Как найти синус альфа пополам

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла , так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла α2 при помощи тригонометрических функций угла α. В статье раскрыты формулы половинного угла и добавлены их доказательства с примерами решений.

Список формул половинного угла

Стандартные формулы половинного угла:

sin2α2=1-cosα2cos2α2=1+cosα2tg2α2=1-cosα1+cosαctg2α2=1+cosα1-cosα

Формулы для sin и cos половинного угла справедливы при любом значении заданного угла α. Формулу для tg любого угла αопределяет tgα2, значение угла α≠π+2π·z при z равном любому целому числу ( выражение 1+cosα с таким же значением α не должно принимать значение 0). Формула ctg угла считается справедливой для любого угла α, где половинный угол имеет место быть, α≠2π·z.

Самые значимые формулы половинного угла для квадратов тригонометрических функций выводятся через положительное или отрицательное значение арифметического квадратного корня. Имеем формулы половинного угла:

sinα2=±1-cosα2, cosα2=±1+cosα2, tgα2=±1-cosα1+cosα, ctgα2=±1+cosα1-cosα

Знак «-» указывает, что тригонометрическая функция принадлежит определенной четверти угла α2.

Применим формулы на практике.

Доказательство формул половинного угла

Доказательство формул половинного угла основывается на формулах cos двойного угла cosα=1-2·sin2α2 и cosα=2·cos2α2-1. Упростив первое выражение по sin2α2, получим саму формулу половинного угла sin2α2=1-cosα2, второе выражение по cos2α2 получим cos2α2=1+cosα2.

Чтобы доказать формулы половинного угла для tg и ctg угла α2, необходимо применить основные тригонометрические тождества tgα2=sinα2cosα2 и ctgα2=cosα2sinα2, к ним необходимо добавить формулы половинного угла cos и sin, которые доказали выше. При подстановке получим выражения, имеющие вид:

tg2α2=sin2α2cos2α2=1-cosα21+cosα2=1-cosα1+cosα;ctg2α2=cos2α2sin2α2=1-cosα21+cosα2=1+cosα1-cosα;

Все формулы половинного угла были доказаны.

Примеры использования

Покажем применение формул половинного угла при решении примера.

Применяя формулу половинного угла, стоит учитывать тот факт, что угол может быть не явного вида α2 и α, а потребует дальнейшего приведения к стандартному виду. Главное условие – нахождение аргумента в правой части формул половинного угла было в 2 раза больше, чем в левой. Иначе применение формулы будет невозможно.

Если формула позволит записывать данное равенство таким образом sin27α=1-cos14α2 или sin2 5α17=1-cos10α172, то формула будет применима.

Для правильного преобразования и применения формул половинного аргумента необходимо досконально изучить свойства тригонометрических функций. Не любое выражение поддается такому преобразованию в тригонометрии. Необходимо внимательно следить за значениями углов тригонометрических функций и их нахождение в четвертях для определения знака для выражения.

Все формулы половинного угла в тригонометрии:

Формулы половинного угла (половинного аргумента) – это часть от всех основных тригонометрических формул. Они выражают функции синус, косинус, тангенс, котангенс угла `frac{alpha}2` через эти ж функции аргумента `alpha`. Они, можно сказать, противоположны формулам двойного угла. Ниже приведены все формулы половинных углов, их вывод, а также примеры решения задач с их использованием.

Список всех формул половинного угла

Их можно встретить записанными в двух видах. В первом каждая из тригонометрических функций выражается через радикал:

`sin frac alpha 2=pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}`
`cos frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}`
`tg frac alpha 2=pm sqrt{frac {1-cos alpha}{1+cos alpha}}=` `frac {sin alpha}{1+cos alpha}=frac {1-cos alpha}{sin alpha}`
`ctg frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}{1-cos alpha}}=` `frac {sin alpha}{1-cos alpha}=frac {1+cos alpha}{sin alpha}`

Знак «+» или «-» перед корнями зависит от того, в какую из координатных четвертей попадает угол `frac{alpha}2`.

Во втором варианте имеем дело с квадратами тригонометрических функций половинного угла:

`sin^2 frac alpha 2=frac {1-cos alpha}2`
`cos^2 frac alpha 2=frac {1+cos alpha}2`
`tg^2 frac alpha 2=frac {1-cos alpha}{1+cos alpha}`
`ctg^2 frac alpha 2=frac {1+cos alpha}{1-cos alpha}`

Формула синуса и косинуса половинного угла имеет место при любом угле `alpha`.

Формула тангенса половинного угла справедлива для тех углов `alpha`, при которых определен `tg frac alpha 2`, то есть при ` alphanepi+2pi n, n in Z`.

Формула котангенса выполняется для тех `alpha`, при которых определен `ctg frac alpha 2`, то есть при ` alphane 2pi n, n in Z`.

С помощью следующего набора формул можно выразить каждую из тригонометрических функций угла `alpha` через тангенс половинного угла.

`sin alpha= frac{2tgfrac{alpha}{2}}{1 + tg^{2}frac{alpha}{2}},` ` alphane pi +2pi n, n in Z`
`cos alpha= frac{1 — tg^{2}frac{alpha}{2}}{1 + tg^{2}frac{alpha}{2}},` ` alpha ne pi +2pi n, n in Z`
`tg alpha= frac{2tgfrac{alpha}{2}}{1 — tg^{2}frac{alpha}{2}},` ` alpha ne pi +2pi n, n in Z,` ` alpha ne frac{pi}{2}+ pi n, n in Z`
`ctg alpha = frac{1 — tg^{2}frac{alpha}{2}}{2tgfrac{alpha}{2}},` ` alpha ne pi n, n in Z,` `alpha ne pi + 2pi n, n in Z`

Вывод формул половинного угла

Формула косинуса и синуса половинного угла выводится из формул косинуса двойного угла `cos 2alpha=1-2 sin^2 alpha` и `cos 2alpha=2 cos^2 alpha-1`. Запишем их в следующем виде: `cos alpha=1-2 sin^2 frac alpha 2` и `cos alpha=2 cos^2 frac alpha 2-1`. Выразив из первого равенства ` sin frac alpha 2` получим `sin frac alpha 2=pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}`. Аналогично разрешив второе равенство относительно ` cos frac alpha 2` в результате будем иметь `cos frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}`.

Формулы тангенса и котангенса половинного угла можно вывести, используя определения этих функций в виде `tg frac alpha 2=frac{sinfrac alpha 2}{cos frac alpha 2}` и `ctg frac alpha 2=frac{cos frac alpha 2}{sin frac alpha 2}`, а также две уже доказанные выше формулы для синуса и косинуса.

В результате будем иметь: `tg frac alpha 2=frac{sinfrac alpha 2}{cos frac alpha 2}=` `frac{pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}}{pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}}=` `pm sqrt{frac {1-cos alpha}{1+cos alpha}}` и `ctg frac alpha 2=frac{cosfrac alpha 2}{sin frac alpha 2}=` `frac{pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}}{pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}}=` `pm sqrt{frac {1+cos alpha}{1-cos alpha}}`.

Примеры использования при решении задач

Пример 1. Найти `cos 15^circ`, если известно, что `cos 30^circ=frac{sqrt3}2`.

Решение. Формула половинного угла для тригонометрической функции косинус имеет вид `cos^2 frac alpha 2=frac {1+cos alpha}2`. Подставив известные значения, имеем `cos^2 15^circ=frac {1+cos 30^circ}2=` `frac{1+frac{sqrt3}2}2=frac{2+sqrt3}4`. Имея значение `cos^2 15^circ`, найдем `cos 15^circ`. Поскольку угол 15 градусов лежит в первой координатной четверти, а косинус в этой четверти имеет знак «+», то `cos 15^circ=sqrt{frac{2+sqrt3}4}=` `frac{sqrt{2+sqrt3}}2`.

Ответ. `cos 15^circ=frac{sqrt{2+sqrt3}}2`.

Пример 2. Вычислить значение выражения `4cos frac {alpha}2+2cos alpha+5`, если `cos alpha=frac {1}8`.

Решение. Используя ту же формулу, что и в первом примере (`cos frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}`) и известное значение косинуса, упростим выражение: `4sqrt{frac {1+cos alpha}2}+2cos alpha+5=4sqrt{frac {1+frac {1}8}2}+2 cdot frac {1}8+5=` `4sqrt{frac {9}16}+frac{1}4+5=8frac{1}4`.

Ответ. `4cos frac {alpha}2+2cos alpha+5=8frac{1}4`.

Еще несколько примеров с подробным объяснением посмотрите на видео:

В большинстве случаев формулы половинного угла используются при преобразовании тригонометрических выражений.

Материалы по теме:

• Тригонометрические формулы: косинус, синус и тангенс двойного угла
• Формулы понижения степени в тригонометрии: вывод и примеры
• Все формулы по тригонометрии
• Формулы приведения тригонометрических функций

Синус половинного угла, формула

Данная формула позволяет найти синус половинного угла зная косинус этого угла:

[
sinbigg(frac{α}{2}bigg) = sqrt{frac{1 – cos(α)}{2}}
]

Смотрите также: Косинус половинного угла

Вычислить, найти синус половинного угла, по формуле (1)

нажмите кнопку для расчета

Что такое формулы половинного угла в тригонометрии

Перечислим их:

• (sin^2left(fracalpha2right)=frac{1-cosleft(alpharight)}2), где (alpha) — любой угол;
• (cos^2left(fracalpha2right)=frac{1+cosleft(alpharight)}2), где (alpha) — любой угол;
• (tan^2left(fracalpha2right)=frac{1-cosleft(alpharight)}{1+cosleft(alpharight)}), где (alphaneqmathrmpi+2mathrmpitimesmathrm z)  (z — любое целое число);
• (cot^2left(fracalpha2right)=frac{1+cosleft(alpharight)}{1-cosleft(alpharight)}), где (alphaneq2mathrmpitimesmathrm z) (z — любое целое число).

Все формулы половинного угла даны для вычисления квадрата функции. Выражение решается до конца с помощью нахождения арифметического квадратного корня, т.е.:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

• (sinleft(fracalpha2right)=pmsqrt{frac{1-cosleft(alpharight)}2});
• (cosleft(fracalpha2right)=pmsqrt{frac{1+cosleft(alpharight)}2});
• (tanleft(fracalpha2right)=pmsqrt{frac{1-cosleft(alpharight)}{1+cosleft(alpharight)}});
• (cotleft(fracalpha2right)=pmsqrt{frac{1+cosleft(alpharight)}{1-cosleft(alpharight)}}).

Знак, стоящий перед ответом, обозначает координатную четверть, в которой находится угол (fracalpha2. )

График:

Доказательство формул половинного угла

Данное доказательно основано на формулах косинуса двойного угла:

(cosleft(alpharight)=1-2timessin^2fracalpha2;)

(cosleft(alpharight)=2timescos^2(fracalpha2)-1.)

И основных тригонометрических тождествах:

(tanleft(fracalpha2right)=frac{sinleft({displaystylefracalpha2}right)}{cosleft({displaystylefracalpha2}right)};)

(cotleft(fracalpha2right)=frac{cosleft(fracalpha2right)}{sinleft(fracalpha2right)}.)

Вывод с доказательством через синус, косинус, тангенс и котангенс

Для доказательства формул синуса и косинуса половинного угла используем формулы косинуса двойного угла.

Решим первое равенство относительно (sin^2left(fracalpha2right)) для выведения синуса

Решим второе уравнение относительно (sin^2left(fracalpha2right)) для выведения косинуса.

Перейдем к приведению тангенса и котангенса половинного угла через тригонометрические тождества.

(tan^2left(fracalpha2right)=frac{sin^2left({displaystylefracalpha2}right)}{cos^2left(fracalpha2right)}=frac{displaystylefrac{1-cosleft(alpharight)}2}{displaystylefrac{1+cos(alpha)}2}=frac{1-cosleft(alpharight)}{1+cosleft(alpharight)} )

(cot^2left(fracalpha2right)=frac{cos^2left({displaystylefracalpha2}right)}{sin^2left(fracalpha2right)}=frac{displaystylefrac{1+cosleft(alpharight)}2}{displaystylefrac{1-cos(alpha)}2}=frac{1+cosleft(alpharight)}{1-cosleft(alpharight)})

ЧТД.

Пример задачи с решением

Задача 1

Косинус угла в 30 градусов равен (frac{sqrt3}2.)

Найдите косинус угла в 15 градусов.

Решение

Воспользуемся формулой половинного угла для косинуса. Получим:

(cos^2left(15^circright)=frac{1+cosleft(30^circright)}2=frac{1+{displaystylefrac{sqrt3}2}}2=frac{2+sqrt3}4.)

Угол в 15 градусов находится в первой координатной четверти. Следовательно, его косинус будет являться положительным. 

Ответ:

(cosleft(15^circright)=sqrt{frac{2+sqrt3}4}=frac{sqrt{2+sqrt3}}2.)

Определение и формулы половинного угла

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла, так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла [frac{alpha}{2}] при помощи тригонометрических функций угла [a].

Дальше в статье, мы рассмотрим доказательства этих формул, а также примеры их решений.

У этих формул есть ещё одно название, их также называют «формулами понижения степени». Причины такого название кроется в том, что в части слева находится вторая степень синуса и косинуса, а в части справа первая, что означает степень понизилась, но не забывайте, что степени снижается, а аргумент удваивается.

Формулы половинного угла: примеры

Давайте рассмотрим основные тригонометрические формулы половинного угла в тригонометрии.

[
sin ^{2} frac{alpha}{2}=frac{1-cos alpha}{2}
]

[
cos ^{2} frac{alpha}{2}=frac{1+cos alpha}{2}
]

[
tan ^{2} frac{alpha}{2}=frac{1-cos alpha}{1+cos alpha}
]

[
cot ^{2} frac{alpha}{2}=frac{1+cos alpha}{1-cos alpha}
]

Формулы, применяемые как для синуса, так и косинуса половинного угла не зависит от заданного значения угла α.  Для тангенса в независимости от угла α определяется следующим видом [tan frac{alpha}{2}], где значение  угла a≠π+2π•z, а значение z равняется любому целому числу. Значение выражения 1+cosα не должно быть равно нулю. Формула котангенса угла будет считаться верной, если любой угол α, где имеет место быть половинный угол α в тригонометрии, принимает следующий вид α ≠2π•z.

Самыми важными тригонометрическими формулами половинного угла являются тригонометрических функций с квадратами, которые могут быть выведены и через положительные, и отрицательное значение арифметического квадратного корня. Получаются следующие формулы половинного угла:

[
frac{sin sin alpha}{2}=pm frac{sqrt{1-cos alpha}}{sqrt{2}}, frac{cos cos alpha}{2}=pm frac{sqrt{1+cos alpha}}{sqrt{2}}, quad tan frac{alpha}{2}=frac{sqrt{1-cos alpha}}{sqrt{1+cos alpha}}, cot frac{alpha}{2}=frac{sqrt{1+cos alpha}}{sqrt{1-cos alpha}}
]

Знак «-» свидетельствуют о том, что тригонометрическая функция определяется четвертью угла [frac{alpha}{2}]

Доказательство тригонометрических функций половинного угла

Доказательство тригонометрических формул половинного угла строится на основании формулы косинуса двойного угла [cos alpha=1-2 times frac{alpha}{2}] и [cos alpha=2 times frac{alpha}{2}-1]. Упростим первое выражение по [frac{alpha}{2}], придем к формуле половинного угла в тригонометрии [frac{alpha}{2}=frac{1-cos alpha}{2}], упростим по тому принципу второе выражение [frac{alpha}{2}], получаем выражение [frac{alpha}{2}=frac{1+cos alpha}{2}].

Для доказательства формул половинного угла для тангенса и котангенса угла [frac{alpha}{2}] применим основное тригонометрическое тождество:

[
frac{cot ^{2} alpha}{2}=frac{frac{alpha}{2}}{frac{alpha}{2}}=frac{frac{1-cos alpha}{2}}{frac{1+cos alpha}{2}}=frac{1+cos alpha}{1-cos alpha} text { и }frac{tan ^{2} alpha}{2}=frac{frac{alpha}{2}}{frac{alpha}{2}}=frac{frac{1-cos alpha}{2}}{frac{1+cos alpha}{2}}=frac{1-cos alpha}{1+cos alpha}
]

В основное тригонометрическое тождество нужно подставить тригонометрические формулы половинного угла косинуса и синуса, доказанные выше. При подстановке получаем выражение следующего вида:

[
frac{tan ^{2} alpha}{2}=frac{frac{alpha}{2}}{frac{alpha}{2}}=frac{frac{1-cos alpha}{2}}{frac{1+cos alpha}{2}}=frac{1-cos alpha}{1+cos alpha}
]

[
frac{cot ^{2} alpha}{2}=frac{frac{alpha}{2}}{frac{alpha}{2}}=frac{frac{1-cos alpha}{2}}{frac{1+cos alpha}{2}}=frac{1+cos alpha}{1-cos alpha}
]

Посмотрим применение форму тригонометрического половинного угла на решение примеров.

Рассмотрим первое задание.

Найдите cos15°, если известно, что [cos 30^{circ}=frac{sqrt{3}}{2}].

Решение данного задания.

Воспользуемся формулой половинного угла для функции косинус в тригонометрии имеет следующий вид [frac{cos ^{2} alpha}{2}=frac{1+cos alpha}{2}].

Подставим значения, которая известная, в указанную тригонометрическую формулу:

[15^{circ}=frac{1+cos 30^{circ}}{2}=frac{1+frac{sqrt{3}}{2}}{2}=frac{2+sqrt{3}}{4}]

Так как у нас имеется значение 15°, найдем cos15°. 

Так как угол 15° находится в первой координатной четверти, а косинус там имеет положительное значение, то [cos 15^{circ}=frac{sqrt{2+sqrt{3}}}{sqrt{4}}=frac{sqrt{2+sqrt{3}}}{2}]

Ответ: [cos 15^{circ}=frac{sqrt{2+sqrt{3}}}{2}]

Рассмотрим ещё одно задание.

Необходимо вычислить значение указанного выражения [frac{4 cos alpha}{2}+2 cos alpha+5], где [cos alpha=frac{1}{8}].

Решение:

Нужно использовать  ту же самую формулу, которую применяли в первом примере [frac{cos alpha}{2}=pm frac{sqrt{1+cos alpha}}{sqrt{2}}]. Подставим значение косинуса, упростим данное выражение:

[
frac{4 sqrt{1+cos alpha}}{sqrt{2}}+2 cos alpha+5=frac{4 sqrt{1+frac{1}{8}}}{sqrt{2}}+2 times frac{1}{8}+5=frac{4 sqrt{9}}{sqrt{16}}+frac{1}{4}+5=8 frac{1}{4}
]

Ответ: [frac{4 cos alpha}{2}+2 cos alpha+5=8 frac{1}{4}].

Применяя формулы тригонометрического половинного угла, нужно учитывать, что угол может быть и нестандартного вида a2 и a, а его нужно будет привести к такому стандартному виду. Главным пунктом является то, что аргумент в правой части должен быть в два раза больше, чем в левой. В противном случае применить формулу не получится.

Если тождество записано в таком виде [7 alpha=frac{1-cos 14 alpha}{2}] или [frac{5 a}{17}=frac{1-frac{cos cos 10 alpha}{17}}{2}], то формулу применять можно.

Для того чтобы научиться правильно преобразовать и применять описанные выше формулы, нужна пристально изучить тему функции тригонометрических выражений. Не каждое выражение поддается преобразованию. И особое внимание нужно обратить на то, что значение углов тригонометрических функций зависит от их нахождения в разных четвертях для определения положительного и отрицательного знака выражения.