Как найти силу тока через емкость конденсатора

Закон Кулона

Закон Кулона — это один из основных законов электростатики. Он определяет величину и направление силы взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами.

Под точечным зарядом понимают заряженное тело, размер которого много меньше расстояния его возможного воздействия на другие тела. В таком случае ни форма, ни размеры заряженных тел не влияют практически на взаимодействие между ними.

Закон Кулона экспериментально впервые был доказан приблизительно в 1773 г. Кавендишем, который использовал для этого сферический конденсатор. Он показал, что внутри заряженной сферы электрическое поле отсутствует. Это означало, что сила электростатического взаимодействия меняется обратно пропорционально квадрату расстояния, однако результаты Кавендиша не были опубликованы.

В 1785 г. закон был установлен Ш. О. Кулоном с помощью специальных крутильных весов.

Опыты Кулона позволили установить закон, поразительно напоминающий закон всемирного тяготения.

Сила взаимодействия двух точечных неподвижных заряженных тел в вакууме прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

В аналитическом виде закон Кулона имеет вид:

$F=k{|q_1|·|q_2|}/{r^2}$

где $|q_1|$ и $|q_2|$ — модули зарядов; $r$ — расстояние между ними; $k$ — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. Сила взаимодействия направлена по прямой, соединяющей заряды, причем одноименные заряды отталкиваются, а разноименные — притягиваются.

Сила взаимодействия между зарядами зависит также от среды между заряженными телами.

В воздухе сила взаимодействия почти не отличается от таковой в вакууме. Закон Кулона выражает взаимодействие зарядов в вакууме.

Кулон — единица электрического заряда. Кулон (Кл) — единица СИ количества электричества (электрического заряда). Она является производной единицей и определяется через единицу силы тока 1 ампер (А), которая входит в число основных единиц СИ.

За единицу электрического заряда принимают заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока $1$А за $1$с.

То есть $1$ Кл$= 1А·с$.

Заряд в $1$ Кл очень велик. Сила взаимодействия двух точечных зарядов по $1$ Кл каждый, расположенных на расстоянии $1$ км друг от друга, чуть меньше силы, с которой земной шар притягивает груз массой $1$ т. Сообщить такой заряд небольшому телу невозможно (отталкиваясь друг от друга, заряженные частицы не могут удержаться в теле). А вот в проводнике (который в целом электронейтрален) привести в движение такой заряд просто (ток в $1$ А вполне обычный ток, протекающий по проводам в наших квартирах).

Коэффициент $k$ в законе Кулона при его записи в СИ выражается в $Н · м^2$ / $Кл^2$. Его численное значение, определенное экспериментально по силе взаимодействия двух известных зарядов, находящихся на заданном расстоянии, составляет:

$k=9·10^9H·м^2$/$Кл^2$

Часто его записывают в виде $k={1}/{4πε_0}$, где $ε_0=8.85×10^{-12}Кл^2$/$H·м^2$ – электрическая постоянная.

Электрическая емкость конденсатора

Электроемкость

Электроемкостью проводника $С$ называют численную величину заряда, которую нужно сообщить проводнику, чтобы изменить его потенциал на единицу:

$C={q}/{φ}$

Емкость характеризует способность проводника накапливать заряд. Она зависит от формы проводника, его линейных размеров и свойств среды, окружающей проводник.

Единицей емкости в СИ является фарада ($Ф$) — емкость проводника, в котором изменение заряда на $1$ кулон меняет его потенциал на $1$ вольт.

Электрический конденсатор

Электрический конденсатор (от лат. condensare, буквально сгущать, уплотнять) — устройство, предназначенное для получения электрической емкости заданной величины, способное накапливать и отдавать (перераспределять) электрические заряды.

Конденсатор — это система из двух или нескольких равномерно заряженных проводников с равными по величине зарядами, разделенных слоем диэлектрика. Проводники называются обкладками конденсатора. Как правило, расстояние между обкладками, равное толщине диэлектрика, намного меньше размеров самих обкладок, так что поле в конденсаторе практически все сосредоточено между его обкладками. Если обкладки являются плоскими пластинами, поле между ними однородно. Электроемкость плоского конденсатора определяется по формуле:

$C={q}/{U}={ε_{0}εS}/{d}$

где $q$ — заряд конденсатора, $U$ — напряжение между его обкладками, $S$ — площадь пластины, $d$ — расстояние между пластинами, $ε_{0}$ — электрическая постоянная, $ε$ — диэлектрическая проницаемость среды.

Под зарядом конденсатора понимают абсолютное значение заряда одной из пластин.

Энергия поля конденсатора

Энергия заряженного конденсатора выражается формулами

$E_n={qU}/{2}={q^2}/{2C}={CU^2}/{2}$

которые выводятся с учетом выражений для связи работы и напряжения и для емкости плоского конденсатора.

Энергия электрического поля. Объемная плотность энергии электрического поля (энергия поля в единице объема) напряженностью $Е$ выражается формулой:

$ω={εε_{0}E^2}/{2}$

где $ε$ — диэлектрическая проницаемость среды, $ε_0$ — электрическая постоянная.

Сила тока

Электрическим током называется упорядоченное (направленное) движение заряженных частиц.

Сила электрического тока — это величина ($I$), характеризующая упорядоченное движение электрических зарядов и численно равная количеству заряда $∆q$, протекающего через определенную поверхность $S$ (поперечное сечение проводника) за единицу времени:

$I={∆q}/{∆t}$

Итак, чтобы найти силу тока $I$, надо электрический заряд $∆q$, прошедший через поперечное сечение проводника за время $∆t$, разделить на это время.

Сила тока зависит от заряда, переносимого каждой частицей, скорости их направленного движения и площади поперечного сечения проводника.

Рассмотрим проводник с площадью поперечного сечения $S$. Заряд каждой частицы $q_0$. В объеме проводника, ограниченном сечениями $1$ и $2$, содержится $nS∆l$ частиц, где $n$ — концентрация частиц. Их общий заряд $q=q_{0}nS∆l$. Если частицы движутся со средней скоростью $υ$, то за время $∆t={∆l}/{υ}$ все частицы, заключенные в рассматриваемом объеме, пройдут через поперечное сечение $2$. Сила тока, следовательно, равна:

$I={∆q}/{∆t}={q_{0}nS∆l·υ}/{∆l}=q_{0}nυS$

В СИ единица силы тока является основной и носит название ампер (А) в честь французского ученого А. М. Ампера (1755-1836).

Силу тока измеряют амперметром. Принцип устройства амперметра основан на магнитном действии тока.

Оценка скорости упорядоченного движения электронов в проводнике, проведенная по формуле для медного проводника с площадью поперечного сечения $1мм^2$, дает весьма незначительную величину — $∼0.1$ мм/с.

Закон Ома для участка цепи

Сила тока на участке цепи равна отношению напряжения на этом участке к его сопротивлению.

Закон Ома выражает связь между тремя величинами, характеризующими протекание электрического тока в цепи: силой тока $I$, напряжением $U$ и сопротивлением $R$.

Закон этот был установлен в 1827 г. немецким ученым Г. Омом и поэтому носит его имя. В приведенной формулировке он называется также законом Ома для участка цепи. Математически закон Ома записывается в виде следующей формулы:

$I={U}/{R}$

Зависимость силы тока от приложенной разности потенциалов на концах проводника называется вольт-амперной характеристикой (ВАХ) проводника.

Для любого проводника (твердого, жидкого или газообразного) существует своя ВАХ. Наиболее простой вид имеет вольт-амперная характеристика металлических проводников, заданная законом Ома $I={U}/{R}$, и растворов электролитов. Знание ВАХ играет большую роль при изучении тока.

Закон Ома — это основа всей электротехники. Из закона Ома $I={U}/{R}$ следует:

1. сила тока на участке цепи с постоянным сопротивлением пропорциональна напряжению на концах участка;
2. сила тока на участке цепи с неизменным напряжением обратно пропорциональна сопротивлению.

Эти зависимости легко проверить экспериментально. Полученные с использованием схемы, графики зависимости силы тока от напряжения при постоянном сопротивлении и силы тока от сопротивления представлены на рисунке. В первом случае использован источник тока с регулируемым выходным напряжением и постоянное сопротивление $R$, во втором — аккумулятор и переменное сопротивление (магазин сопротивлений).

Электрическое сопротивление

Электрическое сопротивление — это физическая величина, характеризующая противодействие проводника или электрической цепи электрическому току.

Электрическое сопротивление определяется как коэффициент пропорциональности $R$ между напряжением $U$ и силой постоянного тока $I$ в законе Ома для участка цепи.

Единица сопротивления называется омом (Ом) в честь немецкого ученого Г. Ома, который ввел это понятие в физику. Один ом ($1$ Ом) — это сопротивление такого проводника, в котором при напряжении $1$ В сила тока равна $1$ А.

Удельное сопротивление

Сопротивление однородного проводника постоянного сечения зависит от материла проводника, его длины $l$ и поперечного сечения $S$ и может быть определено по формуле:

$R=ρ{l}/{S}$

где $ρ$ — удельное сопротивление вещества, из которого изготовлен проводник.

Удельное сопротивление вещества — это физическая величина, показывающая, каким сопротивлением обладает изготовленный из этого вещества проводник единичной длины и единичной площади поперечного сечения.

Из формулы $R=ρ{l}/{S}$ следует, что

$ρ={RS}/{l}$

Величина, обратная $ρ$, называется удельной проводимостью $σ$:

$σ={1}/{ρ}$

Так как в СИ единицей сопротивления является $1$ Ом, единицей площади $1м^2$, а единицей длины $1$ м, то единицей удельного сопротивления в СИ будет $1$ Ом$·м^2$/м, или $1$ Ом$·$м. Единица удельной проводимости в СИ — $Ом^{-1}м^{-1}$.

На практике площадь сечения тонких проводов часто выражают в квадратных миллиметрах (м$м^2$). В этом случае более удобной единицей удельного сопротивления является Ом$·$м$м^2$/м. Так как $1 мм^2 = 0.000001 м^2$, то $1$ Ом$·$м $м^2$/м$ = 10^{-6}$ Ом$·$м. Металлы обладают очень малым удельным сопротивлением — порядка ($1 ·10^{-2}$) Ом$·$м$м^2$/м, диэлектрики — в $10^{15}-10^{20}$ раз большим.

Зависимость сопротивления от температуры

С повышением температуры сопротивление металлов возрастает. Однако существуют сплавы, сопротивление которых почти не меняется при повышении температуры (например, константан, манганин и др.). Сопротивление же электролитов с повышением температуры уменьшается.

Температурным коэффициентом сопротивления проводника называется отношение величины изменения сопротивления проводника при нагревании на $1°$С к величине его сопротивления при $0°$С:

$α={R_t-R_0}/{R_0t}$

Зависимость удельного сопротивления проводников от температуры выражается формулой:

$ρ=ρ_0(1+αt)$

В общем случае $α$ зависит от температуры, но если интервал температур невелик, то температурный коэффициент можно считать постоянным. Для чистых металлов $α=({1}/{273})K^{-1}$. Для растворов электролитов $α < 0$. Например, для $10%$-го раствора поваренной соли $α=-0.02K^{-1}$. Для константана (сплава меди с никелем) $α=10^{-5}K^{-1}$.

Зависимость сопротивления проводника от температуры используется в термометрах сопротивления.

Параллельное и последовательное соединение проводников

Для параллельного соединения проводников справедливы следующие соотношения:

1) электрический ток, поступающий в точку $А$ разветвления проводников (она называется также узлом), равен сумме токов в каждом из элементов цепи:

$I=I_1+I_2;$

2) напряжение $U$ на концах проводников, соединенных параллельно, одно и то же:

$U=U_1=U_2;$

3) при параллельном соединении проводников складываются их обратные сопротивления:

${1}/{R}={1}/{R_1}+{1}/{R_2}, R={R_1·R_2}/{R_1+R_2};$

4) сила тока и сопротивление в проводниках связаны соотношением:

${I_1}/{I_2}={R_2}/{R_1}$

Для последовательного соединения проводников в цепи справедливы следующие соотношения:

1) для общего тока $I$:

$I=I_1=I_2,$

где $I_1$ и $I_2$ — ток в проводниках $1$ и $2$ соответственно; т. е. при последовательном соединении проводников сила тока на отдельных участках цепи одинакова;

2) общее напряжение $U$ на концах всего рассматриваемого участка равно сумме напряжений на отдельных его участках:

$U=U_1+U_2;$

3) полное сопротивление $R$ всего участка цепи равно сумме последовательно соединенных сопротивлений:

$R=R_1+R_2;$

4) также справедливо соотношение:

${U_1}/{U_2}={R_1}/{R_2}$

Работа электрического тока. Закон Джоуля-Ленца

Работа, совершаемая током, проходящим по некоторому участку цепи, согласно ($U=φ_1-φ_2={A}/{q}$) равна:

$A=qU$

где $А$ — работа тока; $q$ — электрический заряд, прошедший за данное время через рассматриваемый участок цепи. Подставляя в последнее равенство формулу $q=It$, получаем:

$A=IUt$

Работа электрического тока на участке цепи равна произведению напряжения на концах этого участка на силу тока и на время, в течение которого совершалась работа.

Закон Джоуля-Ленца

Закон Джоуля — Ленца гласит: количество теплоты, выделяемое в проводнике на участке электрической цепи с сопротивлением $R$ при протекании по нему постоянного тока $I$ в течение времени $t$ равно произведению квадрата тока на сопротивление и время:

$Q=I^2Rt$

Закон был установлен в 1841 г. английским физиком Дж. П. Джоулем, а в 1842 г. подтвержден точными опытами русского ученого Э. X. Ленца. Само же явление нагрева проводника при прохождении по нему тока было открыто еще в 1800 г. французским ученым А. Фуркруа, которому удалось раскалить железную спираль, пропустив через нее электрический ток.

Из закона Джоуля — Ленца следует, что при последовательном соединении проводников, поскольку ток в цепи всюду одинаков, максимальное количество тепла будет выделяться на проводнике с наибольшим сопротивлением. Это используется в технике, например, для распыления металлов.

При параллельном соединении все проводники находятся под одинаковым напряжением, но токи в них разные. Из формулы ($Q=I^2Rt$) следует, что, так как, согласно закону Ома $I={U}/{R}$, то

$Q={U^2t}/{R}$

Следовательно, на проводнике с меньшим сопротивлением будет выделяться больше тепла.

Если в формуле ($A=IUt$) выразить $U$ через $IR$, воспользовавшись законом Ома, получим закон Джоуля-Ленца. Это лишний раз подверждает тот факт, что работа тока расходуется на выделение тепла на активном сопротивлении в цепи.

Мощность электрического тока

Действие тока характеризуют не только работой $A$, но и мощностью $Р$. Мощность тока показывает, какую работу совершает ток за единицу времени. Если за время $t$ была совершена работа $А$, то мощность тока $P={A}/{t}$. Подставляя в это равенство выражение ($A=IUt$), получаем:

$P=IU$

Это выражение можно переписать в разных формах, воспользовавшись законом Ома для участка цепи:

$P=IU=I^{2R}={U^2}/{R}$

Из соотношения для ЭДС легко получить мощность источника тока:

$P_ε=εI$

В СИ работу выражают в джоулях (Дж), мощность — в ваттах (Вт), а время -в секундах (с). При этом

$1$Вт$=1$Дж/с, $1$Дж$=1$Вт$·$с.

Рассчитаем наибольшую допустимую мощность потребителей электроэнергии, которые могут одновременно работать в квартире. Так как в жилых зданиях сила тока в проводке не должна превышать $I=10$А, то при напряжении $U=220$В соответствующая электрическая мощность оказывается равной:

$Р=10А·220В=2200Вт=2.2кВт.$

Одновременное включение в сеть приборов с большей суммарной мощностью приведет к увеличению силы тока, и потому недопустимо.

В быту работу тока (или израсходованную на совершение этой работы электроэнергию) измеряют с помощью специального прибора, называемого электрическим счетчиком (счетчиком электроэнергии). При прохождении тока через этот счетчик внутри его начинает вращаться легкий алюминиевый диск. Скорость его вращения прямо пропорциональна силе тока и напряжению. Поэтому по числу оборотов, сделанных им за данное время, можно судить о работе, совершенной током за это время. Работа тока при этом выражается обычно в киловатт-часах ($кВт·ч$).

$1кВт·ч$ — это работа, совершаемая электрическим током мощностью $1кВт$ в течение $1ч$. Так как $1кВт=1000Вт$, а $1ч=3600с$, то $1кВт·ч=1000Вт·3600с=3600000 Дж$.

Одним из важных элементов электрической цепи является конденсатор, формулы для которого позволяют рассчитать и подобрать наиболее подходящий вариант. Основная функция данного устройства заключается в накоплении определенного количества электроэнергии. Простейшая система включает в себя два электрода или обкладки, разделенные между собой диэлектриком.

В чем измеряется емкость конденсатора

Одной из важнейших характеристик конденсатора является его емкость. Данный параметр определяется количеством электроэнергии, накапливаемой этим прибором. Накопление происходит в виде электронов. Их количество, помещающееся в конденсаторе, определяет величину емкости конкретного устройства.

Для измерения емкости применяется единица – фарада. Емкость конденсатора в 1 фараду соответствует электрическому заряду в 1 кулон, а на обкладках разность потенциалов равна 1 вольту. Эта классическая формулировка не подходит для практических расчетов, поскольку в конденсаторе собираются не заряды, а электроны. Емкость любого конденсатора находится в прямой зависимости от объема электронов, способных накапливаться при нормальном рабочем режиме.

Для обозначения емкости все равно используется фарада, а количественные параметры определяются по формуле: С = Q / U, где С означает емкость, Q – заряд в кулонах, а U является напряжением. Таким образом, просматривается взаимная связь заряда и напряжения, оказывающих влияние на способность конденсатора к накоплению и удержанию определенного количества электричества.

Для расчетов емкости плоского конденсатора используется формула:
в которой ε = 8,854187817 х 10^-12 ф/м представляет собой постоянную величину. Прочие величины: ε – является диэлектрической проницаемостью диэлектрика, находящегося между обкладками, S – означает площадь обкладки, а d – зазор между обкладками.

Формула энергии конденсатора

С емкостью самым тесным образом связана другая величина, известная как энергия заряженного конденсатора. После зарядки любого конденсатора, в нем образуется определенное количество энергии, которое в дальнейшем выделяется в процессе разрядки. С этой потенциальной энергией вступают во взаимодействие обкладки конденсатора. В них образуются разноименные заряды, притягивающиеся друг к другу.

В процессе зарядки происходит расходование энергии внешнего источника для разделения зарядов с положительным и отрицательным значением, которые, затем располагаются на обкладках конденсатора. Поэтому в соответствии с законом сохранения энергии, она не исчезает бесследно, а остается внутри конденсатора в виде электрического поля, сосредоточенного между пластинами. Разноименные заряды образуют взаимодействие и последующее притяжение обкладок между собой.

Каждая пластина конденсатора под действием заряда создает напряженность электрического поля, равную Е/2. Общее поле будет складываться из обоих полей, возникающих в каждой обкладке с одинаковыми зарядами, имеющими противоположные значения.

Таким образом, энергия конденсатора выражается формулой: W=q(E/2)d. В свою очередь, напряжение выражается с помощью понятий напряженности и расстояния и представляется в виде формулы U=Ed. Это значение, подставленное в первую формулу, отображает энергию конденсатора в таком виде: W=qU/2. Для получения окончательного результата необходимо использовать определение емкости: C=q/U, и в конце концов энергия заряженного конденсатора будет выглядеть следующим образом: W_эл = CU²/2.

Формула заряда конденсатора

Для выполнения зарядки, конденсатор должен быть подключен к цепи постоянного тока. С этой целью может использоваться генератор. У каждого генератора имеется внутреннее сопротивление. При замыкании цепи происходит зарядка конденсатора. Между его обкладками появляется напряжение, равное электродвижущей силе генератора: U_c = E.

Обкладка, подключенная к положительному полюсу генератора, заряжается положительно (+q), а другая обкладка получает равнозначный заряд с отрицательной величиной (- q). Величина заряда q находится в прямой пропорциональной зависимости с емкостью конденсатора С и напряжением на обкладках Uc. Эта зависимость выражается формулой: q = C x Uc.

В процессе зарядки одна из обкладок конденсатора приобретает, а другая теряет определенное количество электронов. Они переносятся по внешней цепи под влиянием электродвижущей силы генератора. Такое перемещение является электрическим током, известным еще как зарядный емкостной ток (Iзар).

Течение зарядного тока в цепи происходит практически за тысячные доли секунды, до того момента, пока напряжение конденсатора не станет равным электродвижущей силе генератора. Напряжение увеличивается плавно, а потом постепенно замедляется. Далее значение напряжения конденсатора будет постоянным. Во время зарядки по цепи течет зарядный ток. В самом начале он достигает максимальной величины, так как напряжение конденсатора имеет нулевое значение. Согласно закона Ома I_зар = Е/R_i, поскольку к сопротивлению Ri приложена вся ЭДС генератора.

Формула тока утечки конденсатора

Ток утечки конденсатора вполне можно сравнить с воздействием подключенного к нему резистора с каким-либо сопротивлением R. Ток утечки тесно связан с типом конденсатора и качеством используемого диэлектрика. Кроме того, важным фактором становится конструкция корпуса и степень его загрязненности.

Некоторые конденсаторы имеют негерметичный корпус, что приводит к проникновению влаги из воздуха и возрастанию тока утечки. В первую очередь это касается устройств, где в качестве диэлектрика использована промасленная бумага. Значительные токи утечки возникают из-за снижения электрического сопротивления изоляции. В результате нарушается основная функция конденсатора – способность получать и сохранять заряд электрического тока.

Основная формула для расчета выглядит следующим образом: I_ут = U/R_d, где I_ут, – это ток утечки, U – напряжение, прилагаемое к конденсатору, а R_d – сопротивление изоляции.

Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Основные положения и соотношения

1. Общее выражение емкости конденсатора

C= Q U .

2. Емкость плоского конденсатора

C= ε a ⋅S d = ε r ⋅ ε 0 ⋅S d ,

здесь

S — поверхность каждой пластины конденсатора;

d — расстояние между ними;

ε_a = ε_r·ε₀ — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды;

ε_r — диэлектрическая проницаемость среды (относительная диэлектрическая проницаемость);

ε 0 = 1 4π⋅ с 2 ⋅ 10 −7 ≈8,85418782⋅ 10 −12    Ф м  – электрическая постоянная.

3. При параллельном соединении конденсаторов С₁, С₂, …, С_n эквивалентная емкость равна

C= C 1 + C 2 +…+ C n = ∑ k=1 n C k .

4. При последовательном соединении конденсаторов эквивалентная емкость определяется из формулы

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 +…+ 1 C n = ∑ k=1 n 1 C k .

Для двух последовательно соединенных конденсаторов эквивалентная емкость составляет:

C= C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 ,

а напряжения между отдельными конденсаторами распределяются обратно пропорционально их емкостям:

U 1 =U⋅ C 2 C 1 + C 2 ;    U 2 =U⋅ C 1 C 1 + C 2 .

5. Преобразование звезды емкостей в эквивалентный треугольник емкостей или обратно (рис. а и б)

Рис. 0

осуществляется по формулам:

Y→Δ { C 12 = C 1 ⋅ C 2 ΣC ;   C 13 = C 1 ⋅ C 3 ΣC ;   C 23 = C 2 ⋅ C 3 ΣC , где          ΣC= C 1 + C 2 + C 3 , Δ→Y { C 1 = C 12 + C 13 + C 12 ⋅ C 13 C 23 ; C 2 = C 12 + C 23 + C 12 ⋅ C 23 C 13 ; C 3 = C 13 + C 23 + C 13 ⋅ C 23 C 12 .

6. Энергия электростатического поля конденсатора:

W= C⋅ U 2 2 = Q⋅U 2 = Q 2 2C .

7. Расчет распределения зарядов в сложных цепях, содержащих источники э.д.с. и конденсаторы, производится путем составления уравнений по двум законам:

1) По закону сохранения электричества (закон сохранения электрического заряда): алгебраическая сумма зарядов на обкладках конденсаторов, соединенных в узел и не подключенных к источнику энергии, равна алгебраической сумме зарядов, имевшихся на этих обкладках до их соединения:

ΣQ=Σ Q ′ .

2) По второму закону Кирхгофа: алгебраическая сумма э. д. с. в замкнутом контуре равна алгебраической сумме напряжений на участках контура, в том числе на входящих в него конденсаторах:

∑ k=1 n E k = ∑ k=1 n U C k = ∑ k=1 n Q k C k .

Приступая к решению задачи, надо задаться полярностью зарядов на обкладках конденсаторов.

Решение задач на расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Задача. Доказать формулу эквивалентной емкости при последовательном соединении конденсаторов (рис. 1).

Рис. 1

Решение

На рис. 1 представлено последовательное соединение трех конденсаторов. Если батарею конденсаторов подключить к источнику напряжения U₁₂, то на левую пластину конденсатора С₁ перейдет заряд +q, на правую пластину конденсатора С₃ заряд –q.

Вследствие электризации через влияние правая пластина конденсатора С₁ будет иметь заряд –q, а так как пластины конденсаторов С₁ и С₂ соединены и были электронейтральны, то вследствие закона сохранения заряда заряд левой пластины конденсатора C₂ будет равен +q, и т. д. На всех пластинах конденсаторов при таком соединении будет одинаковый по величине заряд.

Найти эквивалентную емкость — это значит найти конденсатор такой емкости, который при той же разности потенциалов будет накапливать тот же заряд q, что и батарея конденсаторов.

Разность потенциалов U₁₂ = φ₁ — φ₂ складывается из суммы разностей потенциалов между пластинами каждого из конденсаторов

U 12 = φ 1 − φ 2 =( φ 1 − φ A )+( φ A − φ B )+( φ B − φ 2 )= U 1A + U AB + U B2 .

Воспользовавшись формулой напряжения на конденсаторе

U= q C ,

запишем

q C = q C 1 + q C 2 + q C 3 .

Откуда эквивалентная емкость батареи из трех последовательно включенных конденсаторов

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 .

В общем случае эквивалентная емкость при последовательном соединении конденсаторов

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 +…+ 1 C n = ∑ k=1 n 1 C k .

Задача 1. Определить заряд и энергию каждого конденсатора на рис. 2, если система подключена в сеть с напряжением U = 240 В.

Рис. 2

Емкости конденсаторов: C₁ =50 мкФ; C₂ =150 мкФ; C₃ =300 мкФ.

Решение

Эквивалентная емкость конденсаторов C₁ и C₂, соединенных параллельно

C₁₂ = C₁ + C₂ = 200 мкФ,

эквивалентная емкость всей цепи равна

C= C 12 ⋅ C 3 C 12 + C 3 = 200⋅300 500 =120  мкФ.

Заряд на эквивалентной емкости

Q = C·U = 120·10^–6·240 = 288·10^–4 Кл.

Той же величине равен заряд Q₃ на конденсаторе C₃, т.е. Q₃ = Q = 288·10^–4 Кл; напряжение на этом конденсаторе

U 3 = Q 3 C 3 = 288⋅ 10 −4 300⋅ 10 −6 =96  В.

Напряжение на конденсаторах C₁ и C₂ равно

U₁ = U₂ = U — U₃ = 240 — 96 = 144 В.

их заряды имеют следующие значения

Q₁ = C₁·U₁ = 50·10^–6·144 = 72·10^–4 Кл;

Q₂ = C₂·U₂ = 150·10^–6·144 = 216·10^–4 Кл.

Энергии электростатического поля конденсаторов равны

W 1 = Q 1 ⋅ U 1 2 = 72⋅ 10 −4 ⋅144 2 ≈0,52  Дж; W 2 = Q 2 ⋅ U 2 2 = 216⋅ 10 −4 ⋅144 2 ≈1,56  Дж; W 3 = Q 3 ⋅ U 3 2 = 288⋅ 10 −4 ⋅96 2 ≈1,38  Дж.

Задача 2. Плоский слоистый конденсатор (рис. 3), поверхность каждой пластины которого S = 12 см², имеет диэлектрик, состоящий из слюды (ε_r1 = 6) толщиною d₁ = 0,3 мм и стекла (ε_r2 = 7) толщиною d₂ =0,4 мм.

Пробивные напряженности слюды и стекла соответственно равны E₁ = 77 кВ/мм, E₂ = 36 кВ/мм.

Рис. 3

Вычислить емкость конденсатора и предельное напряжение, на которое его можно включать, принимая для более слабого слоя двойной запас электрической прочности.

Решение

Эквивалентная емкость слоистого конденсатора определится как емкость двух последовательно соединенных конденсаторов

C= C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 = ε a1 ⋅S d 1 ⋅ ε a2 ⋅S d 2 ε a1 ⋅S d 1 + ε a2 ⋅S d 2 = ε a1 ⋅ ε a2 ⋅S ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 .

Подставляя сюда числовые значения, предварительно заменив ε_a1 = ε_r1·ε₀ и ε_a2 = ε_r2·ε₀, получим

C= ε 0 ⋅ ε r1 ⋅ ε r2 ⋅S ε r1 ⋅ d 2 + ε r2 ⋅ d 1 =8,85⋅ 10 −12 ⋅ 6⋅7⋅12⋅ 10 −4 6⋅0,4⋅ 10 −3 +7⋅0,3⋅ 10 −3 =99⋅ 10 −12   Ф.

Обозначим общее напряжение, подключаемое к слоистому конденсатору, через U_пр, при этом заряд конденсатора будет равен

Q = C·U_пр.

Напряжения на каждом слое будут равны

U 1 = Q C 1 = C⋅ U пр ε a1 ⋅S d 1 = ε a2 ⋅ d 1 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U пр ; U 2 = Q C 2 = C⋅ U пр ε a2 ⋅S d 2 = ε a1 ⋅ d 2 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U пр .

Напряженности электростатического поля в каждом слое

E 1 = U 1 d 1 = ε a2 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U ′ пр ; E 2 = U 2 d 2 = ε a1 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U ″ пр .

Здесь U’_np — общее напряжение, подключаемое к конденсатору, при котором пробивается первый слой, a U”_np — общее напряжение, при котором происходит пробой второго слоя.

Из последнего выражения находим

U ′ пр = E 1 ⋅ ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ε a2 =49,5  кВ; U ″ пр = E 2 ⋅ ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ε a1 =27,0  кВ.

Таким образом, более слабым слоем является второй; согласно условию, принимая для него двойной запас прочности, находим, что конденсатор может быть включен на напряжение, равное

27,0 кВ / 2 = 13,5 кВ.

Задача 3. Обкладки плоского конденсатора с воздушным диэлектриком расположены на расстоянии d₁ = 1 см друг от друга. Площадь обкладок S = 50 см². Конденсатор заряжается до напряжения U = 120 В и затем отсоединяется от источника электрической энергии.

Определить, какую надо совершить работу, если увеличить расстояние между пластинами до d₂ = 10 см. Краевым эффектом можно пренебречь; другими словами, емкость конденсатора можно считать обратно пропорциональной расстоянию между обкладками.

Решение

Энергия заряженного плоского конденсатора равна

W 1 = C 1 ⋅ U 2 2 = ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 ,

где С₁ — емкость до раздвижения обкладок.

Так как конденсатор отключен от источника, то при изменении расстояния между обкладками его заряд остается постоянным. Поэтому из~ соотношения

Q = C₂·U₂,

где C₂ — емкость конденсатора после раздвижения обкладок, следует, что, так как C₂ = ε₀·S/d₂ стало меньше в 10 раз (d₂ увеличилось в 10 раз), то напряжение на конденсаторе U₂ увеличилось в 10 раз, т. е. U₂ = 10U.

Таким образом, энергия конденсатора после отключения и раздвижения обкладок на расстояние d₂ будет больше первоначальной

W 2 = ε 0 ⋅S d 2 ⋅ U 2 2 2 = ε 0 ⋅S 10 d 1 ⋅ ( 10U ) 2 2 =10⋅ ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 =10⋅ W 1 .

Увеличение энергии произошло за счет работы внешних сил, затраченной на раздвижение обкладок.

Таким образом, надо совершить работу, равную

W 2 − W 1 =9⋅ W 1 =9⋅ ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 =2,86⋅ 10 −7   Дж.

Задача 4. Для схемы (рис. 4) определить напряжение каждого конденсатора в двух случаях: при замкнутом и разомкнутом ключе К.

Даны: C₁ = 30 мкФ; C₂ = 20 мкФ; r₁ = 100 Ом. r₂ = 400 Ом. r₃ = 600 Ом, U = 20 В.

Решение

Ключ К разомкнут. Конденсаторы соединены между собой последовательно; их ветвь находится под полным напряжением источника; напряжение распределяется между ними обратно пропорционально емкостям

U 1 = C 2 C 1 + C 2 ⋅U= 20⋅ 10 −6 30⋅ 10 −6 +20⋅ 10 −6 ⋅20=8  В; U 2 =U− U 1 =20−8=12  В.

Рис. 4

Ключ К замкнут. Через сопротивления r₁ и r₂ протекает ток

I= U r 1 + r 2 = 20 500 =0,04  А,

а через сопротивление r₃ ток не протекает.

Поэтому точки c и d равнопотенциальны (φ_c = φ_d). Следовательно, напряжение между точками a и c (U_ac = φ_a — φ_c) равно напряжению между точками a и d (U_ad = φ_a — φ_d).

Таким образом, напряжение на первом конденсаторе равно падению напряжения на сопротивлении r₁

U_C1 = I·r₁ = 0,04·100 = 4 В.

Аналогично напряжение на втором конденсаторе равно

U_C2 = I·r₂ = 0,04·400 = 16 В.

Задача 5. Определить напряжение на зажимах конденсаторов и их энергию после перевода рубильника из положения 1 в положение 2, показанное пунктиром на рис. 5, если U = 25 В; C₁ = 5 мкФ; C₂ = 120 мкФ. Конденсатор C₂ предварительно не был заряжен.

Рис. 5

Решение

Когда рубильник находится в положении 1, то конденсатор C₁ заряжен до напряжения U и его заряд равен

Q = C₁·U = 5·10^–6·25 = 125·10^–6 Кл.

После перевода рубильника в положение 2, заряд Q распределяется между конденсаторами C₁ и C₂ (рис. 5). Обозначим эти заряды через Q’₁ и Q’₂.

На основании закона сохранения электричества имеем

Q = Q’₁ + Q’₂ = 125 10^–6 Кл. (1)

По второму закону Кирхгофа имеем

0= U C1 − U C2 = Q ′ 1 C 1 − Q ′ 2 C 2 ,

или

Q ′ 1 5⋅ 10 −6 − Q ′ 2 120⋅ 10 −6 =0.   (2)

Решая уравнения (1) и (2), найдем

Q’₁ = 5 10^–6 Кл; Q’₂ = 120 10^–6 Кл.

Доставка свежих и аппетитных японских суши в Новороссийске – ям ям..

Напряжение на зажимах конденсаторов станет равным

U C1 = Q ′ 1 C 1 = U C2 = Q ′ 2 C 2 = 5⋅ 10 −6 5⋅ 10 −6 =1  В.

Энергия обоих конденсаторов будет равна

W= C 1 ⋅ U C1 2 2 + C 2 ⋅ U C2 2 2 =62,5⋅ 10 −6   Дж.

Подсчитаем энергию, которая была запасена в конденсаторе С₁, при его подключении к источнику электрической энергии

W нач = C 1 ⋅U 2 = 5⋅ 10 −6 ⋅ 25 2 2 =1562,5⋅ 10 −6   Дж.

Как видим, имеет место большая разница в запасе энергии до и после переключения. Энергия, равная 1562,5·10^–6 — 62,5·10^–6 = 1500·10^–6 Дж, израсходовалась на искру при переключении рубильника из положения 1 в положение 2 и на нагревание соединительных проводов при перетекании зарядов из конденсатора C₁ в конденсатор C₂ после перевода рубильника в положение 2.

Задача 6. Вычислить напряжение, которое окажется на каждом из конденсаторов схемы (рис. 6) после перевода рубильника К из положения 1 в положение 2.

Емкости конденсаторов равны: C₁ = 10 мкФ; C₂ = 30 мкФ; C₃ = 60 мкФ; напряжение U = 30 В, а э. д. с. E = 50 В.

Рис. 6

Решение

Рубильник находится в положении 1. Заряд конденсатора C₁ равен

Q₁ = C₁·U = 10·10^–6·30 = 0,3·10^–3 Кл.

В указанном положении рубильника конденсаторы C₂ и C₃ соединены последовательно друг с другом, поэтому их заряды равны: Q₂ = Q₃. Знаки зарядов показаны на рис. 6 отметками без кружков. По второму закону Кирхгофа имеем

E= U C2 + U C3 = Q 2 C 2 + Q 3 C 3 = Q 2 ⋅ C 2 + C 3 C 2 ⋅ C 3 ,

откуда

Q 2 = Q 3 = C 2 ⋅ C 3 C 2 + C 3 ⋅E= 30⋅ 10 −6 ⋅60⋅ 10 −6 90⋅ 10 −6 ⋅50=1⋅ 10 −3   Кл.

При переводе рубильника в положение 2 произойдет перераспределение зарядов. Произвольно задаемся новой полярностью зарядов на электродах (показана в кружках; предположена совпадающей с ранее имевшей место полярностью); соответствующие положительные направления напряжений на конденсаторах обозначены стрелками. Обозначим эти заряды через Q’₁, Q’₂ и Q’₃. Для их определения составим уравнения на основании закона сохранения электрических зарядов и второго закона Кирхгофа.

Для узла a

Q’₁ + Q’₂ — Q’₃ = Q₁ + Q₂ — Q₃. (1)

Для контура 2ebda2

0= U ′ C1 − U ′ C2 = Q ′ 1 C 1 − Q ′ 2 C 1 .

Для контура bcadb

E= U ′ C2 − U ′ C3 = Q ′ 2 C 2 + Q ′ 3 C 3 .

Уравнения (1) — (3), после подстановки числовых значений величин, примут вид

Q’₁ + Q’₂ — Q’₃ = 0,3·10^–3; (4)

3Q’₁ — Q’₂ = 0; (5)

2Q’₂ + Q’₃ = 3·10^–3. (6)

Решая совместно уравнения (4) — (6), получим

Q’₁ = 0,33·10^–3 Кл; Q’₂ = 0,99·10^–3 Кл; Q’₃ = 1,02·10^–3 Кл.

Так как знаки всех зарядов оказались положительными, то фактическая полярность обкладок соответствует предварительно выбранной.

Напряжения на конденсаторах после перевода рубильника будут равны

U C1 = Q ′ 1 C 1 = 0,33⋅ 10 −3 10⋅ 10 6 =33  В; U C2 = Q ′ 2 C 2 = 0,99⋅ 10 −3 30⋅ 10 6 =33  В; U C3 = Q ′ 3 C 3 = 1,02⋅ 10 −3 60⋅ 10 6 =17  В.

Задача 7. Определить заряд и напряжение конденсаторов, соединенных по схеме рис. 7, если C₁ = 5 мкФ; C₂ = 4 мкФ; C₃ = 3 мкФ; э. д. с. источников E₁ = 20 В и E₂ = 5 В.

Рис. 7

Решение

Составим систему уравнений на основании закона сохранения электричества и второго закона Кирхгофа, предварительно задавшись полярностью обкладок конденсаторов, показанной в кружках

− Q 1 + Q 2 − Q 3 =0; E 1 = U C1 − U C3 = Q 1 C 1 − Q 3 C 3 ; E 2 =− U C2 − U C3 =− Q 2 C 2 − Q 3 C 3 .

Подставляя сюда числовые значения и решая эту систему уравнений, получим, что Q₁ = 50 мкКл; Q₂ = 20 мкКл; Q₃ = –30 мкКл.

Таким образом, истинная полярность зарядов на обкладках конденсаторов C₁ и C₂ соответствует выбранной, а у конденсатора C₃ — противоположна выбранной.

Задача 8. Пять конденсаторов соединены по схеме рис. 3-22, а, емкости которых C₁ = 2 мкФ; C₂ = 3 мкФ; C₃ = 5 мкФ; C₄ = 1 мкФ; C₅ = 2,4 мкФ.

Рис. 8

Индивидуалка Дана (34 лет) т.8 926 650-82-63 Москва, метро Сокол.

Определить эквивалентную емкость системы и напряжение на каждом из конденсаторов, если приложенное напряжение U = 10 В.

Решение

1-й способ. Звезду емкостей C₁, C₂ и C₃ (рис. 8, а) преобразуем в эквивалентный треугольник емкостей (рис. 8, б)

C 12 = C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 + C 3 =0,6  мкФ; C 13 = C 1 ⋅ C 3 C 1 + C 2 + C 3 =1,0  мкФ; C 23 = C 2 ⋅ C 3 C 1 + C 2 + C 3 =1,5  мкФ.

Емкости C₁₂ и C₅ оказываются соединенными параллельно друг другу и подключенными к точкам 1 и 2; их эквивалентная емкость

C₆ = C₁₂ + C₅ = 3 мкФ.

Аналогично

C₇ = C₁₃ + C₄ = 2 мкФ.

Схема принимает вид изображенный на рис. 8, в. Емкость схемы между точками а и b равняется

C ab = C 23 + C 6 ⋅ C 7 C 6 + C 7 =2,7  мкФ.

Вычислим напряжение на каждом из конденсаторов.

На конденсаторе C₇ напряжение равно

U 7 = C 6 C 6 + C 7 ⋅U=6  В.

Таково же напряжение и на конденсаторах C₄ и C₁₃

U₄ = U₃₁ = 6 В.

Напряжение на конденсаторе C₆ равно

U₆ = U — U₇ = 4 В;

U₅ = U₁₂ = 4 В.

Вычислим заряды

Q₄ = C₄·U₄ = 6·10^–6 Кл;

Q₅ = C₅·U₅ = 9,6·10^–6 Кл;

Q₁₂ = C₁₂·U₁₂ = 6·10^–6 Кл;

Q₁₃ = C₁₃·U₃₁ = 2,4·10^–6 Кл.

По закону сохранения электричества для узла 1 схем 8, а и б имеем

–Q₄ — Q₁ + Q₅ = –Q₄ — Q₁₃ + Q₁₂ + Q₅,

отсюда

Q₁ = Q₁₃ — Q₁₂ = 3,6·10^–6 Кл,

а напряжение на конденсаторе, емкостью C₁ составляет

U 1 = Q 1 C 1 =1,8  В.

Далее находим напряжения и заряды на остальных конденсаторах

U₃₁ = U₁ + U₃,

отсюда

U₃ = U₃₁ — U₁ = 4,2 В;

Q₃ = C₃·U₃ = 21·10^–6 Кл,

также

U₁₂ = U₂ — U₁ = 4,2 В,

откуда

U₂ = U₁₂ + U₁ = 5,8 В;

Q₂ = C₂·U₂ = 17,4·10^–6 Кл.

Так как знаки всех зарядов оказались положительными, то фактическая полярность зарядов на обкладках совпадает с предварительно выбранной.

2-й способ. Выбрав положительные направления напряжений на конденсаторах (а тем самым и знаки зарядов на каждом из них) по формуле закона сохранения электричества (закона сохранения заряда) составляем два уравнения и по второму закону Кирхгофа три уравнения (рис. 8, а)

для узла 1

Q₅ — Q₁ — Q₄ = 0; (1)

для узла О

Q₁ + Q₂ — Q₃ = 0; (2)

для контура О13О

Q 1 C 1 − Q 4 C 4 + Q 3 C 3 =0;  (3)

для контура О12О

Q 1 C 1 + Q 5 C 5 − Q 2 C 2 =0;  (4)

для контура a3О2b

Q 3 C 3 + Q 2 C 2 =U.  (5)

Система уравнений (1) — (5) — содержит пять неизвестных: Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ и Q₅. Решив уравнения, найдем искомые заряды, а затем и напряжения на конденсаторах. При втором способе решения эквивалентную емкость схемы С_ab можно найти из отношения

C ab = Q U ,

где Q = Q₃ + Q₄, или Q = Q₂ + Q₅.

Задача 9. В схеме рис. 9 найти распределение зарядов, если E₁ = 20 В; E₂ = 7 В; C₁ = 7 мкФ; C₂ = 1 мкФ; C₃ = 3 мкФ; C₄ = 4 мкФ; C₅ = C₆ = 5 мкФ.

Рис. 9

Решение

При выбранном распределении зарядов (в кружках), как показано на схеме, система уравнений будет иметь вид:

для узла а

Q₁ + Q₂ + Q₃ = 0;

для узла b

–Q₃ — Q₄ — Q₅ = 0;

для узла c

–Q₁ + Q₄ + Q₆ = 0;

для контура afcba

E 1 = U C1 + U C4 − U C3 = Q 1 C 1 + Q 4 C 4 − Q 3 C 3 ;

ля контура gdbag

E 2 = U C5 − U C3 + U C2 = Q 5 C 5 − Q 3 C 3 + Q 2 C 2 ;

для контура cbdc

0= U C4 − U C5 − U C6 = Q 4 C 4 − Q 5 C 5 − Q 6 C 6 .

Подставляя сюда числовые значения и решая полученную систему шести уравнений, найдем искомые заряды

Q₁ = 35 мкКл; Q₂ = –5 мкКл; Q₃ = –30 мкКл;

Q₄ = 20 мкКл; Q₅ = 10 мкКл; Q₆ = 15 мкКл.

Таким образом, истинные знаки зарядов Q₁, Q₄, Q₅ и Q₆ соответствуют выбранным, а знаки Q₂ и Q₃ противоположны выбранным.

Фактическое расположение знаков зарядов на конденсаторах дано не в кружках.

Задача 10. Определить заряд и энергию каждого конденсатора в схеме (рис. 10). Данные схемы: C₁ = 6 мкФ; C₂ = 2 мкФ; C₃ = 3 мкФ; r₁ = 500 Ом; r₂ = 400 Ом; U = 45 В.

Рис. 10

Решение

Через сопротивления протекает ток

I= U r 1 + r 2 =0,05  А.

Задавшись полярностью зарядов на обкладках конденсаторов, составим систему уравнений:

− Q 1 + Q 2 + Q 3 =0; U= U C1 + U C2 = Q 1 C 1 + Q 2 C 2 ; I⋅ r 1 = U C1 + U C3 = Q 1 C 1 + Q 3 C 3 ,

или

Q 1 = Q 2 + Q 3 ; 45= Q 1 6⋅ 10 −6 + Q 2 2⋅ 10 −6 ; 25= Q 1 6⋅ 10 −6 + Q 3 3⋅ 10 −6 .

Решив эту систему уравнений, найдем, что

Q₁ = 90 мкКл; Q₂ = 60 мкКл; Q₃ = 30 мкКл.

---

последовательное соединение конденсаторов,
параллельное соединение конденсаторов,
Расчет цепи конденсаторов,
Конденсатор в цепи постоянного тока,
Цепи с конденсаторами

Комментарии