Как найти силу давления на ось блока

Есть три объекта: бруски m и M, а так же блок. Для каждого из них мы напишем второй закон Ньютона.

Так как все силы вертикальны (направлены параллельно оси Оу), то их проекция на ось Ох = 0! И не надо ничего крутить! Никогда не надо крутить! Один раз провели оси — и все!

Согласно второму закону Ньютона, учитывая, что нить невесома, для бруска m можно записать:

ma₁ = T₁ − mg,     (1)

для бруска M можно записать:

Ma₂ = Mg − T₂,     (2)

для блока:

T = T₁ + T₂.     (3)

Так как нить нерастяжима, то a₁ = a₂,   T₁ = T₂. Таким образом, складывая (1) и (2), получим:

(m + M) a₁ = (M − m) g   ⇒

a₁ = g (M − m) / (M + m).

Тогда, подставив в a₁ в (1), получим:

T₁ = ma₁ + mg = mg (1 + (M − m) / (M + m)) = 2mMg / (M + m).

Из (3) получим, что сила давления на ось блока равна:

T = 2T₁ = 4mMg / (M + m) = 4 × 0,2 × 0,3 × 10 / 0,5 = 4.8 Н.

Каталог заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Два тела
массами по 0,2 кг, на одном из которых лежит перегрузок массой 0,05 кг, связаны
невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижный блок. Определите
ускорения тел, силу давления перегрузка на тела и силу давления на ось блока.

Решение.

Систему
отсчета свяжем с лабораторией и будем считать ее инерциальной. Начало координат
выберем в точке, совпадающей с осью блока, ось OY направим вертикально вниз.

В качестве
физических систем будем поочерёдно рассматривать первое тело, второе тело,
перегрузок и блок. Причем, тела и перегрузок примем за материальные точки, а
блок будем считать абсолютно твердым телом.

Взаимодействием
с воздухом, массой

блока, массой нити и ее деформацией, а также трением в оси
блока пренебрегаем.

Для решения
задачи воспользуемся законами динамики (вторым законом Ньютона и законами для
частных сил). Движущиеся тела m₁ , m₂ и ∆m
взаимодействуют с
гравитационным полем Земли, т.е. на них действуют силы тяжести m₁g , m₂g и ∆m , направленные вертикально вниз;
взаимодействие тел m₁ и m₂ с нитью дает силы упругости T₁ и T₂ , направленные вертикально вверх;
кроме того, тело m₂ взаимодействует с перегрузком ∆m , что дает силу давления перегрузка
на это тело F
и силу реакции N
, действующую со стороны этого тела на перегрузок.

Согласно
второму закону Ньютона, для каждого из движущихся тел получим систему

.

Если спроецировать
векторные величины на ось OY,
получим:

Поскольку нить
невесомая и нерастяжимая, то T₁ = T₂ = T
и a₁ = a₂ = a.

Согласно третьему закону
Ньютона F
= N. По условию задачи m₁ = m₂ = m. С учетом того динамические законы
движения тел можно записать следующим образом

Если решить эту систему
уравнений относительно неизвестных, получим:

Для нахождения силы
давления на ось блока рассмотрим силы, действующие на него. Взаимодействие блока
с нитью дает две силы упругости T’₁
и T’₂ направленные вертикально
вниз. С учетом того, что нить невесома и нерастяжима, имеем: T’₁ = T’₂ = T . Откуда найдем силу натяжения

Кроме того, на блок
действует сила реакции оси N’
, на которой этот блок закреплен. Таким образом, N’ + T’₁ + T’₂  = 0 , откуда N’ = T’₁ + T’₂ = 2T .

По третьему закону
Ньютона сила давления F’
на ось блока равно по модулю силе реакции оси N’ , т.е.

Численно: a = 1.1 м/с²; F = 0.44 H; F’ = 19 H.

Источник: Физика. Полный курс подготовки к ЦТ.  Под общей редакцией проф. В.А. Яковенко.

2017-05-21   

Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы $m_{1} = 0,5 кг$ и $m_{2} = 0,6 кг$ (рис.). Найти силу давления блока на ось при движении грузов в двух случаях: лифт поднимается равномерно и с ускорением $a_{0} = 1,2 м/с^{2}$. Масса блока пренебрежимо мала. Трением в оси пренебречь.

Решение:

Сила давления блока на ось $vec{F}_{д} = – vec{N}$. где $vec{N}$ — сила реакции оси, действующая на блок и направленная вверх. Кроме этой силы на блок действуют силы натяжения нити $vec{T}_{1}$, и $vec{T}_{2}$, направленные вниз. Уравнение второго закона Ньютона для блока имеет вид

$m_{бл} vec{a}_{ц} = vec{N} + vec{T}_{1} + vec{T}_{2} + m_{бл} vec{g}$,

где $vec{a}_{ц}$ — ускорение центра масс блока относительно Земли, $m_{бл}$ — его масса. Если $m_{бл} rightarrow 0$, то независимо от ускорения центра масс

$vec{N} + vec{T}_{1} + vec{T}_{2} = 0, N = T_{1} + T_{2}$.

Таким образом, задача сводится к нахождению сил натяжения нити. Поскольку нить связывает заданные грузы, то силы натяжения могут быть найдены из рассмотрения движения грузов. При равномерном движении лифта можно выбрать систему отсчета, связанную как с Землей, так и с лифтом. При ускоренном движении лифта система отсчета, связанная с лифтом, неинерциальная, поэтому она должна быть связана с Землей. Задачу можно решить сразу для ускоренного движения лифта, а первый случай получится как частное решение при $a_{0} = 0$.

Грузы движутся относительно блока (относительно лифта) и участвуют в движении лифта с ускорением $vec{a}_{0}$. Если нить нерастяжима, то ускорения грузов относительно блока одинаковы по модулю, но противоположны по направлениям.

Для доказательства запишем условия нерастяжимости нити. Введем ось $O^{ prime} eta$, связанную с лифтом (рис.), координаты обоих тел $eta_{1}$, и $eta_{2}$. Тогда условие нерастяжимости нити

$eta_{1} + eta_{2} + l_{0} = const$,

где $l_{0}$ — длина части нити, соприкасающейся с блоком. При движении грузов относительно лифта координаты $eta_{1}$ и $eta_{2}$ изменяются, но

$dot{ eta}_{1} + dot{ eta}_{2} = 0, ddot{ eta}_{1} + ddot{ eta}_{2} = 0$ (1)

(точка над буквой обозначает производную по времени); $dot{ eta}_{r} = a^{ prime}_{1 eta}$ — проекция ускорения первого груза относительно лифта на вертикальную ось $O^{ prime} eta; ddot{ eta}_{2} = a_{2 eta}^{ prime}$ – проекция ускорения второго груза на ту же вертикальную ось. Из соотношения (1) найдем $a_{1 eta}^{ prime} = – a_{2 eta}^{ prime}$. Поскольку грузы движутся вдоль оси $O^{ prime} eta$, то

$vec{a}_{1}^{ prime} = – vec{a}_{2}^{ prime}$.

Относительно Земли ускорения грузов

$vec{a}_{1} = vec{a} + vec{a}_{1}^{ prime}, vec{a}_{2} = vec{a}_{0} + vec{a}_{2}^{ prime}$.

Каждый из грузов движется под действием силы тяжести и силы натяжения нити. Невесомость нити позволяет считать силу натяжения вдоль нити постоянной по модулю. Неизменяемость силы натяжения по модулю при переходе через блок может быть доказана при условии, что массой блока можно пренебречь. Таким образом, $T_{1} = T_{1}^{ prime} = T_{2} = T_{2}^{ prime}$. Уравнения второго закона Ньютона, записанные в скалярном виде для каждого из тел, составят систему, в которой неизвестными будут силы натяжения нити и относительные ускорения грузов.

Коллинеарность сил, действующих на каждый из грузов, позволяет записать уравнения движения сразу в скалярной форме для проекций на ось OY. Для первого груза

$a_{1y} = a_{0} + a^{ prime}, m_{1} (a_{0} + a^{ prime}) = T – m_{1}g$; (2)

для второго груза

$a_{2y} = a_{0} – a^{ prime}, m_{2} ( a_{0} – a^{ prime}) = T – m_{2}g$, (3)

где $T = T_{1}^{ prime} = T_{1}, i = 1, 2$.

Уравнения (2) и (3) образуют систему с двумя неизвестными $T$ и $a^{ prime}$. Умножая уравнение (2) на $m_{2}$, а уравнение (3) на $m_{1}$ и складывая их почленно, получаем

$T = 2m_{1}m_{2}(a_{0} + g)/(m_{1} + m_{2})$.

Искомая сила давления блока на ось

$F_{д} = N = 2T$.

При равномерном движении лифта ($a_{0} = 0$)

$F_{д} = 4 m_{1}m_{2}g/(m_{1} + m_{2}) = 10,7 Н$.

При подъеме с ускорением $a_{0} = 1,2 м/с^{2}$

$F_{д} = 4m_{1}m_{2} (g + a_{0})/(m_{1} + m_{2}) = 12,0 Н$.