Симметрия — соразмерность, соответствие, сходность, порядок в расположении частей. Это слово, как и многие другие математические понятия, произошли от греческих слов.
Смотря на объекты вокруг, мы не раз восклицаем: «Какая симметрия!»
Рис. (1). Симметрия в архитектуре.
Люди с давних времён использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре, художестве, строительстве.
Но симметрия широко распространена и в природе, где не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.
Рис. (2). Симметрия в природе.
Пока рассмотрим две симметрии на плоскости: относительно точки и прямой.
Симметрию относительно точки называют центральной симметрией.
Точки
M
и
M1
симметричны относительно некоторой точки (O), если точка (O) является серединой отрезка
MM1
.
Рис. (3). Центральная симметрия.
Точка (O) называется центром симметрии.
Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.
Рис. (4). Треугольники симметричны относительно точки (O).
Построим треугольник
A1B1C1
, симметричный треугольнику (ABC) относительно центра (точки) (O).
1. Для этого соединим точки (A), (B), (C) с центром (O) и продолжим эти отрезки.
2. Измерим отрезки (AO), (BO), (CO) и отложим с другой стороны от точки (O) равные им отрезки
AO=OA1;BO=OB1;CO=OC1
;
3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник
A1B1C1
, симметричный данному треугольнику (ABC).
Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.
Фигура симметрична относительно центра симметрии, если для каждой точки этой фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Такая фигура имеет центр симметрии (фигура с центральной симметрией).
Есть фигуры с центральной симметрией, это, например, окружность и параллелограмм. У окружности центр симметрии — это её центр, у параллелограмма центр симметрии — это точка, в которой пересекаются его диагонали. Есть очень много фигур, у которых нет центра симметрии.
Осевая симметрия
Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).
Точки
M
и
M1
симметричны относительно некоторой прямой (оси симметрии), если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии от оси симметрии.
Рис. (5). Осевая симметрия.
Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.
Рис. (6). Треугольники симметричны относительно прямой.
Построим треугольник
A1B1C1
, симметричный треугольнику (ABC) относительно красной прямой.
1. Для этого проведём из вершин треугольника (ABC) прямые, перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.
2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.
3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник
A1B1C1
, симметричный данному треугольнику (ABC).
Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.
Фигура считается симметричной относительно прямой, если для каждой точки рассматриваемой фигуры симметричная для неё точка относительно данной прямой также находится на этой фигуре. Прямая является в этом случае осью симметрии фигуры.
Иногда у фигур несколько осей симметрии:
- для неразвёрнутого угла существует единственная ось симметрии — это биссектриса данного угла.
- Для равнобедренного треугольника есть единственная ось симметрии.
- Для равностороннего треугольника — три оси.
- Для прямоугольника и ромба существуют две оси симметрии.
- Для квадрата — целых четыре.
- Для окружности осей симметрии бесчисленное множество — это каждая прямая, которая проходит через центр этой фигуры.
- Есть фигуры без осей симметрии — это параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.
Источники:
Рис. 1 Симметрия в архитектуре. Указание авторства не требуется, 2021-06-02, Архитектура/Здания, бесплатно для коммерческого использования, https://clck.ru/VFC5B.
Рис. 2. Симметрия в природе. Указание авторства не требуется, 2021-06-02, бесплатно для коммерческого использования, https://clck.ru/VFECn.
Рис. 3. Центральная симметрия, © ЯКласс.
Рис. 4. Треугольники симметричны относительно точки O, © ЯКласс.
Рис. 5. Осевая симметрия, © ЯКласс.
Рис. 6. Треугольники симметричны относительно прямой, © ЯКласс.
Что же такое ось симметрии? Это множество точек, которые образуют прямую, являющуюся основой симметрии, то есть, если от прямой отложили определенное расстояние с одной стороны, то оно отразится и в другую сторону в таком же размере. Осью может выступать все, что угодно, – точка, прямая, плоскость и так далее. Но об этом лучше говорить на наглядных примерах.
Симметрия
Для того чтобы понять, что такое ось симметрии, нужно вникнуть в само определение симметрии. Это соответствие определенного фрагмента тела относительно какой-либо оси, когда его структура неизменна, а свойства и форма такого объекта остаются прежними относительно его преобразований. Можно сказать, что симметрия – свойство тел к отображению. Когда фрагмент не может иметь подобного соответствия, это называется асимметрией или же аритмией.
Вам будет интересно:Как сдать физику и что нужно для этого сделать?
Некоторые фигуры не имеют симметрии, поэтому они и называются неправильными или же асимметричными. К таким относятся различные трапеции (кроме равнобедренной), треугольники (кроме равнобедренного и равностороннего) и другие.
Вам будет интересно:Гибкость: определение, средства и методы развития гибкости
Виды симметрии
Также обсудим некоторые виды симметрии, чтобы до конца изучить это понятие. Их разделяют так:
История симметрии
Само понятие симметрии часто бывает отправной точкой в теориях и гипотезах ученых древних времен, которые были уверены в математической гармонии мироздания, а также в проявлении божественного начала. Древние греки свято верили в то, что Вселенная симметрична, потому что симметрия великолепна. Человек очень давно использовал идею симметрии в своих познаниях картины мироздания.
В V веке до нашей эры Пифагор считал сферу самой совершенной формой и думал, что Земля имеет форму сферы и таким же образом движется. Также он полагал, что Земля движется по форме какого-то “центрального огня”, вокруг которого должны были вращаться 6 планет (известные на то время), Луна, Солнце и все другие звезды.
А философ Платон считал многогранники олицетворением четырех природных стихий:
- тетраэдр – огонь, так как его вершина направлена вверх;
- куб – земля, так как это самое устойчивое тело;
- октаэдр – воздух, нет каких-либо объяснений;
- икосаэдр – вода, так как тело не имеет грубых геометрических форм, углов и так далее;
- образом всей Вселенной являлся додекаэдр.
Из-за всех этих теорий правильные многогранники называют телами Платона.
Симметрией пользовались еще зодчие Древней Греции. Все их постройки были симметричны, об этом свидетельствуют изображения древнего храма Зевса в Олимпии.
Голландский художник М. К. Эшер также прибегал к симметрии в своих картинах. В частности, мозаика из двух птиц, летящих навстречу, стала основой картины “День и ночь”.
Также и наши искусствоведы не пренебрегали правилами симметрии, что видно на примере картины Васнецова В. М. “Богатыри”.
Что уж там говорить, симметрия – ключевое понятие для всех деятелей искусства на протяжении многих веков, но в XX веке ее смысл оценили также все деятели точных наук. Точным свидетельством являются физические и космологические теории, например, теория относительности, теория струн, абсолютно вся квантовая механика. Со времен Древнего Вавилона и, заканчивая передовыми открытиями современной науки, прослеживаются пути изучения симметрии и открытия ее основных законов.
Симметрия геометрических фигур и тел
Рассмотрим внимательнее геометрические тела. Например, осью симметрии параболы является прямая, проходящая через ее вершину и рассекающая данное тело пополам. У этой фигуры имеется одна единственная ось.
А с геометрическими фигурами дело обстоит иначе. Ось симметрии прямоугольника – также прямая, но их несколько. Можно провести ось параллельно отрезкам ширины, а можно – длины. Но не все так просто. Вот прямая не имеет осей симметрии, так как ее конец не определен. Могла существовать только центральная симметрия, но, соответственно, и таковой не будет.
Следует также знать то, что некоторые тела имеют множество осей симметрии. Об этом догадаться несложно. Даже не нужно говорить о том, сколько осей симметрии имеет окружность. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является таковой и этих прямых – бесконечное множество.
У некоторые четырехугольников может быть две оси симметрии. Но вторые должны быть перпендикулярны. Это происходит в случае с ромбом и прямоугольником. В первом оси симметрии – диагонали, а во втором – средние линии. Множество таковых осей только у квадрата.
Симметрия в природе
Природа поражает множеством примеров симметрии. Даже наше человеческое тело устроено симметрично. Два глаза, два уха, нос и рот расположены симметрично относительно центральной оси лица. Руки, ноги и все тело в общем устроено симметрично оси, проходящей через середину нашего тела.
А сколько примеров окружает нас постоянно! Это цветы, листья, лепестки, овощи и фрукты, животные и даже соты пчел имеют ярко выраженную геометрическую форму и симметрию. Вся природа устроена упорядоченно, всему есть свое место, что еще раз подтверждает совершенство законов природы, в которых симметрия – основное условие.
Вывод
Нас постоянно окружают какие-либо явления и предметы, например, радуга, капля, цветы, лепестки и так далее. Их симметрия – очевидна, в какой-то степени она обусловлена гравитацией. Часто в природе под понятием “симметрия” понимают регулярную смену дня и ночи, времен года и так далее.
Подобные свойства наблюдаются везде, где есть порядок и равенство. Также и сами законы природы – астрономические, химические, биологические и даже генетические подчинены определенным принципам симметрии, так как имеют совершенную системность, а значит, сбалансированность имеет всеохватывающий масштаб. Следовательно, осевая симметрия – один из основополагающих законов мироздания в целом.
Что называется осевой симметрией
Содержание:
- Что такое осевая симметрия в геометрии
- Свойства осевой симметрии
- Теорема и доказательство
- Фигуры, обладающие симметрией
- Симметрия в повседневной жизни
Что такое осевая симметрия в геометрии
Симметрия – это свойство геометрических фигур отражаться. Симметрия относительно точки называется центральной. Осевая симметрия – это симметрия относительно прямой.
Если точка A и точка B симметричны относительно прямой n, то прямая называется осью симметрии n и проходит через середину отрезка AB. Обозначение осевой симметрии – Sn, таким образом симметрия точек A и B обозначается так:
Sn (А) = В.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Другое название осевой симметрии – вращательная – применяется в естественных науках. Данное понятие означает отражение предметов касательно поворотов вокруг прямой.
Свойства осевой симметрии
- Осевая симметрия переводит прямую в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок, плоскость в плоскость.
- Неподвижными являются: ось симметрии и все точки на ней, все прямые и плоскости, перпендикулярные оси симметрии.
- Обратное преобразование осевой симметрии есть та же осевая симметрия.
- Осевая симметрия – это поворот относительно оси симметрии на 180°.
Теорема и доказательство
Теорема
Осевая симметрия – это движение, то есть при преобразовании осевой симметрии расстояние между точками сохраняется.
Если отрезок MN симметричен отрезку M1N1 относительно прямой a, то MN = M1N1.
Чтобы доказать, что MN = M1N1, сделаем дополнительные построения:
- P – это точка пересечения MM1 и прямой a;
- Q – это точка пересечения NN1 и прямой a;
- построим отрезок MK, перпендикулярный NN1;
- тогда точка K отразится в точку K1.
Докажем, что прямоугольные треугольники MNK и M1N1K1 равны. Стороны MN и M1N1 являются гипотенузами данных треугольников, поэтому, нужно доказать равенство катетов.
МК = М1К1 , так как перпендикулярны к параллельным прямым.
По построению:
NK = NQ – KQ,
N1K1 = N1Q – K1Q.
Точка N отобразилась в точку N1, значит:
NK = N1K1.
Итак, треугольники равны по двум катетам, следовательно, их гипотенузы равны, то есть MN = M1N1, что и требовалось доказать.
Фигуры, обладающие симметрией
Осевой симметрией обладает угол, а биссектриса является осью симметрии.
Пример №1
Из произвольной точки одной стороны угла опустим перпендикуляр к биссектрисе и продлим его до другой стороны угла:
Рассмотрим Δ KAO и Δ MAO:
- AO – общая сторона
- Из свойства биссектрисы: ∠ MAO = ∠KAO
- Треугольники KAO и MAO прямоугольные,
Отсюда следует, что KO = OM, поэтому точки K и M симметричны касательно биссектрисы угла.
Следовательно, равнобедренный треугольник тоже симметричен относительно биссектрисы, проведенной к основанию.
Пример №2
Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии – биссектрисы, медианы, высоты каждого угла:
Пример №3
У прямоугольника две оси симметрии. Каждая из них проходит через середины противоположных сторон.
Пример №4
Ромб обладает двумя осями симметрии – это прямые, содержащие его диагонали.
Пример №5
Квадрат имеет 4 оси симметрии, так как он одновременно и ромб, и прямоугольник.
Пример №6
У окружности бесконечное множество осей симметрии – это все прямые, проведенные через центр круга.
Симметрия в повседневной жизни
Симметрия стала частью жизни человека уже в древние времена. Орнаменты с признаками зеркального отражения встречаются на античных зданиях, древнегреческих вазах. Свойство пропорционального расположения заимствовано в науку из природы.
Зеркальное отражение часто встречается в живой и неживой природе. Этой характеристикой обладают снежинки. В растительном мире одинаково расположены противоположные элементы растений: большинство листьев зеркально отражаются сравнительно среднего стебля. В животном мире законы симметрии проявляются в наличии у животных правой и левой сторон. Большинство представителей фауны обладает парными частями тела: уши, лапы, глаза, крылья, рога. Ярким образцом зеркальной симметрии считается бабочка. Прямая, условно проведенная вдоль туловища насекомого по центру, является осью симметрии.
Поскольку человек – это часть природы, в своем творчестве он использует принцип симметрии. В искусстве свойство отражения применяется для создания красоты и гармонии. В архитектуре пропорциональность выполняет практическую функцию – придает зданиям устойчивость и надежность. В предметах быта можно встретить одинаковость в расположении частей узоров на коврах, принтов на ткани, рисунков обоев.
Стремление к созданию симметричного, предположительно, связано с притяжением Земли – гравитацией. Человек интуитивно считает симметрию формулой устойчивости. Принцип зеркального отражения играет важную роль в человеческой жизни. Тяга к гармонии и красоте побуждает человечество придерживаться правил пропорциональности.
Что такое осевая симметрия? Само слово «симметрия» имеет греческие корни и говорит о существующем определенном порядке расположения частей некого предмета, а также о его соразмерности.
Под симметрией понимается такое качество предметов, что их можно совместить друг с другом при некоторых преобразованиях.
Что такое симметрия
Наиболее часто это понятие встречается в геометрии. Объект считается симметричным, если после некоторых геометрических преобразований он смог сохранить свои первоначальные свойства.
В качестве примера стоит рассмотреть обычный круг. Если его вращать вокруг условного центра, он сохранит свою форму и первоначальные характеристики. Поэтому этот геометрический предмет смело можно назвать симметричным.
Виды симметрии определяются возможными преобразованиями для данного объекта и его свойствами, которые в результате проведенных манипуляций должны сохраниться. В случае, когда это условие не соблюдается, можно утверждать о наличии асимметрии.
Рис. 1 Фигуры, обладающие симметричностью
Центральная симметрия
Это явление относительно некой точки. Она представляет собой преобразование множества точек пространства или поверхности, во время которого ее центр всегда постоянен и не меняет своего положения.
Данный вид симметрии предполагает, что на равном расстоянии от ее центра располагаются два предмета, например, две точки. Если провести между ними условную прямую, они будут располагаться на ее противоположных концах, а середина этой прямой и будет являться осевым центром.
Если считать центр неподвижным и начать преобразовывать прямую (т. е. вращать ее относительно центральной точки), то точки на ее концах опишут две кривые. Все точки одной кривой будут иметь такие же симметричные точки на другой кривой.
Объекты, обладающие центром симметрии, представляют большой интерес для ученых. В геометрии насчитывается достаточно много таких объектов. К ним относятся прямые, отрезки, окружность, прямоугольник и др. Центрально симметричные объекты встречаются и в природе.
Рис. 2 Графическое представление центральной симметрии
Осевая симметрия
Это симметрия относительно прямой. В данном классе две точки симметричны относительно некой прямой, если она пересекает центр отрезка, соединяющего эти две точки и является перпендикуляром к нему. Любая точка прямой симметрична сама себе.
Рис. 3 Наглядное представление осевой симметрии
Объект симметричен относительно прямой, если все его точки имеют такие же симметричные аналоги относительно этой прямой. Она же – центр симметрии.
В качестве наглядно примера можно взять обычный бумажный лист, если его сложить пополам. Если через линию сгиба провести прямую – это и будет центром.
Определенная точка одной половины листы имеет такую же симметричную точку на другой его части, расположенную на перпендикуляре на таком же расстоянии от осевой линии. Одна часть листа тетради является по сути зеркальным отображением другой.
Рис. 4 Примеры осевой симметрии
Фигуры, имеющие несколько осей симметрии
Есть предметы и геометрические фигуры с некоторым числом осей. Для начала в качестве примера стоит рассмотреть прямоугольник и ромб, которые имеют две такие оси.
Две оси симметрии характерны для прямоугольника. Это прямые, которые проведены через точки, являющиеся серединами его противоположных сторон.
То же самое (наличие двух осей) присуще и ромбу. Оси являются прямыми, содержащими диагонали данной геометрической фигуры.
Интерес представляет и квадрат, у которого насчитывается четыре оси. Данная фигура является одновременно и ромбом, и прямоугольником. Остальные виды параллелограммов не имеют осей симметрии вообще.
Рис. 5 Оси симметрии ромба
Единственной фигурой, у которой есть три оси симметрии, является равносторонний треугольник. Они представляют собой не что иное, как его медианы, линии соединяющие середины его сторон. Медианы равностороннего треугольник – это его и биссектрисы, и высоты.
Рис. 6 Оси симметрии равностороннего треугольника
В обычной жизни многие даже не задумываются о том, как часто они сталкиваются с различными видами симметрии. Это понятие характерно не только для мира математики.
Симметрия встречается в мире природы, архитектуре, в мире искусства и композиции, а также в других сферах человеческой жизни.
Осознание данного факта прошло долгий путь во времени, над ним задумывались великие умы на протяжении многих столетий. С древних времен и до настоящего времени определение этого понятия прошло долгий путь развития.
>
>
Осевая симметрия — это симметрия относительно прямой.
Пусть дана некоторая прямая g.
Чтобы построить точку, симметричную некоторой точке A относительно прямой g, надо:
1) Провести из точки A к прямой g перпендикуляр AO.
2) На продолжении перпендикуляра с другой стороны от прямой g отложить отрезок OA1, равный отрезку AO: OA1=AO.
Полученная точка A1 симметрична точке A относительно прямой g.
Прямая g называется осью симметрии.
Таким образом, точки A и A1 симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AA1 и перпендикулярна к нему.
Если точка A лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка A.
Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая её точка A переходит в точку A1, симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g.
Фигуры F и F1 называются фигурами, симметричными относительно прямой g.
Чтобы построить треугольник, симметричный данному относительно прямой g, достаточно построить точки, симметричные вершинам треугольника, и соединить их отрезками.
Например, треугольники ABC и A1B1C1 симметричны относительно прямой g.
Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру в себя, то такая фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется её осью симметрии.
Симметричная фигура своей осью симметрии делится на две равные половины. Если симметричную фигуру нарисовать на бумаге, вырезать и согнуть по оси симметрии, то эти половинки совпадут.
Примеры фигур, симметричных относительно прямой.
1) Прямоугольник.
Прямоугольник имеет 2 оси симметрии: прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.
2) Ромб.
Ромб имеет две оси симметрии:
прямые, на которых лежат его диагонали.
3) Квадрат, как ромб и прямоугольник, имеет четыре оси симметрии: прямые, содержащие его диагонали, и прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.
4) Окружность.
Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии:
любая прямая, содержащая диаметр, является осью симметрии окружности.
5) Прямая.
Прямая также имеет бесконечное множество осей симметрии: любая перпендикулярная ей прямая является для данной прямой осью симметрии.
6) Равнобедренная трапеция.
Равнобедренная трапеция — фигура, симметричная относительно прямой,перпендикулярной основаниям и проходящей через их середины.
7) Равнобедренный треугольник.
Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии:
прямую, проходящую через высоту (медиану, биссектрису), проведённую к основанию.
8) Равносторонний треугольник.
Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии:
прямые, содержащие его высоты (медианы, биссектрисы).
9) Угол.
Угол — фигура, симметричная относительно прямой, содержащей его биссектрису.
Теорема.
Осевая симметрия является движением.
