Как найти симметричную матрицу для матрицы

Содержание

В настоящем разделе симметричная матрица предполагается вещественной; ее порядок обозначен $ n $.

Матрица имеет вид
$$
A=left( begin{array}{ccccc}
a_{11} & color{Red}a_{12} & color{Blue}a_{13} & dots & color{Green}a_{1n} \
color{Red}a_{12} & a_{22} & color{Grey}a_{23} & dots & color{Cyan}a_{2n} \
color{Blue}a_{13} & color{Grey}a_{23} & a_{33} & dots & a_{3n} \
vdots & & & ddots & vdots \
color{Green}a_{1n} & color{Cyan}a_{2n} & a_{3n} & dots & a_{nn}
end{array}
right) ;
$$
характеризуется свойством
$$ A^{top}=A . $$
Для задания симметричной матрицы порядка $ n_{} $ необходимо, в общем случае, задать $ C_n^2=n(n-1)/2 $ ее элементов — стоящих на главной диагонали и выше ее (или ниже).

Т

Теорема. Для любой матрицы $ A_{} $ матрицы $ A_{}A^{top} $ и $ A^{top} A $ — симметричны.
Для любой квадратной матрицы $ A_{} $ матрица $ A_{}+A^{top} $ — симметрична.

Распишем полное разложение определителя симметричной матрицы с символьными (буквенными) элементами:
$$
det A_{3times 3} = a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}^2-a_{12}^2a_{33}+2,a_{12}a_{13}a_{23}-a_{13}^2a_{22} ;
$$
$$
det A_{4times 4} = a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}-a_{11}a_{22}a_{34}^2-a_{11}a_{23}^2a_{44}+2,a_{11}a_{23}a_{24}a_{34}-
$$
$$
-a_{11}a_{24}^2a_{33}-a_{12}^2a_{33}a_{44}+a_{12}^2a_{34}^2+2,a_{12}a_{13}a_{23}a_{44}-2,a_{12}a_{23}a_{14}a_{34}-
$$
$$
-2,a_{12}a_{24}a_{13}a_{34}+2,a_{12}a_{24}a_{14}a_{33}-a_{22}a_{13}^2a_{44}+2,a_{13}a_{22}a_{14}a_{34}+
$$
$$
+a_{13}^2a_{24}^2-2,a_{13}a_{24}a_{14}a_{23}-a_{22}a_{14}^2a_{33}+a_{14}^2a_{23}^2 .
$$

Т

Теорема [Кэли]. В полном разложении определителя симметричной матрицы порядка $ n $ обозначим $ mathfrak s_n $ число слагаемых, $ mathfrak s_n^{(+)} $ — число слагаемых
с положительным знаком, $ mathfrak s_n^{(-)} $ — число слагаемых с отрицательным знаком, а $ mathfrak d_n =mathfrak s_n^{(+)} – mathfrak s_n^{(-)} $. Имеют место соотношения:

$$ mathfrak s_{n+1}=(n+1)mathfrak s_n- C_n^2 mathfrak s_{n-2} ; $$
$$ mathfrak d_{n+1}=-(n-1)mathfrak d_n- C_n^2 mathfrak d_{n-2} . $$

=>

Имеют место пределы:

$$ lim_{nto infty} frac{sqrt{n} mathfrak s_n }{n!} = frac{e^{4/3}}{sqrt{pi}} ; lim_{nto infty} frac{(-1)^{n-1}sqrt{n^3} mathfrak d_n }{n!} = frac{e^{-4/3}}{2,sqrt{pi}} . $$

Т

Теорема [Кронекер]. Для симметричной матрицы $ A_{} $ порядка $ n ge k+1 $ имеет место тождество

$$
Aleft(begin{array}{ccccc}
1 & 2 & dots & k-2 & k \
2 & 3 & dots & k-1 & k+1
end{array}
right)-
Aleft(begin{array}{ccccc}
2 & 3 & dots & k-1 & k \
1 & 2 & dots & k-2 & k+1
end{array}
right)=
$$
$$
= Aleft(begin{array}{cccccc}
1 & 2 & dots & k-3 & k-2 & k-1 \
2 & 3 & dots & k-2 & k & k+1
end{array}
right) ,
$$
связывающее три ее минора порядка $ k-1 $.

П

Пример. Для $ k=4 $:

$$ Aleft(begin{array}{ccc}
1 & 2 & 4 \
2 & 3 & 5
end{array}
right)-
Aleft(begin{array}{ccc}
2 & 3 & 4 \
1 & 2 & 5
end{array}
right)=
Aleft(begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \
2 & 4 & 5
end{array}
right)
$$
$$
iff
left| begin{array}{lll}
a_{12} & a_{13} & a_{15} \
a_{22} & a_{23} & a_{25} \
a_{24} & a_{34} & a_{45}
end{array}
right|-
left| begin{array}{lll}
a_{12} & a_{22} & a_{25} \
a_{13} & a_{23} & a_{35} \
a_{14} & a_{24} & a_{45}
end{array}
right|=
left| begin{array}{lll}
a_{12} & a_{14} & a_{15} \
a_{22} & a_{24} & a_{25} \
a_{23} & a_{34} & a_{35}
end{array}
right| .
$$

В настоящем разделе минор матрицы $ A $
$$
Aleft(
begin{array}{lll}
j_1 & dots & j_k \
j_1 & dots & j_k
end{array}
right) =
left|begin{array}{cccc}
a_{j_1j_1} & a_{j_1j_2} & dots & a_{j_1j_k} \
a_{j_2j_1} & a_{j_2j_2} & dots & a_{j_2j_k} \
vdots & & ddots & vdots \
a_{j_kj_1} & a_{j_kj_2} & dots & a_{j_kj_k}
end{array}
right|
, quad 1le j_1<j_2< dots < j_k le n
$$
составленный из элементов матрицы, стоящих в строках и столбцах с одинаковыми номерами, будет называться ведущим минором $ k $-го порядка матрицы $ A $. В частном случае $ j_1=1, j_2=2,dots,j_k=k $ этот минор будет называться главным минором $ k $-го порядка матрицы $ A $.

См. замечание о терминологии

☞

ЗДЕСЬ.

Т

Теорема. Если $ mathfrak r = operatorname{rank} (A)ge 1 $, то в матрице $ A $ существует ненулевой ведущий минор порядка $ mathfrak r $.

Произведение симметричных матриц — не обязательно симметричная матрица!

T

Теорема. Для того, чтобы произведение симметричных матриц $ A $ и $ B $ было симметричной матрицей необходимо и достаточно, чтобы матрицы
$ A $ и $ B $ коммутировали: $ AB = BA $.

Т

Теорема. Обратная к симметричной матрице (если существует) будет симметричной матрицей.

Т

Теорема 1. Все собственные числа симметричной матрицы вещественны.

Доказательство

☞

ЗДЕСЬ.

=>

Если $ lambda=0 $ корень кратности $ mathfrak m $ характеристического полинома симметричной матрицы $ A $, т.е.

$$ det (A-lambda E)equiv(-1)^n lambda^n+a_1lambda^{n-1}+dots+a_{n-mathfrak m} lambda^{mathfrak m} quad npu a_{n-mathfrak m}ne 0 $$
то $ operatorname{rank} (A)=n-mathfrak m $.

=>

Если в характеристическом полиноме некоторый коэффициент $ a_j $ при $ j notin {0,n} $ обращается в нуль, то соседние с ним в нуль не обращаются и имеют различные знаки:
$ a_{j-1} a_{j+1} < 0 $.

Т

Теорема 2. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным числам симметричной матрицы $ A_{} $, ортогональны, т.е. если $ mathfrak X_1 $ принадлежит собственному числу $ lambda_{1} $, а $ mathfrak X_2 $ принадлежит собственному числу $ lambda_{2} $ и $ lambda_1 ne lambda_2 $, то

$$ {mathfrak X}_2^{^{top}} {mathfrak X}_1 =0 . $$

Доказательство. Если $ {mathbf A}{mathfrak X}_1=lambda_1 {mathfrak X}_1,
{mathbf A}{mathfrak X}_2=lambda_2 {mathfrak X}_2 $
и $ lambda_1 ne lambda_2 $, то
$$
a= {mathfrak X}_2^{^{top}} {mathbf A}{mathfrak X}_1 =left{begin{array}{ll} {mathfrak X}_2^{^{top}} lambda_1 {mathfrak X}_1
& =lambda_1{mathfrak X}_2^{^{top}} {mathfrak X}_1 ;\
{mathfrak X}_2^{^{top}} {mathbf A}^{^{top}}{mathfrak X}_1
=({mathbf A}{mathfrak X}_2)^{^{top}} {mathfrak X}_1 &
=lambda_2{mathfrak X}_2^{^{top}} {mathfrak X}_1. end{array} right.
$$
Тогда 
$$ 0=a-a=(lambda_1 – lambda_2){mathfrak X}_2^{^{top}} {mathfrak X}_1 Rightarrow
{mathfrak X}_2^{^{top}} {mathfrak X}_1=0 , $$
т.е. $ {mathfrak X}_1 bot {mathfrak X}_2 $.

♦

Т

Теорема 3 [Коши].
Для симметричной матрицы $ A_{} $ число ее собственных чисел, лежащих на интервале $ ]a,b_{}[ $, определяется по формуле:

$$operatorname{nrr} { det (A-lambda E) =0 | a< lambda<b }= $$
$$= {mathcal P}(1, H_1(a), H_2(a),dots, H_n(a))-
{mathcal P}(1, H_1(b), H_2(b),dots, H_n(b)) . $$
Здесь $ H_1(lambda), H_2(lambda),dots, H_n(lambda) $ —
главные миноры матрицы $ A-lambda, E $, а $ {mathcal P}_{} $ — число знакопостоянств.

Доказательство и примеры

☞

ЗДЕСЬ.

Согласно этой теореме, главные миноры матрицы $ A-lambda, E $ играют роль системы полиномов Штурма для характеристического полинома симметричной матрицы $ A_{} $.

=>

Если все главные миноры

$$ A_1,A_2,dots,A_{n} $$
симметричной матрицы $ A_{} $ отличны от нуля, то
число положительных собственных чисел матрицы $ A_{} $ равно числу знакопостоянств, а число отрицательных собственных чисел — числу знакоперемен в ряду $ 1,A_1,dots,A_n $:

$$ operatorname{nrr} { det (A-lambda E) =0 | lambda>0 } = {mathcal P}(1,A_1,dots,A_n),
$$
$$
operatorname{nrr} { det (A-lambda E) =0 | lambda<0 }={mathcal V}(1,A_1,dots,A_n) .
$$

§

QR-алгоритм поиска всех собственных чисел

☞

ЗДЕСЬ.

Часто в приложениях требуется вычислить значения не всех собственных чисел симметричной матрицы, а только небольшого (по сравнению с порядком матрицы) количества максимальных по модулю. Численный метод решения этой задачи изложен

☞

ЗДЕСЬ.

Т

Теорема 4. Существует ортогональная матрица $ P_{} $, приводящая симметричную матрицу $ A_{} $ к диагональному виду:

$$
P^{-1}AP=P^{^{top}}AP=
left( begin{array}{cccc}
lambda_1 & & & mathbb O \
& lambda_2 & & \
&& ddots & \
mathbb O&& & lambda_n
end{array}
right).
$$

Доказательство особенно просто в случае когда все собственные числа $ lambda_1,dots, lambda_n $ различны. На основании теоремы 1 матрица
$ A_{} $ диагонализуема над множеством вещественных чисел и на основании теоремы 2
матрица $ P $, приводящая к диагональному виду, может быть выбрана ортогональной.

Для общего случая доказательство производится индукцией по порядку $ n $ матрицы $ A $. Окончание доказательства

☞

ЗДЕСЬ.

♦

Теорема утверждает что даже при наличии кратных корней у характеристического полинома
$$ f(lambda)=(-1)^n(lambda – lambda_1)^{{mathfrak m}_1} times
dots times (lambda – lambda_{mathfrak r})^{{mathfrak m}_{mathfrak r}}, quad
{mathfrak m}_1+dots+{mathfrak m}_{{mathfrak r}}=n, lambda_k ne
lambda_{ell} npu k ne ell $$
алгебраическая кратность собственного числа $ lambda_j $ совпадает с его геометрической кратностью:
$$operatorname{dfc} , (A-lambda_j, E)= {mathfrak m}_j, npu quad forall jin {1,dots,mathfrak r} .$$
Или, что то же: размерность собственного подпространства
$$ left{Xin mathbb R^n , big| , (A-lambda_j, E)X=mathbb O_{ntimes 1} right} $$
равна $ {mathfrak m}_j $. При нахождении фундаментальной системы решений (ФСР) указанной системы уравнений
мы получим $ {mathfrak m}_j $ линейно независимых собственных векторов
$ {{mathfrak X}_{j1},dots, {mathfrak X}_{j{mathfrak m}_j} } $ , принадлежащих $ lambda_j $. Однако
при традиционных способах построения ФСР вовсе не гарантирована ортогональность этих векторов. Как построить
ФСР так, чтобы она удовлетворяла условию теоремы,
т.е. была ортонормированной? Воспользуемся для этого процессом ортогонализации Грама-Шмидта, применив его к системе $ {{mathfrak X}_{j1},dots, {mathfrak X}_{j{mathfrak m}_j} } $.
Результатом процесса будет новая система векторов $ {{mathfrak Y}_{j1},dots, {mathfrak Y}_{j {mathfrak m}_j} } $
такая что ее линейная оболочка совпадает с линейной оболочкой исходной системы:
$$ {mathcal L} left({mathfrak Y}_{j1},dots, {mathfrak Y}_{j {mathfrak m}_j} right)=
{mathcal L} left({mathfrak X}_{j1},dots, {mathfrak X}_{j{mathfrak m}_j} right) quad
mbox{ и } quad langle {mathfrak Y}_{jk},{mathfrak Y}_{jell} rangle =0 mbox{ при } k ne ell
, ,
$$
т.е. векторы $ {mathfrak Y}_{j1},dots, {mathfrak Y}_{j {mathfrak m}_j} $ остаются собственными векторами, принадлежащими $ lambda_j $. Но теперь эти новые векторы попарно ортогональны. Нормировав их, мы получим требуемую теоремой систему из
$ {mathfrak m}_j $ ортогонормированных столбцов матрицы $ P $, соответствующих кратному
собственному числу $ lambda_j $.

П

Пример. Диагонализовать матрицу

$$
A=left(
begin{array}{rrrrrrrr}
0&1&0&1&0&0&0&-1 \
1&0&1&0&0&0&-1&0 \
0&1&0&1&0&-1&0&0 \
1&0&1&0&-1&0&0&0 \
0&0&0&-1&0&1&0&1 \
0&0&-1&0&1&0&1&0 \
0&-1&0&0&0&1&0&1 \
-1&0&0&0&1&0&1&0
end{array}
right)
$$
с помощью ортогональной матрицы.

Решение. Имеем:
$$ det (A-lambda E) equiv (lambda-3)(lambda+3)(lambda-1)^3(lambda+1)^3 , . $$
Ищем собственные векторы. Для простых собственных чисел:
$$ lambda_1=-3 Rightarrow mathfrak X_1=left[1,-1,1,,-1,-1,1,-1,1right]^{top} ; $$
$$ lambda_2=3 Rightarrow mathfrak X_2=left[-1,-1,-1,-1,1,1,1,1right]^{top} . $$
Эти столбцы войдут в состав матрицы $ P $, только их надо нормировать: $ mathfrak X_{j} /|mathfrak X_{j}| $.
Для кратных собственных чисел $ lambda_j in {-1,1} $ сначала находим произвольные ФСР
$$
lambda_3=1 Rightarrow
left{begin{array}{rrrrrrrrr}
x_1&-x_2 & &-x_4 & & & &+x_8 & =0 \
& x_2 &-x_3 & +x_4 & & -x_6 & & & =0 \
& & x_3 & +x_4 & & & -x_7 &-x_8& =0 \
& & & 3,x_4 &+x_5 & -x_6 & -2,x_7 & -x_8 & =0 \
& & & & x_5 & -x_6 & +x_7 & -x_8 & =0
end{array}
right.
$$
$$
Rightarrow
mathfrak X_{3,1} =left[1,1,0,0,1,1,0,0 right]^{top} ;mathfrak X_{3,2} =left[ 0,-1,0,1,-1,0,1,0 right]^{top};
mathfrak X_{3,3} =left[0,1,1,0,1,0,0,1 right]^{top} .
$$
$$
lambda_4=-1 Rightarrow quad left{ begin{array}{l}
mathfrak X_{4,1} =left[-1,1,0,0,-1,1,0,0 right]^{top}\
mathfrak X_{4,2} =left[ 0,1,-1,0,-1,0,0,1 right]^{top} \
mathfrak X_{4,3} =left[0,1,0,-1,-1,0,1,0 right]^{top}
end{array}
right}, .
$$
Применяем к каждой из них алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта:
$$mathfrak Y_{3,1}=mathfrak X_{3,1}=left[1,1,0,0,1,1,0,0 right]^{top}; $$
$$ mathfrak Y_{3,2}=mathfrak X_{3,2}+{color{RubineRed} alpha } mathfrak Y_{3,1}, quad langle mathfrak Y_{3,2},mathfrak Y_{3,1} rangle =0 quad
Rightarrow {color{RubineRed} alpha }=-frac{langle mathfrak X_{3,2},mathfrak Y_{3,1} rangle}{langle mathfrak Y_{3,1},mathfrak Y_{3,1} rangle }=frac{1}{2} quad
Rightarrow
$$
$$
Rightarrow mathfrak Y_{3,2}=left[frac{1}{2},-frac{1}{2},0,1,-frac{1}{2},frac{1}{2},1,0 right]^{top} ;
$$
$$
mathfrak Y_{3,3}=mathfrak X_{3,3}+{color{RubineRed} beta } mathfrak Y_{3,1}+{color{RubineRed} gamma } mathfrak Y_{3,2}, quad
langle mathfrak Y_{3,3},mathfrak Y_{3,1} rangle =0, langle mathfrak Y_{3,3},mathfrak Y_{3,2} rangle =0
quad
Rightarrow
$$
$$
{color{RubineRed} beta } =-frac{langle mathfrak X_{3,3},mathfrak Y_{3,1} rangle}{langle mathfrak Y_{3,1},mathfrak Y_{3,1} rangle}=-frac{1}{2},
{color{RubineRed} gamma } =-frac{langle mathfrak X_{3,3},mathfrak Y_{3,2} rangle }{langle mathfrak Y_{3,2},mathfrak Y_{3,2} rangle }=frac{1}{3} quad
Rightarrow
$$
$$
Rightarrow mathfrak Y_{3,3}=left[-frac{1}{3},frac{1}{3},1,frac{1}{3},frac{1}{3},-frac{1}{3},frac{1}{3},1 right]^{top} , .
$$
$$
mathfrak Y_{4,1}=mathfrak X_{4,1}=left[-1,1,0,0,-1,1,0,0 right]^{top}, mathfrak Y_{4,2}=left[frac{1}{2},frac{1}{2},-1,0,-frac{1}{2},-frac{1}{2},0,1 right]^{top},
$$
$$
mathfrak Y_{4,3}=left[frac{1}{3},frac{1}{3},frac{1}{3},-1,-frac{1}{3},-frac{1}{3},1,-frac{1}{3} right]^{top} , .
$$
После нормирования, составляем из этих векторов ортогональную матрицу:
$$
P=
left(begin{array}{rrrrrrrr}
-sqrt{2}/4 & sqrt{2}/4 & 1/2 & sqrt{3}/6 & -sqrt{6}/12 & -1/2 & sqrt{3}/6 & sqrt{6}/12 \
-sqrt{2}/4 & -sqrt{2}/4 & 1/2 & -sqrt{3}/6 & sqrt{6}/12 & 1/2 & sqrt{3}/6 & sqrt{6}/12 \
-sqrt{2}/4 & sqrt{2}/4 & 0 & 0 & sqrt{6}/4 & 0 & -sqrt{3}/3 & sqrt{6}/12 \
-sqrt{2}/4 & -sqrt{2}/4 & 0 & sqrt{3}/3 & sqrt{6}/12 & 0 & 0 & -sqrt{6}/4 \
sqrt{2}/4 & -sqrt{2}/4 & 1/2 & -sqrt{3}/6 & sqrt{6}/12 & -1/2 & -sqrt{3}/6 & -sqrt{6}/12 \
sqrt{2}/4 & sqrt{2}/4 & 1/2 & sqrt{3}/6 & -sqrt{6}/12 & 1/2 & -sqrt{3}/6 & -sqrt{6}/12 \
sqrt{2}/4 & -sqrt{2}/4 & 0 & sqrt{3}/3 & sqrt{6}/12 & 0 & 0 & sqrt{6}/4 \
sqrt{2}/4 & sqrt{2}/4 & 0 & 0 & sqrt{6}/4 & 0 & sqrt{3}/3 & -sqrt{6}/12
end{array}
right) , .
$$
$$
P^{top}AP=
left(
begin{array}{rrrrrrrr}
3&&&&&&& \
&-3&&&&&& \
&&1&&&&& \
&&&1&&&& \
&&&&1&&& \
&&&&&-1&& \
&&&&&&-1& \
&&&&&&&-1
end{array}
right) , .
$$

♦

?

Пусть уравнение $ X^{^{top}}A X=1 $ задает эллипсоид в $ mathbb R^3 $, т.е. квадратичная форма положительно определена. Построить посылочный ящик минимального объема (минимальный параллелепипед), содержащий данный эллипсоид.

Решение. Если уравнение эллипсоида приведено к каноническому виду
$$
frac{x_1^2}{a^2}+frac{x_2^2}{b^2}+frac{x_3^2}{c^2}=1,
$$
то ответ геометрически очевиден: эллипсоид «шире всего» в направлении оси, соответствующей максимальному из трех чисел $ a,b,c $, и «уже всего» в направлении оси, соответствующей минимальному из этих чисел. То есть размер оптимального посылочного ящика — $ (2,a, 2,b, 2,c) $. В случае, если уравнение $ X^{^{top}}A X=1 $ не приведено к каноническому виду, его можно привести к нему с помощью ортогональной замены переменных. Такая замена оставляет инвариантными размеры эллипсоида, а результатом ее становится уравнение эллипсоида в каноническом виде
$$ lambda_1 y_1^2+lambda_2 y_2^2+lambda_3 y_3^2=1 , . $$
Здесь $ lambda_1,lambda_2,lambda_3 $ — собственные числа матрицы $ A $, они являются положительными ввиду предположения о положительной определенности этой матрицы. Соответствующие собственные векторы матрицы определяют главные оси эллипсоида¹⁾. Сравнивая два канонических вида уравнения эллипсоида, можем размеры посылочного ящика сформулировать в терминах собственных чисел матрицы: максимальный размер эллипсоид имеет равным $ 2/sqrt{min {lambda_1,lambda_2,lambda_3}} $, а минимальный — равным $ 2/sqrt{max {lambda_1,lambda_2,lambda_3}} $. Если эллипсоид нельзя поворачивать вокруг начала координат, то для того, чтобы поместить его в ящик размеров $ 2/sqrt{lambda_1}, 2/sqrt{lambda_2}, 2/sqrt{lambda_3} $ последний надо ориентировать в пространстве: рёбра должны быть параллельны собственным векторам матрицы $ A $.

♦

Замеченное свойство собственных чисел симметричной матрицы распространяется и в многомерное пространство. Традиционно его формулируют в несколько ином виде — хотя и менее наглядном, но более ориентированном на приложения в задачах механики и статистики.

Задача. Найти условные экстремумы квадратичной формы $ F(X)=X^{^{top}}A X $ на единичной
сфере
$$ mathbb S= { Xin mathbb R^n mid x_1^2+dots+ x_n^2=1 }, . $$

В курсе математического анализа показывается, что, во-первых, указанные
экстремумы существуют²⁾, и, во-вторых,
могут быть найдены применением метода множителей Лагранжа.

Т

Теорема. Если $ lambda_{max} $ — максимальное, а $ lambda_{min} $ — минимальное
собственные числа матрицы $ A $, то

$$ max_{X in mathbb S} X^{^{top}}A X =lambda_{max}, qquad
min_{X in mathbb S} X^{^{top}}A X =lambda_{min} , . $$
Указанные экстремумы квадратичная форма достигает
на соответствующих собственных векторах матрицы $ A $ единичной длины.

Доказательство. Применяем метод множителей Лагранжа, т.е. составляем функцию
$$L(X,lambda) = F(X)- lambda (X^{top}X-1)$$
и ищем ее абсолютные экстремумы (как функции $ (n+1) $-го аргумента).
На основании теоремы о стационарных точках полинома эти экстремумы должны достигаться
на вещественных решениях системы уравнений
$$
left{
begin{array}{lll}
{partial L }big/{partial x_1 }=&2left(a_{11}x_1+a_{12}x_2+dots+a_{1n}x_n
right)-2 lambda x_1 &=0, \
dots & & dots \
{partial L }big/{partial x_n}=&2left(a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+dots+a_{nn}x_n
right)-2 lambda x_n &=0, \
{partial L }big/{partial lambda }=&x_1^2+dots +x_n^2-1 &= 0 , .
end{array}
right.
$$
Решаем эту систему. Первые $ n $ уравнений перепишем в матричном виде
$$AX-lambda X=mathbb O iff (A-lambda , E) X=mathbb O ,
. $$
Из последнего уравнения системы следует, что $ X ne mathbb O $.
Следовательно, решениями системы будут
исключительно только собственные векторы $ {mathfrak X}_j $ матрицы $ A $, при
$ lambda $ равном соответствующему собственному числу $ lambda_j $ этой матрицы.
При $ X={mathfrak X}_j $ и $ lambda=lambda_j $ получаем экстремальные значения
функции $ F(X) $:
$$F({mathfrak X}_j)={mathfrak X}_j^{^{top}}A {mathfrak X}_j
= lambda_j {mathfrak X}_j^{^{top}}{mathfrak X}_j=lambda_j , . $$
Откуда и следует утверждение теоремы.

♦

§

Еще один вариант экстремального свойства симметричной матрицы излагается

☞

ЗДЕСЬ.