Как найти сходимость ряда на концах интервала

Лекция
4 1

4.1.
Функциональные ряды: основные понятия,
область сходимости 1

4.2.
Степенные ряды: основные понятия,
теорема Абеля 2

4.3.
Свойства степенных рядов 5

4.4.
Формула Тейлора 5

4.1. Функциональные ряды: основные понятия, область сходимости

Определение
1.
Ряд, члены которого являются функциями
одной
или нескольких независимых переменных,
определёнными
на некотором множестве,
будем называть функциональным
рядом.

Рассмотрим
функциональный ряд,
члены которого являются функциями одной
независимой переменной х.
Сумма первых n
членов ряда

является частичной суммой данного
функционального ряда. Общий член

есть функция от х,
определенная в некоторой области. Если
положить
,
получим числовой ряд
,
и если он сходится, т.е. существует предел
частичных сумм этого ряда,
где

− сумма числового ряда, тогда говорят,
что

− точка сходимости функционального
ряда
,
а если числовой ряд

расходится, то

называется точкой расходимости
функционального ряда.

Определение
2.
Областью
сходимости
функционального ряда

называется множество всех таких значений
х,
при которых функциональный ряд сходится.
Область сходимости, состоящая из всех
точек сходимости, обозначается
.
Отметим, что
.

Будем
говорить, что функциональный ряд сходится
в области
,
если для любого

он сходится как числовой, при этом его
сумма будет некоторой функцией

(это так называемая предельная
функция
последовательности
:
).

Как
находить область сходимости функционального
ряда
?
Можно использовать признак, аналогичный
признаку Даламбера. Для ряда

составляем

и рассматриваем предел при фиксированном
х:
.
Тогда

является решением неравенства

и решением уравнения

(берем только те решения уравнения, в
которых соответствующие числовые ряды
сходятся).

Пример
1.
Найти область сходимости ряда
.

Решение.
Обозначим
,
.
Составим и вычислим предел
,
тогда область сходимости определяется
неравенством

и уравнением
.
Исследуем дополнительно сходимость
исходного ряда в точках, являющимися
корнями уравнения: а) если
,
,
то получается расходящийся ряд
;
б) если
,
,
то ряд

сходится условно (по признаку Лейбница,
пример 1, лекция 3).
Таким образом,
область сходимости

ряда

имеет вид:
.

4.2. Степенные ряды: основные понятия, теорема Абеля

Рассмотрим
частный случай функционального ряда,
так называемый степенной
ряд:
,
где
.

Определение
3.
Степенным
рядом
называется функциональный ряд вида
,
где

−
постоянные числа, называемые
коэффициентами
ряда.

Степенной
ряд есть «бесконечный многочлен»,
расположенный по возрастающим степеням
.
(Любой числовой ряд

является частным случаем степенного
ряда при
.)

Рассмотрим
частный случай степенного ряда при
:
.
Выясним, какой вид имеет область
сходимости данного ряда
.

Теорема
1 (теорема Абеля).
1) Если степенной ряд
(*)
сходится в точке
,
то он абсолютно сходится при всяком х,
для которого справедливо неравенство
.
2)
Если же степенной ряд расходится при
,
то он расходится при всяком х,
для
которого
.

Доказательство.
1) По условию степенной ряд сходится в
точке
,
т е. сходится числовой ряд
(**),
а значит, по необходимому признаку
сходимости его общий член стремится к
0, т.е.
.
Следовательно, существует такое число
,
что все члены ряда ограничены этим
числом:
.

Рассмотрим
теперь любое х,
для которого
,
и составим ряд из абсолютных величин:
.
Запишем этот ряд в другом виде: т.к.
,
то
(***).

Из
неравенства

получаем
,
т.е. ряд
(****)
состоит из членов, которые больше
соответствующих членов ряда (***). Ряд

представляет собой сходящийся ряд
геометрической прогрессии с знаменателем
,
причем
,
т.к.
.
Следовательно, ряд (***) сходится при
.
Таким образом, степенной ряд

абсолютно сходится.

2)
Пусть теперь ряд

расходится при
,
иными словами, расходится числовой ряд
.
Докажем, что для любого х
()
ряд расходится. Доказательство ведется
от противного. Пусть при некотором
фиксированном

()
ряд сходится, тогда он сходится при всех

(см. первую часть данной теоремы), в
частности, при
,
что противоречит условию 2 теоремы.
Теорема доказана.

Следствие.
Теорема Абеля позволяет судить о
расположении точки сходимости степенного
ряда.
Если точка

является точкой сходимости степенного
ряда, то интервал

заполнен точками сходимости; если точкой
расходимости является точка
,
то бесконечные интервалы

заполнены точками расходимости (см.
рис. 1).

Рис.
1.

Можно
показать, что существует такое число
,
что при всех

степенной ряд

абсолютно сходится, а при

− расходится. Будем считать, что если
ряд сходится только в одной точке 0, то
,
а если ряд сходится при всех
,
то
.

Определение
4.
Интервалом
сходимости
степенного ряда

называется такой интервал
,
что при всех

этот ряд сходится и притом абсолютно,
а для всех х,
лежащих вне этого интервала, ряд
расходится. Число R
называется радиусом
сходимости
степенного ряда.

Замечание.
На концах интервала

вопрос о сходимости или расходимости
степенного ряда решается отдельно для
каждого конкретного ряда.

Покажем
один из способов определения интервала
и радиуса сходимости степенного ряда.

Рассмотрим
степенной ряд

и обозначим
.
Составим ряд из абсолютных величин его
членов:

и применим к нему признак
Даламбера.

Пусть
существует
,
где
.
По признаку Даламбера ряд сходится,
если
,
и расходится, если
.
Отсюда ряд сходится при
,
тогда интервал сходимости:
.
При

ряд расходится, т.к.
.
Используя обозначение
,
получим формулу для определения радиуса
сходимости степенного ряда:
,
где

− коэффициенты степенного ряда. Если
окажется, что предел
,
то полагаем
.

Для
определения интервала и радиуса
сходимости степенного ряда также можно
использовать радикальный признак Коши,
радиус сходимости ряда определяется
из соотношения
.

Определение
5.
Обобщенным
степенным рядом называется ряд вида
.
Его также называют рядом по степеням
.
Для такого ряда интервал сходимости
имеет вид:
,
где

− радиус сходимости.

Покажем,
как находится радиус сходимости для
обобщенного степенного ряда.

,
т.е.
,
где
.

Если
,
то
,
;
если
,
то

и область сходимости
.

Пример
2.
Найти область сходимости ряда
.

Решение.
Обозначим
.
Составим предел
.
Решаем неравенство:
,

,
следовательно, интервал сходимости
имеет вид:
,
причем R
= 5. Дополнительно исследуем концы
интервала сходимости: а)
,
,
получаем ряд
,
который
расходится;
б)
,

,
получаем ряд
,
который сходится условно. Таким образом,
область сходимости:
,
.

Пример
3.
Ряд

расходится для всех
,
т.к.

при
,
радиус сходимости
.

Пример
4.
Ряд

сходится при всех
,
радиус сходимости
.

Содержание:

Степенные ряды:

До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Теперь перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности степенные функции

Такие ряды называются степенными, а числа

Область сходимости степенного ряда

Совокупность тех значений , при которых степенной ряд (14.1) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Пример:

Найти область сходимости степенного ряда

Решение:

Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем , который сходится при Отсюда , т.е. областью сходимости является интервал

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что . 2) Если степенной ряд расходится при то он расходится при всех значениях х таких, что .

1) По условию ряд (14.1) сходится при следовательно, выполняется необходимый признак сходимости Отсюда следует, что последовательность ограничена, т.е. существует такое число что для всех п выполняется неравенство

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (14.1) который представим в виде

Члены ряда (14.3) согласно неравенству (14.2) меньше соответствующих членов ряда

представляющего геометрический ряд, который сходится, когда его знаменатель основании признака сравнения ряд (14.1) сходится.

2) По условию ряд (14.1) расходится при . Покажем, что он расходится для всех , удовлетворяющих условию Предположим противное, т.е. при ряд (14.1) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходиться и в точке (ибо ), что противоречит условию. Таким образом, для всех х таких, что ряд (14.1) расходится. ■

Из теоремы Абеля (см. рис. 14.1) следует, что существует такое число что при ряд сходится, а при — расходится.

Число получило название радиуса сходимости, а интервал — интервала сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при ряд может как сходиться, так и расходиться (см. рис. 14.1).

Найдем выражение радиуса сходимости степенного ряда (14.1) через его коэффициенты. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов

в котором все коэффициенты , по крайней мере начиная с некоторого номера , отличны от нуля. По признаку Даламбера ряд (14.4) сходится, если

будет меньше 1, т.е. Если этот предел существует, то он и является радиусом сходимости ряда (14.1), т.е.

Замечание. Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку , у других охватывает всю ось

Пример:

Найти область сходимости степенного ряда

Решение:

Найдем радиус сходимости ряда по формуле (14.5) т.е. интервал сходимости ряда

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. На левом конце при данный степенной ряд принимает вид этот ряд сходится по признаку Лейбница. На правом конце при получаем ряд представляющий обобщенный гармонический ряд (13.12) при у которого все члены с четными номерами равны нулю. Так как то этот ряд сходится.

Следует отметить, что сходимость ряда на левом конце ин-тервала сходимости при могла быть установлена с помощью достаточного признака сходимости знакопеременного ряда (см. § 13.4), так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. ряд сходится.

Итак, область сходимости данного ряда

Замечание. При исследовании сходимости на концах интервала сходимости для получающегося ряда с положительными членами применять признак Даламбера не имеет смысла, так как в этом случае всегда будем получать с нерешенным вопросом о сходимости ряда; в этом случае рекомендуется рассматривать другие признаки сходимости (например, признак сравнения, необходимый признак и т.д.).

Пример:

Найти области сходимости степенных рядов:

Решение:

а) Радиус сходимости ряда по (14.5)

т.е. область сходимости ряда

б) Задачу можно решать аналогично предыдущим. Решение упрощается, если заметить, что , т.е. необходимый признак сходимости не выполняется, и ряд расходится.

Итак, область сходимости ряда состоит из одной точки

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

Найти радиус сходимости по формуле (14.5) в данном случае не представляется возможным, так как коэффициенты ряда и т.д. равны нулю. Поэтому непосредственно применим признак Даламбера. Данный ряд будет абсолютно сходиться, если и расходиться, если Поэтому найдем

Следовательно, ряд сходится при или на интервале

Исследуем сходимость на концах интервала сходимости: при ряд принимает вид а при вид т.е. оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

Итак, область сходимости ряда

Свойства степенных рядов. Пусть функция является суммой степенного ряда, т.е. В подобных курсах математического анализа доказывается, что степенные ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы (многочлены): на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости функция является непрерывной, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке:

Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать:

При этом после интегрирования или дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости

Определение степенного ряда и его сходимости

Понятое функциональной зависимости является одним из важнейших в математике. Всякая функция осуществляет некоторое соответствие между объектами, составляющими область задания этой функции, и объектами, составляющими область её значений. Так можно рассматривать функции, которые ставят в соответствие числам – ряды. Эти функции называются функциональными рядами, т.е. функциональный ряд это выражение

членами которого являются некоторые функции переменной х. Например, ряд

является функциональным рядом.

Придавая в выражении (29.1.1) переменной х некоторые значения мы будем получать числовые ряды

которые могут оказаться, как сходящимися, так и расходящимися.

В простейших случаях для определения сходимости ряда (29.1.1) можно применять к нему известные признаки сходимости числовых рядов, считая х фиксированным.

Определение 29.1.1. Совокупность всех значений переменной х, для которых соответствующие числовые ряды сходятся, называется областью сходимости функционального ряда (29.1.1). Определение 29.1.2. Функциональный ряд вида

где – действительные числа, независящие от переменной х, называется степенным относительно переменной х рядом. Числа называются коэффициентами этого ряда.

Если в ряде (29.1.2) сделать замену переменного, положив

, то получим ряд . В дальнейшем будем использовать букву x:

Очевидно, что исследование сходимости ряда (29.1.2) эквивалентно исследованию сходимости ряда (29.1.3). Примером степенного ряда может служить ряд

Сумма п первых членов ряда называется n -ой частичноной суммой ряда и обозначается , т.е.

Для степенного ряда можно составить последовательность частичных сумм Очевидно, что n-ые частичные суммы степенного ряда являются функциями.

Остатком степенного ряда после n -го его члена (или n -ым остатком) называется ряд, полученный из заданного исключением n его первых членов:

Определение 29.1.3. Степенной ряд называется сходящимся на некотором множестве, если он сходится в любой точке этого множества.

Степенной ряд называется абсолютно сходящимся на некотором множестве, если в каждой точке этого множества сходится ряд из модулей его членов:

Степенной ряд (29.1.3) при тех или иных конкретных значениях переменной x превращается в числовой ряд; так если , то получим числовой ряд:

Соответствующий числовой ряд а0 +о,л:0 +… сходится абсолютно, если сходится ряд составленный из модулей его членов.

Так как каждой точке сходимости ряда (29.1.3) ставится в соответствие определенное значение суммы (29.1.4), то сумма сходящегося на некотором множестве степенного ряда является функцией переменной x. Тогда Если обозначить сумму остатка через , то в области сходимости степенного ряда справедливо равенство:

Для сходящегося степенного ряда предел остатка равен нулю:

Степенные ряды можно складывать, вычитать, умножать. Пусть заданы два степенных ряда:

Сумма, разность и произведение заданных степенных рядов определяется формулами:

где

Например, сумма, разность и произведение степенных рядов:

имеет вид:

где

Радиус сходимости, интервал сходимости

Области сходимости степенных рядов устроены довольно просто. Они описываются следующей теоремой.

Теорема 29.2.1 (теорема Абеля). Если степенной ряд

сходится при некотором , то он сходится абсолютно при всех значениях х, для которых

Если же степенной ряд (29.2.1) расходится при , то он расходится при всех значениях х, для которых.

Доказательство. Предположим сначала, что степенной ряд (29.2.1) сходится в точке . Это значит, что сходится числовой ряд

Тогда, в силу необходимого признака сходимости, и поэтому члены этого ряда ограничены, т.е. найдется такое К, что при любом номере . В силу этого для n -го члена ряда (29.2.1) получаем следующею оценку

Если , то ряд , являясь геометрической прогрессией со знаменателем сходится. Поэтому, в силу I признака сравнения и так как , сходится и ряд А это означает абсолютную сходимость ряда (29.2.1), при

Предположим теперь, что степенной ряд (29.2.1) расходится, при , т.е. расходится числовой ряд:

Возьмём тогда некоторое значение х, для которого и предположим, что ряд в этой точке

сходится. Но тогда из сходимости этого ряда, в силу первой части доказательства теоремы, вытекает сходимость ряда (29.2.2), что противоречит предположению, о его расходимости. Полученное противоречие означает, что для всех степенной ряд (29.2.1) расходится.

Если ряд (29.2.1) имеет вещественные коэффициенты и переменная х принимает только вещественные значения, то справедливо следующее определение, вытекающее из теоремы Абеля.

Определение 29.2.1. Величина (R-число или символ)

такая, что при всех х, у которых сходится, а при всех X у которых расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда (29.2.1).

Множество точек х удовлетворяющих соотношению , называется интервалом сходимости.

Итак, из определения 29.2.1 и теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда – является интервал сходимости. И если значение переменной х, принадлежит интервалу сходимости, то можно говорить о сумме степенного ряда (29.2.1) в точке. Таким образом, значение суммы степенного ряда зависит от значения переменной х, т.е. сумма степенного ряда сама является функцией переменной х. Эта функция ничем не отличается от обычной функции и, следовательно, можно говорить о дифференцировании, непрерывности, интегрируемости и других ее свойствах.

Свойства степенных рядов

Для степенных рядов справедливы следующие свойства:

1) Степенной ряд сходится равномерно внутри интервала сходимости.

2) Внутри интервала сходимости ряда сумма его является непрерывной функцией.

3) Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последовательность интегралов от частичных сумм ряда сходится к интегралу от суммы ряда.

4) Если степенной ряд

имеет радиус сходимости R , то и ряд

получаемый в результате почленного дифференцирования ряда (29.2.3) также имеет радиус сходимости R. Производная суммы ряда (29.2.3) равна сумме ряда (29.2.4), т.е.

Вычисление интервала сходимости

Как уже было сказано в и. 2 областью сходимости степенного ряда является интервал сходимости. Более того, из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат (рис 29.1).

Действительно, если есть точка сходимости, то весь интервал заполнен точками абсолютной сходимости, что следует из теоремы Абеля. Если же – точка расходимости, то вся бесконечная полупрямая вправо от точки и вся полупрямая влево от точки – состоят из точек расходимости, в противном случае мы бы получили, что степенной ряд в точке или – сходится по теореме Абеля.

Заметим, что на концах интервала вопрос о сходимости или расходимости решается индивидуально в каждом конкретном случае. У некоторых рядов интервал сходимости может вырождаться в точку, у других охватывать всю ось Ох.

Укажем теперь способ вычисления радиуса сходимости степенного ряда.

Пусть задан степенной ряд Составим ряд из модулей членов данного ряда и применим признак Д’Аламбера, т.е.

вычислим предел

Если этот предел меньше единицы, то, как следует из признака Д’Аламбера, ряд, составленный из модулей членов ряда (29.2.1) сходится, т.е. ряд сходится если

Если же , то ряд (29.2.1) расходится.

А это означает, что если , то степенной ряд (29.2.1) сходится абсолютно, а при . степенной ряд расходится.

Учитывая определение радиуса сходимости степенного ряда, получим, что радиус сходимости можно вычислить по формуле:

Рассуждая аналогичным образом можно получить еще одну формулу для определения радиуса сходимости:

Если степенной ряд содержит только четные или нечетные степени х, то применяем признак Д’Аламбсра или Коши к ряду, составленному из модулей членов данного ряда.

Пример №1

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

Решение:

Выпишем вначале значения

Для определения радиуса сходимости воспользуемся формулой (29.3.1):

Итак, степенной ряд сходится для |х| 1.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Пусть х =—1. Тогда получим знакочередующийся ряд который согласно признаку Лейбница сходится. Пусть х = 1. Получим числовой ряд который расходится, так как является гармоническим рядом.

Суммируя вышесказанное, получим интервал сходимости

Пример №2

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение:

Выпишем вначале значения

Для определения радиуса сходимости воспользуемся формулой (29.3.2):

Так как , то исследуемый ряд сходится для всех х.

Пример №3

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

Решение:

Выпишем вначале значения

Для определения радиуса сходимости воспользуемся формулой (29.3.1):

Так как радиус сходимости равен нулю, то ряд сходится только в одной точке x= 0.

Пример №4

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение:

Данный ряд содержит только четные степени (а- – 5), коэффициенты при нечетных степенях равны нулю. Поэтому воспользоваться формулами (29.3.1) и (29.3.2) не представляется возможным.

Считая х фиксированным, применим признак Д’Аламбера к ряду, составленному из модулей членов данного ряда. Выпишем значения

Тогда

так как

Ряд сходится, если или

Это значит, что ряд сходится в интервале

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. Пусть . Подставив это значение х в исследуемый ряд, получим числовой ряд:

который сходится, как ряд Дирихле, для которого а = 4. При получим тот же сходящийся числовой ряд. Следовательно, данный ряд сходится на отрезке

Пример №5

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение:

Выпишем значение и вычислим радиус сходимости данного ряда по формуле (29.3.2):

Так как , то данный ряд сходится в интервале

Исследуем его сходимость на концах интервала.

Пусть . Подставив это значение х в данный степенной ряд, получим числовой знакочередующийся ряд:

Предел общего члена полученного ряда не стремится к нулю:

Следовательно, данный ряд расходится. И при получим расходящийся числовой ряд: Следовательно, интервал сходимости данного ряда.

Ряды Тейлора и Маклорена

Как уже отмечалось, сумма сходящегося степенного ряда является некоторой функцией, определенной внутри интервала сходимости. В связи с этим мы рассмотрим задачу разложения некоторой функции в ряд, т.е. будем по заданной функции искать сходящийся ряд того или иного типа, сумма которого в интервале сходимости равнялась бы заданной функции.

Известно, что если функция f имеет на некотором отрезке производные всех порядков, то можно написать формулу Тейлора для любого значения n:

где заключено между и х. Формула (29.4.1) называется формулой Тейлора с оста точным членом в форме Лагранжа.

В формуле Тейлора обозначим:

пункта 27.2 (теорема 27.2.1) следует, что если

то степенной ряд

сходится и его суммой будет функция f(х), так как Следовательно,

Справедливо и обратное утверждение, что если степенной ряд (29.4.3) сходится, то выполняется (29.4.2).

Определение 29.4.1. Представление функции f в виде ряда

называется разложением этой функции в ряд Тейлора. Если же , то разложение в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена:

Следует заметить, что остаточный член в формуле Тейлора для функции J не обязательно является остатком ряда Тейлора для этой функции. Поэтому из сходимости ряда Тейлора для функции f , еще не следует сходимость именно к этой функции. При разложении функции в ряд Тейлора необходимо проверять условие (29.4.2). Однако сели разложение функции в какой-либо степенной ряд вообще возможно, то оно является разложением в ряд Тейлора, т.е. справедлива следующая теорема.

Теорема 29.4.1. Пусть

и стоящий справа ряд сходится в интервале к функции f . Тогда этот ряд является рядом Тейлора, т.е.

Доказательство. Так как степенной ряд в интервале сходимости можно почленно дифференцировать, то n-ую производную функции (29.4.4) можно представить в виде:

Полагая в последнем тождестве , получим (все другие слагаемые равны нулю). Откуда и следует (29.4.5).

Из доказанной теоремы вытекает, что в одной и той же области, для одной и той же функции существует единственное разложение.

На практике, для разложения функции в ряд Тейлора, удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 29.4.2. Если при любых х, удовлетворяющих неравенствупроизводные функции f(x) для любых п ограничены одним и тем же числом С > 0 т.е.

то ряд Тейлора, для этой функции, сходится в интервале и его сумма равна f(x).

Доказательство. Из условия теоремы следует, что функцию f можно представить формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, т.е.

Оценим остаток:

Переходя к пределу при, получим неравенство:

Воспользовавшись асимптотической формулой Стерлинга, получим:

так как стспснно-показательная функция и взрастает быстрее показательных функций

Тогда из неравенства (29.4.6) получим:. Слсдова-

сходится к функции f(х). Теорема доказана.

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

Из пункта 29.4 следует, что для того чтобы некоторая функция разлагалась в ряд Тейлора нужно, чтобы она имела производные любого порядка и чтобы либо (где С> 0 – произвольная постоянная), для любых n и . Рассмотрим разложение некоторых функций в ряд Маклорена.

1. Разложение функции.

Находим производные данной функции и их значения при х=0. Так как

и формула Маклорена для функции имеет вид:

где заключено между 0 и х.

Вычислим предел остаточного члена, для любого х:

Выражение как общий член сходящегося ряда . Множитель в выражении остаточного члена не превосходит при х > 0 , и единицы при х 0. Это означает, что остаточный член стремится к нулю при всех значениях x

Следовательно, ряд сходится при любом х и суммой его является функция . Итак, Заменяя х на -x, получим ряд —, интервалом сходимости для которого является вся числовая ось.

2. Разложение функций cos х и sin х. Для функции cos x имеем:

Следовательно,

и формула

Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа для функции cosx имеет вид:

Ясно, что для любого X

Поэтому, функция cos л- разлагается в ряд Маклорена вида:

Аналогично получается разложение в ряд Маклорена функции sinx:

3. Биномиальный ряд.

Найдем разложение в степенной ряд функции

где m -произвольное действительное число.

Дифференцируя равенство (29.5.1) n раз, получим:

Значения функции и се производных при х = 0 равны:

Следовательно, ряд Маклорена имеет вид:

Если m- целое, то выражение (29.5.2) содержит конечное число членов. Если же m- нецелое, то выражение (29.5.2)- бесконечный ряд, называемый биномиальным.

Определим вначале радиус сходимости этого ряда, для чего применим признак Д’Аламбсра к ряду, составленному из модулей его членов:

Следовательно, при |х| 1, биномиальный ряд абсолютно сходится, т.е. существует сумма S(x) этого ряда.

Покажем теперь, что ряд (29.5.2) сходится к функции ‘. Для этого продифференцируем ряд (29.5.2) , получим:

Умножим обе части (29.5.3) на и приведем подобные члены. Получим степенной ряд, в котором коэффициент при равен сумме двух слагаемых:

Эта сумма, как показано, равна произведению коэффициента при , ряда (29.5.2), на m . Следовательно, в интервале сходимости биномиального ряда, имеем равенство:

С другой стороны, вычисляя производную отношения

получим:-в силу (29.5.4).

Решая дифференциальное уравнение , последовательно получим:

Пусть x = 0, тогда S(0) = С. Из (29.5.2) следует, что S(0) = 1, тогда С = 1.

Следовательно,

Итак, разложение

имеет место при всех х, удовлетворяющих условию . Придавая m конкретные значения можно получать разложения различных функций в степенные ряды. В общем случае разложение (29.5.5) даст обобщение бинома Ньютона для какого угодно показателя m.

Применение рядов в приближенных вычислениях

Разложения функций в ряд Маклорена позволяют во многих случаях вычислить с большой степенью точности значения этих функций, заменяя ее конечным числом членов разложения. Чем меньше х, тем меньше членов можно брать в этом разложении для вычисления f(х) с желаемой точностью. Если х весьма мало, то достаточно ограничится первыми двумя членами, отбросив все остальные. Например, при х близких к нулю можно пользоваться следующими приближенными формулами:

Например, вычислим , до пяти знаков.

Имеем, Остаточный член

Так как близко к единице, то остальные члены в разложении не повлияют на первые пять знаков после запятой и их можно отбросить. Вычисление приводит к результату:

Иногда при вычислении значений функций удобно пользоваться почленным дифференцированием или интегрированием рядов.

Например, известно, что

С другой стороны,

Следовательно,

В частности, при x = 0,1, получим:

Этот ряд знакочередующийся. Поэтому, его остаток не превосходит первого «отброшенного» члена. Удерживая в разложении первых два слагаемых, получим значение arctg 0,1 = 0,09967 с пятью верными знаками.

При помощи биномиальною ряда можно быстро и довольно точно вычислять значение корней из чисел.

Пример №6

Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение:

Представим, этот корень в виде

и воспользуемся разложением бинома:

следующим член , поэтому точность нужная получена.

В общем случае можно записать:

где , причем, так как всегда можно подобрать целое число а так, чтобы m -ая степень а была, по возможности, ближе к А.

Кроме того, биномиальный ряд является основой многих дальнейших разложений функций в ряды. Например, можно найти разложение в ряд Маклорена функции:

При помощи рядов можно вычислять определенные интегралы.

Например, вычислим интегральный синус:

Имеем

тогда

Подставляя вместо x, те или иные конкретные значения переменной, мы можем вычислять интересующие нас значения интегрального синуса.

При помощи разложении в степенные ряды можно приближенно интегрировать разнообразные дифференциальные уравнения.

Например, найдем решение уравнения при начальных условиях

Будем искать решение этого уравнения в виде степенного ряда: при начальных условиях . Тогда получим:

Вычислим первую и вторую производные от этого ряда:

и подставив у, в заданное уравнение:

приравняем коэффициенты при равных степенях .г, предварительно умножив правую часть на х:

Получаем систему уравнений, из которой находим:

Замечаем, что отличными от нуля будут лишь те коэффициенты, у которых индекс и степень делятся на 3. Получим решение заданного дифференциального уравнения в виде:

• Заказать решение задач по высшей математике

Ряд Маклорена

Предположим, что функция , определенная и раз дифференцируемая в окрестности точки может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд

Выразим коэффициенты ряда через . Найдем производные функции , почленно дифференцируя ряд раз:

Полагая в полученных равенствах получим откуда

Подставляя значения коэффициентов получим ряд

называемый рядом Маклорена.

Следует отметить, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции , является расходящимся либо сходящимся не к функции .

Так же как и для числовых рядов, сумму ряда Маклорена можно представить в виде (13.9)

где — -я частичная сумма ряда; — -й остаток ряда.

Тогда на основании свойства 4 сходящихся рядов (см. §13.1) можно сформулировать теорему.

Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции , необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, т.е.

для всех значений из интервала сходимости ряда.

Можно доказать, что если функция разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное.

Замечание. Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора:

при

Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора.

где — остаточный член формулы Тейлора:

), записанный в форме Лагранжа.

Очевидно, что при выполнении условия (14.7) остаток ряда Тейлора равен остаточному члену формулы Тейлора.

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

По формуле (13.6)

Область сходимости ряда .

Очевидно, что производные четного порядка , а нечетного порядка . По формуле (14.6)

Область сходимости ряда

Рассматривая аналогично, получим

Область сходимости ряда

Интервал сходимости ряда (на концах интервала при сходимость ряда зависит от конкретных значений от).

Ряд (14.11) называется биномиальным. Если — целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при -й член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд. обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

Получить разложение для этой функции можно проще, не вычисляя непосредственно коэффициенты ряда (14.6) с помощью производных.

Рассмотрим геометрический ряд

со знаменателем который сходится при т.е. при к функции

Интегрируя почленно равенство (14.12) в интервале где , с учетом того, что получим

Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть

Можно доказать, что ряды, приведенные в формулах (14.8) — (14.13), сходятся к функциям, для которых они составлены.

При разложении более сложных функций используют непосредственно формулу (14.6) либо таблицу простейших разложений (14.8) – (14.13).

Пример №7

Разложить в ряд функции:

Решение:

а) Так как по (14.8)

то, заменяя получим

и, наконец,

Область сходимости ряда

б) В разложении заменим получим

Теперь

Область сходимости ряда

Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, определенных интегралов, которые являются «неберущимися» или слишком сложными для вычислений, интегрируются дифференциальные уравнения.

Пример №8

Вычислить приближенно с точностью до

Решение:

а) Для вычисления запишем ряд (14.8) при принадлежащем области сходимости

Взяв первые шесть членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница (см. § 13.4) для сходящегося знакочередующегося ряда мы допустим погрешность не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т.е.

б) Для вычисления запишем ряд (14.13) при входящем в область сходимости ряда

Если в качестве взять первые четыре члена, мы допустим погрешность

(Мы учли, что сумма сходящегося геометрического ряда в

скобках равна .) Итак, 1 -q 1-0,2

Следует отметить, что для вычисления логарифмов более удобным является ряд (14.14), который сходится быстрее ряда (14.13). Действительно, пусть тогда и согласно (14.14)

т.е. для вычисления с точностью до потребуется всего два члена. С помощью ряда (14.14) можно вычислять логарифмы любых чисел, в то время как с помощью ряда (14.13) -лишь логарифмы чисел, расположенных на промежутке

в) Представим в виде

Так как входит в область сходимости степенного ряда то при учитывая (14.11), получим

(Для обеспечения данной точности расчета необходимо взять 4 члена, так как по следствию из признака Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда погрешность )

г) Для вычисления запишем ряд (14.9) при принадлежащем области сходимости

(Необходимо взять два члена, так как при этом погрешность

д)«Точное» интегрирование здесь невозможно, так как интеграл «неберущийся». Заменив в разложении (14.8), получим

Умножая полученный ряд на

и почленно интегрируя в интервале принадлежащем интервалу сходимости ряда , получим

Оценка погрешности вычисления производится так же, как в примерах а), в) и г). ►

Пример №9

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Радиус сходимости ряда (14.15), заданного по степеням находится по той же формуле (14.5);

т.е. Интервал сходимости ряда (14.15) определяется из условия В данном примере интервал сходимости ряда есть или

Исследуем сходимость ряда (14.15) на концах этого интервала. При ряд принимает вид т.е. представляет сумму двух рядов. Первый, знакочередующийся ряд сходится (условно) (см. § 13.4), а второй ряд исследуем на сходимость с помощью признака Даламбера: т.е. ряд сходится, а следовательно, сходится и ряд (14.15) при

При ряд (14.15) имеет вид Первый из полученных рядов — гармонический — расходится, а второй — сходится на основании признака абсолютной сходимости, так как выше было показано, что ряд из абсолютных величин его членов сходится. Следовательно, ряд (14.15) при расходится. (Установить расходимость этого ряда с положительными членами при любом можно было и с помощью признака сравнения, так как его члены при превосходят члены расходящегося гармонического ряда, умноженные на

Итак, область сходимости степенного ряда (14.15)

Пример №10

Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение:

Первый способ. Применим метод непосредственного разложения по формуле (14.6).

Вначале найдем производные до «-го порядка и вычислим их значения при

При значения функции и ее производных:

и т.д. Теперь по формуле (14.6) запишем ряд

или

Второй способ. Учитывая, что используем готовое разложение (14.10) для функции (в котором вместо берем ), умножаем обе части полученного равенства на а затем прибавляем к ним Получим

и

или

т.е. то же разложение (14.16).

Третий способ. Разложение функции может быть осуществлено с помощью правила перемножения рядов. Если в некоторой окрестности точки имеют место разложения

то произведение функций разлагается в той же окрестности в степенной ряд

В частности, при получаем следующее правило возведения в квадрат степенного ряда:

Для функции имеющей разложение в ряд (14.9), т.е.

находим по формуле (14.17)

т.е. получили то же разложение (14.16).

Область сходимости ряда, как нетрудно убедиться, есть ►

Пример №11

Вычислить с точностью до

Решение:

Выражение данного интеграла в виде числового ряда находится

Вычисление интеграла свелось не к нахождению суммы сходящегося знакочередующегося ряда, при вычислении которой погрешность оценивается с помощью следствия из теоремы Лейбница, а к определению суммы ряда с положительными членами с неизвестной оценкой погрешности.

Поступим следующим образом. Предположим, что для оценки суммы ряда мы взяли членов (вместе с первым при ). Тогда погрешность вычисления суммы ряда будет определяться остатком ряда

ибо выражение в круглых скобках представляет сумму сходящегося геометрического ряда (13.5) при

При

(Легко вычислить, что при любых ) Итак, для обеспечения данной в условии точности вычисления интеграла необходимо взять первые 7 членов:

(схема 48)

Числовым рядом (или просто рядом) называется бесконечная сумма вида

,                                                                                                                                                     (9.1)

где  – действительные или комплексные числа, называемые членами
ряда, u_n –
общим
членом ряда.

Если известен общий член ряда как функция его номера n: u_n=f(n), то ряд
считают заданным.

Сумма первых n членов ряда (9.1) называется n-ой частичной суммой ряда S_n, то есть S_n = u₁ + u₂ +…+ u_n.

Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда
(9.1):

.                                                                                                                                (9.2)

Если существует конечный предел  последовательности
частичных  сумм  (9.2), то этот предел называют суммой
ряда, а сам ряд – сходящимся числовым рядом. При этом
записывают:.

Если  не существует или , то ряд (9.1) называют расходящимся. Говорят, что такой ряд
суммы не имеет.

Ряд  называется остатком
ряда после n-го члена или n-ым остатком ряда.

Сформулируем некоторые свойства числовых рядов. 

1. Если ряд (9.1) сходится и его сумма равна S, то ряд

                                                                                                                                                (9.3)

где
c – произвольное
число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (9.1) расходится и c ≠ 0, то и ряд (9.3) расходится.

2. Если сходится ряд (9.1) и сходится ряд , при этом S₁ и S₂ – их соответствующие суммы, то сходятся также ряды, причём сумма каждого равна
соответственно  S₁± S₂.

Следствие.
Сумма (разность)
сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд 

Примечание. Сумма (разность) двух расходящихся рядов
может быть как сходящимся, так и расходящимся  рядом.

3. Если к ряду (9.1) прибавить или отбросить конечное
число членов, то полученный ряд и ряд (9.1) сходятся или расходятся
одновременно.

Следствие. Если ряд  (9.1) сходится, то
его n-ый остаток r_n
стремится к нулю при  n→∞, то есть  .

Теорема 9.1
(необходимый признак сходимости числового ряда).  Если ряд (9.1)
сходится, то его общий член u_n стремится к нулю при неограниченном возрастании n, то есть  . 

Следствие (достаточное
условие расходимости ряда). Если  или этот предел не
существует, то ряд расходится 

Таким образом, из того, что общий член
ряда стремится к нулю при n→∞, еще не следует, что ряд сходится.

Пример 9.1. Исследовать на сходимость ряд  .

Решение. Вычислим предел общего члена ряда:

, то есть выполняется достаточное условие расходимости ряда.
Следовательно, заданный ряд расходится

Во многих случаях на вопрос о
сходимости или расходимости числового ряда можно ответить с помощью достаточных
признаков.

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда
часто устанавливается путем сравнения его с другим рядом, о котором известно,
сходится он или нет. Подобное сравнение базируется на теоремах 9.2 и 9.3.

Теорема 9.2
(признак сравнения числовых знакоположительных рядов). Пусть даны два знакоположительных ряда

                                                                        (9.4)                      и                                                                        (9.5)

Если для всех n, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство , то из сходимости ряда (9.5) следует сходимость ряда (9.4),
а из расходимости ряда (9.4) следует расходимость  ряда (9.5)

В этом случае ряд (9.4) называется минорантным,
а ряд (9.5) – мажорантным  рядом.

Пример 9.2. Исследовать на сходимость ряд  .

Решение. Общий член заданного ряда. Рассмотрим минорантный ряд с общим членом, который расходится (гармонический ряд (9.6)). Следовательно, заданный по условию ряд
(мажорантный) расходится и подавно

Теорема 9.3.
(признак сравнения в предельной форме)

Пусть даны два знакоположительных ряда (9.4) и (9.5).
Если существует конечный, отличный от нуля, предел  , то ряды (9.4) и (9.5) сходятся или расходятся одновременно

Теорема 9.4
(признак Даламбера). Если в ряде (9.1) с положительными  членами отношение последующего члена ряда к
предыдущему при n→∞ имеет  конечный или бесконечный предел , то при 
l<1 ряд сходится и  расходится
при  l>1

Примечание. Если l=1, то ряд (9.1) может быть как сходящимся, так и
расходящимся  

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий
член ряда содержит факториалы и показательные выражения.

Пример 9.3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Согласно теореме 9.4 вычислим величину . Следовательно, по признаку Даламбера
заданный ряд сходится

Теорема 9.5
(радикальный признак Коши). Если для ряда (9.1) с положительными членами существует
конечный или бесконечный предел , то при при 
l<1 ряд сходится и  расходится
при  l>1

Пример 9.4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Учитывая теорему 9.5 и второй замечательный предел (3.13), вычисляем: 

. Следовательно, по
радикальному признаку Коши заданный ряд сходится

Теорема 9.6
(интегральный признак Коши). Если
члены  знакоположительного числового ряда  могут быть
представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на
промежутке [1;∞) функции f(x) так, что u₁= f(1), u₂= f(2), …, 
u_n= f(n), …, то если  сходится, то сходится
и ряд (9.1); если расходится, то
расходится также и ряд (9.1)           

Пример 9.5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Для исследования ряда на сходимость применим интегральный признак Коши – рассмотрим несобственный интеграл

.

Так как несобственный интеграл от общего члена ряда сходится, то и исходный ряд также сходится (согласно теореме 9.6)

Особое значение в теории числовых рядов (в частности,
при их сравнении) имеет обобщенный гармонический ряд

  ,                                                                                                                                     (9.6)

где
p>0 –
действительное число. Для
исследования ряда (9.6) применим теорему 9.6 (интегральный признак Коши).

Рассмотрим функцию . Она непрерывна и монотонно убывает на промежутке  [1;∞), при этом . При  p ≠ 1 имеем:

.

При  p = 1
имеем гармонический ряд  , который расходится . Итак, ряд (9.6) сходится при p>1, расходится при p≤1.

Примечание. Знакоотрицательный ряд переходит в
знакоположительный  путем умножения его
на (–1), что не влияет на  сходимость
ряда

Помимо знакоположительных числовых рядов существует
важный класс знакопеременных рядов, в которых члены ряда имеют произвольные
знаки.

Числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и
бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.

Теорема 9.7
(общий достаточный признак сходимости). Пусть
дан знакопеременный ряд 

u₁ + u₂ +…+ u_n                                                                                                                                                                              (9.7)

Если сходится ряд 

                                                                                                                                                                      (9.8)

составленный
из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный  ряд (9.7)

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся,
если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если
сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Сформулируем основные свойства абсолютно сходящихся
рядов.

1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд,
полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и
исходный ряд.

2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S₁ и S₂ можно
почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся
ряд, сумма которого равна  S₁ + S₂ (S₁ – S₂).

3. Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с
суммами S₁ и S₂ есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S₁ ∙ S₂.

Примечание. В случае условно сходящихся рядов подобные свойства,
вообще говоря, места не имеют. 

Используя указанные свойства, математические действия и операции производят только над  абсолютно сходящимися
рядами. Для установления  абсолютной сходимости используют все признаки
сходимости знакоположительных рядов, заменяя всюду общий член ряда его модулем.

Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся
ряды, члены  которых имеют строго
чередующиеся знаки: 

,                                                                                                                         (9.9)

где
u_n>0 для всех .

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий
достаточный признак сходимости.

Теорема 9.8
(признак Лейбница). Знакочередующийся
ряд (9.9) сходится, если последовательность абсолютных величин его членов  монотонно убывает  (u₁ > u₂ > u₃>…> u_n>) и общий член ряда по абсолютной величине стремится к
нулю при n→∞, то есть  . При этом сумма S ряда (9.9) удовлетворяет неравенствам 0 < S < u₁

Пример 9.6. Исследовать на сходимость ряд  .

Решение. Это знакочередующийся ряд, для которого выполняются
условия теоремы 9.8. Действительно, предел общего члена ряда  и члены ряда монотонно
убывают по абсолютной величине:. Следовательно, заданный ряд сходится. Однако, ряд,
составленный из модулей его членов, то есть ряд   – расходится, так как
является гармоническим. Значит, заданный по условию знакочередующийся ряд
сходится условно

Ряд, членами которого являются функции от переменной  x, называется функциональным:  

                                                                                                                                      (9.10)

Придавая x определённое значение x₀, мы
получим числовой ряд , который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученные числовой ряд сходится, то точка x₀ называется точкой сходимости ряда (9.10); если
же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда. Совокупность числовых
значений аргумента x, при которых функциональный ряд сходится, называется
его областью
сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма
является некоторой функцией от  x: S= S(x), которая определяется равенством:

 – частичная сумма
ряда.

Частным случаем
функционального ряда является степенной ряд, члены которого представляют
собой степенные функции аргумента x:

                                                                                                                                (9.11)

Действительные (или комплексные) числа  называются коэффициентами
ряда (9.11),  – действительная
переменная.

Ряд (9.11) называется разложением по степеням x. На практике часто работают со
степенным рядом, разложенным по степеням (x
– x₀):

                                                                                                               (9.12)

где  x₀ –
некоторое постоянное число.                 

Рассмотрим вопрос о нахождении области сходимости
степенного ряда.

Теорема 9.9
(Абеля о сходимости степенного ряда). Если
степенной ряд сходится при некотором значении x₀ ≠ 0, то
он абсолютно сходится при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству  |x|<| x₀|; если ряд
(9.11) расходится при  x = x₁, то он
расходится при всех x, 
удовлетворяющих неравенству  |x|>| x₁|

Из теоремы Абеля следует, что если x₀ ≠ 0 есть точка сходимости степенного ряда, то интервал (–|x₀|;|x₀|) весь
состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях x вне этого
интервала ряд (9.11) расходится (рис. 9.1). Интервал (–|x₀|;|x₀|)
называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив |x₀|=R, интервал сходимости можно записать в виде (–R;R). Число R называют радиусом
сходимости степенного ряда, то есть R > 0 – это
такое число, что при всех x, для которых |x| < R,
ряд (9.11) абсолютно сходится, а при |x| > R
ряд расходится.

Если ряд (9.11) сходится в одной точке x₀ = 0, то полагают, что R=0. Если же он сходится при всех действительных
значениях x, то его радиус сходимости R=∞.

На практике радиус сходимости степенного ряда (9.11)
отыскивают с помощью признака Даламбера. Для этого составляют ряд из модулей
членов ряда: 

  и применим к нему
признак Даламбера. Допустим, что существует предел

.

По теореме 9.4 ряд сходится, если, то есть ряд сходится при тех значениях x, для
которых. Ряд, составленный из
модулей членов ряда (9.11), расходится при тех значениях x, для
которых . Таким образом, для ряда (9.11) радиус абсолютной сходимости
вычисляется по формуле:

.                                                                                                                                                                                (9.13)

С помощью радикального признака Коши (теоремы 9.5) можно
показать, что радиус сходимости также вычисляется по формуле:

.                                                                                                                                                                              (9.14)

Примечание. Интервал сходимости степенного ряда (9.12) находят из
неравенства |x– x₀| < R; он имеет вид (x₀–R; x₀+R)

Пример 9.7. Найти область сходимости ряда .

Решение. Воспользуемся формулой (9.13) :  . 

Следовательно,
данный ряд абсолютно сходится в единственной точке х = 0.

Область
сходимости степенного ряда (9.11) уточняют на концах полученного интервала
сходимости, симметричного относительно начала координат. На его левом конце,
при  получают
знакочередующийся числовой ряд, сходимость которого исследуют с помощью
признака Лейбница (теорема 9.8). На правом конце интервала сходимости, при x=R получают
числовой ряд с положительными членами, который исследуют на сходимость с
помощью рассмотренных выше достаточных признаков – теорем
9.2-9.6. Если при  и (или) x=R  получают
сходящийся числовой ряд, то
соответствующую точку включают в область сходимости степенного ряда. Если при  и (или) x=R  получают
расходящийся числовой ряд, то
соответствующую точку включают в область расходимости степенного ряда.
Уточненный на концах интервал сходимости представляет собой область сходимости
степенного ряда (9.11).

Пример 9.8. Написать первые три члена ряда  и найти его область  сходимости.

Решение. Беря последовательно n = 1, 2, 3, …, запишем данный ряд в виде:

Для нахождения области сходимости ряда применим
признак Даламбера:

.

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях x, которые удовлетворяют неравенству

.

Исследуем сходимость ряда на концах полученного
интервала.

При  заданный ряд принимает
вид . Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная
величина его общего члена стремится к нулю при n→∞; члены ряда убывают по абсолютной
величине. Следовательно, по признаку
Лейбница этот ряд сходится. Значит,  принадлежит области
сходимости данного ряда.

При   ряд принимает вид . Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака
сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

.

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и
исследуемый ряд. Значит, при  исходный ряд сходится.

Таким образом, – область сходимости заданного
по условию ряда

Вопросы для самопроверки

Выпишем общий член и следущий:

$$ u_n = frac{x^n}{n^2} $$

$$ u_{n+1} frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} $$

Найдем отношения следующего и предыдущего члена ряда: $$ frac{u_{n+1}}{u_n} = frac{x^{n+1} n^2}{(n+1)^2 x^n} = frac{x n^2}{(n+1)^2} $$

Находим предел модуля полученного выражения:

$$ limlimits_{n to infty} bigg |frac{u_{n+1}}{u_n} bigg | = limlimits_{n to infty} bigg |frac{x n^2}{(n+1)^2} bigg | = $$

Так как $ n $ положительное, то палочки можно убрать. А $ x $ может принимать как положительные, так и отрицательные значения, поэтому его выносить за знак модуля не станем.

$$ = |x| limlimits_{n to infty} frac{n^2}{(n+1)^2} = frac{infty}{infty} = $$

Вынесем $ n^2 $ за скобки и выполним сокращение числителя и знаменателя:

$$ = |x| limlimits_{n to infty} frac{n^2}{n^2 (1+frac{1}{n})^2} = |x| limlimits_{n to infty} frac{1}{(1+frac{1}{n})^2} = $$

Вычисляем предел окончательно:

$$ =|x| cdot 1 = |x| $$

Итак, предел равен:

$$ limlimits_{n to infty} bigg |frac{x n^2}{(n+1)^2} bigg | = |x| $$

Составим строгое неравенство всегда меньшее единицы:

$$ |x|<1 $$

Раскроем модуль и получим, что интервал сходимости:

$$ -1 < x < 1 $$

Итак, интервал найден. Теперь необходимо найти область сходимости степенного ряда. А для этого исследуем поведение ряда на концах полученного интервала:

1) Возьмём левую границу $ x = -1 $

Подставляя $ x = -1 $ в исходный ряд, получаем ряд: $ sum_{n=1}^infty frac{(-1)^n}{n^2} $

Так как ряд знакочередующийся из-за  $ (-1)^n $, то исследуем сходимость по признаку Лейбница:

1) Ряд знакочередующийся

2) $ limlimits_{n to infty} bigg | frac{(-1)^n}{n^2} bigg | = limlimits_{n to infty} frac{1}{n^2} = 0 $

Выполнены оба условия, значит ряд сходится и точку $ x=-1 $ можно включить в область сходимости.

2) Возьмём правую границу $ x = 1 $

Подставим $ x = 1 $ в исходный ряд и получим: $ sum_{n=1}^infty frac{1}{n^2} $

Текущий ряд попадает под общий гармонический ряд, в котором $ p = 2 $. А так как $ p>1 $, то ряд сходится. Значит, можно точку $ x = 1 $ записать в область сходимости.

Итого, подведем итог: область сходимости степенного ряда $ sum_{n = 1}^infty frac{x^n}{n^2} $ записывается в виде: $ -1 leqslant x leqslant 1 $

Найдем радиус сходимости $ R = frac{b-a}{2} = frac{1+1}{2} = 1 $

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!