Привет! В этой статье предлагаю поговорить о реакциях опор, еще известных как опорные реакции. Для успешного освоения курса – «сопротивление материалов», каждый студент должен уметь определять реакции опор, чему учат еще в рамках дисциплины — «теоретическая механика». Но для тех, кто проспал механику на первом курсе, я подготовил данную статью, чтобы каждый желающий мог приобрести навыки по расчету опорных реакций.
Так как этот урок для чайников, я многие моменты буду упрощать и рассказывать только самое основное, чтобы написанное здесь, было понятно даже самому неподготовленному студенту — заочнику.
В рамках статьи рассмотрим 4 примера: двухопорная балка, загруженная посередине пролёта сосредоточенной силой, такая же балка, но загруженная распределённой нагрузкой, консольная балка и плоская рама.
Что такое реакция опоры?
Чтобы лучше понять, что такое реакция опоры (опорная реакция), давай рассмотрим следующий пример — балку (стержень) лежащую на опорах:
На балку давит нагрузка – сила, в свою очередь, балка давит на опоры. И чтобы балка лежала на опорах (никуда не проваливалась), опоры выполняют свою основную функцию — удерживают балку. А чтобы удерживать балку, опоры должны компенсировать тот вес, с которым балка давит на них. Соответственно, действие опор можно представить в виде некоторых сил, так называемых — реакций опор.
Для балки, и нагрузка, и реакции опор, будут являться внешними силами, которые нужно обязательно учитывать при расчёте балки. А чтобы учесть опорные реакции, сначала нужно научиться определять их, чем, собственно, и займёмся на этом уроке.
Виды связей и их реакции
Связи – это способы закрепления элементов конструкций. Опоры, которые я уже показывал ранее – это тоже связи.
В этой статье будем рассматривать три вида связей: жёсткая заделка, шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора.
Жёсткая заделка
Жёсткая заделка — это один из вариантов закрепления элементов конструкций. Этот тип связи препятствует любым перемещениям, тем самым для плоской задачи, может возникать три реакции: вертикальная (RA), горизонтальная (HA) и момент (MA).
Шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора
В этой статье будем работать с двумя типами опор: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной.
В шарнирно-неподвижной опоре возникает две реакции: вертикальная и горизонтальная. Так как опора препятствует перемещению в этих двух направлениях. В шарнирно-подвижной опоре возникает только вертикальная реакция.
Однако, видов связей и их условных обозначений достаточно много, но в рамках этой статьи их все рассматривать не будем. Так как, изученные ранее виды связей, являются основными и практически всегда, при решении задач по сопромату, ты будешь сталкиваться именно с ними.
Что такое момент силы?
Также необходимо разобраться с понятием момент силы.
Момент силы — это произведение силы на плечо. Где плечо — это кратчайшее расстояние от точки до силы, то есть перпендикуляр.
Проиллюстрирую написанное:
Правило знаков для моментов
Также для моментов, нужно задаться каким-то правилом знаков. Я в своих уроках буду придерживаться такого правила:
- если сила относительно точки стремится повернуть ПРОТИВ часовой стрелки, то момент положительный;
- если она стремится повернуть ПО часовой стрелке, то момент отрицательный.
Всю подготовительную информацию дал, теперь будем рассматривать конкретные примеры. И начнём с простейшей расчётной схемы балки.
Определение реакций для двухопорной балки
Возьмём балку, загруженную посередине сосредоточенной силой и опирающейся на шарнирно-неподвижную и шарнирно-подвижную опору:
Введём систему координат: направим ось x вдоль балки, а ось y вертикально. Обозначим реакции в опорах как HA, RA и RB:
Для тех, кто пришёл сюда, ещё будучи на этапе изучения теоретической механики, а я знаю, таких будет много, важно отметить, что в сопромате не принято указывать знаки векторов над силами.
В термехе же, в обязательном порядке, преподаватель от тебя настойчиво будет требовать указывать знак вектора над всеми силами, вот так:
Условия равновесия системы
Чтобы найти все реакции, нужно составить и решить три уравнения — уравнения равновесия:
Данные уравнения являются условиями равновесия системы. А так как мы предполагаем, что опоры обеспечивают это состояние равновесия (удерживают балку). То составив и решив уравнения равновесия — найдём значения опорных реакций.
Первое уравнение называется уравнением проекций — суммой проекций всех сил на координатную ось, которая должна быть равна нулю. Два других уравнения называются уравнениями моментов — суммами моментов всех сил относительно точек, которые должны быть равны нулю.
Уравнения равновесия
Как видишь, чтобы научиться находить реакции опор, главное — научиться правильно составлять уравнения равновесия.
Уравнение проекций
Запишем первое уравнение — уравнение проекций для оси x.
В уравнении будут участвовать только те силы, которые параллельны оси x. Такая сила у нас только одна — HA. Так как HA направлена против положительного направления оси x, в уравнение её нужно записать с минусом:
Тогда HA будет равна:
Поздравляю, первая реакция найдена!
Уравнения моментов
А теперь самое интересное…запишем уравнение моментов, относительно точки A, с учётом ранее рассмотренного правила знаков для моментов.
Так как сила F поворачивает ПО часовой стрелке, записываем её со знаком «МИНУС» и умножаем на плечо.
Так как сила RB поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, пишем её со знаком «ПЛЮС» и умножаем на плечо. И, наконец, всё это приравниваем к нулю:
Из полученного уравнения выражаем реакцию RB:
Вторая реакция найдена! Третья реакция находится аналогично, но только теперь уравнение моментов записываем относительно другой точки:
Проверка правильности найденных опорных реакций
Чем хороши задачи на определение реакций, так это тем, что правильность расчёта реакций легко проверить. Для этого достаточно составить дополнительное уравнение равновесия, подставить все численные значения и если сумма проекций сил или сумма моментов будет равна нулю, то и реакции, значит, найдены — верно, а если нет, то ищем ошибку.
Составим дополнительное уравнение проекций для оси y и подставим все численные значения:
Как видишь, реакции опор найдены правильно.
Определение реакций опор для балки с распределенной нагрузкой
Теперь рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой:
Перед тем как посчитать реакции опор, распределенную нагрузку нужно «свернуть» до сосредоточенной силы. Если умножить интенсивность q на длину участка, на которой действует нагрузка, получим силу Q. Сила Q будет находиться ровно посередине балки, как и сила F в нашем первом примере:
Подробно комментировать нахождение реакций в опорах здесь, не буду. Просто приведу решение:
Расчёт реакций для консольной балки
Давай рассмотрим теперь пример с жёсткой заделкой – консольную балку. Заодно посмотрим, как учесть силу, приложенную под углом (α = 30°).
Силу, направленную под определённым углом, нужно разложить на две составляющие – горизонтальную и вертикальную. А их значения найти из силового треугольника:
Покажем реакции в заделке и выполним расчёт:
Для этой задачи выгоднее использовать другую форму условий равновесия:
А выгодна она тем, что из каждого записанного уравнения будем сразу находить реакцию:
Не пугайся отрицательного значения реакции! Это значит, что при указании реакции, мы не угадали с её направлением. Расчёт же показал, что MA, направлена не по часовой стрелке, а против.
В теоретической механике, когда реакции получают с «минусом» обычно не заморачиваются и не меняют их направление на схеме, так и оставляют в ответе отрицательное значение, оговаривая, что да реакция найдена, но с учётом знака, на самом деле направлена в другую сторону. Потому что найденные реакции в задачах на статику, являются конечной точкой расчёта.
У нас же, в сопромате после нахождения опорных реакций, всё только начинается. Найдя реакции, мы всего лишь находим ВСЕ силы действующие на элемент конструкции, а дальше по сценарию стоит задача определить внутренние усилия, возникающие в этом элементе, расчёты на прочность и т. д. Поэтому на схеме, обязательно следует указывать истинное направление реакций. Чтобы потом, когда будут рассчитываться внутренние усилия ничего не напутать со знаками.
Если получили отрицательное значение, нужно отразить это на схеме:
С учётом изменений на схеме реакция будет равна:
Сделаем проверку, составив уравнение равновесие, ещё не использованное – сумму моментов относительно, скажем, точки B, которая, при правильном расчёте, конечно, должна быть равна нулю:
Если не менять направление реакции, то в проверочном уравнении нужно учесть этот «минус»:
Можешь посмотреть еще один пример, с похожей схемой, для закрепления материала, так сказать.
Реакции опор для плоской рамы
Теперь предлагаю выполнить расчёт плоской рамы. Для примера возьмём расчётную схему, загруженную всевозможными видами нагрузок:
Проводим ряд действий с расчетной схемой рамы:
- заменяем опоры на реакции;
- сворачиваем распределенную нагрузку до сосредоточенной силы;
- вводим систему координат x и y.
Выполняем расчёт реакций опор:
Меняем направление реакции RA:
В итоге получили следующие реакции в опорах рамы:
Осталось проверить наши расчеты! Для этого предлагаю записать уравнение моментов, относительно точки B. И если, эта сумма будет равна нулю, то расчет выполнен верно:
Как видим, расчет реакций выполнен правильно!
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Сила нормальной реакции – сила, действующая на тело со стороны опоры (или сила, противодействующая другим силам в любом данном сценарии). Ее вычисление зависит от конкретных условий и известных величин.
-
1
В случае тела, покоящегося на горизонтальной поверхности, сила нормальной реакции противодействует силе тяжести.
- Представьте себе тело, лежащее на столе. Сила тяжести действует по направлению к земле, но так как тело не разрушает стол и не падает на землю, существует некоторая противодействующая сила. Эта сила и есть сила нормальной реакции.
-
2
Формула для нахождения силы нормальной реакции для тела, покоящегося на горизонтальной поверхности: N = m*g[1]
- В этой формуле N – сила нормальной реакции, m – масса тела, g – ускорение свободного падения.
- В случае тела, находящегося в состоянии покоя на горизонтальной поверхности и на которое не действуют внешние силы, сила нормальной реакции равна весу. Для сохранения тела в состоянии покоя, сила нормальной реакции должна быть равна силе тяжести, действующую на опору. В данном случае сила тяжести, действующая на опору, является весом, то есть произведением массы тела на ускорение свободного падения.
- Пример: найдите силу нормальной реакции, действующую на тело массой 4,2 г.
-
3
Умножьте массу тела на ускорение свободного падения. Вы найдете вес, который в данном случае равен силе нормальной реакции (так как тело в находится в покое на горизонтальной поверхности).
- Обратите внимание, что ускорение свободного падения на поверхности Земли является постоянной величиной: g = 9,8 м/с2.[2]
- Пример: вес = m*g = 4,2*9,8 = 41,16 Н.
- Обратите внимание, что ускорение свободного падения на поверхности Земли является постоянной величиной: g = 9,8 м/с2.[2]
-
4
Запишите ответ.
- Пример: сила нормальной реакции равна 41,16 Н.
Реклама
-
1
Формула для вычисления силы нормальной реакции, действующей на тело, покоящееся на наклонной поверхности: N = m * g * cos(x).[3]
- В этой формуле N – сила нормальной реакции, m – масса тела, g – ускорение свободного падения, х – угол наклона поверхности.
- Пример: найдите силу нормальной реакции, действующую на тело массой 4,2 г, находящегося на наклонной поверхности с углом наклона 45 градусов.
-
2
Найдите косинус угла. Косинус угла равен отношению прилежащей (к этому углу) стороны к гипотенузе. [4]
- Косинус зачастую вычисляется с помощью калькулятора, но вы также можете найти его вручную.
- Пример: соs(45) = 0,71.
-
3
Найдите вес. Вес равен произведению массы тела на ускорение свободного падения.
- Обратите внимание, что ускорение свободного падения на поверхности Земли является постоянной величиной: g = 9,8 м/с2.
- Пример: вес = m*g = 4,2*9,8 = 41,16 Н.
-
4
Перемножьте два найденных значения. Для вычисления силы нормальной реакции умножьте вес на косинус угла наклона.
- Пример: N = m * g * cos(x) = 41,16 * 0,71 = 29,1
-
5
Запишите ответ.
- Обратите внимание, что в случае тела, находящегося на наклонной поверхности, сила нормальной реакции меньше веса.
- Пример: сила нормальной реакции равна 29,1 Н.
Реклама
-
1
Формула для вычисления силы нормальной реакции в случае, когда внешняя сила, действующая на тело, направлена вниз: N = m * g + F * sin(x).
- В этой формуле N – сила нормальной реакции, m – масса тела, g – ускорение свободного падения, х – угол между горизонтальной поверхностью и направлением действия внешней силы.
- Пример: найдите силу нормальной реакции, действующую на тело массой 4,2 г, на которое действует внешняя сила 20,9 Н под углом 30 градусов.
-
2
Найдите вес. Вес равен произведению массы тела на ускорение свободного падения.
- Обратите внимание, что ускорение свободного падения на поверхности Земли является постоянной величиной: g = 9,8 м/с2.
- Пример: вес = m*g = 4,2*9,8 = 41,16 Н.
-
3
Найдите синус угла. Синус угла равен отношению противолежащей (к этому углу) стороны к гипотенузе. [5]
- Пример: sin(30) = 0,5.
-
4
Умножьте синус угла на внешнюю силу.
- Пример: 0,5 * 20,9 = 10,45
-
5
Сложите это значение и вес. Вы найдете силу нормальной реакции.
- Пример: 10,45 + 41,16 = 51,61
-
6
Запишите свой ответ. Обратите внимание, что в случае тела, на которое действует сила, направленная вниз, сила нормальной реакции больше веса.
- Пример: сила нормальной реакции равна 51,61 Н.
Реклама
-
1
Формула для вычисления силы нормальной реакции в случае, когда внешняя сила, действующая на тело, направлена вверх: N = m * g – F * sin(x).
- В этой формуле N – сила нормальной реакции, m – масса тела, g – ускорение свободного падения, х – угол между горизонтальной поверхностью и направлением действия внешней силы.
- Пример: найдите силу нормальной реакции, действующую на тело массой 4,2 г, на которое действует внешняя сила 20,9 Н под углом 50 градусов.
-
2
Найдите вес. Вес равен произведению массы тела на ускорение свободного падения.
- Обратите внимание, что ускорение свободного падения на поверхности Земли является постоянной величиной: g = 9,8 м/с2.
- Пример: вес = m*g = 4,2*9,8 = 41,16 Н.
-
3
Найдите синус угла. Синус угла равен отношению противолежащей (к этому углу) стороны к гипотенузе. [6]
- Пример: sin(50) = 0,77.
-
4
Умножьте синус угла на внешнюю силу.
- Пример: 0,77 * 20,9 = 16,01
-
5
Вычтите это значение из веса. Вы найдете силу нормальной реакции.
- Пример: 41,16 – 16,01 = 25,15
-
6
Запишите свой ответ. Обратите внимание, что в случае тела, на которое действует сила, направленная вверх, сила нормальной реакции меньше веса.
- Пример: сила нормальной реакции равна 25,15 Н.
Реклама
-
1
Формула для вычисления силы трения: F = μ * N.
- В этой формуле F – сила трения, μ – коэффициент трения, N – сила нормальной реакции.
- Коэффициент трения характеризует силу, необходимую для движения одного материала по поверхности другого.
-
2
Перепишите формулу, обособив силу нормальной реакции. Если вам даны сила трения и коэффициент трения, вы можете найти силу нормальной реакции по формуле: N = F / μ.
- Обе части исходной формулы были разделены на μ, в результате чего сила нормальной реакции была обособлена на одной стороне, а сила трения и коэффициент трения – на другой.
- Пример: найдите силу нормальной реакции, когда сила трения равна 40 Н, а коэффициент трения равен 0,4.
-
3
Разделите силу трения на коэффициент трения. Вы найдете силу нормальной реакции.
- Пример: N = F/μ = 40/0,4 = 100
-
4
Запишите ответ. Вы можете проверить ответ, подставив его в исходную формулу для вычисления силы трения.
- Пример: сила нормальной реакции равна 100 Н.
Реклама
Что вам понадобится
- Карандаш
- Бумага
- Калькулятор
Об этой статье
Эту страницу просматривали 59 392 раза.
Была ли эта статья полезной?
Определением реакций опор называют расчет величины и направления реактивных (т.е. ответных) сил и моментов, возникающих в опорах конструкций под действием системы заданных внешних нагрузок.
В рассмотренных ниже примерах, для наглядности, заданные внешние нагрузки показаны синим или зеленым цветом, а реакции опор — красным или оранжевым.
При решении задач, определяемые реакции опор могут обозначаться по разному:
- буквой R (от англ. Reaction). В этом случае, для уточнения точки приложения и направления силы могут добавляться соответствующие индексы (например, RAy — это реакция в точке A направленная вдоль оси Y);
- буквами V (Vertical) и H (Horizontal) обозначаются соответственно вертикальная и горизонтальная составляющие полной реакции (например, HB — это реакция в точке B направленная вдоль оси балки);
- Также возможно обозначение реакций по осям координат — YA, XB и т.д.
Сохранить или поделиться с друзьями
Рассмотрим решение всех типов задач по расчету величины и направления опорных реакций в заделках, шарнирных опорах и стержнях:
Примеры нахождения реакций опор
Примеры нахождения реакций опор для различных способов закрепления и нагружения бруса, балок, рам и других элементов конструкций.
Реакции опоры и стержня системы
Невесомая балка удерживается в горизонтальном положении шарнирно-неподвижной опорой в т. A и вертикальным стержнем BC.
В точке D к балке приложена сосредоточенная сила F=30кН под углом 50°.
Требуется найти реакции, возникающие в опоре A и стержне BC.
Решение
Для решения задачи, покажем систему координат x-y и зададим произвольное направление реакций.
В точке A реакция в опоре раскладывается на две составляющие — вертикальную VA и горизонтальную HA.
Реакция в стержне (RB) всегда направлена вдоль самого стержня.
Для определения трех реакций требуется три уравнения равновесия.
Это будут два уравнения суммы моментов относительно точек в опорах и сумма проекций всех сил на ось x равные нулю.
Составим их:
Из полученных уравнений выражаем и находим искомые реакции опор
Вертикальная реакция в опоре A получилась отрицательной, это значит что она направлена в противоположную сторону.
Направляем ее вниз, изменив знак на «плюс».
Выполним проверку найденных реакций, проецируя все силы на ось y.
Равенство нулю суммы проекций всех сил и реакций показывает то, что реакции опор найдены верно.
Таким образом, заданная балка удерживается в равновесии под действием одной активной и трех реактивных сил.
Расчет реакций опор балки
Простая балка на двух шарнирных опорах нагружена системой усилий, включающей силу F=60кН, приложенную под углом 40°, момент M=45кНм и равномерно распределенную нагрузку q=18кН/м.
Требуется определить реакции в опорах A и C.
Решение
Вычерчиваем заданную схему в масштабе, показываем численные значения нагрузок, систему координат x-y и задаем произвольное направление реакций.
Здесь, в шарнирно-подвижной опоре будет только одна составляющая реакции.
Для упрощения решения, распределенную нагрузку можно заменить её равнодействующей, которая при равномерном распределении q будет приложена по её центру
а силу F можно разложить на составляющие, спроецировав её на оси x и y.
В следющих примерах эти действия выполнять не будем, проводя вычисления напрямую со значениями q и F.
Аналогично тому, как это делалось при решении предыдущей задачи, записываем уравнения равновесия балки: нулевые суммы моментов всех нагрузок и искомых реакций относительно опор
и проекций сил на ось балки
Откуда находим все три опорные реакции
Все результаты положительны, следовательно, направление реакций было выбрано верно.
Проверяем найденные значения.
Величина реакций рассчитана правильно.
Подробное решение данного типа задач
Остальные задачи по определению опорных реакций с детальным разбором выполняемых действий:
При растяжении-сжатии стержней
Определение реакций в опорах стержней и стержневых систем при действии продольных сил.
- Расчет опорной реакции при растяжении-сжатии
- Расчет опорной реакции ступенчатого бруса
- Опорная реакция в заделке стержня с продольно распределенной нагрузкой
При кручении
Примеры расчета опорных моментов и реакций в подшипниках вала при кручении.
- Определение неизвестного крутящего момента вала
- Определение реакций подшипников пространственно нагруженного вала
- Расчет уравновешивающего момента вала
При изгибе балок и рам
Определение реакций в шарнирных опорах и заделках консольных балок и рам при действии систем внешних сил, моментов и распределенных нагрузок.
- Определение реакций в опорах двухопорной балки
- Расчет опорных реакций консольной балки
- Определение опорных реакций в жесткой заделке при изгибе
- Определение реакций опор балки, когда сила приложена под углом
- Проверка опорных реакций балки
- Расчет реакций в опорах рамы
- Определение опорных реакций балки (Видео)
Наш короткий видеоурок по расчету реакций опор балки:
Другие видео
Другие примеры определения реакций опор
Расчет реакций в опорах нестандартных систем.
- Определение реакции шарнира и опоры
- Реакции в шарнирах
- Реакции опор и шарнира
- Расчет веса противовеса и реакций в шарнирах
- Величина груза обеспечивающая равновесие и реакции в подшипниках
- Определение усилий в стержнях
- Натяжение троса и реакция опоры
- Реакции опор в точках системы
- Опорные реакции невесомой конструкции
- Опорные реакции в скользящей заделке
- Давление в шарнире и реакции в бискользящей заделке
- Реакции в скользящей заделке
- Расчет усилия в стержне
Типы опор и их реакции
В механике различают тела свободные: возможность перемещения, которых в любом направлении ничем не ограничена, и несвободные, когда перемещение данного тела ограничивают другие тела.
Сами тела ограничивающие свободу перемещения данного тела называют опорами (связями), а силы, с которыми опоры удерживают данное тело в равновесии, называют реакциями опор.
Направление реакций зависит от вида опор и схемы нагружения.
При решении задач очень важно правильно заменить опоры их реакциями, иначе записанные уравнения равновесия окажутся неверными.
И здесь важно помнить о том, что реакции могут появляться только по тем направлениям, в которых перемещение невозможно.
Рассмотрим определение реакций в основных типах опор:
Другие видео
Реакция гладкой поверхности
Пусть некоторое тело опирается на гладкую поверхность.
Здесь перемещение тела возможно только вдоль поверхности.
Движение перпендикулярно ей исключено.
Потому что перемещению в сторону поверхности препятствует сама поверхность, а при движении от нее нарушится сама связь.
Таким образом, гладкая поверхность препятствует перемещению тела только в направлении нормали, поэтому реакция гладкой поверхности всегда направлена по нормали к этой поверхности.
При взаимодействии криволинейных поверхностей аналогично, реакция направлена нормально к касательной в точке контакта тел.
То же самое будет при контакте в двух точках.
Реакция ребра
В случае, когда прямая балка опирается на ребро, реакции будут направлены перпендикулярно опираемой или опирающейся плоскости в точке их касания.
При повороте балки реакция всегда будет оставаться нормальной к соответствующей поверхности.
Гибкая связь
Для тела, подвешенного на нерастяжимой нити или тросе, связь не позволяет телу удаляться от точки подвеса в направлении самой нити.
Поэтому реакция гибкий связи будет направлена всегда только вдоль самой нити.
Реакции в стержнях
Как и в предыдущем пункте, в стержнях, которые с помощью шарниров соединяют какие-либо элементы с опорами, реакции направлены вдоль самих стержней.
Но в отличие от нитей, здесь может быть одно из двух направлений: растягивающее стержень или сжимающее его.
Реакции в шарнирных опорах
На плоскости возможны только три направления перемещения:
Линейные — вдоль осей x и y, и вращение относительно оси Z.
Поэтому в двумерных системах каждая опора может давать не более трех реакций.
Если свободное тело закрепить шарнирно-неподвижной опорой, которая допускает вращение, но исключает любые линейные перемещения, то в такой опоре могут возникать две реакции.
Они являются осевыми проекциями полной реакции опоры, которая может быть найдена как корень из суммы квадратов её составляющих.
Направление вектора полной реакции зависит от схемы нагружения элемента.
Встречаются разные способы изображения шарнирно-неподвижных опор в расчетных схемах.
В шарнирно-подвижных опорах, помимо вращения возможно линейное перемещение вдоль поверхности, поэтому здесь будет только одна, нормальная к поверхности, составляющая реакции, которая по направлению и величине будет совпадать с полной.
У таких опор так же существуют дополнительные варианты схематичного изображения.
Пример направления реакций опор для балки на двух шарнирных опорах.
Реакции в заделках
Вид связи, при котором брус жестко закреплен в опоре называется глухой заделкой.
В этом случае исключены любые перемещения элемента.
Поэтому в плоских заделках может возникать до трех реакций: горизонтальная и вертикальная составляющие полной реакции, а также момент.
Скользящая заделка допускает линейное перемещение вдоль одной из осей.
Следовательно, по этой оси реакции не будет.
В бискользящей заделке исключается только угловое перемещение элемента.
Здесь из реакций будет один момент.
Реакции опор в трехмерных системах
В пространстве возможно уже шесть направлений движения:
Поступательные вдоль каждой из осей и вращение относительно них.
Поэтому в трехмерных системах опоры могут давать до шести реакций.
Шкив на валу, закрепленном подшипниками, может вращаться относительно продольной оси вала.
Любые другие перемещения невозможны.
В силу конструктивных особенностей подшипников моментов в них не возникает.
Здесь имеют место только реактивные силы.
В радиальном подшипнике (который справа) все реакции поперечны оси вала.
В радиально-упорном (который слева) добавляется еще и продольная.
В трехмерном шарнире исключены любые линейные перемещения и возможны только повороты относительно трех осей, что дает до трех составляющих полной реакции R.
В жесткой заделке при общем случае нагружения может возникать до шести реакций: трёх сил и трех моментов.
Пример замены опор их реакциями для трехмерной системы:
Порядок расчета опорных реакций
В рассмотренных выше примерах при определении реакций в опорах выполняется следующая последовательность действий:
- Вычерчивается (в масштабе) расчетная схема элемента с указанием всех размеров и приложенных внешних нагрузок;
Расчетная схема балки - Выбирается система координат и обозначаются характерные сечения бруса;
Система координат для балки - Определяется количество и возможное направление связей;
Направление опорных реакций балки - Записываются уравнения статики (по количеству неизвестных реакций);
- Из уравнений равновесия находим величину и направление (по знаку) опорных реакций.
Опорные реакции балки
После расчетов выполняется проверка найденных значений.
Более подробно порядок расчета опорных реакций рассматривается в разделе «Статика» теоретической механики.
Другие примеры решения задач >
Лекция №3
Тема: «Внутренние
усилия в поперечных сечениях стержня»
Вопросы:
1. Опоры и
опорные реакции, и их определение
2. Поперечная
сила и изгибающий момент
3. Взаимосвязь
между изгибающим моментом, поперечной
силой и интенсивностью распределенной
нагрузки
1. Опоры
и опорные реакции, и их определение
При
расчете конструкций в основном встречаются
элементы, испытывающие изгиб.
Стержни,
работающие преимущественно
на изгиб, называют балками. Для того
чтобы балка
могла
испытывать
нагрузку и передавать ее на основание,
она должна
быть соединена с ним опорными связями.
На практике применяют
несколько типов опорных связей, или,
как говорят, несколько
типов опор.
Различают три
основных типа опор:
а)
шарнирно-подвижная опора:
б)
шарнирно-неподвижная опора:
в)
жесткая заделка.
Рис. 1
На
рис. 1 показана шарнирно-подвижная
опора, такая опора позволяет
балке свободно поворачиваться и
перемещаться в горизонтальном
направлении. Поэтому реакция в опоре
будет одна
вертикальная сила. Условное обозначение
такой опоры показано справа.
Рис. 2
На
рис. 2 показана шарнирно-неподвижная
опора. Такая опора
позволяет балке свободно поворачиваться,
но перемещаться она
не может. Поэтому могут возникать две
реакции – вертикальная и горизонтальная
силы. Их можно сложить и получить одну
результатирующую
силу, но нужно знать угол, под которым
oна
будет
направлена. Более удобно будет пользоваться
вертикальной и горизонтальной
составляющими реакции.
На
рис. 3 показана жесткая заделка. Она
не позволяет балке ни поворачиваться,
ни перемещаться. Поэтому могут возникать
три опорные
реакции: момент, вертикальная и
горизонтальная силы. Если балка не имеет
на конце опоры, то эта часть ее называется
консолью.
Рис. 3
Определим
реакции опор для балки (см. рис. 4).
Рис.4
В опоре
А горизонтальная реакция равна нулю,
так как распределенная
нагрузка q
и сосредоточенная сила F
имеют
вертикальное
направление. Реакции опор
направим
вверх.
Составим два уравнения статического
равновесия сил. Сумма моментов относительно
каждой из опор равна нулю. Уравнения
моментов нужно составлять относительно
опор, так как в этом случае получаются
уравнения с одним неизвестным. Если
составить уравнения
относительно точек В и С, то получим
уравнения с двумя неизвестными,
а их решать сложнее. Моменты против
часовой стрелки будем считать
положительными, по часовой
отрицательными.
где
момент от равномерно распределенной
нагрузки.
Произведение
q
на расстояние, на котором она приложена,
из условия
равновесия системы равно сосредоточенной
силе, приложенной
посредине отрезка. Поэтому момент
равен:
– момент силы F
Внешний
момент m
на плечо не умножается, так
как
это
пара сил, т.е. две равные по величине,
противоположно направленные силы,
имеющие постоянное плечо.
или
.
Проверка:
Сумма всех сил на вертикальную ось Y
должна быть равна
нулю:
.
Момент
m
в условие статического равновесия
не записывают,
так как момент
это две равные по величине, противоположно
направленные силы и в проекции на любую
ось они дадут
ноль.
30-20-2-40+50=0:
80-80=0.
Реакции
определены правильно.
2. Поперечная
сила и изгибающий момент
Пусть
на балку действуют силы
,
реакции опор
.
Определим внутренние усилия в сечении,
расположенном на расстоянии от нулевого
конца (см. рис.5).
Рис. 5
Поскольку
все внешние силы действуют вертикально,
то горизонтальной составляющей у реакции
опоры А
не будет. Балка не будет сжиматься или
растягиваться, т.е. продольная сила в
поперечных сечениях равна нулю. Можно
было взять пример, когда
силы
были бы не вертикальными по направлению.
Тогда бы в опоре А
была бы и вторая реакция
горизонтальная сила, а в сечениях балки
продольная сила N.
В этом случае балка испытывала бы изгиб
с растяжением (сжатием), т.e.
был бы случай сложного сопротивления.
Его мы будем изучать позднее. Вначале
рассматривают более простые задачи и
идут к более сложным, а не наоборот.
Поскольку
внешние силы
лежат в одной плоскости,
проходящей через ось бруса, то возможно
возникновение
тpex
внутренних усилий: изгибающею момента
М,
поперечной силы Q
и
продольной силы N,
которая, как мы отмечали, равна нулю.
Значения М
и Q
определим
из уравнения статического равновесия
левой
части балки:
.
Вывод:
поперечная сила в сечении численно
равна алгебраической
сумме всех внешних сил, а изгибающий
момент
сумме
всех моментов, вычисленных относительно
сечения и приложенных
к рассматриваемой части балки.
Для
поперечных сил и изгибающих моментов
приняты обязательные
правила знаков (см. рис. 6).
Если
сила пытается повернуть рассматриваемую
часть балки по часовой
стрелке, то она вызывает положительную
поперечную силу, и, наоборот, если
действует против часовой стрелки
то поперечная
сила
отрицательная. На рис. 5
сила
вызывает положительное
Q,
а
отрицательное. Следует отметить, что
направление силы положительное для
левой части будет отрицательным для
правой части.
Это вызвано тем, что внутренние силы,
действующие на правую
и левую часть балки обязательно должны
быть равны и противоположно
направлены.
Если
внешняя сила или внешний момент изгибают
балку выпуклостью
вниз, то возникающий изгибающий момент
положительный
и, наоборот, выпуклостью вверх
отрицательный.
Рис. 6
3. Взаимосвязь
между изгибающим моментом,
поперечной силой
и интенсивностью распределенной нагрузки
Пусть
на консольную балку (см. рис. 7)
действует
распределенная
нагрузка, изменяющаяся по длине балки.
На расстоянии z
от левого конца возьмем бесконечно
малый отрезок dz.
Рис. 7
Тогда
распределенную нагрузку на нем можно
рассматривать как постоянную.
В левой части рассматриваемого отрезка
будут внутренние усилия Q
и
М,
в правой
с учетом приращения внутренних
усилий Q+dQ
и
M+dM.
Составим
уравнения статического равновесия для
отрезка балки:
(1)
Третьим
членом можно пренебречь, как бесконечно
малой величиной
более высокого порядка, т.е.:
После преобразований
получим:
(2)
т.е. первая
производная от изгибающего момента по
абсциссе (длине балки) есть поперечная
сила.
Если
в формулу (1) подставить значение Q
из
формулы (2),
то
получим:
, (3)
т.е. вторая
производная от изгибающего момента
есть интенсивность распределенной
нагрузки.
Статика – один из разделов современной физики, который изучает условия нахождения тел и систем в механическом равновесии. Для решения задач на равновесие важно знать, что такое сила реакции опоры. Данная статья посвящена подробному рассмотрению этого вопроса.
Второй и третий законы Ньютона
Прежде чем рассматривать определение силы реакции опоры, следует вспомнить о том, что вызывает движение тел.
Причиной нарушения механического равновесия является действие на тела внешних или внутренних сил. В результате этого действия тело приобретает определенное ускорение, которое вычисляется с помощью следующего равенства:
F = m*a
Эта запись известна как второй закон Ньютона. Здесь сила F является результирующей всех действующих на тело сил.
Если одно тело воздействует с некоторой силой F1¯ на второе тело, то второе оказывает действие на первое с точно такой же по абсолютной величине силой F2¯, но она направлена в противоположном направлении, чем F1¯. То есть справедливо равенство:
F1¯ = -F2¯
Эта запись является математическим выражением для третьего ньютоновского закона.
При решении задач с использованием этого закона школьники часто допускают ошибку, сравнивая эти силы. Например, лошадь везет телегу, при этом лошадь на телегу и телега на лошадь оказывают одинаковые по модулю силы. Почему же тогда вся система движется? Ответ на этот вопрос можно правильно дать, если вспомнить, что обе названные силы приложены к разным телам, поэтому они друг друга не уравновешивают.
Сила реакции опоры
Сначала дадим физическое определение этой силы, а затем поясним на примере, как она действует. Итак, силой нормальной реакции опоры называется сила, которая действует на тело со стороны поверхности. Например, мы поставили стакан с водой на стол. Чтобы стакан не двигался с ускорением свободного падения вниз, стол воздействует на него с силой, которая уравновешивает силу тяжести. Это и есть реакция опоры. Ее обычно обозначают буквой N.
Сила N – это контактная величина. Если имеется контакт между телами, то она появляется всегда. В примере выше значение величины N равно по модулю весу тела. Тем не менее это равенство является лишь частным случаем. Реакция опоры и вес тела – это совершенно разные силы, имеющие различную природу. Равенство между ними нарушается всегда, когда изменяется угол наклона плоскости, появляются дополнительные действующие силы, или когда система движется ускоренно.
Сила N называется нормальной потому, что она всегда направлена перпендикулярно плоскости поверхности.
Если говорить о третьем законе Ньютона, то в примере выше со стаканом воды на столе вес тела и нормальная сила N не являются действием и противодействием, поскольку обе они приложены к одному телу (стакану с водой).
Физическая причина появления силы N
Как было выяснено выше, сила реакции опоры препятствует проникновению одних твердых тел в другие. Почему появляется эта сила? Причина заключается в деформации. Любые твердые тела под воздействием нагрузки деформируются сначала упруго. Сила упругости стремится восстановить прежнюю форму тела, поэтому она оказывает выталкивающее воздействие, что проявляется в виде реакции опоры.
Если рассматривать вопрос на атомном уровне, то появление величины N – это результат действия принципа Паули. При небольшом сближении атомов их электронные оболочки начинают перекрываться, что приводит к появлению силы отталкивания.
Многим может показаться странным, что стакан с водой способен деформировать стол, но это так. Деформация настолько мала, что невооруженным глазом ее невозможно наблюдать.
Как вычислять силу N?
Сразу следует сказать, что какой-то определенной формулы силы реакции опоры не существует. Тем не менее имеется методика, применяя которую, можно определить N для совершенно любой системы взаимодействующих тел.
Методика определения величины N заключается в следующем:
- сначала записывают второй закон Ньютона для данной системы, учитывая все действующие в ней силы;
- находят результирующую проекцию всех сил на направление действия реакции опоры;
- решение полученного уравнения Ньютона на отмеченное направление приведет к искомому значению N.
При составлении динамического уравнения следует внимательно и правильно расставлять знаки действующих сил.
Найти реакцию опоры можно также, если пользоваться не понятием сил, а понятием их моментов. Привлечение моментов сил справедливо и является удобным для систем, которые имеют точки или оси вращения.
Далее приведем два примера решения задач, в которых покажем, как пользоваться вторым ньютоновским законом и понятием момента силы для нахождения величины N.
Задача со стаканом на столе
Выше уже был приведен этот пример. Предположим, что пластиковый стакан объемом 250 мл наполнен водой. Его поставили на стол, а сверху на стакан положили книгу массой 300 грамм. Чему равна сила реакции опоры стола?
Запишем динамическое уравнение. Имеем:
m*a = P1 + P2 – N
Здесь P1 и P2 – вес стакана с водой и книги соответственно. Поскольку система находится в равновесии, то a=0. Учитывая, что вес тела равен силе тяжести, а также пренебрегая массой пластикового стакана, получаем:
m1*g + m2*g – N = 0 =>
N = (m1 + m2)*g
Учитывая, что плотность воды равна 1 г/см3, и 1 мл равен 1 см3, получаем согласно выведенной формуле, что сила N равна 5,4 ньютона.
Задача с доской, двумя опорами и грузом
Доска, массой которой можно пренебречь, лежит на двух твердых опорах. Длина доски равна 2 метра. Чему будет равна сила реакции каждой опоры, если на эту доску посередине положить груз массой 3 кг?
Прежде чем переходить к решению задачи, следует ввести понятие момента силы. В физике этой величине соответствует произведение силы на длину рычага (расстояние от точки приложения силы до оси вращения). Система, имеющая ось вращения, будет находиться в равновесии, если суммарный момент сил равен нулю.
Возвращаясь к нашей задаче, вычислим суммарный момент сил относительно одной из опор (правой). Обозначим длину доски буквой L. Тогда момент силы тяжести груза будет равен:
M1 = -m*g*L/2
Здесь L/2 – рычаг действия силы тяжести. Знак минус появился потому, что момент M1 осуществляет вращение против часовой стрелки.
Момент силы реакции опоры будет равен:
M2 = N*L
Поскольку система находится в равновесии, то сумма моментов должна быть равной нулю. Получаем:
M1 + M2 = 0 =>
N*L + (-m*g*L/2) = 0 =>
N = m*g/2 = 3*9,81/2 = 14,7 Н
Заметим, что от длины доски сила N не зависит.
Учитывая симметричность расположения груза на доске относительно опор, сила реакции левой опоры также будет равна 14,7 Н.
