Как найти середину трехгранного угла

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 19 октября 2020 года; проверки требуют 9 правок.

Трёхгранный угол — это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трёхгранного угла. Стороны углов называются рёбрами, плоские углы при вершине трёхгранного угла называются его гранями. Каждая из трёх пар граней трёхгранного угла образует двугранный угол (ограниченный третьей гранью, не входящей в пару; при потребности естественным образом снимается это ограничение, в результате чего получаются необходимые полуплоскости, образующие весь двугранный угол без ограничения). Если поместить вершину трёхгранного угла в центр сферы, на её поверхности образуется ограниченный им сферический треугольник, стороны которого равны плоским углам трёхгранного угла, а углы — его двугранным углам.

Неравенство треугольника для трёхгранного угла[править | править код]

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.^[1]

Сумма плоских углов трёхгранного угла[править | править код]

Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов.

Теорема косинусов для трёхгранного угла[править | править код]

Пусть дан трёхгранный угол (см. Рис. 2), α, β, γ — его плоские углы, A, B, C — двугранные углы, составленные плоскостями углов β и γ, α и γ, α и β.

Первая теорема косинусов для трёхгранного угла:

Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла:

Теорема синусов для трёхгранного угла[править | править код]

,
где α, β, γ — плоские углы трёхгранного угла; А, B, C — противолежащие им двугранные углы (см. Рис. 2).

См. также[править | править код]

• Телесный угол

Примечания[править | править код]

План урока:

Понятие двугранного угла и угла между плоскостями

Перпендикулярность плоскостей

Прямоугольный параллелепипед

Трехгранный угол

Многогранный угол

Типичные задачи на углы между плоскостями

Понятие двугранного угла и угла между плоскостями

Напомним, что в планиметрии углом называют фигуру, состоящую из точки и двух лучей, выходящих из нее. Сама точка именуется вершиной угла, а лучи – сторонами угла.

По аналогии в стереометрии рассматривается схожая фигура – двугранный угол. Он состоит из двух полуплоскостей, которые исходят из одной прямой. Каждая из этих полуплоскостей именуется гранью двугранного угла, а их общая прямая – это ребро двугранного угла.

Для обозначения двугранного угла достаточно указать две точки на его ребре, а также ещё по одной точке на каждой грани. Например, на следующем рисунке показан угол САВD:

Двугранные углы часто встречаются в обычной жизни. Например, его образуют двухскатные крыши домов. В стереометрии двугранные угла можно найти в любом многограннике.

Двугранные углы можно измерять. Для этого надо выбрать произвольную точку на ребре угла и на каждой грани построить перпендикуляр, проходящий через эту точку. Через эти два перпендикуляра можно построить единственную плоскость. Угол между двумя перпендикулярами и принимается за величину двугранного угла.

Отдельно отметим, что плоскость, проходящая через перпендикуляры (на рисунке выше это γ) перпендикулярна ребру угла АВ. Это вытекает из признака перпендикулярности прямой и плоскости. Действительно, АВ⊥ВС и АВ⊥BD, поэтому и АВ⊥γ. Построенный угол ∠СBD называют линейным углом двугранного угла.

Понятно, что в каждом двугранном угле можно построить сколько угодно линейных углов:

Здесь помимо ∠ВСD построены линейные углы ∠В’С’D’ и ∠В’’С’’D’’. Однако все эти углы имеют одинаковую градусную меру. Сравним, например, ∠ВСD и ∠В’С’D’. Так как BD⊥AB и B’D’⊥АВ, то BD||B’D’. Аналогично можно прийти к выводу, что ВС||B’C’. Получаем, что стороны углов ∠ВСD и ∠В’С’D’ – это сонаправленные лучи, а потому ∠ВСD и ∠В’С’D’ одинаковы.

Двугранные углы, как и обычные углы, можно разделить на острые (их градусная мера меньше 90°), прямые (они в точности равны 90°) и тупые (которые больше 90°).

Если две плоскости пересекаются, то они образуют сразу 4 двугранных угла. Если среди них есть острый угол, то его величина считается углом между плоскостями. Если же все образуется 4 прямых двугранных угла, то угол между плоскостями принимается равным 90°.

Перпендикулярность плоскостей

В частном случае, когда угол составляет 90°, говорят, что пересекающиеся плоскости перпендикулярны.

Перпендикулярны друг другу пол и стены в доме, смежные грани кубика, стенки коробки. Существует особый признак перпендикулярности плоскостей.

Действительно, пусть плоскости α и β пересекаются по линии n, и в β есть такая прямая m, что m⊥α. Тогда m и n должны пересекаться в какой-нибудь точке К. Проведем в плоскости α через К прямую р, перпендикулярную n. Ясно, что m⊥р, ведь m⊥α. Получается, угол между m и р как раз и является углом между плоскостями α и β, ведь m⊥n и р⊥n. И этот угол равен 90°, ведь m⊥p, ч т. д.

Из доказанного признака вытекает следующее утверждение:

Прямоугольный параллелепипед

Ранее мы уже узнали про параллелепипед. Это фигура с 6 гранями, каждая из которых представляет собой параллелограмм. Особый интерес представляет его частный случай – прямоугольный параллелепипед.

Такую форму имеют многие шкафы, другие предметы мебели, коробки для обуви, небоскребы. Изображают прямоугольный параллелепипед так:

Для обозначения вершин параллелепипеда применяют латинские буквы. Очень часто для вершин одной грани используют 4 буквы без индекса (на рисунке выше это А, В, С, D), а другие 4 вершины обозначают такими же буквами, но с нижним индексом 1: А₁, B₁, C₁ и D₁. При этом одноименные вершины (например, А и А₁) находятся на одном ребре, которое располагается на рисунке вертикально.

Докажем некоторые свойства прямоугольного параллелепипеда.

Например, ребро АD пересекается с гранями АВВ₁А₁ и CDD₁C₁. Значит, оно перпендикулярно этим граням (точнее говоря, оно перпендикулярно плоскостям, проходящим через эти грани). Действительно, AD⊥DC, ведь ∠ADC является углом в прямоугольнике АВСD и потому он прямой. Аналогично и AD⊥DD₁, ведь и ADD₁A₁ – прямоугольник. Получается, что ребро AD перпендикулярно 2 прямым в грани CDD₁C₁ (которые при этом пересекаются), и потому оно перпендикулярно и всей грани. То же самое можно продемонстрировать для любого ребра прямоугольного параллелепипеда и любой грани, которую она пересекает.

Эти грани пересекаются по ребру А₁D₁. Этому ребру в свою очередь перпендикулярны ребра АА₁ и А₁В₁, лежащие в гранях ADD₁A₁ и A₁D₁C₁B₁. Значит, ∠АА₁В₁ и будет углом между этими гранями. Но он составляет 90°, то есть грани перпендикулярны, ч. т. д.

Хотя у прямоугольного параллелепипеда есть 12 граней, многие из них имеют одинаковую длину. Поэтому для описания размеров этой фигуры достаточно указать только три параметра. Обычно их называют длиной, шириной и высотой:

Эти параметры также называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Зная их, можно вычислить длину диагонали прямоугольного параллелепипеда. Для этого используется следующая теорема:

Действительно, пусть есть прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁. Назовем ребро AD его длиной, АВ – шириной, а ВВ₁ – высотой. Пусть необходимо найти длину диагонали В₁D:

Сначала построим отрезок BD и рассмотрим ∆ABD. Он прямоугольный, и потому для него верна теорема Пифагора:

Теперь перейдем к ∆В₁ВD. Так как ребро BB₁ перпендикулярно грани ABCD, то ∠В₁ВD – прямой. Тогда и ∆В₁ВD – прямоугольный, а потому и для него можно записать теорему Пифагора:

Дополнительно отметим уже известный нам факт, что тот прямоугольный параллелепипед, у которого все стороны одинаковы, именуется кубом. Можно дать и такое определение куба:

Трехгранный угол

Выберем в пространстве произвольную точку K. Далее из нее проведем три луча КА, КВ и КС так, чтобы они не находились в одной плоскости:

В результате мы получили фигуру, которую именуют трехгранным углом. Она состоит их трех плоских углов: ∠АКС, ∠АКВ и ∠ВКС. Эти углы так и называются – плоские углы трехгранного угла. Сам же трехгранный угол обозначают четырьмя буквами: КАВС. Обратите внимание, что через каждую пару лучей КА, КВ и КС можно провести плоскость. Таким образом, название «трехгранный» угол показывает, что в точке К сходятся три грани. Чаще всего в стереометрии такой угол возникает при рассмотрении вершин тетраэдра, в котором есть сразу четыре трехгранных угла:

Доказательство. Пусть в пространстве из точки D выходят лучи AD, BD и CD. Важно понимать, что мы можем свободно «передвигать» точки А, В и С по лучам, и величина плоских углов при этом меняться не будет. Если среди плоских углов нет наибольшего, то теорема очевидно выполняется. Поэтому надо рассмотреть лишь случай, когда один из углов – наибольший. Пусть им будет ∠BDC:

Это возможно сделать, ведь ∠BDC > AD, поэтому внутри ∠BDC можно провести луч DK. Далее «сместим» точку А на луче АD так, чтобы DK = AD. Естественно, что при этом плоские углы трехгранного угла никак не изменятся, также как останется верным равенство

Сравним ∆ADC и ∆DKC. У них есть общая сторона DC, одинаковы стороны DK и AD, а также совпадают углы между ними. Значит, эти треугольники равны, и тогда можно записать, что:

Теперь сравним ∆ABD и ∆DBK. У них BD – общая сторона, а DK = AD. При этом BK < AB. В таком случае против меньшей стороны будет лежать меньший угол (смотри примечание после доказательства), то есть

Именно это неравенство и необходимо было доказать.

Примечание. В ходе доказательства было использовано утверждение, что если у двух треугольников две стороны одинаковы, в третьи стороны отличаются, то против меньшей третьей стороны будет располагаться меньший угол:

Это утверждение часто не рассматривается в курсе планиметрии, поэтому есть смысл доказать его отдельно. Действительно, пусть есть ∆АВС и ∆А’B’C’, АС = А’C’ и АВ = A’B’, а СВ < C’B’. Надо показать, что ∠А <∠A’. Для этого выразим стороны СВ и C’B’ (а точнее говоря, их квадраты) с помощью теоремы косинусов:

Из последнего неравенства на основе определения косинуса для углов из интервала от 0° до 180° вытекает, что и

Многогранный угол

Возможен случай, когда из одной точки в пространстве выходят не три, а большее количество лучей, причем образуемые ими углы не располагаются в единой плоскости. Такая фигура именуется многогранным углом. Трехгранный угол можно считать его частным случаем. Также его частными случаями будут четырехгранный угол, пятигранный угол, шестигранный угол и т. д.

Более наглядна следующая демонстрация многогранного угла. Построим на плоскости α произвольный многоугольник. Далее выберем какую-нибудь точку вне плоскости α и соединим ее с вершинами многоугольника с помощью лучей. При этом у нас как раз получится многогранный угол. Если, например, в качестве многоугольника мы использовали пятиугольник, то и получим мы пятигранный угол:

Важно отметить, что в данном случае состоит многогранный угол именно из лучей КА₁, КА₂, КА₃…, а не из одноименных отрезков. То есть многогранный угол – это ни в коем случае не многогранник КА₁А₂А₃А₄А₅, у него есть только одна вершина – точка К. Многогранник КА₁А₂А₃А₄А₅ – это пирамида, такая фигура изучается в курсе стереометрии чуть позже. Многоугольник А₁А₂А₃А₄А₅ – это сечение многогранного угла. Углы ∠А₁КА₂, ∠А₂КА₃, ∠А₃КА₄… – это плоские углы многогранного угла.

Заметим, что на исходный многоугольник на плоскости может быть как выпуклым, так и невыпуклым. Соответственно и многогранный угол может быть как выпуклым, так и невыпуклым:

Так как любой треугольник – это выпуклый многоугольник, то и любой трехгранный угол является выпуклым. В выпуклом угле все его точки лежат по одну сторону от любой плоскости, проходящей, через какие-нибудь два смежных луча угла. Вообще любое сечение многогранного угла представляет собой выпуклый многоугольник.

Докажем важное утверждение:

Для доказательства возьмем произвольный многогранный угол и проведем в нем сечение А₁А₂А₃…А_n, которое будет являться выпуклым многоугольником:

В последнем равенстве в каждой скобке стоят по два плоских угла в тех трехгранных углах, вершины которых совпадают с вершинами многоугольника А₁А₂А₃…А_n. В предыдущей теореме мы выяснили, что эта сумма меньше третьего плоского угла, то есть

В правой части в скобках стоит сумма углов выпуклого n-угольника А₁А₂А₃…А_n. Она, как мы знаем, составляет 180°•(n – 2), то есть

Последнее неравенство и необходимо было доказать.

Типичные задачи на углы между плоскостями

В школьной практике почти не встречаются задачи с многогранными углами, поэтому достаточно понимания и двугранного угла.

Задание. У тетраэдра ABCD все ребра одинаковы. Найдите величину двугранного угла между плоскостями АВС и АСD.

Решение. Отметим на ребре АС точку М, которая является его серединой:

Заметим, что плоскости АВС и АСD пересекаются по прямой АС. Раз все ребра тетраэдра одинаковы, то ∆АВС и ∆АСD – равносторонние. DM и BM – это медианы в ∆АВС и ∆АСD соответственно, ведь M – середина АС. Но раз треугольники равносторонние, то они одновременно являются и высотами, то есть BM⊥AC и DM⊥АС. Тогда ∠DMB как раз и представляет собой линейный угол двугранного угла BАСD. То есть именно его значение нам и надо вычислить (если, конечно, он окажется не больше 90°).

Пусть ребра тетраэдра имеют длину а. Тогда АМ вдвое короче. Найдем из прямоугольного ∆АМD длину MD:

Задание. Двугранный угол равен φ, меньший 90°. На одной из его граней отмечена точка К, которая находится на расстоянии d от другой грани. Каково расстояние между точкой К и ребром двугранного угла?

Решение. Пусть угол образован плоскостями α и β. Опустим из K два перпендикуляра – один на плоскость β в точку Н, а другой на линию пересечения плоскостей в точку Р:

По условию задачи ∠НРК = φ, а HK = d. Нам же надо найти РК. Это можно сделать, применив определение синуса к ∆РНК:

Задание. Верно ли, что плоскость, пересекающая две параллельные плоскости, образует с ними одинаковые углы?

Решение. Пусть есть параллельные друг другу плоскости α и β, а пересекает их плоскость γ. Линию пересечения α и γ обозначим как n, и такую же линию для β и γ обозначим как m:

Заметим, что m и n располагаются в одной плоскости γ и при этом не пересекаются, в противном случае у α и β нашлась бы общая точка, которой быть не должно. Значит, m||n.

Далее проведем в γ прямую р, перпендикулярную n. Раз m||n и р⊥n, то и р⊥m. То есть р – общий перпендикуляр для m и n.

Далее в α через точку пересечения n и p проведем прямую k, перпендикулярную n. Ясно, что k||β. После уже через точку пересечения m и p построим такую прямую k’, что k||k’:

Так как k||β и k||k’, то прямая k’ будет принадлежать плоскости β (по теореме 6 из этого урока). Так как k||k’, m||n и n⊥k, то по теореме о сонаправленных лучах можно утверждать, что и m⊥k’. Тогда углы, отмеченные на рисунке синим цветом – это и есть линейные углы двугранных углов. Они одинаковы, так как являются соответственными при секущей р и параллельных прямых k и k’. Если же двугранные углы равны, то одинаковы и углы между плоскостями, ч. т. д.

Примечание. Доказанный факт можно сформулировать в виде теоремы:

Она может быть использована при решении некоторых сложных задач.

Задание. В прямоугольном ∆АВС АВ и АС – катеты с длиной 7 и 24 соответственно. Через гипотенузу проведена плоскость β, образующая с плоскостью АВС угол 30°. Каково расстояние между точкой А и плоскостью β?

Решение.

Опустим из А перпендикуляр АН на β. Это и будет искомое нами расстояние. Также в ∆АВС построим высоту AD. Заметим, что раз АН⊥β, то по определению и АН⊥HD. Можно сказать, что HD – это проекция AD на β. Раз прямая ВС перпендикулярна наклонной AD, то она одновременно будет перпендикулярна и наклонной HD по обратной теореме о трех перпендикулярах.

Плоскости АВС и β пересекаются по прямой ВС, АD⊥ВС и HD⊥BC. Получается, что ADH – это как раз угол между АВС и β, и по условию он составляет 30°.

По теореме Пифагора вычислим гипотенузу ВС:

Теперь перейдем к ∆AHD. Он также прямоугольный (∠Н = 90°). Используем для него тригонометрию:

Задание. Известны измерения прямоугольного параллелепипеда. Его длина составляет 90 см, ширина – 20 см, а высота – 60 см. Какова длина диагонали такого параллелепипеда?

Решение. Обозначим измерения буквами а, b, с, а диагональ буквой d. Достаточно просто воспользоваться формулой:

Далее рассмотрим несколько задач, в которых надо найти угол между плоскостями, находящимися в кубе с ребром, чья длина составляет единицу.

Задание. Вычислите угол между гранью ADHЕ и сечением АBGН:

Решение. Заметим, что сечение АВGH содержит прямую АВ. Но АВ – это перпендикуляр к АЕНD. Если АВGH содержит перпендикуляр к ADH, то эти две плоскости перпендикулярны, и угол между ними составляет 90°.

Ответ: 90°.

Задание. Определите угол между гранью ADHE и сечением ADGF:

Решение. Две рассматриваемые плоскости пересекаются по ребру AD. Ребра DH и AD перпендикулярны как стороны квадрата. Так как AD – это перпендикуляр к грани СDHG, то AD⊥DG. Получается, что ∠HDG – это и есть искомый угол. Его величина равна 45°, ведь это угол между диагональю квадрата и его стороной.

Ответ: 45°.

Задание. Вычислите угол между сечениями АВGH и EFCD:

Решение. Пересекаются эти две плоскости по прямой KP, где K и P – точки пересечения диагоналей квадратов BFGH и AEHD. Докажем, что отрезки KG и KC перпендикулярны KP.

Действительно, рассмотрим четырехугольник АВGH. Ребра АВ и GH перпендикулярны граням AEHD и BFGH, поэтому все углы в АВGH – прямые, то есть это прямоугольник и BG||AH. Теперь рассмотрим четырехугольник АВKP. Стороны BK и AP параллельны и равны как половины равных отрезков BG и AH. Значит, BKAP – параллелограмм. Но в нем есть прямые углы ∠В и ∠А, поэтому BKAP – прямоугольник. Аналогично можно показать, что и KGHP – прямоугольник. Это и приводит к выводу о том, что KG⊥KP и PH⊥KP. Поэтому ∠СKG и является искомым углом между сечениями. Он является углом между диагоналями квадрата, то есть равен 90°.

Ответ: 90°.

Задание. Найдите угол между сечением AFH и гранью AEHD:

Решение. Обозначим середину диагонали AH буквой K. Докажем ∠EKF – искомый нами угол:

Действительно, плоскости AHD и AFH пересекаются по прямой AH. EK – медиана в равнобедренном ∆AEH с основанием AH, поэтому она также является и высотой, то есть EK⊥AH. AF и FH – диагонали в равных квадратах ABFE и EFGH, поэтому эти диагонали одинаковы. Значит, ∆AFH – равнобедренный, и поэтому его медиана FK также перпендикулярна основанию AH. Получается, что ∠EKF и является искомым. Вычислить его можно из ∆EKF.

Сначала найдем длину EK. В прямоугольном ∆AEK ∠KAE составляет 45° (угол между диагональю и стороной квадрата), поэтому

Задание. Вычислите угол между гранью BCGF и сечением AFH:

Решение. Вспомним, что в предыдущей задаче мы уже вычислили угол между гранью АЕHD и тем же сечением АFH. Но грани AEHD и BCFG параллельны, поэтому АFH должна пересекаться их под одним и тем же углом. Поэтому ответ этой задачи совпадает с ответом к предыдущей задаче.

Ответ: ≈ 54,74°.

Задание. Чему равен угол между сечениями АСH и AFGH?

Решение. Пусть диагонали СН и DG пересекаются в точке К. Точка K будет принадлежать обоим сечениям, как и точка А. Значит, сечения пересекаются по линии АК. Проведем в сечении AFGH через точку K прямую, перпендикулярны АК и пересекающую FG в какой-то точке Р (позже мы убедимся, что прямая действительно должна пересекать отрезок FG):

Докажем, что ∠CPK и является углом между сечениями. Мы специально провели РК так, что РК⊥АК. Теперь посмотрим на ∆АСН. Он равносторонний, ведь его стороны АС, СН и DH – это диагонали равных квадратов (граней куба). Прямая АК – медиана, ведь K – точка пересечения диагоналей квадрата СDHG, которая делит диагонали пополам. Но раз ∆АСН равносторонний, то его медиана – это ещё и высота, то есть АК⊥РК. Итак, АК⊥СК и АК⊥РК, поэтому ∠CPK – это угол между сечениями. Для его вычисления необходимо найти все стороны в ∆РСК и далее применить теорему косинусов.

Проще всего найти СК. ∆СKD – прямоугольный (∠К = 90°), а ∠СDK составляет 45° (угол между стороной и диагональю в квадрате). Тогда можно записать, что

Отдельно отметим, что отрезки GK и KD имеют такую же длину, ведь диагонали в квадрате (а значит и их половины) одинаковы.

Для нахождения РК покажем отдельно плоскость AFG, то есть красное сечение:

Обозначим ∠KAD как φ. Тогда ∠АКD будет составлять 90 – φ. Углы ∠АКD, ∠АKP и ∠PKG в сумме дают 180°, что позволяет найти ∠PKG:

Получилось, что у ∆АКD и ∆PKG есть по два одинаковых угла (φ и 90°). Значит, они подобны. Составим такую пропорцию:

Теперь можно вернуться ко всему кубу и найти отрезок РС. Здесь снова можно применить теорему Пифагора, но уже к ∆PCG:

Теперь для ∆PCK мы можем записать теорему косинусов

Неожиданно мы доказали, что два построенных сечения перпендикулярны друг другу. Прийти к этому выводу можно было и иначе. Достаточно было бы показать, что прямая CH – это перпендикуляр к сечению AFGD. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Ответ: 90°.

Задание. Вычислите угол между сечениями BDHF и ADGF:

Решение. У сечений общими являются точки F и D. Значит, именно по прямой FD они пересекаются.

Опустим в синей сечении BDHF перпендикуляр на FD, который упадет в некоторую точку K:

Докажем, что отрезок GK также перпендикулярен FD. Действительно, BK – это высота в ∆BDF. Но ∆BDF и ∆GDF равны, ведь они одинаковы все три стороны (FD – общая сторона, BF и FG – ребра куба, BD и DG – диагонали на гранях куба). В равных треугольниках высоты должны делить стороны на равные отрезки, поэтому высота, опущенная из G на FD, также разделит FD на отрезки FK и KD. То есть она просто упадет в точку K. Это и значит, что KG – высота. Получается, что нам надо вычислить ∠BKG.

Сначала найдем длину диагоналей BD и BG. Можно применить теорему Пифагора для ∆BFG:

KG имеет ту же длину, ведь KG и BK – одинаковые высоты в равных треугольниках ∆BDF и ∆GDF.

Теперь используем теорему косинусов для ∆BKG:

Мы вычислили двугранный угол, но он оказался больше 90°. Это значит, угол между плоскостями равен не 120°, а 180° – 120°, то есть 60°.

Ответ: 60°.

Сегодня мы познакомились с понятием двугранного угла, научились вычислять углы между плоскостями. В частном случае вместо вычисления угла можно просто доказать перпендикулярность плоскостей.

§ 13. Трёхгранные и многогранные углы

13.1. Понятие о многогранном угле. Трёхгранный угол

Пусть A1A2A3 … An — плоский выпуклый многоугольник и P — точка, лежащая вне плоскости этого многоугольника (рис. 91).

Определение. Множество всех точек, принадлежащих лучам РМ, где точка М «пробегает» многоугольник А1A2A3…Аn, называется многогранным углом и обозначается PA1A2A3…An.

Точка Р называется вершиной многогранного угла, лучи PA1, PA2, PA3, …, PAn — рёбрами многогранного угла, углы A1PA2, A2PA3, …, AnPA1 — гранями (или плоскими углами) многогранного угла PA1A2A3…An.

Объединение всех граней многогранного угла является его границей. Точки многогранного угла, не принадлежащие его границе, образуют внутреннюю область многогранного угла.

Вследствие выпуклости многоугольника A1A2A3…An, многогранный угол PA1A2…An является выпуклой фигурой (внутренняя область этого угла расположена по одну сторону от плоскости каждой его грани).

В дальнейшем будем рассматривать только выпуклые многогранные углы.

Каждые две грани многогранного угла, имеющие общее ребро, образуют двугранный угол. На рисунке 91 изображены линейные углы таких двугранных углов.

В зависимости от числа граней (рёбер) многогранные углы могут быть трёхгранными, четырёхгранными, пятигранными и т. д.

Трёхгранный угол обладает следующим замечательным свойством.

Теорема 17. В трёхгранном угле величина каждого плоского угла меньше суммы величин двух других его плоских углов.

Доказательство. Пусть угол АМС — наибольший из плоских углов трёхгранного угла МАВС (рис. 92).

В грани АМС проведём такой луч MK, что ∠ AMK = ∠ AMB. Затем на лучах MB, MK отложим равные отрезки соответственно MF, MD (MF = MD); через точки D и F проведём произвольную плоскость, пересекающую рёбра МА и MC соответственно в некоторых точках Р и Е. Тогда △ PMF = △ PMD (по двум сторонам и углу между ними), откуда PF = PD.

В △ РЕF имеем PE < PF + FE или PD + DE < РF + FE. Но так как PF = PD, то получаем DE < EF. Сравнив △ DEM и △ FEМ, учитывая, что у них отрезок МE — общая сторона, MD = MF и DЕ < EF, приходим к выводу:

∠ FMЕ > ∠ DME. Тогда ∠ FME > ∠ DMЕ ⇒ ⇒ ∠ FME + ∠ AMB > ∠ DME + ∠ AMB ⇒ 

⇒ ∠ 

BMC + ∠ AMB > ∠ KMC + ∠ AMK ⇒ ⇒ ∠ AMB + ∠ BMC > ∠ AMC,

что и требовалось доказать. ▼

Выпуклый многогранный угол обладает следующим свойством.

Теорема. Сумма величин всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Пусть MA1A2…An — произвольный выпуклый многогранный угол, заданный выпуклым многоугольником A1A2…An (рис. 93).

Рассмотрим n трёхгранных углов с вершинами в точках Ai (i = 1, 2, …, n). Для каждого из них запишем свойство трёхгранного угла: ∠ Ai < αi1 + αi2, где ∠ Ai — величина внутреннего угла выпуклого многоугольника A1A2…An, а αi1 и αi2 — величины углов тех треугольников, которые имеют точку Ai своей общей вершиной и лежат в гранях этого трёхгранного угла, являющихся гранями данного многогранного угла. Суммируя все эти неравенства, получим: сумма 180°(n – 2) всех внутренних углов многоугольника A1A2 … An меньше 180°n – (α1 + α2 + … + αn), где (α1 + α2 + … + αn) — сумма всех плоских углов при вершине М данного многогранного угла МA1A2 … An, которые являются внутренними углами всех п треугольников, лежащих в его гранях, т. е.

180°(n – 2) < 180°n – (α1 + α2 + … + αn),

откуда α1 + α2 + … + αn < 360°. Теорема доказана. ▼

13.2. Теорема косинусов и теорема синусов для трёхгранного угла

Пусть дан трёхгранный угол МАВС, в котором ∠ AMB = α, ∠ AMC = β, ∠ BMC = ϕ — плоские углы (рис. 94); ϕдв — величина его двугранного угла В(АМ)С при ребре AM, противолежащем плоскому углу ϕ.

Выберем на рёбрах данного трёхгранного угла точки В и C так, что | МВ | = | MС | = 1, и рассмотрим двугранный угол В(АМ)С с ребром AM.

Опустим из точек В и С перпендикуляры ВB1 и CC1 на ребро AM. Тогда BB1 = sin α, CC1 = sin β, а B1С1 = | cos α – cos β |. Используя пространственную теорему косинусов для двугранного угла В(АМ)С, получим:

BC2 =  + – 2BB1•CC1•cos ϕдв + B1

или

откуда

BC2 = 2 – 2sin α•sin β•cos ϕдв – 2cos α•cos β. (*)

С другой стороны, в треугольнике BМС по теореме косинусов имеем:

ВC2 = МB2 + MC2 – 2MВ•MС•соs ϕ = 2 – 2соs ϕ. (**)

Из (*) и (**) получаем:

cos φ = cos α•cos β + sin α•sin β•cos φдв. (1)

Данное соотношение между величинами плоских углов α, β и ϕ трёхгранного угла и величиной его двугранного угла ϕдв при ребре, противолежащем плоскому углу ϕ, часто называют теоремой косинусов для трёхгранного угла. Используя это соотношение, можно ещё раз убедиться, что в трёхгранном угле величина каждого плоского угла меньше суммы величин двух других его плоских углов. Действительно,

Из теоремы косинусов для трёхгранного угла (на основании соотношения (1)) имеем:

cos ϕдв = ,

аналогично

cos βдв = .

Путём несложных, но довольно громоздких, преобразований мы получим:

Тогда

 = .

Аналогично,

 = ,

 = .

Следовательно, для данного трёхгранного угла отношение синуса двугранного угла к синусу противолежащего ему плоского угла есть величина постоянная, т. е.

 =  = .

Это соотношение называют теоремой синусов для трёхгранного угла.

Многогранник — это обычно замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, но иногда так же называют тело, ограниченное этой поверхностью. 

Содержание:

1. Трехгранный угол. Свойства плоских углов трехгранного угла
2. Многогранные углы
3. Прямоугольные трехгранные углы
4. Пирамиды
5. Призмы
6. Параллелепипеды
7. Тело и его поверхность
8. Общее определение многогранника
9. Правильные многогранники
10. Триангуляция многоугольников и многогранников
11. Развертки многогранников

Трехгранный угол. Свойства плоских углов трехгранного угла

Рассмотрим произвольные три луча с общим началом — точкой О (рис. 2.193, 2.194), причем эти лучи не лежат в одной плоскости.

Лучи попарно задают три плоских угла (рис. 2.195). Фигуру, образованную тремя углами (частями плоскости) и частью пространства, расположенной внутри пространства, называют трехгранным углом (рис. 2.195).

Лучи называют ребрами трехгранного угла, а углы  ограничивающие трехгранный угол, — его гранями. Эти углы-грани образуют поверхность трехгранного угла. Трехгранный угол можно обозначить ОABC. Точку О называют вершиной трехгранного угла (рис. 2.196).

Возможны такие случаи взаимного расположения трехгранного угла ОАВС и некоторой плоскости :

а)    трехгранный угол ОАВС и плоскость могут не иметь общих точек (рис. 2.197);

б)    трехгранный угол ОАВС и плоскость могут иметь одну общую точку — вершину трехгранного угла — точку О (рис. 2.198), которая принадлежит плоскости ;

в)    трехгранный угол ОАВС может иметь с плоскостью общий луч — ребро OA (рис. 2.199), который принадлежит плоскости ;

г)    грань трехгранного угла АОВ может лежать в плоскости (рис. 2.200);

д) плоскость , не проходящая через вершину трехгранного угла ОАВС, может пересекать все ребра трехгранного угла соответственно в точках А, В, С (рис. 2.201).

В пересечении трехгранного угла ОАВС и плоскости получили треугольник ABC. Таким образом, в случае д) мы получили фигуру, ограниченную частью поверхности трехгранного угла и треугольником ABC. Это тело называют треугольной пирамидой, о свойствах которой мы будем говорить отдельно.

Плоские углы трехгранного угла обладают следующими свойствами.

Теорема 55. В трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов.

Теорема 56. В трехгранном угле каждый плоский угол больше разности двух других плоских углов.

Многогранные углы

Если взять больше лучей с общим началом, то получатся так называемые многогранные углы, некоторые из которых показаны на рисунке 2.202.

Изучив все многогранные углы на рис. 2.202, заключаем, что у многогранных углов одинаковое число ребер и граней:

у четырехгранного угла — 4 ребра и 4 грани;

у пятигранного угла — 5 ребер и 5 граней;

у шестигранного угла — 6 ребер и 6 граней и т. д.

Если пересечь каждый из построенных многогранных углов плоскостями, не проходящими через их вершины и пересекающими все их ребра, то в сечениях получатся фигуры: четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник (рис. 2.203).

Таким образом, в сечении получились различные многоугольники и, как и в случае с трехгранным углом, получились различные пирамиды: че-тырехугольная, пятиугольная, шестиугольная.

На рисунке 2.204 показаны так называемый невыпуклый многогранный угол и соответственно невыпуклый четырехугольник.

Используя свойства плоских углов трехгранного угла, можно доказать важное свойство плоских углов многогранного угла.

Теорема 57. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше .

Прямоугольные трехгранные углы

Среди трехгранных углов и их разверток особое значение имеют так называемые прямоугольные трехгранные углы, у которых все плоские углы прямые (рис. 2.205). Именно такие трехгранные углы мы видим у куба, у торца дома, внутри каждой комнаты.

Прямоугольные трехгранные углы находят интересные и важные применения в черчении, а также при решении широкого круга прикладных геометрических задач.

Обозначим прямоугольный трехгранный угол ABCD. А — вершина этого угла, лучи АВ, АС и AD — ребра угла. Расположим трехгранный угол ABCD как на рис. 2.206. Разрежем модель поверхности этого угла по ребру AD и развернем его на плоскости, как на рис. 2.207, чтобы грань ABC располагалась прямо перед нами (фронтом к нам), грань ABD — внизу (совпадая с линией горизонта), а грань ACD — боком к нам (как бы в профиль). Изобразим каждую грань в виде квадрата (но не забывая при этом, что плоскость бесконечна).

В соответствии с тем, как расположили прямоугольный трехгранный угол, каждая его грань имеет свое название: ABC — фронтальная, ABD — горизонтальная и ACD — профильная (или вертикальная).

Пример: 

Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с его ребрами углы Докажите, что меньше

Решение: 

Из условия задачи имеем:

1.    Прямоугольный параллелепипед с диагональю OA.

2.     — углы, образованные диагональю OA и с ребрами параллелепипеда.

3.    Докажите, что

Для решения задачи нужна идея:

4.    Расположим три равных параллелепипеда так, как показано на рисунке 2.208.

5.    Тогда

Точка О не лежит в плоскости, проходящей через точки А, В, С. Значит, по свойству плоских углов многогранного угла, (4).

6.  (5).

Пирамиды

Пирамида — это многогранник, одной из граней которого является некоторый многоугольник, а остальные грани — треугольники. На рисунке 2.209 изображена треугольная пирамида, гранями которой являются треугольники ОАВ, ОВС, ОСА, ABC. Ребрами пирамиды являются отрезки OA, OB, ОС, АВ, ВС, СА. Треугольная пирамида имеет еще одно название — тетраэдр, что означает «четырехгранник» (у нее всегда четыре грани).

Точку О называют вершиной пирамиды, ребра OA, OB, ОС — боковыми ребрами, а грань ABC — основанием пирамиды. Вершина О треугольной пирамиды и ее ребра OA, OB, ОС образуют трехгранный угол.

В зависимости от вида трехгранного угла и от основания пирамиды различают треугольные пирамиды: прямые (рис. 2.210), наклонные (рис. 2.211).

Определение. Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания — вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

На рисунке 2.212 изображена пирамида SABCD. Четырехугольник ABCD — основание пирамиды, точка S — вершина пирамиды, отрезки SA, SB, SC и SD — ребра пирамиды.

Определение. Высотой пирамиды называют перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

На рисунке 2.212 SO — высота пирамиды. На рис. 2.210 у прямой пирамиды основание высоты — точка К — принадлежит основанию пирамиды. На рис. 2.211 у наклонной пирамиды основание высоты — точка М — не принадлежит основанию пирамиды — треугольнику ABC.

Может быть так, что высота пирамиды совпадает и с ее ребром. На рис. 2.213 OA — высота пирамиды и одновременно ее ребро. Такую пирамиду называют прямоугольной.

Пирамиды обладают свойством «жесткости» (как и треугольники). Пирамида — «жесткое» геометрическое тело, т. е. ее нельзя изменить, сломать.

Если в основании пирамиды лежит -угольник, то пирамида называется -угольной.

Определение. Пирамиду называют правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.

У правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Высоту боковой грани правильной пирамиды, проведенную из ее вершины, называют апофемой.

Из определения правильной пирамиды следует, что основание ее высоты попадает в центр основания. У правильной треугольной пирамиды — это центр равностороннего треугольника, у четырехугольной — центр квадрата и т. д.

Определение позволяет легко строить правильные пирамиды. Для такого построения достаточно взять любой правильный многоугольник, из его центра провести перпендикуляр к плоскости многоугольника и соединить какую-нибудь точку перпендикуляра (отличную от его основания) с точками многоугольника отрезками.

Однако это определение не позволяет легко проверить, будет ли правильной данная реальная пирамида (например, деревянная или металлическая). Возможность такой проверки дают следующие простые свойства правильных пирамид.

Теорема 58. Боковые ребра правильной пирамиды равны.

Теорема 59. Боковые грани правильной пирамиды — равные друг другу равнобедренные треугольники.

Можно иначе определить правильную пирамиду.

Определение. Пирамиду называют правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а боковые ребра равны.

Пирамиду называют правильной, если ее боковые грани — равные равнобедренные треугольники, основания которых лежат на основании пирамиды.

Плоскость , параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая пирамиду, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть пирамиды представляет собой многогранник, который называют усеченной пирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях , называют основаниями усеченной пирамиды, остальные грани называют боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные (более того, гомотетичные) многоугольники, боковые грани — трапеции. На рисунке 2.214 изображена усеченная пирамида

Усеченную пирамиду, которая получается из правильной пирамиды, также называют правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобокие трапеции, их высоты называют апофемами.

На рисунке 2.215 изображена правильная усеченная четырехугольная пирамида. Ее основания — квадраты ABCD и , грани — равные равнобокие трапеции — боковые ребра — равные отрезки

Пример: 

В треугольной пирамиде ABCD ребро CD AD, CD BD, двугранный угол при ребре

CD = 1 равен 120°, a AD = BD = . Найдите величину двугранного угла при ребре АВ. Решение: 

Из условия задачи имеем (рис. 2.216):

1.    ABCD — треугольная пирамида. CD AD, CD BD.

2.    CD= 1.

3.    Двугранный угол при ребре CD равен 120°.

4.    AD = BD = . 

5.    Найдите двугранный угол при ребре АВ.

Изучив данные задачи, получим:

6.    Отрезок CD перпендикулярен двум пересекающимся прямым BD и AD плоскости ABD, а значит, CD перпендикулярен плоскости ABD (1, теорема 1 п. 77, см. с. 540).

7.     (3, определение линейного угла двугранного угла).

8.     — равнобедренный (4).

Нужно найти величину двугранного угла при ребре АВ. Для этого надо найти линейный угол этого двугранного угла, а стороны линейного угла перпендикулярны АВ. Учитывая п. 8, можно рассмотреть (построить) точку К — середину ребра АВ.

9.    Построим точку К — середину ребра АВ и соединим К с точками С и D (построение) (рис. 2.217).

10.    DK — медиана , а значит, и высота (8, 9, т. 15).

11.    KB СК (1, 6, 10, теорема о трех перпендикулярах).

12.     — линейный угол двугранного угла при ребре АВ (10, 11, определение линейного угла двугранного угла).

13.     = 45° (найдите самостоятельно).

Призмы

Определение. Призмой называют многогранник, у которого две грани, называемые основаниями призмы, равны, и их соответственные стороны параллельны, а остальные грани — параллелограммы, у каждого из которых две стороны являются соответственными сторонами оснований. Эти остальные грани называют боковыми гранями призмы, а их стороны, не лежащие на основаниях призмы, — боковыми ребрами призмы.

Отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований призмы (боковые ребра), равны и параллельны друг другу.

На рисунке 2.218 изображена четырехугольная призма на рисунке 2.219 — Четырехугольники ABCF и A’B’C’F’ — равные основания (произвольные четырехугольники). Грани — параллелограммы. Ребра АА’, ВВ’, СС’, FF’ равны между собой и параллельны.

В зависимости от числа сторон основания различают призмы треугольные (рис. 2.220), четырехугольные (рис. 2.221), пятиугольные (рис. 2.222) и т. д. В основании призмы может лежать произвольный -угольник.

Во всех приведенных выше примерах в основании призмы лежали выпуклые многоугольники. Но есть призмы, в основании которых лежат и невыпуклые многоугольники. В этом случае получаются невыпуклые призмы. На рисунках 2.221, 2.222 призмы выпуклые, а на рисунках 2.223, 2.224 — невыпуклые. В дальнейшем мы будем изучать свойства только выпуклых призм.

Среди различных призм выделяются два вида: прямые и наклонные призмы. На рисунке 2.225 изображена наклонная шестиугольная призма, а на рисунке 2.226 — прямая.

У прямой призмы боковые ребра образуют с ребрами основания прямые углы, а боковыми гранями таких призм являются прямоугольники, а у наклонных призм все боковые грани — параллелограммы.

Различие между прямой и наклонной призмами связано с понятием высоты призмы. Высотой призмы является отрезок, перпендикулярный к обоим основаниям призмы. На рисунке 2.227 высотой четырехугольной призмы является отрезок . Высоту можно провести из любой точки верхнего основания, в том числе и из его вершины.

Определение. Прямую призму называют правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники (рис. 2.220—2.222). Ребра правильных призм являются высотами этих призм.

Определение. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной ее грани, называют диагональю призмы (рис. 2.228).

Кроме диагоналей призмы рассматривают и диагональные сечения призмы.

Определение. Диагональным сечением призмы называют сечение ее плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Диагональные сечения связаны с соответствующими диагоналями призмы.

На рисунке 2.229 изображена призма — одна из ее диагоналей. Сечение является одним из диагональных сечений призмы.

Сечения призмы могут быть связаны и с диагоналями оснований. На рисунке 2.230 изображены два сечения пятиугольной призмы проходящие через диагонали АС и , а также AD и оснований.

Параллелепипеды

Определение. Призму, у которой основание — параллелограмм, называют параллелепипедом.

На рисунках 2.231, 2.232 изображены параллелепипеды.

У параллелепипеда шесть граней, и все они параллелограммы. Причем эти параллелограммы попарно равны и параллельно расположены, поэтому любую грань параллелепипеда можно принять за основание. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называют противолежащими. На рисунке 2.228 грани — противолежащие.

Определение. Прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник, называют прямоугольным параллелепипедом.

Прямоугольный параллелепипед является примером многогранника, который наиболее широко используется в окружающей нас действительности. Практически все здания и все коробки для упаковки товара имеют форму прямоугольного параллелепипеда.

Определение. Прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, называют кубом.

Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют измерениями этого параллелепипеда, их часто называют еще длиной, шириной и высотой параллелепипеда.

На рисунке 2.233 у прямоугольного параллелепипеда длина равна 12 см, ширина 10 см, высота 8 см, а у куба на рисунке 2.234 все три измерения равны 10 см.

У каждого параллелепипеда восемь вершин и четыре диагонали. Можно доказать теорему о свойствах диагоналей параллелепипеда.

Теорема 60. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам (рис. 2.235).

Можно также заметить, что у прямоугольного параллелепипеда есть три плоскости симметрии, проходящих через центр симметрии параллельно граням. На рисунке 2.236 изображена одна из таких плоскостей. Она проходит через середины четырех параллельных ребер параллелепипеда. Концы ребер симметричны друг другу относительно этой плоскости.

Если у прямоугольного параллелепипеда все измерения (размеры) различны, то у него нет других плоскостей симметрии. Если у него равны два измерения, то плоскости диагональных сечений являются еще двумя плоскостями симметрии (рис. 2.237).

При пересечении прямоугольного параллелепипеда плоскостью могут получаться более сложные сечения (рис. 2.238—2.240).

Пример: 

Докажем теорему 60.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство. Из условия теоремы имеем:

1.     — параллелепипед.

2.     — диагонали параллелограмма.

3.    Диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам (требуется доказать).

4.    Ребра АВ, DC, равны и параллельны (1).

5.     — параллелограммы (1, 4, признак параллелограмма).

Таким образом, выбрали два параллелограмма, у которых диагонали параллелепипеда являются их диагоналями. Надо доказать, что эти диагонали пересекаются в одной точке и в этой точке делятся пополам.

6.    Пусть диагонали параллелограмма пересекаются в точке О, а диагонали и параллелограмма пересекаются в точке (предположение).

7.     — параллелограмм (1, признак параллелограмма) .

8.    Точки О и являются серединами отрезков (7).

Пункт 8 не может выполняться и, значит, точки О и должны совпадать. Итак, мы доказали пункт 3.

Тело и его поверхность

По аналогии с понятием плоского многоугольника вводится понятие тела, его поверхности и внутренней области.

Для определения тела нужны следующие понятия.

Определение. Точку геометрической фигуры называют внутренней, если существует шар с центром в этой точке, целиком принадлежащий этой фигуре.

Определение. Фигуру называют областью, если все ее точки внутренние и если любые две точки можно соединить ломаной, целиком принадлежащей фигуре.

Определение. Точку пространства называют граничной точкой данной фигуры, если любой шар с центром в этой точке содержит как точки, принадлежащие фигуре, так и точки, не принадлежащие ей. Граничные точки области образуют границу области.

Определение. Телом называют область вместе с ее границей. Границу тела называют поверхностью тела. Тело называют простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.

В курсе геометрии часто говорят о геометрических фигурах, когда рассматривают плоские фигуры и телах, когда изучают пространственные объекты. Можно в каждом случае говорить о фигурах, так как определение тела имеет много сложностей, которые, как правило, не входят в обязательную программу школы.

Общее определение многогранника

Определение. Многогранником называют тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских выпуклых многоугольников.

Определение. Многогранник называют выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого многоугольника на его поверхности (рис. 2.241). Общую часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называют гранью. Грани выпуклого многогранника — выпуклые многогранники. Стороны граней называют ребрами многогранника, а вершины — вершинами многогранника.

Если эти условия не выполнены, то многогранники будут невыпуклыми (рис. 2.242).

Леонард Эйлер (1707—1783) — гений XVIII века, академик Санкт-Петербургской Академии наук, один из величайших математиков мира, доказал теорему о многогранниках. Если число граней многогранника Г, число вершин — В, число ребер — Р, то эти три числа для любого простого многогранника (они не имеют дыр) связаны одним и тем же соотношением: В + Г – Р = 2. Например, у куба В = 8, Г= 6, Р = 12: 8 + 6 – 12 = 2; для шестиугольной призмы (обычный карандаш с шестью гранями): 12 + 8-18 = 2; для четырехугольной пирамиды: 5 + 5-8 = 2.

Теорема 61 (теорема Эйлера). У любого простого многогранника сумма числа граней и вершин на 2 больше числа ребер:

В + Г – Р = 2.

Правильные многогранники

Определение. Выпуклый многогранник называют правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и, кроме того, к каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Математики древности уделяли много внимания изучению этих многогранников. Платон связывал с ними устройство нашей Вселенной. Правильных многогранников всего пять, по имени Платона их иногда называют «пять Платоновых тел». На рисунке 2.243 изображены пять правильных выпуклых многогранников.

Очевидно, что все ребра правильного многогранника равны друг другу. Можно доказать, что равны и все многогранные углы при вершинах, а также другие свойства.

Если число сторон каждой грани , а число ребер каждой вершины — , то числа  и определяют вид правильного многогранника. Два правильных многогранника одного вида называют одноименными.

У куба = 4, а = 3. У правильного тетраэдра = 3, а = 3 и т. д.

Леонардо да Винчи делал каркасные модели правильных многогранников, изготавливая ребра из дерева и оставляя грани воображаемыми. Если смотреть на такую модель из точки, лежащей строго напротив одной из его граней вблизи центра, то эта грань будет представляться большим многоугольником, внутри которого лежат все остальные грани. Такой рисунок многогранника называется диаграммой Шлегеля.

На рисунке 2.244 изображены перспективный чертеж, развертка, из которой можно сложить картонную модель фигуры, и диаграмма Шлегеля для каждого из пяти Платоновых тел. На них видны устройство граней и их расположение около вершин.

Пример: 

Является ли правильным многогранник, вершины которого — центры всех граней: а) куба; б) правильного тетраэдра; в) правильного октаэдра?

Многогранник, у которого вершины являются центрами всех граней куба, есть правильный октаэдр (рис. 2.245). Если же соединить центры всех граней правильного октаэдра, то получим ребра куба (рис. 2.246). Говорят, что куб и октаэдр двойственны друг другу. Правильный тетраэдр двойственен сам себе, то есть центры граней правильного тетраэдра являются вершинами правильного тетраэдра (рис. 2.247).

Триангуляция многоугольников и многогранников

Многоугольники можно получать, прикладывая друг к другу треугольники (рис. 2.248). При данном приложении треугольников следует учитывать, что треугольники, из которых конструируется многоугольник, должны: а) либо не иметь общих точек; б) либо иметь общую вершину; в) либо иметь общую целую сторону.

При этом можно говорить не о прикладывании треугольников, а о разбиении многоугольников на указанные треугольники. В этом случае происходит так называемая триангуляция многоугольника.

Есть два способа триангуляции выпуклых многоугольников :

1)    проведение всех диагоналей из одной его вершины (рис. 2.249);

2)    соединение отрезками любой его внутренней точки со всеми вершинами (рис. 2.250).

Триангуляцию можно проводить и с многогранниками.

Триангуляцией многогранника называют такое его разбиение на треугольные пирамиды, при котором каждые две треугольные пирамиды либо не имеют общих точек, либо имеют только общую вершину, либо общее ребро, либо целую общую грань.

Легко триангулировать выпуклую пирамиду, триангулируя диагоналями ее основание и проводя затем диагональные сечения (рис. 2.251).

Развертки многогранников

Нам часто приходится проделывать две операции, связанные с многогранниками:

—    разрезать их поверхности по ребрам, разворачивать эти поверхности на плоскости (на крышке стола), в этом случае говорят, что мы получаем развертку поверхности многогранника;

—    из имеющейся выкройки (развертки) склеивать (конструировать) многогранник.

На рисунке 2.252 вы видите развертку куба, а на рисунке 2.253 изображена развертка прямоугольного параллелепипеда.

Если мы, отправляясь из одной вершины и разрезая многогранник ножницами по ребрам, побываем в каждой из остальных вершин ровно по одному разу, то поверхность многогранника уже можно будет развернуть на плоскость.

Заметим, что в этом случае число разрезов окажется на единицу меньше числа вершин.

Как уже говорилось, кроме операции получения разверток многогранников часто встречаются и операции моделирования многогранников из разверток. При этом сгибают развертку по пунктирным линиям и склеивают соответствующие ребра. Для удобства склейки развертку многогранника изготавливают с клапанами (рис. 2.254).

Многогранник может иметь несколько различных разверток. Вид развертки зависит от того, по каким ребрам разрезали поверхность многогранника.

Представим себе модель четырехугольной пирамиды, изготовленную из гибкого нерастяжимого материала (бумага, картон и т. д.). Эту модель можно разрезать по нескольким ребрам и развернуть на плоскости. Мы получим различные многоугольники, которые являются развертками данной пирамиды. На рисунке 2.255 изображены три различные развертки такой пирамиды.

Разверткой многогранника (многогранной поверхности) является совокупность многоугольников, для которых указано, как их нужно склеивать (какими сторонами прикладывать друг к другу).

При составлении развертки соблюдают следующие правила: склеиваемые стороны должны быть равной длины; на сторонах развертки указывают, как они должны быть склеены.

На рисунке 2.256 изображены развертки различных многогранников с такими указаниями.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета “Математика”:

• Математика решение заданий и задач

Смотрите также дополнительные лекции по предмету “Математика”:

1