Как найти семейство кривых – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

103

Особый интерес
вызывает рассмотрение уравнения Клеро
.
Может показаться, что это всего лишь
частный случай уравнения Лагранжа,
когда.

На самом деле, в
связи с этим уравнением затрагиваются
такие геометрические свойства семейства
кривых, которые не проявляются при
решении других дифференциальных
уравнений первого порядка.

Изучение совокупных
свойств семейства интегральных кривых
уравнения Клеро приводит к понятиям:
огибающая семейства
кривыхиособые
решениядифференциальных
уравнений.

§ 1. Семейство кривых линий.

Уравнение кривой
линии (просто кривой) в общем случае
можно определить выражением
.
Бывает, в уравнение кривой включают
один или несколькопараметров.
Параметрам могут присваиваться различные
значения. Мы будем рассматривать только
случаи, когда в выражение кривой входит
только один параметр:(1)

Присутствие
параметра
в выражении(1)будем использовать следующим образом:

▪ параметр
принимает произвольное (допустимое)
значениеи определяет некоторую кривую линию;

▪ при изменении
параметра
кривая линия меняет свою форму и
расположение на плоскости.

Совокупность
всех, определяемых уравнением (1)кривых, называютсемейством
кривыхс одним параметром –однопараметрическое
семейство, а уравнение(1)уравнением этого семейства кривых.

Говорят, что две
кривые в точке
касаются, если они имеют в этой точке
общую касательную. Может случиться, что
существует такая кривая, что в каждой
ее точке одна или несколько кривых
семейства имеют касание. Изучению
свойств таких кривых и поиску способов
их нахождения посвящен следующий
параграф.

§ 2. Огибающая линия семейства кривых.

Используя
понятия семейства кривых и касания
кривых в точке, определим огибающую
линию семейства кривых:

Определение:

(6.1)

Кривая,
которая касается каждой кривой
семейства в одной или в нескольких
точках, причем вся состоит только из
таких точек касания, называется
огибающей
данного семейства.

Замечание:
мы будем рассматривать только такую
огибающую линию, через каждую точку
которой проходит только одна кривая
семейства.

Из
замечания следует, что каждой точке
огибающей соответствует только одно
значение параметра.
Это значит, каждая точка огибающей
определяется заданием параметра:

=,=,(2)

что можно
рассматривать как параметрическое
определение огибающей линии. Предполагается,
что:
,и
– непрерывные и дифференцируемые
функции.

Из принятых
обозначений следует, что для каждой
точки огибающей имеет место тождество:
.(3)

Запишем полный
дифференциал для тождества (3):

, (4)

причем
иозначают дифференциалы функций=,=.

Теперь выразим
аналитически тот факт, что в выделенной
точке
=:

▪ касательная к
кривой семейства (1):;(5)

▪ касательная к
огибающей линии (2):=(6)

должны совпадать.
Условие совпадения касательных можно
записать в виде:

, (7)

причем,
как и прежде, имеем в виду, что иозначают дифференциалы функцийи.

Замечание:
1). Выражения(5)и(6)действительно
выражают касательные к кривым, если
рассматриваемая точка не является
особой, то есть не нарушается требование
непрерывности и дифференцируемости
функций,и.

2). Равенство (7)выполняется даже дляособых
точек(!) некоторых кривых
семейства: ведь особые точки кривой,
заданной неявным уравнением:,
определяются одновременно выполняемыми
равенствами,.

Сопоставляя (7)
и (4), учитывая, что– произвольное число, получаем требование
к функциям(2) из
условия касания:или в развернутом виде:

. (8)

Тождества (3)
и (8) показывают, что у кривой семейства
и огибающей общие точкаи касательная. Этот факт определяется
системой уравнений:

(9)

Итак, если
огибающая линия для семейства кривых
существует, тоеё
параметрические уравнения(2)получаются как решение
системы(9) относительно переменных
величини.

Если системы (9) не
допускает решений
=,=,
то огибающей у исследуемого семейства
кривых нет.

А что если, записав
и решив систему (9), получили равенства
(2). Будут ли функции
=,=определять кривую линия без особых
точек?

Так как функции
(2) удовлетворяют системе (9), то будут
выполняться тождества (3) и (8). Дифференцируя
(3), получим (4), а сопоставляя (4) с (8),
получаем (7). Так как рассматриваемая
точка не является особой для соответствующей
кривой семейства, то уравнение (5) выражает
касательную к названной кривой, а
равенство (7) определяет совпадение этой
касательной с касательной (6) к кривой
(2). В результате имеем: если
кривая(2)получена
решением системы(9),то
кривая(2)будет
огибающей семейства кривыхв
том случае, когда кривые семейства не
имеют особых точек.

Если кривые
семейства имеют особые точки, причём
множество этих точек образует кривую
линию (2), то в этом случае выполняется
(3), а тогда, в соответствии с Замечанием
2), и (7). Совместно условия (3) и (7) определяют
(8), а значит, и систему (9). В этом случае
кривая
=,=может не быть огибающей. Итак, при наличии
особых точек кривая (2), полученная
решением системы (9), подлежит проверке.
Эта кривая может быть:

▪ огибающей;

▪ геометрическим
местом особых точек на кривых семейства;

▪ частью огибающей
и частью таким геометрическим местом.

Обычно при разыскании
огибающей линии семейства кривых
поступают так. Не останавливаясь на
записи системы, исключают из неё параметр
и получают выражение вида:

.
(10)

Очевидно, все точки
кривой (2), полученной решением системы
(9), должны удовлетворять уравнению (10).
В этом случае общая схема анализа
полученных результатов такова:

▪ если уравнение
(10) не выражает никакой кривой, то
огибающей нет;

▪ если уравнение
(10) выражает кривую, то её называют
дискриминантнойкривой.

Дискриминантной
кривой может оказаться:

▪ либо огибающая,
если она существует;

▪ либо геометрическое
место особых точек на кривых семейства,
если такие имеются;

▪ одна или несколько
кривых семейства: в этом случае
бесконечному множеству точек
дискриминантной кривой будет
соответствовать одно и то же значение
параметра
,
совместно с ними удовлетворяющими
системе (9).

Замечание:
1). Рассмотренные теоретические основы
понятия огибающей линии для семейства
кривых вполне очевидно показывают
сложность решаемой задачи.

2). Ниже будут
рассмотрены конкретные примеры, которые
вполне помогут освоить практические
методы нахождения огибающей линии для
семейства кривых.

☺☺

Пример 6–01:
Пусть имеем семейство окружностей:

(здесь
– радиус окружности;
–
параметр, который определяет центр
окружности
и может принимать любые значения). Найти
огибающую линию этого семейства кривых.

Решение:

1). Запишем систему
уравнений:
а именно:

2).
Исключим из системы уравнений параметр.
Получаем функцию,
которая в рассматриваемом примере имеет
вид:,
или,
что определяет две прямые, параллельные
оси(это можно было предвидеть, исходя из
геометрических соображений).

Замечание:
Заданное семейство кривых таково, что
любая из кривых семейства не имеет
особых точек. Это определило простейший
случай нахождения огибающей линии
заданного семейства!..

Ответ:
огибающая
линия:
,
на рисунке выделена красным.

Пример
6–02:
Пусть имеем семейство кривых:
.
Найти огибающую линию этого семейства
кривых.

Решение:

1). Дифференцируя
уравнение семейства по параметру a,
получим:,
или.

2). Используя
уравнение семейства кривых и результат
дифференцирования по параметру, запишем
систему:
откуда нетрудно получить уравнение
огибающей заданного семейства:– ось.

Ответ:

– ось
.

Замечание:
1). В Примере 6-01 огибающая как бы
ограничивает (огибает)
часть плоскости, занятую кривыми
семейства (ещё говорят: кривые семействазаметаютчасть
плоскости, ограниченной огибающей).

2). Пример 6-02
показывает картинкусемейства кривых линий и их огибающей
линии, не похожую на картинку,
рассматриваемую в Примере 6-01.

☻

Источник

Составление дифференциальных уравнений семейств линий

Пусть дано уравнение однопараметрического семейства плоских кривых

y=varphi(x,a) quad (a-text{parametr}).

(1)

Дифференцируя (1) по , найдем

y'=varphi'_x(x,a).

(2)

Исключая параметр из (1) и (2), получаем дифференциальное уравнение

F(x,y,y')=0,

(3)

выражающее свойство, общее всем кривым семейства (1). Уравнение (3) будет искомым дифференциальным уравнением семейства (1).

Если однопараметрическое семейство кривых определяется уравнением

Phi(x,y,a)=0,

то дифференциальное уравнение этого семейства получим, исключая параметр из уравнений $begin{cases}Phi(x,y,a)=0,\[3pt] dfrac{partialPhi}{partial x}+dfrac{partialPhi}{partial y},y'=0.end{cases}$

Пусть теперь имеем соотношение

Phi(x,y,a_1,a_2,ldots,a_n)=0.

(4)

где a_1,a_2,ldots,a_n — параметры. Дифференцируя (4) раз по и исключая параметры из (4) и полученных уравнений, приходим к соотношению вида

$F(x,y,y',y'',ldots,y^{(n)})=0.$

(5)

Это дифференциальное уравнение заданного n-параметрического семейства линий (4) в том смысле, что (4) есть общий интеграл уравнения (5).

Пример 1. Найти дифференциальное уравнение семейства гипербол $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{1}=1$ .

Решение. Дифференцируя это уравнение по , получаем

$frac{2x}{a^2}-2yy'=0,$ или $frac{x}{a^2}=yy'.$

Умножим обе части на , тогда $frac{x^2}{a^2}=xyy'$ . Подставляя в уравнение семейства найдем xyy'-y^2=1 .

Пример 2. Найти дифференциальное уравнение семейства линий $y=a(1-e^{-x/a})$ , где — параметр.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по :

$y'=e^{-x/a}$

Из выражения для находим $a=-frac{x}{ln{y'}}$
и, подставляя это выражение для в уравнение семейства линий, получим

$y=-frac{x}{ln{y'}}(1-y'),$ или yln{y'}+x(1-y')=0.

Пример 3. Составить дифференциальное уравнение семейства прямых, отстоящих от начала координат на расстояние, равное единице.

Решение. Будем исходить из нормального уравнения прямой

xcosalpha+ysinalpha-1=0,

(6)

где alpha — параметр.

Дифференцируя (6) по , найдем cosalpha+y'sinalpha=0 , откуда y'=-operatorname{ctg}alpha , следовательно,

$sinalpha=frac{1}{sqrt{1+(y')^2}}, quad cosalpha=-frac{1}{sqrt{1+(y')^2}}.$

Подставив sinalpha и cosalpha в (6), получим

$-frac{xy'}{sqrt{1+(y')^2}}+frac{y}{sqrt{1+(y')^2}}-1=0,$ или $y=xy'+sqrt{1+(y')^2},.$

2°. Задачи на траектории

Пусть дано семейство плоских кривых, зависящее от одного параметра alpha ,

Phi(x,y,a)=0,

(7)

Кривая, образующая в каждой своей точке постоянный угол alpha с проходящей через эту точку кривой семейства (7), называется изогональной траекторией этого семейства; если, в частности, alphapislash2 , то — ортогональной траекторией.

Считая семейство (7) заданным, будем разыскивать его изогональные траектории.

А. Ортогональные траектории. Составляем дифференциальное уравнение данного семейства кривых (см. п. 1). Пусть оно имеет вид

F(x,y,y')=0.

Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид

$F!left(x,y,-frac{1}{y'}right)=0.$

Общий интеграл этого уравнения Phi_1(x,y,C)=0 дает семейство ортогональных траекторий.

Пусть семейство плоских кривых задано уравнением в полярных координатах

Phi(rho,varphi,a)=0,

(8)

где — параметр. Исключая параметр из (8) и $frac{partialPhi}{partialvarphi}=0$ , получаем дифференциальное уравнение семейства (8): F(rho,varphi,rho')=0 . Заменяя в нем rho' на $-frac{rho^2}{rho'}$ ,

получаем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий

$F!left(rho,varphi,-frac{rho^2}{rho'}right)=0.$

Б. Изогональные траектории. Пусть траектории пересекают кривые данного семейства под углом alpha , причем operatorname{tg}alpha=k . Можно показать, что дифференциальное уравнение изогональных траекторий имеет вид

$F!left(x,y,frac{y'-k}{1+ky'}right)=0.$

Пример 4. Найти ортогональные траектории семейства линий y=kx .

Решение. Семейство линий y=kx состоит из прямых, проходящих через начало координат. Для нахождения дифференциального уравнения данного семейства дифференцируем по обе части уравнения y=kx . Имеем y'=k . Исключая параметр из системы уравнений $begin{cases}y=kx,\y'=k,end{cases}$ будем иметь дифференциальное уравнение семейства xy'=y . Заменяя в нем на $-frac{1}{y'}$ , получаем дифференциальное уравнение ортогональных траекторий $-frac{x}{y'}=y$ , или yy'+x=0 . Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными; интегрируя его, найдем уравнение ортогональных траекторий x^2+y^2=C (Cgeqslant0) . Ортогональными траекториями являются окружности с центром в начале координат (рис. 15).

Ортогональные траектории семейства прямых

Пример 5. Найти уравнение семейства линий, ортогональных к семейству x^2+y^2=2ax .

Решение. Данное семейство линий представляет собой семейство окружностей, центры которых находятся на оси и которые касаются оси .

Дифференцируя по обе части уравнения данного семейства, найдем x+yy'=a . Исключая параметр из уравнений x^2+y^2=2ax, x+yy'=a, получаем дифференциальное уравнение данного семейства x^2-y^2+2xyy'=0 . Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий есть

$x^2-y^2+2xy!left(-frac{1}{y'}right)=0,$ или $y'=frac{2xy}{x^2-y^2},.$

Это уравнение является однородным. Интегрируя его, найдем x^2+y^2=Cy . Интегральные кривые являются окружностями, центры которых расположены на оси и которые касаются оси (рис. 16).

Ортогональные траектории семейства парабол

Пример 6. Найти ортогональные траектории семейства парабол y=ax^2 .

Решение. Составляем дифференциальное уравнение семейства парабол. Для этого дифференцируем обе части данного уравнения по xcolon y'=2ax . Исключая параметр , найдем $frac{y'}{y}=frac{2}{x}$ , или $y'=frac{2y}{x}$ дифференциальное уравнение данного семейства. Заменяя в уравнении на $-frac{1}{y'}$ , получим дифференциальное уравнение ортогональных траекторий

$-frac{1}{y'}=frac{2y}{x},$ или $frac{dx}{dy}=-frac{x}{2y},.$

Интегрируя, найдем $y^2=-frac{x^2}{2}+C$ или $frac{x^2}{2}+y^2=C>0$ . Ортогональным семейством является семейство эллипсов (рис. 17).

Пример 7. Найти ортогональные траектории семейства лемнискат rho^2=acos2varphi .

Решение. Имеем rho^2=acos2varphi~Rightarrow~rhorho'=-asin2varphi . Исключая параметр , получим дифференциальное уравнение данного семейства кривых rho'=-rhooperatorname{tg}2varphi,. Заменяя rho' на $-frac{rho^2}{rho'}$ , найдем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий $-frac{rho^2}{rho'}=-rhooperatorname{tg}2varphi,,$ откуда $frac{drho}{rho}=operatorname{ctg}2varphi,dvarphi$ . Интегрируя, находим уравнение ортогональных траекторий

rho^2=Csin2varphi,.

Ортогональными траекториями семейства лемнискат являются лемнискаты, ось симметрии которых образуют с полярной осью угол $pm45^{circ}$ (рис. 18).

Ортогональные траектории семейства лемнискат

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Макеты страниц

Пусть дано уравнение вида

где х и у — переменные декартовы координаты, а С — параметр, могущий принимать различные фиксированные значения.

При каждом данном значении параметра С уравнение (1) определяет некоторую кривую на плоскости Оху. Придавая С всевозможные значения, мы получаем семейство кривых, зависящих от одного параметра, или — как часто говорят — однопараметрическое семейство кривых. Таким образом, уравнение (1) есть уравнение однопараметрического семейства кривых (так как оно содержит только одну произвольную постоянную).

Рис. 256.

Рис. 257.

Определение. Линия L называется огибающей однопараметрического семейства линий, если она в каждой своей точке касается той или иной линии семейства, причем в различных точках линии L ее касаются различные линии данного семейства (рис. 256).

Пример 1. Рассмотрим семейство линий , где R — постоянная, С — параметр. Это — семейство окружностей радиуса R с центрами на оси Ох. Очевидно, что это семейство будет иметь огибающими прямые

Нахождение уравнения огибающей данного семейства. Пусть дано семейство кривых

зависящих от параметра С.

Предположим, что это семейство имеет огибающую, уравнение которой можно записать в виде , где – непрерывная и дифференцируемая функция от Рассмотрим некоторую точку лежащую на огибающей. Эта точка также лежит на некоторой кривой семейства (1). Этой кривой соответствует определенное значение параметра С, которое при данных х и у определяется из уравнения . Следовательно, для всех точек огибающей удовлетворяется равенство

Допустим, что – дифференцируемая функция, не постоянная ни на каком интервале рассматриваемых значений х, у. Из уравнения (2) огибающей найдем угловой коэффициент касательной к огибающей в точке Продифференцируем

равенство (2) по считая, что у есть функция от х:

ИЛИ

Далее, угловой коэффициент касательной к кривой семейства (1) в точке найдется из равенства

(С на данной кривой постоянно).

Мы предполагаем, что Ф 0, в противном случае мы считали бы х функцией, а у аргументом. Так как угловой коэффициент k огибающей равен угловому коэффициенту k кривой семейства, то из (3) и (4) получаем

Но так как на огибающей , то

и потому для ее точек справедливо равенство

Таким образом, для определения огибающей служат следующие два уравнения:

Обратно, если, исключая С из этих уравнений, получим уравнение , где – дифференцируемая функция, при этом значение на этой кривой, то есть уравнение огибающей.

Замечание 1. Если для семейства (1) некоторая функция является уравнением геометрического места особых точек, т. е. точек, где , то координаты этих точек также удовлетворяют уравнениям (6).

Действительно, координаты особых точек можно выразить через параметр С, входящий в уравнение (1):

Если эти выражения подставим в уравнение (1), то получим тождество относительно С:

Дифференцируя это тождество по С, получим:

так как для любых точек выполняются равенства , то, следовательно, для них также выполняется равенство .

Этим мы и доказали, что координаты особых точек удовлетворяют уравнениям (6).

Итак, уравнения (6) определяют либо огибающую, либо геометрическое место особых точек кривых семейства (1), либо сочетание того и другого. Таким образом, получив кривую, удовлетворяющую уравнениям (6), необходимо дополнительно исследовать, является ли она огибающей или геометрическим местом особых точек.

Рис. 258.

Рис. 259.

Пример 2. Найти огибающую семейства окружностей

зависящих от одного параметра С.

Решение. Дифференцируя уравнение семейства по С, получаем Исключая С из этих двух уравнений, получим уравнения или

Из геометрических соображений ясно, что полученная пара прямых является огибающей (а не геометрическим местом особых точек, так как окружности, входящие в семейство, не имеют особых точек).

Пример 3. Найти огибающую семейства прямых:

где a — параметр.

Решение. Дифференцируя по а данное уравнение семейства, будем иметь:

Для исключения параметра а из уравнений (а) и умножим члены первого на , а второго — на и вычтем из первого второе; тогда будем иметь . Подставляя это выраженйе в равенство (b), найдем а. Возводя члены двух последних уравнений в квадрат и складывая почленно, получим Это — окружность. Она является огибающей семейства (а не геометрическим местом особых точек, так как прямые линии не имеют особых точек) (рис. 258).

Пример 4. Найти огибающую траекторий снарядов, выпущенных из пушки со скоростью под различными углами наклона ствола орудия к горизонту. При этом будем считать, что орудие находится в начале координат, а траектории снарядов лежат в плоскости (сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Решение. Найдем сначала уравнение траектории снаряда в том случае, когда ствол орудия составляет с положительным направлением оси угол а. Во время полета снаряд участвует одновременно в двух движениях: равномерное движение со скоростью в направлении ствола орудия и падение вниз под действием силы тяжести. Поэтому в каждый момент времени t положение снаряда М (рис. 259) будет определяться равенствами

Это — параметрические уравнения траектории (параметром является время t). Исключив t, найдем уравнение траектории в виде

наконец, введя обозначения получим

Это уравнение определяет параболу с вертикальной осью, проходящую через начало координат и обращенную ветвями вниз. Для различных значений k мы получим различные траектории.

Рис. 260.

Следовательно, уравнение (8) является уравнением однопараметрического семейства парабол, являющихся траекториями снаряда при различных углах а и данной начальной скорости

Найдем огибающую этого семейства парабол.

Дифференцируя по k обе части уравнения (8), имеем

Исключая k из уравнений (8) и (9), получим

Это — уравнение параболы с вершиной в точке ось которой совпадает с осью Оу. Она не является геометрическим местом особых точек (так как параболы (8) не имеют особых точек). Итак, парабола

является огибающей семейства траекторий. Она называется параболой безопасности, так как ни одна точка за ее пределами не достижима для снаряда, выпущенного из данного орудия – с данной начальной скоростью

Пример 5. Найти огибающую семейства полукубических парабол

Решение. Дифференцируем по параметру С данное уравнение семейства:

Исключая параметр С из двух уравнений, получим

Ось Ох является геометрическим местом особых точек — точек возврата первого рода (рис. 261).

Рис. 261.

Действительно, найдем особые точки кривой

при фиксировании значения С. Дифференцируя по и у, находим

Решая совместно три предыдущих уравнения, найдем координаты особой точки: таким образом, каждая кривая данного семейства имеет особую точку на оси Ох.

При непрерывном изменении параметра С особые точки заполнят всю ось Ох.

Пример 6. Найти огибающую и геометрическое место особых точек семейства

Решение. Дифференцируя по С обе части равенства (10), найдем

или

Исключим теперь параметр С из полученного равенства () и из уравнения (10) семейства. Подставив выражение в уравнение семейства, получим

отсюда получаем два возможных значения С и два соответствующих им решения задачи.

Мы получили две прямые у=х и . Первая из них является геометрическим местом особых точек, а вторая — огибающей (рис. 262).

Замечание 2. В § 7 гл. VI было доказано, что нормаль к кривой служит касательной к ее эволюте. Следовательно, семейство нормалей к данной кривой является в то же время семейством касательных к ее эволюте. Таким образом, эволюта кривой является огибающей семейства нормалей этой кривой (рис. 263).

Рис. 262.

Рис. 263.

Это замечание позволяет указать еще один метод для нахождения эволюты: чтобы получить уравнение эволюты, надо сначала найти семейство всех нормалей данной кривой, а затем найти огибающую этого семейства.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
ГЛАВА XIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии
§ 2. Определения
§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
§ 4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Задача о распаде радия
§ 5. Однородные уравнения первого порядка
§ 6. Уравнения, приводящиеся к однородным
§ 7. Линейные уравнения первого порядка
§ 8. Уравнение Бернулли
§ 9. Уравнение в полных дифференциалах
§ 10. Интегрирующий множитель
§ 11. Огибающая семейства кривых
§ 12. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка
§ 13. Уравнение Клеро
§ 14. Уравнение Лагранжа
§ 15. Ортогональные и изогональные траектории
§ 16. Дифференциальные уравнения высших порядков (общие понятия)
§ 17. Уравнение вида y^(n) = f(x)
§ 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости
§ 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка
§ 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
§ 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
§ 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
§ 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка
§ 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
§ 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков
§ 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний
§ 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний
§ 28. Вынужденные колебания
§ 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
§ 31. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки
§ 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера
§ 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Метод Адамса
§ 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка
Упражнения к главе XIII
ГЛАВА XIV. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 2. Вычисление двойного интеграла
§ 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение)
§ 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов
§ 5. Двойной интеграл в полярных координатах
§ 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай)
§ 7. Вычисление площади поверхности
§ 9. Момент инерции площади плоской фигуры
§ 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры
§ 11. Тройной интеграл
§ 12. Вычисление тройного интеграла
§ 13. Замена переменных в тройном интеграле
§ 14. Момент инерции и координаты центра масс тела
§ 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра
Упражнения к главе XIV
ГЛАВА XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ
§ 2. Вычисление криволинейного интеграла
§ 3. Формула Грина
§ 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
§ 5. Поверхностный интеграл
§ 6. Вычисление поверхностного интеграла
§ 7. Формула Стокса
§ 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения
Упражнения к главе XV
ГЛАВА XVI. РЯДЫ
§ 1. Ряд. Сумма ряда
§ 2. Необходимый признак сходимости ряда
§ 3. Сравнение рядов с положительными членами
§ 4. Признак Даламбера
§ 5. Признак Коши
§ 6. Интегральный признак сходимости ряда
§ 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
§ 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
§ 9. Функциональные ряды
§ 10. Мажорируемые ряды
§ 11. Непрерывность суммы ряда
§ 12. Интегрирование и дифференцирование рядов
§ 13. Степенные ряды. Интервал сходимости
§ 14. Дифференцирование степенных рядов
§ 15. Ряды по степеням x-a
§ 16. Ряды Тейлора и Маклорена
§ 17. Примеры разложения функций в ряды
§ 18. Формула Эйлера
§ 19. Биномиальный ряд
§ 20. Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов
§ 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов
§ 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
§ 23. Уравнение Бесселя
§ 24. Ряды с комплексными членами
§ 25. Степенные ряды с комплексной переменной
§ 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций)
§ 27. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении
§ 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения
Упражнения к главе XVI
ГЛАВА XVII. РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье
§ 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье
§ 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
§ 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l
§ 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье
§ 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена
§ 8. Интеграл Дирихле
§ 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке
§ 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье
§ 11. Практический гармонический анализ
§ 12. Ряд Фурье в комплексной форме
§ 13. Интеграл Фурье
§ 14. Интеграл Фурье в комплексной форме
§ 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций
§ 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов
Упражнения к главе XVII
ГЛАВА XVIII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 1. Основные типы уравнений математической физики
§ 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах
§ 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье)
§ 4. Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи
§ 5. Распространение тепла в пространстве
§ 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей
§ 7. Распространение тепла в неограниченном стержне
§ 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач
§ 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях
§ 10. Решение задачи Дирихле для круга
§ 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей
Упражнения к главе XVIII
ГЛАВА XIX. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Начальная функция и ее изображение
§ 2. Изображение функций …
§ 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at
§ 4. Свойство линейности изображения
§ 5. Теорема смещения
§ 6. Изображение функций …
§ 7. Дифференцирование изображения
§ 8. Изображение производных
§ 9. Таблица некоторых изображений
§ 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения
§ 11. Теорема разложения
§ 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом
§ 13. Теорема свертывания
§ 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей
§ 15. Решение дифференциального уравнения колебаний
§ 16. Исследование свободных колебаний
§ 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы
§ 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса
§ 19. Теорема запаздывания
§ 20. Дельта-функция и ее изображение
Упражнения к главе XIX
ГЛАВА XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
§ 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей
§ 2. Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей
§ 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события
§ 4. Умножение вероятностей независимых событий
§ 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность
§ 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса
§ 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины
§ 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях
§ 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины
§ 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах
§ 11. Функции от случайных величин
§ 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
§ 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей
§ 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
§ 15. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения
§ 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения
§ 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона
§ 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка
§ 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа
§ 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок
§ 21. Среднеарифметическая ошибка
§ 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок
§ 23. Двумерная случайная величина
§ 24. Нормальный закон распределения на плоскости
§ 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения
§ 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания
§ 27. Задачи математической статистики. Статистический материал
§ 28. Статистический ряд. Гистограмма
§ 29. Определение подходящего значения измеряемой величины
§ 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа
Упражнения к главе XX
ГЛАВА XXI. МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Линейные преобразования. Матрица
§ 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы
§ 3. Обратное преобразование
§ 4. Действия над матрицами. Сложение матриц
§ 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы
§ 6. Обратная матрица
§ 7. Нахождение матрицы, обратной данной
§ 8. Матричная запись системы линейных уравнений
§ 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом
§ 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы
§ 11. Собственный вектор линейного преобразования
§ 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами
§ 13. Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому
§ 14. Квадратичные формы и их преобразования
§ 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений
§ 16. Дифференцирование и интегрирование матриц
§ 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
§ 18. Матричная запись линейного уравнения n-го порядка
§ 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи
Упражнения к главе XXI
ПРИЛОЖЕНИЯ

Источник

Составление дифференциального уравнения семейства кривых

Составление уравнений семейства кривых

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства:

φ $fm=.com-a77c8d5baa5f2e1b986099f41ccb5f29_l3.png$ (1)

необходимо продифференцировать равенство (1) n раз, считая y функцией от x, а затем из полученных уравнений и уравнения (1) исключить произвольные постоянные C₁ … C_n.

Линии, пересекающие все кривые данного семейства под одним и тем же углом ϕ, называются изогональными траекториями . Углы β и α наклона траектории и кривой к оси Ox связаны соотношением β = α ± φ.

$fm=.com-f7ff17beba97a27996bb71ca56c0e21f_l3.png$ — дифференциальное уравнение данного семейства кривых, а

$fm=.com-a72aaa24a835c69c6f0f957aff23c588_l3.png$ — уравнение семейства изогональных траекторий.

Тогда tg α = f (x,y), tg β = f₁ (x,y).

Отсюда следует, что если дифференциальное уравнение семейства кривых написано и угол φ известен, то найти tg β не составит труда, а после также легко можно будет написать уравнение траекторий.

Частный случай:

Если уравнение семейства кривых записано в виде:

$fm=.com-cd9f002d0344f169aa5f433db0d602f8_l3.png$ ,

то при составлении уравнения траекторий можно обойтись без решения уравнения относительно y’, в этом случае будет достаточно y’ заменить на tg α = tg (β ± φ), где tg β = y’ — угловой коэффициент касательной к траектории.

Пример №1

Составить дифференциальное уравнение семейства кривых: $fm=.com-68a07980b31dad90d9f91dc768ce350b_l3.png$

Так как уравнение содержит два параметра (С₁ и С₂), то и дифференцировать будем два раза:

Первая производная: $fm=.com-e8a9bfed74dd40008c1fcfcf9a339d91_l3.png$

Вторая производная: $fm=.com-fb89fc0ce322afe950121b652955e718_l3.png$

Дальше, чтобы составить дифференциальное уравнение семейства кривых необходимо избавиться от С₁ , а для этого выведем его из уравнения первой производной С₁ = -2(y — С₂)y’ и подставим в наше уравнение:

$fm=.com-7c723ccff70ada3f5512acafad782cdf_l3.png$ (2)

Теперь также нужно избавиться от параметра C₂, а для этого выведем ее из второй производной: y — C₂ = -y’ 2 / y» и подставим это в (2):

$fm=.com-41aa1ed95d585a6fd18d94473d93132f_l3.png$

Ну и наконец упростим полученное уравнение и получим:

$fm=.com-e1f983fce11dce87217ff1fbe3a6dd40_l3.png$

Пример №2

Для закрепления составим еще одно уравнение: $fm=.com-dc3a4f7f5f0445932c4589000516a2c6_l3.png$

Решение абсолютно идентично предыдущему, за исключением того, что вместо параметров С₁ и С₂ здесь представлены параметры a, b и с. Ну и, конечно, раз параметров три, то нам понадобятся производные первого, второго и третьего порядка.

Делать описание каждого шага я уже не буду, думаю вы уже сами разберетесь:

Первая производная: $fm=.com-918b15ed5163aedea278845522ab02fa_l3.png$

Вторая производная: $fm=.com-58088e97f597e80decc8d923c970225b_l3.png$

Третья производная: $fm=.com-7d2eefa2083c206f1b5b8797b49755d2_l3.png$

$fm=.com-b03209414a956519f1fccea14080a232_l3.png$

$fm=.com-551c367485bd0585859faf43cd3eae4c_l3.png$

$fm=.com-7d5ca1e4c1e07e5176e5d63306f7bde8_l3.png$

$fm=.com-48bffe7a8772dbd54bf84e8c34dd04a2_l3.png$

$fm=.com-3dbfc4d4fe80416d9ad298b94b24d75e_l3.png$

$fm=.com-018f70d7f7910620927e3690c1887257_l3.png$

$fm=.com-986300e0dbffdf2776256a5f52bec3e2_l3.png$

$fm=.com-9901e727fc0890cd40de57294613c47b_l3.png$

Ответ: $fm=.com-4c530d03399051a5e90e973ea3947b59_l3.png$

Ну, думаю, если вы разобрались в первыми двумя примерами, то все остальные вы решите без труда, а чтобы это проверить дам вам парочку заданий «на дом».

Пример №3 $fm=.com-d7be1e6a0bcd157b08ad18c61f6d434c_l3.png$

Выразим коэффициенты a и b через 1-ую и 2-ую производные:

Первая производная: $fm=.com-f523f3750a143ecf53494d9577bb7b83_l3.png$ , где $fm=.com-c9f0432d198a99942201ac646174c782_l3.png$

Вторая производная: $fm=.com-5778fe76889d70b0fde60bd17221de8a_l3.png$ , где $fm=.com-48b142ae1684ce3a5c9a4eed7f12f783_l3.png$

Подставим значение b второй производной в значение a первой производной:

$fm=.com-915e52617c8a34c08ad4f94c9878588d_l3.png$

А теперь подставим полученные значения a и b в исходное уравнение и упростим:

$fm=.com-e734f50fb3b6e2b7025dd84fc154b0d9_l3.png$

$fm=.com-d6b95d25b96d09e612047338bcdbd832_l3.png$ ⇒ $fm=.com-6741bd8cb8aca08d11f080b6edb78194_l3.png$

Ответ: $fm=.com-6741bd8cb8aca08d11f080b6edb78194_l3.png$

Пример №4 $fm=.com-1299ff2197f2f3b63fa09153b55f522f_l3.png$

Ну а здесь все еще проще:

$fm=.com-f1f2c2accbd42603f565bd1eec51ce35_l3.png$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$fm=.com-d9fdc9505f2e5451e6e9bcae59186f05_l3.png$

Чтобы воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, вычтем из единицы обе части уравнения:

$fm=.com-866e247f2952dffe91d15af52cf55519_l3.png$

Ну и теперь как мы видим во второй части получилось исходное уравнение, только в квадрате, а значит оно будет равно:

$fm=.com-fb8c58764bf86a7ae6a9d202d508ea07_l3.png$

$fm=.com-c6778e39c930c37d319f09536c6df53d_l3.png$

Приведем к общему виду и запишем ответ:

Ответ: $fm=.com-0f5893c9c6dd3b4be0bf8f320274765a_l3.png$

Ну и на этой ноте мы с вами закончим данный урок, всем спасибо!

Если вам что-то непонятно (или нашли неточности в уроке) пишите в комментариях и мы вам обязательно ответим в ближайшее время.

Особые решения дифференциальных уравнений

Решение дифференциального уравнения

называется особым , если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т. е. если через каждую его точку кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в точке ту же касательную, что и решение , но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности . График особого решения будем называть особой интегральной кривой уравнения (1). Если функция и ее частные производные и непрерывны по всем аргументам , то любое особое решение уравнения (1) удовлетворяет также уравнению

Значит, чтобы отыскать особые решения (1), надо исключить из уравнений (1) и (2).

Полученное после исключения из (1) и (2) уравнение

Часто бывает так, что распадается на несколько ветвей . Тогда нужно установить, является ли каждая в отдельности ветвь решением уравнения (1), и если является, то будет ли оно особым решением, т.е. нарушается ли единственность в каждой его точке.

Пример 1. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Находим p-дискриминантную кривую. В данном случае и условие (2) принимает вид , отсюда . Подставляя это выражение для в уравнение (4), получаем

Кривая (5) есть p-дискриминантная кривая уравнения (4): она состоит из одной ветви — параболы.

б) Проверяем, является ли p-дискриминантная кривая решением заданного уравнения. Подставляя (5) и ее производную в (4), убеждаемся, что есть решение уравнения (4).

в) Проверяем, является ли решение (S) особым решением уравнения (4). Для этого найдем общее решение уравнения (4). Перепишем (4) в виде . Это уравнение Клеро. Его общее решение

Выпишем условие касания двух кривых и в точке с абсциссой :

Первое равенство выражает совпадение ординат кривых, а второе выражает совпадение угловых коэффициентов касательных к этим кривым в точке с абсциссой .

Полагая , находим, что условия (7) принимают вид

Подставляя в первое из равенств (8), получаем или т.е. при первое равенство выполняется тождественно, так как есть абсцисса произвольной точки.

Итак, в каждой точке кривой (5) ее касается некоторая другая кривая семейства (6), а именно та, для которой . Значит, есть особое решение уравнения (4).

г) Геометрическое истолкование.
Общее решение уравнения (4) есть семейство прямых (6), а особое решение (5) является огибающей этого семейства прямых (рис. 19).

Огибающей семейства кривых

называется такая кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства (9) и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых из (9). Будем говорить, что кривые и касаются в точке , если они имеют в этой точке общую касательную.

Если (9) есть общий интеграл уравнения (1), то огибающая семейства кривых (9), если она существует, будет особой интегральной кривой этого уравнения. В самом деле, в точках огибающей значения совпадают со значениями для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке , и, следовательно, в каждой точке огибающей значения удовлетворяют уравнению , т.е. огибающая является интегральной кривой.

Далее, в каждой точке огибающей нарушена единственность, так как через точки огибающей по одному направлению проходит, по крайней мере, две интегральные кривые: сама огибающая и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства (9). Следовательно, огибающая является особой интегральной кривой.

Из курса математического анализа известно, что огибающая входит в состав C-дискриминантной кривой (коротко СДК), определяемой системой уравнений

Некоторая ветвь СДК заведомо будет огибающей, если на ней:

1) существуют ограниченные по модулю частные производные

где и — постоянные;

Замечание. Условия 1) и 2) лишь достаточны, а потому ветви СДК, на которых нарушено одно из этих условий, тоже могут быть огибающими.

Пример 2. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Находим C-дискриминантную кривую. Имеем , так что отсюда . Подставляя это значение в (14), получаем откуда

Это и есть C-дискриминантная кривая: она состоит из двух прямых и .

б) Непосредственной подстановкой убеждаемся, что каждая из ветвей СДК является решением уравнения (13).

в) Докажем, что каждое из решений (15) является особым решением уравнения (13). В самом деле, так как и , то на каждой ветви СДК имеем (предполагаем, что решение уравнения (13) рассматривается на отрезке

где — область допустимых значений .

Заметим, что на любой из ветвей СДК в области 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMAMRDQiiHowAFBoWFRoLFx3eb7ogAAAMZJREFUKM+1UksSwyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kyblOYfXmMd4vNxglaF//xu0KEeJZdVYXkDFUbhaSDCDqDtDhO3ASgOypGJbMyVh4A3A8bBpQq1URM1exAEcTUHaF4R5ZzFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRojOf2fJ81Uscj+bmEUc5q4jKCXucmPQAaYQaRCPmIUQAAAABJRU5ErkJggg==” />, так дх что выполняется одно из условий (12). Значит, условия (11) и (12) выполняются, а, следовательно, прямые (15) являются огибающими парабол (14).

Итак, установлено, что каждое из решений (15) есть особое решение.

В вопросах отыскания особых решений оказываются полезными следующие символические схемы:

Схема (16) означает, что уравнение p-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:

1) — уравнение огибающей;

2) — уравнение геометрического места точек заострения (возврата);

3) — уравнение геометрического места точек прикосновения интегральных линий, причем множитель входит в в квадрате.

Схема (17) означает, что уравнение C-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:

1) — уравнение огибающей;

2) — уравнение геометрического места узловых точек, причем множитель входит в в квадрате;

3) — уравнение геометрического места точек заострения, причем множитель входит в в кубе.

Не обязательно, чтобы для каждой задачи все составные части и фигурировали в соотношениях (16) и (17).

Из всех геометрических мест только огибающая есть особое решение дифференциального уравнения. Отыскание огибающей упрощается тем, что в схемы (16) и (17) она входит в первой степени.

В отношении других геометрических мест (точек заострения, узловых точек и точек прикосновения) требуется дополнительный анализ в каждом конкретном случае. То обстоятельство, что некоторый множитель входит в в квадрате (и совсем не входит в ) указывает на то, что здесь может быть геометрическое место точек прикосновения интегральных линий. Аналогично, если некоторый множитель входит в в квадрате (и совсем не входит в ), то здесь может быть геометрическое место узловых точек. Наконец, если множитель входит в в первой степени, а в — в третьей, то возможно наличие геометрического места точек заострения.

Пример 3. Найти особое решение дифференциального уравнения

Решение. Особое решение, если оно существует, определяется системой

где второе уравнение (19) получено из (18) дифференцированием его по . Исключив , получим p-дискриминантную кривую , которая распадается на две ветви

Подстановкой убеждаемся, что обе функции являются решениями уравнения (18).

Чтобы установить, являются ли решения (20) и (21) особыми или нет, найдем огибающую семейства

являющегося общим интегралом для (18).

Выпишем систему для определения C-дискриминантной кривой откуда, исключая , получаем , или и , что совпадает с (20) и (21). В силу того, что на линиях (20) и (21) условия (11) и (12) выполняются, заключаем, что линии и являются огибающими, а значит (20) и (21) есть особые решения заданного уравнения.

Интегральные кривые (22) суть параболы , а линии – огибающие этого семейства парабол (рис. 20).

Пример 4. Найти особые решения дифференциального уравнения

Решение. Дифференцируем (23) по

Исключая из (23) и (24), получим . Дискриминантная кривая есть ось ординат. Она не является интегральной кривой уравнения (23), но согласно схеме (16) может быть геометрическим местом точек прикосновения интегральных кривых.

Решениями уравнения (23) являются параболы и те гладкие кривые, которые можно составить из их частей (рис. 21).

Из чертежа видно, что прямая действительно есть геометрическое место точек прикосновения интегральных кривых уравнения (23).

Пример 5. Найти особые решения дифференциального уравнения

Решение. Найдем . Исключая из системы уравнений получаем

Преобразовав уравнение (25) к виду , находим его общий интеграл .

Найдем . Исключая из системы уравнений будем иметь

Итак, из (26) и (27) имеем

Множитель входит в p-дискриминант и в C-дискриминант в первой степени и дает огибающую, т. е. функция есть особое решение дифференциального уравнения (25). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что действительно удовлетворяет уравнению.

Уравнение , входящее во второй степени в p-дискриминант и совсем не входящее в C-дискриминант, дает место точек прикосновения .

Наконец, уравнение , входящее в C-дискриминант во второй степени и совсем не входящее в p-дискриминант, дает место узловых точек (рис.22).

Пример 6. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Ищем p-дискриминантную кривую. Дифференцируя (28) по , получаем , откуда

Подставляя (29) в (28), найдем уравнение :

б) Ищем общий интеграл уравнения (28). Обозначив у’ через р, перепишем (28) в виде

Дифференцируя обе части (28) по и учитывая, что , будем иметь

Приравнивая нулю первый множитель , получаем (29), а соотношение дает

Исключая параметр из уравнений (31) и (32), найдем общее решение уравнения (28):

в) Находим C-дискриминантную кривую. Дифференцируя (33) по C, будем иметь

Подставляя (34) в (33), получаем уравнение .

Согласно символическим схемам (16) и (17) заключаем, что есть огибающая семейства полукубических парабол (33), а есть геометрическое место точек заострения (множитель входит в уравнение в кубе) (рис. 23). Подстановкой в уравнение (28) убеждаемся, что есть решение, а решением не является (при уравнение (28) не имеет смысла). Таким образом, решение есть особое (огибающая семейства интегральных линий).

Дифференциальные уравнения первого порядка (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную искомой функции.

Символически дифференциальное уравнение можно написать так

Неизвестной здесь является функция y, входящая под знак производных (или дифференциалов).

Если искомая функция y(x) есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В этой главе мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение есть уравнение первого порядка,

а уравнение – уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y(x), которая будучи подставленной в уравнение, обращает его в тождество. Решение еще называется интегралом дифференциального уравнения.

Пример

Рассмотрим уравнение .

Функция является решением этого уравнения.

Действительно,

и уравнение обращается в тождество:
.
Решением рассматриваемого уравнения будут и функции

и вообще функции
, где и – произвольные постоянные.
В самом деле

и уравнение обращается в тождество
.

Заметим, что рассматриваемое уравнение имеет бесчисленное множество решений вида: .

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную первого порядка искомой функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид .

Общее и частное решение

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение , зависящее от одной произвольной постоянной C, придавая конкретное значение которой , можно получить решение , удовлетворяющее любому заданному начальному условию .

Равенство вида , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Заметим, что в практике чаще всего бывает нужным не общее решение, а так называемое частное решение,отвечающее определенным начальным условиям, вытекающим из условия данной конкретной задачи.
Частным решением называется любая функция , которая получается из общего решения ,если в последнем произвольной постоянной C придать определенное значение . Соотношение называется в этом случае частным интегралом.
Задача отыскания решения дифференциального уравнения y I = f(x, y) , удовлетворяющего заданным начальным условиям y(xo ) = yo, называется задачей Коши.

Теорема Коши
Если функция f(x, y) – правая часть дифференциального уравнения y I = f(x, y) – непрерывна в некоторой замкнутой области D плоскости xOy и имеет в этой области ограниченную частную производную f Iy (x, y), то каждой внутренней точке области D соответствует, и притом единственное, решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Пример

Рассмотрим уравнение
.

Общим решением этого уравнения является семейство функций
.

Действительно, при любом значении C эта функция удовлетворяет уравнению: .
Кроме того, всегда можно найти такое значение C, что соответствующее частное решение будет удовлетворять заданному начальному условию.

Найдем, например, частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=-2. Подставляя эти значения в уравнение
,
получим
.
Решая это уравнение относительно C получим C = – 3.
Следовательно, искомым частным решением будет функция: Y = X

Это решение можно получить, используя нижеприведенный апплет для построения поля направлений и интегральных кривых для уравнения первого порядка.

С геометрической точки зрения общее решение уравнения первого порядка представляет собой семейство кривых на плоскости xOy, зависящее от одной произвольной постоянной C. Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения.
Частному решению соответствует одна интегральная кривая, проходящая через некоторую заданную точку. Так, в последнем примере общее решение геометрически изобразится семейством парабол, причем каждому значению параметра C будет соответствовать вполне определенная кривая. Частное решение изобразится параболой (рис. 1. ) проходящей через точку Заметим, что задать начальное условие для уравнения первого порядка с геометрической точки зрения означает задать точку , через которую должна пройти соответствующая интегральная кривая.

Решить или проинтегрировать данное дифференциальное уравнение это значит:

а) найти его общее решение или общий интеграл, если не заданы начальные условия,

б) найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной: .
Это уравнение для каждой точки определяет значение производной , т. е. определяет угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.
Таким образом, рассматриваемое дифференциальное уравнение дает совокупность направлений или, как говорят, определяет поле направлений или поле линейных элементов. Задача интегрирования такого уравнения, с геометрической точки зрения, заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля линейных элементов в соответствующих точках .

Рассмотрим уравнение
.
В каждой точке (x, y), отличной от точки (0,0), угловой коэффициент касательной к интегральной кривой равен отношению , т. е. совпадает с угловым коэффициентом прямой, проходящей через начало координат и точку с координатами (x, y). Очевидно, что интегральными кривыми будут прямые y=Cx, где C – произвольная постоянная, т. к. направление этих прямых всюду совпадает с направлением поля.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения.

Рассматривая уравнение первого порядка , разрешенное относительно производной, мы ставили вопрос об отыскании его общего решения и, если задано начальное условие частного решения, удовлетворяющего этому условию.
Возникает вопрос: всегда ли существует частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию и если существует, будет ли оно единственным.
Рассмотрим, например, уравнение
.
Общим решением является функция , а интегральными кривыми – семейство гипербол, причем через каждую точку , не лежащую на оси Oy проходит одна и только одна интегральная кривая, т. е. рассматриваемое уравнение имеет единственное решение, проходящее через точку, не лежащую на оси Oy, но оно не имеет решения, проходящего через точку, взятую на оси Oy.
Этот пример показывает, что не всегда существует решение, удовлетворяющее заданному начальному условию.
В некоторых случаях решение может оказаться не единственным.
Так, например, уравнение

имеет бесконечное множество решений, проходящих через точку (0,0).
В самом деле, функция является общим решением этого уравнения, а при любом значении C прямая проходит через начало координат. На вопрос, при каких условиях для уравнения можно гарантировать существование и единственность решения, удовлетворяющего заданному начальному условию , отвечает следующая теорема.

Теорема.
Пусть функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D на плоскости xOy. Тогда, если точка принадлежит этой области, существует, и притом единственное, решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Геометрически это означает, что через каждую точку области D проходит одна и только одна интегральная кривая рассматриваемого уравнения. Данная теорема называется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения .
Возвращаясь к рассмотренным нами примерам, мы видим, что функции

и

не определены при и, следовательно, не являются непрерывными. Это обстоятельство и привело, в первом случае, к отсутствию решений, проходящих через точки оси Ox , во втором – к нарушению единственности в точке (0,0).

1.1. Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:

или
.

Это уравнение можно переписать так:

или в симметричной форме

дающей соотношение между переменными x и y и их дифференциалами.

Если в этом уравнении функция P зависит только от x , а функция Q – только от y, то уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

Таким образом, уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида

Решение такого уравнения получается прямым интегрированием. Так как слева стоит сумма дифференциалов двух функций, которая равна нулю, то сумма их интегралов равняется постоянной

Пример

Уравнение – уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, получим общий интеграл: .
Уравнение вида

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Это уравнение может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на выражение

или
.

Общий интеграл полученного уравнения имеет вид:

Пример

Дано уравнение
или .
Разделим переменные и интегрируем .

В результате вычисления получим:

.
Это выражение можно записать в иной форме:

т. к. всякое число можно представить в виде логарифма другого.

Таким образом, общий интеграл данного уравнения будет иметь вид

1.2. Однородные уравнения первого порядка

Рассмотрим сначала понятие однородной функции двух переменных.
Функция двух переменных называется однородной функцией измерения n, если при любом t справедливо тождество f (tx, ty) = t n f(x, y) .

Пример

Функция есть однородная функция измерения 2, т. к.
.

С понятием однородной функции связано понятие однородного дифференциального уравнения.

называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка,
если функции и являются однородными функциями одного и того же измерения.

Для однородного уравнения имеем:

Полагая в последних равенствах , получаем

Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим

и далее .

Для разделения переменных введем новую переменную V = y/x или y = Vx. Так как в этом случае dy = xdV +Vdx, то последнее уравнение принимает вид:

M(1,V)dx + N(1,V)(xdV + Vdx) = 0,

Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными x и V, из него определяется V, а затем искомая функция y = Vx.

Если уравнение может приведено к виду: dy/dx = F(x, y) = F(v), где V = y/x, то оно называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Для приведения его к уравнению с разделяющимися переменными используется подстановка
V = y/x, отсюда y = Vx и dy/dx = xdV/dx + V.
В итоге получается уравнение с разделяющимися переменными: xdV/dx = F(V) – V, которое и интегрируется.

Пример

Решить уравнение (y 2 – 3x 2)dx + 2xydy = 0, при начальном условии: y(0) = 0 .

Здесь M(x, y) = (y 2 – 3x 2) и N(x, y) = 2xy – однородные функции измерения 2.

Применим подстановку y = vx, при этом dy = xdv +vdx.

Получим: x 2(v 2 – 3)dx + 2x 2v(xdv +vdx) = 0.
Сгруппируем слагаемые x 2(v 2 – 3)dx + 2x 2v(xdv +vdx) = 0 относительно dx и dv и разделим переменные:

После интегрирования получим: x 3(v = C или

общий интеграл: x(y 2 – x 2) = C

Используя начальные условия y(0) = 0 имеем = C, отсюда C = 0.

Частное решение данного уравнения: x(y 2 – x 2) = 0

или x = y и x = – y

1.3. Линейные уравнения первого порядка

где и

– заданные непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если функция , стоящая в правой части уравнения, тождественно равна нулю, т. е. ,
то уравнение называется линейным однородным, в противном случае – линейным неоднородным.
Таким образом, – линейное однородное уравнение, а – линейное неоднородное уравнение.

Рассмотрим два метода интегрирования линейных уравнений.

I метод – метод Бернулли

Для решения уравнения применим подстановку y=UV, причем функцию U=U(x) будем считать новой неизвестной функцией, а функцию мы выберем произвольно, подчинив некоторому условию. Так как при этом , то эта подстановка дает:

и
.

Используя произвольный выбор функции V, подчиним ее условию: .

Разделяя переменные и интегрируя в последнем равенстве, получаем:

.
Поэтому исходное уравнение после подстановки полученной функции V(x) имеет вид: .
Это уравнение также является уравнением с разделяющимися переменными.
Решая его, получаем:
, а после интегрирования .

Возвращаясь к переменной y=UV имеем общее решение линейного неоднородного уравнения:
.

Пример

Решить уравнение .
Здесь .
Имеем:

– общее решение линейного уравнения.

II метод – метод вариации произвольной постоянной – метод Лагранжа

В линейном однородном уравнении переменные разделяются и его общее решение, которое мы обозначим через Y , легко находится:

Будем теперь находить общее решение неоднородного линейного уравнения , считая, что общее решение неоднородного уравнения y имеет такую же форму, как и общее решение cоответствующего однородного уравнения Y , но где C есть не постоянная величина, а неизвестная функция от x , т. е. считая, что

Дифференцируя это выражение

и подставляя в рассматриваемое неоднородное уравнение, получим:

или .
Откуда находим функцию C(x) :

Полученное общее решение состоит из двух слагаемых, из которых второе является общим решением соответствующего однородного уравнения, а первое является частным решением неоднородного уравнения, получаемым из общего при .

Пример

Найти общее решение уравнения
.

Интегрируем соответствующее однородное уравнение: .
Считаем C функцией x :
Подставляем в исходное уравнение:
.

1.4. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида dy/dx + P(x)y = Q(x)y n.

При n = 0 или n = 1 уравнение становится линейным, методы интегрирования которого рассматривались в предыдущем пункте.

Есть следующие два способа интегрирования этого уравнения.

1. Уравнение приводится к линейному.

Разделив все члены такого уравнения на y n, получим:

y – n(dy/dx) + P(x)y – n+1 = Q(x).

После подстановки этих выражений в уравнение оно примет вид:

Это линейное уравнение относительно функции z. После его интегрирования возвращаемся к переменной y, подставив вместо z выражение y 1-n. Получим общий интеграл уравнения Бернулли.

2. Уравнение решается по методу Бернулли с подстановкой y = UV, уже использованному для решения линейных неоднородных уравнений.

Пример

Найти общее решение уравнения .

Разделив обе части уравнения на y 2, получим:

Введем новую переменную , тогда .

Подставляя в уравнение, получим:

Это линейное уравнение относительно функции z(x) .

Применим метод вариации произвольной постоянной:

Интегрируя по частям, находим ,

следовательно , .

Заменяя теперь z на ,
получим: или .
Это и есть общее решение исходного уравнения.

1.5. Уравнения в полных дифференциалах

Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

левая часть которого есть полный дифференциал некоторой функции , т. е.

Переписав исходное уравнение в виде , заключим, что общий интеграл этого уравнения определяется формулой .

Как известно, полный дифференциал функции выражается формулой

Необходимое и достаточное условие того, что левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции, выражается равенством

Функция , входящая в формулу , находится интегрированием функций P(x, y) и Q(x, y) соответственно по x и y при этом вторая переменная считается величиной постоянной (соответственно y или x).

Пример

Проинтегрировать дифференциальное уравнение

Для данного уравнения

Так как выполнено условие (#), то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, следовательно,

Интегрируя первое из этих уравнений ( y при этом считается постоянным), находим

где – функция подлежащая определению.

Дифференцируя по y функцию U(x, y) = C и принимая во внимание значение ,
получаем
,
откуда
.
Подставив выражение для

в равенство
,
найдем
.
В соответствии с формулой

получаем

или
,
где
.

Итак, общий интеграл данного уравнения:

Это уравнение является также однородным и его можно проинтегрировать другим способом.

Найти общее решение или общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными

[spoiler title=”источники:”]

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=osobye-resheniya-differentsialnyh-uravnenii

http://pandia.ru/text/78/014/6708.php

[/spoiler]

Источник

Составление уравнений семейства кривых

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства:

φ $fm=.com-a77c8d5baa5f2e1b986099f41ccb5f29_l3.png&f=(x, y, C_1, ... , C_n)$ (1)

Изогональные траектории

Линии, пересекающие все кривые данного семейства под одним и тем же углом ϕ, называются изогональными траекториями. Углы β и α наклона траектории и кривой к оси Ox связаны соотношением β = α ± φ.

Пусть

$fm=.com-f7ff17beba97a27996bb71ca56c0e21f_l3.png&f=y' = f (x,y)$ — дифференциальное уравнение данного семейства кривых, а

$fm=.com-a72aaa24a835c69c6f0f957aff23c588_l3.png&f=y' = f_1 (x,y)$ — уравнение семейства изогональных траекторий.

Тогда tg α = f (x,y), tg β = f₁ (x,y).

Частный случай:

Если уравнение семейства кривых записано в виде:

$fm=.com-cd9f002d0344f169aa5f433db0d602f8_l3.png&f=F (x,y,y') = 0$ ,

Пример №1

Составить дифференциальное уравнение семейства кривых: $fm=.com-68a07980b31dad90d9f91dc768ce350b_l3.png&f=C_1x+(y-C_2)^2 = 0$

Так как уравнение содержит два параметра (С₁ и С₂), то и дифференцировать будем два раза:

Первая производная: $fm=.com-e8a9bfed74dd40008c1fcfcf9a339d91_l3.png&f=C_1+ 2(y - C_2)y'$

Вторая производная: $fm=.com-fb89fc0ce322afe950121b652955e718_l3.png&f=2y'^2+ 2(y - C_2)y'' = 0$

Дальше, чтобы составить дифференциальное уравнение семейства кривых необходимо избавиться от С₁ , а для этого выведем его из уравнения первой производной С₁ = -2(y — С₂)y’ и подставим в наше уравнение:

$fm=.com-7c723ccff70ada3f5512acafad782cdf_l3.png&f=-2xy' (y - C_2 + (y - C_2)^2 = 0$ (2)

Теперь также нужно избавиться от параметра C₂, а для этого выведем ее из второй производной: y — C₂ = -y’² / y» и подставим это в (2):

$fm=.com-41aa1ed95d585a6fd18d94473d93132f_l3.png&f=-2xy' (frac{-y'^2}{y''})+(frac{-y'^2}{y''})^2 = 0$

Ну и наконец упростим полученное уравнение и получим:

$fm=.com-e1f983fce11dce87217ff1fbe3a6dd40_l3.png&f=y' + 2xy'' = 0$

Пример №2

Для закрепления составим еще одно уравнение: $fm=.com-dc3a4f7f5f0445932c4589000516a2c6_l3.png&f=y = ax^3 + bx^2 + cx$

Делать описание каждого шага я уже не буду, думаю вы уже сами разберетесь:

Первая производная: $fm=.com-918b15ed5163aedea278845522ab02fa_l3.png&f=y' = 3ax^2 + 2bx + c, где c = y' - 3ax^2 - 2bx$

Вторая производная: $fm=.com-58088e97f597e80decc8d923c970225b_l3.png&f=y'' = 6ax + 2b, где b = frac{y'' - 6ax}{2}$

Третья производная: $fm=.com-7d2eefa2083c206f1b5b8797b49755d2_l3.png&f=y''' = 6a, где a = frac{y'''}{6}$

$fm=.com-b03209414a956519f1fccea14080a232_l3.png&f=y = ax^3 + bx^2 + (y' - 3ax^2 - 2bx)x$

$fm=.com-551c367485bd0585859faf43cd3eae4c_l3.png&f=y = ax^3 + bx^2 + xy' - 3ax^3 - 2bx^2$

$fm=.com-7d5ca1e4c1e07e5176e5d63306f7bde8_l3.png&f=y = -2ax^3 - bx^2 + xy'$

$fm=.com-48bffe7a8772dbd54bf84e8c34dd04a2_l3.png&f=y = -2ax^3 - x^2(frac{y'' - 6ax}{2}) + xy'$

$fm=.com-3dbfc4d4fe80416d9ad298b94b24d75e_l3.png&f=y = -2ax^3 - frac{x^2y'' + 6ax^3}{2} + xy'$

$fm=.com-018f70d7f7910620927e3690c1887257_l3.png&f=2y = 2ax^3 - x^2y'' + xy'$

$fm=.com-986300e0dbffdf2776256a5f52bec3e2_l3.png&f=2y = 2x^3(frac{y'''}{6} - x^2y'' + xy'$

$fm=.com-9901e727fc0890cd40de57294613c47b_l3.png&f=6y = x^3y''' - 3x^2y'' + 6xy'$

Ответ: $fm=.com-4c530d03399051a5e90e973ea3947b59_l3.png&f=x^3y''' - 3x^2y'' + 6xy' - 6y = 0$

Пример №3 $fm=.com-d7be1e6a0bcd157b08ad18c61f6d434c_l3.png&f=ln y = ax+by$

Выразим коэффициенты a и b через 1-ую и 2-ую производные:

Первая производная: $fm=.com-f523f3750a143ecf53494d9577bb7b83_l3.png&f=frac{y'}{y}=a+by'$ , где $fm=.com-c9f0432d198a99942201ac646174c782_l3.png&f=a = frac{y'-byy'}{y}$

Вторая производная: $fm=.com-5778fe76889d70b0fde60bd17221de8a_l3.png&f=frac{y''y-y'^2}{y^2}=by''$ , где $fm=.com-48b142ae1684ce3a5c9a4eed7f12f783_l3.png&f=b=y''y-frac{y'^2}{y''y^2}$

Подставим значение b второй производной в значение a первой производной:

$fm=.com-915e52617c8a34c08ad4f94c9878588d_l3.png&f=a = frac{y'-byy'}{y}=frac{y'}{y}-frac{yy'(y''y-y'^2)}{y''y^3}=frac{y'^3}{y''y^2}$

А теперь подставим полученные значения a и b в исходное уравнение и упростим:

$fm=.com-e734f50fb3b6e2b7025dd84fc154b0d9_l3.png&f=ln y = frac{y'^3}{y''y^2}x+y''y-frac{y'^2}{y''y^2}y$

$fm=.com-d6b95d25b96d09e612047338bcdbd832_l3.png&f=y''y^2ln y = xy'^3+y''y^2-y'^2y$ ⇒ $fm=.com-6741bd8cb8aca08d11f080b6edb78194_l3.png&f=y''y^2(ln (y)-1) = (y'^2)(y'x-y)$

Ответ: $fm=.com-6741bd8cb8aca08d11f080b6edb78194_l3.png&f=y''y^2(ln (y)-1) = (y'^2)(y'x-y)$

Пример №4 $fm=.com-1299ff2197f2f3b63fa09153b55f522f_l3.png&f=y = sin(x+C)$

Ну а здесь все еще проще:

Найдем производную:

$fm=.com-f1f2c2accbd42603f565bd1eec51ce35_l3.png&f=y'=cos(x+C)$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$fm=.com-d9fdc9505f2e5451e6e9bcae59186f05_l3.png&f=y'^2=cos^2(x+C)$

Чтобы воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, вычтем из единицы обе части уравнения:

$fm=.com-866e247f2952dffe91d15af52cf55519_l3.png&f=1-y'^2=1-cos^2(x+C)=sin^2(x+C)$

$fm=.com-fb8c58764bf86a7ae6a9d202d508ea07_l3.png&f=sin^2(x+C)=y^2$

И, следовательно,

$fm=.com-c6778e39c930c37d319f09536c6df53d_l3.png&f=1-y'^2=y^2$

Приведем к общему виду и запишем ответ:

Ответ: $fm=.com-0f5893c9c6dd3b4be0bf8f320274765a_l3.png&f=y'^2+y^2=1$

Ну и на этой ноте мы с вами закончим данный урок, всем спасибо!

Уроки по теории вероятности

Первая тема, которую я бы хотел рассмотреть на уроках элементарной алгебры — это выражения. Числовые выражения Числовые выражения — это выражения, состоящие только из цифр и знаков арифметических действий. Число, которое получается в результате выполнения действий в числовом выражении, называют значением выражения. Пример №1 Найти значение выражения: 12 * 6 — 16 : 4 Значение

Курс данного предмета мы начнем непосредственно с матриц, потому что именно они составляют основу данной дисциплины. Определение матрицы Матрицей размерности называется прямоугольная таблица чисел, содержащая — строк и — столбцов, число расположенное в -ой строке и -столбце обозначается и называется элементом матрицы , т. е. Операции над матрицами Рассмотрим основные операции, проводимые над матрицами: сумма матриц;

Данная статья занесена в архив так как написана новая, возможно более понятная статья, переходите по ссылке на нее http://mathcentr.ru/matritsa-i-operatsii-nad-nej/ Как вы, наверное, уже поняли матрицы ничем не отличаются от обычных чисел, по правде говоря — это просто много цифр в одном числе))) И разумеется, существуют такие же операции над матрицами, как и над числами, но не все и

Продолжаем изучать матрицы и сегодня на уроке мы научимся находить и вычислять обратную матрицу. Обратная матрица Матрица называется транспонированной к матрице , если выполняется условие: , для всех , где и — элементы матриц и соответственно. Проще говоря, транспонированная матрица — это перевернутая матрица, т.е. столбцы записаны строками, а строки столбцами. Пример №1 Транспонировать матрицу

Мы рассмотрели самые основные тригонометрические функции (не обольщайтесь помимо синуса, косинуса, тангенса и котангенса существует еще целое множество других функций, но о них позже), а пока рассмотрим некоторые основные свойства уже изученных функций. Тригонометрические функции числового аргумента Какое бы действительное число ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число . Правда, правило соответствия

Источник

§ 1. Семейство кривых линий.

§ 2. Огибающая линия семейства кривых.

Составление дифференциальных уравнений семейств линий

2°. Задачи на траектории

Составление дифференциального уравнения семейства кривых

Составление уравнений семейства кривых

Особые решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения первого порядка (стр. 1 )

Составление уравнений семейства кривых

Уроки по теории вероятности

Вам также может понравиться

Как найти обеспечение исполнения контракта

Как составить план по улучшению своей работы

Как исправить динамик на телефоне стал тихо работать

Добавить комментарий Отменить ответ