Как найти середину противоположные стороны

Теорема Вариньона

В школьном курсе теорема Вариньона часто фигурирует в качестве обычной задачи, в которой требуется доказать, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Её доказательство основано на свойствах средней линии треугольника.

Середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Дано: ABCD — четырёхугольник,

M, N, K, F — середины его сторон.

Доказать : MNKF — параллелограмм.

1) Проведём диагональ AC.

2) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как точки M и N — середины сторон AB и BC, отрезок MN — средняя линия треугольника ABC.

3) Аналогично, FK — средняя линия треугольника ADC и

4) По признаку параллельности прямых, две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой:

5) В четырёхугольнике MKNF противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, MKNF — параллелограмм (по признаку).

Что и требовалось доказать.

Поскольку в школьном курсе геометрии рассматриваются только выпуклые четырёхугольники, доказательство приведено только для этого случая. Но и для невыпуклых четырёхугольников (в том числе, и для самопересекающихся), теорема также верна (доказывается аналогично).

Параллелограмм, образованный серединами сторон четырёхугольника, называется параллелограммом Вариньона (вариньоновским, вариньоновым).

Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного параллелограмма:

(так как стороны MNKF равны половине диагонали AC или BD).

Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного параллелограмма:

углы COD и NMF равны (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и MN и секущей BD),

Урок геометрии по теме “Теорема Вариньона. Решение задач”. 8-й класс

Класс: 8

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (276 кБ)

Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Задачи:

1. Изучить теоретический материал: понятия «параллелограмм Вариньона», бимедианы четырехугольника, разобрать доказательство теоремы Вариньона и следствия из нее.
2. Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и, используя теорему Вариньона.
3. Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.

Ход урока

Введение

В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм-менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у ученика занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.

Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы, но считаю изучение её необходимым.

1. Теоретическая часть

Вариньон Пьер [1] (1654–1722)

Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики. », в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).

Теорема Вариньона [2]

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

ABCD – выпуклый четырехугольник

AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND

1) KLMN – параллелограмм;

1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. KL– средняя линия треугольника ABC(по определению),следовательно, KL║AC. Аналогично, так как MN– средняя линия треугольника ADC,то MN║AC. Так как KL║AC и MN║AC следовательно, KL║NM и KL=MN=AC/2. Таким образом, KLMN – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.
2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника,
3. т.е. S_KBL = S_ABC/4, S_MDN=S_ADS/4. Следовательно, S₁+S₃=S_ABCD /4. Аналогично, S₂+S₄=S_ABCD/4. Следовательно, S₁+S₃ + S₂+S₄ = S_ABCD /4 + S_ABCD/4 = S_ABCD/2.

Т.е., SKLMN = S_ABCD/2. Что и требовалось доказать.

Определение. Бимедианы четырехугольниках [3] – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)

Следствия из теоремы Вариньона

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.

Доказать: KLMN – ромб

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

KM и LN перпендикулярны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Что и требовалось доказать.

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны

Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – равны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны; AC=BD

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – перпендикулярны; KM=LN

Доказать: KLMN – квадрат

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

Что и требовалось доказать.

2. Практическая часть. Решение задач.

Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1).

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2).

У четырехугольника диагонали равны aи b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

См. теорему Вариньона.

Докажите, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.

Т.к. средние линии четырехугольника являются диагоналями параллелограмма Вариньона, то точка пересечения делит их пополам.

Олимпиадные задачи

1. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий [5].

Доказать: S_ABCD= KM*LN

Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Что и требовалось доказать.

2. Докажите, что суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны [6].

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника.

Что и требовалось доказать.

Заключение

«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.

Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.

Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных.

От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.

Теорема Вариньона.

Теорема. Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, стороны которого равны половинам диагоналей данного четырехугольника, а площадь — половине площади данного четырехугольника.

Пример.

Доказательство.

HE — средняя линия треугольника ABD. Следовательно, HE||BD и HE=0,5·BD.

FG — средняя линия треугольника BCD. Следовательно, FG||BD и FG=0,5·BD.

Следовательно, отрезки HE и FG равны и параллельны, следовательно HEFG — параллелограмм.

Докажем, что площадь параллелограмма HEFG равна половине площади четырехугольника.

Пусть BD∩AC=O, тогда

Пусть EH∩AC=K, тогда ∠BOC=∠EKC как соответственные углы при параллельных прямых HE и BD и секущей AC.

∠EKC=∠EHG как соответственные углы при параллельных прямых AC и HG и секущей EH.

[spoiler title=”источники:”]

http://urok.1sept.ru/articles/644122

http://anasta8ia.ru/teorema-varinona/

[/spoiler]

Средние линии треугольников и четырехугольников

107. Мы знаем (п. 102), что геометрическим местом точек, равноотстоящих от двух данных параллельных прямых, служит средняя параллельная. Если таким образом AB и CD (чер. 114) суть две параллельные и MN для них средняя параллельная, то расстояния любой точки E этой средней параллельной от AB и CD равны между собою, т. е., построив EF ⊥ AB и EG ⊥ CD, получим, что EF = EG.

Ясно, что построенные перпендикуляры EF и EG составляют продолжение друг друга и образуют один отрезок FG, перпендикулярный к нашим параллельным AB и CD, причем этот отрезок делится среднею параллельною (в точке E) пополам. Итак, всякий отрезок, перпендикулярный к двум параллельным и заключенный между ними, делится среднею параллельною пополам.

Возникает теперь вопрос: не будет ли также делиться пополам среднею параллельною какой-нибудь отрезок KL, не перпендикулярный к AB и CD. Пусть KL пересекается с MN в точке O. Построим через точку O перпендикулярный к прямым AB и CD отрезок HI. Тогда OH = OI. Так как, кроме того, ∠HOK = ∠IOL, как вертикальные, то прямоугольные треугольники OHK и OIL равны, откуда следует, что OK = OL. Итак, оказывается, что и любой отрезок, заключенный между двумя параллельными, делится среднею параллельною пополам.

Пусть AB || CD (чер. 115). Построив между ними ряд каких-либо отрезков EF, GH, KI и т. д., мы, согласно предыдущему, найдем, что середины этих отрезков лежат на средней параллельной MN. В общем итоге мы приходим к следующему заключению:

Геометрическим местом середин всевозможных отрезков, заключенных между двумя параллельными, служит средняя параллельная.

Отсюда возникают возможности различных построений средней параллельной для двух данных параллельных прямых: 1) мы можем, построим любой отрезок EF, заключенный между двумя данными параллельными AB и CD, разделить его пополам и через его середину построить прямую MN || AB || CD — это прямая MN и должна служить среднею параллельною, и она должна делить пополам всевозможные отрезки (напр., GH, KI и т. д.), заключенные между AB и CD. 2) Мы можем построить два отрезка, напр., EH и KI, заключенные между AB и CD, разделить каждый из них пополам и через их середины построить прямую MN — она и должна служить среднею параллельною.

108. Применим свойства средней параллельной к знакомым нам фигурам и прежде всего треугольнику.

Пусть имеем ∆ABC (чер. 116). Здесь непосредственно мы не имеем двух параллельных, но мы всегда можем их получить, напр., построив через вершину A прямую EF || BC (эту прямую EF можно было бы и не рисовать на чертеже, так как она существенной роли не играет в дальнейшем и так как достаточно лишь знать, что она существует). Тогда мы имеем две параллельных BC и EF и два отрезка AB и AC, заключенных между ними. Разделив их пополам в точках M и N (AM = MB и AN = NC) и построив через M и N прямую MN, мы получим среднюю параллельную MN, т. е. MN || BC (и || EF, но это для нас не существенно). Из этого заключаем:

прямая, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна его третьей стороне.

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называют среднею линиею треугольника. Итак, у нас отрезок MN есть средняя лини нашего треугольника.

Пусть имеем ∆ABC (чер. 117). Разделим пополам каждую из его сторон: пусть M есть середина AB (сл. AM = MB), N — середина AC (AN = NC) и P — середина BC (BP = PC); соединим точки M, N и P отрезками MN, MP и PN, – каждый из этих отрезков является среднею линиею для нашего треугольника. Таким образом в треугольнике имеется три средних линии.

Согласно предыдущему, будем иметь: MN || BC, MP || AC и NP || AB. Поэтому AMPN, BMNP и PMNC суть параллелограммы. Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то имеем: MN = BP (из параллелограмма BMNP), но BP = BC/2 (ибо точка P есть середина BC); поэтому MN = BC/2. Также из параллелограмма AMPN получим: MP = AN = AC/2 и из параллелограмма AMPN — PN = AM = AB/2. Отсюда заключаем:

каждая средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей и равна ее половине.

109. Перейдем теперь к четырехугольникам и остановимся сначала на таких четырехугольниках, у которых две стороны параллельны. Принято называть такие четырехугольники трапециями. На чер. 118 изображены два различных вида трапеций: 1) трапеция ABCD, где BC || AD, но AB не параллельна CD, – эта трапеция имеет площадь (см. п. 79) и 2) трапеция A’B’C’D’, где A’D’ || B’C’, – эта трапеция не имеет площади (п. 79).

Рассмотрим сначала трапецию ABCD (чер. 118 bis), имеющую площадь. Здесь BD || AD. Поэтому мы имеем две параллельных BC и AD и между ними отрезки AB и CD. Разделив эти отрезки пополам в точках M и N (AM = MB и CN = ND) и соединив их прямою MN, получим среднюю параллельную MN для BC и AD, т. е. MN || BC || AD. Отрезок MN этой прямой называется средней линиею трапеции (следует добавить: «соединяющей середины непараллельных сторон», потому что в трапеции, как и во всяком четырехугольнике, можно рассматривать 6 средних линий, что имеет место в п. 110). Итак, мы получили, что MN || BC || AD. Далее, построив диагональ AC, получим еще третий отрезок AC, заключенный между параллельными BC и AD — его середина должна лежать (п. 107) на средней параллельной, т. е. точка P, где пересекаются MN и AC, есть середина отрезка AC. Поэтому MP есть средняя линия треугольника ABC и PN — средняя линия ∆ACD. На основании предыдущего, имеем: MP = BC/2 и PN = AD/2. Отсюда получаем: MN = MP + PN = BC/2 + AD/2 или MN = (BC + AD)/2. Итак,

средняя линия, соединяющая середины непараллельных сторон трапеции, имеющей площадь, параллельна ее параллельным сторонам и равна их полусумме.

Пусть теперь имеем трапецию ABCD (чер. 118 bis), неимеющую площади. Здесь также BC || AD и поэтому середины M и N сторон AB и CD лежат на средней параллельной, т. е. здесь также имеем: MN || BC || AD. Построив диагональ AC, получим отрезок AC, заключенный между параллельными BC и AD, и его середина, точка P, должна лежать на средней параллельной. Поэтому PM есть средняя линия треугольника ABC и, следовательно PM = BC/2; также PN есть средняя линия ∆ABC и, след., PN = AD/2. Так как MN = PN – PM, то получим MN = PN – PM = AD/2 – BC/2 или MN = (AD – BC) / 2. Итак,

средняя линия, соединяющая середины непараллельных сторон трапеции, неимеющей площади, параллельна ее параллельным сторонам и равна их полуразности.

110. Пусть имеем какой-либо четырехугольник ABCD (имеющий площадь) — (чер. 119). Найдем середины M, N, P и Q его сторон и соединим их попарно. Получим 6 средних линий четырехугольника.

Вот свойства этих средних линий.

1) Средние линии, соединяющие середины последовательных сторон четырехугольника, образуют параллелограмм.

Для выяснения этого свойства построим диагональ AC. Тогда из ∆ABC имеем (п. 108) MN || AC и из ∆ACD на том же основании: PQ || AC, – следов., MN || PQ. Построив другую диагональ BD, найдем при ее помощи, что NP || MQ, следовательно, MNPQ есть параллелограмм.

2) Средние линии четырехугольника, соединяющие середины противоположных сторон, взаимно делятся пополам.

Это свойство теперь очевидно, так как MP и NQ являются диагоналями параллелограмма.
Через точку O пересечения прямых MP и NQ проходят также прямые, соединяющие середины диагоналей AC и BD (на чертеже диагональ BD не дана). Это следует из того, что AC И BD являются сторонами четырехугольника ACBD, не имеющего площади, к которому применимо все, изложенное в начале этого п.

111. Мы умели (пп. 57, 59) делить отрезок пополам и, следов., на 4, на 8 и вообще на 2n равных частей. Теперь мы можем разделить данный отрезок на 3, на 5 и вообще на сколько угодно равных частей.

Пусть, напр., требуется отрезок AB (чер. 120) разделить на 5 равных частей. Построим через точку A произвольную прямую AC (образующую с AB угол, отличный от выпрямленного) и отложим на AC пять произвольных, но равных между собою, отрезков AE = EF = FG = GH = HO. Построим прямую OB и через точки E, F, G и Н построим прямые EE’, FF’, GG’, HH’, параллельные OB.

Рассмотрим ∆AFF’, так как AE = EF, то E есть середина стороны AF и EE’ (она || FF’) есть средняя линия этого треугольника, следовательно, AE’ = E’F’.

Рассмотрим затем трапецию EE’G’G. Так как EF = FG, FF’ || EE’, то FF’ есть средняя линия трапеции EE’GG’, – следовательно, E’F’ = F’G’. Также найдем, что GG’ есть средняя линия трапеции FF’H’H и, следов., F’G’ = G’H’ и т. д. Соединяя полученные равенства, найдем AE’ = E’F’ = F’G’ = G’H’ = H’B’, т. е. отрезок AB разделился на 5 равных частей.

Из решения этой задачи можно вывести заключение:

Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и чрез их концы построить ряд параллельных прямых, то и на другой стороне угла получим равные между собой отрезки.

Добавление. Мы откладывали равные отрезки на одной прямой подряд, начиная от точки пересечения двух прямых (AB и AC чертежа 120), но возможно к такому же результату прийти и при ином способе отложения равных отрезков. На чертеже 120 bis дано два варианта такого построения: на прямой AD (см. чер. 120 bis слева или справа) отложим два равных отрезка AB и CD и через их концы построим параллельные AA’ || BB’ || CC’ || DD’. Затем возьмем точку O, середину отрезка BC, и построим OO’ || BB’ || CC’ || AA’ || DD’. Тогда OO’ есть средняя линия трапеции BCC’B’; поэтому B’O’ = O’C (п. 109). Так как AB = CD и BO = OC, то AO также = OD; поэтому OO’ есть также средняя линия трапеции ADD’A’ (на чертеже справа эта трапеция ADD’A’ — не имеющая площади, см. п. 109) — и также A’O’ = O’D’. Отсюда имеем A’O’ – B’O’ = O’D’ – O’C’ (ибо и уменьшаемые и вычитаемые обеих разностей равны), или A’B’ = C’D’. Возможны и иные комбинации (напр., отр. CD правой фигуры отодвинуть так, чтобы точка C оказалась правее точки пересечения прямых AD и A’D’). Общее заключение таково: если построены две прямые, на одной из них отложены как-либо два равных отрезка и через концы их построены параллельные, то эти последние выделят и на другой прямой два равных между собою отрезка.

112. Упражнения.

1. Через вершины данного треугольника построены прямые, параллельные его сторонам. Показать, что новый треугольник имеет стороны вдвое больше, чем стороны данного, и что вершины данного являются серединами сторон нового (сравн. упр. 7 из п. 54).
2. Построить треугольник, если даны середины трех его сторон.
3. Построить параллелограмм, если даны середины трех его сторон.
4. Известно (п. 110), что середины четырех сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Когда этот параллелограмм обращается в ромб, когда в прямоугольник, когда в квадрат?
5. Прямая, соединяющая вершину треугольника со срединою противоположной стороны (медиана) и прямая, соединяющая середины двух других сторон треугольника, взаимно делятся пополам.
6. Продолжим одну сторону треугольника на отрезок, равный этой стороне, и соединим конец отрезка со срединою другой стороны. Последняя соединяющая прямая отсекает от третьей стороны треугольника отрезок, равный 1/3 этой стороны. (Построить еще прямую, параллельную последней соединяющей прямой чрез вершину треугольника, противолежащую той его стороне, которая была продолжена).
7. Если на стороне AB параллелограмма ABCD отложить отрезок AM = (1/n)AB (напр., (1/7)AB) и соединить D с M, то DM пересечет диагональ AC в точке N так, что AN = (1/(n+1))AC (во взятом примере (1/8)AC).
   Для выяснения этого надо на продолжении стороны AB отложить BM’ = AM и соединить C с M’; тогда C’M’ || DM, – приметь п. 111.

План урока:

Понятие многоугольника

Выпуклый многоугольник

Четырехугольник

Параллелограмм

Признаки параллелограмма

Теорема Фалеса

Понятие многоугольника

Построим на плоскости отрезок А₁А₂. Выберем произвольную точку А₃, не лежащую на прямой А₁А₂, и соединим ее с точкой А₂. Получится фигура, состоящая из двух отрезков. Можно отметить на плоскости следующую точку А₄, не лежащую на прямой А₂А₃, и также соединить ее с А₃. Получим три соединенных друг с другом отрезка. Процесс можно продолжать сколь угодно долго. Фигура, получаемая при таком построении, называется ломанной.

Отрезки А₁А₂, А₂А₃ и т.д. называют звеньями ломанной. Если начало и конец ломанной совпадают друг с другом, а ее звенья не пересекаются, то ломанная образует замкнутую фигуру, которая называется многоугольником (иногда используют сокращение многоуг-к):

Для примера покажем замкнутую ломанную, имеющую самопересечения. Она НЕ является многоугольником:

Каждое звено ломанной называется стороной многоуг-ка, а их начальные и конечные точки – это вершины многоугольника. Число сторон многоуг-ка всегда равно количеству его вершин. Если сложить длину всех сторон многоуг-ка, то можно получить величину, которую называют периметром многоугольника.

Задание. Найдите периметр многоугольника, длины сторон которого показаны на рисунке:

Решение. Для нахождения периметра (его обычно обозначают буквой Р) надо просто сложить длины всех сторон:

В общем случае, когда многоуг-к имеет n сторон, его называют n-угольником. В частности, многоуг-к с тремя сторонами называется треугольником, с четырьмя сторонами – четырехугольником и т.д.

Любые две вершины многоуг-ка, которые соединены друг с другом его стороной, называются соседними вершинами. Отрезок, соединяющий любые несоседние вершины многоуг-ка, называется диагональю многоугольника:

Можно заметить, что любой многоуг-к делит плоскость на две области – внутреннюю, ограниченную сторонами многоугольника, и внешнюю.

Выпуклый многоугольник

В рамках школьной геометрии в основном изучают особые многоугольники, которые называются выпуклыми. Они отличаются тем, что полностью лежат с одной стороны от любой прямой, проходящей через соседние вершины многоугольника. Проиллюстрируем понятие выпуклого многоуг-ка с помощью рисунка:

Здесь АВСD – выпуклый многоугольник, так как ни одна из прямых, проходящих через его стороны, не пересекает его. А многоуг-к ЕРМК выпуклым не является, ведь прямые КМ и ЕМ проходят сквозь него и делят многоуг-к на две части.

Есть несколько свойств выпуклого многоугольника, которые иногда используются для того, чтобы дать ему определение. Во-первых, у всякого выпуклого многоуг-ка любая диагональ полностью лежит внутри многоуг-ка. Если же хоть одна диагональ лежит вне площади, ограниченной многоуг-ком, то он является невыпуклым:

Во-вторых, если в выпуклом многоуг-ке любые две точки внутренней области соединить отрезком, то он будет полностью лежать внутри многоуг-ка. У невыпуклого же многоуг-ка обязательно найдутся такие две точки внутренней области, что отрезок, соединяющий их, будет проходить и через внешнюю область. В частности, на рисунке отрезок RQ соединяет две точки выпуклого моногоуг-ка, поэтому он обязательно должен полностью лежать внутри АВСD. Многоугольник ЕРМК является невыпуклым, поэтому обязательно найдутся такие точки Т и Н, что отрезок ТН будет частично «выходить» за пределы внутренней области ЕРМН:

Любые две соседние стороны многоуг-ка образуют угол, который часто именуют той же буквой, что и соответствующую вершину многоуг-ка:

Существует особая формула, которая позволяет находить сумму углов выпуклого многоугольника. Для ее вывода изобразим произвольный выпуклый многоуг-к, у которого n вершин, и построим в нем диагонали, исходящие из одной вершины. В результате мы получим несколько треугольников:

Сначала попытаемся сосчитать количество получившихся диагоналей. Диагонали соединяют вершину А с всеми вершинами, кроме двух соседних (на рисунке это В и F) и самой вершины А. То есть из n вершин только 3 (А, В и F) не могут быть соединены диагональю с А, а остальные (n – 3) точки с ней соединены. Тогда и диагоналей ровно (n – 3).

Теперь посчитаем число получившихся треугольников. Каждая диагональ разбивает одну часть многоугольника на две. Таким образом, треугольников ровно на единицу больше, чем диагоналей, то есть их количество равно (n – 2).

Можно заметить, что сумма углов всех этих получившихся треуг-ков в точности равна сумме углов многоуг-ка. Однако нам уже известно, что сумма углов в треуг-ке равна 180°. Тогда в многоугольнике с n сторонами эта сумма будет равна величине 180°(n– 2).

Задание. Найдите, чему равна сумма углов четырехугольника, пятиугольника и стоугольника.

Решение. У четырехугольника 4 вершины, то есть n = 4. Просто подставляем это значение в формулу:

Аналогично для пятиугольника принимаем n = 5:

Наконец, для стоугольника число n будет равно 100:

Ответ: 360°; 540°; 17640°.

Задание. У выпуклого шестиугольника все углы равны. Чему они равны?

Решение. Если сложить все углы шестиугольника, то получится сумма, равная

Всего углов шесть, поэтому для нахождения каждого угла их сумму следует поделить на 6:

Ответ: 120°.

Задание. Сколько сторон имеет многоугольник, если каждый его угол равен 135°?

Решение. Обозначим число сторон многоугольника буквой n. Сумма всех его углов будет равна величине 180(n– 2). Если все углы равны друг другу, то каждый из них равен

Приравняв эту дробь к 135°, получим уравнение, из которого можно найти n:

Четырехугольник

Частным случаем многоугольника является четырехугольник (четырехуг-ник) – плоская фигура с 4 вершинами. Выше мы уже выяснили, что сумма углов четырехугольника равна 360°. Те стороны четырехуг-ка, которые не являются смежными, называются противоположными.

Задание. Периметр четырехуг-ка равен 80 см. Известно, что его наибольшая сторона больше трех других сторон на 3, 4 и 5 см. Найдите каждую из сторон четырехугольника.

Решение. Обозначим длину наибольшей стороны переменной х. Тогда длины оставшихся сторон будут равны величинам х – 3, х – 4 и х – 5 см. Из условия ясно, что их сумма должна равняться 80 см, поэтому можно составить уравнение:

Итак, наибольшая сторона имеет длину 23 см. Теперь мы можем вычислить и три оставшиеся стороны:

Задание. Один из углов четырехуг-ка равен 135°, а три остальных равны друг другу. Определите величину этих углов.

Решение. Обозначим углы цифрами. Тогда условие задачи можно записать так:

Задание. Углы четырехуг-ка пропорциональны числам 1, 2, 4 и 5. Рассчитайте их величину.

Решение. Условие задачи означает, что наименьший угол, который пропорционален числу 1, меньше трех других углов в 2, 4 и 5 раз. То есть, если обозначить его как х, то тогда другие углы будут равны 2х, 4х и 5х. Тогда можно составить следующее уравнение:

Параллелограмм

Большой интерес для геометрии представляют частные случаи четырехуг-ков, которые обладают особыми свойствами. Одним из них является параллелограмм. Так называют четырехуг-к, у которого противоположные стороны параллельны друг другу.

Задание. АВСD– выпуклый четырехугольник. Известно, что

Можно ли утверждать, что АВСD – это параллелограмм?

Решение. Используем рисунок:

Нам уже известно, что сумма углов четырехуг-ка АВCD равна 360°. На рисунке видно, что сумма углов при каждой стороне одинакова:

Теперь заметим, что прямая АВ– это секущая для АD и BC, причем∠А и ∠Вв таком случае являются односторонними. Но если сумма односторонних углов равна 180°, то прямые должны быть параллельными, то есть АD||BC. Аналогично, рассматривая АD как секущую прямых АВ и СD, и учитывая, что

можно доказать параллельность отрезков АВ и СD.Тогда получается, что противоположные стороны четырехугольника АВCD параллельны. Значит, он является параллелограммом.

Параллелограмм обладает примечательным свойством – его противоположные стороны равны друг другу, также как и противоположные углы.

Докажем эти утверждения. Для этого построим произвольный параллелограмм АВCD и проведем в нем диагональ:

В результате получились два треуг-ка: ∆АВD и ∆ВСD. У них есть общая сторона ВD. Далее заметим, что диагональ ВD является секущей как для параллельных прямых ВС и АD, так и для АВ и CD (параллельны же эти отрезки по определению параллелограмма). Но накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, поэтому

Теперь мы видим, что у ∆АВD и ∆ВСD есть равная сторона, а также равны и прилегающие к ней углы. Отсюда делаем вывод, что

Из этого сразу вытекает, что

Также очевидно, что и ∠В = ∠D, ведь они могут быть представлены в виде суммы углов, которые соответственно равны друг другу:

Задание. Периметр параллелограмма равен 48 см. Известно, что одна из его сторон больше другой на 3 см. Найдите все стороны параллелограмма.

Решение. Обозначим меньшую сторону переменной х, тогда большая сторона параллелограмма будет равна х + 3 см. Так как противоположные стороны у параллелограмма одинаковы, то две другие стороны также будут равны х и х + 3 см:

Сложив длины всех сторон и приравняв эту сумму к 48 см, получим уравнение:

Задание. Биссектриса угла М параллелограмма МКНР пересекает сторону КН в точке Е. Известно, что КЕ = 15 см, а ЕН = 9 см. Чему равен периметр МКНР?

Решение: Выполним построение по условию задачи:

Чтобы найти периметр, надо знать длины двух смежных сторон параллелограмма. Проще всего найти КН:

Осталось найти МК. Заметим, что биссектриса МЕ является секущей параллельных КН и МР. Из этого вытекает, что

ведь они накрест лежащие. В свою очередь

ведь биссектриса МЕ разбивает ∠М на два равных угла. Из этих двух равенств получаем, что

Получается, что в∆КЕМ два угла равны. А значит, он равнобедренный, причем основанием является МЕ. Это значит, что

Две смежные стороны нам известны, теперь мы можем найти периметр:

Задание. Известен один из углов параллелограмма, он равен 84°. Найдите все остальные его углы.

Решение. Обозначим параллелограмм буквами АВСD, и пусть

Проще всего найти ∠С, ведь противоположные углы параллелограмма равны:

Сумма углов∠А и ∠В должна равняться 180°, ведь они являются односторонними при параллельных прямых ВС и AD. Это позволяет найти∠В:

Углы∠В и ∠D одинаковы, ведь они являются противоположными в параллелограмме:

Второе свойство параллелограмма связано с его диагоналями.

Докажем это утверждения, построив следующий рисунок:

Пусть диагонали ABСD пересекаются в точке, обозначенной буквой О. Рассмотрим ∆АОB и ∆СОD. Их стороны АВ и CD одинаковы, ведь в параллелограмме АВСD они являются противоположными сторонами. Также как накрест лежащие равны следующие углы:

По 2-ому признаку равенства треуг-ков можно сделать вывод, что

Это как раз и означает, что точка О – это середина диагоналей.

Признаки параллелограмма

Существует несколько признаков, которые позволяют доказать, что тот или иной четырехуг-к является параллелограммом. Рассмотрим первый из них.

Пусть в четырехуг-ке параллельны и равны стороны АB и CD. Проведем диагональ ВD. Она окажется секущей для АВ и СD, поэтому накрест лежащие углы окажутся равными:

Сторона ВD – общая, а АВ = СD по условию. Тогда по 1-ому признаку равенства треуг-ков ∆АВD = ∆CВD. В свою очередь это означает, что

Они являются накрест лежащими уже при отрезках ВС и АD. Отсюда вытекает, что эти отрезки параллельны друг другу. В итоге в четырехуг-ке ABCD параллельными оказываются все противоположные стороны, поэтому он должен быть параллелограммом.

Задание. В параллелограмме АВCD смежные стороны различны, а∠А – острый. Из точек B и D опущены перпендикуляры ВК и DM на диагональ АС. Докажите, что фигура ВМDК – тоже параллелограмм.

Решение. Выполним построение по заданным условиям:

Необходимо доказать, что красная фигура – это параллелограмм. По выведенному нами признаку достаточно показать, что отрезки ВК и MD параллельны и равны. Их параллельность очевидна, ведь эти отрезки перпендикулярны к одной прямой (АС). Равенство отрезков можно доказать, рассмотрев ∆АВК и ∆СМD. Они являются прямоугольными, у них равны гипотенузы АВ и СD (как противоположные стороны в одном параллелограмме), а также

ведь это накрест лежащие углы при параллельных отрезках АВ и CD. В итоге получаем, что

Но тогда ВК = МD. В итоге, с учетом того, что ВК||МD, получаем, что ВМDК – это параллелограмм.

Следующая теорема позволяет определять, является ли фигура параллелограммом, только по длине ее сторон.

Для доказательства используем всё тот же прием: проведем в четырехуг-ке диагональ:

Мы снова получаем равенство треуг-ков

но на этот раз они равны по трем равным сторонам. Отсюда получаем равенство углов:

Из равенства этих углов, являющихся накрест лежащими, следует, что АВ||СDи ВС||АD. Это и значит, что АВСD– параллелограмм.

Задание. Середины смежных сторон параллелограмма соединили друг с другом отрезками. Докажите, что получившаяся таким образом фигура – параллелограмм.

Решение.

Обозначим середины сторон АВСD буквами М, Р, К и Т. Ясно, что

как противоположные стороны одного параллелограмма. Если отрезки равны, то равны и их половины, поэтому можно записать:

Теперь рассмотрим ∆АМТ и ∆СРК. Они равны, ведь у них одинаковы две стороны и угол, лежащий между ними:

Отсюда следует, что МТ = РК. Аналогично можно показать, что ∆МВР = ∆ТDК, из чего вытекает, что МР = ТК.

В итоге получаем, что у МРКТ противоположные стороны попарно равны. А это означает, что МРКТ – это параллелограмм.

Следующий признак параллелограмма связан с диагоналями.

Действительно, пусть в произвольном четырехуг-ке АВСD диагонали пересекаются в точке О, являющейся серединой диагоналей:

Тогда ВО = ОDи АО = ОС. Рассмотрим ∆АОВ и ∆СОD. ∠ВОА = ∠СОD, ведь это вертикальные углы. В итоге у этих треуг-ков равны две стороны, а также угол между ними. Следовательно, ∆АОВ = ∆СОD. Но отсюда следует, что

В итоге у АВСD противоположные стороны одинаковы. Значит, это параллелограмм.

Задание. О – точка, в которой пересекаются диагонали параллелограмма АВСD. М, Р, Н, К – середины отрезков АО, ВО, СО и DO соответственно. Докажите, что МРНК – это параллелограмм.

Решение.

По свойству параллелограмма точка О делит их пополам, то есть на равные отрезки:

Заметим, что диагоналями МРНК являются отрезки РК и МН, причем они пересекаются в точке О. Так как

Можно сказать, что О – середина диагоналей РК и МН. Отсюда вытекает вывод, что МРНК – параллелограмм.

Теорема Фалеса

Свойства параллелограмма помогают доказать одну из древнейших теорем планиметрии – теорему Фалеса. Она названа в честь философа, который считается родоначальником всей древнегреческой науки. Можно сказать, что Фалес – это самый ранний из всех ученых-геометров, чье имя дошло до наших дней. Сформулируем теорему Фалеса:

Здесь на прямой m отложили равные друг другу отрезки А₁А₂, А₂А₃,А₃А₄ и т.д.:

Далее через концы отрезков провели параллельные линии (показаны синим цветом), которые пересекли некоторую прямую n в точках В₁, В₂,В₃ и т.д. Теорема утверждает, что получившиеся при этом отрезки равны между собой:

Для доказательства теоремы нужно рассмотреть два случая. Сначала изучим ситуацию, когда прямые m и n параллельны друг другу:

Рассмотрим четырехуг-к А₁В₁В₂А₂. Его противоположные стороны лежат на параллельных прямых:

Тогда этот четырехуг-к по определению оказывается параллелограммом, а в нем, как известно, противоположные стороны одинаковы, то есть

Однако отрезки А₁А₂, А₂А₃,А₃А₄ равны друг другу, следовательно, и равные им отрезки В₁В₂, В₂В₃, В₃В₄ и т. д. будут также равными, что мы и пытаемся доказать.

Более сложным является случай, когда исходные прямые m и n непараллельны друг другу:

В этом случае проведем через В₁ отрезок В₁С₂, параллельный m. При этом точка С₂ будет лежать на прямой А₂В₂. Аналогично проведем отрезки В₂С₃, В₃С₄ и т. д. , каждый из которых будет параллельным прямой m:

Рассмотрим фигуры А₁В₁С₂А₂, А₂В₂С₃А₃, А₃В₃С₄А₄ и т. д. Это четырехуг-ки, у каждого из которых противоположные стороны параллельны. Значит, все эти фигуры – параллелограммы. Но у него противоположные стороны одинаковы:

Далее заметим, что прямая n является секущей для параллельных прямых В₁С₂, В₂С₃, В₃С₄ и т.д. Это значит, что можно записать равенство углов:

Эта же прямая является секущей для параллельных прямых А₁В₁, А₂В₂ и т. д., поэтому можно записать равенство углов:

Наконец, рассмотрим треуг-ки ∆В₁В₂С₂, ∆В₂В₃С₃, ∆В₃В₄С₄. Только что мы выяснили, что у них есть по два равных угла. Но так как сумма углов в любом треуг-ке равна 180°, то и третьи углы у них также будут равными.

Но тогда эти треуг-ки оказываются равными друг другу, так как у них равны стороны В₁С₂, В₂С₃, В₃С₄ и т.д. Из равенства треуг-ков вытекает и равенство сторон:

Именно это равенство мы и пытались доказать.

Данная теорема может быть очень полезна при практических построениях. Пусть на клетчатом листке бумаги изображен такой треуг-к:

Предположим, требуется найти середину стороны АВ, а также разделить сторону ВС на три равные части. Для этого достаточно провести напротив этих сторон вертикальные линии, которые можно разделить на равные части буквально «по клеточкам». Далее надо просто провести уже горизонтальные линии, которые и разделят стороны АВ и ВС в нужных пропорциях:

Итак, из этого урока мы узнали о понятии выпуклого четырехуг-ка и изучили один из его частных случаев – параллелограмм. В будущем мы познакомимся и с другими видами четырехуг-ков.

В школьном курсе теорема Вариньона часто фигурирует в качестве обычной задачи, в которой требуется доказать, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Её доказательство основано на свойствах средней линии треугольника.

Теорема (Вариньона)

Середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Дано: ABCD — четырёхугольник,

M, N, K, F — середины его сторон.

Доказать: MNKF — параллелограмм.

Доказательство:

1) Проведём диагональ AC.

2) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как точки M и N — середины сторон AB и BC, отрезок MN — средняя линия треугольника ABC.

По свойствам средней линии треугольника,

   

   

3) Аналогично, FK — средняя линия треугольника ADC и

   

   

4) По признаку параллельности прямых, две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой:

   

А так как

   

и

   

то MN=FK.

5) В четырёхугольнике MKNF противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, MKNF — параллелограмм (по признаку).

Что и требовалось доказать.

Поскольку в школьном курсе геометрии рассматриваются только выпуклые четырёхугольники, доказательство приведено только для этого случая. Но и для невыпуклых четырёхугольников (в том числе, и для самопересекающихся), теорема также верна (доказывается аналогично).

Параллелограмм, образованный серединами сторон четырёхугольника, называется параллелограммом Вариньона (вариньоновским, вариньоновым).

Следствие 1.

Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного параллелограмма:

   

(так как стороны MNKF равны половине диагонали AC или BD).

Следствие 2.

Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного параллелограмма:

   

Доказательство:

   

   

углы COD и NMF равны (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и MN и секущей BD),

   

   

   

Что и требовалось доказать.