В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.
Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок AB.
Если отрезок AB продолжить в обе стороны от точек A и B, мы получим прямую AB. Тогда отрезок AB – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B. Отрезок AB объединяет точки A и B, являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K, лежащую между точками A и B, можно сказать, что точка K лежит на отрезке AB.
Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка AB обозначим следующим образом: AB.
Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка AB обозначить точкой C, то верным будет равенство: AC=CB
И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C) при заданных координатах концов отрезка (A и B), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.
Середина отрезка на координатной прямой
Исходные данные: координатная прямая Ox и несовпадающие точки на ней: A и B. Этим точкам соответствуют действительные числа xA и xB. Точка C – середина отрезка AB: необходимо определить координату xC.
Поскольку точка C является серединой отрезка АВ, верным будет являться равенство: |АС| = |СВ|. Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.
|АС| = |СВ|⇔xC-xA=xB-xC
Тогда возможно два равенства: xC-xA=xB-xC и xC-xA=-(xB-xC)
Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : xC=xA+xB2 (полусумма координат концов отрезка).
Из второго равенста получим: xA=xB , что невозможно, т.к. в исходных данных – несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка AB с концами A(xA) и B(xB):
xA+xB2
Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.
Середина отрезка на плоскости
Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости Оxy, две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами AxA, yA и BxB, yB . Точка C – середина отрезка AB. Необходимо определить координаты xC и yC для точки C.
Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей.Ax, Ay ; Bx, By и Cx ,Cy – проекции точек A, B и C на оси координат (прямые Ох и Оy).
Согласно построению прямые AAx, BBx, CCx параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства АС = СВ следуют равенства: АxСx = СxВx и АyСy = СyВy, и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка Сx – середина отрезка АxВx, а Сy – середина отрезка АyВy. И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:
xC=xA+xB2 и yC=yA+yB2
Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:
Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка AB на плоскости с координатами концов A (xA,yA) и B (xB, yB) определяются как:
(xA+xB2, yA+yB2)
Середина отрезка в пространстве
Исходные данные: система координат Оxyz и две произвольные точки с заданными координатами A(xA, yA, zA) и B (xB, yB, zB). Необходимо определить координаты точки C, являющейся серединой отрезка AB.
Ax, Ay, Az ; Bx, By,Bz и Cx, Cy, Cz – проекции всех заданных точек на оси системы координат.
Согласно теореме Фалеса верны равенства: AxCx=CxBx, AyCy=CyBy,AzCz=CzBz
Следовательно, точки Cx, Cy,Cz являются серединами отрезков AxBx, AyBy, AzBz соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:
xC=xA+xB2, yc=yA+yB2, zc=zA+ZB2
Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.
Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов
Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.
Исходные данные: прямоугольная декартова система координат Oxy, точки с заданными координатами A(xA,yA) и B(xB, xB) . Точка C – середина отрезка AB.
Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: OC→=12·OA→+OB→ . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов OA→ и OB→ , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: OA→=(xA, yA), OB→=(xB,yB) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:
OC→=12·OA→+OB→=xA+xB2, yA+yB2
Следовательно, точка C имеет координаты:
xA+xB2, yA+yB2
По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:
C(xA+xB2, yA+yB2, zA+zB2)
Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка
Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.
Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А (-7,3) и В (2,4). Необходимо найти координаты середины отрезка АВ.
Решение
Обозначим середину отрезка AB точкой C. Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B.
xC=xA+xB2=-7+22=-52yC=yA+yB2=3+42=72
Ответ: координаты середины отрезка АВ -52, 72.
Исходные данные: известны координаты треугольника АВС: А (-1,0), В (3,2), С (9,-8). Необходимо найти длину медианы АМ.
Решение
- По условию задачи AM – медиана, а значит M является точкой середины отрезка BC. В первую очередь найдем координаты середины отрезка BC, т.е. точки M:
xM=xB+xC2=3+92=6yM=yB+yC2=2+(-8)2=-3
- Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы АМ:
AM=(6-(-1))2+(-3-0)2=58
Ответ: 58
Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Заданы координаты точки C1(1, 1, 0), а также определена точка M, являющаяся серединой диагонали BD1 и имеющая координаты M (4, 2, -4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.
Решение
Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка АС1. Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А: xM=xA+xC12 ⇒xA=2·xM-xC1=2·4-1+7yM=yA+yC12⇒yA=2·yM-yC1=2·2-1=3zM=zA+zC12⇒zA=2·zM-zC1=2·(-4)-0=-8
Ответ: координаты точки А (7,3,-8).
Определение.
Середина отрезка – это точка, которая лежит на отрезке и находится на равном расстоянии от конечных точек.
В геометрических задачах часто можно столкнуться с необходимостью найти середину отрезка заданного координатами точек его концов, например в задачах поиска медианы, средней линии, …
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.
Формулы вычисления расстояния между двумя точками:
- Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya) и B(xb, yb) на плоскости:
xc = xa + xb yc = ya + yb 2 2 - Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) в пространстве:
xc = xa + xb yc = ya + yb zc = za + zb 2 2 2
Примеры задач на вычисление середины отрезка
Примеры вычисления координат середины отрезка на плоскости
Пример 1.
Найти координаты точки С, середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3) и B(6, 5).
Решение.
| xc = | xa + xb | = | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
| 2 | 2 | 2 |
| yc = | ya + yb | = | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
| 2 | 2 | 2 |
Ответ: С(2.5, 4).
Пример 2.
Найти координаты точки В, если известны координаты точки C(1; 5), середины отрезка AB и точки A(-1, 3).
Решение.
xc =
xa + xb2
=> xb = 2xc – xa = 2·1-(-1)=2+1=3
yc =
ya + yb2
=> yb = 2yc – ya = 2·5-3=10-3=7
Ответ: B(3, 7).
Примеры вычисления координат середины отрезка в пространстве
Пример 3.
Найти координаты точки С середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3, 1) и B(6, 5, -3).
Решение.
| xc = | xa + xb | = | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
| 2 | 2 | 2 |
| yc = | ya + yb | = | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
| 2 | 2 | 2 |
| zc = | za + zb | = | 1 + (-3) | = | -2 | = -1 |
| 2 | 2 | 2 |
Ответ: С(2.5, 4, -1).
Пример 4.
Найти координаты точки В если известны координаты точки C(1, 5, 2), середины отрезка AB и точки A(-1, 3, 10).
Решение.
xc =
xa + xb2
=> xb = 2xc – xa = 2·1-(-1)=2+1=3
yc =
ya + yb2
=> yb = 2yc – ya = 2·5-3=10-3=7
zc =
za + zb2
=> zb = 2zc – za = 2·2-10=4-10=-6
Ответ: B(3, 7, -6).
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Формула вычисления середины отрезка A(xa; ya) и B(xb; yb) на плоскости:
Формула вычисления середины отрезка A(xa; ya; za) и B(xb; yb; zb) в пространстве:
Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости
Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат x и y.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:
AC = xb – xa;
BC = yb – ya.
Спомощью теоремы Пифагора, вычислим длину отрезка AB:
Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.
Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.
На этой странице можно рассчитать координаты середины отрезка как на плоскости, так и в пространстве. Введите координаты точек и получите ответ, а также подробное решение с помощью наших онлайн-калькуляторов.
Задача нахождения координат середины отрезка довольно часто возникает при решении задач, связанных с нахождением средней линии, медианы а также других вычислениях. На нашем сайте также можно рассчитать длину отрезка, заданного координатами.
Середина отрезка – точка, расположенная на отрезке на равном расстоянии от его конечных точек.
Формула для нахождения координат середины отрезка на плоскости
{x_c=dfrac{x_a + x_b}{2}; ; y_c=dfrac{y_a + y_b}{2}}
xa и ya – координаты первой точки A,
xb и yb – координаты второй точки B,
xc и yc – координаты середины отрезка (точка C).
Формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве
{x_c=dfrac{x_a + x_b}{2}; ; y_c=dfrac{y_a + y_b}{2}; ; z_c=dfrac{z_a + z_b}{2}}
xa, ya и za – координаты первой точки A,
xb, yb и zb– координаты второй точки B,
xc, yc и zc – координаты середины отрезка (точка C).
Примеры задач на вычисление середины отрезка
Задача 1
Найдите координаты середины отрезка АВ,если А(-2,3) и В(6,-3).
Решение
Подставим координаты концов отрезка в формулы.
x_c=dfrac{x_a + x_b}{2} = dfrac{-2 + 6}{2} = dfrac{4}{2} = 2
y_c=dfrac{y_a + y_b}{2} = dfrac{3 + (-3)}{2} = dfrac{0}{2} = 0
Мы получили координаты середины отрезка – C(2, 0).
Ответ: C(2, 0)
Калькулятор середины отрезка поможет проверить результат.
Задача 2
Дано: A(1, -1, 2), B(3, 1, -2). Найдите координаты середины отрезка AB.
Решение
Воспользуемся формулами координат середины отрезка в пространстве, подставив в них значение координат концов отрезка.
x_c=dfrac{x_a + x_b}{2} = dfrac{1 + 3}{2} = dfrac{4}{2} = 2
y_c=dfrac{y_a + y_b}{2} = dfrac{-1 + 1}{2} = dfrac{0}{2} = 0
z_c=dfrac{z_a + z_b}{2} = dfrac{2 + (-2)}{2} = dfrac{0}{2} = 0
Мы получили координаты середины отрезка – C(2, 0, 0).
Ответ: C(2, 0, 0)
Проверка
Координаты точки середины отрезка в пространстве онлайн
Калькулятор рассчитывает координаты середины отрезка в пространстве по координатам конца отрезка с подробным порядком вычислений. В поля можно вводить целые или десятичные числа.
Введите координаты точки A
Введите координаты точки B
Определение середины отрезка
Середина отрезка – это точка которая лежит на отрезке, делит этот отрезок пополам и находится на равном расстоянии от начала и конца отрезка.
Формула расчёта координаты середины отрезка в пространстве
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
xc=(xa+xb)/2
yc=(ya+yb)/2
zc=(za+zb)/2
A(xa, ya, za), B(xb, yb, zb) – координаты концов отрезка
C(xc, yc, zc) – координаты середины отрезка
Разберём пример
Найдите координаты середины отрезка AC заданного точками A(4,5,7), C(10,11,5)
По формуле найдём координаты середины отрезка
x=(4+10)/2=7
y=(5+11)/2=8
z=(7+5)/2=6
Найдите координаты точки C середины отрезка AB заданного точками A(3,4,5), B(9,10,11)
xc=(3+9)/2=6
yc=(4+10)/2=7
yc=(5+11)/2=8
Найти координаты середины отрезка AB если A(2, 3, 3), B(6, 1, 0).
Найти координаты середины отрезка AB если A(4, 5, 0), B(2, 0, 6).
Найти координаты середины отрезка AB если A(1, 0, 2), B(3, 3, 3).
Похожие калькуляторы
