Как найти сектор от диаметра окружности
Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр данной окружности называется центром круга, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом круга:
O — центр круга, OA — радиус круга.
Площадь круга
Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:
где S — площадь круга, а r — радиус круга.
Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:
Следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:
| S = π( | D | ) 2 = π | D 2 | = π | D 2 | . |
| 2 | 2 2 | 4 |
Сектор круга. Площадь сектора
Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Два радиуса разделяют круг на два сектора:
Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит n°, надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.
Формула площади сектора:
| S = | πr 2 | · n = | πr 2 n | , |
| 360 | 360 |
где S — площадь сектора. Выражение
можно представить в виде произведения
| πr 2 n | = n · | πr | · | r | , |
| 360 | 180 | 2 |
| где | nπr | — это длина дуги сектора. |
| 180 |
Следовательно, площадь сектора равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:
где S — это площадь сектора, s — длина дуги данного сектора, r — радиус круга.
Сегмент. Площадь сегмента
Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:
Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.
Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:
где S — это площадь сегмента, r — радиус круга, s — длина дуги AB, а BC — длина половины хорды двойной дуги.
Сегмент круга
Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента – по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.
Сегмент круга
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:
Нахождение площади сектора круга
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их практического применения.
Определение сектора круга
Сектор круга – это часть круга, образованная двумя его радиусами и дугой между ними. На рисунке ниже сектор закрашен зеленым цветом.
- AB – дуга сектора;
- R (или r) – радиус круга;
- α – это угол сектора, т.е. угол между двумя радиусами. Также его иногда называют центральным углом.
Формулы нахождения площади сектора круга
Через длину дуги и радиус круга
Площадь (S) сектора круга равняется одной второй произведения длины дуги сектора (L) и радиуса круга (r).
Через угол сектора (в градусах) и радиус круга
Площадь (S) сектора круга равняется площади круга, умноженной на угол сектора в градусах ( α°) и деленной на 360°.
Через угол сектора (в радианах) и радиус круга
Площадь (S) сектора круга равняется половине произведения угла сектора в радианах (aрад) и квадрата радиуса круга.
Примеры задач
Задание 1
Дан круг радиусом 6 см. Найдите площадь сектора, если известно, что длина его дуги составляет 15 см.
Решение
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее заданные значения:
Задание 2
Найдите угол сектора, если известно, что его площадь равна 78 см 2 , а радиус круга – 8 см.
Решение
Выведем формулу для нахождения центрального угла из второй формулы, рассмотренной выше:
[spoiler title=”источники:”]
http://planetcalc.ru/1421/
[/spoiler]
Площадь сегмента круга
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Площадь сегмента круга
Чтобы посчитать площадь сегмента круга воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
По углу и радиусу
Угол α =
Радиус r =
Площадь сегмента круга
Sск =
0
Округление ответа: Округление числа π:
По длине хорды и высоте сегмента
Хорда c =
Высота сегмента h =
Площадь сегмента круга
Sск =
0
Округление ответа:
По высоте и радиусу (или диаметру)
=
Высота сегмента h =
Площадь сегмента круга
Sск =
0
Округление ответа:
Просто введите данные и получите ответ.
Теория
Площадь сегмента окружности через угол и радиус
Чему равна площадь сегмента окружности Sск, если её радиус r, а угол сегмента α ?
Формула
В градусах:
Sск = r²2 ⋅ (π ⋅ α180° – sin α)
В радианах:
Sск = r²2 ⋅ (α – sin α)
Пример
К примеру, посчитаем площадь сегмента круга, имеющего радиус r = 2 см, а угол сегмента ∠α = 45°:
Sск = 2²2 ⋅ (3.14 ⋅ 45180 – sin 45) = 2 ⋅ (0.785 – 0.707) = 0.156 см²
Площадь сегмента окружности через хорду и высоту сегмента
Чему равна площадь сегмента окружности Sск, если длина хорды c, а высота сегмента h ?
Чтобы посчитать площадь сегмента, нам для начала потребуется вычислить радиус окружности r и угол сегмента α. А затем воспользоваться формулой площади сегмента из предыдущего параграфа.
Формула
Радиус круга:
r = c² + 4h²8h
Угол сегмента:
∠α = 2 ⋅ arcsinc2r
Пример
К примеру, посчитаем площадь сегмента круга, имеющего высоту h = 2 см и длину хорды c = 5 см:
r = 5² + 4⋅2²8⋅2 = 25 + 1616 = 2.5625 см∠α = 2 ⋅ arcsin52 ⋅ 2.5625 = 2 ⋅ arcsin 0.9756 ≈ 2.7 radSск = 2.5625²2 ⋅ (2.7 – sin 2.7) = 3.2832 ⋅ (2.7 – 0,427) = 7.46 см²
Площадь сегмента окружности через высоту и радиус (или диаметр)
Чему равна площадь сегмента окружности Sск, если его высота h, а радиус r ?
Если нам известен не радиус, а диаметр, то делим его на 2 и получаем радиус (r = d ÷ 2).
Далее нам остаётся определить угол сегмента α. А затем воспользоваться формулой площади сегмента, описанной выше.
Формула
Угол сегмента:
∠α = 2 ⋅ arccosr – hr
Пример
К примеру, посчитаем площадь сегмента круга, имеющего высоту h = 1 см, а диаметр окружности d = 4 см:
r = 4 ÷ 2 = 2 см
∠α = 2 ⋅ arccos2 – 12 = 2 ⋅ arccos 0.5 = 2.094 radSск = 2²2 ⋅ (2.094 – sin 2.094) = 2 ⋅ (2.094 – 0.866) = 2.456 см²
См. также
Геометрия круга
Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии?..
Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.
- Окружность — линия, ограничивающая круг.
- Дуга — часть окружности.
- Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
- Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
- Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
- Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.
Интересующие нас величины и их обозначения:
Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.
- Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
- Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
- Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.
Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.
Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).
И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.
И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.
1. Даны диаметр D и длина дуги L
; длина хорды 
;
высота сегмента 
; центральный угол 
.
2. Даны диаметр D и длина хорды X
; длина дуги 
;
высота сегмента ; центральный угол 
.
Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол 
.
3. Даны диаметр D и центральный угол φ
; длина дуги ;
длина хорды ; высота сегмента .
4. Даны диаметр D и высота сегмента H
; длина дуги ;
длина хорды ; центральный угол .
6. Даны длина дуги L и центральный угол φ
; диаметр 
;
длина хорды ; высота сегмента .
8. Даны длина хорды X и центральный угол φ
; длина дуги 
;
диаметр ; высота сегмента .
9. Даны длина хорды X и высота сегмента H
; длина дуги ;
диаметр ; центральный угол .
10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H
; диаметр 
;
длина дуги ; длина хорды .
Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:
5. Даны длина дуги L и длина хорды X
7. Даны длина дуги L и высота сегмента H
Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?
Задача эта сводится к решению уравнений:
; — в варианте 5
; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем Segment. Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.
Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:
длина окружности 
;
площадь круга 
;
площадь сектора 
;
площадь сегмента 
;
И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.
Программа Segment
В этом простом онлайн-калькуляторе для нахождения величин сектора круга можно быстро определить длину дуги сектора, зная площадь, периметр или центральный угол сектора. Для этого нужно заполнить по одному пустующему слота в калькуляторах окружности и сектора окружности, после чего нажать на кнопку “Рассчитать”. В результате высветятся все недостающие значения вместе с формулами.
Калькулятор окружности:
Достаточно заполнить только одну ячейку — остальное калькулятор посчитает сам.
Периметр или длина окружности (P)
Калькулятор сектора окружности:
Достаточно ввести только одно значение и указать радиус окружности — остальное калькулятор посчитает сам.
Центральный угол сектора в градусах (α)
Площадь сектора окружности (S1)
Калькулятор сегмента окружности:
Достаточно ввести только одно* значение и указать радиус окружности — остальное калькулятор посчитает сам.
Исключения:
* – при известном периметре (P2) нужно дополнительно указать длину дуги (l1) или хорды (c).
* – при известной площади (S2) нужно дополнительно указать длину хорды (c) или высоты (h).
Угол сегмента в градусах (α1)
Площадь сегмента окружности (S2)
Округление:
* – обязательно заполнить
Информация по назначению калькулятора
Сектор круга – это часть окружности внутри круга, состоящая из дуги вместе с ее двумя радиусами. Часть окружности (также известная как дуга) и 2 радиуса окружности встречаются в обеих конечных точках дуги, образуя сектор. Форма сектора круга выглядит как кусочек пиццы или пирога. В геометрии круг – одна из самых совершенных фигур. Форма сектора окружности – самая простая форма в геометрии. У него есть свои собственные различные части. Например, диаметр, радиус, окружность, сегмент, сектор.
Круг разделен на два сектора, и разделенные части известны как второстепенные сектора и главные сектора.
Большая часть круга является основным сектором, в то время как меньшая часть является второстепенным сектором.
В случае полукругов окружность делится на два сектора одинакового размера.
2 радиуса встречаются в части окружности круга, известной как дуга, образуя сектор окружности.
Онлайн калькулятор предназначен для нахождения параметров сектора круга, таких как:
- Площадь сектора
- Длина дуги
- Радиус
- Периметр сектора
- Центральный угол сектора в градусах и радианах
– это объем пространства, занимаемого в пределах границы сектора круга. Сектор всегда начинается с центра круга. Полукруг также является сектором круга, в данном случае круг имеет два сектора одинакового размера.
Можно найти зная радиус и центральный угол в градусах (Ssek = ( α / 360° ) * πr2)
– находится путем умножения радиуса на центральный угол сектора в радианах (L = r * α)
– равен сумме длины дуги и двум радиусам (Psek = L + r + r)
