Как найти шесть нулей

Названия больших чисел

Существует десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Числа состоят из цифр. Число 52 состоит из двух цифр: 5 и 2. Числа с 1 впереди и последующими нулями имеют названия. Всем известны: 10 — десять, 100 — сто, 1000 — тысяча, 1 000 000 — миллион. Так как большие числа с большим числом нулей записывать неудобно, используют сокращения в виде степеней: запись 10¹¹ означает число с 11-ю нулями, запись 10⁵² означает число с 52-мя нулями и т.д. Приведем названия чисел с десятками и сотнями нулей.

Самого большого числа в мире не существует, так как любое большое число всегда можно увеличить, умножить, возвести в степень, и получится другое большее число. Бесконечность не является числом.

Из известных самых больших чисел, имеющих название (математическое доказательство) можно выделить: число TREE(3), число SCG(13), число Лоудера, число Мозера, число Скьюза, число Райо, число Грэма, инфитеиплеон.

Таблица больших чисел с указанием количества нулей и названиями на русском и английском.

Одной из задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение её нулей – т.е. точек пересения с осью абсцисс. Рассмотрим график некоторой функции
:

Нулями функции

являются точки

в которых, как было сказано выше, график функции пересекает ось абсцисс. Чтобы найти
нули функции
необходимо и достаточно
решить уравнение:

Нулями функции будут корни этого уравнения. Таким образом, нули функции находятся в точках
.

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha способен найти нули практически любой, даже очень сложной функции.

The number of zeros at the end of $N!$ is given by $$left lfloor frac{N}{5} right rfloor + left lfloor frac{N}{5^2} right rfloor + left lfloor frac{N}{5^3} right rfloor + cdots$$ where $left lfloor frac{x}{y} right rfloor$ is the greatest integer $leq frac{x}{y}$.

To make it clear, write $N!$ as a product of primes $N! = 2^{alpha_2} 3^{alpha_2} 5^{alpha_5} 7^{alpha_7} 11^{alpha_{11}} ldots$ where $alpha_i in mathbb{N}$.

Note that $alpha_5 < alpha_2$, $forall N$. (Why?)

The number of zeros at the end of $N!$ is the highest power of $10$ dividing $N!$

If $10^{alpha}$ divides $N!$ and since $10 = 2 times 5$, $2^{alpha} | N!$ and $5^{alpha} | N!$. Further since $alpha_5 < alpha_2$, the highest power of $10$ dividing $N!$ is the highest power of $5$ dividing $N!$ which is $alpha_5$.

So you will find that for $N leq 24$, the number of zeros will be less than or equal to 4. However when $N$ hits $25$ you will get 2 additional zeros courtesy $25$ since $25 times 2^2 = 100$. Hence, there will be a jump when you go from $24$ to $25$.

EDIT:

Note that there will be

1. A jump of $1$ zero going from $(N-1)!$ to $N!$ if $5 || N$

2. A jump of $2$ zero going from $(N-1)!$ to $N!$ if $5^2 || N$

3. A jump of $3$ zero going from $(N-1)!$ to $N!$ if $5^3 || N$ and in general

4. A jump of $k$ zero going from $(N-1)!$ to $N!$ if $5^k || N$

where $a || b$ means $a$ divides $b$ and gcd($a,frac{b}{a}$) = 1

EDIT

Largest power of a prime dividing $N!$

In general, the highest power of a prime $p$ dividing $N!$ is given by

$$s_p(N!) = left lfloor frac{N}{p} right rfloor + left lfloor frac{N}{p^2} right rfloor + left lfloor frac{N}{p^3} right rfloor + cdots$$

The first term appears since you want to count the number of terms less than $N$ and are multiples of $p$ and each of these contribute one $p$ to $N!$. But then when you have multiples of $p^2$ you are not multiplying just one $p$ but you are multiplying two of these primes $p$ to the product. So you now count the number of multiple of $p^2$ less than $N$ and add them. This is captured by the second term $displaystyle left lfloor frac{N}{p^2} right rfloor$. Repeat this to account for higher powers of $p$ less than $N$.

In case of the current example, the largest prime dividing $10$ is $5$. Hence, the largest power of $10$ dividing $N!$ is the same as the largest power of $5$ dividing $N!$.

Largest power of a prime dividing other related products

In general, if we want to find the highest power of a prime $p$ dividing numbers like $displaystyle 1 times 3 times 5 times cdots (2N-1)$, $displaystyle P(N,r)$, $displaystyle binom{N}{r}$, the key is to write them in terms of factorials.

For instance, $$displaystyle 1 times 3 times 5 times cdots (2N-1) = frac{(2N)!}{2^N N!}.$$ Hence, the largest power of a prime, $p>2$, dividing $displaystyle 1 times 3 times 5 times cdots (2N-1)$ is given by $s_p((2N)!) – s_p(N!)$, where $s_p(N!)$ is defined above. If $p = 2$, then the answer is $s_p((2N)!) – s_p(N!) – N$.

Similarly, $$displaystyle P(N,r) = frac{N!}{(N-r)!}.$$ Hence, the largest power of a prime, dividing $displaystyle P(N,r)$ is given by $s_p((N)!) – s_p((N-r)!)$, where $s_p(N!)$ is defined above.

Similarly, $$displaystyle C(N,r) = binom{N}{r} = frac{N!}{r!(N-r)!}.$$ Hence, the largest power of a prime, dividing $displaystyle C(N,r)$ is given by $s_p((N)!) – s_p(r!) – s_p((N-r)!)$, where $s_p(N!)$ is defined above.

• : x^a

модуль x: abs(x)

• : Sqrt[x]
• : x^(1/n)
• : a^x
• : Log[a, x]
• : Log[x]
• : cos[x] или Cos[x]

: sin[x] или Sin[x]

: tan[x] или Tan[x]

: cot[x] или Cot[x]

: sec[x] или Sec[x]

: csc[x] или Csc[x]

: ArcCos[x]

: ArcSin[x]

: ArcTan[x]

: ArcCot[x]

: ArcSec[x]

: ArcCsc[x]

: cosh[x] или Cosh[x]

: sinh[x] или Sinh[x]

: tanh[x] или Tanh[x]

: coth[x] или Coth[x]

: sech[x] или Sech[x]

: csch[x] или Csch[е]

: ArcCosh[x]

: ArcSinh[x]

: ArcTanh[x]

: ArcCoth[x]

: ArcSech[x]

: ArcCsch[x]