Как найти секущую параллелограмма

Параллелограмм: свойства и признаки

О чем эта статья:

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
   Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
2. Противоположные углы параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
   ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
   ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
   • CO = AO
   • BO = DO

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB || CD
• AB = CD

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

1. AC — общая сторона;
2. По условию AB = CD;
3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB = CD
• BC = AD

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

• AC — общая сторона;
• AB = CD по условию;
• BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

• CO = OA;
• DO = BO;
• углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Параллелограмм

Определение

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теорема (первый признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть в четырехугольнике (ABCD) стороны (AB) и (CD) параллельны и (AB = CD) .

Проведём диагональ (AC) , разделяющую данный четырехугольник на два равных треугольника: (ABC) и (CDA) . Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними ( (AC) – общая сторона, (AB = CD) по условию, (angle 1 = angle 2) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых (AB) и (CD) секущей (AC) ), поэтому (angle 3 = angle 4) . Но углы (3) и (4) накрест лежащие при пересечении прямых (AD) и (BC) секущей (AC) , следовательно, (ADparallel BC) . Таким образом, в четырехугольнике (ABCD) противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник (ABCD) – параллелограмм.

Теорема (второй признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Проведём диагональ (AC) данного четырехугольника (ABCD) , разделяющую его на треугольники (ABC) и (CDA) .

Эти треугольники равны по трем сторонам ( (AC) – общая, (AB = CD) и (BC = DA) по условию), поэтому (angle 1 = angle 2) – накрест лежащие при (AB) и (CD) и секущей (AC) . Отсюда следует, что (ABparallel CD) . Так как (AB = CD) и (ABparallel CD) , то по первому признаку параллелограмма четырёхугольник (ABCD) – параллелограмм.

Теорема (третий признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник (ABCD) , в котором диагонали (AC) и (BD) пересекаются в точке (O) и делятся этой точкой пополам.

Треугольники (AOB) и (COD) равны по первому признаку равенства треугольников ( (AO = OC) , (BO = OD) по условию, (angle AOB = angle COD) как вертикальные углы), поэтому (AB = CD) и (angle 1 = angle 2) . Из равенства углов (1) и (2) (накрест лежащие при (AB) и (CD) и секущей (AC) ) следует, что (ABparallel CD) .

Итак, в четырехугольнике (ABCD) стороны (AB) и (CD) равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник (ABCD) – параллелограмм.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Доказательство

1) Пусть (ABCD) – параллелограмм, (AE) – биссектриса угла (BAD) .

Углы (1) и (2) равны как накрест лежащие при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (AE) . Углы (1) и (3) равны, так как (AE) – биссектриса. В итоге (angle 3 = angle 1 = angle 2) , откуда следует, что треугольник (ABE) – равнобедренный.

2) Пусть (ABCD) – параллелограмм, (AN) и (BM) – биссектрисы углов (BAD) и (ABC) соответственно.

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна (180^<circ>) , тогда (angle DAB + angle ABC = 180^<circ>) .

Так как (AN) и (BM) – биссектрисы, то (angle BAN + angle ABM = 0,5(angle DAB + angle ABC) = 0,5cdot 180^circ = 90^<circ>) , откуда (angle AOB = 180^circ – (angle BAN + angle ABM) = 90^circ) .

3. Пусть (AN) и (CM) – биссектрисы углов параллелограмма (ABCD) .

Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle 2 = 0,5cdotangle BAD = 0,5cdotangle BCD = angle 1) . Кроме того, углы (1) и (3) равны как накрест лежащие при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (CM) , тогда (angle 2 = angle 3) , откуда следует, что (ANparallel CM) . Кроме того, (AMparallel CN) , тогда (ANCM) – параллелограмм, следовательно, (AN = CM) .

[spoiler title=”источники:”]

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/ugly-pri-parallelnyx-pryamyx/

http://shkolkovo.net/theory/61

[/spoiler]

Содержание:

С четырехугольником вы уже знакомились на уроках математики. Дадим строгое определение этой фигуры.

Определение четырехугольника:

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек (вершин четырехугольника) и четырех отрезков, которые их последовательно соединяют (сторон четырехугольника). При этом никакие три его вершины не лежат на одной прямой и никакие две стороны не пересекаются.

На рисунке 1 изображен четырехугольник с вершинами 

Говорят, что две вершины четырехугольника являются соседними вершинами, если они соединены одной стороной; вершины, которые не являются соседними, называют противолежащими вершинами. Аналогично стороны четырехугольника, имеющие общую вершину, являются соседними сторонами, а стороны, не имеющие общих точек,— противолежащими сторонами. На рисунке 1 стороны  — соседние для стороны  а сторона  — противолежащая стороне  вершины  — соседние с вершиной  а вершина  — противолежащая вершине 

Четырехугольник обозначают, последовательно указывая все его вершины, причем буквы, которые стоят рядом, должны обозначать соседние вершины. Например, четырехугольник на рисунке 1 можно обозначить  или  но нельзя обозначать 

Определение

Диагональю четырехугольника называется отрезок, соединяющий две противолежащие вершины.

В четырехугольнике  (рис. 2) диагоналями являются отрезки Следует отметить, что любой четырехугольник имеет диагональ, которая делит его на два треугольника.

Определение

Периметром четырехугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр четырехугольника (как и треугольника) обозначают буквой 

Любой четырехугольник ограничивает конечную часть плоскости, которую называют внутренней областью этого четырехугольника (на рис. 3, а, б она закрашена).

На рисунке 3 изображены два четырехугольника и проведены прямые, на которых лежат стороны этих четырехугольников. В четырехугольнике  эти прямые не проходят через внутреннюю область — такой четырехугольник является выпуклым (рис. 3, а). В четырехугольнике  прямые  проходят через внутреннюю область — этот четырехугольник является невыпуклым (рис. 3, б).

Определение

Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

Действительно, четырехугольник  на рисунке 3, а лежит по одну сторону от любой из прямых  В школьном курсе геометрии мы будем рассматривать только

выпуклые четырехугольники (другие случаи будут оговорены отдельно).

Определение

Углом (внутренним углом) выпуклого четырехугольника  при вершине  называется угол 

Угол, смежный с внутренним углом четырехугольника при данной вершине, называют внешним углом четырехугольника при данной вершине.

Углы, вершины которых являются соседними, называют соседними углами, а углы, вершины которых являются противолежащими,— противолежащими углами четырехугольника.

Теорема (о сумме углов четырехугольника)

Сумма углов четырехугольника равна 

Доказательство:

 В данном четырехугольнике  проведем диагональ, которая делит его на два треугольника (рис. 4). Поскольку  сумма углов четырехугольника  равна сумме всех углов треугольников  и  то есть равна  Теорема доказана. 

Пример:

Углы четырехугольника  соседние с углом  равны, а противолежащий угол  в два раза больше угла  (см. рис. 1). Найдите угол  если 

Решение:

Углами, соседними с углом  являются углы  а углом, противолежащим к  — угол  По условию задачи  Поскольку сумма углов четырехугольника равна  то  Если градусная мера угла  равна  то градусная мера угла  по условию равна  Отсюда имеем:  Следовательно, 

Ответ: 

Определение параллелограмма

Определение параллелограмма

Рассмотрим на плоскости две параллельные прямые, пересеченные двумя другими параллельными прямыми (рис. 7).

В результате такого пересечения образуется четырехугольник, который имеет специальное название — параллелограмм.

Определение

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

На рисунке 7 изображен параллелограмм  в котором 

Пример:

На рисунке 8  Докажите, что четырехугольник  — параллелограмм.

Решение:

Из равенства треугольников  следует равенство углов:  Углы 1 и 2 являются внутренними накрест лежащими при прямых  и секущей  Аналогично углы 3 и 4 являются внутренними накрест лежащими при прямых  и секущей  По признаку параллельности прямых имеем:  Следовательно, в четырехугольнике  противолежащие стороны попарно параллельны, т.е.  — параллелограмм по определению.

Как и в треугольнике, в параллелограмме можно провести высоты (рис. 9).

Определение

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведенный из точки одной стороны к прямой, которая содержит противолежащую сторону.

Очевидно, что к одной стороне параллелограмма можно провести бесконечно много высот (рис. 9, а),— все они будут равны как расстояния между параллельными прямыми, а из одной вершины параллелограмма можно провести две высоты к разным сторонам (рис. 9, б). Часто, говоря «высота параллелограмма», имеют в виду ее длину.

Свойства параллелограмма

Непосредственно из определения параллелограмма следует, что любые два его соседних угла являются внутренними односторонними при параллельных прямых, которые содержат противолежащие стороны. Это означает, что сумма двух соседних углов параллелограмма равна 

Докажем еще несколько важных свойств сторон, углов и диагоналей параллелограмма.

Теорема (свойства параллелограмма)

В параллелограмме:

1. противолежащие стороны равны;
2. противолежащие углы равны;
3. диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Свойства 1 и 2 иллюстрирует рисунок 10, а, а свойство 3 — рисунок 10, б.

Доказательство:

Проведем в параллелограмме  диагональ  (рис. 11) и рассмотрим треугольники  

У них сторона  — общая,  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей  Следовательно,  по второму признаку равенства треугольников. Отсюда, в частности, следует, что  и  А поскольку  то  Следовательно, свойства 1 и 2 доказаны.

Для доказательства свойства 3 проведем в параллелограмме  диагонали  которые пересекаются в точке  (рис. 12).

Рассмотрим треугольники  У них  по доказанному,  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей  Следовательно,  по второму признаку. Отсюда следует, что  т. е. точка  является серединой каждой из диагоналей  и  Теорема доказана полностью. 

Пример №1

Сумма двух углов параллелограмма равна  Найдите углы параллелограмма.

Решение:

Пусть дан параллелограмм  Поскольку сумма двух соседних углов параллелограмма равна  то данные углы могут быть только противолежащими. Пусть  Тогда по свойству углов параллелограмма  Сумма всех углов параллелограмма равна  поэтому 

Ответ: 

Пример №2

В параллелограмме  биссектриса угла  делит сторону  пополам. Найдите периметр параллелограмма, если 

Решение:

Пусть в параллелограмме  биссектриса угла  пересекает сторону  в точке (рис. 13). Заметим, что  поскольку — биссектриса угла  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей  Отсюда  т.е. по признаку равнобедренного треугольника треугольник  — равнобедренный с основанием  значит,  По условию Следовательно, поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, то 

Ответ: 36 см.

Признаки параллелограмма

Теоремы о признаках параллелограмма

Для того чтобы использовать свойства параллелограмма, во многих случаях необходимо сначала убедиться, что данный четырехугольник действительно является параллелограммом. Это можно доказать либо по определению (см. задачу в п. 2.1), либо по признакам — условиям, гарантирующим, что данный четырехугольник — параллелограмм. Докажем признаки параллелограмма, которые чаще всего применяются на практике.

Теорема (признаки параллелограмма)

1. Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
2. Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
3. Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

1) Пусть в четырехугольнике  (рис. 15).

Проведем диагональ  и рассмотрим треугольники  и  Они имеют общую сторону  по условию,  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей  Следовательно, по первому признаку равенства треугольников. Из равенства этих треугольников следует равенство углов 3 и 4. Но эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых  и секущей  Тогда по признаку параллельности прямых  Таким образом, в четырехугольнике  противолежащие стороны попарно параллельны, откуда следует, что  — параллелограмм по определению.

2) Пусть в четырехугольнике  (рис. 16).

Снова проведем диагональ  и рассмотрим треугольники  и  В этом случае они равны по третьему признаку: сторона  — общая,  и  по условию. Из равенства треугольников следует равенство углов 1 и 2, которые являются внутренними накрест лежащими при прямых  и секущей  По признаку параллельности прямых  Следовательно, в четырехугольнике  стороны  параллельны и равны, и по только что доказанному признаку 1  — параллелограмм.

3) Пусть в четырехугольнике  диагонали пересекаются в точке  и  (рис. 17). Рассмотрим треугольники  Эти треугольники равны по первому признаку:  как вертикальные, а  и  по условию. Следовательно, равны и соответствующие стороны и углы этих треугольников:  Тогда  и  — параллелограмм по признаку 1.

Теорема доказана полностью. 

Пример №3

В параллелограмме  точки  — середины сторон  соответственно (рис. 18). Докажите, что четырехугольник  —параллелограмм.

Решение:

Рассмотрим четырехугольник  Стороны  и  параллельны, т.к. лежат на прямых, содержащих противолежащие стороны параллелограмма  Кроме того,  как половины равных сторон параллелограмма  Таким образом, в четырехугольнике  две стороны параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник  — параллелограмм.

Попробуйте самостоятельно найти другие способы решения этой задачи, основанные на применении других признаков и определения параллелограмма.

Необходимые и достаточные условия

Каждый из признаков параллелограмма указывает на определенную особенность, наличия которой в четырехугольнике достаточно для того, чтобы утверждать, что он является параллелограммом. Вообще в математике признаки иначе называют достаточными условиями. Например, перпендикулярность двух прямых третьей — достаточное условие параллельности данных двух прямых.

В отличие от признаков, свойства параллелограмма указывают на ту особенность, которую обязательно имеет любой параллелограмм. Свойства иначе называют необходимыми условиями. Поясним такое название примером: равенство двух углов необходимо для того, чтобы углы были вертикальными, ведь если этого равенства нет, вертикальными такие углы быть не могут.

В случае верности теоремы «Если  то  утверждение  является достаточным условием для утверждения  а утверждение  — необходимым условием для утверждения  Схематически это можно представить так:

Таким образом, необходимые условия (свойства) параллелограмма следуют из того, что данный четырехугольник — параллелограмм; из достаточных условий (признаков) следует то, что данный четырехугольник — параллелограмм.

Сравнивая свойства и признаки параллелограмма, нетрудно заметить, что одно и то же условие (например, попарное равенство противолежащих сторон) является и свойством, и признаком параллелограмма. В таком случае говорят, что условие является необходимым и достаточным. Необходимое и достаточное условие иначе называют критерием. Например, равенство двух углов треугольника — критерий равнобедренного треугольника.

Немало примеров необходимых и достаточных условий можно найти в других науках и в повседневной жизни. Все мы знаем, что воздух — необходимое условие для жизни человека, но не достаточное (человеку для жизни нужно еще много чего, среди прочего — пища). Выигрыш в лотерею — достаточное условие для материального обогащения человека, но оно не является необходимым — ведь улучшить свое финансовое положение можно и другим способом. Попробуйте самостоятельно найти несколько примеров необходимых и достаточных условий.

Виды параллелограммов

Прямоугольник

Определение

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

На рисунке 28 изображен прямоугольник 

Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, он имеет все свойства параллелограмма: противолежащие стороны прямоугольника параллельны и равны, противолежащие углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам и т.д. Однако прямоугольник имеет некоторые особые свойства. Докажем одно из них.

Теорема (свойство прямоугольника)

Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство:

 Пусть дан прямоугольник  с диагоналями  (рис. 29). Треугольники  и  прямоугольные и равны по двум катетам  — общий,  как противолежащие стороны прямоугольника). Отсюда следует равенство гипотенуз этих треугольников, т. е.  что и требовалось доказать. 

Имеет место и обратное утверждение (признак прямоугольника): если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Докажите это утверждение самостоятельно. Таким образом, можно утверждать, что равенство диагоналей параллелограмма — необходимое и достаточное условие (критерий) прямоугольника.

Опорная задача

Если все углы четырехугольника прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник. Докажите.

Решение:

Пусть в четырехугольнике  (см. рис. 28). Углы  являются внутренними односторонними при прямых  и секущей  Поскольку сумма этих углов составляет  то по признаку параллельности прямых  Аналогично доказываем параллельность сторон  Следовательно, по определению параллелограмма  — параллелограмм. А поскольку все углы этого параллелограмма прямые, то  — прямоугольник по определению.

Ромб

Определение

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке 30 изображен ромб 

Он обладает всеми свойствами параллелограмма, а также некоторыми дополнительными свойствами, которые мы сейчас докажем.

Теорема (свойства ромба)

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

Эти свойства ромба иллюстрируются рисунком 31.

Доказательство:

 Пусть диагонали ромба  пересекаются в точке  (рис. 32). Поскольку стороны ромба равны, то треугольник  равнобедренный с основанием  а по свойству диагоналей параллелограмма точка  — середина Следовательно, отрезок  — медиана равнобедренного треугольника, которая одновременно является его высотой и биссектрисой. Это означает, что  т.е. диагонали ромба перпендикулярны, и— биссектриса угла 

Аналогично доказываем, что диагонали ромба являются биссектрисами и других его углов. Теорема доказана. 

Опорная задача

Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник — ромб. Докажите.

Решение:

Очевидно, что в четырехугольнике, все стороны которого равны, попарно равными являются и противолежащие стороны. Следовательно, по признаку параллелограмма такой четырехугольник — параллелограмм, а по определению ромба параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Решая задачи, помещенные в конце этого параграфа, вы докажете другие признаки прямоугольника и ромба.

Квадрат

На рисунке 33 изображен еще один вид параллелограмма — квадрат.

Определение

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Иначе можно сказать, что квадрат — это прямоугольник, который является ромбом. Действительно, поскольку квадрат является прямоугольником и ромбом и, конечно же, произвольным параллелограммом, то:

1. все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны;
2. все углы квадрата прямые;
3. диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и делятся точкой пересечения пополам.

Связь между отдельными видами параллелограммов. Равносильные утверждения

Исходя из определений произвольного параллелограмма и его отдельных видов, мы можем схематически отобразить связь между ними (рис. 34).

На схеме представлены множества параллелограммов, прямоугольников и ромбов. Такой способ наглядного представления множеств называют диаграммами Эйлера — Венна. Диаграмма Эйлера — Венна для параллелограммов демонстрирует, что множества прямоугольников и ромбов являются частями (подмножествами) множества параллелограммов, а множество квадратов — общей частью (пересечением) множеств прямоугольников и ромбов. Диаграммы Эйлера — Венна часто используют для подтверждения или проверки правильности логических рассуждений.

Подытоживая материал этого параграфа, обратим также внимание на то, что возможно и другое определение квадрата: квадратом называется ромб с прямыми углами. В самом деле, оба приведенных определения описывают одну и ту же фигуру. Такие определения называют равносильными. Вообще два утверждения называются равносильными, если они или оба выполняются, или оба не выполняются. Например, равносильными являются утверждения «В треугольнике две стороны равны» и «В треугольнике два угла равны», ведь оба они верны, если рассматривается равнобедренный треугольник, и оба ложны, если речь идет о разностороннем треугольнике.

Равносильность двух утверждений также означает, что любое из них является необходимым и достаточным условием для другого. В самом деле, рассмотрим равносильные утверждения «Диагонали параллелограмма равны» и «Параллелограмм имеет прямые углы». Из того, что диагонали параллелограмма равны, следует, что он является прямоугольником, т.е. имеет прямые углы, и наоборот: параллелограмм с прямыми углами является прямоугольником, т.е. имеет равные диагонали. На этом примере легко проследить логические шаги перехода от признаков фигуры к ее определению и далее — к свойствам. Такой переход довольно часто приходится выполнять в процессе решения задач.

Трапеция

Как известно, любой параллелограмм имеет две пары параллельных сторон. Рассмотрим теперь четырехугольник, который имеет только одну пару параллельных сторон.

Определение

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называют ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. На рисунке 37 в трапеции  стороны  являются основаниями, а  — боковыми сторонами.

Углы, прилежащие к одной боковой стороне, являются внутренними односторонними при параллельных прямых, на которых лежат основания трапеции. По теореме о свойстве параллельных прямых из этого следует, что сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна  На рисунке 37 

Определение

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.

Очевидно, что в трапеции можно провести бесконечно много высот (рис. 38),— все они равны как расстояния между параллельными прямыми.

Чаще всего в процессе решения задач высоты проводят из вершин углов при меньшем основании трапеции.

Частные случаи трапеций

Как среди треугольников и параллелограммов, так и среди трапеций выделяются отдельные виды, обладающие дополнительными свойствами.

Определение

Прямоугольной трапецией называется трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

На рисунке 39 изображена прямоугольная трапеция. У нее два прямых угла при меньшей боковой стороне. Эта сторона одновременно является и высотой трапеции.

Определение

Равнобедренной трапецией называется трапеция, в которой боковые стороны равны.

На рисунке 40 изображена равнобедренная трапеция  с боковыми сторонами  и  Иногда равнобедренную трапецию также называют равнобокой или равнобочной.

У равнобедренной трапеции так же, как и у равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Докажем это в следующей теореме.

Теорема (свойство равнобедренной трапеции)

В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Доказательство:

 Пусть  — данная трапеция, 

Перед началом доказательства заметим, что этой теоремой утверждается равенство углов при каждом из двух оснований трапеции, т. е. необходимо доказать, что 

Проведем высоты  из вершин тупых углов и рассмотрим прямоугольные треугольники  (рис. 41). У них  как боковые стороны равнобедренной трапеции,  как расстояния между параллельными прямыми  Следовательно,  по гипотенузе и катету. Отсюда следует, что  Углы трапеции  также равны, поскольку они дополняют равные углы

Теорема доказана. 

Имеет место также обратное утверждение (признак равнобедренной трапеции):

• если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция является равнобедренной.

Докажите этот факт самостоятельно.

Пример №4

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция  в которой  (рис. 42). По условию задачи треугольник  равнобедренный с основанием  с другой стороны,  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и  и секущей  Пусть градусная мера угла 1 равна  тогда в данной трапеции  Поскольку сумма углов, прилежащих к боковой стороне, составляет  имеем: Следовательно, 

Ответ:

Построение параллелограммов и трапеций

Задачи на построение параллелограммов и трапеций часто решают методом вспомогательного треугольника. Напомним, что для этого необходимо выделить в искомой фигуре треугольник, который можно построить по имеющимся данным. Построив его, получаем две или три вершины искомого четырехугольника, а остальные вершины находим по данным задачи.

Пример №5

Постройте параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними.

Решение:

Пусть  — данные диагонали параллелограмма,  — угол между ними. Анализ

Пусть параллелограмм  построен (рис. 43).

Треугольник  можно построить по двум сторонам и углу между ними 

Таким образом, мы получим вершины  искомого параллелограмма.

Вершины  можно получить, «удвоив» отрезки 

Построение

1.    Разделим отрезки  пополам.

2.    Построим треугольник  по двум сторонам и углу между ними.

3.    На лучах  отложим отрезки  и 

4.    Последовательно соединим точки 

Доказательство:

Четырехугольник  — параллелограмм, поскольку по построению его диагонали  точкой пересечения делятся пополам. В этом параллелограмме  (по построению),

Исследование

Задача имеет единственное решение при любых значениях 

В некоторых случаях для построения вспомогательного треугольника на рисунке-эскизе необходимо провести дополнительные линии.

Пример №6

Постройте трапецию по четырем сторонам.

Решение:

Пусть  — основания искомой трапеции,  — ее боковые стороны.

Анализ

Пусть искомая трапеция  построена (рис. 44).

Проведем через вершину  прямую  параллельную  Тогда  — параллелограмм по определению, следовательно,  Кроме того,  следовательно,  Вспомогательный треугольник  можно построить по трем сторонам. После этого для получения вершин  надо отложить на луче  и на луче с началом в точке  параллельном  отрезки длиной

Построение

1. Построим отрезок 

2. Построим треугольник  по трем сторонам 

3. Построим луч, проходящий через точку  и параллельный  При этом построенный луч и луч  должны лежать по одну сторону от прямой 

4. На луче  от точки  отложим отрезок  на луче с началом  — отрезок 

5. Соединим точки 

Доказательство:

По построению  следовательно,  — параллелограмм по признаку. Отсюда  Кроме того, Следовательно,  — искомая трапеция.

Исследование

Задача имеет единственное решение, если числа  удовлетворяют неравенству треугольника.

Теорема Фалеса

Для дальнейшего изучения свойств трапеции докажем важную теорему.

Теорема (Фалеса)

Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне.

Доказательство:

 Пусть  — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон данного угла, а  — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если  то  (рис. 46).

Проведем через точку  прямую  параллельную  (рис. 47).

Четырехугольники  — параллелограммы по определению. Тогда  а поскольку 

Рассмотрим треугольники  У них  по доказанному,  как вертикальные, a  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей Следовательно,  по второму признаку, откуда 

Теорема доказана. 

Заметим, что в условии данной теоремы вместо сторон угла можно рассматривать две произвольные прямые, поэтому теорема Фалеса может формулироваться и следующим образом: параллельные прямые, которые пересекают две данные прямые и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Пример №7

Разделите данный отрезок на  равных частей.

Решение:

Решим задачу для  т.е. разделим данный отрезок  на три равные части (рис. 48).

Для этого проведем из точки  произвольный луч, не дополнительный к лучу  и отложим на нем равные отрезки  Проведем прямую  и параллельные ей прямые через точки  По теореме Фалеса эти прямые делят отрезок  на три равные части. Аналогично можно разделить произвольный отрезок на любое количество равных частей.

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса помогает исследовать еще одну важную линию в треугольнике.

Определение

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 49, а отрезок  — средняя линия треугольника  В любом треугольнике можно провести три средние линии (рис. 49, б).

Теорема (свойство средней линии треугольника)

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Доказательство:

 Пусть  — средняя линия треугольника  (рис. 50). Докажем сначала, что  Проведем через точку  прямую, параллельную  По теореме Фалеса она пересечет отрезок  в его середине, т.е. будет содержать отрезок  Следовательно, 

Проведем теперь среднюю линию  По только что доказанному она будет параллельна стороне  Четырехугольник  с попарно параллельными сторонами по определению является параллелограммом, откуда  А поскольку точка  — середина  то 

Теорема доказана. 

Опорная задача (теорема Вариньона) Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Докажите.

Решение:

Пусть точки  — середины сторон четырехугольника  (рис. 51). Проведем диагональ  Отрезки  — средние линии треугольников  соответственно. По свойству средней линии треугольника они параллельны стороне  и равны ее половине, т.е. параллельны и равны между собой. Тогда по признаку параллелограмма четырехугольник  — параллелограмм.

Средняя линия трапеции

Определение

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

На рисунке 52 отрезок  — средняя линия трапеции 

Теорема (свойство средней линии трапеции) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство:

 Пусть  — средняя линия трапеции  с основаниями  (рис. 53).

Проведем прямую  и отметим точку  — точку пересечения прямых  Рассмотрим треугольники  У них поскольку  — середина  как вертикальные, a  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей  Следовательно,  по второму признаку, откуда  Тогда по определению  — средняя линия треугольника  По свойству средней линии треугольника  поэтому  и Кроме того, из доказанного равенства треугольников следует, что откуда  По свойству средней линии треугольника 

Теорема доказана.

Пример №8

Через точки, делящие боковую сторону трапеции на три равные части, проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Найдите длины отрезков этих прямых, заключенных внутри трапеции, если ее основания равны 2 м и 5 м.

Решение:

Пусть в трапеции  (рис. 54).

По теореме Фалеса параллельные прямые, которые проходят через точки  отсекают на боковой стороне  равные отрезки, т.е.  Тогда по определению  — средняя линия трапеции  — средняя линия трапеции  Пусть  По свойству средней линии трапеции имеем систему:

Ответ: 3 м и 4 м.

Вписанные углы

Градусная мера дуги

В седьмом классе изучение свойств треугольников завершалось рассмотрением описанной и вписанной окружностей. Но перед тем как рассмотреть описанную и вписанную окружности для четырехугольника, нам необходимо остановиться на дополнительных свойствах углов.

До сих пор мы изучали только те углы, градусная мера которых не превышала  Расширим понятие угла и введем в рассмотрение вместе с самим углом части, на которые он делит плоскость.

На рисунке 58 угол  делит плоскость на две части, каждая из которых называется плоским углом. Их градусные меры равны 

Используем понятие плоского угла для определения центрального угла в окружности.

Определение

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности.

На рисунке 59, а, б стороны угла с вершиной в центре окружности  пересекают данную окружность в точках  При этом образуются две дуги, одна из которых меньше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка  рис. 59, а), а другая — больше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка  рис. 59, б).

Для того чтобы уточнить, какой из двух плоских углов со сторонами  мы рассматриваем как центральный, мы будем указывать дугу окружности, которая соответствует данному центральному углу (т.е. содержится внутри него).

На рисунке 59, а центральному углу  обозначенному дужкой, соответствует дуга  а на рисунке 59, б — дуга  В случае, когда лучи  дополнительные, соответствующая дуга  является полуокружностью (рис. 59, в).

Определение

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Градусную меру дуги, как и саму дугу, обозначают так: Например, на рисунке 59, в  т. е. градусная мера полуокружности составляет  Очевидно, что градусная мера дуги всей окружности составляет 

Концы хорды  делят окружность на две дуги —  (рис. 59, г). Говорят, что эти дуги стягиваются хордой 

Вписанный угол

Определение

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

На рисунке 60 изображен вписанный угол  Его вершина  лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках  и  Дуга  (на рисунке она выделена) лежит внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол  опирается на дугу  

Теорема (о вписанном угле)

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство:

 Пусть в окружности с центром  вписанный угол  опирается на дугу  Докажем, что  Рассмотрим три случая расположения центра окружности относительно данного вписанного угла (рис. 61).

1) Пусть центр окружности лежит на одной из сторон данного угла  (рис. 61, а). В этом случае центральный угол  является внешним углом при вершине  равнобедренного треугольника  По теореме о внешнем угле треугольника  А поскольку углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника, то 

т.е. 

2) Пусть центр окружности лежит внутри угла  (рис. 61, б). Луч  делит угол  на два угла. По только что доказанному  следовательно, 

3) Аналогично в случае, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 60, б),

Теорема доказана. 

Только что доказанную теорему можно сформулировать иначе.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Пример №9

Найдите угол  если  (рис. 62).

Решение:

Для того чтобы найти угол  необходимо найти градусную меру дуги  на которую он опирается. Но непосредственно по данным задачи мы можем найти только градусную меру дуги  на которую опирается угол  из теоремы о вписанном угле  Заметим, что дуги вместе составляют полуокружность, т.е.  следовательно,  Тогда по теореме о вписанном угле 

Ответ: 

Следствия теоремы о вписанном угле

По количеству и значимости следствий теорема о вписанном угле является одной из «богатейших» геометрических теорем. Сформулируем наиболее важные из этих следствий.

Следствие 1

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Действительно, по теореме о вписанном угле градусная мера каждого из вписанных углов на рисунке 63 равна половине дуги 

Следствие 2

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность,— прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.

Действительно, поскольку градусная мера полуокружности равна  то угол  который опирается на полуокружность, равен (рис. 64). Обоснование обратного утверждения проведите самостоятельно.

Следствие 3

Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Первое из приведенных утверждений вытекает из следствия 2. Если в треугольнике  угол  прямой (рис. 65, а), то дуга  на которую опирается этот угол, является полуокружностью.

Тогда гипотенуза  — диаметр описанной окружности, т.е. середина гипотенузы — центр окружности. Утверждение о длине медианы следует из равенства радиусов:

Отметим еще один интересный факт: медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника с общей боковой стороной. Из этого, в частности, следует, что углы, на которые медиана делит прямой угол, равны острым углам треугольника (рис. 65, б).

В качестве примера применения следствий теоремы о вписанном угле приведем другое решение задачи, которую мы рассмотрели в п. 7.2.

Пример №10

Найдите угол  если  (см. рис. 62).

Решение:

Проведем хорду  (рис. 66).

Поскольку вписанный угол  опирается на полуокружность, то по следствию 2  Значит, треугольник  прямоугольный,  тогда  По следствию 1 углы  равны, поскольку оба они опираются на дугу  Следовательно, 

Ответ: 

Вписанные четырехугольники

Определение

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

Четырехугольник  на рисунке 72 является вписанным в окружность. Иначе говорят, что окружность описана около четырехугольника.

Как известно, около любого треугольника можно описать окружность. Для четырехугольника это можно сделать не всегда. Докажем свойство и признак вписанного четырехугольника.

Теорема (овписанном четырехугольнике)

1. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна  (свойство вписанного четырехугольника).
2. Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна  то около него можно описать окружность (признак вписанного четырехугольника).

Доказательство:

 1) Свойство. Пусть четырехугольник  вписан в окружность (рис. 72). По теореме о вписанном угле 

Следовательно, 

Аналогично доказываем, что 

2) Признак. Пусть в четырехугольнике  Опишем окружность около треугольника  и докажем от противного, что вершина  не может лежать ни внутри этой окружности, ни вне ее. Пусть точка  лежит внутри окружности, а точка  — точка пересечения луча  с дугой  (рис. 73).

Тогда четырехугольник  — вписанный. По условию  а по только что доказанному свойству вписанного четырехугольника  т.е.  Но угол  четырехугольника  — внешний угол треугольника  и по теореме о внешнем угле треугольника он должен быть больше угла  Следовательно, мы пришли к противоречию, т.е. точка  не может лежать внутри окружности. Аналогично можно доказать, что точка  не может лежать вне окружности. Тогда точка  лежит на окружности, т.е. около четырехугольника  можно описать окружность.

Теорема доказана.

 Следствие 1

Около любого прямоугольника можно описать окружность.

Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником

Прямоугольник, вписанный в окружность, изображен на рисунке 74.

Центр описанной окружности является точкой пересечения диагоналей прямоугольника (см. задачу 255).

Следствие 2

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.

Равнобедренная трапеция, вписанная в окружность, изображена на рисунке 75.

Описанные четырехугольники

Определение

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Четырехугольник  на рисунке 76 является описанным около окружности. Иначе говорят, что окружность вписана в четырехугольник.

Оказывается, что не в любой четырехугольник можно вписать окружность. Докажем соответствующие свойство и признак.

Теорема (об описанном четырехугольнике)

1. В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны (свойство описанного четырехугольника).
2. Если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность (признак описанного четырехугольника).

Доказательство:

1) Свойство. Пусть стороны четырехугольника  касаются вписанной окружности в точках  (рис. 76).

По свойству отрезков касательных  С учетом обозначений на рисунке 

2) Признак. Пусть в четырехугольнике  с наименьшей стороной Поскольку по теореме о биссектрисе угла точка  (точка пересечения биссектрис углов  равноудалена от сторон  то можно построить окружность с центром  которая касается этих трех сторон (рис. 77, а). Докажем от противного, что эта окружность касается также стороны 

Предположим, что это не так. Тогда прямая  либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей окружности. Рассмотрим первый случай (рис. 77, б). Проведем через точку  касательную к окружности, которая пересекает сторону  в точке  Тогда по свойству описанного четырехугольника  Но по условию Вычитая из второго равенства первое, имеем:  т.е.  что противоречит неравенству треугольника для треугольника 

Таким образом, наше предположение неверно. Аналогично можно доказать, что прямая  не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны т. е. четырехугольник  описанный. Теорема доказана.

Замечание. Напомним, что в данной теореме рассматриваются только выпуклые четырехугольники.

Следствие

В любой ромб можно вписать окружность. Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом

Ромб, описанный около окружности, изображен на рисунке 78. Центр вписанной окружности является точкой пересечения диагоналей ромба (см. задачу 265, а).

Пример №11

В равнобедренную трапецию с боковой стороной 6 см вписана окружность. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть  — данная равнобедренная трапеция с основаниями  По свойству описанного четырехугольника Средняя линия трапеции равна  т.е. равна 6 см.

Ответ: 6 см

Геометрические софизмы

Многим из вас, наверное, известна древнегреческая история об Ахиллесе, который никак не может догнать черепаху. История математики знает немало примеров того, как ложные утверждения и ошибочные результаты выдавались за истинные, а их опровержение давало толчок настоящим математическим открытиям. Но даже ошибки и неудачи могут принести пользу математикам. Эти ошибки остались в учебниках и пособиях в виде софизмов — заведомо ложных утверждений, доказательства которых на первый взгляд кажутся правильными, но на самом деле таковыми не являются. Поиск и анализ ошибок, содержащихся в этих доказательствах, часто позволяют определить причины ошибок в решении других задач. Поэтому в процессе изучения геометрии софизмы иногда даже более поучительны и полезны, чем «безошибочные» задачи и доказательства.

Рассмотрим пример геометрического софизма, связанного с четырехугольниками, вписанными в окружность.

Окружность имеет два центра.

Доказательство:

Обозначим на сторонах произвольного угла  точки  и проведем через эти точки перпендикуляры к сторонам  соответственно (рис. 79).

Эти перпендикуляры должны пересекаться (ведь если бы они были параллельны, то параллельными были бы и стороны данного угла — обоснуйте это самостоятельно). Обозначим точку  — точку пересечения перпендикуляров.

Через точки  не лежащие на одной прямой, проведем окружность (это можно сделать, поскольку окружность, описанная около треугольника существует и является единственной). Обозначим точки  — точки пересечения этой окружности со сторонами угла  Прямые углы  являются вписанными в окружность. Значит, по следствию теоремы о вписанных углах, отрезки  являются диаметрами окружности, которые имеют общий конец  но не совпадают. Тогда их середины  являются двумя разными центрами одной окружности, т.е. окружность имеет два центра.

Ошибка этого «доказательства» заключается в неправильности построений на рисунке 79. В четырехугольнике  т.е. он вписан в окружность. Это означает, что в ходе построений окружность, проведенная через точки  обязательно пройдет через точку  В таком случае отрезки  совпадут с отрезком  середина которого и является единственным центром построенной окружности.

Среди задач к этому и следующим параграфам вы найдете и другие примеры геометрических софизмов и сможете самостоятельно потренироваться в их опровержении. Надеемся, что опыт, который вы при этом приобретете, поможет в дальнейшем избежать подобных ошибок при решении задач.

Четырехугольник и окружность в задачах. Метод вспомогательной окружности

При решении задач об окружностях и четырехугольниках иногда следует использовать специальные подходы. Один из них заключается в рассмотрении вписанного треугольника, вершины которого являются вершинами данного вписанного четырехугольника.

Пример №12

Найдите периметр равнобедренной трапеции, диагональ которой перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол  если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 8 см.

Решение:

Пусть дана вписанная трапеция  (рис. 80).

Заметим, что окружность, описанная около трапеции, описана также и около прямоугольного треугольника  значит, ее центром является середина гипотенузы  Тогда  В треугольнике  как катет, противолежащий углу  Поскольку в прямоугольном треугольнике  то углы при большем основании трапеции равны   как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей  Следовательно, в треугольнике  два угла равны, т.е. он является равнобедренным с основанием  откуда  Тогда

Ответ: 40 см.

Особенно интересным и нестандартным является применение окружности (как описанной, так и вписанной) при решении задач, в условиях которых окружность вообще не упоминается.

Пример №13

Из точки  лежащей на катете  прямоугольного треугольника  проведен перпендикуляр  к гипотенузе  (рис. 81). Докажите, что 

Решение:

В четырехугольнике  значит, около него можно описать окружность. В этой окружности вписанные углы  будут опираться на одну и ту же дугу, и по следствию теоремы о вписанном угле 

Метод решения задач с помощью дополнительного построения описанной или вписанной окружности называют методом вспомогательной окружности.

Замечательные точки треугольника

Точка пересечения медиан

В седьмом классе в ходе изучения вписанной и описанной окружностей треугольника рассматривались две его замечательные точки — точка пересечения биссектрис (иначе ее называют инцентром треугольника) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Рассмотрим еще две замечательные точки треугольника.

Теорема (о точке пересечения медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника.

Доказательство:

 Пусть в треугольнике  проведены медианы  (рис. 85).

Докажем, что они пересекаются в некоторой точке  причем 

Пусть  — точка пересечения медиан  и  точки  — середины отрезков  и  соответственно. Отрезок  — средняя линия треугольника  и по свойству средней линии треугольника  Кроме того,  — средняя линия треугольника и по тому же свойству  Значит, в четырехугольнике  две стороны параллельны и равны. Таким образом,  – параллелограмм, и его диагонали  точкой пересечения делятся пополам. Следовательно,  т.е. точка  делит медианы  в отношении 2:1.

Аналогично доказываем, что и третья медиана  точкой пересечения с каждой из медиан  делится в отношении 2 :1. А поскольку такая точка деления для каждой из медиан единственная, то, следовательно, все три медианы пересекаются в одной точке. 

Точку пересечения медиан треугольника иначе называют центроидом или центром масс треугольника. В уместности такого названия вы можете убедиться, проведя эксперимент: вырежьте из картона треугольник произвольной формы, проведите в нем медианы и попробуйте удержать его в равновесии, положив на иглу или острый карандаш в точке пересечения медиан (рис. 86).

Пример №14

Если в треугольнике две медианы равны, то он равнобедренный. Докажите.

Решение:

Пусть в треугольнике  медианы  равны и пересекаются в точке  (рис. 87).

Рассмотрим треугольники  Поскольку точка  делит каждую из равных медиан  и  в отношении  Кроме того,  как вертикальные. Значит,  по первому признаку. Отсюда следует, что 

Но по определению медианы эти отрезки — половины сторон Следовательно,  т.е. треугольник  равнобедренный.

Точка пересечения высот

Теорема (о точке пересечения высот треугольника)

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство:

 Пусть  — высоты треугольника  (рис. 88).

Проведя через вершины треугольника прямые, параллельные противолежащим сторонам, получим треугольник  стороны которого перпендикулярны высотам треугольника  По построению четырехугольники  — параллелограммы, откуда  Следовательно, точка  — середина отрезка  Аналогично доказываем, что  — середина  — середина 

Таким образом, высоты  лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника  которые пересекаются в одной точке по следствию теоремы об окружности, описанной около треугольника. 

Точку пересечения высот (или их продолжений) иначе называют ортоцентром треугольника.

Таким образом, замечательными точками треугольника являются:

• точка пересечения биссектрис — центр окружности, вписанной в треугольник;
• точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам — центр окружности, описанной около треугольника;
• точка пересечения медиан — делит каждую из медиан в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника;
• точка пересечения высот (или их продолжений).

ИТОГОВЫЙ ОБЗОР ГЛАВЫ I

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

Теорема о сумме углов четырехугольника.

Сумма углов четырехугольника равна 

Справочный материал по параллелограмму

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны

Признаки параллелограмма

Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм

Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник- параллелограм.

 

Противолежащие углы параллелограмма равны.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам

Если противолежащие углы четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм

Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм

Виды параллелограммов

 

Прямоугольником называется параллелограм у которого все углы прямые

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны

Свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны 

Признак прямоугольника

Если все углы четырехугольника равны, то этот четырехугольник является прямоугольником

Свойства ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам
 

Признак ромба

Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник является ромбом

Свойства квадрата

 

Все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны

Все углы квадрата прямые

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и точкой пересечения делятся пополам
 

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны

Прямоугольной трапецией называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям

Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобедренной 

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. 

Признак равнобедренной

Если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция равнобедренная

Теорема Фалеса

Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне

Средние линии треугольника и трапеции

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

 

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны
Свойство средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность

Теорема о вписанном угле Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается

Следствия теоремы о вписанном угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность

Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы

Вписанные четырехугольники

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности

Признак вписанного четырехугольника

Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна  то около него можно описать окружность

Около любого прямоугольника можно описать окружность

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность

Свойство вписанного четырехугольника

• Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 
• Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником
• Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная

Описанные четырехугольники

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности

Признак описанного четырехугольника

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность

В любой ромб можно вписать окружность

Свойство описанного четырехугольника

• В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны
• Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом

Замечательные точки треугольника

Теорема о точке пересечения медиан треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника

Теорема о точке пересечения высот треугольника Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке

Историческая справка

Большая часть теоретических положений, связанных с четырехугольником, была известна еще в Древней Греции. Например, параллелограмм упоминается в работах Евклида под названием «параллельно-линейная площадь». Основные свойства четырехугольников были установлены на практике и только со временем доказаны теоретически.

Одним из творцов идеи геометрического доказательства по праву признан древнегреческий ученый Фалес Милетский (ок. 625-547 гг. до н. э.). Его считали первым среди прославленных «семи мудрецов» Эллады. Механик и астроном, философ и общественный деятель, Фалес значительно обогатил науку своего времени. Именно он познакомил греков с достижениями египтян в геометрии и астрономии. По свидетельству историка Геродота, Фалес предсказал затмение Солнца, которое произошло 28 мая 585 г. до н. э. Он дал первые представления об электричестве и магнетизме. Достижения Фалеса в геометрии не ограничиваются теоремой, названной его именем. Считается, что Фалес открыл теорему о вертикальных углах, доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, первым описал окружность около прямоугольного треугольника и обосновал, что угол, который опирается на полуокружность, прямой. Фалесу приписывают и доказательство второго признака равенства треугольников, на основании которого он создал дальномер для определения расстояния до кораблей на море.
В молодые годы Фалес побывал в Египте. Согласно легенде, он удивил египетских жрецов, измерив высоту пирамиды Хеопса с помощью подобия треугольников (о подобии треугольников – в следующей главе).

Изучая замечательные точки треугольника, нельзя не вспомнить имена еще нескольких ученых.

Теорему о пересечении высот треугольника доказал в XV в. немецкий математик Региомонтан (1436-1476) – в его честь эту теорему иногда называют задачей Региомонтана.

Выдающийся немецкий ученый Леонард Эйлер (1707-1783), который установил связь между замечательными точками треугольника, является уникальной исторической фигурой. Геометрия и механика, оптика и баллистика, астрономия и теория музыки, математическая физика и судостроение – вот далеко не полный перечень тех областей науки, которые он обогатил своими открытиями. Перу Эйлера принадлежит более 800 научных работ, причем, по статистическим подсчетам, он делал в среднем одно изобретение в неделю! Человек чрезвычайной широты интересов, Эйлер был академиком Берлинской, Петербургской и многих других академий наук, он существенным образом повлиял на развитие мировой науки. Недаром французский математик Пьер Лаплас, рассуждая об ученых своего поколения, утверждал, что Эйлер – «учитель всех нас».

Среди украинских математиков весомый вклад в исследование свойств четырехугольников внес Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862). Этот выдающийся ученый, профессор Харьковского университета, получил мировое признание благодаря работам по математической физике, математическому анализу, аналитической механике. Талантливый педагог и методист, Остроградский создал «Учебник по элементарной геометрии», который, в частности, содержал ряд интересных и сложных задач на построение вписанных и описанных четырех. М. В. Остроградский угольников и вычисление их площадей.

Параллелограмм и его виды

50. Построим две пары параллельных прямых: AB ∥ CD и AD ∥ BC (чер. 57). Совокупность этих четырех прямых с их четырьмя точками пересечения составляют фигуру, называемую параллелограммом. На чер. 57 имеем параллелограмм ABCD. Прямые, его составляющие, называются сторонами параллелограмма; иногда под этим названием понимают не всю бесконечную прямую AB, а только ее отрезок между точками A и B. Точки пересечения сторон называются вершинами параллелограмма. Параллелограмм выделяет из плоскости определенную ее часть, называемую его площадью. Параллелограмм имеет 4 внутренних угла; поэтому иногда дают определение параллелограмма в следующей форме:

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Параллелограмм является, следовательно, частным видом общего понятия «четырехугольник»; мы легко можем построить вообще какой-нибудь четырехугольник, выделяющий из плоскости определенную ее часть: для этого надо построить какой-нибудь отрезок AB (чер. 58), из точки A построить какой-либо новый отрезок AC, составляющий с AB угол, отличный от выпрямленного, из точки C также построить новый отрезок CD, чтобы точка D лежала по ту же сторону прямой AC (бесконечной), как и точка B, и, наконец, построить отрезок BD, концами которого служат уже построенные точки B и D. То же можно выполнить иначе: взять 4 произвольных точки A, B, D и C и соединить их попарно прямыми, каждую с двумя соседними, наблюдая лишь, чтобы эти прямые выделяли из плоскости определенную часть.

О четырехугольниках и вообще о многоугольниках смотри гл. VII.

51. Изучение углов параллелограмма. Пронумеруем внутренние углы цифрами 1, 2, 3 и 4 и возьмем еще два из внешних углов: ∠5 и ∠6 (чер. 57). Тогда:

1) ∠1 + ∠4 = выпрямл. углу; 2) ∠1 и ∠2 = выпрямленному углу и т. д.

В самом деле, углы 1 и 4 суть внутренние односторонние при параллельных AB и DC и секущей AD, а мы знаем (п. 33), что сумма таких углов равна выпрямленному; то же применимо и к углам 1 и 2, которые являются внутренними односторонними при параллельных AD и BC и секущей AB. Можно то же применить и к парам углов 2 и 3 или к 3 и 4.

2) ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4.

Так как ∠1 = ∠5, как соответственные при параллельных AB и DC и секущей AD, но ∠5 = ∠3, как внутренние накрест-лежащие углы при параллельных AD и BC и секущей CD, то ∠1 = ∠3; также найдем: ∠4 = ∠6 и ∠6 = ∠2, следов., ∠4 = ∠2.

Эти результаты можно выразить словами:

В параллелограмме: 1) два соседних угла в сумме составляют выпрямленный угол и 2) два противоположных угла равны между собою.

52. Изучение сторон параллелограмма. Здесь мы будем рассматривать стороны, как отрезки, а потому изобразим параллелограмм так, как на чер. 59.

Точки A, B, C и D (чер. 57), кроме сторон, определяют еще прямые AC и BD (на чер. 57 они не начерчены), называемые диагоналями параллелограмма. Построив только одну из них BD (чер. 59), получим два треугольника: ∆ABD и ∆DBC, у которых одна сторона BD общая. Кроме того, пронумеровав углы, составляемые диагональю BD со сторонами параллелограмма, как на чертеже, найдем ∠1 = ∠2, как внутренние накрест-лежащие при параллельных AB и DC и секущей BD, затем ∠3 = ∠4, как внутренние накрест-лежащие при параллельных AD и BC и секущей BD. Следовательно два угла (∠1 и ∠3) и сторона между ними BD одного треугольника (∆ABD) соответственно равны двум углам (∠2 и ∠4) и стороне между ними (DB) другого треугольника (∆CDB), поэтому (п. 47) и ∆ABD = ∆CDB. Отсюда заключаем, что и их остальные части равны, причем равные стороны должны лежать против равных углов: AD (против ∠1 в ∆ABD) должна, следовательно, равняться BC (против ∠2 в ∆CDB) и также AB (против ∠3) равняется DC (против ∠4). Этот результат можно выразить словами:

Параллельные стороны параллелограмма равны между собою.

53. В упражнениях 3 и 4 п. 34 мы уже строили параллелограмм. Но построение параллельных прямых несколько длинно. Теперь является возможным ускорить построение параллелограмма. Возьмем произвольный угол A (чер. 60) и на сторонах его отложим два произвольных отрезка AB и AC; затем, принимая B за центр, построим окружность радиусом, равным отрезку AC, и, принимая C за центр, построим другую окружность, радиусом, равным отрезку AB. Наконец, одну из точек пересечения этих окружностей, ту именно, которая лежит внутри взятого угла A, соединим прямыми DC и DB с точками C и B. На нашем чертеже даны только дуги этих кругов, которых достаточно для определения положения точки D; на практике так всегда и поступают. Тогда получим четырехугольник DBAC, выделяющий из плоскости ее определенную часть; согласно построению, 1) BD = AC и 2) AB = CD. Возникает вопрос: построен ли у нас параллелограмм, или нет?

Для решения этого вопроса построим диагональ CB; тогда получим 2 треугольника: ACB и DBC, у которых сторона CB общая и, согласно построению, AC = BD и AB = CD, т. е. 3 стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого, а такие треугольники, мы знаем (п. 46), равны, т. е. ∆ACB = ∆CBD. Отсюда заключаем о равенстве углов 1 и 2 (против равных сторон); следов., AC ∥ BD, так как ∠3 = ∠4, и, следов., AB ∥ CD, так как ∠3 и ∠4 суть внутренние накрест-лежащие углы при прямых AB и CD и секущей CB. Отсюда следует, что ACDB есть параллелограмм, т. е.:

Если построен 4-угольник, выделяющий из плоскости определенную часть, у которого противоположные стороны равны, то этот 4-угольник есть параллелограмм.

54. Упражнения. Надо освоиться с выше данным построением параллелограмма и выполнять это построение быстро и свободно.

1. На данном угле построить параллелограмм. Много ли таких параллелограммов возможно построить?
2. Построить параллелограмм на данной стороне. Много ли возможно построить таких параллелограммов?
3. Построить параллелограмм по данной стороне и по углу. Много ли таких параллелограммов можно построить?
4. Построить параллелограмм по двум сторонам. Много ли таких параллелограммов можно построить?
5. Построить параллелограмм по двум сторонам и углу между ними.
6. Построить параллелограмм на данной диагонали. Много ли возможно построить таких параллелограммов?
7. Построить параллелограмм, если даны три его вершины. Сколько можно построить таких параллелограммов?
   После решения этой задачи получим фигуру, изучение которой позволит установить некоторые свойства треугольника:
   а) прямая, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей его стороне и равна ее половине;
   б) если дан какой-либо треугольник, то можно построить другой треугольник, чтобы каждая сторона нового была в 2 раза больше (или, наоборот, в 2 раза меньше) соответствующей стороны старого треугольника, причем площадь нового треугольника окажется в 4 раза больше (или, наоборот, – меньше) площади старого.
   (На стран. 99 дана фигура, которую можно получить здесь, решая предложенную задачу; в п. 107, на той же странице, дано изучение этой фигуры, однако, с несколько иной точки зрения).
8. 8. Построить параллелограмм по двум сторонам и диагонали.
   Полезно, прежде чем приступить к построениям, требуемым в вышеизложенных задачах, дать себе отчет, какие из 4 вершин параллелограмма даны, и наметить мысленно заранее приблизительное положение остальных вершин.

55. Можно еще построить параллелограмм следующим образом: построим две параллельных прямых AB ∥ DC (чер. 61) и на каждой из них отложим по равному отрезку AB = DC. Затем соединим точки A и D и точки B и С (но нельзя соединять A с C и B с D, – тогда получится 4-угольник, не выделяющий из плоскости определенную ее часть); тогда получим 4-угольник ABCD, у которого AB ⊫ DC (равна и параллельна), выделяющий из плоскости определенную ее часть.

Не трудно выяснить, что построенный 4-угольник есть параллелограмм. Для этого построим диагональ AC и пронумеруем полученные при концах диагонали углы. Легко видеть, что ∆ABC = ∆CDA; в самом деле, у них сторона AC общая, затем по построению AB = CD и, кроме того, ∠1 = ∠2, так как AB ∥ CD, т. е. 2 стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого, а мы знаем (п. 47), что в этом случае треугольники равны. Отсюда заключаем, что ∠3 = ∠4, а так как эти углы суть внутренние накрест-лежащие при прямых CB и AD и секущей CA, то CB ∥ AD; кроме того, из равенства же треугольников имеем CB = AD. Теперь выяснено, что ABCD есть параллелограмм. Этот результат можно выразить словами:

Если в четырехугольнике, выделяющем из плоскости определенную ее часть, две стороны равны и параллельны, то и другие две равны и параллельны, и этот четырехугольник есть параллелограмм.

56. Изучение диагоналей параллелограмма. Уже было замечено, что в параллелограмме возможно построить две диагонали. Пусть построен параллелограмм ABCD (чер. 62) и его диагонали AC и BD. Мы уже знаем, что противоположные стороны параллелограмма равны, т. е. AB = CD и AD = BC. Воспользуемся этим и найдем равные треугольники.

Нетрудно увидать, что ∆AOB = ∆COD. В самом деле, мы знаем, что AB = CD; затем, пронумеровав углы, найдем, что ∠1 = ∠3, как внутренние накрест-лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC, а также ∠2 = ∠4, как внутренние накрест-лежащие при параллельных AB и CD и секущей BD, т. е. два угла и сторона между ними одного треугольника равны соответственно двум углам и стороне между ними другого, а такие треугольники, как знаем (п. 47), равны. Также можно найти равенство ∆OBC = ∆ODA. Из равенства треугольников OAB и OCD следует, что OA = OC (против равных углов 2 и 4) и BO = OD (против равных углов 1 и 3), т. е. диагонали в точке O разделили друг друга на 2 равных отрезка или пополам. Этот результат можно выразить словами:

Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.

Точка O, в которой AC и BD делятся пополам, называется серединою отрезка AC и серединою отрезка BD.

57. При помощи построения параллелограмма мы можем теперь каждый данный отрезок разделить пополам, или, другими словами, найти середину этого отрезка.

Пусть дан отрезок AB (чер. 63); требуется найти его середину. Примем AB за одну из диагоналей параллелограмма, который и надо построить для решения задачи. Такая задача была уже предложена (зад. 6 п. 54); дадим здесь ее решение. Прежде всего мы замечаем, что у нас уже имеются две противоположных вершины искомого параллелограмма A и B, – другие две вершины должны лежать где-либо по разные стороны прямой AB. Так как стороны параллелограмма нам не даны, то мы можем взять произвольный отрезок, которому должна равняться каждая из одной пары параллельных сторон параллелограмма, и радиусом, равным этому отрезку, опишем дугу I, принимая за центр точку A, и дугу II, принимая за центр точку B. Также, выбрав произвольный отрезок для другой пары сторон параллелограмма (впрочем, он должен быть больше разности между первым отрезком и диагональю AB и меньше их суммы, – иначе окружности не пересекутся, см. п. 25), мы радиусами, разными этому отрезку, опишем дугу III, принимая B за центр, и дугу IV, принимая A за центр, – точка C, где пересекаются дуги I и III, и точка D, где пересекаются дуги II и IV, должны служить другими двумя вершинами параллелограмма. Соединив их прямыми с точками A и B, получим искомый параллелограмм, диагональю которого служит данный отрезок AB. Ясно, что таких параллелограммов можно построить бесчисленное множество, так как выбор сторон AC и BC зависит от нас.

Нам важна вторая диагональ этого построенного параллелограмма, диагональ CD; построив ее, мы, на основании предыдущего п., можем утверждать, что задача решена, что точка O, где CD пересекается с AB, есть середина AB.

Заметим, что нет надобности строить стороны параллелограмма AC, CB, BD и DA, – нужно лишь построить его вторую диагональ CD.

58. Задача. Построить параллелограмм по его диагоналям и одной стороне.

Пусть даны отрезки a, b и c (чер. 64); требуется построить такой параллелограмм, чтобы отрезки a и b служили его диагоналями и отрезок c одною из его сторон.

Чтобы разобраться в этой задаче, начертим (хотя бы от руки) параллелограмм и будем считать, что его диагонали и одна из сторон (напр., отмеченная на чертеже черточкою) нам известны. Зная свойство диагоналей (п. 56), мы придем к заключению, что мы можем построить ∆AOB, в котором нам все три стороны известны: AB данная, AO и OB суть половины данных диагоналей. Поэтому построение должно быть выполнено в таком порядке: 1) надо, согласно п. 57, разделить пополам каждую из данных диагоналей a и b, 2) построить ∆, у которого сторонами служат найденные половины диагоналей и данная сторона параллелограмма c (п. 38) и 3) дополнить построенный треугольник до параллелограмма, для чего надо продолжить его 2 стороны, которые являются половинами данных диагоналей, отложить на продолжениях опять половины диагоналей и концы этих отрезков соединить с концами стороны c.

Иногда данные могут быть таковы, что задача невозможна, – это можно узнать при выполнении 2-го построения.

59. Можно ускорить решение задачи деления данного отрезка пополам, для чего следует описывать дуги из концов данного отрезка не различными, а одинаковыми радиусами.

Пусть требуется отрезок AB (чер. 65) разделить пополам; для этого, принимая последовательно точки A и B за центры, построим две окружности I и II одинаковыми радиусами и их точки пересечения C и D соединим прямою, – точка O, где CD пересекает AB, и является серединою отрезка AB. Можно, конечно, строить не полные окружности, а лишь их дуги, достаточные для определения положения точек C и D. Для того, чтобы эти окружности пересеклись, необходимо, чтобы их общий радиус был больше половины отрезка AB.

Если построить самый параллелограмм, то увидим, что все его стороны равны между собою: AC = CB = BD = DA, так как окружности описывались одинаковыми радиусами. Следовательно, здесь мы построили особый параллелограмм, все стороны которого равны между собою, – такой параллелограмм называется ромбом.

Упражнение. Разделить данный отрезок на 4, на 8 и т. д. равных частей.

60. Изучение ромба. Для того, чтобы параллелограмм обратился в ромб, достаточно, чтобы две его соседние стороны были равны. Если, напр., построен параллелограмм ABCD (чер. 66) так, что AB = BC, то, на основании свойств сторон параллелограмма, имеем CD = AB и AD = BC, откуда следует, что AB = BC = CD = DA, т. е., что этот параллелограмм есть ромб.

Упражнения.

1. Строить различные ромбы на данной стороне.
2. Строить различные ромбы на данном угле.
3. Построить ромб по данной его стороне и углу.
4. Строить различные ромбы на данной диагонали.
5. Построить ромб по его стороне и диагонали.

То обстоятельство, что ромб есть особенный параллелограмм (параллелограмм с равными сторонами), дает основание думать, что эта особенность должна отразиться и на других частях ромба. Оказывается, что она отражается на его диагоналях.

Пусть построен ромб ABCD (чер. 66) и его диагонали AC и BD. Тогда прежде всего мы уже знаем, что каждая диагональ делится в точке O пополам, так как ромб есть тоже параллелограмм (п. 56). Теперь надо воспользоваться особенностью ромба: в ромбе все стороны равны, но мы уже знаем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, и мы этим воспользовались в п. 56, где нашли, что, благодаря этому, точка O есть середина каждой диагонали; теперь, следовательно, надо обратить внимание на равенство двух соседних сторон, т. е., напр., на равенство AB = BC; возникает мысль: не повлечет ли это равенство за собою следствием равенство двух треугольников, сторонами которых служат AB и BC, т. е. ∆AOB и ∆BOC? Рассмотрим эти треугольники: у них 1) сторона BO общая, 2) AB = BC, как стороны ромба, и 3) AO = OC, так как точка O есть середина диагонали AC. Мы знаем, что если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого, то такие треугольники равны; следовательно, ∆AOB = ∆OBC. Отсюда следует: 1) ∠ABO = ∠OBC (эти углы расположены против равных сторон AO и OC) и 2) ∠AOB = ∠BOC (против равных сторон AB и BC). Первое равенство углов указывает, что ∠ABC ромба разделен диагональю BD на два равных угла. Если бы мы рассмотрели треугольники OBC и OCD, то также нашли бы, что ∠BCD ромба делится диагональю CA на два равных угла; то же можно получить и про остальные два угла. Поэтому имеем первое свойство диагоналей ромба:

1) Диагонали ромба делят его углы пополам.

Рассматривая 2-е из найденных равенств, т. е. равенство ∠AOB = ∠BOC, видим, что здесь выпрямленный угол AOC делится также диагональю BD пополам; не трудно также увидать, что все 4 угла при точке O равны между собою, т. е. ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA (это можно увидать, напр., из того, что ∠AOD = ∠BOC, как вертикальные, и по той же причине ∠COD = ∠BOA, – следовательно, все 4 угла равны между собою), причем каждый из них получился от разделения на две равных части выпрямленного угла (напр., ∠COD получился от разделения на 2 равных части выпрямленного угла BOD и т. д.). Принято называть углы, получающиеся от разделения выпрямленного угла на две равных части, прямыми углами; следовательно, у нас получились прямые углы: ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOA. Коротко выражают ту же мысль словами: прямым углом называется половина выпрямленного угла.

Вот необходимые нам свойства прямых углов:

a) Все прямые углы равны между собою.

Это следует из того, что все выпрямленные углы равны между собою, а, следовательно, и их половины (прямые углы) тоже равны.

b) Если один из четырех углов, образуемых двумя пересекающимися прямыми, прямой, то и остальные три угла прямые.

В самом деле, если при точке пересечения прямых a и b (чер. 67) получились углы 1, 2, 3 и 4, из которых, напр., ∠1 прямой, то и ∠2 прямой, так как ∠1 и ∠2 вместе составляют выпрямленный угол, но ∠3 = ∠1, как вертикальные, следовательно, и ∠3 прямой, так же и ∠4 прямой, потому что он равен ∠2.

Две прямые линии, которые, пересекаясь, образуют прямые углы, называются перпендикулярными прямыми (иногда взаимно-перпендикулярными).

Поэтому второе свойство диагоналей ромба можно выразить в такой форме:

2) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

61. Пользуясь первым свойством диагоналей ромба, мы можем всякий данный угол разделить пополам:

Пусть дан ∠A (чер. 68); требуется разделить его пополам. Для этого придется построить такой ромб, чтобы ∠A был его углом и построить диагональ этого ромба чрез точку A.

Отложим на сторонах угла A два равных (но произвольных) отрезка AB = AC; тогда у нас будут построены 3 вершины ромба A, B и C, четвертая же вершина должна лежать где-то внутри угла A. Затем, принимая последовательно точки B и C за центры, построим круги (или только их дуги, достаточные для определения четвертой вершины ромба) радиусами, равными отрезкам AB и AC; точка пересечения этих кругов, точка D, расположенная внутри угла A, и дает нам четвертую вершину ромба. Соединив ее с B и C прямыми (впрочем, для деления угла пополам это лишнее, и на первый раз нужно лишь для того, чтобы увидать, что получился ромб), получим ромб ABDC; построив его диагональ AD, разделим угол A на два равных угла на ∠BAD и ∠DAC.

Луч, делящий угол пополам, называется биссектором этого угла; AD есть биссектор угла BAC (чер. 68).

Ясно, что всякий угол может быть вышеописанным способом разделен пополам, или у всякого угла есть биссектор.

Если вообразить, что построенный биссектор AD угла BAC вращается около вершины угла A в ту или иную сторону, то равенство углов BAD и DAC нарушается: один угол увеличивается, а другой уменьшается. Поэтому:

Всякий угол может быть разделен пополам лишь одним способом.

Или:

У всякого угла имеется лишь один биссектор.

62. Упражнения.

1. Построить ромб по его углу и диагонали, проходящей через вершину этого угла.
   Надо построить данный угол, его биссектор, на нем отложить данную диагональ и чрез конец ее построить прямые, параллельные сторонам угла.
2. Построить четырехугольник по его двум противоположным углам и по диагонали, соединяющей вершины этих углов, причем четырехугольник должен быть симметричным относительно данной диагонали.
   Как располагается другая диагональ этого четырехугольника относительно данной?
3. Разделить данный угол на 4, на 8 и т. д. равных частей.
4. Построить биссекторы двух смежных углов. Показать, что они перпендикуляры между собою.

63. Задача. Построить на данной прямой при данной ее точке прямой угол.

Раз мы умеем строить ромб, то мы умеем, вообще говоря, строить прямые углы. Для решения задачи этого п. Надо расположить ромб так, чтобы точка пересечения его диагоналей совпала с данною точкою A (чер. 69) и одна диагональ шла по данной прямой AB. Для этого от точки A в обе стороны отложим на данной прямой равные (но произвольные) отрезки AC = AD; тогда точки C и D можно принять за две вершины ромба. Для построения двух других вершин надо, принимая последовательно точки C и D за центры, построить две окружности (или их дуги, достаточные для получения точек пересечения) одним и тем же радиусом, большим, чем отрезок AC (иначе окружности не пересекутся). Соединив прямыми точки пересечения наших окружностей K и L с точками C и D, получим ромб CKDL; его диагональ KL должна пройти чрез середину диагонали CD, т. е. чрез точку A; построив эту диагональ KL, получим 4 прямых угла (п. 60).

Важно ускорить и упростить это построение:

1) Нет надобности строить стороны ромба, 2) можно построить лишь одну точку пересечения окружностей, напр., точку K, и тогда , построив отрезок KA, получим два прямых угла; если его продолжить, то получим еще два прямых угла. На чертеже изображены пунктиром те линии, построение которых излишне.

64. Задача. Построить параллелограмм с прямым углом.

Строим произвольную прямую AB и выбираем на ней произвольную точку A (чер. 70), при которой строим (п. 63) прямой угол; на стороне AC этого прямого угла выбираем произвольную точку C и на прямой AB точку E. Затем, принимая последовательно точки C и E за центры, строим две окружности (или дуги): первую (центр C) радиусом, равным отрезку AE, и второю (центр E) радиусом, равным отрезку AC; точка пересечения этих окружностей точка D, лежащая по ту же сторону прямой AB, как и точка C и должна служить четвертою вершиною этого параллелограмма. Построив, наконец, прямые CD и DE, получим искомый параллелограмм ACDE, у которого ∠A прямой (сравнить это построение с п. 53).

Рассмотрим остальные углы этого параллелограмма: 1) мы знаем, что ∠D = ∠A, как противоположные углы параллелограмма (п. 51), следовательно, угол D тоже прямой; 2) затем знаем, что ∠C + ∠A = выпрямленному углу, как соседние углы параллелограмма (п. 51, 1), но ∠A прямой, т. е. равен половине выпрямленного угла, следовательно, и ∠C равен половине выпрямленного, т.е. тоже есть прямой угол, затем ∠E = ∠C и, следовательно, ∠E тоже прямой. Итак, оказалось:

Если в параллелограмме один угол прямой, то и остальные углы прямые.

Такой параллелограмм с прямыми углами называется прямоугольником.

65. Так как прямоугольник есть особенный параллелограмм, то эта особенность должна отразиться, как и в ромбе, на его диагоналях.

Пусть построен прямоугольник ABCD (чер. 71) и построены его диагонали AC и BD. Конечно, основное свойство диагоналей параллелограмма остаётся и здесь: диагонали делят друг друга пополам. Но нам надо открыть какую-либо особенность диагоналей, зависящую от того, что теперь у нашего параллелограмма все углы прямые. Рассмотрим пару треугольников, в каждый из которых входил бы один из прямых углов, и важно, чтобы входили два соседних прямых угла, напр., ∠A и ∠D (соседние углы ведь вообще в параллелограмме не равны, а противоположные всегда равны). Такими треугольниками являются ∆ABD (∠A прямой) и ∆ACD (∠D прямой). У этих треугольников сторона AD общая, затем сторона AB первого равна стороне CD второго и между ними равные углы, так как мы знаем, что прямые углы равны между собою (п. 60, а). Следовательно, две стороны (AD и AB) и угол между ними (прямой ∠A) одного треугольника равны соответственно двум сторонам (AD и CD) и углу между ними (прямой ∠D) другого треугольника, а мы знаем, что такие треугольники равны. Отсюда выводим, что AC = BD, т. е. оказывается, что диагонали равны между собою.

Итак:

Диагонали прямоугольников равны между между собою.

66. Наконец, можно построить такой прямоугольник, чтобы у него все стороны были равны (построение ясно: строим прямой угол A (чер. 72) и на его сторонах откладываем равные отрезки AB = AD, затем обычным приёмом находим четвертую вершину C). Такой параллелограмм является в одно и то же время и прямоугольником (у него все углы прямые, так как один угол прямой) и ромбом (у него все стороны равны, так как две соседних равны), – она называется квадратом. Его диагонали должны обладать свойствами диагоналей и параллелограмма, и ромба, и прямоугольника, т. е.:
Диагонали квадрата взаимно делятся пополам, делят углы квадрата пополам и взаимно перпендикулярны и, наконец, равны между собою.

67. Упражнения.

1. Построить прямоугольник по его сторонам.
2. Построить прямоугольник по диагонали и одной из его сторон.
3. Построить квадрат по его стороне.
4. Построить квадрат по его диагонали.

Параллелограмм

Определение 1. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

На Рис.1 изображен параллелограмм поскольку ( small AB || CD, ;; AD || BC .)

Свойства параллелограмма

Свойство 1. В параллелограмме противоположные углы равны и противоположные стороны равны.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD (Рис.2).

Диагональ AC разделяют параллелограмм на два треугольника ACB и ACD. ( small angle 1=angle 2 ) поскольку эти углы накрест лежащие, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AC (см. теорему 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично ( small angle 3=angle 4 ), если рассмотреть параллельные прямые AD и BC пересеченные секущей AC. Тогда треугольники ACB и ACD равны по одной стороне и двум прилежащим углам: AC общая, ( small angle 1=angle 2 ), ( small angle 3=angle 4 ) (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Поэтому ( small AB=CD, ;; AD=BC, ;; angle B=angle D. )

Из рисунка Рис.2 имеем: ( small angle A=angle 1+angle 3, ;; angle C=angle 2+angle 4. ) Учитывая, что ( small angle 1=angle 2 ) и ( small angle 3=angle 4 ), получим: ( small angle A=angle C. )

Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения разделяются пополам.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD (Рис.3) и пусть O точка пересечения диагоналей AC и BD. ( small angle 1=angle 2 ) поскольку эти углы накрест лежащие, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AC. ( small angle 3=angle 4 ), если рассмотреть параллельные прямые AB и CD пересеченные секущей BD. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны: AB=CD (Свойство 1), то треугольники ABO и CDO равны по стороне и прилежашим двум углам. Тогда AO=OC и BO=OD.

Признаки параллелограмма

Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть AB=CD и AB || CD. Проведем диагональ AC (Рис.4). Поскольку AB || CD, то ( small angle 1=angle 2 ) как накрест лежащие углы − при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченных секущей AC. Тогда треугольники ACB и ACD равны, по двум сторонам и углу между ними. Действительно, AB=CD, AC− общая сторона ( small angle 1=angle 2 ). Но тогда ( small angle 3=angle 4. ) Рассмотрим прямые AD и BC, пересеченные секущей AC. Поскольку ( small angle 3 ) и ( small angle 4 ) являются накрест лежашими углами, то по теореме 1 статьи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых, эти прямые параллельны. Таким образом, в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны (AB || CD, AD || BC) и, значит, данный четырехугольник параллелограмм.

Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD (Рис.4). Проведем диагональ AC (Рис.4). Рассмотрим треугольники ACB и ACD. Эти треугольники равны по трем сторонам (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Действительно. AC − общая для этих треугольников и по условию AB = CD, AD = BC. Тогда ( small angle 1=angle 2 ). Отсюда следует AB || CD. Имеем, AB = CD, AB || CD и по признаку 1 четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения разделяются пополам, то данный четырехугольник − параллелограмм.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник ABCD (Рис.5). Пусть диагонали четырехугольника пересекаются в точке O и точкой пересечения делятся пополам:

Углы AOB и COD вертикальные, следовательно ( small angle AOB=angle COD ). Тогда треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу меду ними:

Тогда AB = CD и ( small angle 1=angle 2 ). Но по признаку параллельности прямых следует, что AB || CD (теорема 1 статьи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых). Получили:

и, по признаку 1 четырехугольник ABCD − параллелограмм.

На предыдущем уроке мы говорили о четырёхугольнике.
Напомним, что четырёхугольником называется геометрическая фигура,
которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их
отрезков. Причём никакие три точки не лежат на одной прямой, а соединяющие их
отрезки не пересекаются.

На этом уроке мы познакомимся с новой геометрической
фигурой, которую называют параллелограммом.

Сформулируем определение: параллелограммом
называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно
параллельны.

Любой параллелограмм является выпуклым
четырёхугольником.

Давайте посмотрим на следующие
четырёхугольники.

Первый является параллелограммом, так
как у него противоположные стороны попарно параллельны. Следующий
четырёхугольник также является параллелограммом, ведь у него противоположные
стороны попарно параллельны. А вот четырёхугольник в пункте в не является
параллелограммом, так как у него две стороны параллельны, а две другие – нет. У
четырёхугольника в пункте г противоположные стороны попарно параллельны, а
значит, он – параллелограмм. И последний четырёхугольник не является
параллелограммом, так как у него стороны не параллельны.

Поговорим о свойствах параллелограмма.

Свойство 1.
Сумма углов при соседних вершинах параллелограмма равна .

Доказательство.

Рассмотрим параллелограмм ABCD.

По определению параллелограмма стороны AB
и CD параллельны, то есть
лежат на параллельных прямых. Прямая AD,
которая проходит через две соседние вершины, является секущей. А тогда углы BAD
и ADC – внутренние
односторонние.

Нам известно,
что если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних
углов равна ста восьмидесяти градусам. Следовательно, .

А так как эти углы являются углами при соседних
вершинах параллелограмма, то свойство доказано.

Свойство 2. Диагональ
разбивает параллелограмм на два равных треугольника.

Доказательство.

Рассмотрим  и
.

Сторона  –
общая,как
накр. лежащие при  и
секущей ,

как
накр. лежащие при и
секущей .

по
второму признаку.

Что и требовалось доказать.

Свойство 3.
У параллелограмма противоположные стороны равны.

Доказательство.

Рассмотрим параллелограмм ABCD.

Диагональ AC
разделяет его на два треугольника: ABC
и CDA. Доказывая предыдущее
свойство, мы выяснили, что эти треугольники равны, то есть у них
соответствующие стороны равны. И сторона AB
=
DC, а сторона AD
= BC.

Свойство доказано.

Свойство
4. У параллелограмма противоположные углы равны.

Доказательство.
Рассмотрим параллелограмм ABCD.
Проведём диагональ AC.

как накр. лежащие при и
секущей ,как
накр. лежащие при и
секущей ,

,

,

следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Также равенство противоположных углов
параллелограмма следует из равенства треугольников ABC
и CDA, которое мы доказали в
предыдущем свойстве.

Свойство 5.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство.
Рассмотрим параллелограмм ABCD.
Пусть точка О – точка пересечения диагоналей AC
и BD.

Рассмотрим  и
.

как
противоположные стороны,как
накр. лежащие при

и секущей ,как
накр. лежащие при и
секущей .

по
второму признаку.

Следовательно, ,.

Что и требовалось доказать.

Теперь для закрепления материала решим несколько
задач.

Задача. Докажите, что
биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Доказательство.
Пусть ABCD
– некоторый параллелограмм. Проведём, например, из вершины А биссектрису АМ.

,так
как  –
биссектриса.

как
накр. лежащие при и
секущей .

Следовательно, .

Тогда  –
равнобедренный.

Задача. У
параллелограмма  диагональ
 равна
16 см, диагональ  –
10 см, а сторона  –
8 см. Найдите периметр треугольника .

Решение.

Рассмотрим .

 (см), (см), (см).

 (см).

Ответ: 21 см.