Как найти сигнал по его спектральной плотности - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Примеры определения спектральной плотности сигналов

Ниже
приводится краткое описание некоторых
сигналов и определяются их спектральные
плотности. При определении спектральных
плотностей сигналов, удовлетворяющих
условию абсолютной интегрируемости,
пользуемся непосредственно формулой
(4.41).

Спектральные
плотности ряда сигналов приведены в
табл. 4.2.

1)
Импульс
прямоугольной формы
(табл. 4.2, поз. 4). Колебание, изображенное
на рис. (4.28, а), можно записать в виде

Его
спектральная плотность

График
спектральной плотности

(рис.
4.28, а) построен на основе проведанного
ранее анализа спектра периодической
последовательности однополярных,
прямоугольных импульсов (4.14). Как видно
из (рис. 4.28, б), функция
обращается
в нуль при значениях аргумента
=
n,
где п –
1,
2, 3, … — любое целое число. При этом
угловые частоты равны
= .

Рис.
4.28. Импульс прямоугольной формы (а) и
его спектральная плотность (б)

Спектральная
плотность импульса при
численно равна его площади, т.еG(0)=A.
Это положение справедливо для импульса
s(t)
произвольной
формы. Действительно, полагая в общем
выражении (4.41)
= 0,
получим

т.
е. площадь импульса s(t).

Таблица
4.3.

№ п/п	Сигнал s(t)	Спектральная плотность
1	2	3	4	5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16		–
17

При
растягивании импульса расстояние между
нулями функциисокращается, т. е. происходитсжатие
спектра. Значение
при
этом возрастает. Наоборот, при сжатии
импульса происходит расширение
его спектра а значение
уменьшается.
На (рис. 4.29, а, б)
приведены графики амплитудного
и
фазового и
спектров
прямоугольного импульса.

Рис. 4.29. Графики
амплитудного (а) Рис. 4.30. Импульс
прямоугольной формы, и фазового
(б) спектров сдвинутый
на время

При
сдвиге импульса вправо (запаздывание)
на время
(рис. 4.30) фазовый спектр изменяется на
величину,
определяемую аргументом множителяexp()
(табл.
4.2, поз. 9). Результирующий фазовый спектр
запаздывающего импульса изображен
на рис. 4.29, б пунктирной линией.

2) Дельта-функция

(табл.
4.3, поз. 9). Спектральную плотность
– функции находим по формуле (4.41),
используя фильтрующее свойствоδ-функции:

Таким
образом, амплитудный спектр
равномерный и определяется площадьюδ-функции
[= 1], а фазовый спектр равен нулю [= 0].

Обратным
преобразованием Фурье от функции
= 1 пользуются как одним из определенийδ-функции:

или

Пользуясь
свойством временного сдвига (табл. 4.2,
поз. 9), определяем спектральную
плотность функции
,
запаздывающей
на время
относительно:

Амплитудный
и фазовый спектры функции

показаны
в табл. 4.3,
поз. 10. Обратное преобразование Фурье
от функции

имеет
вид

3)
Гармоническое
колебание
(табл. 4.3, поз. 12). Гармоническое
колебание не является абсолютно
интегрируемым сигналом. Тем не менее
для определения его спектральной
плотностиприменяют
прямое преобразование Фурье, записывая
формулу (4.41) в виде:

Тогда
с учетом (4.47) получаем

где

δ(ω)
– дельта-функции, смещенные по оси
частот на частоту
,
соответственно вправо и влево относительно.
Как видно из (4.48), спектральная плотность
гармонического колебания с конечной
амплитудой принимает бесконечно большое
значение на дискретных частотахи.

Выполняя
аналогичные преобразования, можно
получить спектральную плотность
колебания

(табл.
4.3, поз. 13)

(4.49)

4)
Функция
вида

(табл.
4.3, поз. 11)

Спектральная
плотность
сигнала в виде постоянного уровня А
определяется по формуле (4.48), положив

=
0:

5)
Единичная
функция
(или единичный скачок)

(табл.
4.3, поз. 8).
Функция

не
является абсолютно интегрируемой. Если
представить

как
предел экспоненциального импульса
,т.
е.

то
спектральную плотность
функцииможно
определить как предел спектральной
плотности экспоненциального импульса
(табл. 4.3, поз. 1)
при
:

Припервое слагаемое в правой части этого
выражения равно нулю на всех частотах,
кроме= 0, где оно обращается в бесконечность,
а площадь под функцией
равна
постоянной величине

Поэтому
пределом первого слагаемого можно
считать функцию
.
Пределом второго слагаемого является
функция.
Окончательно получим

Наличие
двух слагаемых в выражении (4.51) согласуется
с представлением функции

в
виде
1/2+1/2sign(t).Постоянной
составляющей 1/2 согласно (4.50)
соответствует спектральная плотность
,
а нечетной функции
—
мнимое значение спектральной плотности
.

При
анализе воздействия единичного скачка

на
цепи, передаточная функция которых при

= 0
равна нулю (т. е. на цепи, не пропускающие
постоянный ток), в формуле (4.51) можно
учитывать только второе слагаемое,
представляя спектральную плотность
единичного скачка в виде

6)
Комплексный
экспоненциальный сигнал
(табл.
4.3, поз. 16). Если представить функциюв виде

то
на основании линейности преобразования
Фурье и с учетом выражений (4.48) и (4.49)
спектральная плотность комплексного
экспоненциального сигнала

Следовательно,
комплексный сигнал
обладает несимметричным спектром,
представленным одной дельта-функцией,
смещенной на частотувправо относительно.

7)
Произвольная
периодическая функция.
Представим произвольную периодическую
функцию

(рис.
4.31, а) комплексным рядом Фурье

где
—
частота следования импульсов.

Коэффициенты
ряда Фурье

выражаются
через значения спектральной плотности

одиночного
импульса s(t)
на
частотах

(n=0,±1,
±2, …). Подставляя (4.55) в (4.54) и пользуясь
соотношением (4.53), определяем спектральную
плотность
периодической
функции:

Согласно
(4.56) спектральная плотность
произвольной
периодической функции
имеет вид последовательности-функций,
смещенных друг относительно друга,
на частоту

(рис.
4.31, б). Коэффициенты при δ-функциях
изменяются в соответствии со спектральной
плотностьюодиночного импульсаs(t)
(пунктирная
кривая на рис. 4.31,б).

8)
Периодическая
последовательность δ-функций
(табл. 4.3, поз. 17).
Спектральная плотность
периодической последовательности
–функций

определяется
по формуле (4.56) как частный случай
спектральной плотности периодической
функции

при

= 1:

Рис.4.31. Произвольная
последовательность импульсов (а) и её
спектральная плотность (б)

Рис.
4.32. Радиосигнал (а), спектральные плотности
радиосигнала (в) и его огибающей (б)

и
имеет вид периодической
последовательности δ-функций,
умноженных на коэффициент
.

9)
Радиосигнал
с прямоугольной огибающей.
Радиосигнал, представленный на (рис.
4.32,а), можно записать как

Согласно
поз. 11 табл.4.2 спектральная плотность
радиосигнала
получается путем сдвига спектральной
плотности
прямоугольной
огибающей по оси частот на
вправо
и влево с уменьшением ординат в два
раза, т. е.

Это
выражение получается из (4.42) путем замены
частоты
на частоты–
сдвиг вправо и— сдвиг влево. Преобразование спектра
огибающейпоказано
на (рис. 4.32, б, в).

Примеры расчета
спектров непериодических сигналов
приведены так же в [7].

Соседние файлы в папке РАДИОТЕХНИКА

Источник

Спектральные плотности некоторых сигналов

Содержание

Обнаружили ошибку?
Выделите ее мышью
и нажмите

Спектральная плотность прямоугольного импульса

Рассмотрим спектральную плотность прямоугольного импульса $s(t) = A п_{tau}(t)$ длительности tau и амплитуды . Функция $п_{tau}(t)$ описывает прямоугольный импульс длительности tau и единичной амплитуды:

(1)

График прямоугольного импульса показан на рисунке 1а.

Рисунок 1. Спектральная плотность прямоугольного импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Спектральная плотность прямоугольного импульса $A п_{tau}(t)$ равна:

(2)

где . График спектральной плотности прямоугольного импульса показан на рисунке 1б.
Приведем основные частотные свойства .

Спектральная плотность треугольного импульса

Рассмотрим треугольный импульс s(t) длительности tau и амплитуды :

(3)

График треугольного импульса показан на рисунке 2а.

Рисунок 2. Спектральная плотность треугольного импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Для рассмотрения спектральной плотности треугольного импульса мы не будем вычислять интеграл Фурье непосредственно, потому что это потребует громоздких выкладок, а воспользуемся свойством преобразования Фурье свертки двух сигналов.

Можно заметить, что треугольный импульс длительности tau и амплитуды может быть представлен как результат свертки прямоугольного импульса $p(x) = sqrt{2A/tau} , п_{tau/2}(x)$ длительности tau/2 и амплитуды c самим собой, как это показано на рисунке 3.

Рисунок 3. Треугольный импульс как результат
свертки прямоугольных импульсов

Обратим внимание, что один из углов p(x) маркирован черным квадратиком для того, чтобы показать инверсию во времени сдвинутого сигнала p(t-x) , входящего в интеграл свертки.

Для различного сдвига мы будем иметь линейно нарастающую площадь (заштрихованная область) произведения сигнала p(x) и его сдвинутой инверсной во времени копии p(t-x) .

Таким образом, мы можем применить

свойство преобразования Фурье свертки сигналов

и записать спектральную плотность треугольного импульса как квадрат спектральной плотности прямоугольного импульса p(x) длительности tau/2 и амплитуды :

(4)

График спектральной плотности треугольного импульса показан на рисунке 2б.
Приведем основные частотные свойства .

Спектральная плотность гауссова импульса

Гауссов импульс s(t) задается выражением:

(5)

где — амплитуда, а sigma — положительный параметр, который задает ширину импульса.

График гауссова импульса при различном значении sigma и A = 1 показан на рисунке 4а.

Рисунок 4. Спектральная плотность гауссова импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Рассмотрим спектральную плотность гауссова импульса:

(6)

Преобразуем показатель экспоненты (6) следующим образом:

(7)

Тогда (6) с учетом (7):

(8)

Из курса математического анализа [1, стр. 401] известно, что:

(9)

Введем в выражении (8) замену переменной $xi = frac{t}{sigma} + jfrac{omegasigma}{2}$ , тогда , пределы интегрирования остаются неизменными при положительном значении sigma . Тогда (8) можно представить как:

(10)

и с учетом (9) окончательно можно записать:

(11)

Можно заметить, что временно́й гауссов импульс s(t) имеет спектральную плотность , которая также описывается гауссовской функцией.

График спектральной плотности гауссова импульса для различного значения параметра sigma показан на рисунке 4б.
C увеличением sigma увеличивается ширина гауссова импульса во временно́й области, и сужение спектральной плотности. При этом, убывание импульса во времени и по частоте носит экспоненциальный характер.

Спектральная плотность экспоненциального импульса

Рассмотрим двусторонний экспоненциальный импульс s(t) , который задается выражением:

(12)

где — амплитуда, а sigma — положительный параметр, который определяет ширину импульса.
График двустороннего экспоненциального импульса при A = 1 и различном значении параметра sigma показан на рисунке 5а.

Рисунок 5. Спектральная плотность двустороннего экспоненциального импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Как можно видеть из рисунка 5а, увеличение параметра sigma приводит к сужению импульса во временно́й области.

Рассмотрим спектральную плотность двустороннего экспоненциального импульса:

(13)

Разобьем ось времени на положительную и отрицательную полуоси, и учтем что для отрицательной полуоси времени. Тогда (13) можно записать:

(14)

Объединим показатели экспонент в обоих интегралах и получим:

(15)

Таким образом, спектральная плотность двустороннего экспоненциального импульса (12) представляет собой вещественную функцию частоты, обладающую следующими свойствами.

На рисунке 5б показан вид спектральной плотности при различном значении sigma . Можно видеть, что при увеличении параметра sigma , спектральная плотность сужается (импульс во временно́й области —расширяется).

Рисунок 6. Односторонний экспоненциальный импульс

Рассмотрим теперь односторонний экспоненциальный импульс, который получается из двустороннего при обнулении значения отрицательной полуоси времени:

(16)

График одностороннего экспоненциального импульса показан на рисунке 6 при A = 1 и различном sigma .

Спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса равна:

(17)

Приведем основные частотные свойства одностороннего экспоненциального импульса:

Поскольку спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса является комплексной функцией частоты omega , то можно представить в виде амплитудно- и фазочастотной характеристик:

(18)

На рисунке 7 показаны АЧХ и ФЧХ одностороннего экспоненциального импульса для различных значения параметра sigma .

Рисунок 7. АЧХ и ФЧХ одностороннего экспоненциального импульса
а — АЧХ; б — ФЧХ

Спектральная плотность функции

Рассмотрим спектральную плотность сигнала вида , где alpha — параметр определяющий ширину главного лепестка функции , как это показано на рисунке 8а.

Рисунок 8. Спектральная плотность функции
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Для получения спектральной плотности сигнала воспользуемся

свойством двойственности преобразования Фурье,

рассмотренным в
в предыдущем параграфе.
Тогда из выражения (2) можно записать:

(19)

Произведем замену переменных omega и , а также обозначим $alpha = frac{tau}{2}$ , откуда :

(20)

Вынесем множитель 2alpha из под оператора преобразования Фурье, и окончательно спектральная плотность сигнала равна:

(21)

График спектральной плотности сигнала показан на рисунке 8б.

Важным частным случаем является , тогда $s(t) = frac{alpha}{pi} operatorname{sinc}(alpha t)$ будет иметь спектральную плотность $S(omega) = п_{2alpha}(omega)$ , что соответствует частотной характеристике идеального фильтра нижних частот. Временно́й сигнал $s(t) = frac{alpha}{pi} operatorname{sinc} (alpha t)$ определяет импульсную характеристику идеального фильтра нижних частот.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели спектральные плотности некоторых непериодических сигналов: прямоугольного, треугольного, гауссова импульса,
а также одностороннего и двустороннего экспоненциальных импульсов.

Были приведены аналитические выражения для спектральных плотностей каждого из сигналов, а также их частотные свойства.

Смотри также

Представление периодических сигналов рядом Фурье
Преобразование Фурье непериодических сигналов
Свойства преобразования Фурье

Спектральные плотности некоторых сигналов

Список литературы

[1]

Кратные интегралы и ряды.
Москва, Наука, 1965, 608 c.

[2]

Баскаков, С.И.
Радиотехнические цепи и сигналы.
Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[3]

Гоноровский И.С.
Радиотехнические цепи и сигналы
Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[4]

Bracewell R.
The Fourier Transform and Its Applications
McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Последнее изменение страницы: 12.05.2022 (19:42:52)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14

Источник

1.3.1. Спектральная плотность энергии

1.3.2. Спектральная плотность мощности

Спектральная плотность (spectral density) характеристик сигнала – это распределение энергии или мощности сигнала по диапазону частот. Особую важность это понятие приобретает при рассмотрении фильтрации в системах связи. Мы должны иметь возможность оценить сигнал и шум на выходе фильтра. При проведении подобной оценки используется спектральная плотность энергии (energy spectral density – ESD) или спектральная плотность мощности (power spectral density – PSD).

1.3.1. Спектральная плотность энергии

Общая энергия действительного энергетического сигнала , определенного в интервале описывается уравнением (1.7). Используя теорему Парсеваля [1], мы можем связать энергию такого сигнала, выраженную во временной области, с энергией, выраженной в частотной области:

, (1.13)

где – Фурье-образ непериодического сигнала . (Краткие сведения об анализе Фурье можно найти в приложении А.) Обозначим через прямоугольный амплитудный спектр, определенный как

(1.14)

Величина является спектральной плотностью энергии (ESD) сигнала . Следовательно, из уравнения (1.13) можно выразить общую энергию путем интегрирования спектральной плотности по частоте.

(1.15)

Данное уравнение показывает, что энергия сигнала равна площади под на графике в частотной области. Спектральная плотность энергии описывает энергию сигнала на единицу ширины полосы и измеряется в Дж/Гц. Положительные и отрицательные частотные компоненты дают равные энергетические вклады, поэтому, для реального сигнала , величина представляет собой четную функцию частоты. Следовательно, спектральная плотность энергии симметрична по частоте относительно начала координат, а общую энергию сигнала можно выразить следующим образом.

(1.16)

1.3.2. Спектральная плотность мощности

Средняя мощность действительного сигнала в периодическом представлении определяется уравнением (1.8). Если – это периодический сигнал с периодом , он классифицируется как сигнал в периодическом представлении. Выражение для средней мощности периодического сигнала дается формулой (1.6), где среднее по времени берется за один период .

(1.17,а)

Теорема Парсеваля для действительного периодического сигнала [1] имеет вид

, (1.17,б)

где члены являются комплексными коэффициентами ряда Фурье для периодического сигнала (см. приложение А).

Чтобы использовать уравнение (1.17,6), необходимо знать только значение коэффициентов . Спектральная плотность мощности (PSD) периодического сигнала , которая является действительной, четной и неотрицательной функцией частоты и дает распределение мощности сигнала по диапазону частот, определяется следующим образом.

(1.18)

Уравнение (1.18) определяет спектральную плотность мощности периодического сигнала как последовательность взвешенных дельта-функций. Следовательно, PSD периодического сигнала является дискретной функцией частоты. Используя PSD, определенную в уравнении (1.18), можно записать среднюю нормированную мощность действительного сигнала.

(1.19)

Уравнение (1.18) описывает PSD только периодических сигналов. Если – непериодический сигнал, он не может быть выражен через ряд Фурье; если он является непериодическим сигналом в периодическом представлении (имеющим бесконечную энергию), он может не иметь Фурье-образа. Впрочем, мы по-прежнему можем выразить спектральную плотность мощности таких сигналов в пределе. Если сформировать усеченную версию непериодического сигнала в периодическом представлении , взяв для этого только его значения из интервала (), то будет иметь конечную энергию и соответствующий Фурье-образ . Можно показать [2], что спектральная плотность мощности непериодического сигнала определяется как предел.

(1.20)

Пример 1.1. Средняя нормированная мощность

а) Найдите среднюю нормированную мощность сигнала , используя усреднение по времени.

б) Выполните п. а путем суммирования спектральных коэффициентов.

Решение

а) Используя уравнение (1.17,а), имеем следующее.

б) Используя уравнения (1.18) и (1.19), получаем следующее.

(см. приложение А)

Источник

СПЕКТРАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ

В радиотехнике
(связь, навигация, телевидение,
радиолокация) при передаче информации
широко используются сигналы сложной
формы. Для анализа прохождения таких
сигналов через цепь действуют таким
способом: представляют
сложный сигнал в виде суммы гармоничных
колебаний и известным методом (например
метод комплексных амплитуд) анализируют
прохождение через цепь каждой гармоники.
В соответствии с принципом суперпозиции
форма исходного сигнала определяется
как сумма исходных гармоник.

Представление
сложного сигнала в виде гармонических
колебаний поясняется
тем, что гармонический сигнал является
единственным сигналом, который при
прохождении через цепь не изменяет
своей формы. Изменяется только его
амплитуда и начальная фаза, что существенно
упрощает анализ прохождения сложных
сигналов.

Спектром сигнала
называется совокупность гармонических
колебаний, из которых состоит сам сигнал.

Если говорить более
строго, то существует два основных типа
спектров: амплитудночастотный
(амплитудный) и фазочастотный (фазовый)
спектр.

Амплитудным
спектром называется
распределение амплитуд гармонических
составляющих по частоте.

Фазовым спектром
называется
распределение начальных фаз гармонических
составляющих по частоте.

Изображение
амплитудного и фазового спектра

Амплитудний
спектр

Амплитудный
спектр всегда положителен. Фазовый
спектр может быть как положительным,
так и отрицательным.

Спектр периодических
сигналов

Для спектрального
представления периодических колебаний
используется разложение этих колебаний
в тригонометрический ряд Фурье:

–
период периодического сигнала.

Спектр периодической
последовательности прямоугольных
видеоимпульсов

Согласно рисунку
функция

является чётной. Тогда в тригонометрической
форме записи ряда остаются только
косинусоидальные члены, потому что
коэффициенты

равняются нулю.

Определим величину
постоянной составляющей и амплитуды
гармоник

– скважность.
Таким образом

Амплитудный спектр

Поскольку
основная
часть энергии импульса сосредоточена
в области главного лепестка, то за ширину
спектра принимается ширина главного
лепестка

Теоретически спектр
простирается до бесконечности.

Фазовый спектр

Спектр непериодического сигнала

Рассмотрим
непериодический сигнал
,
заданный в виде некоторой функции,
отличающейся от нуля в промежутке
.
Дополним сигнал до периодического как
показан на рисунке.

Выделим произвольный
отрезок времени T,
что включает у себя промежуток
,
та представим заданий сигнал в виде
комплексного ряда Фурье

где

Коэффициенты

определяются выражением

Чтобы
перейти к одиночному импульсу, нужно
перейти к пределу при
_.

Если

,
тогда

_{В

итоге получим}

_В

Прямое
преобразование

Фурье

еличина

называется
спектральной
плотностью .

Физически
спектральная плотность характеризует
суммарную амплитуду колебаний единичной
области частот спектра сигнала, а
величина

характеризует суммарную амплитуду
колебаний области частот
.

Спектр
непериодического сигнала является
сплошным.

Зная
спектральную плотность, можно найти
форму сигнала

Обратное
преобразование Фурье

аким образом

Свойства спектральной
плотности

Между сигналом

и его спектром

существует однозначное соответствие,
которое выражается рядом свойств.

1.
Модуль
спектральной плотности является чётной
функцией частоты, а аргумент – нечётной:

2.
Соотношение между спектрами периодического
и непериодического сигналов.

Пусть имеем сигнал

и соответствующую ему спектральную
плотность
.
При следовании импульсов с периодом
_{интервал между соседними гармониками

составляет}
.
Амплитуда
-ой
гармоники соответственно равна

Спектральная
плотность непериодического сигнала

Отсюда находим

Вывод.
Модуль спектральной плотности
непериодического сигнала (одиночного
импульса) и огибающая линейчатого
спектра периодического сигнала
(последовательности импульсов) совпадают
по форме и отличаются только масштабом.

3. Свойство
линейности. Исходя
из того, что преобразование Фурье
является линейным, при сложении сигналов

и

которые имеют спектры

и
,
суммарный сигнал

будет иметь спектр

.

4. Сдвиг сигналов
по времени
(теорема запаздывания). Сигнал

произвольной формы имеет спектральную
плотность
.

При задержке этого
сигнала на время t₀
(при сохранении его формы) получим новую
функцию
_.
Определим спектральную плотность
сигнала

Введем новую
переменную
.
Тогда получим

Таким образом, сдвиг
по времени функции

на

приводит к изменению фазовой характеристики
спектра на величину
.
Модуль спектральной плотности от
положения сигнала на временной оси не
зависит.

5. Изменение
масштаба времени (теорема масштабов).
Сигнал

длительностью _иподдается
сжатию по времени. Новый сжатый сигнал

Длительность сигнала

в

раз меньше чем

и равняется
.
Определим спектральную плотность
сжатого сигнала

Введем
новую переменную
тогда

или

При временном сжатии
сигнала в
раз
во столько же раз расширяется его
спектр.

6.
Сдвиг спектра сигнала (теорема смещения).
Запишем спектральную плотность для
произведения сигналов

и
.
.

Таким
образом

Вывод.
Умножение функции

на колебание

эквивалентно разделению спектра

на две части, которые смещены соответственно
на

и
.

Данная
теорема позволяет по спектру видеосигнала
найти спектр радиосигнала (то есть
сигнала с высокочастотным заполнением).

Из рисунка следует,
что при значительной частоте заполнения
радиоимпульса ₀
можно в области
положительных частот (отрицательных
не существует) пренебречь слагаемым
(1/2)(+₀)
и определить
спектральную плотность по приближённой
формуле

7.
Распределение энергии в спектре
непериодического колебания

Энергия
импульса при его прохождении через
сопротивление

равняется

Равенство Парсеваля

Вывод:
квадрат модуля спектральной плотности
имеет смысл энергетической плотности,
то есть энергии, которая приходится на
единицу полосы частот [Дж/Гц].

8.
Свёртка сигналов.
Пусть сигналам

отвечает спектральная плотность
.
То есть
.
Тогда произведению двух спектров

будет отвечать свёртка сигналов
:

Спектральные
плотности типовых импульсов

1.
Экспоненциальный импульс:

Импульс
такой формы возникает при грозових
разрядах,
в системах зажигания автомобилей.
Везде, где есть трущиеся контакты.

2.
Ступенчатая функция (функция Хевисайда):

Спектр
находим из
спектра экспоненциального импульса
при
:

3.
Прямоугольный видеоимпульс:

Воспользуемся
формулой

Большая
часть энергии импульса сосредоточена
в области главного лепестка (более 90%).
Потому за ширину спектра принимается
ширина главного лепестка в положительной
области частот:

4.
Спектр единичного импульса (спектр
функции Дирака)

Функция
Дирака

Функция
Дирака представляет собой предел
последовательности прямоугольных
видеоимпульсов, при условии что площадь

а
длительность
.

Физически функция Дирака представляет
собой импульс конечной энергии с очень
малой длительностью и очень большой
амплитудой. С помощью данного импульса
описываются кратковременные сильные
влияния (удары).

Таким
образом

Вывод:
спектр единичного импульса является
постоянным и простирается до бесконечности.

5.
Спектр импульса колокольной формы:

Особенность
данного импульса заключается в том, что
его форма совпадает с формой спектра.

6.
Спектр прямоугольного радиоимпульса:

Для
определения спектра воспользуемся

теоремой смещения

Спектральная
плотность прямоугольного видеоимпульса

Следовательно

7.
Спектр периодической последовательности
прямоугольных радиоимпульсов

Для
нахождения спектра воспользуемся связью
между спектрами одиночного радиоимпульса
и периодической последовательности

Некоторые импульсы,
используемые в системах специальной
связи

8.
Спектр треугольного импульса

9.
Спектр трапецеидального импульса

Спектральная
плотность сигнала

Поскольку
трапецеидальный импульс является
результатом интегрирования импульса

,
то его спектральная плотность равна

Отсюда
находим модуль спектральной плотности

При

спектральная плотность равна площади
трапеции

Качественный
вид спектральной плотности на положительных
частотах:

Количество
боковых лепестков определяется
соотношением между

и
.
Чем меньше
,
то есть чем круче фронты типульса, тем
больше количество боковых лепестков в
области от 0 до
.
В пределе, когда крутизна фронтов
стремится к бесконечности

спектр трапеции переходит в спектр
прямоугольного импульса.

10.
Спектр
косинус-квадратного импульса

Для
определения спектральной плотности
воспользуемся преобразованием Лапласа.
Для этого введём две функции:

и
.

Пусть

.
Тогда в соответствии с теоремой
запаздывания

.
Поскольку косинус-квадратный импульс
равен

,
то его спектральная плотность

Воспользовавшись
формулой

получим

Данному
оригиналу соответствует изображение
по Лапласу

Далее
находим изображение спектральной
плотности косинус-квадратного импульса

Полагая
,
находим комплексную спектральную
плотность

Учитывая,
что

Окончательно
находим

Модуль
спектральной плотности

Это
следует из прямого преобразования
Фурье.

Качественный
вид спектральной плотности будет таким
же как и у прямоугольного видеоимпульса.
Только уровень боковых лепестков будет
существенно ниже.

11.
Спектр косинусоидального импульса

Определение
ширины спектра и длительности импульсов

Поскольку
сигнал имеет оганиченную длительность,
то теоретически его спектр всегда
бесконечен. Поэтому на практике ширину
спектра сигнала определяют исходя из
области частот, в которой сконцентрирована
большая части энергии импульса (90%, 95%,
99%).

В
общем случае ширина спектра и длительность
импульса определяются из равенства
Парсеваля

Ширина
спектра

и длительность
импульса

(предполагается,
что импульс начинается с нулевого
момента времени) находятся из условий

Величина

Ширина спектра

и скорость убывания боковых лепестков

различных импульсов

Вид импульса	Ширина спектра	Скорость убывания
Экспоненциальный
Прямоугольный
Колокольный
Треугольный
Трапецеидальный (– отношение верхнего основания к нижнему)
Косинус-квадратный
Косинусоидальный