Как найти сечение куба по трем точкам - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Слайд 1

« Загадка трёх точек» Информационно-исследовательский проект

Слайд 2

Цели проекта: построение сечений в кубе, проходящих через три точки; составление задач по теме « Сечение куба плоскостью»; оформление презентации; подготовка выступления.

Слайд 3

В геометрии нет царской дороги Евклид

Слайд 4

Аксиомы стереометрии Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Слайд 5

Для решения многих геометрических задач, связанных с кубом полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Под сечением будем понимать любую плоскость (назовем ее секущей плоскостью), по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры. Секущая плоскость пересекает многогранник по отрезкам. Многоугольник, который будет образован этими отрезками, и является сечением фигуры.

Слайд 6

Правила построения сечений многогранников: 1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости; 2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого: а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости); б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Слайд 7

Куб имеет шесть граней. Его сечением могут быть : треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники.

Слайд 8

Рассмотрим построение этих сечений.

Слайд 9

Треугольник

Слайд 10

Полученный треугольник EFG будет искомым сечением . Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба .

Слайд 11

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.

Слайд 12

Для построения сечения куба, проходящего через точки лежащие на ребрах куба, выходящих из одной вершины, достаточно просто соединить данные точки отрезками . В сечении получится треугольник.

Слайд 13

Четырехугольник

Слайд 14

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба.

Слайд 15

Полученный прямоугольник BCFE будет искомым сечением. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба, для которых AE = DF . Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F , G , соединим точки E и F . Прямая EF будет параллельна AD и, следовательно, BC . Соединим точки E и B , F и C .

Слайд 16

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , лежащие на ребрах куба и вершину B . Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F и вершину B , Соединим отрезками точки E и B , F и B . Через точки E и F проведем прямые, параллельные BF и BE , соответственно.

Слайд 17

Полученный параллелограмм BFGE будет искомым сечением Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , лежащие на ребрах куба и вершину B . Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F и вершину B , Соединим отрезками точки E и B , F и B . Через точки E и F проведем прямые, параллельные BF и BE , соответственно.

Слайд 18

Плоскость сечения параллельна одному из ребер куба или проходит через ребро (прямоугольник) Плоскость сечения пересекает четыре параллельных ребра куба (параллелограмм)

Слайд 19

Пятиугольник

Слайд 20

Полученный пятиугольник EFSGQ будет искомым сечением Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба. Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F , G , проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с AD . Обозначим Q , R точки пересечения прямой PG с AB и DC . Обозначим S точку пересечения FR c СС 1. Соединим точки E и Q , G и S .

Слайд 21

Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1). Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый). Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую. Пятиугольник MNLPS — искомое сечение .

Слайд 22

В сечении куба плоскостью может получится только тот пятиугольник, у которого имеются две пары параллельных сторон.

Слайд 23

Шестиугольник

Слайд 24

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба. Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F , G , найдем точку P пересечения прямой EF и плоскости грани ABCD . Обозначим Q , R точки пересечения прямой PG с AB и CD . Проведем прямую RF и обозначим S , T её точки пересечения с CC 1 и DD 1. Проведем прямую TE и обозначим U её точку пересечения с A 1 D 1. Соединим точки E и Q , G и S , F и U . Полученный шестиугольник EUFSGQ будет искомым сечением .

Слайд 27

В сечении куба плоскостью может получится только тот шестиугольник, у которого имеется три пары параллельных сторон.

Слайд 30

Дано: M€AA1 , N€B1C1,L€AD Построить: ( MNL)

Источник

Общеобразовательная школа І-ІІІ ступеней
№2

отдела образования администрации города Кировское

«Сечение куба плоскостью

и практическое их применение
в задачах».

Подготовила учитель математики

учитель-методист

Чумакова Г.В.

2015 г.

Введение:

Задачи
на построение сечений многогранников занимают значительное место как школьном
курсе геометрии для старших классов, так и на экзаменах разного уровня. Решение
этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, систематизации
знаний и умений, развитию пространственного представления и конструктивных
навыков. Общеизвестны трудности, возникающие при решении задач на построение
сечений.

Основными
действиями, составляющими метод построения сечений, являются нахождение точки
пересечения прямой с плоскостью, построение линий пересечения двух плоскостей,
построение прямой параллельной плоскости, построение прямой перпендикулярной
плоскости.

Проиллюстрирую
построение сечения на одной задаче из школьного курса математики:

№1.
Постройте хотя бы два сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью
АМ₁С, если точка М₁ движется по отрезку ВВ₁ от
В до В₁. Найдите границы измерения высоты сечения, проведённой из
точки М₁.

Решение:
Построим два требуемых сечения, взяв точку М₁ ближе к точке В, а
точку М₂ближе к В₁. Оба сечения показаны на рисунке .В
начале движения когда точка М₁только отошла от точки В₁,
сечение представляет собой треугольник с основанием АС и высотой М₁О,
которая чуть больше отрезка ВО, т.е. Если точка
М₁ займёт положение М₂расположенной очень близко к точке
В₁, то АМ₂С
почти совпадёт с АВ₁С,
а его высота М₁О – с отрезком В₁О, длина которого равна (ОВ₁==).

Отсюда по
соображениям непрерывности делаем вывод:

Особо следует посмотреть, что произойдёт, если точка М₁
займёт положение вершины В.

№2.
Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки А₁, E
и L, лежащие на рёбрах куба.

Плоскости
граней A₁ADD₁ и DD₁C₁C пересекаются
по прямой DD₁, а плоскости
граней A₁B₁C₁D₁ u DD₁C₁C – по прямой D₁C₁. Соединив
точки А и Е , получим прямую пересечения секущей плоскости с плоскостью грани AA₁D₁D, а продолжив
её, найдём точку N, принадлежащую
трём плоскостям: плоскости сечения и плоскостям граней AA₁D₁D u DD₁C₁C.

Аналогично
найдём точку М, общую трём плоскостям: плоскости сечения и плоскостям граней A₁B₁C₁D₁ u DD₁C₁C. Таким
образом, точки N u M принадлежат
секущей плоскости и плоскости DD₁C₁C; прямая MN – линия
пересечения плоскости сечения с плоскостью грани DD₁C₁C, а F и K –
точки пересечения её с рёбрами куба CD u CC₁.
Последовательно соединив прямыми точки A₁, E, F, K u L, получаем
пятиугольник A_!EFKL, который и
даст нам искомое сечение.

При
построении сечения куба плоскостью Х при произвольном расположении точек
в сечении получается: треугольник, трапеция, прямоугольник, пятиугольник или
шестиугольник. Естественно возник вопрос, как вид сечения зависит от вида
расположения точек задающих это сечение

Я решил провести
исследование, цель которого является выяснение.

Построить сечения куба
плоскостью, когда заданы три точки принадлежащие рёбрам с одной вершиной.

Взяты три точки A₁, D, C₁, которые
принадлежат вершине D₁, а сами
являются вершинами куба.

В сечении получился равносторонний
треугольник, так как A₁C₁, A₁D u DC₁ – диагонали
граней этого куба.

Три точки: A₁ u C₁ – вершины
куба, а точка F принадлежит
ребру куба DD₁. Точки
принадлежат прямым выходящим из вершины D₁.

В сечении получился равнобедренный
треугольник, так как F равноудалена
от точек A₁ u C₁.

Три точки: A₁ u C₁ – вершины
куба, а точка F принадлежит
прямой ребра куба DD₁. Точки
принадлежат прямым выходящим из одной вершины D₁.

В сечении получается равнобедренная
трапеция, так как F равноудалена
от точек A₁u C₁, то есть LA₁=KC₁.

Три точки принадлежащие рёбрам с одной
вершиной D₁. Точки F u M принадлежат
продолжениям рёбер D₁D u D₁C соответственно, а
точка A₁ является
вершиной куба.

В сечении получился пятиугольник A₁KLNG.

Взяты три точки F, M u Q так, что лежат на
продолжении рёбер D₁D, D₁C₁, и D₁A₁
соответственно.

В сечении получился шестиугольник KLNGJH.

Три точки лежат на рёбрах с одной
вершиной D₁.

В сечении получился произвольный
треугольник, но если точки расположить так чтобы D₁Q=D₁M=D₁F, то есть если они были
бы равноудалены от вершины D₁ то в сечении получился бы
равносторонний треугольник.

Секущая плоскость задана точками Н, Q и M. В сечении получается
параллелограмм, так как KC ││ MP и MK ││ PC по теореме о пересечении двух
параллельных плоскостей третьей.

Если точки H, Q и M, задают секущую
плоскость, удаленные от D, на расстоянии
2a, где а – для
ребра куба, то в сечении получается правильный треугольник ACB₁.

Вывод: три задающих
сечение точки принадлежат трём рёбрам куба с общей вершиной или являются их
продолжением, то в сечении получается: треугольник, пятиугольник, шестиугольник
трапеция, параллелограмм.

Построение сечения
куба плоскостью, когда заданы три точки, две из которых лежат на смежных
рёбрах, а третья точка лежит на ребре не смежном с ними.

Три точки M, K u F, взяты так что M u F принадлежат рёбрам с одной вершиной A₁, а точка K лежит на ребре не
смежным с ними.

В сечении получается
прямоугольник, так как А₁М=D₁K и по теореме о трёх перпендикулярах
можно доказать что MKLF –
прямоугольник., а если А₁МD₁K, то может получится
трапеция или пятиугольник.

Взяты три точки так, что K u L принадлежат рёбрам
выходящим из одной вершины A_1,а точка N принадлежит ребру CC₁, не смежному
сними. K, L u N середины рёбер A₁A, A₁B₁ u CC₁ –
соответственно.

В сечении получается правильный
шестиугольник KLGNHM

Взяты три точки так, что K u L принадлежат рёбрам
выходящим из одной вершины A_1,а точка T принадлежит ребру DC.

В сечении получается шестиугольник KLFRTZ.

Три точки взяты так, что K u L принадлежат рёбрам
куба с одной вершины A₁, а точка M ребре DD₁.

В сечении получается трапеция LKQM.

Три точки K u L которые принадлежат рёбрам с одной вершиной A₁.и точка R которая лежит на ребре
BC.

В сечении получается пятиугольник KLFRT.

Вывод: Если секущая
плоскость задана тремя точками, две из которых лежат на смежных рёбрах, а
третья на ребре не смежном с ними, то в сечении может получиться прямоугольник,
пятиугольник, шестиугольник, трапеция.

В сечении куба
параллелограмм и его частные случаи.

Точки T, H, J задающие сечение расположены так, что THAD, HJAD. В сечении получается
квадрат HTKJ.

Сечение задано точками C, F, L, причём DF=FD₁, BL=LB₁. В сечении
получается ромб AFCL.

Сечение задано точками C, G, H. B₁H=DG. В сечении
параллелограмм A₁GCH.

Точки задающие сечение являются
вершинами куба A, D, C₁. В сечении
получается прямоугольник

В
сечении куба правильные многоугольники

Треугольник АВВ₁равносторонний,
так как его стороны это диагонали граней куба.

Треугольник КМТ равносторонний, так как
КВ=МВ=ТВ.

КМТЕ – квадрат, так как сечение задано
точками М, К, Е и МКAD, EKAD.

В сечении правильный шестиугольник
КМТНЕО, так как точки Н, Е, К задающие сечение являются серединами рёбер СС₁,
DC, АА₁соответственно.

Куб и несколько задач
по стереометрии с ЕГЭ.

В пособии “ЕГЭ 2005.
Математика. Типовые тестовые задачи” (Корникова Т. А. и др.) Содержит 10 задач
(С4) по стереометрии, объединенных общей идеей: дана треугольная призма АВСА₁В₁С₁
стороны основания АВ и ВС взаимно перпендикулярны и перпендикулярны ребру ВВ₁,
АВ=ВС=ВВ₁, вершина А является вершиной конуса (или центром одного из
оснований цилиндра, или центром сферы), основание конуса (сфера или второе
основание цилиндра) проходит через середину одного ребра призмы, длина его
известна. Надо найти объем или поверхность конуса (сферы, цилиндра).

Общий пример решения:

Данную призму дополнить
до куба. Шестиугольник DEFKLM – сечение куба
плоскостью основания конуса , окружность которого проходит через середину А₁В₁,
А – вершина конуса, или

DEFKLM – сечение куба плоскостью основания
цилиндра, окружность которого проходит через середину А₁В₁,
А – центр второго основания цилиндра, или это сечение куба плоскостью большого
круга сферы с центром А, сфера которого проходит через середину А₁В₁.

Шестиугольник DEFKLM – сечение куба
плоскостью, проходящей через середину рёбер А₁В₁, ВВ₁,
ВСЖ при построении получаются точки K, L, M, которые
являются серединами соответствующих рёбер. Стороны этого шестиугольника
являются гипотенузами треугольников DB₁E, EBF, FCK, KQL, LRM, MA₁D, катеты
которых равны половине ребра куба. Тогда центр этого шестиугольника является
центром описанной около него окружности, которая пересекает рёбра куба в точках
D,E, F, K, L и М, радиус
этой окружности , где А₁В₁=а.

AO EL, т. к. EAL – равнобедренный: AL=AE.

(ABE u EAL –
прямоугольные, AB=AQ= а, BE=LQ=)

EO=OL как середина
диагонали ЕL шестиугольника
DEFKLM, т. е. АО –
медиана ,а по свойствам равнобедренного треугольника и высота. Аналогично
доказывается АО DK. Так как АО
перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости шестиугольника, то АО
перпендикулярна ко всей плоскости.

Если А –
вершина конуса то АО – его высота, если А – центр второго основания цилиндра,
то АО- высота цилиндра.

АВС:
АС=, P – точки пресечения
диагоналей основания куба, АР=, РР₁=АА₁= а. ОР=РР₁= ,
тогда из прямоугольного РОА АО=. И так АО=.

Тогда, если
идёт речь о конусе:

(из ).

Ответ:

Если речь идёт
цилиндре:

Ответ:

Если речь идёт
о сфере:

Ответ:

Корникова Т. А.
и др. типовые тестовые задания. ЕГЭ – 2005

Вариант 6.

Задача.
Даны призма АВСА₁В₁С₁ и цилиндр. Стороны АВ и
ВС основания призмы перпендикулярны ребру ВВ₁ и взаимно
перпендикулярны. Центром основания цилиндра служит точка А₁
окружность второго основания проходит через середину ребра А₁В₁.

Найдите площадь
полной поверхности цилиндра, если ВВ₁=АВ=ВС=10. Найдите его объём.

Решение:

.
.

Так как стороны
АВ и ВС основания призмы перпендикулярны ребру ВВ₁ и взаимно
перпендикулярны и АВ=ВС=ВВ₁, то призма АВСА₁В₁С₁
– это половина куба с ребром АВ. Окружность второго основания цилиндра проходит
через середину А₁В₁. Эта окружность пересекает и другие
рёбра куба. И эти точки пересечения окружности второго основания цилиндра и
рёбер куба лежит в одной плоскости (плоскость сечения) и равноудалены от центра
второго основания цилиндра. Плоскость второго основания цилиндра образует в
сечении куба шестиугольник DEFKLM, все вершины которого
являются вершинами соответствующих рёбер. Тогда ED=АР=R, ЕВ₁D, В=90⁰ (по условию), B₁E=DB₁=, тогда по теореме Пифагора ED=, R=.

Докажем, что АО
перпендикулярно к сечению DEFKLM,так как является его
высотой цилиндра.

РОА
, Р=90⁰ РА=, РО=.

По теореме
Пифагора ОА= (ОА=h=).

SPO, P=90⁰ PS=
SO

в AOS: AO²=75
SO²=

AS²=AO²+SO². AOS –
прямоугольный АОSO.

Ответ:

Корникова Т. А.
и др. типовые тестовые задания. ЕГЭ – 2005

Вариант 10.

Задача.
Даны призма АВСА₁В₁С₁ и конус. Стороны АВ и ВС
основания перпендикулярны ребру ВВ₁ и взаимно перпендикулярны.
Вершина конуса располагается в точке А, окружность основания проходит через
середину ребра А₁В₁.

Найдите площадь
полной поверхности конуса, если ВВ₁=АВ=ВС=8. Найдите объём этого
конуса.

Решение:

. .

Так как по
условию дана прямая призма, в которой ВВ₁=АВ=ВС, то эта призма
является половиной куба. Вершина куба А является и вершиной конуса, основание
которого пересекает А₁В₁ в точке D, следовательно
AD – образующая
конуса AD=. Сечение куба плоскостью основания конуса
– это правильный шестиугольник DEFKLM, т.к. АD, AE, AF, AK, AL, AM – это
образующие конуса, вершины D, E, F, K, L, M – равноудалены
от основания высоты конуса в точке О, являются серединами рёбер куба. R=ED, EB₁D, B₁D =B₁E=4,
ED=4.

AA₁D, A₁=90⁰, AD=.

AC= (из ОАН, ОН АН,
НО=4, АН=4).

Ответ:

3. Заключение.

В результате проведённого компьютерного
эксперимента в работе было выявлено: что в зависимости от точек задающих
секущую плоскость в сечении куба могут получиться треугольники (произвольный,
равнобедренный и правильный), четырёхугольники (квадрат, прямоугольник,
трапеция, ромб, параллелограмм), пятиугольники и шестиугольники. Особое
выделены правильный треугольник и шестиугольник, рассмотрены свойства этих
многоугольников и задачи с ними связанные располагавшиеся в одном из пособий
для подготовки к ЕГЭ по математике.

Выполнение работы расширило мои представления
о выполнении построений сечения многогранников плоскостью, дало возможность
более глубоко освоить некоторые компьютерные программы способствующие развитию
конструктивных навыков, которые позволили разобраться в решении задач по
стереометрии, предлагающихся в ЕГЭ по математике.

Источник

Задачи на построение сечений куба плоскостью, как правило, проще чем, например, задачи на сечения пирамиды.

Провести прямую можем через две точки, если они лежат в одной плоскости. При построении сечений куба возможен еще один вариант построения следа секущей плоскости. Поскольку две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым, то, если в одной из граней уже построена прямая, а в другой есть точка, через которую проходит сечение, то можем провести через эту точку прямую, параллельную данной.

Рассмотрим на конкретных примерах, как построить сечения куба плоскостью.

1) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.

Задачи такого вида — самые простые из всех задач на построение сечений куба. Поскольку точки A и C лежат в одной плоскости (ABC), то через них можем провести прямую. Ее след — отрезок AC. Он невидим, поэтому изображаем AC штрихом. Аналогично соединяем точки M и C, лежащие в одной плоскости (CDD1), и точки A и M, которые лежат в одной плоскости (ADD1). Треугольник ACM — искомое сечение.

2) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Здесь только точки M и N лежат в одной плоскости (ADD1), поэтому проводим через них прямую и получаем след MN (невидимый). Поскольку противолежащие грани куба лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость пересекает параллельные плоскости (ADD1) и (BCC1) по параллельным прямым. Одну из параллельных прямых мы уже построили — это MN.

Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1).

Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый).

Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую.

Пятиугольник MNLPS — искомое сечение.

3) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскости (ВСС1), поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN (видимый). Плоскость (BCC1) параллельна плоскости (ADD1),поэтому через точку P, лежащую в (ADD1), проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро AD в точке E. Получили след PE (невидимый).

Больше нет точек, лежащей в одной плоскости, или прямой и точки в параллельных плоскостях. Поэтому надо продолжить одну из уже имеющихся прямых, чтобы получить дополнительную точку.

Если продолжать прямую MN, то, поскольку она лежит в плоскости (BCC1), нужно искать точку пересечения MN с одной из прямых этой плоскости. С CC1 и B1C1 точки пересечения уже есть — это M и N. Остаются прямые BC и BB1. Продолжим BC и MN до пересечения в точке K. Точка K лежит на прямой BC, значит, она принадлежит плоскости (ABC), поэтому через нее и точку E, лежащую в этой плоскости, можем провести прямую. Она пересекает ребро CD в точке H. EH -ее след (невидимый). Поскольку H и N лежат в одной плоскости (CDD1), через них можно провести прямую. Получаем след HN (невидимый).

Плоскости (ABC) и (A1B1C1) параллельны. В одной из них есть прямая EH, в другой — точка M. Можем провести через M прямую, параллельную EH. Получаем след MF (видимый). Проводим прямую через точки M и F.

Шестиугольник MNHEPF — искомое сечение.

Если бы мы продолжили прямую MN до пересечения с другой прямой плоскости (BCC1), с BB1, то получили бы точку G, принадлежащую плоскости (ABB1). А значит, через G и P можно провести прямую, след которой PF. Далее — проводим прямые через точки, лежащие в параллельных плоскостях, и приходим к тому же результату.

Работа с прямой PE дает то же сечение MNHEPF.

4) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку M, N, P.

Здесь можем провести прямую через точки M и N, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — MN (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

Продолжим прямую MN. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и M. Еще две прямые этой плоскости — A1B1 и B1C1. Точка пересечения A1B1 и MN — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости ( ABB1), а значит, через нее и точку P, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая PS пересекает ребро AA1 в точке E. PE — ее след (видимый). Через точки N и E, лежащие в одной плоскости (ADD1), можно провести прямую, след которой — NE (невидимый). В плоскости (ADD1) есть прямая NE, в параллельной ей плоскости (BCC1) — точка P. Через точку P можем провести прямую PL, параллельную NE. Она пересекает ребро CC1 в точке L. PL — след этой прямой (видимый). Точки M и L лежат в одной плоскости (CDD1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — ML (невидимый). Пятиугольник MLPEN — искомое сечение.

Можно было продолжать прямую NM в обе стороны и искать ее точки пересечения не только с прямой A1B1, но и с прямой B1C1, также лежащей в плоскости (A1B1C1). В этом случае через точку P проводим сразу две прямые: одну — в плоскости (ABB1) через точки P и S, а вторую — в плоскости (BCC1), через точки P и R. После чего остается соединить лежащие в одной плоскости точки: M c L, E — с N.

Источник

20.12.2019 16:01

Эта презентация демонстрирует этапы построения сечения в кубе плоскостью, проходящее через 3 точки, с звуковой поддержкой. Рекомендую применять на уроках геометрии в 10-11 классах.

Просмотр содержимого документа

«Построение сечения куба плоскостью 1»

Построение сечения куба по трём точкам

Дано:

Куб A 1 B 1 C 1 D 1 ABCD;

M  (AB 1 C 1 );

R  (ABC);

P  (A 1 AD);

Построить:

Сечение куба, проходящее через точки M, R и P

Построение:

[MM 1 ]II[AP], значит [MP]  (MM 1 P);
(MP)
(M1A) – проекция (МР) на (АВС)
(MP)  (M 1 A)=T, значит T  (ABC), что значит, что (M 1 T)  (ABC), (TR)  (AB)=L и (RL)  (BC)=F;
(DD 1 C 1 )  (ABC)=(DC), (RL)  (DC)=S, (CC 1 )  (SK)=K;
(DD 1 C 1 )  (A 1 AD)=(DD 1 ), (KM)  (DD 1 )=X, значит X  (A 1 AD), (XP)  (AD 1 )=Q;
Соединив все получившиеся точки получаем сечение (PLRFKMQ)

C 1

B 1

A 1

D 1

M 1

Источник

Просмотр содержимого документа «Построение сечения куба плоскостью 1»

Вам также может понравиться

Как найти кредитного должника

Как найти гробницы на советской базе

Как найти слабое место парня

Добавить комментарий Отменить ответ

Просмотр содержимого документа

«Построение сечения куба плоскостью 1»