Как найти середину вектора на координатной

Середина вектора

Формула

Чтобы найти середину вектора по координатам нужно вычислить сумму координат начала и конца вектора и разделить на два.

Например, пусть на плоскости заданы точки $ A(x_1;y_1) $ и $ B(x_2;y_2) $ вектора $ overline{AB} $. Тогда его середина находится по формуле: $$ O (x;y) = O bigg(frac{x_1+x_2}{2};frac{y_2+y_2}{2}bigg) $$

Если вектор задан в пространстве трёмя координатами $ A (x_1;y_1;z_1),B (x_2;y_2;z_2) $, то середину можно найти по аналогичной формуле: $$ O (x;y,z) = O bigg(frac{x_1+x_2}{2};frac{y_1+y_2}{2}; frac{z_1+z_2}{2} bigg) $$

Откуда выведена формула? Если вектор спроецировать на координатную ось $ Ox $, то можно будет применить формулу для нахождения середины отрезка к самому вектору. По сути вектор это направленный отрезок, который имеет начало и конец.

Примеры решений

Пример
Пусть вектор $ overline{AB} $ задан в пространстве трёмя точками $ A(1,3,5) $ и $ B(3,7,1) $. Найти середину вектора.
Решение

Итак, как найти середину вектора? По правилу мы должны сложить соответствующие координаты точек начала и конца вектора и разделить пополам:

$$ O = bigg (frac{1+3}{2};frac{3+7}{2};frac{5+1}{2} bigg) = (2;5;3) $$

Точка $ O (2;5;3) $ – является серединой вектора $ overline{AB} $

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ O (2;5;3) $$

ОСИ КООРДИНАТ:

Для понимания темы «вектор», надо сначала разобраться с понятием «декартовы координаты».

  • ось x — ось абсцисс;
  • ось y — ось ординат,
  • точка О — начало координат.

Любой точке плоскости сопоставляются два числа:

  • абсцисса x0,
  • ордината y0.

Эти числа называются декартовыми координатами данной точки.

ВЕКТОР:

Вектор — направленный отрезок прямой. То есть это отрезок, для которого указано, какая из его точек является началом, а какая — концом.

Пусть имеются две точки:

  • A с координатами $(x_1;,y_1)$
  • B с координатами $(x_2;,y_2)$.

Тогда мы имеем вектор $,overline {!AB,}$, который обозначим за $overline a.$

На примере вектора рассмотрим основные понятия, связанные с векторами.

Во-первых, для каждого вектора можно найти его координаты и модуль.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА И МОДУЛЬ ВЕКТОРА:

Координаты вектора — разности координат конца и начала вектора. На примере вектора $overline a$ его координатами будут: $(a_x;,a_y).$ Свойства координат вектора:

  • Координаты вектора не изменяются при параллельном переносе.
  • У равных векторов соответствующие координаты равны.

Нахождение координат вектора:

Координаты вектора $overline a;(a_x;,a_y)colon$

$begin{aligned}&a_x=x_2-x_1\&a_y=y_2-y_1end{aligned}$

То есть, координаты вектора $overline acolon (x_2-x_1;,y_2-y_1;,z_2-z_1).$

Модуль вектора — длина вектора (обозначается ). Находится как квадратный корень из суммы квадратов координат вектора.

$|overline a|=sqrt{(a_x)^2+(a_y)^2vphantom{bigl(}}=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2vphantom{bigl(}}$

Если рассмотреть пространственный вектор, то в эти формулы добавляется третья координата — z.

Координаты вектора $overline a;(a_x;,a_y;,a_z)$:

$begin{aligned}&a_x = x_2-x_1 \ &a_y = y_2-y_1 \ &a_z = z_2 – z_1end{aligned}$

То есть, координаты вектора $overline acolon (x_2-x_1;,y_2-y_1;,z_2-z_1).$

Модуль вектора $overline acolon$

$|overline a|=sqrt{(a_x)^2+(a_y)^2+(a_z)^2vphantom{bigl(}}=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2vphantom{bigl(}}$

СЕРЕДИНА ВЕКТОРА:

Чтобы найти середину вектора по координатам нужно:

1. Вычислить сумму координат начала и конца вектора.

2. Разделить на два.

НА ПЛОСКОСТИ

В ПРОСТРАНСТВЕ

O — середина вектора $,overline {!AB,}$

 

$begin{aligned}&A,(x_1;,y_1), B,(x_2;,y_2) \[3pt] &O(x;y)=left(frac{x_1+x_2}{2};,frac{y_1+y_2}{2}right)end{aligned}$

$begin{aligned}&A,(x_1;,y_1;,z_1), B,(x_2;, y_2;, z_2) \[3pt] &O(x;y;z)=left(frac{x_1+x_2}{2};,frac{y_1+y_2}{2};,frac{z_1+z_2}{2}right)end{aligned}$

ВИДЫ ВЕКТОРОВ:

Единичный вектор — вектор, длина которого равна 1.

Нулевой вектор — отдельные точки плоскости. У такого вектора конец и начало совпадают, а его длина (его модуль) равен нулю.

Коллинеарные и компланарные векторы

Коллинеарные векторы — векторы, которые параллельны одной прямой или которые лежат на одной прямой.

Два коллинеарных вектора $|overline a| и |b|$ называются сонаправленными только тогда, когда их направления соответствуют друг другу:

$|overline a|{small uparrowuparrow}|overline b|$

Компланарные векторы — векторы, которые параллельны одной плоскости или которые лежат на общей плоскости.

В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельная двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются компланарными.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ:

  НА ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Координаты
вектора $overline {c,}$
Сложение векторов:
$overline {c,}=overline a + overline b$
$x$ $c_x = a_x + b_x$ $c_x = a_x + b_x$
$y$ $c_y = a_y + b_y$ $c_y = a_y + b_y$
$z$ $c_z = a_z + b_z$
Координаты
вектора $overline {c,}$
Вычитание векторов:
$overline {c,}=overline a – overline b$
$x$ $c_x = a_x – b_x$ $c_x = a_x – b_x$
$y$ $c_y = a_y – b_y$ $c_y = a_y – b_y$
$z$ $c_z = a_z – b_z$
Координаты
вектора $overline {b}$
Умножение вектора на число:
$overline b = lambdaoverline a$
$x$ $overline b_x = lambda a_x$ $overline b_x = lambda a_x$
$y$ $overline b_y = lambda a_y$ $overline b_y = lambda a_y$
$z$ $overline b_z = lambda a_z$
Значение числа $s$ Скалярное умножение векторов:
$s = overline acdotoverline b$
$s=a_x!cdot b_x + a_y!cdot b_y$ $s=a_x!cdot b_x + a_y!cdot b_y + a_z!cdot b_z$

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ:

СЛОЖЕНИЕ

Сумма двух векторов находится с помощью правила треугольника или правила параллелограмма: $overline {c,} = overline a + overline b$.

${mathbf {Теоремаcolon}}\ Для любых трёх точек A,,B,,C справедливо соотношениеcolon overline{!AB,}+,overline{!BC,}=,overline{!AC,}!.$

${mathbf {РАЗНОСТЬ}}\Разность двух векторов overline a и overline b;— это вектор overline {c,}, который в сумме с вектором overline b даёт вектор overline a \ overline b + overline{c,} = overline aquadRightarrowquadoverline{c,} = overline a – overline b$

$Вектор overline {c,} можно найти также, складывая с вектором overline a вектор bigl(-overline bbigr), противоположный вектору overline bcolon \ overline {c,} = overline a + bigl(-overline bbigr)$

Вектор это просто отрезок, у которого задано начало и конец, то есть направление. Иногда это направление что-то значит, иногда нет. Однако то, что вектор задается двумя точками позволяет для его описания указать только координаты этих точек, начала и конца. Если взять проекцию вектора на ось Х например, то мы увидим на ней две точки соответствующие заданным координатам. Найти середину несложно – просто сложить эти координаты и поделить пополам. Точно такая же история наблюдается и двумя остальными осями если вектор задан в пространстве. Тогда получается что координаты центра вектора равны полусумме соответствующих координат начала и конца вектора.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

Ракит­ин Серге­й
[450K]

8 лет назад 

Координаты середины отрезка (вектора) будут равны середним арифметическим координат концов этого отрезка. Например, есть отрезок АВ, координаты А(1;1), В (10;5). Координаты средней точки М будут ((10+1)/2; (5+1)/2), т.е. (5,5; 3).

Знаете ответ?

Как найти середину вектора?

Как обозначить середину отрезка в геометрии?

Концы отрезка и его середину обычно обозначают латинскими буквами: A и B — концы, C — середина, C и D — концы, E — середина и т.

Как найти середину вектора AB?

Середина вектора

Чтобы найти середину вектора по координатам нужно вычислить сумму координат начала и конца вектора и разделить на два.

Как найти координаты середины отрезка 9 класс?

Если даны координаты конечных точек отрезка, знания о действиях с векторами и координатами векторов дают возможность определить координаты серединной точки отрезка. Для этого расположим отрезок AB в системе координат. A x 1 ; y 1 , B x 2 ; y 2 — конечные точки отрезка с данными координатами.

Как найти середину между двумя числами?

Чтобы найти число, находящееся между двумя числами на прямой, нужно найти среднее арифметическое двух чисел, то есть их полусумму. Если это числа a и b, то середина между ними это (a + b) / 2.

Как обозначить длину отрезка?

Отрезок можно обозначить двумя заглавными буквами – отрезок АВ. Или можно обозначить отрезок одной строчной буквой – отрезок с. Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина может быть выражена натуральным или дробным числом.

Как найти координаты середины отрезка в пространстве?

Используйте формулу вычисления расстояния между двумя точками, а именно формулу вычисления координат середины отрезка с концами A(Xa, Ya) b B(Xb, Yb) на плоскости: xc = (xa + xb)/2 и yc = (ya + yb)/2. Если подставите координаты ваших точек М и N, то получите координаты точки k – (-0.5; -3).

51. Планиметрия Читать 0 мин.

51.143. Векторы

ОСИ КООРДИНАТ:

Для понимания темы «вектор», надо сначала разобраться с понятием «декартовы координаты».

  • ось x — ось абсцисс;
  • ось y — ось ординат,
  • точка О — начало координат.

Любой точке плоскости сопоставляются два числа:

Эти числа называются декартовыми координатами данной точки.

ВЕКТОР:

Вектор — направленный отрезок прямой. То есть это отрезок, для которого указано, какая из его точек является началом, а какая — концом.

Пусть имеются две точки:

Тогда мы имеем вектор $,overline <!AB,>$, который обозначим за $overline a.$

На примере вектора рассмотрим основные понятия, связанные с векторами.

Во-первых, для каждого вектора можно найти его координаты и модуль.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА И МОДУЛЬ ВЕКТОРА:

Координаты вектора — разности координат конца и начала вектора. На примере вектора $overline a$ его координатами будут: $(a_x;,a_y).$ Свойства координат вектора:

  • Координаты вектора не изменяются при параллельном переносе.
  • У равных векторов соответствующие координаты равны.

Нахождение координат вектора:

Координаты вектора $overline a;(a_x;,a_y)colon$

То есть, координаты вектора $overline acolon (x_2-x_1;,y_2-y_1;,z_2-z_1).$

Модуль вектора — длина вектора (обозначается ). Находится как квадратный корень из суммы квадратов координат вектора.

Если рассмотреть пространственный вектор, то в эти формулы добавляется третья координата — z.

Координаты вектора $overline a;(a_x;,a_y;,a_z)$:

$begin&a_x = x_2-x_1 \ &a_y = y_2-y_1 \ &a_z = z_2 – z_1end$

То есть, координаты вектора $overline acolon (x_2-x_1;,y_2-y_1;,z_2-z_1).$

Модуль вектора $overline acolon$

СЕРЕДИНА ВЕКТОРА:

Чтобы найти середину вектора по координатам нужно:

1. Вычислить сумму координат начала и конца вектора.

2. Разделить на два.

НА ПЛОСКОСТИ

В ПРОСТРАНСТВЕ

O — середина вектора $,overline <!AB,>$

ВИДЫ ВЕКТОРОВ:

Единичный вектор — вектор, длина которого равна 1.

Нулевой вектор — отдельные точки плоскости. У такого вектора конец и начало совпадают, а его длина (его модуль) равен нулю.

Коллинеарные и компланарные векторы

Коллинеарные векторы — векторы, которые параллельны одной прямой или которые лежат на одной прямой.

Два коллинеарных вектора $|overline a| и |b|$ называются сонаправленными только тогда, когда их направления соответствуют друг другу:

Компланарные векторы — векторы, которые параллельны одной плоскости или которые лежат на общей плоскости.

В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельная двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются компланарными.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ:

НА ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Координаты
вектора $overline $
Сложение векторов:
$overline =overline a + overline b$
$x$ $c_x = a_x + b_x$ $c_x = a_x + b_x$
$y$ $c_y = a_y + b_y$ $c_y = a_y + b_y$
$z$ $c_z = a_z + b_z$
Координаты
вектора $overline $
Вычитание векторов:
$overline =overline a – overline b$
$x$ $c_x = a_x – b_x$ $c_x = a_x – b_x$
$y$ $c_y = a_y – b_y$ $c_y = a_y – b_y$
$z$ $c_z = a_z – b_z$
Координаты
вектора $overline $
Умножение вектора на число:
$overline b = lambdaoverline a$
$x$ $overline b_x = lambda a_x$ $overline b_x = lambda a_x$
$y$ $overline b_y = lambda a_y$ $overline b_y = lambda a_y$
$z$ $overline b_z = lambda a_z$
Значение числа $s$ Скалярное умножение векторов:
$s = overline acdotoverline b$
$s=a_x!cdot b_x + a_y!cdot b_y$ $s=a_x!cdot b_x + a_y!cdot b_y + a_z!cdot b_z$

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ:

СЛОЖЕНИЕ

Сумма двух векторов находится с помощью правила треугольника или правила параллелограмма: $overline = overline a + overline b$.

$<mathbf <Теоремаcolon>>\ Для любых трёх точек A,,B,,C справедливо соотношениеcolon overline<!AB,>+,overline<!BC,>=,overline<!AC,>!.$

$<mathbf <РАЗНОСТЬ>>\Разность двух векторов overline a и overline b;— это вектор overline , который в сумме с вектором overline b даёт вектор overline a \ overline b + overline = overline aquadRightarrowquadoverline = overline a – overline b$

$Вектор overline можно найти также, складывая с вектором overline a вектор bigl(-overline bbigr), противоположный вектору overline bcolon \ overline = overline a + bigl(-overline bbigr)$

Геометрия

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Прямоугольная система координат

В планиметрии мы уже рассматривали прямоугольную систему координат. Ее образовывали 2 перпендикулярные друг другу оси – Ох и Оу. С ее помощью можно было определить положение любой точки на координатной плоскости, просто указав две ее координаты – абсциссу х и ординату у.

В стереометрии необходимо определять положение точки уже не на плоскости, а в пространстве. Для этого добавляется третья ось Оz, которую ещё называют осью апликат. Каждые пара осей образует свою отдельную координатную плоскость, всего получается три таких плос-ти: Оху, Охz и Oуz.

Точка О именуется началом координат. Она делит каждую ось на два луча, один из которых – это положительная полуось, а второй – отрицательная полуось.

Для каждой точки в пространстве можно указать три координаты, однозначно определяющие ее положение в пространстве. Пусть в пространстве есть некоторая точка М. Опустим из нее перпендикуляры на координатные плоскости. В свою очередь из этих проекций точки М опустим перпендикуляры уже на координатные оси. В результате будет построен прямоугольный параллелепипед. Измерения этого параллелепипеда и будут координатами точки М:

Если точка M находится в одной из координатных плоскостей, то одна из ее координат будет нулевой. Например, если М принадлежит плоскости Охz, то нулю будет равна координата у. Если же точка располагается на одной из координатных осей, то у нее уже две координаты будут нулевыми. Так, если точка находится на оси Ох, то только координата х может быть ненулевой, а у и z окажутся нулевыми координатами.

На показанном рисунке ребра параллелепипеда лежат на положительных полуосях, поэтому все координаты положительны. Если же какие-то ребра будут лежать на отрицательных полуосях, то и соответствующие координаты будут отрицательными.

Координаты вектора

Введем в пространстве прямоугольную систему коорд-т, а далее от ее начала отложим вектора i, j и k, которые соответственно будут лежать на координатных осях Ох, Оу и Оz, и длина которых составит единицу. Эти вектора именуют координатными векторами, единичными векторами или просто ортами.

Ясно, что орты находятся в разных плоскостях, то есть они образуют тройку некомпланарных векторов. Это означает, что любой вектор а в пространстве можно разложить на орты:

где х, у и z – какие-то действительные числа. Они как раз и считаются координатами вектора а. Записываются коорд-ты вектора в фигурных скобках. На следующем рисунке показан вектор а<3; – 2; – 4>.

Задание. Разложите на орты вектор

Если начало вектора ОМ располагается в начале системы координат О, то вектор ОМ именуют радиус-вектором. В таком случае коорд-ты точки конца вектора, то есть точки М, совпадают с коорд-тами самого вектора ОМ.

Это свойство радиус-вектора мы уже изучали в 9 классе в планиметрии, и в стереометрии оно сохраняется.

Задание. О – начало координат, а точка М имеет коорд-ты (2; 5; – 3). Найдите коорд-ты вектора ОМ.

Решение. Всё очень просто – коорд-ты вектора будут совпадать с коорд-тами его конца, так его начало совпадает с началом коорд-т:

Также в стереометрии остаются справедливыми ещё несколько правил, которые были доказаны в курсе планиметрии:

Задание. Найдите сначала сумму, а потом разность векторов а <3; 7; 5>и b<2; 4; 6>.

Решение. Будем обозначать коорд-ты векторов через индексы. Например, коорд-ты вектора а – это ха, уа и zа. Пусть сумма векторов будет вектором с, а их разность – вектором d. Для вычисления суммы надо складывать соответствующие координаты:

Для вычисления разности надо из коорд-т вектора а вычитать коорд-ты вектора b:

Задание. Вычислите коорд-ты вектора р, зная, что:

Решение. Для вычисления координат надо в выражении для вектора р сами векторы заменить на их координаты:

Получается, что вектор p имеет координаты <0; – 2; 3>.

Теперь мы можем доказать ещё одно утверждение, уже известное из курса планиметрии:

Действительно, пусть есть некоторый вектор АВ, причем коорд-ты точек А и В известны. Построим радиус-вектора OА и OВ:

Координаты радиус-векторов будут совпадать с координатами их концов:

Задание. Определите коорд-ты вектора CD, если даны коорд-ты точек С и D: С(3; 8; – 5) и D(5; 4; 1).

Решение. Здесь надо просто из коорд-т точки D, являющейся концом вектора, вычесть коорд-ты точки С:

Задание. От точки K(10; 6; 13) отложен вектор m<3; 2; 5>, конец совпал в точку H. Найдите коорд-ты точки H.

Решение. Коорд-ты вектора m и его концов связаны формулами:

Координаты середины отрезка

Пусть в пространстве есть отрезок АВ, и координаты его концов известны. Точка М – середина этого отрезка. Как вычислить ее координаты? Рассмотрим взаимосвязь векторов АМ, МВ и АВ:

Раз М – середина АВ, то вектора АМ и МВ имеют равные длины, и при этом они находятся на одной прямой. Значит, эти вектора равны и потому у них одинаковые коорд-ты:

Аналогично можно получить аналогичные формулы для коорд-т у и z:

Рассмотрим несколько задач на координаты точек.

Задание. Найдите коорд-ты середины отрезка, соединяющего точки А(3; 7; 12) и В(1; 5; – 4).

Решение. Просто используем только что выведенные формулы. Середину также обозначаем буквой М:

Задание. Известно, что K середина отрезка CD. Даны координаты точек С и K: С(12; 9; – 3) и K(15; 7; 3). Найдите коорд-ты D.

Решение. Сначала запишем формулу для коорд-ты х:

Вычисление длины векторов и расстояния между точками

Рассмотрим радиус-вектор ОМ с коорд-тами . Попытаемся найти его длину. Мы можем построить прямоугольный параллелепипед, в котором этот вектор окажется диагональю:

Напомним, что квадрат длины диагонали в прямоугольном параллелепипеде равен сумме квадратов его измерений. Но в полученном параллелепипеде измерения – это коорд-ты х, у и z, поэтому можно записать:

Так как равные вектора имеют как одинаковы и коорд-ты, и длина, то ясно, что каждый вектор с коорд-тами будет равен рассмотренному радиус-вектору, а значит и его длина будет рассчитываться по такой же формуле.

Задание. Найдите длину вектора m<– 2; 9; 6>.

Решение. Просто используем формулу:

Рассмотрим отрезок АВ с известными коорд-тами его концов. Можно построить вектор АВ, его коорд-ты будут определяться так:

Задание. Найдите расстояние между точкой K(10; 15; 5) и M(16; 21; – 2).

Решение. Просто подставляем коорд-ты точек в формулу:

Задание. Найдите длину медианы KM в KPN, если известны коорд-ты его вершин: P(2; 5; 8), N (6; 9; 12) и K(16; 11; 13).

Решение. Для нахождения длины медианы достаточно знать коорд-ты ее концов. Коорд-ты K уже известны, а M – середина PN, что позволяет вычислить и ее коорд-ты:

Коллинеарность векторов

Напомним, что если два вектора а и b коллинеарны друг другу, то должно существовать такое число k, что

Полученное отношение (1) является одновременно и признаком коллинеарных векторов, и их свойством. Слово «признак» означает, что любые вектора, чьи координаты соответствуют условию (1), будут коллинеарны. Слово «свойство» означает обратное – если известно, что вектора коллинеарны, то для них обязательно выполняется условие (1). В таких случаях в математике может использоваться словосочетание «тогда и только тогда»:

Очень важно то, что это правило действует только в случае, если все коорд-ты векторов ненулевые. Теперь рассмотрим случай, когда какие-то коорд-ты вектора b (одна или две из них) равны нулю. Например, пусть

В результате мы выяснили, что если коорд-та одного вектора нулевая, то и у любого вектора, коллинеарному ему, эта же коорд-та также должна быть нулевой. Особняком стоит случай с нулевым вектором с коорд-тами <0; 0; 0>. Он условно признается коллинеарным любому вектору.

Задание. Выясните, какие из этих пар векторов коллинеарны:

Решение. В первом задании просто делим друг на друга соответствующие коорд-ты и находим значение коэффициента k:

Значение коэффициента k оказалось одинаковым для каждой пары коорд-т, значит, вектора коллинеарны.

Повторяем эти действия в задании б):

На этот раз коэффициенты k оказались различными, значит, вектора неколлинеарны.

В задании в) у вектора е коорд-та z нулевая. Значит, если и у вектора f, если он коллинеарен z, эта координата должна быть нулевой, но это не так. Значит, вектора e и f неколлинеарны.

В задании г) снова указаны вектора с нулевыми коорд-тами. Но у обоих векторов коорд-та z нулевая, поэтому они могут быть коллинеарными. Однако необходимо проверить, что отношение ненулевых координат одинаково:

Коэффициент k получился одинаковым, поэтому вектора коллинеарны.

В последнем задании д) вектор n – нулевой, ведь все его коорд-ты нулевые. Нулевой вектор всегда коллинеарен другим векторам, в том числе и в этом задании.

Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да; д) да.

Задание. Выясните, располагаются ли на одной прямой точки А(3; 5; 12), В(5; 7; 16) и С(0; 2; 6).

Решение. Ясно, что если эти точки находятся на одной прямой, то вектора АВ и ВС будут коллинеарными. Если же эти вектора неколлинеарны, то и точки должны находиться на разных прямых.

Сначала вычислим коорд-ты векторов АВ и ВС:

Теперь проверяем, коллинеарны ли эти вектора:

Коэффициенты k одинаковы, а потому АВ и ВС – коллинеарные векторы. Значит, точки А, В и С находятся на одной прямой.

Определение компланарности векторов

Пусть у нас есть три вектора с известными коорд-тами:

Как определить, компланарны ли эти вектора, то есть располагаются ли они в одной плоскости? Если эти вектора компланарны, то, по признаку компаланарности, вектор а можно разложить на вектора b и с:

где х и y – некоторые числа. Но если такое разложение существует, то коорд-ты векторов а, b и с будут связаны равенствами:

Получили систему из 3 уравнений с двумя неизвестными (х и y). Если такая система имеет решение, то вектора компланарны. Если же решения нет, то вектора не компланарны.

Задание. Определите, компланарны ли вектора

Имеем систему с тремя уравнениями. Из последних двух уравнений очевидно, что его решением может быть только пара чисел:

Значит, рассмотренная тройка векторов компланарна.

Задание. Располагаются ли в одной плос-ти вектора:

Решение. Нам надо проверить компаланарность векторов, поэтому действуем также, как и в предыдущей задаче. Если вектора компланарны, то существует разложение:

Получилось неверное равенство. Это означает, что у системы уравнений решения нет, и потому тройка векторов некомпланарна.

Скалярное произведение векторов

В 9 классе мы уже изучали скалярное произведение векторов.

Для нахождения угла между векторами необходимо отложить их от одной точки, тогда они образуют такой угол.

Задание. Угол между векторами с и d составляет 60°, а их длины соответственно равны 5 и 6. Найдите их скалярное произведение.

Решение. Здесь для расчета просто перемножаем длины векторов и косинус 60°:

Напомним несколько уже известных нам фактов о скалярном произведении, остающихся верными и в стереометрии:

Формула для расчета скалярного произведения по коорд-там векторов, используемая в стереометрии, несколько отличается от формулы из курса планиметрии. Напомним, что в планиметрии произведение векторов аа; уа> и b<хb; yb> можно было рассчитать так:

Задание. Вычислите скалярное произведение векторов:

На практике скалярное произведение обычно используется для расчета углов между векторами, а также отрезками и прямыми. Рассмотрим несколько задач.

Задание. Вычислите угол между векторами:

Теперь через скалярное произведение возможно рассчитать косинус искомого нами угла, а затем и сам угол, который мы обозначим как α:

Задание. Рассчитайте углы в ∆АВС, зная коорд-ты его вершин: А(1; – 1; 3), В(3; – 1; 1) и С(– 1; 1; 3).

Решение. Чтобы найти ∠В, необходимо просто рассчитать угол между векторами ВС и ВА также, как это сделано в предыдущей задаче. Но сначала найдем коорд-ты векторов ВС и ВА и их длины:

Далее рассчитываем скалярное произведение векторов:

Теперь найдем угол А, который представляет собой угол между векторам AВ и AС. Вектор AВ – это вектор, противоположный ВA, то у него та же длина, но противоположный знак у коорд-т:

Задание. В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 ребра имеют длину:

Рассчитайте угол между векторами DB1 и BC1.

Решение. Введем систему коорд-т Охуz и расположим в нем параллелепипед следующим образом:

При этом построении граничные точки векторов будут иметь следующие коорд-ты:

Находим коорд-ты векторов, а также их длины:

Рассчитываем скалярное произведение DB1 и BC1:

Получили ноль. Из этого вытекает, что вектора перпендикулярны, то есть искомый нами угол составляет 90°.

Сегодня мы научились использовать координаты для решения стереометрических задач. Почти все формулы, используемые в методе координаты, аналогичны тем формулам, которые были выведены ещё в курсе планиметрии. Надо лишь учитывать существование ещё одной, третьей координаты z.

[spoiler title=”источники:”]

http://reshutest.ru/theory/7?theory_id=275

http://100urokov.ru/predmety/koordinaty-v-stereometrii

[/spoiler]

Как найти середину вектора

Вектор – это величина, характеризуемая своим численным значением и направлением. Другими словами, вектор – это направленный отрезок. Положение вектора AB в пространстве задается координатами точки начала вектора A и точки конца вектора B. Рассмотрим, как определить координаты середины вектора.

Как найти середину вектора

Инструкция

Для начала определимся с обозначениями начала и конца вектора. Если вектор записан как AB, то точка A является началом вектора, а точка B – концом. И наоборот, для вектора BA точка B является началом вектора, а точка A – концом. Пусть нам задан вектор AB с координатами начала вектора A = (a1, a2, a3) и конца вектора B = (b1, b2, b3). Тогда координаты вектора AB будут следующими: AB = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3), т.е. из координаты конца вектора необходимо вычесть соответствующую координату начала вектора. Длина вектора AB (или его модуль) вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов его координат: |AB| = √((b1 – a1)^2 + (b2 – a2)^2 + (b3 – a3)^2).

Найдем координаты точки, являющейся серединой вектора. Обозначим ее буквой O = (o1, o2, o3). Находятся координаты середины вектора так же, как координаты середины обычного отрезка, по следующим формулам: o1 = (a1 + b1)/2, o2 = (a2 + b2)/2 , o3 = (a3 + b3)/2. Найдем координаты вектора AO: AO = (o1 – a1, o2 – a2, o3 – a3) = ((b1 – a1)/2, (b2 – a2)/2, (b3 – a3)/2).

Рассмотрим пример. Пусть дан вектор AB с координатами начала вектора A = (1, 3, 5) и конца вектора B = (3, 5, 7). Тогда координаты вектора AB можно записать как AB = (3 – 1, 5 – 3, 7 – 5) = (2, 2, 2). Найдем модуль вектора AB: |AB| = √(4 + 4 + 4) = 2 * √3. Значение длины заданного вектора поможет нам для дальнейшей проверки правильности координат середины вектора. Далее найдем координаты точки O: O = ((1 + 3)/2, (3 + 5)/2, (5 + 7)/2) = (2, 4, 6). Тогда координаты вектора AO рассчитываем как AO = (2 – 1, 4 – 3, 6 – 5) = (1, 1, 1).

Выполним проверку. Длина вектора AO = √(1 + 1 + 1) = √3. Вспомним, что длина исходного вектора равна 2 * √3, т.е. половина вектора действительно равна половине длины исходного вектора. Теперь рассчитаем координаты вектора OB: OB = (3 – 2, 5 – 4, 7 – 6) = (1, 1, 1). Найдем сумму векторов AO и OB: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB. Следовательно, координаты середины вектора были найдены верно.

Полезный совет

Выполнив вычисления координат середины вектора, обязательно выполните хотя бы самую простую проверку – посчитайте длину вектора и сравните ее с длиной данного вектора.

Источники:

  • как найти первую координату

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Добавить комментарий