Как найти силу растягивающую кольцо

2016-12-18   

Кольцо радиуса $R$, по которому циркулирует ток $I$, поместили в однородное магнитное поле с индукцией $B$, перпендикулярное плоскости кольца. С какой силой растянуто кольцо? Действием на кольцо магнитного поля, создаваемого током кольца, пренебречь.

Решение:

Запишем закон Ньютона (условие равновесия) для малого элемента кольца длиной $l$, опирающегося на угол $2 alpha$:

$vec{T}_{1} + vec{T}_{2} + vec{F}_{A} = 0$, (1)

где $T_{1} = T_{2} = T$ — сила, с которой растянуто кольцо,

$F_{A} = BIl$ (2)

сила Ампера, действующая на элемент кольца $l$, по которому течет ток $I$ (учтено, что угол между вектором $B$ и направлением тока $I$ равен $90^{ circ}$).

Проецируя (1) на ось $x$:

$2T sin alpha = F_{A}$

и учитывая, что $l = R 2 alpha$ и для малых $alpha sin alpha approx alpha$, получаем:

$T = BIR$.

Примечание.

При рассмотренном в данной задаче взаимном расположении кольца с током и индукции магнитного поля $B$, кольцо находится в состоянии устойчивого равновесия. При изменении направления вектора $B$ или изменении направления тока в кольце равновесие кольца становится неустойчивым: кольцо уже не растягивается магнитным полем, а сжимается.

Другой вариант решения задачи основан на использовании закона Ньютона (условия равновесия) полукольца.

Разобьем полукольцо на малые фрагменты $l_{i}$. Силу $vec{F}$ действующую на полукольцо со стороны магнитного поля, представим в виде

$vec{F} = sum vec{F}_{i}$, (3)

где $F_{i} = BIl_{i}$. Спроецируем (3) на ось $x$:

$F = sum F_{ix} = sum BIl_{i} sin alpha_{i} = BI sum l_{i} sin alpha_{i} = BI sum l_{0i} = BI2R$. (3x)

Условие равновесия полукольца

$2T = F$. (4)

Из (3x, 4) находим $T = BIR$.

Задачи, тесты

Общий метод решения задач из разных разделов

Любой учитель, долгое время работающий в профильном классе, в конце концов приходит к двум выводам:

• невозможно разобрать на уроках все интересные задачи из методической копилки учителя, тем более что их всё больше и больше. Значит, нужно осваивать на примере ключевых задач общие методы и приёмы решения, обучая ребят не количеством, а качеством подобранных задач;

Статья подготовлена при поддержке компании «Maxceiling». Если Вы решили приобрести качественные и надежные натяжные потолки, то оптимальным решением станет обратиться в компанию «Maxceiling». Перейдя по ссылке: «натяжные потолки Балашиха», вы сможете, не отходя от экрана монитора, оставить заявку на установку натяжных потолков. Более подробную информацию о ценах и акциях действующих на данный момент вы сможете найти на сайте www.Maxceiling.Ru.

• ребёнок не может долго помнить приём решения, если его не повторять время от времени. И вот тут оказывается очень продуктивным подбирать задачи, имеющие тот же алгоритм, или приём решения, что и в предыдущей теме, даже если темы не связаны. Тогда ученика не пугает бесконечное количество задач.

Необходимо отметить, что если предлагаемый метод не будет закреплён в следующих темах, то, как бы хорошо он ни был усвоен, большинство учащихся его забывает. Неоднократное возвращение к знакомому методу происходит иногда очень неожиданно. Приводим пример решения известной задачи в теме «Механика» и использование этого алгоритма в других, казалось бы, не связанных темах.

Тема «Механика»

• Из резинового жгута длиной L и массой m изготовлено кольцо. Это кольцо вращается с угловой скоростью ω в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Определите силу натяжения, возникающую в кольце.

Метод решения этой задачи специфичен потому, что каждый элемент жгута при вращении имеет своё направление центростремительного ускорения, а значит, сила, действующая на каждый элемент, меняет своё направление от элемента к элементу. К тому же ученики помнят, что закон Гука применяется при упругих растяжениях прямолинейного стержня. Поэтому метод заключается в разбиении кольца на бесконечное количество малых элементов, которые практически прямолинейны в силу малости их размеров, и применении второго закона Ньютона отдельно для каждого элемента:

• Кольцо массой m изготовлено из проволоки, которая обрывается при силе натяжения Т₀. Кольцо помещают на идеально гладкий конус. При каком минимальном плоском угле конуса φ кольцо не разорвётся?

При решении этой задачи необходимо рассмотреть условие покоя малого элемента на гладкой наклонной плоскости, но алгоритм решения аналогичен.

Рассмотрим условие покоя малого элемента кольца:

N_i + m_ig + T_{упр.рез} = 0.

Силу результирующего натяжения T_{упр.рез} находим, как в предыдущей задаче:

• Жёсткость резинового жгута длиной L и массой m равна k. Кольцо, изготовленное из жгута, вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через центр кольца. Оцените, при какой угловой скорости вращения кольца ω радиус его будет равен R.

Решение аналогично предыдущей, однако требуется вспомнить закон Гука

Тема «Электростатика»

• Тонкое проволочное кольцо радиусом R несёт электрический заряд q. В центре кольца расположен одноимённый с q заряд Q, причём Q ≫ q. Определите силу Т, растягивающую кольцо.

Решение. Условие равновесия элемента кольца:

Тема «Электромагнетизм»

• Тонкое металлическое кольцо радиусом R помещается в однородное магнитное поле индукцией В так, что плоскость кольца перпендикулярна линиям магнитного поля. Определите силу упругости Т, возникающую внутри кольца при пропускании по нему тока силой I.

Тема «Механические колебания»

• Тонкое кольцо радиуса R совершает осесимметричные колебания. Определите период колебаний Т кольца. Кольцо изготовлено из материала плотностью ρ, имеющего модуль упругости Е.

R – R₀ = х – смещение элемента кольца вдоль радиуса при колебании относительно положения равновесия, причём a_x < 0 при х = 0, то:

Тема «Движение в вязкой среде»

• Тело массой m, имеющее начальную скорость υ₀, попадает в вязкую среду, сила сопротивления движению тела которой пропорциональна его скорости: F = αυ, где α – известный коэффициент. Определите путь, пройденный телом до остановки.

Для решения этой задачи на движение тела под действием переменной силы требуется освоение особой методики: пользоваться законами равноускоренного движения для определения пройденного пути нельзя. Алгоритм решения вновь сводится к тому, чтобы разбить всё время движения на бесконечно малые интервалы времени и рассмотреть движение отдельно на каждом таком интервале.

Для кинематических величин используем определение мгновенной скорости и мгновенного ускорения:

F_мгн = mа_мгн; –αυ_мгн = mа_мгн.

Но поскольку

Просуммировав эти уравнения по всем интервалам времени, получаем: αs = mυ₀. И окончательно:

Тема «Электромагнитная индукция»

• По горизонтальным параллельным рельсам, расстояние между которыми равно d, может скользить без трения перемычка массой m. Рельсы соединены резистором сопротивлением R и помещены в вертикальное однородное магнитное поле индукцией В. Перемычке сообщают скорость υ₀. Найдите путь s, пройденный перемычкой до остановки.

Cитуация аналогична рассмотренным. Зная, что изменение магнитного потока через замкнутый контур приведёт к возникновению индукционного тока, а значит, к возникновению силы Ампера, действующей на перемычку, запишем: но _инд = В · υ · d, поэтому окончательно получаем т.е. опять движение тела под действием силы, зависящей от скорости, – переменной силы, как и в предыдущей задаче. Учитываем, что сила Ампера направлена, в соответствии с правилом Ленца, против направления движения перемычки, и применяем приём для расчёта тормозного пути из предыдущей задачи:

Тема «Движение заряженной частицы в магнитном поле»

• Вязкая жидкость помещена в однородное магнитное поле индукцией В. Частица массой m и зарядом q влетает в жидкость со скоростью υ₀ перпендикулярно вектору В. Вязкая среда действует на частицу с силой сопротивления, пропорциональной скорости частицы υ: F_сопр = –kυ. Определите модуль перемещения частицы от момента попадания в среду до полной остановки.

В этой задаче на частицу действуют даже две переменные силы, пропорциональные скорости: сила сопротивления F_сопр и сила Лоренца F_Лор, причём эти силы взаимно перпендикулярны. Метод решения задачи тот же.

F_сопр = –kυ ⇒ F_сопр⇅ υ;

F_Лор = qυ × B ⇒ F_Лор ⊥ υ ⇒ F_Лор ⊥F_сопр.

Рассмотрим элемент движения частицы (векторное сложение):

(F_сопр + F_Лор)Δt_i = Δp_i ⇒ –kυΔt_i + qυΔt_i × B = Δp_i.

Подобный треугольник векторов образуют соответствующие векторы в течение всего времени движения частицы, поэтому, суммируя эти равенства, получим для перемещения s в точку остановки:

–ks + qs × B = – mυ₀.

По теореме Пифагора, для векторного треугольника k²s² + q²s²B² = m²υ₀². Отсюда находим модуль перемещения:

Таких «перекрёстных» задач, решать которые можно одним и тем же методом, можно найти немало, и это помогает учителю. В статье использовались тексты задач, предложенных на конкурсных испытаниях при поступлении в МГТУ им. Н.Э.Баумана и МФТИ.

Растяжение кругового кольца

Растягивание круговое кольцо Когда равномерно распределенные радиальные силы действуют вокруг тонкого круглого кольца(рис. 28), они вызывают равномерное удлинение ring. To определив натяжение P кольца, представим, что кольцо разрезано с горизонтальным диаметральным сечением (рис.28, Б), а верхняя часть считается свободным телом.

• Если ^означает равномерную нагрузку на единицу длины оси кольца, а r-радиус оси, то сила, действующая на элемент кольца, вырезается на 2 соседних участках(p, где Лф-центральный угол, соответствующий элементу. Воздействуя на одну половину кольца, которая принимает сумму вертикальных составляющих всех сил, получаем следующее уравнение равновесия О Откуда? Р = qр. (13)

Растягивающее напряжение кольца получается путем деления силы р на площадь поперечного сечения кольца*). В практических применениях, часто необходимо определить напряжение на растяжение вращая кольца. С этим. Рис.28.

Случай q представляет собой центробежную силу на единицу длины кольца и определяется из уравнения

Людмила Фирмаль

Где Q-вес единицы длины кольца, g-радиус оси, а v-скорость движения точки кольца по радиусу. ковер-это ускорение силы тяжести. Подставляя это выражение вместо q в уравнение (13), оно выглядит следующим образом: p_W. е 9. Соответствующее растягивающее напряжение П с г в ’ Видно, что напряжение пропорционально плотности материала V. 2) и Квадрат окружной скорости.

Если стальное кольцо и скорость v = 30 м / с, то это напряжение составит 72 кг / cm2.So, в том же материале, для разных скоростей vx, если vt выражается в метрах в секунду, напряжение составит 0,08 oj кг / см2. * ) Для тонких колец уместно предположить, что напряжение равномерно распределено по всему поперечному сечению кольца(см. Часть II). а) для тонких колец скорость на оси может быть такой же, как и окружная скорость. 

• 1.Определите максимальное растягивающее напряжение стенки пресс-цилиндра, показанное на рисунке. Если внутренний диаметр составляет 25 см, а толщина стенки-2,5 СМ5. Решение. Максимальное гидростатическое давление p в цилиндре получается из следующего уравнения: СТ 25 * П — = 40 ООО кг、 Где Р = 81,5 кг / см2.Разрезаем базовое кольцо от цилиндра до оси цилиндра, которая имеет ширину 1 см, и применяем формулу (13). в этом случае c = p = » = 81,5 кг! См и г-12,5 см、 Рисунок 29. Р 81.5-12.5. а-у= — 2-57Г — = 407″5 k * 1 cmg、

2.Поскольку медная трубка прочно прикреплена к стальной трубе при высокой температуре (рис. 29), давление между трубками при этой температуре отсутствует. Определите напряжение, возникающее в меди и стали при охлаждении трубы до комнатной температуры t (t, наружный диаметр стальной трубы (I, толщина стальной трубы LS, толщина медной трубы Im 

Решение. должный к разнице в коэффициентах линейного расширения am и ac, охлаждать создает давление между наружной пробкой и внутренней трубкой. когда x-давление на 1 см2, растягивающее напряжение медной трубки составляет °м 2LM * Сжимающее усилие стальной трубы Х(1 ′ Потому что давление х определяется из условия, что относительное укорочение при охлаждении обеих труб одинаковое、 °И (- <0> — 2vs ( ’ — / ‘ ) + 21dG ’ Откуда? HL к, АА.） 2л». +£с 

Аналогичным образом можно рассчитать напряжение стальной трубы. 3, Каким будет дополнительное напряжение трубки при воздействии внутреннего гидростатического давления Р » 6,6 кг / см?В этом случае внутренняя 20. Диаметр (1X = 10cm. Ls= 0,3 см и Am = d-0,3 см(см. рис. 29). Решение. Если отрезать основное кольцо шириной 1 см от трубки, то максимальное натяжение кольца будет следующим: Р = 33 кг.

В связи с тем, что относительное окружное удлинение меди и стали одинаково, напряжение пропорционально модулю упругости. То есть, напряжение тока меди будет усилием steel. At в то же время 20. Таким образом, сила Р равномерно распределяется на 2 металла, а растягивающее напряжение меди, вызванное гидростатическим давлением, составляет = 2?G = — 2ÏG= 3° ’ 3 Kg1SMK 2-ю-0,3 Напряжение в стали os-am= 55 кг / СМГ.

4.Составное кольцо состоит из внутреннего медного кольца и наружного стального кольца. Внутренний диаметр стального кольца в 6 раз меньше наружного диаметра медного кольца. Поэтому, система собрана после подогревать стальное кольцо. Во время охлаждения стальное кольцо оказывает давление на медное кольцо(давление из-за усадки).

Поперечное сечение обоих колец прямоугольное, радиальные размеры Ls и Am, а размерность в направлении, перпендикулярном плоскости кольца, равна 1. Размеры LS и Lm можно считать небольшими по сравнению с диаметром d, который является контактной поверхностью 2 колец. Решение. пусть x-равномерно распределенное давление на 1 см2 контактной поверхности кольца.

Напряжение сжатия меди и напряжение растяжения стали определяются из уравнения х <1 ху 0, «- 2л „°с-2 л, “ (с） М. При уменьшении наружного диаметра медного кольца КА°М А И-2л Кен- Увеличение внутреннего диаметра стального кольца А, эйс, ХС? — EU 2HP£S ’

Неизвестное давление x выводится из уравнения Т (*+о: И- Откуда? Где мы находим напряжение из уравнения (a) б //£е £ б £ с Су » — тг = с д д сме. 1 + Я£м + * * * £» а. по вращению кольца с постоянной скоростью N оборотов в минуту определите напряжение, возникающее в составном кольце предыдущей задачи Решение. Поскольку медь плотнее стали и имеет более низкий модуль упругости, вращение медного кольца создает давление в стальном кольце (x = 1 см *контактной поверхности между 2 кольцами).

Тогда соответствующее напряжение определяется из уравнения (а)предыдущего problem. In кроме этих напряжений, необходимо учитывать напряжения, возникающие от центробежных сил. Через усы утяжелите единицу объема стали и меди, используя формулу (15)、 -я нет.) «Нет■» Добавляя эти напряжения к напряжению от давления x, заметим, что относительное удлинение объема кольца одинаково, получим следующее уравнение для определения x:

Таким образом, вы можете вычислить x для каждого конкретного случая

Людмила Фирмаль

Зная x, вы можете найти полное напряжение меди и стали без каких-либо проблем. 6.Допустимые напряжения[st)= 200 кг / см2 и * fM-8,8 г / см1 определяют предельную скорость движения медного кольца. Ответ, v = 48,3 м / с. 

7.Определите напряжение меди при комнатной температуре(см. Задание 2） Для рис. 29)/ / / 0 = 55°C, am-ac-40-10 ″ Ls = Lm. •Ответ. am = 156,2 кг / см2. 8.In Задача 5, если начальное напряжение при сборке в одном кольце равно A0, Li = hc,£c = 2£m при сжатии, определить число оборотов n>min ^®, при котором напряжение в медном кольце равно нулю.

Решение. Скорость вращения N определяется из уравнения 9.Найдите напряжение составного кольца в задаче 4.Настройки 6 = * 0.003 см, d = 10 см, hc = hK и — = r — = 2.Температура М. Кольцо после сборки увеличивается на 10°C. am= 165 * 10″ 7 и ac = 125 * 10 ″ 7. Ответ. am-as = 200 кг / см .Величина изменения напряжения составляет 27 кг / см2. 10.In Задача 5, найти напряжения в Стали и меди при l = 3000 об / мин, d = 60 см, Ls =£m = 1,2 см, mf = 7,8 г / см и M = 8. 8 г! См.*

Смотрите также:

Предмет сопротивление материалов: сопромат