Трапеция это фигура, которая имеет четыре стороны, две из которых параллельны, а две другие, нет. Параллельные стороны называются – верхнее основание и нижнее основание. Две другие, называются боковыми сторонами.
Средняя линия трапеции – отрезок соединяющий середины боковых сторон и расположен параллельно к основаниям. Длина средней линии, равна полу сумме оснований.
1. Формула средней линии трапеции через основания
b – верхнее основание
a – нижнее основание
m– средняя линия
Формула средней линии, (m ):
2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
b – верхнее основание
a – нижнее основание
α, β – углы трапеции
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m):
3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
α, β – углы между диагоналями
d1 , d2 – диагонали трапеции
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту
S – площадь трапеции
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
- Подробности
-
Опубликовано: 24 сентября 2013
-
Обновлено: 13 августа 2021
В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии трапеции, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания изложенного материала.
- Определение средней линии трапеции
-
Свойства средней линии трапеции
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
-
Признак средней линии трапеции
- Вторая средняя линия
- Пример задачи
Определение средней линии трапеции
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией.
- LM – средняя линия трапеции ABCD
- L – середина стороны AB, т.е. AL = LB
- M – середина стороны CD, т.е. CM = MD
Свойства средней линии трапеции
Свойство 1
Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равняется их полусумме.
Для рисунка выше:
Свойство 2
Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, концы которого лежат на основаниях данной трапеции.
Свойство 3
Средняя линия трапеции делит ее на две другие трапеции, площади которых соотносятся следующим образом (см. первый чертеж публикации):
Признак средней линии трапеции
Если отрезок, выходящий из середины боковой стороны трапеции, пересекает ее вторую боковую сторону и, при этом, параллелен основаниям фигуры, то он является средней линией этой трапеции.
Вторая средняя линия
Иногда дополнительно выделяют вторую среднюю линию трапеции – отрезок, соединяющий середины ее оснований. При этом следует помнить, что к ней не применимы Свойства 1-3 и Признак, рассмотренные выше.
Вторая средняя линия равнобедренной трапеции одновременно является ее высотой.
Пример задачи
Средняя линия трапеции равняется 25 см, а ее высота – 7 см. Найдите площадь фигуры.
Решение
Как мы знаем, площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту h: S = (a+b)/2 ⋅ h
В данном случае полусумма оснований – это и есть средняя линия. Обозначим ее буквой m. То есть m = (a+b)/2.
Таким образом, S = m ⋅ h = 25 см ⋅ 7 см = 175 см2.
Как найти среднюю линию трапеции
Содержание:
- Средняя линия трапеции – что это?
- Свойства
-
Как вычислить, основные формулы
- Через основания
- Через основание, высоту и углы при нижнем основании
- Через диагонали, высоту и угол между диагоналями
- Через площадь и высоту
- Примеры задач
Средняя линия трапеции – что это?
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Свойства
- Параллельна обоим основаниям трапеции.
- Вычисляется как половина суммы оснований.
- Разбивает трапецию на две, площади которых соотносятся как (frac{S_1}{S_2}=frac{3,BC+AD}{BC+3,AD})
Как вычислить, основные формулы
Через основания
(m=frac{a+b}2)
Где (a) – нижнее основание, (b) – верхнее, (m) – средняя линия.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Через основание, высоту и углы при нижнем основании
(m=a-htimesfrac{ctgalpha+ctgbeta}2)
(m=b+htimesfrac{ctgalpha+ctgbeta}2)
Где (a) – нижнее основание, (b) – верхнее, (m) – средняя линия, (h) – высота, (alpha,beta) – углы при нижнем основании.
Через диагонали, высоту и угол между диагоналями
(m=frac{d_1d_2}{2h}timessinalpha=frac{d_1d_2}{2h}timessinbeta)
Где (a) – нижнее основание, (b) – верхнее, (m) – средняя линия, (h) – высота, (alpha,beta) – углы между диагоналями, (d_1), (d_2) – диагонали трапеции.
Через площадь и высоту
(m=frac{{}_S}h)
Где (h) – высота трапеции, (m) – средняя линия, (S) – площадь.
Примеры задач
Задача 1
Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 18, меньшее 6, боковая сторона равна 7. Угол между боковой стороной и одним из оснований 150 градусов.
(angle ABC) и (angle BAH) односторонние (Rightarrow angle ABC+angle BAH;=;180^circ Rightarrow angle BAH;=;30^circ)
Рассмотрим (angle ABH)
(BH=frac12AB=3,5)
(S_{ABCD}=frac{AD+BC}2times BH=frac{6+18}2times3,5=42)
Ответ: 42
Задача 2
Основания трапеции равны 4 и 10. Чему равен больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей?
Средняя линия трапеции ABCD так же является средней линией треугольников ABC и ACD т.к. проходит через середину одной стороны и параллельна основанию. Значит, из треугольника ACD x = 5.
Ответ: 5
Задача 3
ABCD – трапеция, BC = 2, AD = 3, PQ – средняя линия, BD и AC – диагонали. Найти MN.
(PQ=frac{BC+AD}2=2,5)
Отрезок MN лежит на средней линии трапеции. Докажем: PM и NQ средние линии треугольников ABC и BCD, значит M и N середины соответственно AC и BD. Из треугольника ABC находим длину PM = 1, из треугольника BCD находим NQ = 1, следовательно MN = 2,5 – 1 – 1 = 0,5
Ответ: 0,5
Средняя линия трапеции
Это отрезок, который соединяет середины 2 боковых сторон трапеции. Существует несколько способов (формул), позволяющих узнать, чему равна средняя линия.
Рассмотрим некоторые из них.
Как найти среднюю линию трапеции через основания
Если известно, чему равны основания трапеции, то среднюю линию найти совсем не сложно.
Она будет равна полусумме оснований.
EF = (AB + CD) / 2.
Например, если основание AB = 10 см, а основание CD = 6 см, то средняя линия равна (10 + 6) / 2 = 8 см.
Как найти среднюю линию трапеции через площадь и высоту
По классической формуле, площадь трапеции равна полусумме оснований умноженной на высоту. А полусумма оснований и есть средняя линия.
Поэтому, если площадь S = EF * DH, то средняя линия EF = S / DH.
Например, если площадь трапеции равна 30 кв. см, а высота – 6 см, то средняя линия = 30 / 6 = 5 см.
Как найти среднюю линию трапеции через высоту, диагонали и угол между ними
Если неизвестна площадь трапеции, но известны диагонали и угол между ними, то можно воспользоваться одной из формул нахождения площади.
А после этого подставить полученное значение в формулу, позволяющую найти среднюю линию через площадь и высоту.
Если даны диагонали d1 и d2, а также угол между ними (например, γ), то S = 0,5 * d1 *d2 * sinγ.
Подставим это в формулу нахождения средней линии: EF = S / DH = (0,5 * AC * BD * sinγ) / DH = AC * BD * sinγ / 2DH.
Например, высота = 6 см, диагонали – 8 и 10 см, угол между ними – 30 градусов.
EF = (8 * 10 * 0,5) / (2 * 6) = 40 / 12 = 3,33 см.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 17 мая 2021 года; проверки требуют 16 правок.
Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.
Средняя линия треугольника[править | править код]
Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этого треугольника[1].
Свойства[править | править код]
- средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомететичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
- три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.
- Если из двух вершин треугольника провести сразу две пары биссектрис (две внутренние и две внешние), а затем на четыре полученные биссектрисы ортогонально спроектировать третью вершину, тогда полученные четыре точки проекций вершины на биссектрисы будут лежать на одной прямой (коллинеарными)[2]. Эта прямая является средней линией треугольника, параллельной той стороне, концами которой являются упомянутые выше две вершины. Точнее, часть этой средней линии оказывается её продолжением за пределы треугольника.
Признаки[править | править код]
- Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок — средняя линия.
Средняя линия четырёхугольника[править | править код]
Средняя линия четырёхугольника — отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.
Свойства[править | править код]
Первая линия соединяет 2 противоположные стороны.
Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны.
- Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
- Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
- Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
- Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода. Средние линии второго рода — четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
- Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
- В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.
Средняя линия трапеции[править | править код]
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.
Она рассчитывается по формуле: 
, где AD и BC — основания трапеции.
Свойства[править | править код]
- средняя линия параллельна основаниям
- средняя линия равна полусумме оснований
- средняя линия разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как [1] Архивная копия от 12 августа 2017 на Wayback Machine
См. также[править | править код]
- Теорема Вариньона (геометрия)
Примечания[править | править код]
- ↑ Справочник. Треугольники. Дата обращения: 14 апреля 2008. Архивировано из оригинала 20 апреля 2016 года.
- ↑ Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника Архивная копия от 25 февраля 2020 на Wayback Machine. — Одесса, 1902. — С. 6. Глава I, п.8
