Как найти сечение по трем точкам параллелепипеда

Пошаговое построение сечения параллелепипеда

Построение сечения методом следов – это поэтапное отыскание точек, принадлежащих одной и той же плоскости грани и одновременно плоскости сечения, то есть прямым, проходящим через точки, принадлежащие сечению. Метод подходит для использования тогда, когда следы секущей плоскости и прямые граней многогранника пересекаются в области чертежа, то есть если сечение параллельно или почти параллельно основанию, этот метод построения не подойдет.

Задача 1.

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки  .

Шаг 1. Чезез точки и , которые принадлежат одной грани, и, следовательно, одной плоскости, проводим прямую. Точки этой прямой все принадлежат секущей плоскости. Точка лежит в плоскости основания, поэтому неплохо бы найти найти точку прямой , которая также принадлежала бы основанию. Для этого проводим прямую , и находим точку ее пересечения с прямой – .

Шаг 2. Проводим прямую , принадлежащую плоскости основания. Находим точку пересечения этой прямой ребра – .

Шаг 3. Точка лежит в задней грани, поэтому надо бы найти точку прямой , которая принадлежала бы плоскости задней грани. Для этого проведем прямую , которая принадлежит как плоскости основания, так и плоскости задней грани, и найдем точку ее пересечения с прямой – . Через две точки задней грани проводим прямую , и находим место пересечения этой прямой с ребром – .

Шаг 4. Окончание построения. Соединяем полученные точки отрезками, и строим многоугольник сечения.

Задача 2.

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки 

Шаг 1. Точки и лежат в одной плоскости, можно соединить их прямой. Прямая пересечет ребро в точке .

Шаг 2. Точки и также лежат в одной плоскости. Соединяем их прямой и отыскиваем точку пересечения ею ребра – .

Шаг 3. Найдем точку секущей плоскости, принадлежащую передней грани, чтобы затем через эту точку и точку можно было бы тоже провести след секущей плоскости. Для того, чтобы найти такую точку, проведем луч и найдем его пересечение с прямой – ведь обе эти прямые принадлежат плоскости верхней грани. Точка пересечения – точка . Точки и можно соединить отрезком.

Шаг 4. Находим точку пересечения отрезком ребра – точку .

Шаг 5. После этого соединяем отрезками полученные точки и закрашиваем многоугольник сечения.

Задача 3.

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки 

Шаг 1. Построим прямую , это можно сделать, так как обе точки принадлежат одной грани. Точка принадлежит грани основания, поэтому нужна точка в этой плоскости.

Шаг 2. Для того, чтобы найти точку, одновременно принадлежащую и секущей плоскости, и плоскости нижней грани, продолжим прямую и найдем точку ее пересечения с прямой – .

Шаг 3. Проводим прямую и находим точку пересечения этой прямой с ребром – точка .

Шаг 4. Теперь надо найти точку в плоскости передней  грани, потому что в этой плоскости у нас уже есть точка – точка . Для того, чтобы найти такую точку, продлим прямую  и найдем пересечение этой прямой с прямой – точка .

Шаг 5. Проводим прямую , отыскиваем точки пересечения ею ребер – точку , и ребра – точку .

Шаг 6. Соединяем точки и получаем многоугольник сечения.

Окончательный вид сечения с другого ракурса:

Задача 4.

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки  . Точка в задней грани.

Шаг 1.  Проводим прямую через две точки одной плоскости – и .  Определяем точку пересечения данной прямой ребра – .

Шаг 2. Продолжение прямой пересечется с продолжением прямой – так как обе прямые принадлежат плоскости задней грани. Точка также принадлежит задней грани, но также и боковой. А в боковой грани у нас есть точка , и тогда можно провести прямую .

Шаг 3. Точка – точка пересечения прямой ребра . Продлим также ребро и найдем пересечение прямой и прямой – точку , которая принадлежит плоскости основания.

Шаг 4. Соединяем Точки и плоскости основания, определяем точку пересечения данной прямой с ребром – точку . Соединяем полученные точки отрезками. Штрихуем полученный многоугольник сечения.

Окончательный вид сечения с другого ракурса:

12 комментариев

Вдохновение нужно в геометрии

не меньше, чем в поэзии.

А.С. Пушкин

Содержание

• Введение
• Сечение в разных областях
• Основные определения и понятия
• Базовые задачи
• Примеры
• Методы

При изучении курса стереометрии большое значение имеет изображение пространственных фигур. При построении рисунка, изображающего пространственную фигуру, следует позаботится о том, чтобы

• на чертеже были бы видны основные линии и углы;
• положение изображаемого тела было оптимальным;
• по разному отмечены видимые и невидимые линии;
• правильно построены сечения и проекции на плоскость.

Пространственная задача сводится к одной или нескольким планиметрическим задачам при помощи различных приемов. Обратимся к методу сечений. Этот метод часто помогает найти наиболее эффективный способ решения стереометрической задачи.

• Цель: повторить способы построения сечений многогранников, способствовать развитию пространственных представлений, выработке практических навыков в построении сечений многогранников плоскостью.
• Примечание: работа не содержит сложных случаев построения сечений

К содержанию

Сечения в медицине

Сечения в истории и археологии

Сечения в архитектуре

К содержанию

Золотое сечение пирамиды Хеопса

Основные определения

• Сечением многогранника P плоскостью называется фигура, состоящая из общих точек многогранника P и плоскости β
• Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью.
• Фигура, которая образуется при пересечении тела плоскостью (т.е. общая часть тела и секущей плоскости), называется сечением тела .

При построении сечения многогранника, плоскостью α следует иметь в виду, что:

• Построение сечения сводится к построению линий пересечения плоскости α с гранями многогранника.
• Сечение однозначно определяется тремя точками многоугольника.
• Если точки сечения лежат на ребрах многогранника, то они являются вершинами многоугольника, который получится в сечении.
• Если точки сечения лежат на гранях многогранника, то они лежат на сторонах многоугольника, который получится в сечении.
• Если сечение пересекает две параллельные грани, то и отрезки (стороны многоугольника, который получится в сечении) будут параллельны.

Осуществляя контроль за правильностью построения сечений многогранника, следует иметь в виду, что:

• Если многогранник выпуклый, то сечение – выпуклый многоугольник.
• Вершины многоугольника всегда лежат на ребрах многогранника.
• Если точки сечения лежат на ребрах многогранника, то они являются вершинами многоугольника, который получится в сечении.
• Если точки сечения лежат на гранях многогранника, то они лежат на сторонах многоугольника, который получится в сечении.
• Две стороны многоугольника, который получится в сечении, не могут принадлежать одной грани многогранника.
• Если сечение пересекает две параллельные грани, то и отрезки (стороны многоугольника, который получится в сечении) будут параллельны.

К содержанию

Базовые задачи

• Если две плоскости имеют две общие точки, то прямая, проведенная через эти точки, является линией пересечения этих плоскостей.

D 1

C 1

S

A 1

B 1

Q

N

N

P

B

A

M

Q

D

C

C

M

B

A

M є ABC, N є SBC, C; SABC- тетраэдр .

• C є ABC, M є ABC, CM ∩ AB=P.
• C є SBC, N є SBC, CN ∩ SB=Q.
• P є ABS, Q є ABS, PQ.

M є AD, N є DCC1, D1 ; BCDA1B1C1D1- куб

• M є ADD 1 , D1 є ADD 1 , MD 1 .
• D 1 є D 1 DC, N є D 1 DC, D1N ∩ DC=Q.
• M є ABC, Q є ABC, MQ.

Базовые задачи

II. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны .

C 1

D 1

S

М

A 1

N

B 1

M

B

K

А

D

C

C

K

B

A

M є AS, α ||ABC; SABC- тетраэдр.

• MN||AB, N є SB.
• MK||AC, K є SC.
• KN.

M є CC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- куб.

• MK||AD 1 , K є BC.
• M є DCC1, D 1 є DCC 1 , MD 1 .
• A є ABC, K є ABC, AK.

Базовые задачи

III. Общая точка трех плоскостей (вершина трехгранного угла) является общей точкой линий их парного пересечения (ребер трехгранного угла).

S

F 3

M

Q

C 1

D 1

K

N

B 1

F

B

A 1

А

K

L

P

N

С

M є SA, N є SB, K є BC, SABC- тетраэдр.

1 Плоскости α , SAB, ABC образуют трехгранный угол, вершиной которого является точка F. AB∩MN=F.

2. FK∩AC=P.

3. P є SAC, M є SAC, MP .

C

D

F 2

P

A

B

M

F 1

M є AB, N є AA 1 , K є A1D 1 ; ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб.

• NK∩AD=F 1 – вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , ABC, ADD 1 .
• F 1 M∩CD=F 2 – вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , ABC, CDD 1 . F 1 M ∩BC=P.
• NK∩DD 1 =F 3 – вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , D 1 DC, ADD 1 .
• F 3 F 2 ∩D 1 C 1 =Q, F 3 F 2 ∩CC 1 =L.

1) Сечение параллелепипеда по трем точкам,

лежащим на трех параллельных ребрах (случай 1)

2) Сечение параллелепипеда по трем точкам,

лежащим на трех параллельных ребрах ( случай 2 )

3) Сечение параллелепипеда по трем точкам,

не лежащим на трех параллельных ребрах ( случай 1)

4) сечение параллелепипеда по трем точкам,

лежащим на трех соседних ребрах.

5) Маленькая проверка

К содержанию

Сечение параллелепипеда по трем точкам,

лежащим на трех параллельных ребрах (случай 1)

D 1

Q

C 1

Построение:

• Отрезок MN.
• Отрезок N Р .
• Р Q II MN,

PQ ∩ C 1 D 1 = Q.

• MR II NP,

MR ∩ A 1 D 1 = R.

• Отрезок QR.
• MN Р QR – искомое сечение.

R

A 1

B 1

P

М

D

C

N

B

A

Строим сечение параллелепипеда по трем точкам,

лежащим на трех параллельных ребрах ( случай 2 )

D 1

C 1

Q

Построение:

• Отрезок MN.
• Отрезок N Р .
• Р Q II MN .
• PQ ∩ DD 1 = Q.
• MQ II NP.
• MN Р Q – искомое сечение.

A 1

B 1

P

М

D

C

N

A

B

Строим сечение параллелепипеда по трем точкам,

не лежащим на трех параллельных ребрах ( случай 1)

C 1

D 1

P

Построение:

• Отрезок MN.
• Отрезок N Р .
• Р Q II MN .
• PQ ∩ А 1 В 1 = Q.
• Отрезок MQ.
• MN Р Q – искомое сечение.

B 1

A 1

Q

D

C

N

B

A

М

Строим сечение параллелепипеда по трем точкам,

лежащим на трех соседних ребрах .

C 1

D 1

B 1

A 1

Построение:

• Отрезок MN.
• Отрезок N Р .
• Отрезок M Р .
• Δ MN Р – искомое сечение.

P

D

C

N

B

A

М

Верно ли построено сечение?

P

C 1

D 1

C 1

М

P

B 1

B 1

A 1

N

D

C

D

C

Q

A

N

B

A

М

На рисунке слева сечение построено правильно, а справа нет, правильный вариант построения будет такой:

C 1

P

Построение:

• Отрезок MP.
• Отрезок MN.
• Отрезок NC.
• MNC Р – искомое сечение.

М

B 1

D

C

A

N

Построить сечения, проходящее через данные точки

К содержанию

Все рассмотренные ранее построения плоских сечений многогранников осуществлялись на основании аксиом стереометрии и теорем о параллельности прямых и плоскостей.

Вместе с тем, существуют определенные методы построения плоских сечений многогранников Наиболее эффективными в школьном курсе геометрии являются следующие три метода :

• метод следов;
• метод внутреннего проектирования;
• комбинированный метод.

Определение : Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания

Алгоритм

• Строим проекции K ‘, L ‘, M ‘ данных точек K , L , M на плоскость основания (параллельно боковым ребрам в случае призм и из вершины пирамиды как из центра проекции в случае пирамид); эту плоскость называют основной . Если какие-то из данных точек принадлежат основной плоскости, их проекции, конечно, строить не надо.
• Пересекая прямые ( KL , LM , MK ), соединяющие данные точки, с их проекциями, находим точки пересечения этих прямых с основной плоскостью. Проходящая через них прямая есть след сечения на основании. Чтобы ее провести, достаточно найти хотя бы две ее точки.
• Находим точки пересечения следа со сторонами основания или их продолжениями. Используя эти точки и те из данных точек, которые лежат на боковой поверхности многогранника, последовательно находим вершины сечения на боковых ребрах (как показано в примере), а в случае призмы – и на сторонах второго основания.

рассмотрим на примере задача №1

Построение:

• Х= l ∩ CD
• N=MX ∩ CC 1
• Y=l ∩ BC
• P=NY ∩ BB 1
• Z=l ∩ AB
• Q=PZ ∩ AA 1
• T=l ∩ AE
• R=QT ∩ EE 1

9. MN Р Q – искомое сечение.

В некоторых учебных пособиях метод построения сечений многогранников, который мы сейчас будем рассматривать, называют методом внутреннего проектирования или методом соответствий, или методом диагональных сечений. Мы примем первое название метода.

Сущность метода внутреннего проектирования рассмотрим на примерах построения сечений призмы и пирамиды.

Алгоритм построения сечения методом внутреннего проектирования.

• Построить вспомогательные сечения и найти линию их пересечения.
• Построить след сечения на ребре многогранника.
• Если точек сечения не хватает для построения самого сечения повторить пп.1-2.

Пусть H- точка пересечения диагоналей AC и BD . Проведя прямую HH 1 параллельную ребру BB 1 (H 1 є RQ) , построим точку F : F=PH1 ∩ CC1. Точка F- это точка пересечения секущей плоскости с ребром CC1. Точка прямая RF- это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани CC1D1D , прямая QF- это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани BCC1B1. Так как плоскость ABB1 параллельна плоскости CDD1 , то секущая плоскость пересекает грань ABB1A1 по прямой QM (М є A1B1) , параллельной прямой FR . Далее, если E- точка пересечения прямых MP и A1D1 , то эта точка является точкой пересечения секущей плоскости и ребра A1D1 .

Пятиугольник ERFQM- искомое сечение.

Построить сечение методом проектирования

Сущность комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в том, что на некоторых этапах построения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проектирования, а на других этапах построение этого сечения осуществляется с использованием теорем, изученных в разделе “ Параллельность в пространстве ” и др.

Задача. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью α , заданной точками P, Q, и R , если точка P лежит на диагонали A 1 C 1 , точка Q- на ребре BB 1 и точка R- на ребре DD 1

Решение этой задачи с применением метода следов и теорем о параллельности прямых и плоскостей

Решение этой задачи, применяя метод внутреннего проектирования и теоремы о параллельности прямых и плоскостей

К содержанию

Практическое занятие : «Параллелепипед. Построение сечений параллелепипеда ».

1. Цель практической работы: . Закрепить знания теоретического материала о многогранниках, навыки решения задач на построение сечений, умения анализировать чертеж.

2.Дидактическое оснащение практической работы: АРМ, модели и развёртки многогранников, измерительные инструменты, ножницы, клей, плотная бумага.

Время:2 часа

Задания к работе:

Задание 1

Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки M, N, P, лежащие, на прямых, соответственно, A₁ B_1, АD, DC

Образец и последовательность решения задачи:

1.Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.

2.Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.

3.Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА₁ в некоторой точке Х.

4.Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D, соединим их и получим прямую XN.

5.Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A₁B₁C₁D₁, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В₁С₁ в точке Y.

6.Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

Задание 2

Вариант1. Построить сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью, заданной следующими точками M, N и P

 1 Уровень: Все три точки лежит на рёбрах, выходящих из вершиныА

2 Уровень. M лежит в грани AA1D1D, N лежит в грани АА1В1В, P лежит в грани СС1D1D.

3 Уровень. M лежит на диагонали B1D, N лежит на диагонали АС1, P лежит на ребре С1D1.

Вариант2. Построить сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью, проходящей через прямую DQ, где точка Q лежит на ребре СС1 и точку Р, заданную следующим образом

 1 Уровень: Все три точки лежит на рёбрах, выходящих из вершиныС

 2 Уровень: М лежит на продолжении ребра А1В1, причем точка А1 находится между точками В1 и Р.

 3 Уровень: Р лежит на диагонали В1D

Порядок выполнения работы:

1.Изучите теоретический материал по темам:

Параллелепипед.

Прямой параллелепипед.

Наклонный параллелепипед.

Противолежащие грани параллелепипеда.

Свойства диагоналей параллелепипеда.

Понятие секущей плоскости и правила её построения.

Какие виды многоугольников получаются в сечении куба и параллелепипеда.

2. Постройте параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁

3.Разберите решение задачи № 1

4.Последовательно постройте сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки P, Q, R задачи № 1.

5.Постройте ещё три параллелепипеда и выделите на них сечения к задачам 1, 2, и 3 уровней

Критерии оценивания:

Литература: Атанасян Л.С. Геометрия: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. – М.: Просвещение, 2010г Зив Б.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. – М.: Просвещение, 2010. В. Н. ЛитвиненкоЗадачи на развитие пространственных представлений. Книга для учителя. – М.: Просвещение, 2010г

Дидактический материал к заданию практического занятия

К задаче № 1:

Некоторые возможные сечения:

Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через данные точки

Ответы к практической работе.

Метод сечений многогранников в стереометрии
используется в задачах на построение. В его
основе лежит умение строить сечение
многогранника и определять вид сечения.

Данный материал характеризуется следующим
особенностями:

1. Метод сечений применяется только для
   многогранников, так как различные сложные
   (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в
   программу средней школы.
2. В задачах используются в основном простейшие
   многогранники.
3. Задачи представлены в основном без числовых
   данных, чтобы создать возможность их
   многовариантного использования.

Чтобы решить задачу построения сечения
многогранника ученик должен знать:

• что значит построить сечение многогранника
  плоскостью;
• как могут располагаться относительно друг
  друга многогранник и плоскость;
• как задается плоскость;
• когда задача на построение сечения
  многогранника плоскостью считается решенной.

Поскольку плоскость определяется:

• тремя точками;
• прямой и точкой;
• двумя параллельными прямыми;
• двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в
зависимости от задания этой плоскости. Поэтому
все способы построения сечений многогранников
можно разделить на методы.

Существует три основных метода построения
сечений многогранников:

1. Метод следов.
2. Метод вспомогательных сечений.
3. Комбинированный метод.

Первые два метода являются разновидностями Аксиоматического
метода построения сечений.

Можно также выделить следующие методы
построения сечений многогранников:

• построение сечения многогранника плоскостью,
  проходящей через заданную точку параллельно
  заданной плоскости;
• построение сечения, проходящего через заданную
  прямую параллельно другой заданной прямой;
• построение сечения, проходящего через заданную
  точку параллельно двум заданным скрещивающимся
  прямым;
• построение сечения многогранника плоскостью,
  проходящей через заданную прямую
  перпендикулярно заданной плоскости;
• построение сечения многогранника плоскостью,
  проходящей через заданную точку перпендикулярно
  заданной прямой.

В федеральный перечень учебников по геометрии
для 10-11 класов входят учебники авторов:

• Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. и др
  (Геометрия, 10-11);
• Погорелова А.В. (Геометрия, 7-11);
• Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рыжик В.И.
  (Геометрия, 10-11);
• Смирновой И.М. (Геометрия, 10-11);
• Шарыгина И.Ф. (Геометрия, 10-11).

Рассмотрим подробнее учебники Л.С, Атанасяна и
Погорелова А.В.

В учебнике Л.С. Атанасяна на тему “Построение
сечений многогранников” выделено два часа. В 10
классе в теме “Параллельность прямых и
плоскостей” после изучения тетраэдра и
параллелепипеда отводится один час на изложение
параграфа “Задачи на построение сечений”.
Рассматриваются сечения тетраэдра и
параллелепипеда. И тема “Параллельность прямых
и плоскостей” завершается решением задач на
одном или двух часах (всего задач на построение
сечений в учебнике восемь).

В учебнике Погорелова А.В. на построение
сечений отводится около трех часов в главе
“Многогранники”: один – на изучение темы
“Изображение призмы и построение ее сечений”,
второй – на изучение темы “Построение пирамиды
и ее плоских сечений” и третий – на решение
задач. В списке задач, приведенных после темы,
задач на сечение насчитывается всего около
десяти.

Мы предлагаем систему уроков по теме
“Построение сечений многогранников” для
учебника Погорелова А.В.

Материал предлагается расположить в той
последовательности, в какой он может применяться
для обучения учащихся. Из изложения темы
“Многогранники” предлагается исключить
следующие параграфы: “Построение сечений
призмы” и “Построение сечений пирамиды” с тем,
чтобы систематизировать данный материал в конце
этой темы “Многогранники”. Классифицировать
его по тематике задач с примерным соблюдением
принципа “от простого к сложному” можно весьма
условно следующим образом:

1. Определение сечения многогранников.
2. Построение сечений призмы, параллелепипеда,
   пирамиды методом следов. (Как правило в школьном
   курсе стереометрии используются задачи на
   построение сечений многогранников, решаемые
   основными методами. Остальные методы, в связи с
   их более высоким уровнем сложности, учитель
   может оставить для рассмотрения на
   факультативных занятиях или на самостоятельное
   изучение. В задачах на построение основными
   методами требуется построить плоскость сечения,
   проходящую через три точки).
3. Нахождение площади сечений в многогранниках
   (без использования теоремы о площади
   ортогональной проекции многоугольника).
4. Нахождение площади сечений в многогранниках (с
   применением теоремы о площади ортогональной
   проекции многоугольника).

СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ И МЕТОДИКА ИХ
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НА УРОКАХ В 10-11 КЛАССАХ.

(система уроков и факультативных
занятий по теме “Построение сечений
многогранников”)

УРОК 1.

Тема урока: “Построение сечений
многогранников”.

Цель урока: ознакомление с методами
построений сечений многогранников.

Этапы урока:

1. Актуализация опорных знаний.
2. Постановка задачи.
3. Изучение нового материала:

А) Определение сечения.

Б) Методы построений сечений:

а) метод следов;

б) метод вспомогательных сечений;

в) комбинированный метод.

1. Закрепление материала.

Примеры построений сечений методом следов.

1. Подведение итогов урока.

Тест.

Ход урока.

1. Актуализация опорных знаний.

Вспомним:
– пересечение прямой с плоскостью;
– пересечение плоскостей;
– свойства параллельных плоскостей.

2. Постановка задачи.

Вопросы к классу:
– Что значит построить сечение многогранника
плоскостью?
– Как могут располагаться относительно друг
друга многогранник и плоскость?
– Как задается плоскость?
– Когда задача на построение сечения
многогранника плоскостью считается решенной?

3. Изучение нового материала.

А) Итак, задача состоит в построении
пересечения двух фигур: многогранника и
плоскости ( рис.1). Это могут быть: пустая фигура
(а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г). Если
пересечение многогранника и плоскости есть
многоугольник, то этот многоугольник называется сечением
многогранника плоскостью.

Рис. 1

Будем рассматривать только случай, когда
плоскость пересекает многогранник по его
внутренности. При этом пересечением данной
плоскости с каждой гранью многогранника будет
некоторый отрезок. Таким образом, задача
считается решенной, если найдены все отрезки, по
которым плоскость пересекает грани
многогранника.

Исследуйте сечения куба (рис.2) и ответьте на
следующие вопросы:

Рис. 2

– какие многоугольники получаются в сечении
куба плоскостью? (Важно число сторон
многоугольника);

[ Предполагаемые ответы: треугольник,
четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.]

– может ли в сечении куба плоскостью получиться
семиугольник? А восьмиугольник и т.д.? Почему?

Давайте рассмотрим призму и ее возможные
сечения плоскостью ( на модели). Какие
многоугольники получаются?

Какой можно сделать вывод? Чему равно
наибольшее число сторон многоугольника,
полученного сечением многогранника с
плоскостью?

[ Наибольшее число сторон многоугольника,
полученного в сечении многогранника плоскостью,
равно числу граней многогранника.]

Б) а) Метод следов заключается в построении
следов секущей плоскости на плоскость каждой
грани многогранника. Построение сечения
многогранника методом следов обычно начинают с
построения так называемого основного следа
секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости
на плоскости основания многогранника.

б) Метод вспомогательных сечений
построения сечений многогранников является в
достаточной мере универсальным. В тех случаях,
когда нужный след (или следы) секущей плоскости
оказывается за пределами чертежа, этот метод
имеет даже определенные преимущества. Вместе с
тем следует иметь ввиду, что построения,
выполняемые при использовании этого метода,
зачастую получаются “скученными”. Тем не менее
в некоторых случаях метод вспомогательных
сечений оказывается наиболее рациональным.

Метод следов и метод вспомогательных сечений
являются разновидностями аксиоматического
метода построения сечений многогранников
плоскостью.

в) Суть комбинированного метода построения
сечений многогранников состоит в применении
теорем о параллельности прямых и плоскостей в
пространстве в сочетании с аксиоматическим
методом.

А теперь на примере решения задач рассмотрим метод
следов.

4. Закрепление материала.

Задача 1.

Построить сечение призмы ABCDA₁B₁C₁D₁
плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки
указаны на чертеже (рис.3)).

Решение.

Рис. 3

1. Построим след секущей плоскости на плоскость
   нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА₁В₁В.
   В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем
   прямую PQ.
2. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит
   сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим
   точку S₁, принадлежащую следу.
3. Аналогично получаем точку S₂ пересечением
   прямых QR и BC.
4. Прямая S₁S₂ – след секущей плоскости
   на плоскость нижнего основания призмы.
5. Прямая S₁S₂ пересекает сторону AD в
   точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U,
   так как они лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D.
   Аналогично получаем TU и RT.
6. PQRTU – искомое сечение.

Задача 2.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁
плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки
указаны на чертеже (рис.4)).

Решение.

Рис. 4

1. Точки N и P лежат в плоскости сечения и в
   плоскости нижнего основания параллелепипеда.
   Построим прямую, проодящую через эти точки. Эта
   прямая является следом секущей плоскости на
   плоскость основания параллелепипеда.
2. Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB
   параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в
   некоторой точке S. Эта точка принадлежит
   плоскости сечения.
3. Так как точка M также принадлежит плоскости
   сечения и пересекает прямую АА₁ в некоторой
   точке Х.
4. Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D,
   соединим их и получим прямую XN.
5. Так как плоскости граней параллелепипеда
   параллельны, то через точку M можно провести
   прямую в грани A₁B₁C₁D₁,
   параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет
   сторону В₁С₁ в точке Y.
6. Аналогично проводим прямую YZ, параллельно
   прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое
   сечение – MYZPNX.

Задача 3 ( для самостоятельного
решения).

Построить сечение тетраэдра DACB плоскостью,
проходящей через точки M, N, P (точки указаны на
чертеже (рис.5)).

Рис. 5

5. Подведение итогов урока.

Ответьте на вопрос: являются ли закрашенные
фигуры сечениями изображенных многогранников
плоскостью PQR? И выполните правильное построение
(рис. 6).

Вариант 1.

а)

б)

в)

г)

д)

Вариант 2.

УРОК 2.

Тема урока: НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ.

Цель урока: познакомить со способами
нахождения площади сечения многогранника.

Этапы урока:

1. Актуализация опорных знаний.

Вспомнить теорему о площади ортогональной
проекции многоугольника.




2. Решение задач на нахождение площади сечения:

– без использования теоремы о площади
ортогональной проекции многоугольника;

– с использованием теоремы о площади
ортогональной проекции многоугольника.

3. Подведение итогов урока.

Ход урока.

1. Актуализация опорных знаний.

Вспомним теорему о площади ортогональной
проекции многоугольника: площадь
ортогональной проекции многоугольника на
плоскость равна произведению его площади на
косинус угла между плоскостью многоугольника и
плоскостью проекции.

2. Решение задач.

Задача 1.

ABCD – правильная треугольная пирамида со
стороной основания AB равной а и высотой DH
равной h. Постройте сечение пирамиды
плоскостью, проходящей через точки D, C и М, где М –
середина стороны АВ, и найдите его площадь (рис.7).

Решение.

Сечением пирамиды является треугольник MCD.
Найдем его площадь.

1. Так как основание пирамиды – равносторонний
   треугольник и точка М – середина стороны, то СМ
   является высотой и тогда, СМ = .




2. Площадь треугольника можно найти:

S = 1/2 · DH · CM = 1/2 · =

Рис.7

Задача 2.

Найти площадь сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁
с ребром а плоскостью, проходящей через
вершину D и точки Е и F на ребрах А₁D₁ и C₁D₁
соответственно, если A₁E = k · D₁E и C₁F
= k · D₁F.

Решение.

Построение сечения:

1. Поскольку точки Е и F принадлежат плоскости
   сечения и плоскости грани A₁B₁C₁D₁,
   а две плоскости пересекаются по прямой, то прямая
   EF будет являться следом секущей плоскости на
   плоскость грани A₁B₁C₁D₁
   (рис.8).
2. Аналогично получаются прямые ED и FD.
3. EDF – искомое сечение.

Рис.8.

Задача 3 (для самостоятельного решения).

Построить сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁
со стороной а плоскостью, проходящей через
точки B, M и N, где Ь – середина ребра АА₁, а N –
середина ребра СС₁.

Решение.

Сечение строим методом следов.

Площадь сечения находим с помощью теоремы о
площади ортогональной проекции многоугольника.
Ответ: S = 1/2 · a².