Как найти симметричную точку на графике

Прочитайте условие задачи и определите, относительно чего должна быть симметрична точка. Например, может потребоваться построение точки, симметричной относительно другой точки, оси симметрии, начала координат, оси Ох или Оу и т.п.

Если вам нужно построить точку А1, симметричную А относительно начала координат, сначала определите координаты точки А. А1 будет иметь те же координаты, но с противоположным знаком. Например, А1 (3; -5) будет симметрична А (-3; 5). Найдите и постройте на графике точку А1 с полученными координатами.

Чтобы построить точку А1, симметричную А относительно оси Ох, нужно найти точку с такой же абсциссой, но при этом с ординатой, противоположной по знаку. Это значит, что точке А (х; у) будет симметрична А1 (х; -у). Например, если А имеет координаты 6 по оси Ох и 2 по оси Оу, то вам нужно будет найти и построить точку А1 (6; -2).

Если требуется построить А1, симметричную А относительно оси Оу, найдите А1, ордината которой будет равна А, а абсцисса противоположна абсциссе А по знаку. Это означает, что А1 (-х; у) будет симметрична А (х; у). Например, если дана А (4; 8), то нужно найти и построить А1 (-4; 8).

Если необходимо построить точку А1, симметричную А относительно точки В, то нужно сначала начертить луч из А, проходящий через В. Измерьте расстояние от А до В и постройте точку А1 на таком же расстоянии от В, но в противоположной стороне луча. В результате у вас получится отрезок АА1, центром которого является точка В.

Чтобы построить точку А1, симметричную А относительно прямой, постройте луч с начальной точкой А, пересекающийся с прямой и перпендикулярный ей. Измерьте расстояние от А до точки пересечения прямой и луча, а затем постройте точку А1 на том же расстоянии от прямой, но в противоположной стороне. У вас должен получиться отрезок АА1, который разделен прямой ровно пополам.

Прямая х=а является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $xin D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2a-x).

Прямая х=а является осью симметрии графика функции f в том и только в том случае, когда для любого х из ее области определения выполняется равенство f(a+х)=f(a-х).

Точка (а, b) является центром симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $xin D(f)$ выполняется равенство f(x)+f(2а-х)=b.

Точка (а, b) является центром симметрии графика функции f в том и только в том случае, когда для любого х из ее области определения выполняется равенство f(a+х)+f(a-х)=b.

Пример 1: Сколько вертикальных осей симметрии может иметь график периодической функции?

Ответ: Если график функции f с периодом Т имеет ось симметрии х=а, то скорее всего — из геометрических соображений — осью симметрии будет и прямая х=а+Т. Но так как прямая х=с является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $xin D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2с-х), то для прямой х=а+Т надо проверить выполнение равенства f(а+Т)=f(2а-а-Т), или f(a+Т)=f(aТ), a это равенство верно.

Так как периодов у периодической функции бесконечно много, то и осей симметрии бесконечно много, если, конечно, есть хотя бы одна.

Пример 2: График функции у=f(x) имеет вертикальную ось и центр симметрии. Что можно сказать о графике функции у=2f(x)-1?

Ответ: Так как график функции у=f(x) имеет вертикальную ось симметрии, например х=а, то для всякого х имеет место равенство f(a+х)=f(а-х), а тогда очевидно 2f(a+х)-1=2f(а-x)-1, так что функция у=2f(x)-1 имеет ту же ось симметрии. Если же график функции у=f(x) имеет центр симметрии, например, Q=(а, b), то для всякого х имеет место равенство f(а+х)+f(а-х)=2b, и в этом случае (2f(а+х)-1)+(2f(а-х)-1)=2b<-2, так что функция у=2f(x)-1 имеет центр симметрии в точке (а, 2b-2).

Комментарий. При рассуждении можно употреблять термины «растяжение-сжатие» и «сдвиг». Можно также пользоваться утверждением «Прямая х=а является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $xin D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2а-x)».

Материалы по теме:

• Пример нахождения площади криволинейной трапеции через определённый интеграл.
• Функции четные и нечетные
• Находим асимптоты до графика функции.
• Периодические функции