Как найти s середины ребер куба

Как найти s середины ребер куба

Середина ребра куба

Здесь для вас представлено решение двух заданий связанных с комбинацией двух тел – сферы и куба. На момент публикации этих строк данные задачи исключены из банка заданий ЕГЭ по математике, то есть их как бы на экзамене быть не должно. Но нельзя исключать такой возможности, что их в любой момент могут «вернуть» обратно. Поэтому рассмотреть их считаю обязательным.

В чём может возникнуть затруднение? В условии не дан эскиз, и сразу после прочтения не совсем понятно как выглядит указанная «конструкция». Если у вас хорошее пространственное мышление, то вы вполне можете обойтись без эскиза.

Напомню формулу площади поверхности шара, она необходима:

1

Как легко запомнить формулу было описано в этой статье.

Рассмотрим задачи:

25833. Вершина А куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 1,2 является центром сферы, проходящей через точку A1. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину S/Пи.

Сказано, что одна из вершин куба является центром сферы с радиусом, равным стороне куба. Это означает, что соседние с ней вершины лежат на поверхности сферы. Схематично эскиз будет выглядеть так:

2

Становится ясно, что в кубе (внутри куба) содержится восьмая часть сферы и, соответственно, одна восьмая часть её поверхности.

Таким образом, площадь поверхности сферы находящейся внутри куба равна:

3

Результат разделим на Пи и запишем ответ.

Ответ: 0,72

25843. Середина ребра куба со стороной 0,8 является центром шара радиуса 0,4. Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите S/Пи.

Строим куб, отмечаем середину ребра, это центр шара. Исходя из данных в условии размеров становится очевидно, что ребро куба равно диаметру шара (0,8=0,4∙2). Схематично строим на этом ребре шар:

Середина ребра куба

Получается, что внутри  куба содержится одна четвёртая часть сферы и, соответственно, четвёртая часть её поверхности.

Таким образом, искомая площадь поверхности части шара равна:

5

Результат разделим на Пи и запишем ответ.

Ответ: 0,16

27206. Вершина куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 1,6 является центром сферы, проходящей через точку A1. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину S/Пи.

Посмотреть решение

27207. Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите S/Пи.

Посмотреть решение

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр.

*Расскажите о сайте друзьям в социальных сетях.

Категория: Стереометрия ШАР | ЕГЭ-№2Площадь

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Источник

Поскольку через 3 точки можно провести только одну плоскость. ЕК параллельна В1С (грани, на которых они лежат, параллельны)
В этой трапеции большее основание равно диагонали грани куба.
Меньшее основание равно гипотенузе треугольника АКЕ, где АК=АЕ=1/2а
Боковые стороны этой равнобедренной трапеции равны гипотенузе треугольника КСD, где КD=1/2а, DС=а.

Для нахождения высоты равнобедренной трапеции можно использовать это свойство:
Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой – полуразности оснований. И уже из получившегося маленького треугольника, где катеты высота и полуразность оснований, а гипотенуза – сторона трапеции, найти высоту трапеции по её теореме Пифагора.

Есть формула, где для нахождения площади трапеции можно обойтись без высоты.
Формула, где a, b — основания, c и d — боковые стороны трапеции:

Источник

Дано: куб со стороной 1,9 и шар с центром в середине одной из его ребер и радиусом 0,95.

Нам нужно найти площадь части поверхности шара, которая находится внутри куба.

Сначала найдем диаметр шара: d = 2r = 2*0,95 = 1,9.

Так как центр шара находится в середине ребра куба, то его расстояние до любой из вершин куба будет равно радиусу шара, то есть 0,95.

По теореме Пифагора найдем длину полудиагонали куба: d = √(a² + a² + a²) = √3a.

Подставим значения и найдем a: √3a = 1,9 + 0,95, a = (1,9 + 0,95)/√3 = 1,08012.

Теперь найдем высоту, на которой находится часть поверхности шара внутри куба: h = r – a/2 = 0,95 – 1,08012/2 = 0,40994.

Тогда площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба, можно найти по формуле: S = 2πrh.

Подставим значения и найдем S: S = 2π*0,95*0,40994 ≈ 1,25094.

Наконец, делим S на число π: S/π ≈ 0,39794.

Ответ: S/π ≈ 0,39794.

Источник

В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства куба, а также формулы, касающиеся данной геометрической фигуры (расчет площади поверхности, периметра ребер, объема, радиуса описанного/вписанного шара и т.д.).

  • Определение куба

  • Свойства куба

    • Свойство 1

    • Свойство 2

    • Свойство 3

  • Формулы для куба

    • Диагональ

    • Диагональ грани

    • Площадь полной поверхности

    • Периметр ребер

    • Объем

    • Радиус описанного вокруг шара

    • Радиус вписанного шара

Определение куба

Куб – это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами.

Куб

  • Вершины куба – это точки, являющиеся вершинами его граней.
    Всего их 8: A, B, C, D, A1, B1, C1 и D1.
  • Ребра куба – это стороны его граней.
    Всего их 12: AB, BC, CD, AD, AA1, BB1, CC1, DD1, A1B1, B1C1, C1D1 и A1D1.
  • Грани куба – это квадраты, из которого состоит фигура.
    Всего их 6: ABCD, A1B1C1D1, AA1B1B, BB1C1C, CC1D1D и AA1D1D.

Примечание: куб является частным случаем параллелепипеда или призмы.

Свойства куба

Свойство 1

Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:

  • ABCD || A1B1C1D1
  • AA1B1B || CC1D1D
  • BB1C1C || AA1D1D

Свойство 2

Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.

Пересечение диагоналей куба

  • AC1 = BD1 = A1C = B1D (диагонали куба).
  • О – точка пересечения диагоналей:
    AO = OC1 = BO = OD1 = A1O = OC = B1O = OD.

Свойство 3

Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т.е. являются прямыми.

Прямой двугранный угол куба

Например, на рисунке выше угол между гранями ABCD и AA1B1B является прямым.

Формулы для куба

Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:

  • a – ребро куба;
  • d – диагональ куба или его грани.

Диагональ

Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.

Формула для расчета диагонали куба через длину его ребра

Диагональ грани

Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.

Формула для расчета диагонали грани куба через длину его ребра

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.

Формула расчета площади полной поверхности куба через длину его ребра/диагонали

Периметр ребер

Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.

Формула расчета периметра куба через длину его ребра/диагонали

Объем

Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.

Формула расчета объема куба через длину его ребра/диагонали

Радиус описанного вокруг шара

Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.

Формула расчета радиуса шара описанного вокруг куба через длину его ребра/диагонали

Радиус вписанного шара

Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра.

Формула расчета радиуса вписанного в куб шара через длину его ребра/диагонали

Источник

Задание

Середина ребра куба со стороной 0.6 является центром шара радиуса 0.3. Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите $frac{S}{pi}$.

Решение

С учетом того, что диаметр данного шара равен 0.6, его площадь полной поверхности равна $$ S_{text{полн}}=picdot 0.6^2 $$ Из рисунка видно, что внутри куба находится половина верхней половинки шара. Делаем вывод, что внутри куба находится только четвертая часть шара, следовательно, площадь поверхности шара, лежащая внутри куба, равна четверти всей площади этого шара $$ frac{S}{pi}=frac{1}{4}cdotfrac{S_{text{полн}}}{pi}=frac{1}{4}cdotfrac{picdot 0.6^2}{pi}=0.09 $$

Ответ: 0.09.

Аналогичные задачки

Категория: 

  • В11 (стереометрия)


Источник

Добавить комментарий