Как найти сходимость последовательности

Исследовать на сходимость числовой ряд

Числовой ряд в общем виде задаётся следующей формулой: $$sum_{n=1}^infty a_n.$$ Разберем из чего состоит ряд. $a_n$ – это общий член ряда. $n$ – это переменная суммирования, которая может начинаться с нуля или любого натурального числа. Таким образом ряд расписывается следующим образом: $$sum_{n=1}^infty a_n = a_1+a_2+a_3+…$$ Слагаемые $a_1,a_2,a_3,…$ называются членами ряда. Если они неотрицательные, то ряд называется положительными числовым рядом.

Ряд расходится, если сумма его членов равна бесконечности: $$sum_{n=1}^infty n^2+1 = 2+5+10+…$$Ряд сходится, если сумма его членов равна конечному числу. Например, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: $$sum_{n=0}^infty frac{1}{2^n} = 1+frac{1}{2} + frac{1}{4}+frac{1}{8}+…$$ Её сумма вычисляется по следующей формуле $S = frac{A}{1-q}$, где $A$ – первый член прогрессии, а $q$ – основание. В данном случае сумма равна $S = frac{1}{1 – frac{1}{2}} = 2$.

Стоит заметить, что вычислить сумму ряда в большинстве случаев просто так не получится. Поэтому используют признаки сходимости, выполнение которых достаточно для установления сходимости ряда. Например, признаки Коши и Даламбера. Зависит это от общего члена ряда.

Необходимый признак сходимости ряда

Необходимый признак сходимости ряда нужно применять мысленно перед тем, как использовать достаточные признаки. Именно благодаря ему, можно заранее установить, что ряд расходится и не тратить время на проверку достаточными признаками. Для этого, нужно найти предел общего члена ряда и в зависимости от его значения сделать вывод.

1. Если ряд сходится, то $limlimits_{nto infty} a_n = 0$
2. Если $limlimits_{nto infty} a_n neq 0$ или не существует, то ряд расходится

ЗАМЕЧАНИЕ ! Первый пункт не работает в обратную сторону и нужно использовать достаточный признак сходимости. То есть, если предел общего члена ряда равен нулю, то это ещё не значит, что ряд сходится! Требуется использовать один из достаточных признаков сходимости.

Признаки сравнения

Обобщенный гармонический ряд записывается следующим образом $ sum_{n=1} ^infty frac{1}{n^p} $.

1. Если $ p = 1 $, то ряд $ sum_{n=1} ^infty frac{1}{n} $ расходится
2. Если $ p leqslant 1 $, то ряд расходится. Пример,$ sum_{n=1} ^infty frac{1}{sqrt{n}} $, в котором $ p = frac{1}{2} $
3. Если $ p > 1 $, то ряд сходится. Пример, $ sum_{n=1} ^infty frac{1}{sqrt{n^3}} $, в котором $ p = frac{3}{2} > 1 $

Этот ряд пригодится нам при использовании признаков сравнения, о которых пойдет речь дальше.

Признак сравнения

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда $sum_{n=1}^infty a_n$ и $sum_{n=1}^infty b_n$, причем второй ряд сходящийся. Тогда, если начиная с некоторого номера $n$ выполнено неравенство $a_n le b_n$, то ряд $sum_{n=1}^infty a_n$ сходится вместе с $sum_{n=1}^infty b_n$.

Предельный признак сравнения

Если предел отношения общих членов двух рядов $sum_{n=1}^infty a_n$ и $sum_{n=1}^infty b_n$ равен конечному числу и отличается от нуля $$lim_{ntoinfty} frac{a_n}{b_n} = A,$$то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

ЗАМЕЧАНИЕ. Предельный признак удобно применять когда хотя бы один из общих членов ряда представляет собой многочлен.

Содержание:

• Сходящиеся и расходящиеся последовательности
• Последовательность на бесконечности

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Постоянная последовательность $left{x_{n}right}={c}$ имеет предел,
равный числу $c$ :
$lim _{n rightarrow infty} x_{n}=lim _{n rightarrow infty} c=c$

Последовательность на бесконечности

Последовательность $left{x_{n}right}$ имеет бесконечный предел, если
для любого $epsilon>0, exists n_{0} in N : n>n_{0} :$
$x_{n}>epsilon : lim _{n rightarrow infty} x_{n}=infty$

Последовательность $left{x_{n}right}$ называется бесконечно малой,
если $lim _{n rightarrow infty} x_{n}=0$

Последовательность $left{x_{n}right}$ называется бесконечно большой, если
для любого $epsilon>0$ существует номер
$n_{0}$ такое, что для любого
$n>n_{0} :left|x_{n}right|>epsilon$

Читать дальше: предельный переход в неравенствах.

В математике Признак сходимости числового ряда — это метод, позволяющий установить сходимость или расходимость бесконечного ряда:

Краткая запись:

Здесь — последовательность вещественных или комплексных чисел; эти числа называются членами ряда.

Необходимое условие сходимости рядов[править | править код]

Следовательно, условие необходимо (но не достаточно) для сходимости ряда. Другими словами, если это условие не выполнено, то ряд заведомо расходится, однако если оно выполнено, то нет гарантии, что ряд сходится — см., например, гармонический ряд.

Основные признаки сходимости[править | править код]

Ряды с неотрицательными членами[править | править код]

Ряды с неотрицательными членами называют также знакоположительными^[2] или просто положительными^[3].

Критерий сходимости знакоположительных рядов[править | править код]

Признак сравнения с мажорантой[править | править код]

Заключение о сходимости или расходимости ряда можно сделать на основании почленного сравнения его с другим рядом («мажорантой»), поведение которого уже известно^[4].

Следствие для рядов с членами произвольного знака:

Пример^[6]. Докажем сходимость ряда обратных квадратов:

Для него рядом-мажорантой можно выбрать ряд:

Частичную сумму этого ряда можно представить в виде:

Поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, по признаку сравнения, и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в интервале .

Признак Раабе[править | править код]

Этот признак сильнее, чем признак Даламбера и радикальный признак Коши^[7].

Интегральный признак Коши — Маклорена[править | править код]

Этот признак позволяет с полной определённостью определить, сходится или расходится ряд.

Пример^[10]. Выясним сходимость ряда для дзета-функции Римана (в вещественном случае):

Для него порождающая функция имеет вид: . Вычислим интеграл:

если , или если Вывод: данный ряд сходится при и расходится при .

Признак Гаусса[править | править код]

Признак Куммера[править | править код]

Признак Куммера— чрезвычайно общий и гибкий признак сходимости рядов с положительными членами. Фактически он представляет собой схему для конструирования конкретных признаков^[12].

Чаще на практике применяют предельную форму признака Куммера: находим тогда в случае ряд сходится, а при — расходится.

Из признака Куммера получаются ряд других признаков:

Знакопеременные ряды[править | править код]

Знакопеременными называются ряды, члены которых могут быть как положительны, так и отрицательны.

Признак Даламбера[править | править код]

Этот признак также известен как критерий Даламбера. Он проще, чем признак Коши, однако слабее — если работает признак Даламбера, то всегда работает и признак Коши, однако существуют ряды, к которым признак Коши примени́м, а признак Даламбера не даёт результатов^[13].

Пример^[14]. Исследуем сходимость ряда где Вычислим предел:

Следовательно, ряд сходится при и расходится при Случай следует разобрать отдельно; проверка показывает, что тогда члены ряда не убывают (, поэтому ) так что и в этом случае ряд расходится.

Радикальный признак Коши[править | править код]

Признак Коши сложнее, однако сильнее, чем признак Даламбера: если признак Даламбера подтверждает сходимость или расходимость ряда, то и признак Коши делает то же, однако обратное неверно^[16].

Пример^[17]. Исследуем ряд где — последовательность положительных чисел, причём

Согласно признаку Коши, возможны три случая.

Признак Лейбница для знакочередующихся рядов[править | править код]

Этот признак также называют критерий Лейбница.

Признак Абеля[править | править код]

Признак Дирихле[править | править код]

Описанные выше признаки Лейбница и Абеля вытекают из признака Дирихле и поэтому слабее последнего^[19].

Признак Бертрана[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Хотя большинство признаков имеют дело с сходимостью бесконечных рядов, их нередко можно использовать, чтобы показать сходимость или расходимость бесконечных произведений. Этого можно добиться, используя следующую теорему:

Теорема. Пусть — последовательность положительных чисел. Тогда бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд .

Также аналогично, если , то имеет ненулевой предел тогда и только тогда, когда ряд сходится. Это можно доказать, логарифмируя произведение^[20].

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Воробьёв Н. Н. Теория рядов. — 4-е изд. — М.: Наука, 1979. — 408 с. — (Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов).
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с.

Ссылки[править | править код]

• Матвеева Т. А., Светличная В. Б., Короткова Н. Н. Числовые ряды. Дата обращения: 22 сентября 2020.
• Признаки сходимости ряда. Дата обращения: 22 сентября 2020.

Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.

Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.

Базовые тезисы

Для начала представим систему: a1, a2…, an,… , где ak∈R, k=1,2….

Для примера, возьмем такие числа, как: 6,3,-32,34,38,-316,… .

Числовой ряд – это сумма членов ∑akk=1∞=a1+a2+…+an+… .

Чтобы лучше понять определение, рассмотрим данный случай, в котором q = -0.5: 8-4+2-1+12-14+…=∑k=1∞(-16)·-12k .

ak является общим или k–ым членом ряда.

Он выглядит примерно таким образом -16·-12k .

Частичная сумма ряда выглядит примерно таким образом Sn=a1+a2+…+an , в которой n –любое число. Sn является n-ой суммой ряда.

Например, ∑k=1∞(-16)·-12k есть S4=8-4+2-1=5 .

S1,S2,…,Sn,… образуют бесконечную последовательность числового ряда.

Для ряда n –ая сумму находится по формуле Sn=a1·(1-qn)1-q=8·1–12n1–12=163·1–12n . Используем следующую последовательность частичных сумм: 8,4,6,5,…,163·1–12n,… .

Ряд ∑k=1∞ak является сходящимся тогда, когда последовательность обладает конечным пределом S=lim Snn→+∞ . Если предела нет или последовательность бесконечна, то ряд ∑k=1∞ak называется расходящимся.

Суммой сходящегося ряда ∑k=1∞ak является предел последовательности ∑k=1∞ak=lim Snn→+∞=S .

В данном примере lim Snn→+∞=lim 163т→+∞·1-12n=163·lim n→+∞1–12n=163 , ряд ∑k=1∞(-16)·-12k сходится. Сумма равна 163: ∑k=1∞(-16)·-12k=163 .

Сумма подобного вида как ∑k=1∞=1+12+13+…+1n+… – это гармонический числовой ряд.

Сумма ∑k=1∞1ks=1+12s+13s+…+1ns+… , где s –действительное число, является обобщенно гармоническим числовым рядом.

Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.

Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.

1. ∑k=1∞1k – расходящийся.

Действуем методом от обратного. Если он сходится, то предел конечен. Можно записать уравнение как limn→+∞Sn=S и limn→+∞S2n=S . После определенных действий мы получаем равенство limn→+∞(S2n-Sn)=0 .

Напротив,

S2n-Sn=1+12+13+…+1n+1n+1+1n+2+…+12n–1+12+13+…+1n=1n+1+1n+2+…+12n

Справедливы следующие неравенства 1n+1>12n, 1n+1>12n,…, 12n-1>12n . Получаем, что S2n-Sn=1n+1+1n+2+…+12n>12n+12n+…+12n=n2n=12 . Выражение S2n-Sn>12 указывает на то, что limn→+∞(S2n-Sn)=0 не достигается. Ряд расходящийся.

1. b1+b1q+b1q2+…+b1qn+…=∑k=1∞b1qk-1

Необходимо подтвердить, что сумма последовательности чисел сходится при q<1 , и расходится при q≥1 .

Согласно приведенным выше определениям, сумма n членов определяется согласно формуле Sn=b1·(qn-1)q-1 .

Если q<1 верно 

 limn→+∞Sn=limn→+∞b1·qn-1q-1=b1·limn→+∞qnq-1-limn→+∞1q-1==b1·0-1q-1=b1q-1

Мы доказали, что числовой ряд сходится.

При q = 1 b1+b1+b1+…∑k=1∞b1 . Суммы можно отыскать с использованием формулы Sn=b1·n , предел бесконечен limn→+∞Sn=limn→+∞b1·n=∞. В представленном варианте ряд расходится.

Если q = -1, то ряд выглядит как b1-b1+b1-…=∑k=1∞b1(-1)k+1 . Частичные суммы выглядят как Sn=b1 для нечетных n, и Sn=0 для четных n. Рассмотрев данный случай, мы удостоверимся, что предела нет и ряд является расходящимся.

При q>1 справедливо limn→+∞Sn=limn→+∞b1·(qn-1)q-1=b1·limn→+∞qnq-1-limn→+∞1q-1==b1·∞-1q-1=∞

Мы доказали, что числовой ряд расходится.

1. Ряд ∑k=1∞1ks сходится, если s > 1 и расходится, если s≤ 1 .

Для s = 1 получаем ∑k=1∞1k , ряд расходится.

При s < 1 получаем 1ks≥1k для k, натурального числа. Так как ряд является расходящимся ∑k=1∞1k , то предела нет. Следуя этому, последовательность ∑k=1∞1ks неограниченна. Делаем вывод, что выбранный ряд расходится при s < 1.

Необходимо предоставить доказательства, что ряд ∑k=1∞1ks сходится при s > 1.

Представим S2n-1-Sn-1 :

S2n-1-Sn-1=1+12s+13s+…+1(n-1)s+1ns+1(n+1)s+…+1(2n-1)s–1+12s+13s+…+1(n-1)s=1ns+1(n+1)s+…+1(2n-1)s

Допустим, что 1(n+1)s<1ns, 1(n+2)s<1ns, …, 1(2n-1)s<1ns , тогда S2n-1-Sn-1=1ns+1(n+1)s+…+1(2n-1)s<<1ns+1ns+…+1ns=nns=1ns-1

Представим уравнение для чисел, которые являются натуральными и четными n=2:   S2n-1-Sn-1=S3-S1=12s+13s<12s-1n=4:   S2n-1-Sn-1=S7-S3=14s+15s+16s+17s<14s-1=12s-12n=8:  S2n-1-Sn-1=S15-S7=18s+19s+…+115s<18s-1=12s-13…

Получаем:

∑k=1∞1ks=1+12s+13s+14s+…+17s+18s+…+115s+…==1+S3-S1+S7-S3+S15+S7+…<<1+12s-1+12s-12+12s-13+…

Выражение 1+12s-1+12s-12+12s-13+… – это сумма геометрической прогрессии q=12s-1 . Согласно исходным данным при s>1, то0<q<1 . Получаем, ∑k=1∞<1+12s-1+12s-12+12s-13+…=11-q=11-12s-1 . Последовательность ряда при s > 1 увеличивается и ограничивается сверху 11-12s-1 . Представим, что есть предел и ряд является сходящимся ∑k=1∞1ks .

Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.

Приведем примеры для каждого случая соответственно:

 6+3+32+34+38+316+…6-3+32-34+38-316+…6+3-32+34+38-316+…

Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.

Знакочередующийся ряд ∑k=1∞bk абсолютно сходится в том случае, когда ∑k=1∞bk также считается сходящимся.

Подробно разберем несколько характерных вариантов

Если ряды 6-3+32-34+38-316+… и 6+3-32+34+38-316+… определяются как сходящиеся, то верно считать, что 6+3+32+34+38+316+…

Знакопеременный ряд ∑k=1∞bk считается условно сходящимся в том случае, если ∑k=1∞bk – расходящийся, а ряд ∑k=1∞bk считается сходящимся.

Подробно разберем вариант ∑k=1∞(-1)k+1k=1-12+13-14+… . Ряд ∑k=1∞(-1)k+1k=∑k=1∞1k , который состоит из абсолютных величин, определяется как расходящийся. Этот вариант считается сходящимся, так как это легко определить. Из данного примера мы узнаем, что ряд ∑k=1∞(-1)k+1k=1-12+13-14+… будет считаться условно сходящимся.

Особенности сходящихся рядов

Проанализируем свойства для определенных случаев

1. Если ∑k=1∞ak будет сходится, то и ряд ∑k=m+1∞ak также признается сходящимся. Можно отметить, что ряд без m членов также считается сходящимся. В случае, если мы добавляем к ∑k=m+1∞ak несколько чисел, то получившийся результат также будет сходящимся.
2. Если ∑k=1∞ak сходится и сумма = S, то сходится и ряд ∑k=1∞A·ak , ∑k=1∞A·ak=A·S , где A –постоянная.
3. Если ∑k=1∞ak и ∑k=1∞bk являются сходящимися , суммы A и B тоже, то и ряды ∑k=1∞ak+bk и ∑k=1∞ak-bk также сходятся . Суммы будут равняться A + B и A – B соответственно.

Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся

Если ряд ∑k=1∞ak является сходящимся, то предел его k-ого члена =0: limk→+∞ak=0 .

Если мы проверим любой вариант, то нужно не забывать о непременном условии. Если оно не выполняется, то ряд расходится. Если limk→+∞ak≠0 , то ряд расходящийся.

Следует уточнить, что условие важно, но не достаточно. Если равенство limk→+∞ak=0 выполняется , то это не гарантирует, что ∑k=1∞ak является сходящимся.

Приведем пример. Для гармонического ряда ∑k=1∞1k условие выполняется limk→+∞1k=0 , но ряд все равно расходится.

Как определить сходимость знакоположительного ряда.

Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.

Для сходимости знакоположительного ∑k=1∞ak, ak>0 ∀k=1,2,3,… нужно определять ограниченную последовательность сумм.

Как сравнивать ряды

Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.

Первый признак

∑k=1∞ak и∑k=1∞bk – знакоположительные ряды. Неравенство ak≤bk справедливо для k = 1, 2, 3, … Из этого следует, что из ряда ∑k=1∞bk мы можем получить∑k=1∞ak . Так как ∑k=1∞ak расходится, то ряд∑k=1∞bk можно определить как расходящийся.

Данное правило постоянно используется для решения уравнений и является серьезным аргументом, которое поможет определить сходимость. Сложности могут состоять в том, что подобрать подходящий пример для сравнения можно найти далеко не в каждом случае. Довольно часто ряд выбирается по принципу, согласно которому показатель k-ого члена будет равняться результату вычитания показателей степеней числителя и знаменателя k-ого члена ряда. Допустим, что ak=k2+34k2+5 , разность будет равна 2 – 3 = -1. В данном случае можно определить, что для сравнения необходим ряд с k-ым членом bk=k-1=1k , который является гармоническим.

Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.

Второй признак

Допустим, что ∑k=1∞ak и ∑k=1∞bk – знакоположительные числовые ряды.

Если limk→+∞akbk≠∞ , то ряд ∑k=1∞bk сходится, и ∑k=1∞ak сходится также.

Если limk→+∞akbk≠0 , то так как ряд ∑k=1∞bk расходится, то ∑k=1∞ak также расходится.

Если limk→+∞akbk≠∞ и limk→+∞akbk≠0 , то сходимость или расходимость ряда означает сходимость или расходимость другого.

Рассмотрим ∑k=1∞1k3+3k-1 с помощью второго признака. Для сравнения ∑k=1∞bk возьмем сходящийся ряд∑k=1∞1k3 . Определим предел: limk→+∞akbk=limk→+∞1k3+3k-11k3=limk→+∞k3k3+3k-1=1

Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд∑k=1∞1k3 означается, что первоначальный вариант также сходится.

Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.

Третий признак

Рассмотрим третий признак сравнения.

Допустим, что ∑k=1∞ak и _∑k=1∞bk – знакоположительные числовые ряды. Если условие выполняется для некого номера ak+1ak≤bk+1bk , то сходимость данного ряда∑k=1∞bk означает, что ряд ∑k=1∞ak также является сходящимся. Расходящийся ряд ∑k=1∞ak влечет за собой расходимость ∑k=1∞bk .

Признак Даламбера

Представим, что ∑k=1∞ak – знакоположительный числовой ряд. Если limk→+∞ak+1ak<1, то ряд является сходящимся, если limk→+∞ak+1ak>1 , то расходящимся.

Замечание 1

Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.

Если limk→+∞ak+1ak=-∞ , то ряд является сходящимся, если limk→∞ak+1ak=+∞ , то расходящимся.

Если limk→+∞ak+1ak=1 , то признак Даламбера не поможет и потребуется провести еще несколько исследований.

Радикальный признак Коши

Допустим, что ∑k=1∞ak – это знакоположительный ряд. Еслиlimk→+∞akk<1 , то ряд является сходящимся, если limk→+∞akk>1 , то расходящимся.

Замечание 2

Данный признак будет считаться справедливым только в том случае, если предел бесконечен. Другими словами, если limk→+∞akk=-∞, то ряд сходится, если limk→+∞akk=+∞ , то ряд расходится.

Еслиlimk→+∞akk=1 , то данный признак не дает никакой информации – требуется проведение дополнительного анализа.

Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.

Интегральный признак Коши

Допустим, что ∑k=1∞ak является знакоположительным рядом. Необходимо обозначить функцию непрерывного аргумента y = f(x), которая совпадаетan= f(n) . Если y = f(x) больше нуля, не прерывается и убывает на [a; +∞) , где a≥1

, то в случае, если несобственный интеграл ∫a+∞f(x)dx является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.

Признак Раабе

Допустим, что ∑k=1∞ak – знакоположительный числовой ряд.

Если limk→+∞k·akak+1<1 , то ряд расходится, еслиlimk→+∞k·akak+1-1>1 , то сходится.

Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.

Исследование на абсолютную сходимость

Для исследования берем ∑k=1∞bk . Используем знакоположительный ∑k=1∞bk . Мы можем использовать любой из подходящих признаков, которые мы описывали выше. Если ряд ∑k=1∞bk сходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся.

Расходимость знакопеременных рядов

Если ряд ∑k=1∞bk – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд ∑k=1∞bk либо расходящийся, либо условно сходящийся.

Лишь признак Даламбера и радикальный признак Коши помогут сделать выводы о ∑k=1∞bk по расходимости из модулей ∑k=1∞bk . Ряд ∑k=1∞bk также расходится, если не выполняется необходимое условие сходимости, то есть, если limk→∞+bk≠0 .

Признаки для условной сходимости

Признак Лейбница

Если величины членов знакочередующегося ряда убывают b1>b2>b3>…>… и предел модуля =0 при k→+∞ , то ряд ∑k=1∞bk сходится.

Признак Абеля-Дирихле

∑k=1+∞uk·vk сходится в том случае, если {uk} не возрастает, а последовательность ∑k=1+∞vk ограничена.

Сходимость ряда и признаки сходимости числовых рядов

• Определение сходимости ряда. Сумма ряда
• Признаки сходимости и расходимости числовых рядов
• Необходимый признак сходимости и критерий Коши
• Признак сравнения
• Предельный признак сравнения
• Признак Даламбера
• Признак Коши
• Интегральный признак Коши

Определение сходимости ряда. Сумма ряда

---

Числовой ряд

называется сходящимся, если его частичная сумма

имеет предел при

. Величина

называется при этом суммой ряда, а число

остатком ряда.

Если предел

не существует, то ряд называется расходящимся.

---

Пример 1

Исследовать на сходимость
ряд, рассматривая последовательность его частичных сумм. В случае сходимости
найти сумму ряда.

Решение

Преобразуем выражение под
знаком суммы:

Данный ряд – сумма
геометрических прогрессий со знаменателями

 и

ряд сходится

Признаки сходимости и расходимости числовых рядов

---

Необходимый признак сходимости и критерий Коши

Если ряд сходится, то

Обратное утверждение неверно

Критерий Коши

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для всякого
положительного числа

 можно подобрать такое

,
чтобы при

 и любом положительном

 выполнялось неравенство

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или
отбросить конечное число его членов.

---

Пример 2

Исследовать на сходимость
ряд:

Решение

Воспользуемся
необходимым признаком сходимости:

Необходимый
признак сходимости не выполняется – ряд расходится.

Признак сравнения

Если

,
начиная с некоторого

,
и ряд

сходится, то ряд

также сходится. Если ряд (**) расходится,
то расходится и ряд (*).

В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбирать
геометрическую прогрессию:

которая сходится при

 и расходится при

,
и гармонический ряд

являющийся рядом расходящимся.

---

Пример 3

Решение

Этот ряд сходится, так как

Причем геометрическая прогрессия

знаменатель которой

,
сходится

Предельный признак сравнения

Если существует конечный и отличный от нуля предел

(в частности, если

,
то ряды

сходятся или расходятся одновременно.

---

Пример 4

Ряд

Решение

Сравним заданный ряд с расходящимся гармоническим рядом

Таким образом ряды одновременно
расходятся, так как найденный предел конечный и отличный от нуля.

Признак Даламбера

Пусть

 (начиная с некоторого

)
и существует предел

Тогда ряд

сходится, если

,
и расходится, если

.
Если

,
то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

---

Пример 5

Решение

Воспользуемся признаком
Даламбера

Ряд
сходится

Признак Коши

Пусть

 (начиная с некоторого

)
и существует предел

Тогда ряд

сходится, если

,
и расходится, если

.
Если

,
то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

---

Пример 6

Решение

Воспользуемся признаком
Коши:

Ряд расходится

Интегральный признак Коши

Если

,
где функция

 положительна, монотонно убывает и непрерывна
при

,
то ряд

и интеграл

сходится или расходится одновременно.

С помощью интегрального признака доказывается, что ряд Дирихле

сходится, если

,
и расходится, если

.
Сходимость многих рядов можно исследовать при помощи сравнения с
соответствующим рядом Дирихле.

---

Пример 7

Исследовать на сходимость
числовой ряд:

Решение

Используем интегральный признак Коши.

Соответствующий интеграл:

расходится, следовательно, расходится исходный ряд