Угол на клетчатой бумаге. В этой статье мы с вами рассмотрим задачу, суть которой заключается в том, чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла, построенного на листе в клетку. Такие задания входят в состав экзамена по математике.
Способы решения существуют разные, их более трёх. Подход изложенный ниже можно было бы назвать универсальным. Если у вас найдутся задачи, которые вы таким способом решить не сможете, пришлите мне их, подберём другой. Углы могут быть построены следующим образом (примеры):
Итак, рассмотрим задание:
Найдите тангенс угла AOB. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 8.
Соединим точки А и В. Получили треугольник АОВ. На сторонах полученного треугольника построим прямоугольные треугольники так, чтобы эти стороны являлись гипотенузами.
Суть подхода такова: находим все стороны треугольника (это можно сделать по теореме Пифагора); далее используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла; зная косинус мы без труда найдём остальные тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс).
АВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3,
ОВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 1,
OА является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 2,
По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Из основного тригонометрического тождества можем найти sin AOB:
*Обратите внимание, что перед знаком корня у нас «+», так как угол острый (от 0 до 90 градусов). А синус острого угла имеет положительное значение.
Теперь можем найти тангенс:
Умножим результат на 8 и запишем ответ:
Ответ: 11
Ещё раз повторим: как бы не был построен угол, мы всегда можем достроить его до треугольника, найти стороны этого треугольника (используя теорему Пифагора), далее используя теорему косинусов найти косинус угла (заданного в условии). Затем не составит труда, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус. Тангенс и котангенс далее не сложно найти по их формулам.
Ниже предложено самостоятельно решить задачи. При их решении на сайте использовались и другие способы (вы решите представленным выше):
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите тангенс угла AOB.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на половину корня из пяти.
Посмотреть решение
Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на два корня из пяти.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите тангенс угла AOB.
Посмотреть решение
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!
С уважением, Александр Крутицких.
*Делитесь информацией в социальных сетях )
Привет! Цель нашего проекта помочь тебе подготовиться к ЕГЭ (или ОГЭ).
У нас более 1000 заданий с подробным решением, сервис, запоминающий твои ответы, и удивительная система тестирования.
Обо всем по порядку расскажу тебе после быстрой регистрации.
Присоединиться к ExamMe
ЕГЭ по Математике (профильный)
На клетчатой бумаге с размером…
Задание:
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите синус этого угла.
Решение:
Построим прямоугольный треугольник ABC (см. рис)
Найдем длину гипотенузы AB. По теореме Пифагора:
$AB^2=BC^2+AC^2=3^2+4^2=25$
$AB=5$
Используя формулу приведения, выразим $sina$, через $sinangle BAC$:
$sin a = sin (180° – angle BAC) = sin angle BAC$
Используя определение синуса, найдем $sinangle BAC$:
$sin angle BAC = frac{BC}{AB} = frac{4}{5}$
Ответ:
0,8
Задание добавил(а)
Создатель и главный администратор проекта ExamMe.
О задание:
Источник условия: fipi.ru
Источник решения: studymath.my-solutions.ru
Обсуждения
Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии.
04
Окт 2012
03 Задание (2022)ПЛАНИМЕТРИЯ
Натолкнулась в Открытом банке заданий по математике на задачу, которую в прошлом году не встречала:
Задание B7 (№ 27458) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:
Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на 
:
Давайте сделаем дополнительное построение:
Величина угла АОВ равна сумме углов 
и 
:
Примем размер клетки равным 1, и найдем длину ОВ из треугольника ОВС и длину АО из треугольника АОС:
:
По формуле для косинуса суммы имеем:
Вспомним соотношения для сторон и углов в прямоугольном треугольнике:
косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе;
синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Тогда из треугольника ВОС:
Из треугольника АОС:
Подставим эти значения в формулу для косинуса суммы:
В ответе запишем значение косинуса, умноженное на :
Ответ: -2
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Купить видеокурс «ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В»
Угол на клетчатой бумаге. В этой статье мы с вами рассмотрим задачу, суть которой заключается в том, чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла, построенного на листе в клетку. Такие задания входят в состав экзамена по математике.
Способы решения существуют разные, их более трёх. Подход изложенный ниже можно было бы назвать универсальным. Если у вас найдутся задачи, которые вы таким способом решить не сможете, пришлите мне их, подберём другой. Углы могут быть построены следующим образом (примеры):
Итак, рассмотрим задание:
Найдите тангенс угла AOB. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 8.
Соединим точки А и В. Получили треугольник АОВ. На сторонах полученного треугольника построим прямоугольные треугольники так, чтобы эти стороны являлись гипотенузами.
Суть подхода такова: находим все стороны треугольника (это можно сделать по теореме Пифагора); далее используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла; зная косинус мы без труда найдём остальные тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс).
АВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3,
ОВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 1,
OА является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 2,
По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Из основного тригонометрического тождества можем найти sin AOB:
*Обратите внимание, что перед знаком корня у нас «+», так как угол острый (от 0 до 90 градусов). А синус острого угла имеет положительное значение.
Теперь можем найти тангенс:
Умножим результат на 8 и запишем ответ:
Ответ: 11
Ещё раз повторим: как бы не был построен угол, мы всегда можем достроить его до треугольника, найти стороны этого треугольника (используя теорему Пифагора), далее используя теорему косинусов найти косинус угла (заданного в условии). Затем не составит труда, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус. Тангенс и котангенс далее не сложно найти по их формулам.
Ниже предложено самостоятельно решить задачи. При их решении на сайте использовались и другие способы (вы решите представленным выше):
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите тангенс угла AOB.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на половину корня из пяти.
Посмотреть решение
Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на два корня из пяти.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите тангенс угла AOB.
Посмотреть решение
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!
С уважением, Александр Крутицких.
*Делитесь информацией в социальных сетях )
Решение задачи
Данный урок показывает, как, используя понятие синуса угла: синус угла – это отношение противоположного катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе – определить синус произвольного угла изображенного на рисунке. Для решения задачи необходимо провести перпендикуляр через одну из сторон данного угла, тем самым получив прямоугольный треугольник. Используя клеточки на изображенном рисунке можно с легкостью определить длину одного из катетов. После этого можно найти дину гипотенузы (чаще всего для этого используется длина второго катета и теорема Пифагора). После того как длина гипотенузы была определена арифметические вычисления приводят к получению итогового ответа.
Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 7-х классов при изучении тем «Треугольники» («Треугольники»), «Соотношение между сторонами и углами треугольника» («Виды треугольников», «Основные свойства прямоугольных треугольников»), для учащихся 8-х классов при изучении темы «Подобные треугольники» («Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника»), «Площадь» («Теорема Пифагора»), для учащихся 9-х классов при изучении темы «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Раздел 1. Синус, косинус и тангенс угла» («Синус, косинус и тангенс угла. Основное тригонометрическое тождество»). При подготовке к ОГЭ урок рекомендован при повторении тем «Треугольники», «Соотношение между сторонами и углами треугольника», «Подобные треугольники», «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Раздел 1. Синус, косинус и тангенс угла».
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен угол. Найдите синус этого угла.
Источник задания: alexlarin.net
Решение:
α + β = 180º
sin α = sin(180 – β) = sin β
Найдём синус смежного угла β, из прямоугольного треугольника, со сторонами 3 и 4, гипотенуза тогда равна 5, т.к. это египетский треугольник:
Ответ: 0,6.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 2
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!
В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.
|
Чтобы найти синус угла по клеточкам надо на миллиметровой бумаге циркулем начертить окружность произвольного радиуса предпочтительно кратного десяти. Построить искомый угол, ведя отсчет от верхнего правого квадранта. Из точки пересечения луча угла с окружностью опустить перпендикуляр на ось абсцисс. Посчитать количество клеток пересекаемых этим перпендикуляром и разделить это число на количество клеток в радиусе окружности, это и будет синус угла. Знак взять плюс если луч угла проходит в первом или во втором квадрантах и знак минус для третьего и четвертого . Знаете ответ? |
