Как найти середину стороны квадрата

Пусть есть квадрат со стороной 10 см и линейка длиной 11 см, как найти центр квадрата? Мало того что вставили снимок линейки с делениями, так ещё это какая несуразная линейка, связывающая неверно соотношение сантиметров и дюймов. Но не суть. У линейки, кроме длины, есть ещё и какая=то ширина, не важно, какая, главное, что она есть. Прикладывая линейку поочерёдно вдоль каждой стороны исходного квадрата, можно внутри его построить маленький квадрат, со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата и диагональю, короче, чем 11см. Линейка узкая и диагональ маленького квадрата всё ещё длиннее линейки? Не беда, делаем тоже самое, но уже с внутренним квадратом. В итоге, так, или иначе, получим квадрат, в котором можно провести диагонали, пересечение которых и даст нам искомую точку. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим julie­tka [124K] более месяца назад  Если наша линейка длиннее стороны квадрата, значит на сторонах этого квадрата мы можем построить прямоугольные треугольники. Один катет – 10см – вся сторона квадрата, другой катет – часть соседней стороны. А гипотенуза – полностью длина нашей линейки -11см. И так строим 4 одинаковых прямоугольных треугольника. Рисунок неточный, но суть понятна. Точки пересечения гипотенуз соединяем по диагонали. Точка пересечения этих диагоналей и будет центр изначального квадрата. Сырро­жа [171K] более месяца назад  Ну и чо, что линейка короткая и без разметки? В условии ведь умалчивается, что линейка металлическая? Надо из нее сделать подобие циркуля, проколов дырочки на концах линейки и воткнув в одну из них иголку, а в другую кусочек карандашного грифеля. Дырочки над сделать так, чтобы между ними аккурат укладывалась сторона квадрата. Теперь со смежных (рядом стоящих углов квадрата) отчертить два радиуса. Тоже самое проделать с противоположной стороной квадрата. Соединить точки пересечения противоположных дуг. Точка пересечения двух соединительных линий и укажет вам на центр квадрата. Извините, циркуля под рукой не оказалось, потому слепил его из того что было (пинцет и карандаш). Рисунок получился не красивый, но суть решения передает достаточно понятно: 123юр­ий456 [605] более месяца назад  1.Откладываем по 5 см на каждой стороне квадрата и проводим через эти точки 2 прямые линии,соединяющие середины противоположных сторон.Точка пересечения линий-центр квадрата. 2.Квадрат АВСД:строим биссектрису угла А, для чего откладываем по двум его сторонам по 2см,проводим с этих точек перпендикуляры внутрь квадрата до пересечения,получаем одну точку.Откладываем по 4 см и повторяем операцию.Через эти три точки,начиная с угла проводим прямую насколько хватит линейки,фактически это диагональ квадрата.Тоже самое делаем для угла В.Получаем две диагонали,точка их пересечения-центр квадрата. Евген­ий трохо­в [56.3K] более месяца назад  Пусть наш квадрат АВСД. Прикладываем линейку вначале, например, к стороне АД, а начало линейки к точке А, проводим линию. Получили точку Д1. Аналогично, совмещаем начало линейки и точку Д. Проводим линию, получаем точку А1 Далее, прикладывая линейку к остальным сторонам квадрата получаем точки А2, Д2, В1, В2, С1, С2. Получили 4 прямоугольника размером 1х10 см. Проводим в них диагонали, получаем точки пересечения диагоналей Н, Р, F, K. Расстояние НF=РК=11 сантиметров. Так что мы можем линейкой соединить точки Н и F, и точки Р и К и найти на пересечении их центр квадрата точку О. Любов­ь Л- [16K] более месяца назад  Не имеет значения есть ли деления или их нет. Делаем свою риску на линейке, которая будет отметкой меньшой стороны данного квадрата. Затем на каждой стороне отмечаем по нашей риске одинаковые отрезки и проводим по две параллельные линии от одной стороны к другой. Получаем аналогичный начальному квадрату квадрат вписанный в больший. И уже в этом полученном меньшим с помощью всё той же линейки проводим диагонали. На пересечении диагоналей и будет центр изначально данной геометрической фигуры. Знаете ответ?

OBRAZOVALKA.COM

OBRAZOVALKA.COM – образовательный портал
Наш сайт это площадка для образовательных консультаций, вопросов и ответов для школьников и студентов .

Наша доска вопросов и ответов в первую очередь ориентирована на школьников и студентов из России и стран СНГ, а также носителей русского языка в других странах.

Для посетителей из стран СНГ есть возможно задать вопросы по таким предметам как Украинский язык, Белорусский язык, Казакхский язык, Узбекский язык, Кыргызский язык.

На вопросы могут отвечать также любые пользователи, в том числе и педагоги.

---

Консультацию по вопросам и домашним заданиям может получить любой школьник или студент.

Квадрат
Квадрат со стороной и диагональю
Рёбра	4
Символ Шлефли	{4}
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D4)
Площадь	a2
Внутренний угол	90°
Свойства
Выпуклый многоугольник, Изогональная фигура, изотоксальная фигура
Медиафайлы на Викискладе

Квадра́т (от лат. quadratus, четырёхугольный^[1]) — правильный четырёхугольник, то есть плоский четырёхугольник, у которого все углы и все стороны равны. Каждый угол квадрата — прямой ^[2].

Варианты определения[править | править код]

Квадрат может быть однозначно охарактеризован разными способами^[3][4].

• Четырёхугольник, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны, причём точка пересечения делит их пополам.
• Четырёхугольник, являющийся одновременно прямоугольником и ромбом.
• Прямоугольник, у которого длины двух смежных сторон равны.
• Прямоугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом.
• Ромб, у которого диагонали равны.
• Ромб, у которого два соседних угла равны.
• Ромб, один из углов которого — прямой (прочие углы, как легко доказать, тогда также прямые).
• Параллелограмм, у которого длины двух смежных сторон равны, а угол между ними — прямой.
• Параллелограмм, у которого диагонали равны, а угол между ними — прямой.
• Дельтоид, все углы которого прямые.

Свойства[править | править код]

Основной источник: ^[4]

Далее в этом разделе обозначает длину стороны квадрата,  — длину диагонали,  — радиус описанной окружности,  — радиус вписанной окружности.

Стороны и диагонали[править | править код]

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали

Периметр квадрата равен:

.

Вписанная и описанная окружности[править | править код]

Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:

Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:

Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.

Площадь[править | править код]

• 

• 

  Соединив середины сторон квадрата, получаем квадрат вдвое меньшей площади

Площадь квадрата равна

.

Из формулы связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «возведением в квадрат», а результаты такого возведения называются «квадратными числами» или просто квадратами. Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем.

Квадрат имеет два замечательных свойства^[5].

1. Из всех четырёхугольников с заданным периметром квадрат имеет наибольшую площадь.
2. Из всех четырёхугольников с заданной площадью квадрат имеет наименьший периметр.

Уравнение квадрата[править | править код]

В прямоугольной системе координат уравнение квадрата с центром в точке и диагоналями, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть записано в виде^[6]:

где  — радиус описанной окружности, равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна его диагональ равна а площадь квадрата равна

Уравнение квадрата с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть представлено в одной из следующих форм:

1. (легко получается применением поворота на 45° к предыдущему уравнению)
2. 
3. (в полярных координатах^[7])

Математические проблемы[править | править код]

С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сих пор не имеет решения.

• Квадратура круга — древняя проблема построения циркулем и линейкой квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. В 1882 году Фердинанд Линдеман доказал, что это невозможно.

• Квадрирование квадрата — задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов, без «дырок», причём длины сторон квадратов должны отличаться друг от друга (в идеале должны быть все различны). Найден ряд решений этой задачи.
• Долгое время математики пытались доказать, что непрерывное отображение отрезка прямой в квадрат невозможно, пока Джузеппе Пеано не построил свой контрпример.
• Гипотеза Тёплица: на всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, образующие вершины квадрата. Не доказана и не опровергнута.
• Разбиение квадрата сеткой одинаковых более мелких квадратов также приводит к множеству проблем, используемых, в частности, в теории латинских и греко-латинских квадратов, магических квадратов, в игре судоку.

Симметрия[править | править код]

Квадрат обладает наибольшей осевой симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:

• одну ось симметрии четвёртого порядка — ось, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр;
• четыре оси симметрии второго порядка (то есть относительно них квадрат отражается сам в себя), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.

Применение[править | править код]

В математике[править | править код]

Единичный квадрат используется как эталон единицы измерения площади, а также в определении площади произвольных плоских фигур. Фигуры, у которых можно определить площадь, называются квадрируемыми.

Теорема Пифагора первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.

В математической физике символ квадрата может означать «оператор Д’Аламбера» (даламбериан) — дифференциальный оператор второго порядка:

Из теоремы Бойяи — Гервина следует, что любой многоугольник равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно)^[8].

Графы:
K₄ полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.

Орнаменты и паркеты[править | править код]

• Мозаики, включающие квадраты

• 

• 

• 

Мозаики, орнаменты и паркеты, содержащие квадраты, широко распространены.

Другие применения[править | править код]

Шахматная доска имеет форму квадрата и поделена на 64 квадрата двух цветов. Квадратная доска для международных шашек поделена на 100 квадратов двух цветов. Квадратную форму имеет боксёрский ринг, площадка для игры в квадрат.

Квадратный флаг Лима поделён на два чёрных и два жёлтых квадрата, будучи поднятым на корабле в гавани, означает, что корабль находится на карантине.

Графика[править | править код]

Символы со сходным начертанием: ロ · ⼝ · ⼞

Ряд символов имеют форму квадрата.

• Символы Юникода U+25A0 — U+25CF
• U+20DE ◌⃞ COMBINING ENCLOSING SQUARE
• ロ (Японский иероглиф «Ро» (катакана))
• 口 (Китайский иероглиф «рот»)
• 囗 (Китайский иероглиф «ограда»)

В Latex для вставки символа квадрата служат конструкции Box или square.

В HTML, чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:

• <span style=”border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;”>text</span>; результат: text.

Вариации и обобщения[править | править код]

Многомерное пространство[править | править код]

Квадрат можно рассматривать как двумерный гиперкуб.

Неевклидова геометрия[править | править код]

В неевклидовой геометрии квадрат (в более широком смысле) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в сферической геометрии углы сферического квадрата больше прямого, в геометрии Лобачевского — меньше.

См. также[править | править код]

• Алгоритм «движущиеся квадраты»
• Квадрат Полибия
• Квадратная матрица
• Квадратриса
• Первая теорема Тебо
• Площадь произвольного четырёхугольника

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Каплун А. И. Математика, Учебно-практический справочник. — Ростов н/Д.: ООО “Феникс”, 2014. — 240 с. — ISBN 978-5-222-20926-3.

Ссылки[править | править код]

• Квадрат, геометрическая фигура // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.