Как найти sin если известен тангенс

3 апреля 2023 12:34

Как найти синус, если известен тангенс? помогите))

7



0

Косинус через тангенс

Для того, чтобы найти значение косинуса по известному тангенсу, нужно воспользоваться одним из тригонометрических тождеств.

Сумма квадрата тангенса и единицы равна отношению единицы и квадрата косинуса.

Отсюда можно выразить косинус:

Наличие знака ± связано с тем, что в одних четвертях косинус угла может быть положительным, а в других – отрицательным.

То есть в условии задачи должна оговариваться четверть, в которой находится угол.

**

Пример.

tgα = 1/√3, α находится в 1 четверти (0 < α < 90).

Найдём косинус: cosα = √ ( 1 / (1 + 1/3)) = √ ( 1 / (4/3)) = √ (3/4) = √3/2.

Итак, если тангенс равен 1/√3, то косинус равен √3/2.

Нетрудно догадаться, что мы имели дело с углом 30°.

<hr />

Синус через тангенс

Здесь также понадобятся тригонометрические тождества.

Можно пойти двумя путями:

1) Выразить котангенс через тангенс и найти синус по котангенсу.

2) Найти косинус по тангенсу, а затем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.

**

Пример.

tgα = √3, α находится в 1 четверти (0 < α < 90).

Найдём котангенс: ctga = 1 / tgα = 1 / √3.

Теперь найдём синус: sina = √ ( 1 / (1 + 1/3)) = √ ( 1 / (4/3)) = √ (3/4) = √3/2.

Или:

cosa = √ ( 1 / (1 + 3)) = √ (1/4) = 1/2.

sina = √ (1 – 1/4) = √ (3/4) = √3/2.

Таким образом, если тангенс равен √3, то синус равен √3/2.

Здесь также понятно, что это угол 60°.

1



0

1



0

В алгебре и геометрии очень часто при решении задач используются тригонометрические формулы, которые чаще называют тригонометрическими тождествами. Из любого тригонометрического тождества несложно вывести новую формулу, необходимую для нахождения одной из величин, входящих в его состав.

****************­<wbr />*****************­<wbr />*****************­<wbr />*****************­<wbr />*****

Для того, чтобы найти косинус угла, зная его тангенс, возьмем тригонометрическое тождество:

.

Из данного тождества выводим новую формулу для вычисления косинуса:

Не забываем, что косинус может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от четверти нахождения угла.

****************­<wbr />*****************­<wbr />*****************­<wbr />*****************­<wbr />*****

Для вычисления синуса угла через его тангенс можно действовать по-разному.

Например, вычислить по выведенной выше формуле косинус угла, а затем воспользоваться еще одним тригонометрическим тождеством и вывести из него формулу для вычисления синуса угла:

1



0

В тригонометрических тождествах нет, конечно, ничего сложного, вот только запомнить их все так, чтобы не пользоваться справочными материалами, обычному человеку достаточно трудно, поэтому всегда приходится где-то искать эти формулы. Вот одна из них:

Из нее то мы и будем получать формулу для выполнения задания из вопроса, а именно – нахождения косинуса через тангенс, проведя несложные преобразования, получим:

Как видите, действительно все очень просто.

Теперь, найдя косинус, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, преобразуем его, чтобы найти синус через уже найденный косинус, формула такая:

0



0

sin=sqrt(1/(1+((1/tg)**2)))

cos=sqrt(1/(1+((1/ctg)**2)))

0



0

Если говорить о тангенсе угла, то является отношением синуса по отношению к косинусу. Так, следует воспользоваться тригонометрическим тождеством. Согласно ему выводится формула, которую используем для того, чтобы вычислить косинус.

Вы можете вычислить по формуле, а также воспользуюсь еще 1 тригонометрическим тождеством, выведя формула вычислить:

1) Можно объяснить, например, так.

Покажите ему картинку, которую я привёл ниже:

Объясните, что синус и косинус бывают только у треугольников, у которых есть прямой угол, то есть у прямоугольных треугольников. Хотя сами по себе синус и косинус имеют отношение только к углу. Треугольник – это лишь вспомогательная фигура, помогающая понять и рассчитать их.

Если есть прямой угол, тогда:

Стороны, касающиеся этого угла называются катетами.

А сторона, которая не касается – гипотенузой.

Также, у такого треугольника есть ещё два острых угла.

Синус и косинус могут быть только с параметром угол. То есть для одного острого угла этого треугольника одни синус и косинус, а для другого – другие.

Определение синуса:

Определение косинуса:

На рассматриваемом рисунке рассматривается один из углов и написано где относительно него противолежащий и прилежащий катеты.

Противолежащий катет – это катет, находящийся противоположно от рассматриваемого угла. Рассматриваемый угол – это тот угол, для которого мы хотим найти синус или косинус.

А прилежащий катет – это катет, примыкающий к этому углу.

А гипотенуза – это третья сторона.

Так вот, по определению синусов и косинусов они – это отношение их к гипотенузе.

То есть чтобы найти синус, нужно поделить длину противолежащего катета на длину гипотенузы, а чтобы найти косинус, нужно поделить длину прилежащего катета на длину гипотенузы.

2) Но это ещё не всё.

Можно ещё объяснить и по-другому:

Если угол, для которого необходимо найти синус и косинус вписать в окружность таким образом, как на рисунке ниже, то синусом будет длина вертикального отрезка, а косинусом – горизонтального, исходя из того, что радиус окружности равен единице. Как видно из рисунка, образованная гипотенуза является одновременно и радиусом этой окружности, а эти отрезки – это катеты.

При данном рассмотрении синусов и косинусов нет такой привязки к треугольнику, поэтому тут можно также рассматривать и тупые и даже развёрнутые углы. Правда тогда придётся приписывать знак к синусу или косинусу при условии попадения линии гипотенузы в другие сегменты круга. Там, где на рисунке написан X, это имеет отношение к косинусу, а где Y – к синусу.

Какие знаки нужно приписывать при попадении гипотенузы в эти сегменты:

левый верхний: к косинусу знак минус

правый верхний: ничего

левый нижний: и к синусу и к косинусу знак минус

правый нижний: к синусу знак минус

При попадании между сегментами – так как указано на рисунке:

Если известны только углы, то

C=180-arcsin(sin A)-arcsin(sin B)

Если известна хоть одна сторона, то есть теорема синусов.

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

Зная одну сторону и два синуса, можно найти и третий синус, и остальные две стороны.

И заодно радиус описанной окружности, но это уже другая задача.

Мне нет.

Я всегда догадывалась, что высшая математика для избранных. Я готова согласиться, что математика одна из основных наук, все в мире подчиненно математическим законам. Так же математика отлично развивает мышление и логику.

Но все-таки, я считаю, что косинусы и синусы должны изучать люди, которые целенаправленно выбрали математику своей профессией! Когда я училась в колледже на гуманитарном направлении, и мне приходилось заниматься с репетитором чтобы получить зачет по синусам и косинусам, я чувствовала как меня лишают права выбора. Я же уже выбрала другой путь, я бы лучше это врем потратила на дополнительные уроки английского или другого языка.