Как найти семейство огибающих

Макеты страниц

Пусть дано уравнение вида

где х и у — переменные декартовы координаты, а С — параметр, могущий принимать различные фиксированные значения.

При каждом данном значении параметра С уравнение (1) определяет некоторую кривую на плоскости Оху. Придавая С всевозможные значения, мы получаем семейство кривых, зависящих от одного параметра, или — как часто говорят — однопараметрическое семейство кривых. Таким образом, уравнение (1) есть уравнение однопараметрического семейства кривых (так как оно содержит только одну произвольную постоянную).

Рис. 256.

Рис. 257.

Определение. Линия L называется огибающей однопараметрического семейства линий, если она в каждой своей точке касается той или иной линии семейства, причем в различных точках линии L ее касаются различные линии данного семейства (рис. 256).

Пример 1. Рассмотрим семейство линий , где R — постоянная, С — параметр. Это — семейство окружностей радиуса R с центрами на оси Ох. Очевидно, что это семейство будет иметь огибающими прямые

Нахождение уравнения огибающей данного семейства. Пусть дано семейство кривых

зависящих от параметра С.

Предположим, что это семейство имеет огибающую, уравнение которой можно записать в виде , где – непрерывная и дифференцируемая функция от Рассмотрим некоторую точку лежащую на огибающей. Эта точка также лежит на некоторой кривой семейства (1). Этой кривой соответствует определенное значение параметра С, которое при данных х и у определяется из уравнения . Следовательно, для всех точек огибающей удовлетворяется равенство

Допустим, что – дифференцируемая функция, не постоянная ни на каком интервале рассматриваемых значений х, у. Из уравнения (2) огибающей найдем угловой коэффициент касательной к огибающей в точке Продифференцируем

равенство (2) по считая, что у есть функция от х:

ИЛИ

Далее, угловой коэффициент касательной к кривой семейства (1) в точке найдется из равенства

(С на данной кривой постоянно).

Мы предполагаем, что Ф 0, в противном случае мы считали бы х функцией, а у аргументом. Так как угловой коэффициент k огибающей равен угловому коэффициенту k кривой семейства, то из (3) и (4) получаем

Но так как на огибающей , то

и потому для ее точек справедливо равенство

Таким образом, для определения огибающей служат следующие два уравнения:

Обратно, если, исключая С из этих уравнений, получим уравнение , где – дифференцируемая функция, при этом значение на этой кривой, то есть уравнение огибающей.

Замечание 1. Если для семейства (1) некоторая функция является уравнением геометрического места особых точек, т. е. точек, где , то координаты этих точек также удовлетворяют уравнениям (6).

Действительно, координаты особых точек можно выразить через параметр С, входящий в уравнение (1):

Если эти выражения подставим в уравнение (1), то получим тождество относительно С:

Дифференцируя это тождество по С, получим:

так как для любых точек выполняются равенства , то, следовательно, для них также выполняется равенство .

Этим мы и доказали, что координаты особых точек удовлетворяют уравнениям (6).

Итак, уравнения (6) определяют либо огибающую, либо геометрическое место особых точек кривых семейства (1), либо сочетание того и другого. Таким образом, получив кривую, удовлетворяющую уравнениям (6), необходимо дополнительно исследовать, является ли она огибающей или геометрическим местом особых точек.

Рис. 258.

Рис. 259.

Пример 2. Найти огибающую семейства окружностей

зависящих от одного параметра С.

Решение. Дифференцируя уравнение семейства по С, получаем Исключая С из этих двух уравнений, получим уравнения или

Из геометрических соображений ясно, что полученная пара прямых является огибающей (а не геометрическим местом особых точек, так как окружности, входящие в семейство, не имеют особых точек).

Пример 3. Найти огибающую семейства прямых:

где a — параметр.

Решение. Дифференцируя по а данное уравнение семейства, будем иметь:

Для исключения параметра а из уравнений (а) и умножим члены первого на , а второго — на и вычтем из первого второе; тогда будем иметь . Подставляя это выраженйе в равенство (b), найдем а. Возводя члены двух последних уравнений в квадрат и складывая почленно, получим Это — окружность. Она является огибающей семейства (а не геометрическим местом особых точек, так как прямые линии не имеют особых точек) (рис. 258).

Пример 4. Найти огибающую траекторий снарядов, выпущенных из пушки со скоростью под различными углами наклона ствола орудия к горизонту. При этом будем считать, что орудие находится в начале координат, а траектории снарядов лежат в плоскости (сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Решение. Найдем сначала уравнение траектории снаряда в том случае, когда ствол орудия составляет с положительным направлением оси угол а. Во время полета снаряд участвует одновременно в двух движениях: равномерное движение со скоростью в направлении ствола орудия и падение вниз под действием силы тяжести. Поэтому в каждый момент времени t положение снаряда М (рис. 259) будет определяться равенствами

Это — параметрические уравнения траектории (параметром является время t). Исключив t, найдем уравнение траектории в виде

наконец, введя обозначения получим

Это уравнение определяет параболу с вертикальной осью, проходящую через начало координат и обращенную ветвями вниз. Для различных значений k мы получим различные траектории.

Рис. 260.

Следовательно, уравнение (8) является уравнением однопараметрического семейства парабол, являющихся траекториями снаряда при различных углах а и данной начальной скорости

Найдем огибающую этого семейства парабол.

Дифференцируя по k обе части уравнения (8), имеем

Исключая k из уравнений (8) и (9), получим

Это — уравнение параболы с вершиной в точке ось которой совпадает с осью Оу. Она не является геометрическим местом особых точек (так как параболы (8) не имеют особых точек). Итак, парабола

является огибающей семейства траекторий. Она называется параболой безопасности, так как ни одна точка за ее пределами не достижима для снаряда, выпущенного из данного орудия – с данной начальной скоростью

Пример 5. Найти огибающую семейства полукубических парабол

Решение. Дифференцируем по параметру С данное уравнение семейства:

Исключая параметр С из двух уравнений, получим

Ось Ох является геометрическим местом особых точек — точек возврата первого рода (рис. 261).

Рис. 261.

Действительно, найдем особые точки кривой

при фиксировании значения С. Дифференцируя по и у, находим

Решая совместно три предыдущих уравнения, найдем координаты особой точки: таким образом, каждая кривая данного семейства имеет особую точку на оси Ох.

При непрерывном изменении параметра С особые точки заполнят всю ось Ох.

Пример 6. Найти огибающую и геометрическое место особых точек семейства

Решение. Дифференцируя по С обе части равенства (10), найдем

или

Исключим теперь параметр С из полученного равенства () и из уравнения (10) семейства. Подставив выражение в уравнение семейства, получим

отсюда получаем два возможных значения С и два соответствующих им решения задачи.

Мы получили две прямые у=х и . Первая из них является геометрическим местом особых точек, а вторая — огибающей (рис. 262).

Замечание 2. В § 7 гл. VI было доказано, что нормаль к кривой служит касательной к ее эволюте. Следовательно, семейство нормалей к данной кривой является в то же время семейством касательных к ее эволюте. Таким образом, эволюта кривой является огибающей семейства нормалей этой кривой (рис. 263).

Рис. 262.

Рис. 263.

Это замечание позволяет указать еще один метод для нахождения эволюты: чтобы получить уравнение эволюты, надо сначала найти семейство всех нормалей данной кривой, а затем найти огибающую этого семейства.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
ГЛАВА XIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии
§ 2. Определения
§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
§ 4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Задача о распаде радия
§ 5. Однородные уравнения первого порядка
§ 6. Уравнения, приводящиеся к однородным
§ 7. Линейные уравнения первого порядка
§ 8. Уравнение Бернулли
§ 9. Уравнение в полных дифференциалах
§ 10. Интегрирующий множитель
§ 11. Огибающая семейства кривых
§ 12. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка
§ 13. Уравнение Клеро
§ 14. Уравнение Лагранжа
§ 15. Ортогональные и изогональные траектории
§ 16. Дифференциальные уравнения высших порядков (общие понятия)
§ 17. Уравнение вида y^(n) = f(x)
§ 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости
§ 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка
§ 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
§ 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
§ 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
§ 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка
§ 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
§ 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков
§ 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний
§ 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний
§ 28. Вынужденные колебания
§ 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
§ 31. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки
§ 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера
§ 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Метод Адамса
§ 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка
Упражнения к главе XIII
ГЛАВА XIV. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 2. Вычисление двойного интеграла
§ 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение)
§ 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов
§ 5. Двойной интеграл в полярных координатах
§ 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай)
§ 7. Вычисление площади поверхности
§ 9. Момент инерции площади плоской фигуры
§ 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры
§ 11. Тройной интеграл
§ 12. Вычисление тройного интеграла
§ 13. Замена переменных в тройном интеграле
§ 14. Момент инерции и координаты центра масс тела
§ 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра
Упражнения к главе XIV
ГЛАВА XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ
§ 2. Вычисление криволинейного интеграла
§ 3. Формула Грина
§ 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
§ 5. Поверхностный интеграл
§ 6. Вычисление поверхностного интеграла
§ 7. Формула Стокса
§ 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения
Упражнения к главе XV
ГЛАВА XVI. РЯДЫ
§ 1. Ряд. Сумма ряда
§ 2. Необходимый признак сходимости ряда
§ 3. Сравнение рядов с положительными членами
§ 4. Признак Даламбера
§ 5. Признак Коши
§ 6. Интегральный признак сходимости ряда
§ 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
§ 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
§ 9. Функциональные ряды
§ 10. Мажорируемые ряды
§ 11. Непрерывность суммы ряда
§ 12. Интегрирование и дифференцирование рядов
§ 13. Степенные ряды. Интервал сходимости
§ 14. Дифференцирование степенных рядов
§ 15. Ряды по степеням x-a
§ 16. Ряды Тейлора и Маклорена
§ 17. Примеры разложения функций в ряды
§ 18. Формула Эйлера
§ 19. Биномиальный ряд
§ 20. Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов
§ 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов
§ 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
§ 23. Уравнение Бесселя
§ 24. Ряды с комплексными членами
§ 25. Степенные ряды с комплексной переменной
§ 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций)
§ 27. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении
§ 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения
Упражнения к главе XVI
ГЛАВА XVII. РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье
§ 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье
§ 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
§ 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l
§ 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье
§ 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена
§ 8. Интеграл Дирихле
§ 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке
§ 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье
§ 11. Практический гармонический анализ
§ 12. Ряд Фурье в комплексной форме
§ 13. Интеграл Фурье
§ 14. Интеграл Фурье в комплексной форме
§ 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций
§ 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов
Упражнения к главе XVII
ГЛАВА XVIII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 1. Основные типы уравнений математической физики
§ 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах
§ 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье)
§ 4. Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи
§ 5. Распространение тепла в пространстве
§ 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей
§ 7. Распространение тепла в неограниченном стержне
§ 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач
§ 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях
§ 10. Решение задачи Дирихле для круга
§ 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей
Упражнения к главе XVIII
ГЛАВА XIX. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Начальная функция и ее изображение
§ 2. Изображение функций …
§ 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at
§ 4. Свойство линейности изображения
§ 5. Теорема смещения
§ 6. Изображение функций …
§ 7. Дифференцирование изображения
§ 8. Изображение производных
§ 9. Таблица некоторых изображений
§ 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения
§ 11. Теорема разложения
§ 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом
§ 13. Теорема свертывания
§ 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей
§ 15. Решение дифференциального уравнения колебаний
§ 16. Исследование свободных колебаний
§ 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы
§ 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса
§ 19. Теорема запаздывания
§ 20. Дельта-функция и ее изображение
Упражнения к главе XIX
ГЛАВА XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
§ 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей
§ 2. Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей
§ 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события
§ 4. Умножение вероятностей независимых событий
§ 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность
§ 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса
§ 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины
§ 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях
§ 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины
§ 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах
§ 11. Функции от случайных величин
§ 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
§ 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей
§ 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
§ 15. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения
§ 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения
§ 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона
§ 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка
§ 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа
§ 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок
§ 21. Среднеарифметическая ошибка
§ 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок
§ 23. Двумерная случайная величина
§ 24. Нормальный закон распределения на плоскости
§ 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения
§ 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания
§ 27. Задачи математической статистики. Статистический материал
§ 28. Статистический ряд. Гистограмма
§ 29. Определение подходящего значения измеряемой величины
§ 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа
Упражнения к главе XX
ГЛАВА XXI. МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Линейные преобразования. Матрица
§ 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы
§ 3. Обратное преобразование
§ 4. Действия над матрицами. Сложение матриц
§ 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы
§ 6. Обратная матрица
§ 7. Нахождение матрицы, обратной данной
§ 8. Матричная запись системы линейных уравнений
§ 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом
§ 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы
§ 11. Собственный вектор линейного преобразования
§ 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами
§ 13. Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому
§ 14. Квадратичные формы и их преобразования
§ 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений
§ 16. Дифференцирование и интегрирование матриц
§ 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
§ 18. Матричная запись линейного уравнения n-го порядка
§ 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи
Упражнения к главе XXI
ПРИЛОЖЕНИЯ

Источник

Содержание

Огибающая

Огибающая кривая

Рассмотрим семейство плоских кривых $ left{ mathbf K(lambda_{}) right} $, зависящих от параметра $ lambda_{} $, принимающего значения из интервала $ [a,b] in mathbb R_{} $. Если существует некоторая кривая $ mathbf L_{} $, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой рассматриваемого семейства, но при этом не совпадает ни с одной из них на протяжении какого-либо своего участка, то эта кривая $ mathbf L_{} $ называется огибающей семейства кривых $ left{ mathbf K(lambda) right} $.

Пример. Для семейства окружностей (в зеленом цвете)
каждая из прямых на левом рисунке считается огибающей, а составная кривая (красная) на правом — не считается:

Пусть кривые семейства $ left{ mathbf K(lambda_{}) right} $ заданы уравнением
$$ Psi(x,y,lambda)=0 , $$
где $ Psi(x,y,lambda_{}) $ — функция, непрерывно дифференцируемая по своим аргументам.
Геометрическое место точек плоскости $ (x,y_{}) $, удовлетворяющих условиям
$$
Psi(x,y,lambda)=0, frac{partial Psi(x,y,lambda)}{partial lambda} = 0
$$
называется дискриминантной кривой семейства $ left{ mathbf K(lambda) right} $.

Теорема. Дискриминантная кривая семейства включает в себя огибающую этого семейства, а также, возможно, множество особых точек — таких точек, для которых выполняются условия

$$
frac{partial Psi(x,y,lambda)}{partial x} = 0, frac{partial Psi(x,y,lambda)}{partial y} = 0 .
$$

Откуда взялась дискриминантная кривая? Возьмем две кривые семейства $ mathbf K_{} $ и $ mathbf K_{1} $:
$$
Psi(x,y,lambda)=0 quad u quad Psi(x,y,lambda +Delta lambda )=0 ,
$$

где $ Delta lambda_{} $ — бесконечно малая величина. Обе эти кривые должны касаться огибающей
$ mathbf L_{} $ в бесконечно близких точках $ V_{} $ и $ V_{1} $.
Рассмотрим точку $ P_{} $ пересечения этих кривых. Ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям, а, следовательно и уравнению
$$
frac{Psi(x,y,lambda + Delta lambda )-Psi(x,y,lambda)}{Delta lambda } = 0 .
$$
Если устремить $ Delta lambda_{} $ к нулю, то, во-первых, последнее соотношение будет
стремиться к
$$
frac{partial Psi(x,y,lambda)}{partial lambda} = 0 ,
$$
а, во-вторых, точки $ P_{} $ и $ V_{1} $ будут стремиться к точке $ V_{} $, лежащей на кривой
$$
Psi(x,y,lambda)=0 .
$$

Таким образом, в точке $ V_{} $ должны быть выполнены оба условия теоремы. Покажем теперь, что в этой точке касательная к дискриминантной кривой совпадает с касательной к огибаемой кривой $ mathbf K_{} $. Для этого сделаем еще одно дополнительное предположение: будем считать, что в точке $ V_{} $
$$
frac{partial^2 Psi(x,y,lambda)}{partial lambda^2} ne 0 .
$$
Это условие гарантирует, что уравнение
$$
frac{partial Psi(x,y,lambda)}{partial lambda} = 0
$$
задает неявную функцию $ lambda_{} $ — как функцию $ x_{} $ и $ y_{} $:
$$ lambda = Lambda (x,y) $$
причем эта функция будет диффренцируемой в окрестности точки $ V_{} $. Тогда для получения уравнения дискриминантной кривой достаточно подставить эту функцию в уравнение $ Psi(x,y,lambda)_{}=0 $:
$$
Psi(x,y,Lambda(x,y))=0 .
$$
В точке $ V_{} $ ее дифференциал равен:
$$
frac{partial Psi(x,y,lambda)}{partial x}d, x + frac{partial Psi(x,y,lambda)}{partial y}d, y + frac{partial Psi(x,y,lambda)}{partial lambda}d, Lambda .
$$
Последнее слагаемое пропадает, поскольку по предположению, частная производная по $ lambda_{} $ равна нулю. Таким образом, получившийся дифференциал функции, задающей дискриминантную кривую, совпадает в точке $ V_{} $ с дифференциалом функции $ Psi(x,y,lambda)_{} $, задающей огибаемую кривую. Следовательно, совпадают и касательные к этим кривым — при дополнительном предположении, что точка $ V_{} $ неособенная.

Приведенные выше геометрические рассуждения могут быть подвергнуты суровой критике со стороны строгих математиков. Можно привести контрпримеры к приведенной схеме: например, для случая семейства $ { y =(x-lambda)^{3} } $ кубических парабол, мы не будем иметь точек пересечения близких огибаемых кривых… Со вздохом раскаяния, я сошлюсь только на правила пользования настоящим ресурсом.

Пример. Найти огибающую семейства эллипсов

$$ frac{x^2}{a^2}+ frac{y^2}{(1-a)^2}=1 npu a in ]0,1[ . $$

Решение. Здесь дискриминантная кривая

получается исключением параметра $ a_{} $ из системы
$$
frac{x^2}{a^2}+ frac{y^2}{(1-a)^2}=1, frac{x^2}{a^3}-frac{y^2}{(1-a)^3} = 0 .
$$
Выражаем из второго уравнения $ a_{} $:
$$
a=frac{x^{2/3}}{x^{2/3}+y^{2/3}} ,
$$
(здесь существенно ограничение $ 0< a_{} < 1 $ из условия) подставляем в первое:
$$
x^{2/3}+y^{2/3}=1 .
$$
Получившаяся кривая называется астроидой.

♦

Теорема. Если функция $ Psi(x,y,lambda)_{} $ является полиномом относительно $ lambda_{} $, то дискриминантная кривая задается уравнением

$$
{mathcal D}_{lambda} (Psi(x,y,lambda)) = 0 .
$$
Здесь дискриминант берется по переменной $ lambda_{} $, в то время как остальные переменные считаются параметрами.

Пример. Если переписать уравнение семейства эллипсов из предыдущего примера в виде
$$ (1-a)^2x^2+a^2y^2-a^2(1-a)^2=0 quad iff quad -a^4+2,a^3+(x^2+y^2-1)a^2-2,x^2a+x^2 =0 , $$
то применение теоремы даст представление дискриминантной кривой:
$$
-16,x^2y^2((x^2+y^2-1)^3+27,x^2y^2)=0 .
$$
Случаи $ x=0 $ или $ y=0 $ соответствуют значениям параметра $ a_{} $, лежащим на границах рассматриваемого интервала. Тот факт, что оставшийся множитель определяет именно астроиду устанавливается с помощью замены переменных $ u=x^{2/3}, v=y^{2/3} $.

♦

Частным случаем огибающей является эквидистанта — кривая, «равноудаленная» от данной кривой $ mathbf K_{} $. Подробнее

☞

ЗДЕСЬ.

Фактически любая гладкая кривая является огибающей семейства своих касательных.

Пример. Семейство касательных к параболе $ y=x^2 $ задается уравнением

$$
frac{x-alpha}{1}=frac{y-alpha^2}{2alpha} quad iff
$$
$$
alpha^2-2,alpha, x+y=0 .
$$
Здесь параметр $ alpha_{} $ отвечает за абсциссу точки параболы. Дискриминант последнего квадратного уравнения относительно $ alpha_{} $, приравненный нулю, дает уравнение исходной параболы.

♦

Каустика

Теория огибающих имеет важное приложение в оптике. Пусть точечный источник света расположен в точке
$ mathbf A_{} $ плоскости. Лучи света, исходящие из $ mathbf A_{} $, падают на кривую $ mathbf Z_{} $,
которая является зеркалом, и, отражаются от нее по правилу равенства углов падения и отражения.
Огибающую всех отраженных лучей называют катакаустикой¹⁾ или фокальной линией отражения.

Теорема. Пусть точка $ mathbf A_{} $ имеет координаты $ (x_{0},y_0) $. Тогда уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от точки $ (X,Y_{}) $ зеркала $ mathbf Z_{} $ имеет вид:
$$ T_0N+N_0T=0 , $$
где

$ N=0_{} $ — уравнение в декартовых координатах $ (x,y_{}) $ касательной к кривой $ mathbf Z_{} $ в точке $ (X,Y) $;
$ T=0_{} $ — уравнение в декартовых координатах $ (x,y_{}) $ нормали к кривой $ mathbf Z_{} $ в точке $ (X,Y) $;
$ N_{0} $ и $ T_{0} $ — результат подстановки $ x=x_0,y=y_{0} $ в выражения для $ N_{} $ и $ T_{} $.

Если зеркало $ mathbf Z_{} $ задано параметрически уравнениями

$$ X= zeta (t), Y= eta (t) npu t in [a,b] , $$
то уравнение
$$
(x-zeta)left[2(x_0-zeta)zeta’ eta’ + (y_0 -eta){(eta’)^2- (zeta’)^2} right]-
$$
$$
-(y-eta)left[ 2(y_0-eta)zeta’ eta’ -(x_0 -zeta)left{(eta’)^2- (zeta’)^2right} right]=0
$$
определяет прямую, на которой лежит луч, отраженный от зеркала в точке $ (X, Y_{}) $.

Для получения огибающей этого семейства прямых нужно продифференцировать это уравнение по $ t_{} $. Два получившихся уравнения крайне громоздки и исключить из них переменную $ t_{} $ в общем случае затруднительно. Тем не менее, можно сравнительно легко найти параметрическое представление дискриминантной кривой. Дело в том, что оба уравнения являются линейными по переменным $ x_{} $ и $ y_{} $, и получившуюся систему можно разрешить — например, по формулам Крамера.

Пример. Найти катакаустику при отражении от параболы $ y=x^{2} $ и при источнике света,
расположенном в точке $ x=0,y=2_{} $.

На рисунке падающие лучи показаны желтым, отраженные — красным.

Решение. Имеем $ zeta = t,, eta=t^{2} $ и уравнение семейства отраженных прямых
$$
(4,t^4-5,t^2+2)x+7,yt-4,t^5-2,t^3-2,t=0 .
$$
Для нахождения уравнения огибающей данного семейства, вычисляем дискриминант этого полинома, рассматриваемого относительно переменной $ t_{} $:
$$
Phi(x,y) =784,(16,x^2+(4,y-1)^2) times
$$
$$
times left{8,x^6-(1323,y^2-1932,y+876)x^4+
24(637,y^2-868,y+340)x^2-64(7,y-2)^3right}=0 .
$$
Это уравнение определяет одну изолированную точку $ x=0_{}, y=1/4 $ (фокус параболы) и некоторую кривую, симметричную относительно оси $ {mathbf O}y_{} $. Мы выделим только ее кусок, лежащий внутри параболы:

Теперь проиллюстрируем другой способ представления каустики — в параметрическом виде. Продифференцируем уравнение семейства по параметру $ t_{} $:
$$ (16,t^3-10,t)x+7,y-20,t^4-6,t^2-2 = 0 $$
и разрешим получившуюся систему относительно $ x_{} $ и $ y_{} $:
$$ x= frac{4,t^3}{3,t^2-2},quad y =frac{2(9,t^4-2,t^6-3,t^2-2)}{7(3,t^2-2)} .
$$

Заметим, что если бы мы двигали источник света по оси $ {mathbf O}y $ по направлению к фокусу параболы, то отраженные от нее лучи пересекались бы все дальше и дальше, пока не стали бы параллельными этой оси. На этом факте основано применение параболы: отражающая поверхность прожектора делается в виде параболоида вращения, в фокус которого помещается источник света.

♦

Можно и «обратить» процесс, заставив лучи, приходящие «из бесконечности» собираться в фокусе — тогда мы получаем параболическую антенну спутникового телевидения, или же боевое оружие античности, первое появление которого принято связывать с именем Архимеда.

Исторический обзор. Греческий историк Полибий описывает эпизод II Пунической войны (218-202 до н.э.) — осаду Сиракуз Марцеллом:

Архимед самым невероятым
образом сжег римский флот. Направив особое зеркало на Солнце, он собрал пучки его лучей и, благодаря
толщине и гладкости зеркала, сумел зажечь солнечным светом воздух так, что возникло колоссальное пламя.
Он направил лучи на стоявшие на якоре корабли, и они сгорели дотла.

Согласно другому описанию хрониста Иоаннеса Цеци (конец XII века), ссылавшегося на греческого историка Диодора Сицилийского (I в. до н.э.):

когда Марцелл убрал корабли на расстояние, превышающее полет стрелы, старец соорудил особое шестиугольное
зеркало; на расстоянии, пропорциональном размеру зеркала, он расположил похожие четырехугольные зеркала,
которые можно было перемещать с помощью специальных рычагов и шарниров. Зеркало он обратил к полуденному солнцу
и, когда пучки лучей отразились в нем, огромное пламя вспыхнуло на кораблях и с расстояния полета стрелы обратило
их в пепел.

По сведению греческого писателя Лукиана (II в. н.э.), Архимед построил шестиугольное зеркало, набранное из
небольших шестиугольных зеркал. Каждое из них было закреплено на шарнирах и приводилось в движение цепным
приводом. Благодаря этому углы поворота зеркал можно было подобрать таким образом, чтобы отраженные солнечные
лучи сфокусировались в точке, находящейся на расстоянии 300 локтей (150 метров).

Во втором века до н.э. Диокл в работе «О зажигательных зеркалах» отмечал, что поверхность, являющаяся параболоидом вращения, отражает солнечные лучи в одну точку.

Эти свидетельства производили на потомков глубокие впечатления: практически все естествоиспытатели упоминали
о них ( Кардано, да Винчи), или же пытались их воспроизвести. Противником легенды выступил Декарт: на основании
строгого анализа, основанного на том, что Солнце нельзя считать точечным источником света, он заключил:

Только люди, не слишком сведущие в оптике, убеждены в реальности многих небылиц; эти зеркала, с помощью которых
Архимед якобы сжег издали корабли, либо были чрезвычайно велики, либо, что вероятнее, вовсе не существовали.

Авторитет Декарта был настолько высок, что зеркала Архимеда стали считаться вымыслом.

Однако на защиту легенды встали ученые-практики. Первым был Чирнгауз,
проводивший исследования cвойств катакаустик, образуемых параллельными лучами, отраженными от сферических вогнутых зеркал и от зеркал с меридиональным сечением в виде циклоиды. Он также изготовлял вогнутые зеркала большого диаметра и большой зажигательной силы.
Самое большое вогнутое зеркало (из меди), им устроенное, имело 3 лейпцигских локтя ($ approx 170 $ см.) в диаметре и 2 фута ($ approx 57 $ см. (?)²⁾) фокусного расстояния; оно описано в статье

Источник.

Relatio de insignibus novi cujusdam speculi ustorii effectibus³⁾ («Acta Eruditorum», 1687 и 1688).

Бюффон в 1747 г. опубликовал работу «Изобретение зеркал
для воспламенения предметов на больших расстояниях». Он соединил 150 отдельных отражательных зеркал и сфокусировал
их в одну зону. В полдень 10 апреля 1747 года он зажег сосновую доску с расстояния 50 метров. Он был убежден,
что проведение эксперимента летом позволит увеличить это расстояние вдвое.

Проведенные эксперименты возродили интерес научной общественности к катоптрике — разделу оптики, в котором изучается теория изображений, даваемых зеркально отражающими поверхностями. Дань ей отдал и Ломоносов, опубликовавший в 1741 г. «Рассуждение о
катоптрико-диоптрическом зажигательном эксперименте». Инструмент Ломоносова состоял из ряда зеркал, которые
направляли солнечные лучи на линзы, фокусировавших их в одну точку.

В нашу эпоху эксперименты повторялсь. 3 ноября 1973 года в заливе Кепал на территории морской базы вблизи Афин
под руководством греческого инженера Сакаса 70 матросов напрявляли зеркала $ 1.7times 0.7 $ метров на
деревянную лодку, покрытую смолой, расположенную на расстоянии 55 метров. Лодка воспламенилась через
3 минуты. 15 сентября 2002 года 500 человек с помощью зеркал $ 0.45 times 0.45 $ метров воспламенили корабельный
парус на расстоянии 50 метров за несколько минут, при этом в фокусе зеркала энергия достигала 500 кВт.ч.

Источник. Часть данных для исторического обзора взяты из статьи

Стафеев С.К., Томилин М.Г. Солнечное оружие Архимеда. Машины и механизмы. 4, 2008, C. 80-87

Оригинал фотографии зеркала Чирнгауза ☞ ЗДЕСЬ

Показать несостоятельность физической модели, предложенной в произведении А.Н.Толстого:

Это просто, как дважды два. Чистая случайность, что это до сих пор не было построено. Весь секрет в гиперболическом зеркале (А), напоминающем формой зеркало обыкновенного прожектора, и в кусочке шамонита (В), сделанном также в виде гиперболической сферы. Закон гиперболических зеркал таков…

Лучи света, падая на внутреннюю поверхность гиперболического зеркала, сходятся все в одной точке, в фокусе гиперболы. Это известно. Теперь вот что неизвестно: я помещаю в фокусе гиперболического зеркала вторую гиперболу (очерченную, так сказать, навыворот) — гиперболоид вращения, выточенный из тугоплавкого, идеально полирующегося минерала — шамонита (В), — залежи его на севере России неисчерпаемы. Что же получается с лучами?

Лучи, собираясь в фокусе зеркала (А), падают на поверхность гиперболоида (В) и отражаются от него математически параллельно, — иными словами, гиперболоид (В) концентрирует все лучи в один луч, или в «лучевой шнур» любой толщины. Переставляя микрометрическим винтом гиперболоид (В), я по желанию увеличиваю или уменьшаю толщину «лучевого шнура». Потеря его энергии при прохождении через воздух ничтожна. При этом я могу довести его (практически) до толщины иглы…

— Во время первых опытов я брал источником света несколько обычных стеариновых свечей. Путем установки гиперболоида (В) я доводил «лучевой шнур» до толщины вязальной спицы и легко разрезывал им дюймовую доску. Тогда же я понял, что вся задача – в нахождении компактных и чрезвычайно могучих источников лучевой энергии. За три года работы, стоившей жизни двоим моим помощникам, была создана вот эта угольная пирамидка. Энергия пирамидок настолько уже велика, что, помещенные в аппарат, и … зажженные (горят около пяти минут), они дают «лучевой шнур», способный в несколько секунд разрезать железнодорожный мост… Вы представляете, какие открываются возможности? В природе не существует ничего, что бы могло сопротивляться силе «лучевого шнура»… Здания, крепости, дредноуты, воздушные корабли, скалы, горы, кора земли —все пронижет, разрушит, разрежет мой луч… [5].

Пример. Катакаустика при отражении от полуокружности при источнике света, находящемся «на бесконечности»

дает представление о картинке, наблюдаемой при отражении солнечных лучей от поверхности чашки [6]:

Получим теперь формулы для каустики. Для окружности $ x=cos t, y=sin t_{} $ и источнике света, находящемся в бесконечности на оси $ mathbf Oy $, уравнение семейства отраженных лучей имеет вид:
$$x+yoperatorname{tg} 2,t -cos t – operatorname{tg} 2,t sin t=0 . $$
Дифференцируем это равенство по $ t_{} $ и находим $ y_{} $, затем подстановкой в исходное устанавливаем $ x_{} $:
$$x=frac{1}{2}cos,t,(1+cos 2,t)=cos^3 t ,quad y=frac{1}{2}sin,t,(2+cos 2,t) . $$
Из этих уравнений можно найти и неявное представление каустики в виде
$$ [4(x^2+y^2)-1]^3-27,x^2=0 . $$
Эта кривая известна как нефроида и относится к типу эпициклоид⁴⁾.

♦

Пример. Катакаустика при отражении от окружности при источнике света, находящемся внутри нее:

Для окружности $ x^2+y^{2} =1 $ и при $ x_{0}=0,y_0=4/5 $ имеем уравнение каустики в виде:
$$-210681,x^6+(-362043,y^2-182520,y+272592)x^4+ $$
$$
+(-92043,y^4-365040,y^3+386784,y^2+149760,y-80640)x^2+
$$
$$
+(13,y+4)^3(3,y-4)^3=0 .
$$
При источнике на самой окружности — например, при $ x_{0}=0,y_0=1 $, — получим уравнение каустики в виде
$$ 27(x^2+y^2)^2-18(x^2+y^2)-8y-1=0 ; $$
оно определяет замкнутую кривую

которая называется кардиоидой.

♦

Эволюта и эвольвента

Эволютой кривой $ mathbf K $ называется огибающая семейства нормалей к этой кривой. По отношению к своей эволюте кривая $ mathbf K $ называется эвольвентой⁵⁾ .

Теорема. Для кривой, заданной параметрически уравнениями $ X=zeta(t), Y=eta(t) $, представление эволюты в параметрическом виде:

$$
x=zeta- eta’frac{(zeta’)^2+(eta’)^2}{zeta’eta”-eta’zeta”},quad
y=eta+ zeta’frac{(zeta’)^2+(eta’)^2}{zeta’eta”-eta’zeta”} .
$$

Доказательство основано на общем способе построения огибающей кривой семейства: из системы линейных уравнений
$$
begin{array}{lcl}
x zeta'(t) + y eta'(t)&=&zeta'(t)zeta(t) + eta'(t) eta(t), \
x zeta”(t) + y eta”(t)&=&zeta”(t)zeta(t) + eta”(t) eta(t) +(zeta'(t))^2+ (eta'(t))^2.
end{array}
$$
(где первое уравнение задает семейство нормалей к кривой, а второе получается дифференцированием первого по параметру $ t_{} $) выражаются $ x_{} $ и $ y_{} $.

♦

Определитель этой системы представляет вронскиан системы функций $ {zeta'(t),eta'(t)} $, если он тождественно по $ t_{} $ равен нулю, то указанные функции линейно зависимы.

Пример. Найти эволюту эллипса $ x^2/4+y^{2}=1 $.

Решение. Здесь $ zeta(t)=2cos(t),eta(t)=sin(t) $. Теорема дает уравнения эволюты в виде:
$$
x=3/2 cos^3(t),y=-3sin^3(t) quad npu quad tin [0, 2pi];
$$
из них можно получить уравнение в неявном виде:
$$ (2,x)^{2/3}+y^{2/3}=3^{2/3} ; $$
эта кривая оказывается уже встречавшейся нам ВЫШЕ астроидой.

♦

Статья не закончена!

Огибающая поверхность

Рассмотрим теперь семейство $ left{ mathbf P(lambda_{}) right} $ поверхностей в $ mathbb R^{3} $, зависящих от параметра $ lambda_{} $, принимающего значения из интервала $ [a,b] in mathbb R $.
Если существует некоторая поверхность $ mathbf Q_{} $, которая в каждой своей точке касается некоторой поверхности рассматриваемого семейства, то эта поверхность $ mathbf Q_{} $ называется огибающей семейства поверхностей $ left{ mathbf P(lambda_{}) right} $.

Видим, что это определение аналогично определению огибающей кривой, за одним только исключением: в определении огибающей кривой ставится ограничение на то, что эта кривая не должна совпадать ни с одной кривой семейства на каком-то своем участке, «отрезке». А в определение огибающей поверхности аналогичного требования не приводится. На самом деле, это дополнительное ограничение должно присутствовать — хотя бы для того, чтобы отсечь случай, когда за огибающую поверхность семейства может быть взята любая поверхность этого семейства. Не буду слишком уделять внимания формальностям, считая интуитивно понятным характер ограничения, «дополняющего» определение.

Пусть поверхности семейства $ left{ mathbf P(lambda_{}) right} $ заданы уравнением
$$ Psi(x,y,z,lambda)=0 , $$
где $ Psi(x,y,z,lambda) $ — функция, непрерывно дифференцируемая по своим аргументам. Геометрическое место точек пространства $ (x,y_{},z) $, удовлетворяющих условиям
$$
Psi(x,y,z,lambda)=0, frac{partial Psi(x,y,z,lambda)}{partial lambda} = 0
$$
называется дискриминантной поверхностью семейства $ left{ mathbf P(lambda_{}) right} $.

Пример. [2] Составить уравнение огибающей поверхности системы шаров одинаковых радиусов $ r_{} $,
центры которых лежат на кривой

$$ x=phi(lambda), y=chi(lambda),z=psi(lambda) , . $$
В частности, получить
уравнение искомой поверхности, если центры шаров лежат на окружности $ x=R cos lambda, y=R sin lambda, z = 0 $.

Решение. Уравнение семейства шаров:
$$ (x-phi(lambda))^2 +(y-chi(lambda))^2+(z-psi(lambda))^2-r^2=0 . $$
Дифференцируем это равенство по параметру $ lambda_{} $:
$$ (x-phi(lambda)) phi^{prime}(lambda) +(y-chi(t))chi^{prime}(lambda)+(z-psi(lambda))psi^{prime}(lambda)=0 . $$
Уравнение огибающей поверхности получается исключением параметра $ lambda_{} $ из этой системы уравнений.
В приведенном частном случае уравнения дискриминантной поверхности:
$$
(x-R cos lambda)^2 + (y-R sin lambda)^2+z^2-r^2=0,quad xsin lambda – y cos lambda =0 .
$$
Исключаем $ lambda_{} $. Из первого уравнения имеем:
$$
(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)=2R(x cos lambda+ y sin lambda) .
$$
Возводим в квадрат:
$$
(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2=4R^2(x^2 cos^2 lambda+ y^2 sin^2 lambda+2 xy cos lambda sin lambda) .
$$
Представим правую часть в виде
$$
4R^2(x^2 (1-sin^2 lambda)+ y^2 (1-cos^2 lambda)+2 xy cos lambda sin lambda)=
4R^2(x^2+y^2)-4R^2 (x^2sin^2 lambda+ ycos^2 lambda-2 x ycos lambda sin lambda )=
$$
$$
=4R^2(x^2+y^2)-4R^2 (xsin lambda – y cos lambda)^2 .
$$
Теперь воспользуемся вторым из уравнений, задающих дискриминантную поверхность. Уравнение огибающей поверхности:
$$
(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2=4,R^2(x^2+y^2) .
$$
Что это за поверхность?

♦

Задачи

Источники

Источник

103

Особый интерес
вызывает рассмотрение уравнения Клеро
.
Может показаться, что это всего лишь
частный случай уравнения Лагранжа,
когда.

На самом деле, в
связи с этим уравнением затрагиваются
такие геометрические свойства семейства
кривых, которые не проявляются при
решении других дифференциальных
уравнений первого порядка.

Изучение совокупных
свойств семейства интегральных кривых
уравнения Клеро приводит к понятиям:
огибающая семейства
кривыхиособые
решениядифференциальных
уравнений.

§ 1. Семейство кривых линий.

Уравнение кривой
линии (просто кривой) в общем случае
можно определить выражением
.
Бывает, в уравнение кривой включают
один или несколькопараметров.
Параметрам могут присваиваться различные
значения. Мы будем рассматривать только
случаи, когда в выражение кривой входит
только один параметр:(1)

Присутствие
параметра
в выражении(1)будем использовать следующим образом:

▪ параметр
принимает произвольное (допустимое)
значениеи определяет некоторую кривую линию;

▪ при изменении
параметра
кривая линия меняет свою форму и
расположение на плоскости.

Совокупность
всех, определяемых уравнением (1)кривых, называютсемейством
кривыхс одним параметром –однопараметрическое
семейство, а уравнение(1)уравнением этого семейства кривых.

Говорят, что две
кривые в точке
касаются, если они имеют в этой точке
общую касательную. Может случиться, что
существует такая кривая, что в каждой
ее точке одна или несколько кривых
семейства имеют касание. Изучению
свойств таких кривых и поиску способов
их нахождения посвящен следующий
параграф.

§ 2. Огибающая линия семейства кривых.

Используя
понятия семейства кривых и касания
кривых в точке, определим огибающую
линию семейства кривых:

Определение:

(6.1)

Кривая,
которая касается каждой кривой
семейства в одной или в нескольких
точках, причем вся состоит только из
таких точек касания, называется
огибающей
данного семейства.

Замечание:
мы будем рассматривать только такую
огибающую линию, через каждую точку
которой проходит только одна кривая
семейства.

Из
замечания следует, что каждой точке
огибающей соответствует только одно
значение параметра.
Это значит, каждая точка огибающей
определяется заданием параметра:

=,=,(2)

что можно
рассматривать как параметрическое
определение огибающей линии. Предполагается,
что:
,и
– непрерывные и дифференцируемые
функции.

Из принятых
обозначений следует, что для каждой
точки огибающей имеет место тождество:
.(3)

Запишем полный
дифференциал для тождества (3):

, (4)

причем
иозначают дифференциалы функций=,=.

Теперь выразим
аналитически тот факт, что в выделенной
точке
=:

▪ касательная к
кривой семейства (1):;(5)

▪ касательная к
огибающей линии (2):=(6)

должны совпадать.
Условие совпадения касательных можно
записать в виде:

, (7)

причем,
как и прежде, имеем в виду, что иозначают дифференциалы функцийи.

Замечание:
1). Выражения(5)и(6)действительно
выражают касательные к кривым, если
рассматриваемая точка не является
особой, то есть не нарушается требование
непрерывности и дифференцируемости
функций,и.

2). Равенство (7)выполняется даже дляособых
точек(!) некоторых кривых
семейства: ведь особые точки кривой,
заданной неявным уравнением:,
определяются одновременно выполняемыми
равенствами,.

Сопоставляя (7)
и (4), учитывая, что– произвольное число, получаем требование
к функциям(2) из
условия касания:или в развернутом виде:

. (8)

Тождества (3)
и (8) показывают, что у кривой семейства
и огибающей общие точкаи касательная. Этот факт определяется
системой уравнений:

(9)

Итак, если
огибающая линия для семейства кривых
существует, тоеё
параметрические уравнения(2)получаются как решение
системы(9) относительно переменных
величини.

Если системы (9) не
допускает решений
=,=,
то огибающей у исследуемого семейства
кривых нет.

А что если, записав
и решив систему (9), получили равенства
(2). Будут ли функции
=,=определять кривую линия без особых
точек?

Так как функции
(2) удовлетворяют системе (9), то будут
выполняться тождества (3) и (8). Дифференцируя
(3), получим (4), а сопоставляя (4) с (8),
получаем (7). Так как рассматриваемая
точка не является особой для соответствующей
кривой семейства, то уравнение (5) выражает
касательную к названной кривой, а
равенство (7) определяет совпадение этой
касательной с касательной (6) к кривой
(2). В результате имеем: если
кривая(2)получена
решением системы(9),то
кривая(2)будет
огибающей семейства кривыхв
том случае, когда кривые семейства не
имеют особых точек.

Если кривые
семейства имеют особые точки, причём
множество этих точек образует кривую
линию (2), то в этом случае выполняется
(3), а тогда, в соответствии с Замечанием
2), и (7). Совместно условия (3) и (7) определяют
(8), а значит, и систему (9). В этом случае
кривая
=,=может не быть огибающей. Итак, при наличии
особых точек кривая (2), полученная
решением системы (9), подлежит проверке.
Эта кривая может быть:

▪ огибающей;

▪ геометрическим
местом особых точек на кривых семейства;

▪ частью огибающей
и частью таким геометрическим местом.

Обычно при разыскании
огибающей линии семейства кривых
поступают так. Не останавливаясь на
записи системы, исключают из неё параметр
и получают выражение вида:

.
(10)

Очевидно, все точки
кривой (2), полученной решением системы
(9), должны удовлетворять уравнению (10).
В этом случае общая схема анализа
полученных результатов такова:

▪ если уравнение
(10) не выражает никакой кривой, то
огибающей нет;

▪ если уравнение
(10) выражает кривую, то её называют
дискриминантнойкривой.

Дискриминантной
кривой может оказаться:

▪ либо огибающая,
если она существует;

▪ либо геометрическое
место особых точек на кривых семейства,
если такие имеются;

▪ одна или несколько
кривых семейства: в этом случае
бесконечному множеству точек
дискриминантной кривой будет
соответствовать одно и то же значение
параметра
,
совместно с ними удовлетворяющими
системе (9).

Замечание:
1). Рассмотренные теоретические основы
понятия огибающей линии для семейства
кривых вполне очевидно показывают
сложность решаемой задачи.

2). Ниже будут
рассмотрены конкретные примеры, которые
вполне помогут освоить практические
методы нахождения огибающей линии для
семейства кривых.

☺☺

Пример 6–01:
Пусть имеем семейство окружностей:

(здесь
– радиус окружности;
–
параметр, который определяет центр
окружности
и может принимать любые значения). Найти
огибающую линию этого семейства кривых.

Решение:

1). Запишем систему
уравнений:
а именно:

2).
Исключим из системы уравнений параметр.
Получаем функцию,
которая в рассматриваемом примере имеет
вид:,
или,
что определяет две прямые, параллельные
оси(это можно было предвидеть, исходя из
геометрических соображений).

Замечание:
Заданное семейство кривых таково, что
любая из кривых семейства не имеет
особых точек. Это определило простейший
случай нахождения огибающей линии
заданного семейства!..

Ответ:
огибающая
линия:
,
на рисунке выделена красным.

Пример
6–02:
Пусть имеем семейство кривых:
.
Найти огибающую линию этого семейства
кривых.

Решение:

1). Дифференцируя
уравнение семейства по параметру a,
получим:,
или.

2). Используя
уравнение семейства кривых и результат
дифференцирования по параметру, запишем
систему:
откуда нетрудно получить уравнение
огибающей заданного семейства:– ось.

Ответ:

– ось
.

Замечание:
1). В Примере 6-01 огибающая как бы
ограничивает (огибает)
часть плоскости, занятую кривыми
семейства (ещё говорят: кривые семействазаметаютчасть
плоскости, ограниченной огибающей).

2). Пример 6-02
показывает картинкусемейства кривых линий и их огибающей
линии, не похожую на картинку,
рассматриваемую в Примере 6-01.

☻

Источник

VMath

Инструменты сайта

Основное

Информация

Действия

Содержание

Огибающая

Огибающая кривая

Рассмотрим семейство плоских кривых $ left< mathbf K(lambda_<>) right> $, зависящих от параметра $ lambda_<> $, принимающего значения из интервала $ [a,b] in mathbb R_<> $. Если существует некоторая кривая $ mathbf L_<> $, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой рассматриваемого семейства, но при этом не совпадает ни с одной из них на протяжении какого-либо своего участка, то эта кривая $ mathbf L_<> $ называется огибающей семейства кривых $ left < mathbf K(lambda) right>$.

Пример. Для семейства окружностей (в зеленом цвете) каждая из прямых на левом рисунке считается огибающей, а составная кривая (красная) на правом — не считается:

Пусть кривые семейства $ left< mathbf K(lambda_<>) right> $ заданы уравнением $$ Psi(x,y,lambda)=0 , $$ где $ Psi(x,y,lambda_<>) $ — функция, непрерывно дифференцируемая по своим аргументам. Геометрическое место точек плоскости $ (x,y_<>) $, удовлетворяющих условиям $$ Psi(x,y,lambda)=0, frac<partial Psi(x,y,lambda)> <partial lambda>= 0 $$ называется дискриминантной кривой семейства $ left < mathbf K(lambda) right>$.

Откуда взялась дискриминантная кривая? Возьмем две кривые семейства $ mathbf K_<> $ и $ mathbf K_ <1>$: $$ Psi(x,y,lambda)=0 quad u quad Psi(x,y,lambda +Delta lambda )=0 , $$ где $ Delta lambda_<> $ — бесконечно малая величина. Обе эти кривые должны касаться огибающей $ mathbf L_<> $ в бесконечно близких точках $ V_<> $ и $ V_ <1>$. Рассмотрим точку $ P_<> $ пересечения этих кривых. Ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям, а, следовательно и уравнению $$ frac<Psi(x,y,lambda + Delta lambda )-Psi(x,y,lambda)> <Delta lambda >= 0 . $$ Если устремить $ Delta lambda_<> $ к нулю, то, во-первых, последнее соотношение будет стремиться к $$ frac<partial Psi(x,y,lambda)> <partial lambda>= 0 , $$ а, во-вторых, точки $ P_<> $ и $ V_ <1>$ будут стремиться к точке $ V_<> $, лежащей на кривой $$ Psi(x,y,lambda)=0 . $$

Таким образом, в точке $ V_<> $ должны быть выполнены оба условия теоремы. Покажем теперь, что в этой точке касательная к дискриминантной кривой совпадает с касательной к огибаемой кривой $ mathbf K_<> $. Для этого сделаем еще одно дополнительное предположение: будем считать, что в точке $ V_<> $ $$ frac<partial^2 Psi(x,y,lambda)> <partial lambda^2>ne 0 . $$ Это условие гарантирует, что уравнение $$ frac<partial Psi(x,y,lambda)> <partial lambda>= 0 $$ задает неявную функцию $ lambda_<> $ — как функцию $ x_<> $ и $ y_<> $: $$ lambda = Lambda (x,y) $$ причем эта функция будет диффренцируемой в окрестности точки $ V_<> $. Тогда для получения уравнения дискриминантной кривой достаточно подставить эту функцию в уравнение $ Psi(x,y,lambda)_<>=0 $: $$ Psi(x,y,Lambda(x,y))=0 . $$ В точке $ V_<> $ ее дифференциал равен: $$ frac<partial Psi(x,y,lambda)><partial x>d, x + frac<partial Psi(x,y,lambda)><partial y>d, y + frac<partial Psi(x,y,lambda)><partial lambda>d, Lambda . $$ Последнее слагаемое пропадает, поскольку по предположению, частная производная по $ lambda_<> $ равна нулю. Таким образом, получившийся дифференциал функции, задающей дискриминантную кривую, совпадает в точке $ V_<> $ с дифференциалом функции $ Psi(x,y,lambda)_<> $, задающей огибаемую кривую. Следовательно, совпадают и касательные к этим кривым — при дополнительном предположении, что точка $ V_<> $ неособенная.

Пример. Найти огибающую семейства эллипсов

Решение. Здесь дискриминантная кривая

получается исключением параметра $ a_<> $ из системы $$ frac+ frac<(1-a)^2>=1, frac-frac <(1-a)^3>= 0 . $$ Выражаем из второго уравнения $ a_<> $: $$ a=frac>+y^<2/3>> , $$ (здесь существенно ограничение $ 0 ♦

Теорема. Если функция $ Psi(x,y,lambda)_<> $ является полиномом относительно $ lambda_<> $, то дискриминантная кривая задается уравнением

$$ <mathcal D>_ <lambda>(Psi(x,y,lambda)) = 0 . $$ Здесь дискриминант берется по переменной $ lambda_<> $, в то время как остальные переменные считаются параметрами.

Пример. Если переписать уравнение семейства эллипсов из предыдущего примера в виде $$ (1-a)^2x^2+a^2y^2-a^2(1-a)^2=0 quad iff quad -a^4+2,a^3+(x^2+y^2-1)a^2-2,x^2a+x^2 =0 , $$ то применение теоремы даст представление дискриминантной кривой: $$ -16,x^2y^2((x^2+y^2-1)^3+27,x^2y^2)=0 . $$ Случаи $ x=0 $ или $ y=0 $ соответствуют значениям параметра $ a_<> $, лежащим на границах рассматриваемого интервала. Тот факт, что оставшийся множитель определяет именно астроиду устанавливается с помощью замены переменных $ u=x^<2/3>, v=y^ <2/3>$. ♦

Пример. Семейство касательных к параболе $ y=x^2 $ задается уравнением

$$ frac<1>=frac <2alpha>quad iff $$ $$ alpha^2-2,alpha, x+y=0 . $$ Здесь параметр $ alpha_<> $ отвечает за абсциссу точки параболы. Дискриминант последнего квадратного уравнения относительно $ alpha_<> $, приравненный нулю, дает уравнение исходной параболы. ♦

Каустика

Теория огибающих имеет важное приложение в оптике. Пусть точечный источник света расположен в точке $ mathbf A_<> $ плоскости. Лучи света, исходящие из $ mathbf A_<> $, падают на кривую $ mathbf Z_<> $, которая является зеркалом, и, отражаются от нее по правилу равенства углов падения и отражения. Огибающую всех отраженных лучей называют катакаустикой 1) или фокальной линией отражения.

Теорема.Пусть точка $ mathbf A_<> $ имеет координаты $ (x_<0>,y_0) $. Тогда уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от точки $ (X,Y_<>) $ зеркала $ mathbf Z_<> $ имеет вид: $$ T_0N+N_0T=0 , $$ где

Если зеркало $ mathbf Z_<> $ задано параметрически уравнениями

$$ X= zeta (t), Y= eta (t) npu t in [a,b] , $$ то уравнение $$ (x-zeta)left[2(x_0-zeta)zeta’ eta’ + (y_0 -eta) <(eta’)^2- (zeta’)^2>right]- $$ $$ -(y-eta)left[ 2(y_0-eta)zeta’ eta’ -(x_0 -zeta)left <(eta’)^2- (zeta’)^2right>right]=0 $$ определяет прямую, на которой лежит луч, отраженный от зеркала в точке $ (X, Y_<>) $.

Для получения огибающей этого семейства прямых нужно продифференцировать это уравнение по $ t_<> $. Два получившихся уравнения крайне громоздки и исключить из них переменную $ t_<> $ в общем случае затруднительно. Тем не менее, можно сравнительно легко найти параметрическое представление дискриминантной кривой. Дело в том, что оба уравнения являются линейными по переменным $ x_<> $ и $ y_<> $, и получившуюся систему можно разрешить — например, по формулам Крамера.

Пример. Найти катакаустику при отражении от параболы $ y=x^ <2>$ и при источнике света, расположенном в точке $ x=0,y=2_<> $.

На рисунке падающие лучи показаны желтым, отраженные — красным.

Решение. Имеем $ zeta = t,, eta=t^ <2>$ и уравнение семейства отраженных прямых $$ (4,t^4-5,t^2+2)x+7,yt-4,t^5-2,t^3-2,t=0 . $$ Для нахождения уравнения огибающей данного семейства, вычисляем дискриминант этого полинома, рассматриваемого относительно переменной $ t_<> $: $$ Phi(x,y) =784,(16,x^2+(4,y-1)^2) times $$ $$ times left<8,x^6-(1323,y^2-1932,y+876)x^4+ 24(637,y^2-868,y+340)x^2-64(7,y-2)^3right>=0 . $$ Это уравнение определяет одну изолированную точку $ x=0_<>, y=1/4 $ (фокус параболы) и некоторую кривую, симметричную относительно оси $ <mathbf O>y_<> $. Мы выделим только ее кусок, лежащий внутри параболы:

Теперь проиллюстрируем другой способ представления каустики — в параметрическом виде. Продифференцируем уравнение семейства по параметру $ t_<> $: $$ (16,t^3-10,t)x+7,y-20,t^4-6,t^2-2 = 0 $$ и разрешим получившуюся систему относительно $ x_<> $ и $ y_<> $: $$ x= frac<4,t^3><3,t^2-2>,quad y =frac<2(9,t^4-2,t^6-3,t^2-2)> <7(3,t^2-2)> . $$

Заметим, что если бы мы двигали источник света по оси $ <mathbf O>y $ по направлению к фокусу параболы, то отраженные от нее лучи пересекались бы все дальше и дальше, пока не стали бы параллельными этой оси. На этом факте основано применение параболы: отражающая поверхность прожектора делается в виде параболоида вращения, в фокус которого помещается источник света. ♦

По сведению греческого писателя Лукиана (II в. н.э.), Архимед построил шестиугольное зеркало, набранное из небольших шестиугольных зеркал. Каждое из них было закреплено на шарнирах и приводилось в движение цепным приводом. Благодаря этому углы поворота зеркал можно было подобрать таким образом, чтобы отраженные солнечные лучи сфокусировались в точке, находящейся на расстоянии 300 локтей (150 метров).

Эти свидетельства производили на потомков глубокие впечатления: практически все естествоиспытатели упоминали о них ( Кардано, да Винчи), или же пытались их воспроизвести. Противником легенды выступил Декарт: на основании строгого анализа, основанного на том, что Солнце нельзя считать точечным источником света, он заключил:

Авторитет Декарта был настолько высок, что зеркала Архимеда стали считаться вымыслом. Однако на защиту легенды встали ученые-практики. Первым был Чирнгауз, проводивший исследования cвойств катакаустик, образуемых параллельными лучами, отраженными от сферических вогнутых зеркал и от зеркал с меридиональным сечением в виде циклоиды. Он также изготовлял вогнутые зеркала большого диаметра и большой зажигательной силы. Самое большое вогнутое зеркало (из меди), им устроенное, имело 3 лейпцигских локтя ($ approx 170 $ см.) в диаметре и 2 фута ($ approx 57 $ см. (?) 2) ) фокусного расстояния; оно описано в статье

Источник.

Relatio de insignibus novi cujusdam speculi ustorii effectibus 3) («Acta Eruditorum», 1687 и 1688).

Бюффон в 1747 г. опубликовал работу «Изобретение зеркал для воспламенения предметов на больших расстояниях». Он соединил 150 отдельных отражательных зеркал и сфокусировал их в одну зону. В полдень 10 апреля 1747 года он зажег сосновую доску с расстояния 50 метров. Он был убежден, что проведение эксперимента летом позволит увеличить это расстояние вдвое.

Проведенные эксперименты возродили интерес научной общественности к катоптрике — разделу оптики, в котором изучается теория изображений, даваемых зеркально отражающими поверхностями. Дань ей отдал и Ломоносов, опубликовавший в 1741 г. «Рассуждение о катоптрико-диоптрическом зажигательном эксперименте». Инструмент Ломоносова состоял из ряда зеркал, которые направляли солнечные лучи на линзы, фокусировавших их в одну точку.

В нашу эпоху эксперименты повторялсь. 3 ноября 1973 года в заливе Кепал на территории морской базы вблизи Афин под руководством греческого инженера Сакаса 70 матросов напрявляли зеркала $ 1.7times 0.7 $ метров на деревянную лодку, покрытую смолой, расположенную на расстоянии 55 метров. Лодка воспламенилась через 3 минуты. 15 сентября 2002 года 500 человек с помощью зеркал $ 0.45 times 0.45 $ метров воспламенили корабельный парус на расстоянии 50 метров за несколько минут, при этом в фокусе зеркала энергия достигала 500 кВт.ч.

Источник. Часть данных для исторического обзора взяты из статьи

Стафеев С.К., Томилин М.Г. Солнечное оружие Архимеда. Машины и механизмы. 4, 2008, C. 80-87

Оригинал фотографии зеркала Чирнгауза ☞ ЗДЕСЬ

Показать несостоятельность физической модели, предложенной в произведении А.Н.Толстого:

Лучи света, падая на внутреннюю поверхность гиперболического зеркала, сходятся все в одной точке, в фокусе гиперболы. Это известно. Теперь вот что неизвестно: я помещаю в фокусе гиперболического зеркала вторую гиперболу (очерченную, так сказать, навыворот) — гиперболоид вращения, выточенный из тугоплавкого, идеально полирующегося минерала — шамонита (В), — залежи его на севере России неисчерпаемы. Что же получается с лучами?

Лучи, собираясь в фокусе зеркала (А), падают на поверхность гиперболоида (В) и отражаются от него математически параллельно, — иными словами, гиперболоид (В) концентрирует все лучи в один луч, или в «лучевой шнур» любой толщины. Переставляя микрометрическим винтом гиперболоид (В), я по желанию увеличиваю или уменьшаю толщину «лучевого шнура». Потеря его энергии при прохождении через воздух ничтожна. При этом я могу довести его (практически) до толщины иглы…

Пример. Катакаустика при отражении от полуокружности при источнике света, находящемся «на бесконечности»

дает представление о картинке, наблюдаемой при отражении солнечных лучей от поверхности чашки [6]:

Получим теперь формулы для каустики. Для окружности $ x=cos t, y=sin t_<> $ и источнике света, находящемся в бесконечности на оси $ mathbf Oy $, уравнение семейства отраженных лучей имеет вид: $$x+yoperatorname 2,t -cos t – operatorname 2,t sin t=0 . $$ Дифференцируем это равенство по $ t_<> $ и находим $ y_<> $, затем подстановкой в исходное устанавливаем $ x_<> $: $$x=frac<1><2>cos,t,(1+cos 2,t)=cos^3 t ,quad y=frac<1><2>sin,t,(2+cos 2,t) . $$ Из этих уравнений можно найти и неявное представление каустики в виде $$ [4(x^2+y^2)-1]^3-27,x^2=0 . $$ Эта кривая известна как нефроида и относится к типу эпициклоид 4) . ♦

Пример. Катакаустика при отражении от окружности при источнике света, находящемся внутри нее:

Для окружности $ x^2+y^ <2>=1 $ и при $ x_<0>=0,y_0=4/5 $ имеем уравнение каустики в виде: $$-210681,x^6+(-362043,y^2-182520,y+272592)x^4+ $$ $$ +(-92043,y^4-365040,y^3+386784,y^2+149760,y-80640)x^2+ $$ $$ +(13,y+4)^3(3,y-4)^3=0 . $$ При источнике на самой окружности — например, при $ x_<0>=0,y_0=1 $, — получим уравнение каустики в виде $$ 27(x^2+y^2)^2-18(x^2+y^2)-8y-1=0 ; $$ оно определяет замкнутую кривую

которая называется кардиоидой. ♦

Эволюта и эвольвента

Эволютой кривой $ mathbf K $ называется огибающая семейства нормалей к этой кривой. По отношению к своей эволюте кривая $ mathbf K $ называется эвольвентой 5) .

Доказательство основано на общем способе построения огибающей кривой семейства: из системы линейных уравнений $$ begin x zeta'(t) + y eta'(t)&=&zeta'(t)zeta(t) + eta'(t) eta(t), \ x zeta”(t) + y eta”(t)&=&zeta”(t)zeta(t) + eta”(t) eta(t) +(zeta'(t))^2+ (eta'(t))^2. end $$ (где первое уравнение задает семейство нормалей к кривой, а второе получается дифференцированием первого по параметру $ t_<> $) выражаются $ x_<> $ и $ y_<> $. ♦

Пример. Найти эволюту эллипса $ x^2/4+y^<2>=1 $.

Решение. Здесь $ zeta(t)=2cos(t),eta(t)=sin(t) $. Теорема дает уравнения эволюты в виде: $$ x=3/2 cos^3(t),y=-3sin^3(t) quad npu quad tin [0, 2pi]; $$ из них можно получить уравнение в неявном виде: $$ (2,x)^<2/3>+y^<2/3>=3^ <2/3> ; $$ эта кривая оказывается уже встречавшейся нам ВЫШЕ астроидой.

Статья не закончена!

Огибающая поверхность

Рассмотрим теперь семейство $ left< mathbf P(lambda_<>) right> $ поверхностей в $ mathbb R^ <3>$, зависящих от параметра $ lambda_<> $, принимающего значения из интервала $ [a,b] in mathbb R $. Если существует некоторая поверхность $ mathbf Q_<> $, которая в каждой своей точке касается некоторой поверхности рассматриваемого семейства, то эта поверхность $ mathbf Q_<> $ называется огибающей семейства поверхностей $ left< mathbf P(lambda_<>) right> $.

Пусть поверхности семейства $ left< mathbf P(lambda_<>) right> $ заданы уравнением $$ Psi(x,y,z,lambda)=0 , $$ где $ Psi(x,y,z,lambda) $ — функция, непрерывно дифференцируемая по своим аргументам. Геометрическое место точек пространства $ (x,y_<>,z) $, удовлетворяющих условиям $$ Psi(x,y,z,lambda)=0, frac<partial Psi(x,y,z,lambda)> <partial lambda>= 0 $$ называется дискриминантной поверхностью семейства $ left< mathbf P(lambda_<>) right> $.

Пример. [2] Составить уравнение огибающей поверхности системы шаров одинаковых радиусов $ r_<> $, центры которых лежат на кривой

$$ x=phi(lambda), y=chi(lambda),z=psi(lambda) , . $$ В частности, получить уравнение искомой поверхности, если центры шаров лежат на окружности $ x=R cos lambda, y=R sin lambda, z = 0 $.

Решение. Уравнение семейства шаров: $$ (x-phi(lambda))^2 +(y-chi(lambda))^2+(z-psi(lambda))^2-r^2=0 . $$ Дифференцируем это равенство по параметру $ lambda_<> $: $$ (x-phi(lambda)) phi^<prime>(lambda) +(y-chi(t))chi^<prime>(lambda)+(z-psi(lambda))psi^<prime>(lambda)=0 . $$ Уравнение огибающей поверхности получается исключением параметра $ lambda_<> $ из этой системы уравнений. В приведенном частном случае уравнения дискриминантной поверхности: $$ (x-R cos lambda)^2 + (y-R sin lambda)^2+z^2-r^2=0,quad xsin lambda – y cos lambda =0 . $$ Исключаем $ lambda_<> $. Из первого уравнения имеем: $$ (x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)=2R(x cos lambda+ y sin lambda) . $$ Возводим в квадрат: $$ (x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2=4R^2(x^2 cos^2 lambda+ y^2 sin^2 lambda+2 xy cos lambda sin lambda) . $$ Представим правую часть в виде $$ 4R^2(x^2 (1-sin^2 lambda)+ y^2 (1-cos^2 lambda)+2 xy cos lambda sin lambda)= 4R^2(x^2+y^2)-4R^2 (x^2sin^2 lambda+ ycos^2 lambda-2 x ycos lambda sin lambda )= $$ $$ =4R^2(x^2+y^2)-4R^2 (xsin lambda – y cos lambda)^2 . $$ Теперь воспользуемся вторым из уравнений, задающих дискриминантную поверхность. Уравнение огибающей поверхности: $$ (x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2=4,R^2(x^2+y^2) . $$ Что это за поверхность? ♦

Задачи

Источники

[1]. Бертранъ Ж. Дифференцiальное исчисленiе. СПб. Изд-во «Наука и жизнь», 1911

[3]. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.Едиториал УРСС, 2003

[5]. Толстой А.Н. Гиперболоид инженера Гарина. М.Художественная литература. 1983. Текст можно найти ☞ ЗДЕСЬ

[6]. Фотография — Paul Venter; оригинал ☞ ЗДЕСЬ.

ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА ЛИНИЙ

Гирш Антон Георгиевич

(Universität Kassel)

Аннотация

Однопараметрическое семейство линий имеет огибающую линию так же, как движущаяся кривая оставляет след в виде огибающей линии. В докладе обсуждаются случаи, когда семейство линий имеет огибающую линию и даётся ответ на вопрос, что означает полное или частичное отсутствие огибающей линии для однопараметрического семейства линий.

Ключевые слова: дискриминантная кривая; огибающая линия; однопараметрическое множество; мнимая кривая.

Введение

Понятие огибающей линии присутствует в инженерной терминологии и практике. Часто огибающая линия ассоциируется со следом движущейся кривой линии, но это не совсем корректно. Понятие огибающей линии связано с понятием однопараметрического семейства линий. Мы затронули эту тему в той связи, что в конструкциях огибающих линий могут появляться мнимые составляющие кривых образующего семейства. Мнимые составляющие и отвечают на вопрос, почему семейство линий, которое, казалось бы, не должно иметь огибающей, её имеет, и объясняют случаи, когда огибающая частью или полностью становится невидимой.

Однопараметрическое семейство линий отличается тем, что каждой линии семейства ставится в соответствие определённое число , называемое параметром. Уравнение семейства линий имеет вид
f(x, y, C) = 0. (1)
Каждому отдельному значению параметра соответствует отдельная кривая семейства.
Огибающая линия в каждой своей точке касается одной линии семейства.
Дискриминантная кривая включает в себя огибающую линию. Дискриминантная кривая есть ГМТ, удовлетворяющих системе уравнений
< f(x, y, C) = 0, f’_C (x, y, C)> (2)
при всевозможных значениях C. Уравнение дискриминантной кривой получается исключением параметра C из системы уравнений (2).

Из определения дискриминантной кривой следует, что она необязательно является только огибающей линией, она может показывать линию, которая не является огибающей, и иногда вовсе не показывать линии. Последнее утверждение рассмотрим подробнее на ряде примеров.

Дискриминантная кривая

Пример 1.
Уравнение (x – C) 2 + y 2 = 1 определяет семейство окружностей радиуса r = 1 с центрами на оси x. Семейство имеет огибающую линию в виде двух прямых, параллельных оси x с уравнением y = ±1. Этот очевидный факт подтвердим аналитически:

Пример 2.
Уравнение (x – C) 2 – y 2 = 1 определяет семейство равнобочных гипербол с центрами на оси x и мнимой осью, направленной по оси y, соответственно, параллельно ей, рис.1.

Исключение параметра C из системы уравнений даёт результат, но не предоставляет реального образа огибающей линии. Огибающая линия данного семейства гипербол состоит из двух мнимых прямых y = ±i, параллельных оси x. Эти прямые огибают семейство мнимых окружностей, каждая из которых сопровождает соответствующую гиперболу семейства. На комплексной плоскости предстаёт картина по примеру 1.

Пример 3.
Уравнение (y – 2C) 2 = (x – C) 3 определяет семейство полукубических парабол. Параболы семейства смещаются от начала координат в направлении 2:1 к оси x. Семейство парабол имеет дискриминантную кривую, в состав которой входит линия точек возврата.

< f: (y – 2C) 2 = (x – C) 3 , f’_C: 4( – 2 C + y) = 3( – C + x) 2 > ⇒
(2x – y) (54x – 27y – 32) = 0, или, (y = 2x) (y = 2x – 32/27).

Уравнение огибающей семейства гипербол y = 2x – 1.185. Если полукубическая парабола просто смещается вдоль оси , то такое семейство парабол огибающей линии не имеет, а имеет только прямую, состоящую из точек возврата, совпадающую с осью x.

Пусть дана гипербола x 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 1. Однопараметрическое семейство гипербол образуется от вращения гиперболы вокруг её центра. Формулы поворота имеют вид: x = x cosφ + y sinφ, y = – x sinφ + y cosφ, где φ =0, 360°. Параметром семейства гипербол принимаем C = tgφ. Формулы поворота запишутся:

x = x/sqrt(1 + C 2 ) + Cy/sqrt(1 + C 2 ), y = – Cx/sqrt(1 + C 2 ) + y/sqrt(1 + C 2 ) .

Уравнение семейства гипербол f и первая производная по параметру примут следующую запись:

f: b 2 (x – Cy) 2 – a 2 ( – Cx + y) 2 – a 2 b 2 (1 + C 2 ) = 0,

f’_C: 2b 2 y(x – Cy) + 2a 2 x( – Cx + y) – 2a 2 b 2 C = 0.

Исключение параметра C из системы данных уравнений даёт уравнение дискриминантной кривой, (x 2 + y 2 )2 + 3x 2 + 3y 2 – 4 = 0, которое распадается на два сомножителя: (x 2 + y 2 = a 2 ) (x 2 + y 2 = – b 2 ).

Полученные уравнения определяют две окружности – действительную с радиусом a и мнимую с радиусом bi. Действительная окружность заметается действительной осью гиперболы, мнимая – мнимой осью гиперболы. Если семейство гипербол f рассматривать на комплексной плоскости на чертеже совмещённых эпюров, то обе окружности будут видимыми, рис. 2, они по понятным причинам изображены разным типом линий.

Пример 5.
Пусть дана гипербола x 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 1, для которой параметры a и b связаны соотношением ab = k, где k есть некоторое постоянное число. Если величину a принять за параметр C семейства гипербол, то уравнение семейства гипербол получает запись:

f: k 2 x 2 – C 4 y 2 – k 2 C 2 = 0.

Исключение параметра C из системы уравнений C> даёт уравнение дискриминантной кривой, которое в данном случае есть уравнение огибающей линии названного семейства линий: 4x 2 y 2 + k 2 = 0. Уравнение раскладывается на два сомножителя (xy = ki/2) (xy = – ki/2 ). Уравнение представляет две мнимые гиперболы, одна в нечётных, вторая в чётных квадрантах координатных осей, рис.3. Результат ещё не объясняет, но уже указывает на присутствие у семейства огибающей линии.

Предложение.

Если однопараметрическое семейство линий имеет мнимую огибающую, то эта линия огибает мнимые дополнения кривых данного семейства линий.

Подстановка y → yi в исходном уравнении переводит данные гиперболы в эллипсы. Эти эллипсы дополняют гиперболы семейства и сами образуют семейство. Семейство эллипсов в свою очередь имеет огибающую, рис. 3b. Той же подстановкой y → yi уравнение огибающей семейства гипербол переводится в уравнение огибающей семейства эллипсов: 4x 2 y 2 – k 2 = 0 ⇒ (xy = – k/2) (xy = k/2 ).

Пример 6.
Пусть дана некоторая окружность (R) с центром в начале координат. Центры окружностей однопараметрического семейства лежат на оси абсцисс на диаметре окружности (R). Диаметры окружностей семейства есть хорды данной окружности, параллельные оси ординат, рис.4. За параметр C окружностей семейства примем абсциссу центра. Тогда радиус окружности семейства будет r 2 = R 2 – C2. Уравнение семейства примет вид:

f: (x – C) 2 + y 2 = R 2 – C 2 .

Если из системы уравнений C>, исключить параметр C, то получится уравнение огибающей линии:

x 2 /2R 2 + y 2 /R 2 = 1.

Огибающая рассматриваемого однопараметрического семейства окружностей есть эллипс с соотношением осей 1 : sqrt(2). Одна ось эллипса равна диаметру исходной окружности, вторая ось равна диагонали квадрата, описанного около исходной окружности. Круги кривизны в вершинах эллипса (M, 2R) и (1, r). Радиусы окружностей семейства варьируют от R до 0. Наименьшая окружность семейства, ещё касающаяся эллипса – это круг кривизны в вершине большой оси эллипса, т.е. окружности, касающиеся эллипса, варьируют от R до r. Окружности с центрами на отрезках 1R₁ и 2R₂ огибающего эллипса не касаются.

Здесь мы внесём одно существенное уточнение в определение по п.2, а именно:
если предложение «в каждой своей точке огибающая касается одной линии семейства» верно, то обратное предложение «каждая линия однопараметрического семейства касается огибающей» верно не всегда, как это часто и бывает с обратными предложениями.

Найденный эллипс (R, sqrt(2) R) появляется в ещё одной интересной конструкции, он является огибающей линией пучка мнимых окружностей с узловыми точками M₁, M₂ и нулевыми точками R₁, R₂. Окружности семейства этого примера являются носителями пучка мнимых окружностей, рис.4, [6, 7].

Заключение

Анализ дискриминантной кривой показал, что не каждое однопараметрическое семейство линий имеет огибающую линию на действительной плоскости. Семейство линий может не иметь огибающей, огибающая может касаться не всех линий семейства и может быть мнимой, т.е. отсутствовать на реальной плоскости. Все эти случаи продемонстрированы на приведённых примерах и показаны на графиках.

Список литературы

Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986. – 544 с.
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1975. – 872 с.
Glaeser, G. Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik. Wien: SpringerSpektrum, 2014. 508 S.
Иванов Г.С., Дмитриева И.М. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями. // Геометрия и графика, Т.3, №2. DOI: 10. 127/12163.
Гирш А. Г. Мнимости в геометрии. // Геометрия и графика, Т.2, №2. DOI: 10. 12737/5583.
Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. – М.: ООО «ИПЦ “Маска”», 2008. – 213 с.
Гирш А.Г. Комплексная геометрия – евклидова и псевдоевклидова: ООО «ИПЦ “Маска”», 2013. – 216 с.
http://www.anhirsch.de Антон Георгиевич Гирш (Dr. A.Hirsch) – Сайт.

Рисунки к докладу

а) Семейство гипербол в направлении не имеет огибающей линии. b) На совмещённых эпюрах каждая гипербола семейства сопровождается мнимой окружностью – семейство мнимых окружностей имеет огибающую линию, состоящую из двух параллельных прямых.

Огибающие специальных семейств окружностей Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Стеганцев Е.В., Пилипенко Е.А.

Рассматриваются огибающие семейств окружностей с центрами на данной кривой параллели . Устанавливаются критерии, позволяющие в зависимости от значений параметров кривой определять, будет ли параллель сохранять тип кривой , или произойдет ее деформация.

THE ENVELOPES OF THE SPECIAL FAMILIES OF THE CIRCUMFERENCES

The envelopes of the families of the circumferences with the centers on the given curve parallels have been considered. One formulates the criterion, which gives the opportunity to determine if the parallel keeps the type of the curve or its deformation takes place in dependence on the parameters of the curve .

Текст научной работы на тему «Огибающие специальных семейств окружностей»

ЕВ. СТЕГАНЦЕВ, Е.А. ПИЛИПЕНКО

Запорожский национальный университет

ОГИБАЮЩИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЕМЕЙСТВ ОКРУЖНОСТЕЙ

Рассматриваются огибающие семейств окружностей с центрами на данной кривой – параллели. Устанавливаются критерии, позволяющие в зависимости от значений параметров кривой определять, будет ли параллель сохранять тип кривой, или произойдет ее деформация.

Ключевые слова: кривая, семейство кривых, параметрические уравнения, огибающая, параллель.

е.в. етегАнцЕв, к.а. пилипенко

Запорiзький нацюнальний ушверситет

ОБВ1ДН1 СПЕЦ1АЛБНИХ С1МЕЙ К1Л

Розглядаються обвiднi сiмей кт з центрами на датй кривт – паралелi. Встановлюються критерп, ят дозволяють в залежностi вiд значень параметрiв кривоi визначати, чи буде паралель збер^ати тип кривоI, чи вiдбудеться ii деформацiя.

Ключовi слова: крива, сiм ‘я кривих, параметричнi рiвняння, обвiдна, паралель.

E.V. STEGANTSEV, E.A. PILIPENKO

Zaporozhye National University

THE ENVELOPES OF THE SPECIAL FAMILIES OF THE CIRCUMFERENCES

The envelopes of the families of the circumferences with the centers on the given curve – parallels have been considered. One formulates the criterion, which gives the opportunity to determine if the parallel keeps the type of the curve or its deformation takes place in dependence on the parameters of the curve.

Keywords: curve, family of the curves, parametric equations, envelope, parallel.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений применяется метод нахождения огибающих для получения общего и особых решений. Так называемая трубчатая поверхность – огибающая однопараметрического семейства сфер, центры которых принадлежат некоторой плоской кривой – является примером интегральной поверхности. При определенных условиях она действительно имеет вид трубки [3].

Известно, что в дифференциальной геометрии огибающая семейства кривых находится при помощи операции дифференцирования [4]. Как правило, при этом получается система из двух уравнений. Первое уравнение – это уравнение семейства кривых, а второе – его производная по параметру семейства [1]. Огибающие семейств окружностей одинакового радиуса с центрами на данной кривой (назовем ее базой), называются параллелями. Параллели могут иметь тот же тип, что и база, но может происходить и их деформация. Как, зная параметры базы и семейства окружностей, сказать наперед, произойдет ли деформация огибающей? В статье этот вопрос решается для параболы в качестве базы.

Анализ последних исследований и публикаций

Понятие огибающей находит широкое применение в геометрии. Некоторые из этих применений описаны в [4]. В работах 2 рассмотрена огибающая как решение системы уравнений, в которой первое уравнение – это уравнение семейства кривых, а второе – производная от уравнения семейства по его параметру. Понятие огибающей также используется при нахождении общего и особых решений дифференциального уравнения [3].

Формулирование цели исследования

Получить зависимость между параметром параболы и радиусом окружностей семейства, определяющего параллель параболы, при которой параллель тоже будет параболой.

Изложение основного материала исследования

Пусть имеется некоторое семейство плоских линий. Огибающей этого семейства называется такая линия, которая в каждой своей точке касается одной из линий заданного семейства. Если семейство линий задано уравнением f (x, y, а) = 0 , то огибающая этого семейства описывается системой уравнений [1]

f (x, y,a)= 0, f’а(Х y,a) =

Для наглядности, рассуждения проведем для огибающей семейства окружностей одинакового

радиуса, центры которых расположены на параболе х2 = 2

– параметр параболы. Такую огибающую

принято называть параллелью. Сделав замену р =-, получим уравнение параболы в виде у = 2рх .

Таким образом, семейство окружностей задается системой уравнений

(х -а)2 +(у -в)2 = Я2, в = 2 ра2.

Для нахождения параллели воспользуемся общей теорией нахождения огибающих, изложенной, например, в [2]. Подставив значение в из второго уравнения системы в первое и найдя производную полученного уравнения по а , получим уравнения искомой огибающей в неявном виде:

^ (х-а)2 +(у – 2ра2^ = Я2,

– 2(х -а)- 4 ра(у – 2 ра2 )= 0. Ее параметрические уравнения следующие:

Как видно из рис. 2, внутренняя параллель может подвергаться искажению. Выясним, когда это происходит. Воспользуемся следующими соображениями. Переместим окружность с центром в начале координат, принадлежащую семейству, вправо на Ах (рис 1). Понятно, что искажение параллели происходит в том случае, когда при смещении окружности вправо, точка касания с огибающей смещается влево. Это означает, что ее абсцисса становится отрицательной.

Найдем уравнение касательной к параболе в точке в(ах,2 р(Ах)2 ), Ах > 0. Получим

у – 2 р(Ах )2 = 4 рАх(х -Ах) или 4 рхАх – у – 2 р(Ах)2 = 0. Пусть точка А есть точка касания с огибающей, она также является точкой пересечения перпендикуляра АВ к касательной к параболе с параллельной ей и удаленной от нее на расстояние Я прямой Ь . Из условия параллельности имеем

Ь : 4 рхАх – у + с = 0 . Неизвестный коэффициент с найдем из равенства

4р(Ах)2 – 2р(Ах)2 + с ^16 р2 (Ах)2 +1

левая часть которого выражает расстояние от точки в до прямой Ь . Таким образом, с = Яд/ 16р2(Ах)2 +1 – (Ах)2.

Тогда уравнение прямой Ь имеет вид 4рхАх – у + Яд/ 16р2 (Ах)2 +1 – (Ах)2 = 0 , а уравнение АВ

запишем по точке и угловому коэффициенту, получим у – 2 р(Ах)2 =-(х -Ах). Система для

вычисления координат точки А имеет вид

1 -х + у – — – 2р(Ах)2 = 0,

4рхАх – у + Яд/16р2 (Ах)2 +1 – (Ах)2 = 0. Нас интересует только абсцисса точки А и условие ее положительности, то есть

-1 – Яд/16р2 (Ах)2 +1 + 4р(Дх)2

Поскольку Ах > 0, то знаменатель как сумма двух взаимно обратных чисел больше двух. Тогда

д/16 p 2 (Дх )2 +1 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В статье рассмотрены параллели семейств окружностей с центрами на параболе. Получен критерий, позволяющий сказать наперед, будет ли параллель иметь тот же вид, что и сама кривая. Указанный критерий аналитический. Приведены примеры параллелей некоторых семейств окружностей.

Список использованной литературы

1. Болтянский В.Г. Огибающая / В.Г. Болтянский. – М.: Гос. изд-во физико-математической лит., 1961. -76 с.

2. Залгаллер В.А. Теория огибающих / В.А. Залгаллер. – М.: Наука, 1975. – 106 с.

3. Курант Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. – М.: Мир, 1964. – 830 с.

4. Мищенко А.С. Курс дифференциальной геометрии и топологии / А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. – М.: Физматлит, 2004. – 304 с.

[spoiler title=”источники:”]

http://dgng.pstu.ru/conf2016/papers/20/

http://cyberleninka.ru/article/n/ogibayuschie-spetsialnyh-semeystv-okruzhnostey

[/spoiler]

Источник

Однопараметрическим семейством линий, лежащих в плоскости Оху, называется множество линий, определяемое уравнением

Р(х, у,С) = 0, (18-32)

В котором параметр С может принимать различные действительные значения (при каждом фиксированном значении С получаем определенную линию семейства).

Огибающей семейства линий называется такая линия, которая в каждой точке касается некоторой линии семейства.

Множество всех точек, удовлетворяющих системе уравнений

Р(х, у,С) = 0,Щх, у,С) = 0, (18.33)

Называется дискриминантной линией семейства (18.32).

Если в точках дискриминантной линии частные производные Р^мРу

Одновременно в нуль не обращаются, то дискриминантная линия совпадает с огибающей семейства.

Множество линий, определяемое уравнением

Р(х, у,С1,Сг,…,С„) = 0,

Где С,,С2,…,СВ – независимые параметры, называется «-параметрическим семейством линий (параметры называются независимыми или существенными, если их число нельзя уменьшить путем введения новых параметров).

Однопараметрическим семейством поверхностей называется множество поверхностей, определяемое уравнением

Огибающей семейства поверхностей называется поверхность, которая в каждой своей точке касается некоторой поверхности семейства

Огибающая семейства поверхностей (18.34) удовлетворяет системе уравнений

(18.35)

Пример 18.14. Найти огибающую однопараметрического семейства линий

Система уравнений (18.33) запишется так:

Из этой системы находим, что , или.

ПрямыеЯвляются огибающей

Данного однопараметрического семейства линий — множества окружностей радиусаС центрами на оси(рис 18.4).

Пример 18.151 Найти огибающую однопараметрического семейства поверхностей

Система уравнений (18.35) принимает вид

Откуда следует, что

Круговой цилиндр радиуса, ось которого совпадает с осью, является огибающей данного однопараметрического семейства сфер радиусаЦентр каждой из которых находится на оси

Глава 19

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Содержание

Огибающая

Огибающая кривая

Каустика

Эволюта и эвольвента

Огибающая поверхность

Задачи

Источники

§ 1. Семейство кривых линий.

§ 2. Огибающая линия семейства кривых.

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Огибающая

Огибающая кривая

Каустика

Эволюта и эвольвента

Огибающая поверхность

Задачи

Источники

ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА ЛИНИЙ

Аннотация

Введение

Дискриминантная кривая

Предложение.

Заключение

Список литературы

Рисунки к докладу

Огибающие специальных семейств окружностей Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Стеганцев Е.В., Пилипенко Е.А.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Стеганцев Е.В., Пилипенко Е.А.

THE ENVELOPES OF THE SPECIAL FAMILIES OF THE CIRCUMFERENCES

Текст научной работы на тему «Огибающие специальных семейств окружностей»

Добавить комментарий Отменить ответ

Содержание

Огибающая

Огибающая кривая

Каустика

Эволюта и эвольвента

Огибающая поверхность

Задачи

Источники

§ 1. Семейство кривых линий.

§ 2. Огибающая линия семейства кривых.

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Огибающая

Огибающая кривая

Каустика

Эволюта и эвольвента

Огибающая поверхность

Задачи

Источники

ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА ЛИНИЙ

Аннотация

Введение

Дискриминантная кривая

Предложение.

Заключение

Список литературы

Рисунки к докладу

Огибающие специальных семейств окружностей Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Стеганцев Е.В., Пилипенко Е.А.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Стеганцев Е.В., Пилипенко Е.А.

THE ENVELOPES OF THE SPECIAL FAMILIES OF THE CIRCUMFERENCES

Текст научной работы на тему «Огибающие специальных семейств окружностей»

Вам также может понравиться

Как составить человек картинки

Как исправить перерасход топлива

Как найти договор по номеру договора мтс

Добавить комментарий Отменить ответ