Как найти ширину треугольник

Треугольник

Треугольник является базовой фигурой геометрии, встречающейся повсеместно. Расчет всех геометрических фигур и тел основаны на наличии в них тех или иных треугольников, благодаря чему становится возможным применить множество теорем и формул, несвойственных конкретным фигурам по отдельности. Равносторонние треугольники, равнобедренные треугольники и прямоугольные треугольники составляют каркас решения геометрических задач, и обладая множеством дополнительных построений внутри треугольника, они предоставляют огромное количество значений тех или иных длин. Все биссектрисы, медианы, высоты, радиусы окружностей, вписанных или описанных около таких треугольников, можно рассчитать в этом разделе через геометрический калькулятор. Для этого необходимо ввести любые имеющиеся вводные данные, и калькулятор выдаст не только значения всех остальных параметров треугольника, но и объяснит преобразования формул, использованные для этих расчетов.

Формулы определения периметра, площади и сторон треугольника

Треугольник — это элементарная геометрическая фигура, содержащая минимально возможное количество составляющих — три.

Точки соприкосновения сторон являются вершинами его углов, обозначаются заглавными латинскими символами A; B и C. Отрезки между вершинами являются сторонами или гранями треугольника и обозначаются названиями этих вершин: AB; BC; CA или прописной буквой противолежащего угла (вершины): AB=c; BC=a; CA=b.

Периметр равен длине всех сторон фигуры, у треугольника он равен сумме трех сторон:

Высота треугольника — это перпендикуляр от прямой, на которой лежит основание, до одноименной вершины, обозначается h.

Площадь составляет величину поверхности, заключенной внутри фигуры, обозначается S. Произведение основания на высоту дает значение площади. Ее можно определить и по формуле Герона:

Из этого видео вы узнаете, как найти площадь треугольника.

Классификация треугольников

Треугольник состоит из сторон и углов, сумма его углов всегда равна 180 градусов: A+B+C=180°.

1. Равноугольный: все вершины равны 60°, будет и равносторонним.
2. Равнобедренный: при равенстве двух граней углы на основании равны.
3. Разноугольный: все вершины разные, ребра у него тоже разные.
4. Прямоугольный: один угол равен 90°, примыкающие грани называются катеты, противолежащая — гипотенуза. Бывает равнобедренным (катеты равны) или разноугольным (катеты разные).
5. Тупоугольный: один угол больше 90°. Может быть равнобедренным или разноугольным.

Описание

Чтобы описать любой треугольник, достаточно указать:

1. Одну сторону и прилегающие к ней углы.
2. Две стороны и угол между ними.
3. Три стороны.

Данных из любого пункта достаточно для построения заданной фигуры и вычисления всех ее параметров, используя теорему косинусов:

Подставляя известные значения, получим уравнение, решив которое узнаем неизвестные величины.

Cos90°=0, поэтому для прямоугольного треугольника c*c=a*a+b*b, где a и b — катеты, c — гипотенуза, сторона, лежащая напротив прямого угла.

Примеры

Известно, что одна грань равна 9 см и прилегающие углы по 60 градусов. Тогда из того, что сумма углов всегда равна 180°, получаем: 180=60+60+x; x=180—120=60. Все три вершины по 60°, значит, все стороны равны. Периметр составляет P=9+9+9=27 см, полупериметр p=13,5 см. Чтобы найти высоту, нужно опустить перпендикуляр из вершины на основание, получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 9 см, катетом 4,5 см и катетом неизвестной длины, равным искомой высоте: 9*9—4,5*4,5=60,75=h 2 .

Высота равна корню квадратному из 60,75 или 7,79422863406 см. Умножаем основание на высоту, делим пополам и получаем площадь: 7,79422863406*9/2=35,074028853 см 2 . Если находить площадь по формуле Герона через полупериметр и ребра, ответ будет одинаковый:

S=√(13,5·(13,5—9)·(13,5—9)·(13,5—9))=35,074028853 см 2 .

Следующий пример с разносторонним треугольником. Дано: AB=12 см, BC=10 см, CA=8 см. Требуется найти периметр и площадь фигуры. P=a+b+c=BC+CA+AB=10 см+8 см+12 см=30 см. Площадь находим по формуле Герона, подставляя в нее уже известные значения, учитывая, что p=0,5Р; p=15 см. S=√(p·(p—a)·(p—b)·(p—c))=√(15·(15—10)·(15—8)·(15—12))=√15·5·7·3=√1575=39,686269666 см 2 .

Рассмотрим пример, когда известны два катета прямоугольного треугольника. Допустим, они имеют значения два и четыре метра. Тогда гипотенуза будет равна корню квадратному из суммы квадратов катетов √2 2 +4 2 =4,472135955 м. Периметр 2+4+4,472135955=10,472135955. Площадь равна половине произведения катетов S=2·4=8м 2 .

Когда известны две стороны и угол между ними, остается найти только третью сторону по теореме косинусов. Пусть известные стороны составляют значения 16 и 28 метров, а угол между ними будет в 60 градусов, тогда третья сторона будет равна корню квадратному из этого выражения 16 2 +28 2 — 2·16·28·0,5, что составит значение в 24,3310501212 м. Периметр равен 16+28+24,3310501212=68,3310501212≈68,33 м. Полупериметр будет 34,165 м. Подставляя полученные значения в формулу Герона, найдем площадь S=√(34,165·(34,165—16)·(34,165—28)·(34,165—24,33))=193,982314238 м 2 .

Если известно три параметра любого треугольника — два угла и сторона или две стороны и угол между ними, то ничего особенно сложного в нахождении неизвестных параметров треугольника — периметра, площади или высоты — нет. Нужно только внимательно производить простые вычисления. Иногда можно проявить и смекалку, разбив фигуру на несколько более простых в вычислении, например, прямоугольных треугольников. В каждом конкретном случае все зависит от исходных данных. Все формулы и вычисления, приведенные выше, верны для плоских фигур; для расположенных на сферической поверхности ход вычислений будет иным.

Видео

Это видео поможет вам закрепить полученные знания.

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p – a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p – b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p – c ) a + b

где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

[spoiler title=”источники:”]

http://liveposts.ru/articles/education-articles/matematika/formuly-opredeleniya-perimetra-ploshhadi-i-storon-treugolnika

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

[/spoiler]

Вы зашли на страницу вопроса Как найти ширину треугольника?, который относится к
категории Математика. По уровню сложности вопрос соответствует учебной
программе для учащихся 1 – 4 классов. В этой же категории вы найдете ответ
и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью
автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в
комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для
обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют,
создайте свой вариант запроса в верхней строке.

Информация по назначению калькулятора

Треугольник – это одна из основных геометрических фигур: многоугольник с тремя углами (или вершинами) и тремя сторонами (или ребрами), которые являются прямыми отрезками.

В евклидовой геометрии любые три неколлинеарные точки определяют треугольник и единственную плоскость, то есть двумерное декартово пространство.

Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда превышает длину третьей стороны. Это и есть неравенство треугольника.

Треугольники могут быть классифицированы в соответствии с относительной длиной их сторон:

⇒ В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину. Равносторонний треугольник также является равноугольным многоугольником, т.е. все его внутренние углы равны, а именно 60° – это правильный многоугольник.

⇒ В равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину. Равнобедренный треугольник также имеет два совпадающих угла (а именно, углы, противоположные совпадающим сторонам). Равносторонний треугольник – это равнобедренный треугольник, но не все равнобедренные треугольники являются равносторонними треугольниками.

⇒ В скалярном треугольнике все стороны имеют разную длину. Внутренние углы в скалярном треугольнике все разные.

Треугольники также могут быть классифицированы в соответствии с их внутренними углами:

⇒ Прямоугольный треугольник имеет один внутренний угол 90° (прямой угол). Сторона, противоположная прямому углу, является гипотенузой; это самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике. Две другие стороны – катеты треугольника.

⇒ Тупой треугольник имеет один внутренний угол, больший 90° (тупой угол).

⇒ Острый треугольник имеет внутренние углы, которые все меньше 90° (три острых угла). Равносторонний треугольник – это острый треугольник, но не все острые треугольники являются равносторонними треугольниками.

⇒ Наклонный треугольник имеет только углы, которые меньше или больше 90°. Следовательно, это любой треугольник, который не является прямоугольным треугольником.

Онлайн калькулятор поможет найти параметры треугольника, такие как:

• Длины сторон

– равны в равностороннем треугольнике

• Углы

– также равны в равностороннем треугольнике

• Высота

– это прямая линия, проходящая через вершину и перпендикулярная противоположной стороне (т. е. образующая прямой угол с ней)

• Периметр

– равен сумме всех 3х сторон (P=AB+BC+AC)

• Площадь

– равна половине произведения высоты и стороны к которой построена высота (S=1/2 * H * AC)

• Медианы
• Биссектрисы
• Радиус Вписанной и Описанной окружностей
• Диаметр Вписанной и Описанной окружностей
• Длина Вписанной и Описанной окружностей
• Площадь Вписанной и Описанной окружностей

Как найти ширину треугольника если известна только длина

Ответы

Автор ответа: voronoleg45

4

Ответ:

Ширину можно вычислить по длине, если известна еще площадь или периметр прямоугольника. Например, зная площадь и длину, можно найти ширину по формуле а = S/b. А зная периметр и длину, можно вычислить ширину по формуле a = (P – 2b) / 2.

с помощью площадя и длины найдём ширину по формуле а = S/b. периметр и длину,  по формуле a = (P – 2b) / 2.

Пошаговое объяснение:

Интересные вопросы

Предмет: Физика,
автор: lililop1987