Mo=x_k$ с наибольшей вероятностью $p_k=max_i{p_i}$.

Вы можете использовать онлайн-калькуляторы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения ДСВ.

Функция распределения ДСВ

По ряду распределения можно составить функцию распределения дискретной случайной величины $F(x)=P(Xlt x)$. Эта функция задает вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение меньшее некоторого числа $x$. Примеры построения с подробными вычислениями и графиками вы найдете в примерах ниже.

Примеры решенных задач

Задача 1. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:

1 2 3 4 5 6 7

0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Построить многоугольник распределения и функцию распределения $F(x)$. Вычислить: $M[X], D[X], sigma[X]$, а также коэффициент вариации, асимметрии, эксцесса, моду и медиану.

Задача 2. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х. Требуется:
а) определить математическое ожидание М(х), дисперсию D(х) и среднее квадратическое отклонение (х) случайной величины Х;
б) построить график этого распределения.
хi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02

Задача 3. Для случайной величины Х с данным рядом распределения
-1 0 1 8
0,2 0,1 $р_1$ $р_2$
А) найдите $р_1$ и $р_2$ так, чтобы $М(Х)=0,5$
Б) после этого вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины $Х$ и постройте график ее функции распределения

Задача 4. Дискретная СВ $X$ может принимать только два значения: $x_1$ и $x_2$, причем $x_1 lt x_2$. Известны вероятность $P$ возможного значения, математическое ожидание $M(x)$ и дисперсия $D(x)$. Найти: 1) Закон распределения этой случайной величины; 2) Функцию распределения СВ $X$; 3) Построить график $F(x)$.
$P=0,3; M(x)=6,6; D(x)=13,44.$

Задача 5. Случайная величина Х принимает три значения: 2, 4 и 6. Найти вероятности этих значений, если $M(X)=4,2$, $D(X)=1,96$.

Задача 6. Дан ряд распределения дискретной с.в. $Х$. Найти числовые характеристики положения и рассеивания с.в. $Х$. Найти м.о. и дисперсию с.в. $Y=X/2-2$, не записывая ряда распределения с.в. $Y$, проверить результат с помощью производящей функции.
Построить функцию распределения с.в. $Х$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0,3¦ 0,1¦ 0,3¦ 0,2¦ 0,1¦

Задача 7. Распределение дискретной случайной величины $Х$ задано следующей таблицей (рядом распределения):
-6 3 9 15

0,40 0,30 ? 0,10
Определить недостающее значение в таблице распределения. Вычислить основные числовые характеристики распределения: $M_x, D_x, sigma_x$. Найти и построить функцию распределения $F(x)$. Определить вероятность того, что случайная величина $Х$ примет значения:
А) больше чем 6,
Б) меньше чем 12,
В) не больше 9.

Задача 8. В задаче требуется найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X по заданному закону её распределения, заданному таблично (в первой строке таблицы указаны возможные значения, во второй строке – вероятности возможных значений).

Задача 9. Задан закон распределения дискретной случайной величины $X$ (в первой строке указаны возможные значения $x_i$, во второй строке – вероятности возможных значений $p_i$).
Найти:
А) математическое ожидание $M(X)$, дисперсию $D(X)$ и среднее квадратическое отклонение $sigma(X)$;
Б) составить функцию распределения случайной величины $F(x)$ и построить ее график;
В) вычислить вероятности попадания случайной величины $X$ в интервал $x_2 lt X lt x_4$, пользуясь составленной функцией распределения $F(x)$;
Г) составить закон распределения величины $Y=100-2X$;
Д) вычислить математическое ожидание и дисперсию составленной случайной величины $Y$ двумя способами, т.е. пользуясь
свойством математического ожидания и дисперсии, а также непосредственно по закону распределения случайной величины $Y$.
10 20 30 40 50

0,1 0,2 0,1 0,2 0,4

Задача 10. Дискретная случайная величина задана таблице. Вычислить ее начальные и центральные моменты до 4 порядка включительно. Найти вероятности событий $xi lt Mxi$, $xi ge M xi$, $xi lt 1/2 M xi$, $xi ge 1/2 M xi$.

X 0 0,3 0,6 0,9 1,2

P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1

Решебник по терверу

Нужны еще решения? Более 11000 подробно решенных и оформленных задач. Найди в решебнике сейчас:

I. Определение случайной величины (СВ), дискретной случайной величины (ДСВ). Закон и многоугольник распределения ДСВ

При бросании игральной кости могут появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Заранее определить возможные исходы невозможно, так как они зависят от многих случайных причин, которые не могут быть полностью учтены. В данном примере выпавшее число очков есть величина случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайная величина – величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины (кратко: СВ) обозначают большими латинскими буквами , а принимаемые ими значения — малыми буквами

Из приведенного выше  примера, видно, что случайная величина Х может принять одно из следующих возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений Х. Таким образом, в этом примере СВ принимает отдельные, изолированные возможные значения.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Закон распределения ДСВ Х удобно задавать с помощью следующей таблицы

называемой рядом распределения. При этом возможные значения  СВ Х в верхней строке этой таблицы располагаются в определенном порядке, а в нижней — соответствующие вероятности .

Графически ряд распределения изображают в виде многоугольника (или полигона) распределения.

1.1. В ящике 2 нестандартные и 4 стандартные детали. Из него последовательно вынимают детали до первого появления стандартной детали. Построить ряд и многоугольник распределения ДСВ  — числа извлеченных деталей.

Решение.

Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ) :

 – первой вынули  стандартную деталь;

 — первая вынутая деталь нестандартная, вторая стандартная;

 — первая деталь нестандартная, вторая деталь нестандартная, третья деталь стандартная.

Соответствующие им вероятности найдем воспользовавшись правилом умножения вероятностей (заметьте, что события зависимы):

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

Построим многоугольник распределения, отложив на оси абсцисс (ОХ) значения ДСВ Х, а на оси ординат (ОY) соответствующие им вероятности:

1.2. В партии, содержащей 20 изделий, имеется четыре изделия с дефектами. Наудачу отобрали три изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в указанной выборке.

Решение.

 — число дефектных изделий, содержащихся в выборке.

Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ) :

 — ни одно изделие выборки не является дефектным, т.е. все изделия удовлетворяют стандарту;

 — выборка содержит одно изделие с дефектом и два стандартных изделия;

 — выборка содержит два изделия с дефектом и одно стандартное изделие;

 — выборка содержит три изделия с дефектом;

Найдем соответствующие им вероятности :

   

   

   

   

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

	0	1	2	3

1.3. Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0,5; 0,6; 0,8. Построить ряд и многоугольник  распределения СВ X — числа попаданий в цель.

Решение.

Пусть вероятности попадания для 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны , тогда вероятности их промахов равны . Из предыдущих занятий должны помнить как связаны противоположные события: .

Рассмотрим все значения, которые может принять ДСВ Х – числа попаданий в цель.

 – ни один из стрелков не попал в цель;

 – один из стрелков попал в цель;

 – двое стрелков поразили цель;

 – три стрелка поразили цель.

Найдем соответствующие им вероятности :

Запись вида означает, что 1-й стрелок попал, два других промахнулись, аналогичные рассуждения применимы к другим слагаемым.

 — (двое из трех поразили цель);

 — (три стрелка поразили цель).

Контроль:

	0	1	2	3
	0,04	0,26	0,46	0,24

Многоугольник распределения:

Функция распределения

Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения

   

Свойства функции распределения:

1.  
2.   – неубывающая функция, т.е. ,  если
3.  
4.   непрерывна слева в любой точке , т.е. 
5.  

Функция распределения ДСВ имеет вид

   

где суммирование ведется по всем индексам , для которых

1.4. Задан закон распределения ДСВ Х:

	-2	-1	0	2	3
	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение.

По определению функции распределения находим:

если , то , так как значения меньше -2 ДСВ Х не принимает;

если , то

если , то , так как может принять значения -2 или -1

если , то

если , то

если , то

Таким образом, функция распределения имеет вид:

   

II. Операции над дискретными случайными величинами

Суммой (соответственно, разностью или произведением) ДСВ Х, принимающей значения с вероятностями и ДСВ Y, принимающей значения с вероятностями  называется ДСВ, принимающая все значения вида  (соответственно, или ) с вероятностями

Обозначение:  (соответственно,  или ).

Произведением ДСВ Х на число  называется ДСВ  , принимающая значения  с вероятностями

Квадратом (соответственно, m-ой степенью) ДСВ Х называется ДСВ, принимающая значения  (соответственно, ) с вероятностями  Обозначение:  (соответственно, ).

Дискретные СВ Х и Y называются независимыми, если независимы события  и  при любых 

2.1. Задано распределение ДСВ Х

	-2	-1	1	2	3
	0,2	0,25	0,3	0,15	0,1

Построить ряд распределения случайных величин:

а)

б) 

Решение.

Возможные значения СВ Y таковы:

   

   

   

   

   

Вероятности значений СВ Y равны вероятностям соответствующих значений СВ Х (например, и т. д.), т.е. каждое значение СВ Х мы умножаем на 2, а вероятности оставляем прежними. Таким образом

	-4	-2	2	4	6
	0,2	0,25	0,3	0,15	0,1

б) Значения СВ Z таковы (возведем каждое значение СВ Х в квадрат): 

   

   

Составим вспомогательную таблицу для распределения СВ

	4	1	1	4	9
	0,2	0,25	0,3	0,15	0,1

При этом мы должны помнить, что при одинаковых значениях СВ Z, соответствующие им вероятности нужно сложить, т.е.

   

   

Поэтому ряд распределения СВ Z имеет вид

2.2. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения:

Построить:

а) ряд распределения СВ

б) График функции распределения СВ Y

Решение.

а) Вычисляем все значения  СВ Y,  подставляя соответствующие значения в формулу :

Составим вспомогательную таблицу ряда распределения:

Составим ряд распределения.

При этом

Т. е. записываем значения ДСВ Y в таблицу в порядке возрастания. При одинаковых значениях ДСВ соответствующие вероятности складываем.

Итак, получаем

б) Самостоятельно.

2.3. Заданы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

Найти:

а) функцию распределения СВ Х;

б) ряд распределения случайных величин ;

в) ;

г) построить многоугольники распределения СВ Z ,W и V.

Решение.

а) Найдите функцию распределения СВ Х самостоятельно.

б) Найдем всевозможные значения , т. е. просуммируем все значения, которые принимает ДСВ Х, со всеми значениями ДСВ Y.

Предлагаю сделать это так, первое значение ДСВ Х сложить  последовательно с каждым значением ДСВ Y, потом то же самое проделать со вторым значением ДСВ Х и с третьим. Все операции показаны в таблице ниже.

0+2=2	1+2=3	2+2=4
0+3=3	1+3=4	2+3=5
0+4=4	1+4=5	2+4=6

Т. е. случайная величина принимает значения:

   

Найдем вероятности этих значений:

   

Запись вида означает вероятность наступления 2-х независимых событий {X=0} и {Y=2}, т. е.

Для нахождения вероятностей воспользуемся правилом сложения несовместных событий:

Запишем ряд распределения ДСВ

	2	3	4	5	6
	0,06	0,18	0,32	0,28	0,16

Сделаем проверку:

Многоугольник распределения СВ Z представлен ниже:

Далее рассмотрим ДСВ

Найдем всевозможные значения .

Все вычисления сведены в  таблицу ниже.

0-2=-2	1-2=-1	2-2=0
0-3=-3	1-3=-2	2-3=-1
0-4=-4	1-4=-3	2-4=-2

Таким образом случайная величина принимает значения:

   

Замечание. Как вы видите, я выписал для удобства все значения СДВ W в порядке возрастания, так как при составления ряда распределения их (значения случайной величины) нужно располагать по возрастанию.

Найдем вероятности этих значений:

Запишем ряд распределения ДСВ

	-4	-3	-2	-1	0
	0,08	0,22	0,34	0,24	0,12

Сделаем проверку:

Многоугольник распределения СВ W представлен ниже:

По аналогии с предыдущими пунктами найдем все значения ДСВ V :  .  Все вычисления сведены в  таблицу ниже.

0·2=0	1·2=2	2·2=4
0·3=0	1·3=3	2·3=6
0·4=0	1·4=4	2·4=8

Таким образом случайная величина принимает значения: 

   

Найдем вероятности этих значений:

Запишем ряд распределения ДСВ

	0	2	3	4	6	8
	0,2	0,12	0,12	0,28	0,12	0,16

Сделаем проверку:

Многоугольник распределения СВ V представлен ниже:

в) Найдем  . Пусть .

Построим ряд распределения ДСВ М, используя абсолютные величины значений ДСВ , иными словами возьмем по модулю все значения ДСВ W, например, .

Получим ряд

	0	1	2	3	4
	0,12	0,24	0,34	0,22	0,08

Найдем вероятности всех значений ДСВ М, которые меньше, либо равны 2

Список использованной литературы:

1. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике, 2 курс [Текст]/ К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко, Е.Д. Куланин; под редакцией С.Н. Федина.7-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 592с.
2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]/ В.Е. Гмурман, 12-е изд., перераб. — М.: Высшее образование, Юрайт-Издат, 2009. — 479с.