Как найти симметричную точку относительно вектора - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Аналитическая геометрия для «чайников»

Настоящая книга позволит вам в сжатые сроки (2-3 недели) освоить основы аналитической геометрии и научиться решать наиболее распространённые задачи по теме. Материал предназначен для студентов-заочников и других читателей, которые хотят быстро освоить минимум теории и максимум практики

Сначала немного о предмете…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает «аналитическая»? На ум сразу приходят два «штампованных» математических оборота: графический метод решения и аналитический метод решения.

Графический метод связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решения многих задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.

Координаты симметричных точек

Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.

По формулам координаты середины отрезка получаем связь координат этих точек:

Координаты точек, симметричных относительно начала координат — точки O(0;0) — противоположные числа.

То есть координаты точки B, симметричной точке A относительно начала координат, отличаются от координат точки A только знаками:

A(a;b) и B(-a;-b) — точки, симметричные относительно начала координат.

1) Найти точку, симметричную точке A(-3;7) относительно точки F(5; 11).

Пусть B(x_B;y_B) — точка, симметричная точке A относительно точки F. Тогда

2) Найти точку, симметричную точке C (9;-4) относительно начала координат.

Точка D, симметричная точке C относительно начала координат, имеет координаты, противоположные координатам точки C: D(-9;4).

II. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему.

Таким образом, чтобы найти координаты точки B, симметричной данной точке A относительно прямой g, можно:

Написать уравнение прямой f, перпендикулярной прямой g, проходящей через точку A.
Найти точку O пересечения прямых f и g.
Зная конец отрезка A и его середину O найти другой конец B.

Найти точку, симметричную точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой y=2x+4, ищем в виде y=-0,5x+b. Так как эта прямая проходит через точку A, координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

Таким образом, y=-0,5x+3 — прямая, перпендикулярная прямой y=2x+4 и проходящая через точку A.

Значит точка B(3,2;1,4) симметрична точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Координаты точек, симметричных относительно осей координат и биссектрис координатных четвертей — прямых y=x и y=-x — находятся проще:

Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием. Часть 2

Вступление

Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.

Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.

Задача №1

Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.

Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P₁P₂ и P₁M и по его знаку сделать вывод.

Задача №2

Определить принадлежит ли точка лучу.

Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P₁(x₁, y₁) — начало луча, а P₂(x₂, y₂) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P₁(x₁, y₁), где P₂(x₂, y₂) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P₁P₂, P₁M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)

Задача №3

Определить принадлежит ли точка отрезку.

Решение
Пусть точки P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P₁, P₂. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P₁ и P₂, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP₁, MP₂). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP₁,MP₂) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P₁ и P₂)

Задача №4

Взаимное расположение двух точек относительно прямой.

Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.

Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] ≤ 0.

Задача №5

Определить пересекаются ли две прямые.

Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a₁b₂ — a₂b₁ = 0.
Если же прямые заданы точками P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), M₁(x₃, y₃), M₂(x₄, y₄), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P₁P₂ и M₁M₂: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b₁, a₁), (-b₂, a₂) которые называются направляющими векторами.

Задача №6

Определить пересекаются ли два отрезка.

Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P₁P₂, P₁M₂] > 0, [P₁P₂, P₁M₁] [P₁P₂, P₁M₂] * [P₁P₂, P₁M₁] 2 + b 2 ).

Задача №8

Расстояние от точки до луча.

Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.

Как же определить падает ли перпендикуляр на луч или нет? Если перпендикуляр не падает на луч, то угол MP₁P₂ – тупой иначе острый (прямой). Поэтому по знаку скалярного произведения векторов мы можем определить попадает ли перпендикуляр на луч или нет:
1. (P₁M, P₁P₂) 2 .

Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O₂ находится между точками O₁ и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d₂. Использование отрицательного значения d₂ приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.

Заключение

Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.

[spoiler title=”источники:”]

Координаты симметричных точек

http://habr.com/ru/post/148325/

[/spoiler]

Источник

I. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно точки O(x_O;y_O), если точка O является серединой отрезка AB.

По формулам координаты середины отрезка получаем связь координат этих точек:

$[ x_O = frac{{x_A + x_B }}{2},y_O = frac{{y_A + y_B }}{2}. ]$

Координаты точек, симметричных относительно начала координат — точки O(0;0) — противоположные числа.

A(a;b) и B(-a;-b) — точки, симметричные относительно начала координат.

Примеры.

1) Найти точку, симметричную точке A(-3;7) относительно точки F(5; 11).

Решение:

Пусть B(x_B;y_B) — точка, симметричная точке A относительно точки F. Тогда

$[ x_F = frac{{x_A + x_B }}{2} ]$

$[ 5 = frac{{ - 3 + x_B }}{2} ]$

$[ y_F = frac{{y_A + y_B }}{2} ]$

$[ 11 = frac{{7 + y_B }}{2} ]$

Ответ: (13;15).

2) Найти точку, симметричную точке C (9;-4) относительно начала координат.

Решение:

Ответ: (-9;4).

Таким образом, чтобы найти координаты точки B, симметричной данной точке A относительно прямой g, можно:

Написать уравнение прямой f, перпендикулярной прямой g, проходящей через точку A.
Найти точку O пересечения прямых f и g.
Зная конец отрезка A и его середину O найти другой конец B.

Пример

Найти точку, симметричную точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Решение:

5=-0,5·(-4)+b, откуда b=3.

Таким образом, y=-0,5x+3 — прямая, перпендикулярная прямой y=2x+4 и проходящая через точку A.

Найдём координаты точки пересечения прямых:

$[ left{ begin{array}{l} y = 2x + 4, \ y = - 0,5x + 3, \ end{array} right. Rightarrow O( - 0,4;3,2). ]$

$[ x_O = frac{{x_A + x_B }}{2} ]$

$[ - 0,4 = frac{{ - 4 + x_B }}{2} ]$

$[ y_O = frac{{y_A + y_B }}{2} ]$

Значит точка B(3,2;1,4) симметрична точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Ответ: (3,2;1,4).

	для точки A(x;y)
симметрия относительно:
оси Ox	A₁(x;-y)
оси Oy	A₂(-x;y)
биссектрисы I и II координатных четвертей (прямой y=x)	A₃(y;x)
биссектрисы I b II координатных четвертей (прямой y= -x)	A₄(-y;-x)

Источник

Прямую в пространстве
всегда можно определить как линию
пересечения двух непараллельных
плоскостей. Если уравнение одной
плоскости
,
уравнение второй плоскости,
тогда уравнение прямой задаётся виде

здесь
неколлинеарен.
Эти уравнения называютсяобщими
уравнениями
прямой в пространстве.

Канонические
уравнения прямой

Любой ненулевой
вектор, лежащий на данной прямой или
параллельный ей, называется направляющим
вектором этой прямой.

Если известна
точка
прямой и её направляющий вектор,
то канонические уравнения прямой имеют
вид:

.
(9)

Параметрические
уравнения прямой

Пусть заданы
канонические уравнения прямой

Отсюда, получаем
параметрические уравнения прямой:

(10)

Эти уравнения
удобны при нахождении точки пересечения
прямой и плоскости.

Уравнение прямой,
проходящей через две точки

Уравнение прямой,
проходящей через две точки
иимеет
вид:

Угол между прямыми

Угол между прямыми

равен углу между
их направляющими векторами. Следовательно,
его можно вычислить по формуле (4):

Условие параллельности
прямых:

Условие
перпендикулярности плоскостей:

Расстояние точки
от прямой

Пусть
дана точкаи прямая

Из канонических
уравнений прямой известны
точка
,
принадлежащая прямой,и
её направляющий
вектор
.
Тогда расстояние точкиот прямой равно высоте параллелограмма,
построенного на векторахи.
Следовательно,

Условие пересечения
прямых

Две непараллельные
прямые

пересекаются тогда
и только тогда, когда

Взаимное
расположение прямой и плоскости.

Пусть заданы прямая
и плоскость.
Уголмежду ними можно найти по формуле

Задача 73.
Написать канонические уравнения прямой

(11)

Решение.
Для того чтобы записать канонические
уравнения прямой (9), необходимо знать
любую точку, принадлежащую прямой, и
направляющий вектор прямой.

Найдём вектор
,
параллельный данной прямой. Так как он
должен быть перпендикулярен к нормальным
векторам данных плоскостей, т. е.

,
,
то

Из общих уравнений
прямой имеем, что
,.
Тогда

Так как точка
любая точка прямой, то её координаты
должны удовлетворять уравнениям прямой
и одну из них можно задать, например,,
две другие координаты найдём из системы
(11):

Отсюда,
.

Таким образом,
канонические уравнения искомой прямой
имеют вид:

или
.

Задача 74.
Вычислить расстояние между параллельными
прямыми:

и
.

Решение.
Из канонических уравнений первой прямой
известны координаты точки
,
принадлежащей прямой, и координаты
направляющего вектора.
Из канонических уравнений второй прямой
также известны координаты точкии координаты направляющего вектора.

Расстояние между
параллельными прямыми равно расстоянию
точки
от второй прямой. Это расстояние
вычисляется по формуле

Найдём координаты
вектора
.

Вычислим векторное
произведение
:

Тогда

Задача 75.
Найти точку
симметричную точкеотносительно прямой

Решение.
Запишем уравнение плоскости перпендикулярной
к данной прямой и проходящей через точку
.
В качестве её вектора нормалиможно взять направляющий вектор прямой.
Тогда.
Следовательно,

Найдём точку
точку
пересечения данной прямой и плоскости
П. Для этого запишем параметрические
уравнения прямой, используя уравнения
(10), получим

Далее, решим
систему, в которую входит уравнение
плоскости и параметрические уравнения
прямой:

Следовательно,
.

Пусть
точка
симметричная точкеотносительно данной прямой. Тогда точкасередина
отрезка.
Для нахождения координат точкииспользуем формулы координат середины
отрезка:

,
,.

Получим

,
,

Итак,
.

Задача 76.
Написать уравнение плоскости, проходящей
через прямую
и

а) через точку
;

б) перпендикулярно
плоскости
.

Решение.
Запишем общие уравнения данной прямой.
Для этого рассмотрим два равенства:

Это означает, что
искомая плоскость принадлежит пучку
плоскостей с образующими
и её уравнение может быть записано в
виде (8):

(12)

а) Найдём
ииз условия, что плоскость проходит через
точку,
следовательно, её координаты должны
удовлетворять уравнению плоскости.
Подставим координаты точкив уравнение пучка плоскостей:

Найденное значение
подставим в уравнение (12). получим
уравнение искомой плоскости:

б) Найдём
ииз условия, что искомая плоскость
перпендикулярна плоскости.
Вектор нормали данной плоскости,
вектор нормали искомой плоскости(см. уравнение пучка плоскостей (12).

Два вектора
перпендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение равно
нулю. Следовательно,

Отсюда,

Подставим найденное
значение
в уравнение пучка плоскостей (12). Получим
уравнение искомой плоскости:

Задачи для
самостоятельного решения

Задача 77.
Привести к каноническому виду уравнения
прямых:

1)
2)

Задача 78.
Написать параметрические уравнения
прямой
,
если:

1)
,;
2),.

Задача 79.
Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку
перпендикулярно прямой

Задача 80.
Написать уравнения прямой, проходящей
точку
перпендикулярно плоскости.

Задача 81.
Найти угол между прямыми:

1)
и;

2)
и

Задача 82.
Доказать параллельность прямых:

и
.

Задача 83.
Доказать перпендикулярность прямых:

Задача 84.
Вычислить расстояние точки
от прямой:

1)
;
2).

Задача 85.
Вычислить расстояние между параллельными
прямыми:

и
.

Задача 86.
В уравнениях прямой
определить параметртак, чтобы эта прямая пересекалась с
прямой и найти точку их пересечения.

Задача 87.
Показать, что прямая
параллельна плоскости,
а прямаялежит в этой плоскости.

Задача 88.
Найти точку
симметричную точкеотносительно плоскости,
если:

1)
,

;

2)
,

Задача 89.
Написать уравнение перпендикуляра,
опущенного из точки
на прямую.

Задача 90.
Найти точку
симметричную точкеотносительно прямой.

ОТВЕТЫ

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Лидеры категории

Лена-пена

Искусственный Интеллект

М.И.

Искусственный Интеллект

Y.Nine

Искусственный Интеллект

Dmitriy
•••

Источник

1038 Доказать, что прямая

параллельна
плоскости

. 1039 Доказать, что
прямая

лежит в плоскости

. 1040 Найти точку
пересечения прямой и плоскости: 1040.1

; 1040.2

; 1040.3

. 1041 Составить
канонические уравнения прямой, проходящей через
точку М₀(2; -4; -1) и
середину отрезка прямой

, заключенного между плоскостями

. 1042 Составить
уравнение прямой, проходящей через точку М₀(2; -3; -5) перпендикулярно
к плоскости

. 1043 Составить
уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(1; -1; -1) перпендикулярно
к прямой

. 1044 Составить
уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(1; -2; 1) перпендикулярно
к прямой

. 1045 При каком значении m
прямая

параллельна плоскости

? 1046 При каком значении
С прямая

параллельна плоскости

? 1047 При каких значениях
A и D прямая

лежит
в плоскости

? 1048 При каких значениях
А и В плоскость

перпендикулярна к
прямой

? 1049 При каких значениях
l и C прямая

перпендикулярна к
плоскости

? 1050 Найти проекцию
точки Р(2; -1; 3) на прямую

. 1051 Найти точку Q,
симметричную точке Р(4; 1; 6) относительно прямой

. 1052 Найти точку Q,
симметричную точке Р(2; -5; 7) относительно прямой,
проходящей через точки М₁(5; 4; 6) и М₂(-2; -17; -8). 1053 Найти проекцию
точки Р(5; 2; -1) на плоскость

. 1054 Найти точку Q,
симметричную точке Р(1; 3; -4) относительно
плоскости

. 1055 На плоскости Оху
найти такую точку Р, сумма расстояний которой до
точек А(-1; 2; 5) и В(11; -16; 10) была бы наименьшей. 1056 На плоскости Oxz
найти такую точку Р, разность расстояний которой
до точек M₁(3; 2; -5), М₂(8; -4; -13) была
бы наибольшей. 1057 На плоскости

найти такую точку Р, сумма
расстояний которой до точек А(3; -4; 7) и В(-5; -14; 17)
была бы наименьшей. 1058 На плоскости

найти такую точку Р, разность
расстояний которой до точек М₁(5; 2; -7) и М₂(7; -25; 10) была
бы наибольшей. 1059 Точка М(x, y, z)
движется прямолинейно и равномерно из
начального положения М₀(15; -24; -16)
со скоростью v=12 в направлении
вектора s={-2; 2; 1}. Убедившись, что траектория точки
М пересекает плоскость

найти: 1059.1 точку Р их
пересечения; 1059.2 время, затраченное
на движение точки М от М₀ до Р; 1059.3 длину отрезка М₀Р. 1060 Точка М(x; y; z)
движется прямолинейно и равномерно из
начального положения М₀(28; -30; -27)
со скоростью v=12,5 по
перпендикуляру, опущенного из точки М₀ на плоскость

. Составить
уравнения движения точки М и определить: 1060.1 точку Р пересечения
ее траектории с этой плоскостью; 1060.2 время, затраченное
на движение точки М от М₀ до Р; 1060.3 длину отрезка М₀Р. 1061 Точка М(x; y; z)
движется прямолинейно и равномерно из
начального положения М₀(11; -21; 20) в направлении вектора s={-1; 2; -2} со
скоростью v=12. Определить, за какое время она
пройдет отрезок своей траектории, заключенный
между параллельными плоскостями

. 1062 Вычислить
расстояние d точки Р(1; -1; -2) от прямой

. 1063 Вычислить
расстояние d от точки Р(2; 3; -1) до следующих прямых: 1063.1

; 1063.2

; 1063.3

. 1064 Убедившись, что
прямые

параллельны,
вычислить расстояние d между ними. 1065 Составить
уравнение плоскости, проходящей через точку М₁(1; 2; -3) параллельно
прямым

. 1066

Доказать,
что уравнение плоскости, проходящей через точку
М₀(x₀; y₀; z₀) параллельно прямым , , может быть
представлено в следующем виде:

1067

Доказать,
чо уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(x₁; y₁; z₁) и М₂(x₂; y₂; z₂)
паралелльно прямой , может
быть представлено в следующем виде:

1068 Составить
уравнение плоскости, проходящей через прямую

и точку М₁(2;
-2; 1). 1069

Доказать,
что уравнение плоскости, проходящей через прямую
, , и точку М₁(x₁;
y₁; z₁), может быть
представлено в следующем виде:

1070 Доказать, что
прямые

лежат в одной
плоскости, и составить уравнение этой плоскости. 1071

Доказать,
что если две прямые , пересекаются, то уравнение
плоскости, в которой они лежат, может быть
представлено в следующем виде:

1072 Составить
уравнение плоскости, проходящей через две
параллельные прямые

. 1073

Доказать,
что уравнение плоскости, проходящей через две
параллельные прямые , , и ,
, , может быть
представлено в следующем виде:

1074 Найти проекцию
точки С(3; -4; -2) на плоскость, проходящую через
параллельные прямые

. 1075 Найти точку Q,
симметричную точке Р(3; -4; -6) относительно
плоскости, проходящей через М₁(-6;
1; -5), М₂(7; -2; -1) и М₃(10; -7; 1). 1076 Найти точку Q,
симметричную точке Р(-3; 2; 5) относительно
плоскости, проходящей через прямые