Как найти середину диагонали ромба

Как найти середину диагонали ромба

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Определение.

Ромб — это параллелограмм, который имеет равные стороны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.

Ромбы отличаются между собой размером стороны и размером углов.

Признаки ромба

Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны):

АВ = ВС = СD = AD

2. Его диагонали пересекаются под прямым углом:

AC┴BD

3. Одна из диагоналей (биссектриса) делит содержащие её углы пополам:

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

4. Если все высоты равны:

BN = DL = BM = DK

5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

6. Если в параллелограмм можно вписать круг.

Основные свойства ромба

2. Диагонали перпендикулярны:

AC┴BD

3. Диагонали являются биссектрисами его углов:

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре:

AC2 + BD2 = 4AB2

5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии ромба.

6. В любой ромб можно вписать окружность.

7. Центром окружности вписанной в ромб будет точка пересечения его диагоналей.

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла (cos α) или косинус тупого угла (cos β):

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

8. Формула стороны ромба через периметр:

Диагонали ромба

Определение.

Диагональю ромба называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов ромба.

Ромб имеет две диагонали – длинную d1, и короткую – d2

Формулы определения длины диагонали ромба:

1. Формулы большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d1 = a√2 + 2 · cosα

d1 = a√2 – 2 · cosβ

2. Формулы малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d2 = a√2 + 2 · cosβ

d2 = a√2 – 2 · cosα

3. Формулы большой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d1 = 2a · cos(α/2)

d1 = 2a · sin(β/2)

4. Формулы малой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d2 = 2a · sin(α/2)

d2 = 2a · cos(β/2)

5. Формулы диагоналей ромба через сторону и другую диагональ:

d1 = √4a2 – d22

d2 = √4a2 – d12

6. Формулы диагоналей через тангенс острого tgα или тупого tgβ угла и другую диагональ:

d1 = d2 · tg(β/2)

d2 = d1 · tg(α/2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

Периметр ромба

Определение.

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Формула периметра ромба через сторону ромба:

P = 4a

Площадь ромба

Определение.

Площадью ромба называется пространство ограниченное сторонами ромба, т.е. в пределах периметра ромба.

Формулы определения площади ромба:

1. Формула площади ромба через сторону и высоту:

S = a · ha

2. Формула площади ромба через сторону и синус любого угла:

S = a2 · sinα

3. Формула площади ромба через сторону и радиус:

S = 2a · r

4. Формула площади ромба через две диагонали:

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла (tgα) или малую диагональ и тангенс тупого угла (tgβ):

Окружность вписанная в ромб

Определение.

Кругом вписанным в ромб называется круг, который примыкает ко всем сторонам ромба и имеет центр на пересечении диагоналей ромба.

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

Источник

Диагональ параллелограмма – это отрезок, соединяющий противоположные вершины фигуры. В зависимости от
вида геометрической фигуры диагональ обладает важными свойствами, на которые основываются базовые
правила и формулы. Рассмотрим подробнее, как найти длину данного отрезка, построенного в
параллелограмме с равными сторонами, т.е. ромбе.

  • Диагональ ромба через сторону и другую известную
    диагональ
  • Длинная диагональ ромба через сторону и острый угол
  • Длинная диагональ ромба через сторону и тупой угол
  • Короткая диагональ ромба через сторону и острый угол
  • Короткая диагональ ромба через сторону и тупой угол
  • Длинная диагональ ромба через короткую диагональ и тупой
    угол
  • Короткая диагональ ромба через длинную диагональ и острый
    угол
  • Диагональ ромба через площадь ромба и другую известную
    диагональ

Диагональ ромба через сторону и другую известную диагональ

В случае, если в ромбе известны значения одной диагонали (d) и стороны (a) фигуры, прийти к
определению длины второго отрезка будет несложно, благодаря тождеству параллелограмма, которое
гласит, что сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4:

d = √(4a² — d²)

где a — сторона, d — известная диагональ.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дан ромб с диагональю равной 6 мм и стороной, длина которой 5 мм. Нужно
найти вторую диагональ ромба. d = √(4 * 5² — 6²) = √(4 * 25 — 36) = √(100 — 36) = √64 = 8 мм
– длина неизвестной диагонали.

Как найти длину большей диагонали через сторону и острый угол

Найти величину длинной диагонали можно по формуле:

d = a * √(2 + 2 * cos α)

где a — сторона, cos α — острый угол.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Проведенный отрезок, который соединяет противоположные вершины фигуры, делит ее на равнобедренные
треугольники. По свойствам равнобедренного треугольника косинус углов при основании равен половине
основания (в данном случае диагонали), деленного на боковую сторону (сторону ромба).

Пример. Острый угол между сторонами ромба длиной 6 см равен 45 градусам. Найти
биссектрису острого угла ромба (в данном случае диагональ). d = 6 * √(2 + 2 * cos 45°) = 6 * √(2 + 2 * √2 / 2) = 6 * √(2 + 2 * 0,7) = 11см
– длинна неизвестного отрезка.

Как найти длину большей диагонали через сторону и известное значение тупого угла

Как уже известно, построенная диагональ в ромбе, делит его на 2 равнобедренных треугольника. Если
дополнить картину второй проведенной диагональю, получится прямоугольный треугольник. Косинус
половинки тупого угла (c) это отношение прилежащего катета к гипотенузе (стороне ромба a). На
основании всех этих свойств можно прийти к простой формуле нахождения нужной диагонали через сторону
ромба (в данном случае гипотенузу) и косинус тупого угла:

d = a * √( 2 — 2 * cos β)

где a — сторона, cos β — тупой угол

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дан ромб со стороной 4,65 м, величина тупого угла которого равна 120
градусам. Необходимо найти противолежащую известному углу диагональ. d = 4,65 * √(2 — 2 * cos 120°) = 4,65 * √(2 — 2 * (-0,5) = 8 м
– длина неизвестного отрезка.

Как вычислить длину меньшей диагонали через сторону и острый угол

Так как ситуация аналогична предыдущей (только известный противолежащий угол острый), формула
нахождения короткой диагонали практически ничем не отличается от алгоритма определения длинного
отрезка, соединяющего противолежащие вершины ромба.

d = a * √(2 — 2 * cos α)

где a — сторона, cos α — острый угол

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В ромбе со стороной 4,65 м проведена диагональ, которая является основанием
равнобедренного треугольника с углом при вершине равным 52 градусам. Найти основание треугольника
(меньшую диагональ). d = 4,65 * √(2 — 2 * cos 52°) = 4 м.

Короткая диагональ ромба через длинную диагональ и острый угол

Аналогично с предыдущей ситуацией, через тангенс острого угла находим величину неизвестного катета
(половинку искомой диагонали). Упрощенная формула:

d = D * tg (α / 2)

где D — длинная диагональ, α — острый угол

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Острый угол ромба, в котором построена диагональ длиной 11 мм, равен 58
градусам. Найти длину второй диагонали. d = 11 * tg 29° = 6 мм – длина
меньшей диагонали ромба.

Короткая диагональ через сторону и тупой угол

Формула для нахождения меньшей диагонали ромба при помощи значения стороны и тупого угла такова:

d = a * √(2 + 2 * cos β)

где a — сторона, cos β — тупой угол

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дан ромб со стороной 4,65 мм, один из углов которого равен 128 градусов, а
меньшая диагональ фигуры – искомая величина. d = a * √(2 + 2 * cos β) = 4,65 *  √(2 + 2 * cos 128°) = 4 мм.

Длинная диагональ ромба через короткую диагональ и тупой угол

Длина большей диагонали ромба легко находится по формуле:

D = d * tg (β / 2)

где d — короткая диагональ, β — тупой угол

Цифр после
запятой:

Результат в:

Благодаря теореме Пифагора, зная длину короткой диагонали (половина катета прямоугольного
треугольника) и значение тупого угла ромба (половина которого является углом прямоугольного
треугольника), не составит труда определить значение большей диагонали ромба через тангенс тупого
угла.

Пример. Дан ромб с диагональю 6,5 см, которая является биссектрисой тупого угла
величиной 119 градусов. Нужно найти неизвестную диагональ ромба. D = 6,5 * tg (119 / 2) = 11 см
– искомая величина.

Диагональ ромба через площадь и другую известную диагональ

Найти любую из двух диагоналей ромба можно по формуле:

D = 2 * S / d

где d – длина известного отрезка, а S-площадь фигуры.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дан ромб с площадью равной 64 см², его диагональ равна 8,5 см. Необходимо
найти длину второго отрезка, соединяющего противолежащие вершины. D = 2 * S / d = 2 * 64 / 8,5 = 15 см.

Ромб относится к плоским выпуклым геометрическим фигурам. Данный вид параллелограмма отличается
равными сторонами, а также тем, что его диагонали при пересечении перпендикулярны друг другу.
Существуют и другие свойства ромба, которые подробно раскрывают смысл указанных выше формул:

  • Диагонали, пересекаясь под прямым углом, делятся точкой пересечения пополам. Таким образом, они
    всегда разделяют фигуру на 4 прямоугольных треугольника.
  • Противоположные стороны ромба попарно параллельны.
  • Противолежащие углы равны, а смежные – в сумме образуют 180 градусов.
  • Диагонали служат биссектрисами всех углов ромба.
  • Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.
  • Если соединить середины сторон ромба, получится прямоугольник.
  • Точка пересечения диагоналей — центр вписанной окружности.

Определение диагонали ромба часто встречается в задачах школьной программы. Найдя данное значение,
можно прийти к искомому результату задания. Через диагональ можно найти стороны ромба, площадь,
периметр и все внутренние углы ромба.

Геометрия в школьной программе включается в себя немалое количество формул, основанных на теоремах и
правилах. Некоторые из которых помогают значительно сократить время для решения задач на контрольной
или при выполнении домашней работы. Данная статья поможет быстро прийти к логическому решению
задания и правильному результату. Знание и применение выше перечисленных формул способствуют умению
решать задачи по геометрии любой сложности.

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Ромб (значения).

Rhombus.svg

Ромб (др.-греч. ῥόμβος, лат. rombus, в буквальном переводе: «бубен») — это параллелограмм, у которого все стороны равны[1] (см. другие варианты определенияПерейти к разделу «Признаки»).

Термин «ромб» происходит от др.-греч. ῥόμβος — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Поэтому название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми.

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

Свойства[править | править код]

  • Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны: АВ || CD, AD || ВС. Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
  • Высоты в ромбе равны между собой.
  • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре конгруэнтных прямоугольных треугольника.
  • Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
  • Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).
  • Середины четырёх сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
  • Диагонали ромба являются осями его симметрии.
  • В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Признаки[править | править код]

Самое общее определение: ромб — это выпуклый четырёхугольник[2], все стороны которого равны друг другу. Можно показать, что такой четырёхугольник является параллелограммом[3][1].

Параллелограмм ABCD является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий[4]:

  • Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны).
  • Его диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам. Другими словами, диагональ является биссектрисой противоположных углов.
  • Диагонали параллелограмма делят его на четыре равных между собой треугольника.
  • Диагонали параллелограмма являются осями симметрии[5].

Помимо всего, ромб можно рассматривать как частный случай дельтоида, у которого любые две смежные стороны равны между собой.

Квадрат как частный случай ромба[править | править код]

Из определения квадрата, как четырёхугольника, у которого все стороны и углы равны, следует, что квадрат — частный случай ромба. Иногда квадрат определяют, как ромб, у которого все углы равны.

Однако иногда под ромбом может пониматься только четырёхугольник с непрямыми углами, то есть с парой острых и парой тупых углов[6][7].

Уравнение ромба[править | править код]

К уравнению ромба (центр в начале координат)

Уравнение ромба с центром в точке {displaystyle {x_{0},y_{0}}} и диагоналями, параллельными осям координат, может быть записано в виде[8]:

{displaystyle {frac {|x-x_{0}|}{a}}+{frac {|y-y_{0}|}{b}}=1,}

где a,b — половины длин диагоналей ромба по осям X,Y соответственно.

Длина стороны ромба равна {displaystyle {sqrt {a^{2}+b^{2}}}.} Площадь ромба равна {displaystyle 2ab.} Левый угол ромба рассчитывается по формуле:

{displaystyle 2operatorname {arctg} {frac {b}{a}}}

Второй угол дополняет его до 180°.

В случае a = b уравнение отображает повёрнутый на 45° квадрат:

{displaystyle |x-x_{0}|+|y-y_{0}|=a,}

где сторона квадрата равна {displaystyle a{sqrt {2}},} а его диагональ равна {displaystyle 2a.} Соответственно площадь квадрата равна {displaystyle 2a^{2}.}

Из уравнения видно, что ромб можно рассматривать[8] как суперэллипс степени 1.

Площадь ромба[править | править код]

Rhombus1.svg

  • Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
{displaystyle S={dfrac {ACcdot BD}{2}}}
  • Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.
{displaystyle S=acdot h}
  • Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:
{displaystyle S=a^{2}cdot sin alpha },

где alpha  — угол между двумя смежными сторонами ромба.

  • Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол alpha :
{displaystyle S={dfrac {4r^{2}}{sin alpha }};}
  • Площадь ромба равна удвоенному произведению стороны и радиуса вписанной окружности:
{displaystyle S=2ar.}

Радиус вписанной окружности[править | править код]

Радиус вписанной окружности r может быть выражен через диагонали p и q в виде[9]:

{displaystyle r={frac {pcdot q}{2{sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}.}

В геральдике[править | править код]

Ромб является простой геральдической фигурой.

  • Червлёный ромб в серебряном поле

    Червлёный ромб в серебряном поле

  • В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1

    В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1

  • Просверленный червлёный ромб в серебряном поле

    Просверленный червлёный ромб в серебряном поле

  • В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов

    В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов

Симметрия[править | править код]

Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в орнаментах и паркетах.

  • Ромбический орнамент

    Ромбический орнамент

  • Ромбические звёзды

    Ромбические звёзды

  • Более сложный орнамент

    Более сложный орнамент

  • Мозаика Пенроуза

См. другие примеры на Викискладе.

См. также[править | править код]

  • Дельтоид
  • Звезда (геометрия)
  • Ромбододекаэдр
  • Ромбоид

Примечания[править | править код]

  1. ↑ 1 2 Элементарная математика, 1976, с. 435..
  2. ↑ Требование выпуклости нужно, чтобы исключить случаи вырожденного четырёхугольника, у которого часть вершин совпадают (например, фигура, имеющая вид буквы V и ромбом не являющаяся).
  3. ↑ Погорелоа А. В. Домашняя работа по геометрии за 8 класс. М.: Просвещение, 2001, С. 18.
  4. ↑ Элементарная математика, 1976, с. 435—436..
  5. ↑ Шахмейстер А. Х. Треугольники и параллелограммы // Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия : книга / А. Х. Шахмейстер. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2015. — С. 26. — 392 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 1500 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512(G). — ISBN 978-5-98712-083-5. — ISBN 978-5-91673-155-2. — ISBN 978-5-4439-0347-7.
  6. ↑ Ромб // Малый академический словарь. — М.: Институт русского языка Академии наук СССР. Евгеньева А. П.. 1957—1984.
  7. ↑ Чудинов А. Н. Ромб // Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. 1910.
  8. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Superellipse (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Здесь ромб назван diamond.
  9. ↑ Weisstein, Eric W. Rhombus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература[править | править код]

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
Источник

Учебник

Геометрия, 11 класс

Ромб: Свойства, Формулы. Задачи

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

  • “Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее – узнать его в движении, при изменениях”
  • Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей – ромб совместится с самим собой. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по диагонали – новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.

Замечание: Если “зряче видим” центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас “в кармане”.

Свойства ромба:

  • Ромб симметричен относительно точки O – пересечения диагоналей.      O – центр симметрии.
  • Ромб симметричен относительно любой из диагоналей.       Диагональ – ось симметрии.
  • У ромба, по определению, Стороны   равны     $AB=BC=CD=DA=a$.
  • Противолежащие углы    равны   $angle A=angle C$ ,   $angle B=angle D$ . Прилежащие       $angle A+angle B=180^o$   ,    $angle A+angle D=180^o$.
  • Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам      $AO=OC=frac{AC}{2}$     и     $BO=OD=frac{BD}{2}$.
  • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны    и   образуют   прямоугольные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба являются    биссектрисами углов – делят углы пополам.
  • Диагонали ромба со сторонами образуют равные    накрест лежащие углы.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
  • Меньшая диагональ   $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$     ,      большая –   $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
  • Сумма   {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна    $AC^2+BD^2=4cdot a^2$     четырежды квадрат стороны.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

      

Формулы Площади ромба:

  • Площадь   ромба   равна    произведению   основания на высоту      $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
  • Площадь   ромба   равна   через синус угла:        $S=a^2cdotsin A$     ,          квадрат стороны на синус .
  • Площадь   ромба   через диагонали:    $S=frac{ACcdot BD}{2}$ .      – половина произведения диагоналей

Вписанная окружность в ромб:

  • В четырехугольник   можно   вписать   окружность только если … суммы противоположных сторон   равны.
  • Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
  • Если   вписывается, то площадь     $S=pcdot r$,     $p=2cdot a$       $S=2cdot a cdot r$.
  • Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали – суть биссектрисы углов.

Задача 1:        Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

  • Решение:      “Односторонние углы”:     В параллелограмме   сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна   $180^o$    .       
  • Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
  • Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла?     Ответ:     $22^o30’$   ,   $67^o30’$

           

Задача 2:         Найти площадь ромба   $ABCD$,   если его высота   $EB=12$   , а меньшая диагональ $BD=13$.

  • Решение:          Проведем высоту   из той же вершины, из которой   проведена   меньшая диагональ.       
  • Получили прямоугольный треугольник $BED$ .    Он   подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:     
  • $bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$    . Все прямоугольные и есть равные углы.
  • например   $alpha$.     Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
  • Для угла   $alpha$   в   $bigtriangleup EBD$   мы знаем гипотенузу и противолежащий катет   $Rightarrow$     $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
  • Перейдем к   $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет    $OD=frac{1}{2}BD=6,5$.    Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
  • а чтобы найти   гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
  • $sin^2alpha+cos^2alpha=1$ .   Тогда косинус:   $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
  • Угол   $alpha$   острый,   так как он входит в прямоугольный треугольник,   т. е. принадлежит первой четверти.
  • Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении:   $cosalpha = frac{5}{13}$
  • Тогда:   $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$             $Rightarrow$        $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
  • Площадь ромба равна произведению основания на высоту:    Ответ:    $S=16,9cdot12=202,8$

Задача 3:          В Ромбе   $ABCD$    точка $K$ делит сторону   $CD$ в соотношении   $2:7$, а    $M$ делит   $1:3$ сторону   $BC$.       $MN$   параллельна   $AB$,   $O$ – пересечение $MN$ и   $BK$.    Найти площадь трапеции   $ABON$, если площадь   $ABCD=420$.

Решение:    пробa    Анализ рисунка:    

  • $AB$, $MN$,   $CD$ – параллельные.   Какие углы равные?
  • Треугольники   $BMO$ и    $BKC$ подобные.   Коэффициент подобия   $1:3$.
  • Отношение площадей    $BMO$   и   $BKC$ равен    $1:9$ – квадрату коэффициента подобия.
  • (по формулам) Площади   $BKC$   и    $BCD$ относятся как    $CK$ и   $CD$, т.е.   $5:7$.
  • Площадь   $BCD$   равен половине площади   $ABCD$,   т.е. $S_{BCD}=210$.
  • $S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$        $Rightarrow$       $S_{ABMN}=140$ .   
  • Из складываемости площадей:     площадь $ABON$ =   разности   площадей   $ABMN$   и    $BOM$.

Упражнения:

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

  • “Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее – узнать его в движении, при изменениях”
  • Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей – ромб совместится с самим собой. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по диагонали – новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по другой диагонали – ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если “зряче видим” центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас “в кармане”.

Свойства ромба:

  • Ромб симметричен относительно точки O – пересечения диагоналей.      O – центр симметрии.
  • Ромб симметричен относительно любой из диагоналей.       Диагональ – ось симметрии.
  • У ромба, по определению, Стороны   равны     $AB=BC=CD=DA=a$.
  • Противолежащие углы    равны   $angle A=angle C$ ,   $angle B=angle D$ . Прилежащие       $angle A+angle B=180^o$   ,    $angle A+angle D=180^o$.
  • Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам      $AO=OC=frac{AC}{2}$     и     $BO=OD=frac{BD}{2}$.
  • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны    и   образуют   прямоугольные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба являются    биссектрисами углов – делят углы пополам.
  • Диагонали ромба со сторанами образуют равные    накрест лежащие углы.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
  • Меньшая диагональ   $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$     ,      большая –   $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
  • Сумма   {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна    $AC^2+BD^2=4cdot a^2$     четырежды квадрат стороны.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

      

Формулы Площади ромба:

  • Площадь   ромба   равна    произведению   основания на высоту      $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
  • Площадь   ромба   равна   через синус угла:        $S=a^2cdotsin A$     ,          квадрат стороны на синус .
  • Площадь   ромба   через диагонали:    $S=frac{ACcdot BD}{2}$ .      – половина произведения диагоналей

Вписанная окружность в ромб:

  • В четырехугольник   можно   вписать   окружность только если … суммы противоположных сторон   равны.
  • Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
  • Если   вписывается, то площадь     $S=pcdot r$,     $p=2cdot a$       $S=2cdot a cdot r$.
  • Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали – суть биссектрисы углов.

Задача 1:        Найти периметр ромба   $ABCD$, в котором    $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна    $10,5$ см.

  • Решение:          Рассмотрим   $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков   данный   треугольник?             
  • По условию,   угол $bigtriangleup BCD$ у вершине   $angle B=60^o$   , тогда как два других угла?
  • Каков все-таки этот   треугольник?   Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ:     $p=42$ см.

Задача 2:        Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

  • Решение:      “Односторонние углы”:     В параллелограмме   сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна   $180^o$    .       
  • Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
  • Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла?     Ответ:     $22^o30’$   ,   $67^o30’$

           

Задача 3:         Найти площадь ромба   $ABCD$,   если его высота   $EB=12$   , а меньшая диагональ $BD=13$.

  • Решение:          Проведем высоту   из той же вершины, из которой   проведена   меньшая диагональ.       
  • Получили прямоугольный треугольник $BED$ .    Он   подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:     
  • $bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$    . Все прямоугольные и есть равные углы.
  • например   $alpha$.     Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
  • Для угла   $alpha$   в   $bigtriangleup EBD$   мы знаем гипотенузу и противолежащий катет   $Rightarrow$     $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
  • Перейдем к   $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет    $OD=frac{1}{2}BD=6,5$.    Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
  • а чтобы найти   гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
  • $sin^2alpha+cos^2alpha=1$ .   Тогда косинус:   $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
  • Угол   $alpha$   острый,   так как он входит в прямоугольный треугольник,   т. е. принадлежит первой четверти.
  • Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении:   $cosalpha = frac{5}{13}$
  • Тогда:   $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$             $Rightarrow$        $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
  • Площадь ромба равна произведению основания на высоту:    Ответ:    $S=16,9cdot12=202,8$

Задача 4:          В Ромбе   $ABCD$    точка $K$ делит сторону   $CD$ в соотношении   $2:7$, а    $M$ делит   $1:3$ сторону   $BC$.       $MN$   параллельна   $AB$,   $O$ – пересечение $MN$ и   $BK$.    Найти площадь трапеции   $ABON$, если площадь   $ABCD=420$.

Решение:    пробa    Анализ рисунка:    

  • $AB$, $MN$,   $CD$ – параллельные.   Какие углы равные?
  • Треугольники   $BMO$ и    $BKC$ подобные.   Коэффициент подобия   $1:3$.
  • Отношение площадей    $BMO$   и   $BKC$ равен    $1:9$ – квадрату коэффициента подобия.
  • (по формулам) Площади   $BKC$   и    $BCD$ относятся как    $CK$ и   $CD$, т.е.   $5:7$.
  • Площадь   $BCD$   равен половине площади   $ABCD$,   т.е. $S_{BCD}=210$.
  • $S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$        $Rightarrow$       $S_{ABMN}=140$ .   
  • Из складываемости площадей:     площадь $ABON$ =   разности   площадей   $ABMN$   и    $BOM$.

Упражнения:

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

  • “Чтоб Выучить, распознать нечто неподвижное – узнать его в движении, при изменениях”
  • Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей – ромб совместится с самим собой. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по диагонали – новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по другой диагонали – ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если “зряче видим” центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас “в кармане”.

Свойства ромба:

  • Ромб симметричен относительно точки O – пересечения диагоналей.      O – центр симметрии.
  • Ромб симметричен относительно любой из диагоналей.       Диагональ – ось симметрии.
  • У ромба, по определению, Стороны   равны     $AB=BC=CD=DA=a$.
  • Противолежащие углы    равны   $angle A=angle C$ ,   $angle B=angle D$ . Прилежащие       $angle A+angle B=180^o$   ,    $angle A+angle D=180^o$.
  • Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам      $AO=OC=frac{AC}{2}$     и     $BO=OD=frac{BD}{2}$.
  • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны    и   образуют   прямоугольные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба являются    биссектрисами углов – делят углы пополам.
  • Диагонали ромба со сторонами образуют равные    накрест лежащие углы.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

      

Квадрат – одновременно прямоугольник, ромб, параллелограмм. Диагонали квадрата    равны между собой и делятся пополам.

Задача 1:        Найти периметр ромба   $ABCD$, в котором    $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна    $10,5$ см.

  • Решение:          Рассмотрим   $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков   данный   треугольник?             
  • По условию,   угол $bigtriangleup BCD$ у вершины   $angle B=60^o$   , тогда как два других угла?
  • Каков все-таки этот   треугольник?   Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ:     $p=42$ см.

Задача 2:        Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

  • Решение:      “Односторонние углы”:     В параллелограмме   сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна   $180^o$    .       
  • Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
  • Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла?     Ответ:     $22^o30’$   ,   $67^o30’$

           

  • Полезные напоминания: “В равностороннем треугольнике все углы равны    60    градусов.
  • Если в равнобренном треугольнике один из углов 60, то это равносторонный треугольник – стороны равны, углы тоже.
  • В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы.

Упражнения:

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 11: В ромбе АВСD ∠А = 140°, диагонали пересекаются в точке O. Найдите угол CBO.

Задача 12:    В ромбе ABCD ∠С = 50°. Точка O – точка пересечения диагоналей ромба. Найдите угол OBC.

Задача 13: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.

Задача 14: ???? В любом ромбе равны…      Противолежащие углы равны, сумма соседних углов равна 180 градусов:(?) Ромб, у которого все углы равны, это… (?)    Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. (?)   Диагонали взаимно перпендикулярны. (?)

Задача 15: Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. В образовавшемся четырёхугольнике ∠CAD = ∠ADB. Найдите ∠BCA.

Задача 16: На диагонали квадрата как на стороне построен новый квадрат. Чему равна его диагональ, если сторона исходного квадрата равна 6 см?

Задача 17: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.

Источник

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Ромб и его свойства

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна (360^circ).

Свойства ромба:

(blacktriangleright) Те же, что и у параллелограмма:

(sim) Противоположные стороны попарно равны;

(sim) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

(sim) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна (180^circ);

(blacktriangleright) Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Признаки ромба.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – ромб:

(blacktriangleright) все стороны равны;

(blacktriangleright) диагонали взаимно перпендикулярны и он является параллелограммом;

(blacktriangleright) диагонали являются биссектрисами углов и он является параллелограммом.

Площадь ромба

1. Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула площади. Таким образом, площадь ромба равна произведению высоты на основание, к которому эта высота проведена.

2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.


Задание
1

#2716

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В ромбе (ABCD): (angle ACD = 26^{circ}). Найдите (angle ABD). Ответ дайте в градусах.

В ромбе диагонали перпендикулярны, тогда (angle CDB = 90^{circ} – angle ACD = 64^{circ}).

(BC = CD), тогда (angle CBD = angle CDB = 64^{circ}).

Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то (angle ABD = angle CBD = 64^{circ}).

Ответ: 64


Задание
2

#2717

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите большую диагональ ромба (ABCD), если (AB = 2sqrt{3}), а острый угол равен половине тупого.

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна (180^{circ}), то сумма острого и тупого углов ромба равна (180^{circ}).

Так как в данном ромбе острый угол равен половине тупого, то острый угол ромба (ABCD) равен (60^{circ}).

Треугольник (ABD) – равнобедренный, один из углов которого равен (60^{circ}), тогда треугольник (ABD) – равносторонний и (BD = 2sqrt{3}).

Пусть (O) – точка пересечения диагоналей ромба, тогда (OD = 0,5 BD = sqrt{3}), следовательно, по теореме Пифагора находим: (AO^2 + OD^2 = AD^2), тогда (AO^2 + 3 = 12), откуда находим (AO = 3). В ромбе, как и в любом другом параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, (AC = 6).

Ответ: 6


Задание
3

#2715

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Острый угол ромба (ABCD) равен (60^{circ}), одна из его сторон равна 10. Найдите меньшую из диагоналей этого ромба.

Пусть (angle A = 60^{circ}). В ромбе все стороны равны, тогда треугольник (ABD) – равнобедренный, у которого один из углов равен (60^{circ}), следовательно, треугольник (ABD) – равносторонний и (BD = 10).

Треугольник (ABC) – тупоугольный. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда (AC > AB = BD), значит, (BD) – меньшая из диагоналей.

Ответ: 10


Задание
4

#1794

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно (3), а острый угол ромба равен (60^circ). Найдите большую диагональ ромба.

Пусть в ромбе (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей, (OH) – расстояние до стороны (AB), (angle DAB = 60^circ), тогда (angle
OAB = 30^circ). Получаем, что (OH) – катет лежащий напротив угла в (30^circ), значит (AO = 2cdot OH = 6). Т.к. (AC) и есть большая диагональ, то (AC = 2cdot AO = 12).

Ответ: 12


Задание
5

#1757

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сторона ромба равна (4). Расстояние от точки пересечения его диагоналей до одной из сторон равно (1). Найдите площадь ромба.

Пусть в ромбе (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей, (OH) – расстояние до стороны (AB), тогда (S_{triangle ABO} = frac{1}{2}cdot 1 cdot 4 = 2). Диагонали ромба делят его на (4) равных прямоугольных треугольника (Rightarrow) (S_{ABCD} = 4cdot 2 = 8).

Ответ: 8


Задание
6

#2718

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр ромба равен (40), а диагонали относятся, как (3:4). Найдите площадь ромба.

Половины диагоналей находятся в таком же отношении, как и диагонали, то есть в отношении (3:4). Зная периметр, найдем сторону ромба: (40
: 4 = 10). Сторона и половинки диагоналей образуют прямоугольный треугольник (AOB).

Пусть (AO=4x), (BO=3x).
Тогда по теореме Пифагора: ((3x)^2 + (4x)^2 = 10^2) (Rightarrow) (25x^2 = 100) (Rightarrow) (x^2 = 4) (Rightarrow) (x = 2). Диагонали равны (BD=2BO=12) и (AC=2AO=16) (Rightarrow) (S_{ABCD} =
frac{1}{2}cdot12cdot16 = 96).

Ответ: 96


Задание
7

#2719

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз отличаются площади ромбов, имеющие по равному углу, у которых стороны относятся как (3:1)?

Пусть (angle B) и (angle B_1) – равные углы ромбов. Так как стороны ромбов относятся как (3:1), то можно обозначить их за (3x) и (x) соответственно.

Тогда и (angle D=angle D_1) (так как у ромба противоположные углы равны). Следовательно, (triangle ABCsim triangle A_1B_1C_1) и (triangle ADCsimtriangle A_1D_1C_1) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причем коэффициент подобия этих треугольников равен (3). Следовательно, их площади относятся как (9:1). А так как (S_{ABC}+S_{ADC}=S_{ABCD}) и (S_{A_1B_1C_1}+S_{A_1D_1C_1}=S_{A_1B_1C_1D_1}), то (S_1:S_2=9:1).

Ответ: 9

Геометрические задачи на тему «Свойства ромба» в обязательном порядке включаются в ЕГЭ по математике. Причем, в зависимости от условия задания, учащийся может давать как краткий, так и развернутый ответ. Именно поэтому на этапе подготовки к сдаче ЕГЭ школьникам непременно стоит понять принцип решения задач на применение свойств и признаков ромба.

Еще раз повторить данную тему и восполнить пробелы в знаниях вам поможет образовательный проект «Школково». С помощью нашего сайта можно легко и эффективно подготовиться к ЕГЭ по математике.

Чтобы успешно справляться с геометрическими заданиями, учащимся старших классов стоит повторить базовые понятия и определения: свойства углов ромба и других четырехугольников, признаки этой фигуры, а также формулу для нахождения ее площади. Данный материал представлен в разделе «Теоретическая справка» на сайте «Школково». Информация, которую подготовили наши специалисты, изложена в максимально доступной форме.

Повторив основные свойства диагоналей ромба, а также его углов и биссектрис, учащиеся могут попрактиковаться в выполнении упражнений. Большая подборка заданий по данной теме, а также по решению нестандартных задач по математике представлена в разделе «Каталог». Найти правильный ответ выпускники смогут, предварительно освежив в памяти свойства биссектрис ромба, в также углов и диагоналей этой фигуры. Подробный алгоритм решения каждой задачи прописан нашими специалистами.

Выполнять простые и более сложные задания по теме «Ромб и его свойства», а также на нахождение площади квадрата на этапе подготовки к ЕГЭ по математике школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем быстро найти это задание и, к примеру, обсудить алгоритм его решения со школьным преподавателем.

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник

Добавить комментарий