Как найти синус числа формула

Примеры:

(sin{⁡30^°}=)(frac{1}{2})
(sin⁡)(frac{π}{3})(=)(frac{sqrt{3}}{2})
(sin⁡2=0,909…) 

Содержание:

• Аргумент и значение
• 
  Синус острого угла
• 
  Синус числа
• 
  Синус любого угла
• 
  Связь с другими функциями
• 
  Функция 

Аргумент и значение

Синус острого угла

Пример:

1) Пусть дан угол и нужно определить синус этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить (sinA).

Синус числа

Числовая окружность позволяет определить синус любого числа, но обычно находят синус чисел как-то связанных с Пи: (frac{π}{2}), (frac{3π}{4}), (-2π).

Например, для числа (frac{π}{6}) – синус будет равен (0,5). А для числа (-)(frac{3π}{4}) он будет равен (-)(frac{sqrt{2}}{2}) (приблизительно (-0,71)).

Подробнее как вычисляется синус разных чисел можно прочитать в этой статье.

Синус любого угла

Благодаря единичному кругу можно определять тригонометрические функции не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем (360°) (полный оборот). Как это делать – проще один раз увидеть, чем (100) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

Теперь пояснение: пусть нужно определить (sin∠КОА) с градусной мерой в (150°). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью (x). После этого откладываем (150°) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам (sin⁡∠KOA).

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в (-60°) (угол КОВ), делаем также, но (60°) откладываем по часовой стрелке.

И, наконец, угол больше (360°) (угол КОС) – всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол (405°) отложен как (360° + 45°).

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в (960°), надо сделать уже два оборота ((360°+360°+240°)), а для угла в (2640°) – целых семь.

Как вы могли заменить, и синус числа, и синус произвольного угла определяется практически одинаково. Изменяются только способ нахождения точки на окружности.

Связь с другими тригонометрическими функциями:

– косинусом того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством (sin^2⁡x+cos^2⁡x=1)
– тангенсом и косинусом того же угла (или числа): формулой (tg⁡x=)(frac{sin⁡x}{cos⁡x})
– котангенсом того же угла (или числа): формулой (1+сtg^2⁡x=)(frac{1}{sin^2⁡x})
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.

Функция (y=sin⁡x)

Если отложить по оси (x) углы в радианах, а по оси (y) – соответствующие этим углам значения синуса, мы получим следующий график:

График данной функции называется синусоида и обладает следующими свойствами:

      – область определения – любое значение икса:   (D(sin⁡x )=R)
      – область значений – от (-1) до (1) включительно:    (E(sin⁡x )=[-1;1])
      – нечетная:   (sin⁡(-x)=-sin⁡x)
      – периодическая с периодом (2π):   (sin⁡(x+2π)=sin⁡x)
      – точки пересечения с осями координат:
             ось абсцисс:   ((πn;0)), где (n ϵ Z)
             ось ординат:   ((0;0))
      – промежутки знакопостоянства:
             функция положительна на интервалах:   ((2πn;π+2πn)), где (n ϵ Z)
             функция отрицательна на интервалах:    ((π+2πn;2π+2πn)), где (n ϵ Z)
      – промежутки возрастания и убывания:
             функция возрастает на интервалах:    ((-)(frac{π}{2})(+2πn;) (frac{π}{2})(+2πn)), где (n ϵ Z)
             функция убывает на интервалах:    (()(frac{π}{2})(+2πn;)(frac{3π}{2})(+2πn)), где (n ϵ Z)
       – максимумы и минимумы функции:
             функция имеет максимальное значение (y=1) в точках (x=)(frac{π}{2})(+2πn), где (n ϵ Z)
             функция имеет минимальное значение (y=-1) в точках (x=-)(frac{π}{2})(+2πn), где (n ϵ Z).

Смотрите также:

Косинус
Тангенс
Котангенс
Решение уравнения (sin⁡x=a)

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.

Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30°, 45°, 60°. Если угол выходит за пределы 90°, то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.

Если известно значение синуса для α, можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.

В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45°, мы сможем определить значение синуса 30°, воспользовавшись правилом из тригонометрии.

Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.

Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α. Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Разобьем эти углы на четыре группы: 360·z градусов (2π·z рад), 90+360·z градусов (π2+2π·z рад), 180+360·z градусов (π+2π·z рад) и 270+360·z градусов (3π2+2π·z рад), где z- любое целое число.

Изобразим данные формулы на рисунке: 

 

Для каждой группы соответствуют свои значения.

Если А(1, 0) повернуть на 90+360·z°, то она перейдет в А1 (0, 1).  По определению:  sin (90°+360°·z) =1 и cos (90°+360°·z) =0 . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: ctg (90°+360°·z) =01=0 . 

Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки А(1, 0) на любой из углов 180+360·z°, она перейдет в A1(−1, 0). Мы находим значения функций кроме тангенса.

Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.

Линии тригонометрических функций

Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.

Рассмотрим их на подробном рисунке

Как найти sin α, cos α, tg α, ctg α

Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Значения основных функций тригонометрии

Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α, cos α, tg α, ctg α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.

Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin2α+cos2α=1 . 

Тангенс по известному косинусу tg2α+1=1cos2α . 

Котангенс по известному синусу или наоборот 1+ctg2α= 1sin2α . 

Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: tg α·ctg α=1 . 

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Сведение к углу 

Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 °. Сведение к углу из интервала от 0 до 90 °. Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.

Задача заключается в том, чтобы найти синус 210°. Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения.  Используем формулу для нахождения значения синуса 30°: sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-12 , или косинуса 60 ° sin 210°=sin(270°-60°)=-cos 60°=-12.

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Для примера вычислим значение тангенса π8, который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.

Частные случаи

Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.

Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс

18 мая 2022

Сегодня мы узнаем, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Это первый и самый важный урок по тригонометрии на всём сайте.

Содержание:

1. Ключевые определения: синус, косинус, тангенс, котангенс.
2. Почему эти значения зависят только от углов?
3. Стандартные углы: 30°, 45°, 60°.
4. Простейшие свойства синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
5. Тригонометрия на координатной сетке.

Никаких сложных формул и длинных решений. Всё расписано максимально подробно. Изучите этот урок — и никаких проблем с тригонометрией не будет. Погнали!

1. Ключевые определения

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:

Мы видим, что острый угол $alpha $ образован гипотенузой $c$ и катетом $b$. Такой катет будем называть прилежащим. А катет $a$, который не участвует в формировании угла $alpha $, назовём противолежащим:

Это общепринятые названия: как только в прямоугольном треугольнике отмечен острый угол, для него немедленно можно указать прилежащий катет и противолежащий. И тут мы переходим к ключевым определениям.

1.1. Синус, косинус, тангенс, котангенс

Итак, пусть дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $.

Тогда:

Определение 1. Синус угла $alpha $ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

[sin alpha =frac{text{противолежащий катет}}{text{гипотенуза}}=frac{a}{c}]

Определение 2. Косинус угла $alpha $ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

[cos alpha =frac{text{прилежащий катет}}{text{гипотенуза}}=frac{b}{c}]

Определение 3. Тангенс угла $alpha $ — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

[operatorname{tg}alpha =frac{text{противолежащий катет}}{text{прилежащий катет}}=frac{a}{b}]

Определение 3. Котангенс угла $alpha $ — это отношение прилежащего катета к противолежащему:

[operatorname{ctg}alpha =frac{text{прилежащий катет}}{text{противолежащий катет}}=frac{b}{a}]

Вот так всё просто! Берём один катет, делим его на гипотенузы (или на другой катет) — и получаем выражение для синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Все эти выражения называются тригонометрическими («тригонометрия» = «треугольники измеряю»).

Рассмотрим пару примеров.

Задача 1. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $alpha $.

Решение. Это классический прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Угол $alpha $ (он же — угол $A$ или угол $BAC$) образован прилежащим катетом $AB=3$гипотенузой $AC=5$. Следовательно катет $BC=4$ — противолежащий.

Имеем:

[begin{align}sin alpha& =frac{BC}{AC}=frac{5}{4} \ cos alpha& =frac{AB}{AC}=frac{3}{5} \ operatorname{tg}alpha& =frac{BC}{AB}=frac{4}{3} end{align}]

Далеко не всегда будут получаться такие красивые ответы. Чаще они будут содержать корни — это следствие теоремы Пифагора. Но важно понимать: как только мы находим длины катетов и гипотенузу, мы сразу можем найти и синусы, косинусы, тангенсы.

Далее в примерах мы не будем считать котангенсы, потому что из формулы котангенса очевидно, что они легко выражаются через тангенсы:

[operatorname{ctg}alpha =frac{1}{operatorname{tg}alpha }]

Но об этом чуть позже.

Задача 2. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $alpha $.

Это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $AB=BC=1$. Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

[begin{align}{{ AC}^{2}} & ={{AB}^{2}}+{{BC}^{2}}=1+1=2 \ AC & =sqrt{2} \ end{align}]

Теперь найдём синус, косинус и тангенс:

[begin{align}sin alpha &=frac{BC}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ cos alpha &=frac{AB}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ operatorname{tg}alpha&=frac{BC}{AB}=frac{1}{1}=1 end{align}]

Простое правило, чтобы не запутаться, где прилежащий катет, а где противолежащий. Просто помните: приставка «ко» означает «вместе», «сообща». Поэтому «косинус» — это «катет, лежащий рядом, к гипотенузе», «котангенс» — это «катет, лежащий рядом, к противолежащему». И никак иначе.:)

1.2. Задачи для тренировки

Перед тем как переходить к следующей части урока, предлагаю 4 примера для тренировки.

Задача 3. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.

Решение.

[begin{align}sin alpha &=frac{5}{13} \ cos alpha &=frac{12}{13} \ operatorname{tg}alpha &=frac{5}{12} \ end{align}]

Задача 4. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.

Решение.

[begin{align}sin alpha &=frac{8}{17} \ cos alpha &=frac{15}{17} \ operatorname{tg}alpha &=frac{8}{15} \ end{align}]

Задача 5. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.

Прилежащий катет по теореме Пифагора:

[begin{align}{{l}^{2}}&={{3}^{2}}-{{1}^{2}}=9-1=8 \ l&=sqrt{8}=2sqrt{2} \ end{align}]

Синус, косинус и тангенс:

[begin{align}sin alpha&=frac{1}{3} \ cos alpha&=frac{2sqrt{2}}{3} \ operatorname{tg}alpha&=frac{1}{2sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{4} \ end{align}]

Задача 6. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.

Прилежащий катет по теореме Пифагора:

[begin{align}{{l}^{2}} &={{2}^{2}}-{{1}^{2}}=4-1=3 \ l &=sqrt{3} \ end{align}]

Синус, косинус и тангенс:

[begin{align}sin alpha&=frac{1}{2} \ cos alpha&=frac{sqrt{3}}{2} \ operatorname{tg}alpha&=frac{1}{sqrt{3}}=frac{sqrt{3}}{3} \ end{align}]

Как видим, считать синусы, косинусы и тангенсы совсем несложно. Перейдём теперь к принципиально важному вопросу: а зачем вообще всё это нужно?

2. Теорема о единственности

Ключевая идея: синус, косинус, тангенс и котангенс зависят только от величины угла $alpha $ и никак не зависят от прямоугольного треугольника, в котором идут вычисления.

Такого не произойдёт. Потому что есть теорема о единственности.

2.1. Формулировка теоремы

Теорема. Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике определяются только величиной этого угла и никак не зависят от самого треугольника.

2.2. Доказательство

Рассмотрим произвольный острый угол $alpha $. Для удобства обозначим его вершину буквой $A$:

А затем впишем в него два произвольных прямоугольных треугольника — $ABC$ и $AMN$. Любым удобным способом. Например, можно вписать эти треугольники вот так:

А можно и вот так — это не имеет никакого значения:

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AMN$. Угол $A$ у них общий; углы [angle ABC=angle AMN=90{}^circ ] по условию. Следовательно, треугольники $ABC$ и $AMN$ подобны по двум углам:

[Delta ABCsim Delta AMN]

Из подобия треугольников следует двойное равенство

[frac{AB}{AM}=frac{BC}{MN}=frac{AC}{AN}]

Выпишем второе равенство — получим пропорцию

[frac{BC}{MN}=frac{AC}{AN}]

Попробуем выразить $sin alpha $. Вспомним основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Поэтому

[BCcdot AN=MNcdot AC]

Разделим обе части равенства на длину каждой гипотенузы — $AN$ и $AC$:

[begin{align}frac{BCcdot AN}{ANcdot AC} &=frac{MNcdot AC}{ANcdot AC} \ frac{BC}{AC} &=frac{MN}{AN} end{align}]

Однако по определению синуса имеем:

[begin{align}sin BAC &=frac{BC}{AC} \ sin MAN &=frac{MN}{AN} \ end{align}]

Получается, что $sin BAC=sin MAN$. Другими словами, вне зависимости от выбора треугольника для данного угла $alpha $ мы всегда будем получать одно и то же значение $sin alpha $.

То же самое касается и $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $ и $operatorname{ctg}alpha $ — они зависят лишь от градусной меры угла $alpha $ и никак не зависят от конкретного прямоугольного треугольника, в котором они находятся. Теорема доказана.

3. Стандартные углы

Итак, значения $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $ и $operatorname{ctg}alpha $ однозначно определяются величиной угла $alpha $. Нам не важен треугольник — важна только градусная мера угла. Можно один раз посчитать синусы, косинусы и т.д. для нужных углов, а затем просто подставлять их.

Но тут мы сталкиваемся с проблемой, из-за которой многие как раз и не понимают тригонометрию. Проблема состоит из двух пунктов:

1. Для большинства углов $alpha $ нельзя найти точные значения $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
2. Верно и обратное: для большинства «красивых» $sin alpha $, $cos alpha $ и т.д. нельзя подобрать подходящий угол $alpha $.

Звучит немного непонятно, поэтому разберём каждый пункт на конкретных примерах.

3.1. Три стандартных угла

Существует лишь три острых угла, для которых легко считаются синусы, косинусы и т.д. Это 30°, 45°, 60°. Вот их синусы, косинусы и тангенсы:

[begin{array}{c|ccc} alpha& 30{}^circ& 45{}^circ & 60{}^circ \ hlinesin alpha & frac{1}{2} & frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{3}}{2} \ cos alpha & frac{sqrt{3}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} & frac{1}{2} \ operatorname{tg}alpha& frac{sqrt{3}}{3} & 1 & sqrt{3} \ end{array}]

Чтобы понять, чем эти углы такие особенные, просто посчитаем все эти синусы, косинусы и тангенсы. Начнём с $alpha =45{}^circ $. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. Мы уже встречались с ним:

Поскольку в равнобедренном треугольнике $angle A=angle B=45{}^circ $, получим:

[begin{align}sin 45{}^circ &=sin A=frac{BC}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ cos 45{}^circ &=sin A=frac{AB}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ operatorname{tg}45{}^circ&=sin A=frac{BC}{AB}=frac{1}{1}=1 end{align}]

Это именно те значения, которые указаны в таблице!

Теперь разберёмся с углами $alpha =30{}^circ $ и $alpha =60{}^circ $. Здесь рассуждения будут чуть сложнее. Сначала рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB=2$ (просто так удобнее) и проведём высоту $BH$:

Мы знаем, что высота $BH$ — ещё и медиана, и биссектриса. Поэтому $AH=CH=1$, $angle ABH=angle CBH=30{}^circ $.

Следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный, да ещё и с острыми углами 30° и 60°. По теореме Пифагора легко найти $BH=sqrt{3}$. Нанесём все данные на чертёж:

Разберёмся с углом 60°:

[begin{align} sin{60}^circ &=sin A=frac{BH}{AB}=frac{sqrt{3}}{2} \ cos{60}^circ&=cos A=frac{AH}{AB}=frac{1}{2} \ operatorname{tg}{60}^circ&=operatorname{tg}A=frac{BH}{AH}=sqrt{3} \ end{align}]

И с углом 30°:

[begin{align} sin{30}^circ &=sin ABH=frac{AH}{AB} =frac{1}{2} \ cos{30}^circ &=cos ABH=frac{BH}{AB} =frac{sqrt{3}}{2} \ operatorname{tg}{30}^circ &=operatorname{tg} ABH=frac{AH}{BH} =frac{1}{sqrt{3}} =frac{sqrt{3}}{3} \ end{align}]

Попробуйте повторить все эти рассуждения самостоятельно. Это очень полезное упражнение!

Возникает вопрос: как быть с другими углами? Например, можно ли найти $sin {50}^circ $? Или, быть может, $cos {10}^circ $? Спойлер: можно, но это будут очень громоздкие выражения. И у нас пока не хватает технологий, чтобы их найти.

Поэтому идём дальше и посмотрим на ситуацию с другой стороны: как подобрать угол к заданному синусу, косинусу, тангенсу?

3.2. Что с другими углами?

Взгляните ещё раз на «классический» прямоугольный треугольник, с которого мы начинали наши рассуждения:

Катеты 4 и 3, гипотенуза 5 — вполне обычный треугольник. Для него можно посчитать, например, синус острого угла $alpha $:

[sin alpha =sin A=frac{BC}{AB}=frac{3}{5}=0,6]

Итак, мы знаем синус. Внимание, вопрос: каким должен быть угол $alpha $, чтобы $sin alpha =0,6$? Сколько градусов должно быть в угле $alpha $? Ответ: неизвестно.:)

Точнее, правильнее сказать, что у нас пока нет технологий, позволяющих найти такой угол $alpha $, чтобы $sin alpha =0,6$. Хотя такой угол точно есть, ведь мы предъявили треугольник, в котором он присутствует.

Из всех этих рассуждений сделаем важный вывод. В тригонометрии мы:

• Либо берём угол и считаем для него синусы, косинусы и т.д. Но лишь для трёх острых углов — 30°, 45°, 60° — всё будет считаться быстро и красиво. Такие углы называются табличными.
• Либо берём синус, косинус или тангенс и для него пытаемся подобрать острый угол. Но лишь для табличных значений мы сможем подобрать такие углы. И да: это будут углы 30°, 45°, 60°.

Ещё раз:

Мы можем посчитать лишь синус, косинус и тангенс для трёх табличных углов.

Например, $sin 30{}^circ $, $cos 45{}^circ $, $operatorname{tg}60{}^circ $ и т.д. А всякие $sin 15{}^circ $, $cos 25{}^circ $ или $operatorname{tg}89,5{}^circ $ — не сможем. По крайней мере пока.:)

И наоборот:

Зная $sin alpha $, $cos alpha $ или $operatorname{tg}alpha $, мы сможем назвать точный угол $alpha $ только в том случае, если все эти синусы, косинусы и тангенсы — среди табличных значений.

Например, мы точно знаем, что если $sin alpha =frac{sqrt{2}}{2}$, то $alpha =45{}^circ $. Но когда $sin alpha =0,6$, мы уже не можем назвать угол $alpha $ (хотя всегда можем построить такой угол).

С этой мыслью мы и переходим к следующему пункту — свойства тригонометрических выражений.

4. Свойства синуса, косинуса, тангенса

Мы разберём три ключевых свойства:

1. Связь между синусом, косинусом и тангенсом.
2. Связь между острыми углами прямоугольного треугольника.
3. Основное тригонометрическое тождество.

Свойствам 2 и 3 далее в курсе будут посвящены отдельные уроки. Но основные идеи полезно взять на вооружение уже сейчас.

4.1. Связь между синусом, косинусом и тангенсом

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:

Выразим синус, косинус:

[sin alpha =frac{a}{c};quad cos alpha =frac{b}{c}]

А теперь выразим тангенс и заметим, что

[operatorname{tg}alpha =frac{a}{b}=frac{a}{c}cdot frac{c}{b}=frac{sin alpha }{cos alpha }]

Точно так же можно выразить и котангенс:

[operatorname{ctg}alpha =frac{b}{a}=frac{b}{c}cdot frac{c}{a}=frac{cos alpha }{sin alpha }]

Более того, сам тангенс и котангенс тоже связаны:

[operatorname{tg}alpha cdot operatorname{ctg}alpha =frac{a}{b}cdot frac{b}{a}=1]

Мы получили три важнейших тригонометрических формулы:

Основные формулы тригонометрии:

[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha };quad operatorname{ctg}alpha =frac{cos alpha }{sin alpha };quad operatorname{tg}alpha cdot operatorname{ctg}alpha =1]

Эти формулы нужно знать наизусть. И понимать, откуда они берутся.

4.2. Связь между острыми углами

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $angle C=90{}^circ $. Пусть градусная мера $angle A=alpha $ градусов:

Мы помним, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Поэтому если $angle A=alpha $, то угол $angle B=90{}^circ -alpha $. Но тогда:

[sin alpha =sin A=frac{BC}{AB}=cos B=cos left( 90{}^circ -alpha right)]

То же самое и с косинусами:

[cos alpha =cos A=frac{AC}{AB}=sin B=sin left( 90{}^circ -alpha right)]

И даже с тангенсами и котангенсами:

[begin{align} operatorname{tg}alpha&=operatorname{tg}A=frac{BC}{AC} =operatorname{ctg}B=operatorname{ctg}left( {90}^circ -alpharight) \ operatorname{ctg}alpha&=operatorname{ctg}A=frac{AC}{BC} = operatorname{tg}B=tgleft( {90}^circ -alpha right) \ end{align}]

Другими словами, если вместо $alpha $ поставить ${90}^circ -alpha $, то исходная тригонометрическая функция поменяется на ко-функцию:

[begin{align}sin left( {90}^circ-alpharight) &=cos alpha \ cos left( {90}^circ-alpharight) &=sin alpha \ operatorname{tg}left( {90}^circ-alpharight) &=operatorname{ctg}alpha\ operatorname{ctg}left( {90}^circ-alpharight) &=operatorname{tg}alphaend{align}]

Но это ещё не всё. Есть гораздо более интересная формула.

4.3. Основное тригонометрическое тождество

Вновь рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:

Запишем выражения для $sin alpha $ и $cos alpha $:

[sin alpha =frac{a}{c};quad cos alpha =frac{b}{c}]

Далее заметим, что

[begin{align} {{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha&={{left( frac{a}{c} right)}^{2}}+{{left( frac{b}{c} right)}^{2}}= \ & =frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}} +frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}= \ & =frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}} end{align}]

В числителе можем применить теорему Пифагора: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$, поэтому

[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}=1]

Правая часть этой формулы вообще не зависит от угла $alpha $.

Основное тригонометрическое тождество:

[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =1]

Это равенство связывает синус и косинус одного и того же угла и верно для всех $alpha $.

С помощью основного тригонометрического тождества можно вычислять косинус, зная синус, и наоборот.

Задача 7. Найдите $18cos alpha $ для острого угла $alpha $, если $sin alpha =frac{sqrt{65}}{9}$.

Решение. Запишем основное тригонометрическое тождество:

[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =1]

Подставим указанное значение $sin alpha $ и выразим $cos alpha $:

[begin{align}{{left( frac{sqrt{65}}{9} right)}^{2}}+{{cos }^{2}}alpha &=1 \ frac{65}{81}+{{cos }^{2}}alpha &=1 \ {{cos }^{2}}alpha &=frac{16}{81} \ cos alpha&=pm frac{4}{9} end{align}]

Поскольку косинус угла в прямоугольном треугольнике не может быть отрицательным, выбираем вариант $cos alpha ={4}/{9};$. Остаётся сделать финальный шаг:

[18cos alpha =18cdot frac{4}{9}=2cdot 4=8]

Вот и всё! Ответ: 8.

В следующем примере мы уже не будем подробно расписывать каждый шаг. Оформим всё так, как надо оформлять на контрольных и экзаменах.

Задача 8. Найдите $48operatorname{tg}alpha $ для острого угла $alpha $, если $cos alpha =frac{8}{sqrt{113}}$.

Решение. Найдём $sin alpha $:

[begin{align}{{sin }^{2}}alpha &=1-{{cos }^{2}}alpha = \ & =1-{{left( frac{8}{sqrt{113}} right)}^{2}}= \ & =1-frac{64}{113}=frac{49}{113} \ sin alpha&=pm frac{7}{sqrt{113}} end{align}]

Но ${0}^circ lt alpha lt {90}^circ $, поэтому $sin alpha gt 0$. Следовательно

[sin alpha =frac{7}{sqrt{113}}]

Найдём $operatorname{tg}alpha $:

[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=frac{7}{sqrt{113}}cdot frac{sqrt{113}}{8}=frac{7}{8}]

Окончательный ответ:

[48operatorname{tg}alpha =48cdot frac{7}{8}=6cdot 7=42]

Ответ: 42.

Заметка на будущее: замечание о том, что угол $alpha $ острый, весьма существенно. То, как мы сейчас определяем синусы, косинусы и тангенсы (через прямоугольный треугольник), называется геометрической тригонометрией. Её проходят в 8—9 классе.

Но в 10—11 классах появится алгебраическая тригонометрия, где синусы, косинусы и т.д. вполне могут быть отрицательными. И уже не получится просто так избавиться от минуса.

Но всё это будет чуть позже. А сейчас потренируемся.

Задача 9. ►

Найдите $52cos alpha $ для острого угла $alpha $, если $sin alpha =frac{5}{13}$.

Решение. Найдём $cos alpha $:

[begin{align}{{cos }^{2}}alpha &=1-{{sin }^{2}}alpha = \ &=1-frac{25}{169}=frac{144}{169} \ cos alpha&=pm frac{12}{13} end{align}]

Поскольку $cos alpha gt 0$ для острых $alpha $, выбираем $cos alpha ={12}/{13};$. Итого

[52cos alpha =52cdot frac{12}{13}=48]

Ответ: 48.

Задача 10. ►

Найдите $1+2operatorname{tg}alpha $ для острого угла $alpha $, если $cos alpha =frac{1}{sqrt{26}}$.

Решение. Найдём $sin alpha $:

[begin{align}{{sin }^{2}}alpha &=1-{{cos }^{2}}alpha = \ & =1-frac{1}{26}=frac{25}{26} \ sin alpha&=pm frac{5}{sqrt{26}} end{align}]

Поскольку $sin alpha gt 0$ для острых $alpha $, выбираем

[sin alpha =frac{5}{sqrt{26}}]

Считаем $operatorname{tg}alpha $:

[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=frac{5}{sqrt{26}}cdot frac{sqrt{26}}{1}=5]

Откуда

[1+2operatorname{tg}alpha =1+2cdot 5=11]

Ответ: 11.

5. Тригонометрия на координатной сетке

Задачи, которые мы сейчас разберём, вполне могут встретиться в ОГЭ и даже ЕГЭ. Часто в них нет прямоугольного треугольника — есть лишь угол, в который этот треугольник предлагается вписать.

Для решения задач на координатной сетке достаточно посмотреть, через какие узлы сетки проходят интересующие нас лучи. И понять, какие из этих узлов имеет смысл соединить дополнительными построениями.

Звучит страшно, но на практике всё легко.:)

Задача 11. Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:

Решение. Дополнительное построение: $AHbot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ на луч $BC$.

Треугольник $BAH$ — прямоугольный, причём угол $ABC$ — один из его острых углов. Поэтому

[operatorname{tg}ABC=frac{AH}{BH}=frac{3}{4}=0,75]

Это и есть искомый тангенс.

Ответ: 0,75.

Ещё раз: важно, чтобы основание перпендикуляра попадало в узел сетки. Иначе нахождение длины катетов резко усложняется. Попробуйте сами:

Задача 12. ►

Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:

Решение.

Дополнительное построение: $AHbot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ к лучу $BC$.

Треугольник $BAH$ — прямоугольный с острым углом $ABC$. Поэтому

[operatorname{tg}ABC=frac{AH}{BH}=frac{2}{4}=frac{1}{2}]

Ответ: 0,5.

Разумеется, это были совсем простые задачи. Потому что один из лучей был параллелен линиям сетки.

Куда интереснее (и полезнее) рассмотреть ситуации, где лучи направлены под углом к сетке. Суть та же: ищем и соединяем узлы на лучах. Но тут уже нужна наблюдательность.

Задача 13. Найдите тангенс угла $MNK$, изображённого на координатной сетке:

Решение. Луч $KN$ содержит лишь две точки в узлах координатной сетки — собственно, $K$ и $N$. Понятно, что если продолжить луч за точку $K$, мы найдём ещё много таких точек, но будем решать задачу с тем, что есть.

Заметим, что прямая $MN$ наклонена к линиям сетки под углом 45° и образует диагонали квадратов. Это значит, что перпендикуляр к ней тоже будет наклонён под углом 45°.

Дополнительное построение: отрезок $KH$ — диагональ одного из квадратов сетки.

Очевидно, что угол $NHK$ прямой, поэтому треугольник $KHN$ прямоугольный и содержит искомый острый угол $MNK$. Находим тангенс:

[operatorname{tg}MNK=frac{HK}{HN}=frac{sqrt{2}}{2sqrt{2}}=frac{1}{2}=0,5]

Здесь мы предположили, что сторона квадрата сетки равна 1. Но с тем же успехом можно считать, что сторона квадрата $a$:

[operatorname{tg}MNK=frac{HK}{HN}=frac{asqrt{2}}{2asqrt{2}}=frac{1}{2}=0,5]

Ответ: 0,5.

Подобные задачи считаются довольно сложными. По статистике большинство выпускников 9 классов не способны их решать. Но вы-то теперь точно справитесь. Попробуйте:

Задача 14. ►

Найдите тангенс угла $DEF$, изображённого на координатной сетке:

Решение.

Дополнительное построение: отрезок $DH$.

Очевидно, $EH=DH$, угол $EHD$ прямой. Следовательно, треугольник $EDH$ — прямоугольный и равнобедренный. Поэтому $operatorname{tg}DEF=1$.

Либо можно посчитать «напролом», полагая, что сторона квадрата сетки равна $a$:

[operatorname{tg}DEF=frac{asqrt{10}}{asqrt{10}}=1]

Ответ: 1.

Вообще, поиск «правильных» узлов на координатной сетке — это своего рода искусство. И если углубляться в эту тему, то можно быстро выйти на «полуолимпиадные» задачи.

К тому же не существует «самого правильного» дополнительного построения. Задачу на координатной сетке всегда можно решить множеством различных способов. Так, в последнем примере можно было провести перпендикуляр вот так:

И даже так (хотя вряд ли этот способ можно назвать рациональным):

Во всех случаях ответ будет один и тот же. Поэтому не бойтесь экспериментировать. И переходите к следующему уроку — к действительно важным и полезным свойствам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.:)

Смотрите также:

1. Радианная и градусная мера угла
2. Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов
3. Сложные логарифмические неравенства
4. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
5. Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат
6. Обход точек в стереометрии — 2

Для удобства сразу же приведем таблицу с всеми тригонометрическими тождествами. Всегда удобно открыть формулы в одном месте, выбрать нужную и решить пример. После таблицы мы по отдельности рассмотрим каждую тригонометрическую формулу: обсудим ее вывод и порешаем примеры.

1. Основное тригонометрическое тождество:
   $$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
2. Определение тангенса и котангенса через синус и косинус:
   $$tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)};$$
   $$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};$$
3. Cвязь тангенса и котангенса:
   $$tg(alpha)=frac{1}{ctg(alpha)};$$
   $$tg(alpha)*ctg(alpha)=1;$$
4. Тангенс через косинус. Котангенс через синус:
   $$tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
   $$ctg(alpha)^2+1=frac{1}{sin(alpha)^2};$$
5. Синус суммы и разности:
   $$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
   $$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
6. Косинус суммы и разности:
   $$cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);$$
   $$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
7. Тангенс суммы и разности:
   $$tg(alpha+beta)=frac{tg(alpha)+tg(beta)}{1-tg(alpha)*tg(beta)};$$
   $$tg(alpha-beta)=frac{tg(alpha)-tg(beta)}{1+tg(alpha)*tg(beta)};$$
8. Котангенс суммы и разности:
   $$сtg(alpha+beta)=frac{-1+сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)+ctg(beta)};$$
   $$сtg(alpha-beta)=frac{-1-сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)-ctg(beta)};$$
9. Двойной угол:
   $$cos(2*alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2*sin(alpha)^2=2*cos(alpha)^2-1;$$
   $$sin(2*alpha)=2*sin(alpha)*cos(alpha);$$
   $$tg(2*alpha)=frac{2*tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
   $$ctg(2*alpha)=frac{ctg(alpha)^2-1}{2*ctg(alpha)};$$
10. Тройной угол:
    $$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3*sin(alpha)^2*cos(alpha)=-3*cos(alpha)+4*cos(alpha)^3;$$
    $$sin(3*alpha)=3*sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3;$$
    $$tg(3*alpha)=frac{3*tg(alpha)-tg(alpha)^3}{1-3*tg(alpha)^2};$$
    $$ctg(3*alpha)=frac{ctg(alpha)^3-3*ctg(alpha)}{3*ctg(alpha)^2-1};$$
11. Формулы половинного угла:
    $$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
    $$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
    $$tg(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
    $$ctg(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$
12. Понижение степени:
    $$sin(alpha)^2=frac{1-cos(2*alpha)}{2};$$
    $$cos(alpha)^2=frac{1+cos(2*alpha)}{2};$$
    $$sin(alpha)^3=frac{3*sin(alpha)-sin(3*alpha)}{4};$$
    $$cos(alpha)^3=frac{3*cos(alpha)+cos(3*alpha)}{4};$$
    $$sin(alpha)^4=frac{3-4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
    $$cos(alpha)^4=frac{3+4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
13. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:
    $$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$sin(alpha)-sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)+cos(beta)=2*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)-cos(beta)=-2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)-cos(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{beta-alpha}{2}right);$$
    $$tg(alpha)+tg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
    $$tg(alpha)-tg(beta)=frac{sin(alpha-beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
    $$ctg(alpha)+ctg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
    $$ctg(alpha)-ctg(beta)=frac{sin(beta-alpha)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
14. Преобразование произведения тригонометрических функций:
    $$sin(alpha)*sin(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)right);$$
    $$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)right);$$
    $$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)right);$$
15. Формулы подстановки тангенса:
    $$sin(alpha)=frac{2*tg(frac{alpha}{2})}{1+tg(frac{alpha}{2})^2};$$
    $$cos(alpha)=frac{1-tg(frac{alpha}{2})^2}{1+tg(frac{alpha}{2})^2};$$
    $$tg(alpha)=frac{2*tg(frac{alpha}{2})}{1-tg(frac{alpha}{2})^2};$$
    $$ctg(alpha)=frac{1-tg(frac{alpha}{2})^2}{2*tg(frac{alpha}{2})};$$
16. Формулы приведения можно найти в отдельной статье

Зачем нужны тригонометрические формулы?

Как видите, тригонометрических формул очень много. Тут еще и не все приведены. Но на ваше счастье, учить всю эту таблицу не нужно. Достаточно знать только основные: №1-6, 9. Остальные на ЕГЭ по профильной математике встречаются крайне редко, а если и попадутся, то, скорее всего, будут даны в справочных материалах.

Но для участия в олимпиадах или, если вы хотите поступать в сильный математический ВУЗ через вступительные экзамены, то вам может понадобиться вся таблица. По крайней мере, у вас точно должно быть представление о существовании таких формул, чтобы их вывести в случае необходимости. Да, большинство из них легко выводятся.

Тригонометрические формулы нужны, чтобы связать все тригонометрические функции между собой. Если вы знаете одну из функций, например, синус, то, используя эти формулы, можно легко найти оставшиеся три тригонометрические функции (косинус, тангенс и котангенс). Кроме этого тождества позволяют упростить выражение под тригонометрической функцией: например, выразить синус от двойного угла через комбинацию тригонометрических функций от одинарного угла, что бывает очень полезно при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Обсудим и порешаем примеры на все формулы из таблицы.

Основное тригонометрическое тождество

$$mathbf{sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;}$$

Эту формулу можно считать главной и самой часто используемой в тригонометрии. Она выводится при помощи определения синуса и косинуса через прямоугольный треугольник и теоремы Пифагора. Не буду еще раз описывать вывод, с ним можно познакомиться в самой первой главе по тригонометрии.

При помощи основного тригонометрического тождества очень удобно искать значение синуса, если известен косинус и наоборот. Разберем пример:

Пример 1
Найдите (3sqrt{2}*sin(alpha)=?), если (cos(alpha)=frac{1}{3}) и (alphain(0;frac{pi}{2})). (ЕГЭ)

Чтобы найти значение выражения (3sqrt{2}*sin(alpha)) необходимо сначала найти значение синуса.

Формула, которая связывает и синус, и косинус – это основное тригонометрическое тождество:
$$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
Просто подставим в нее известное значение косинуса
$$sin(alpha)^2+left(frac{1}{3}right)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+frac{1}{9}=1;$$
$$sin(alpha)^2=1-frac{1}{9};$$
$$sin(alpha)^2=frac{8}{9};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{8}{9}}=pmfrac{2sqrt{2}}{3};$$
Обратите внимание на знак (pm), отрицательное значение синуса нас тоже устраивает, так как при подстановке и возведении в квадрат знак минус исчезает.

В задании указано, что это пример из ЕГЭ первой части, значит должен быть только один ответ. Какое же значение синуса нам выбрать: положительное или отрицательное?

В этом нам поможет дополнительное условие на (alphain(0;frac{pi}{2})), что соответсвует первой четверти на тригонометрической окружности. Раз (alpha) лежит в первой четверти, то синус должен быть положительный. Выбираем положительное значение синуса:
$$sin(alpha)=frac{2sqrt{2}}{3};$$
И подставим найденное значение в искомое выражение:
$$3sqrt{2}*sin(alpha)=3sqrt{2}*frac{2sqrt{2}}{3}=4.$$

Ответ: (4.)

Аналогично по основному тригонометрическому тождеству можно находить значение косинуса, если известен синус.

Основные тригонометрическое тождество это ключ к решению более половины всех тригонометрических уравнений.

Основные связи тригонометрических функций

А как найти тангенс или котангенс, если нам, например, известен косинус? Посмотрите на формулы №2, для того, чтобы найти тангенс, нужно знать и косинус, и синус:

$$mathbf{tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)};}$$
$$mathbf{ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};}$$

Но зная косинус, мы легко можем найти синус по основному тригонометрическому тождеству, а потом уже найти тангенс.

Пример 2
Найдите (tg(alpha)) и (ctg(alpha)), если (cos(alpha)=frac{sqrt{10}}{10}) и (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)).

Сначала находим значение синуса:
$$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+left(frac{sqrt{10}}{10}right)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+frac{1}{10}=1;$$
$$sin(alpha)^2=1-frac{1}{10};$$
$$sin(alpha)^2=frac{9}{10};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{9}{10}}=pmfrac{3}{sqrt{10}};$$
Так как по условию задачи (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)), что соответсвует четвертой четверти на тригонометрической окружности, то (sin(alpha)<0). Выбираем отрицательное значение:
$$sin(alpha)=-frac{3}{sqrt{10}};$$
Теперь нам известны значения и косинуса, и синуса, можем найти тангенс:
$$tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}=frac{-frac{3}{sqrt{10}}}{frac{sqrt{10}}{10}}=-frac{3}{sqrt{10}}*frac{10}{sqrt{10}}=-3;$$
Котангенс можно найти аналогично по формуле:
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};$$
Но поступим проще и воспользуемся тригонометрической формулой, связывающей тангенс с котангенсом:
$$mathbf{сtg(alpha)=frac{1}{tg(alpha)};}$$
$$сtg(alpha)=frac{1}{-3}=-frac{1}{3};$$

Ответ: (tg(alpha)=-3;) (ctg(alpha)=-frac{1}{3}.)

Как видите, чтобы найти тангенс или котангенс через косинус или синус, необходимо воспользоваться сразу двумя тригонометрическими формулами. Это не очень удобно, поэтому очень полезны тригонометрические формулы, связывающие тангенс с косинусом или котангенс с синусом напрямую:
$$mathbf{tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};}$$
$$mathbf{ctg(alpha)^2+1=frac{1}{sin(alpha)^2};}$$

Вывод связи тангенса с косинусом и котангенса с синусом

Полезно знать, как они выводятся. Вывод, на самом деле, элементарный, с использованием основного тригонометрического тождества и определения тангенса через синус и косинус:
$$tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
$$left(frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}right)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
Приводим левую часть к общему знаменателю:
$$frac{sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}+frac{cos(alpha)^2}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
$$frac{sin(alpha)^2+cos(alpha)^2}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
В числителе у нас получилось основное тригонометрическое тождество:
$$frac{1}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
Получилось верное равенство – формула доказана. Аналогично доказывается формула для котангенса и синуса. (В качестве упражнения докажите ее сами).

Если решать пример №2 по этим формулам, то решение заметно сокращается:
$$tg(alpha)^2+1=frac{1}{left(frac{sqrt{10}}{10}right)^2};$$
$$tg(alpha)^2+1=10;$$
$$tg(alpha)^2=9;$$
$$tg(alpha)=pm3;$$
Так как (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)), то тангенс будет отрицательным:
$$tg(alpha)=-3;$$

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

1. Синус суммы и разности:
   $$mathbf{sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);}$$
   $$mathbf{sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);}$$
2. Косинус суммы и разности:
   $$mathbf{cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);}$$
   $$mathbf{cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);}$$
3. Тангенс суммы и разности:
   $$mathbf{tg(alpha+beta)=frac{tg(alpha)+tg(beta)}{1-tg(alpha)*tg(beta)};}$$
   $$mathbf{tg(alpha-beta)=frac{tg(alpha)-tg(beta)}{1+tg(alpha)*tg(beta)};}$$
4. Котангенс суммы и разности:
   $$mathbf{сtg(alpha+beta)=frac{-1+сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)+ctg(beta)};}$$
   $$mathbf{сtg(alpha-beta)=frac{-1-сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)-ctg(beta)};}$$

Формулы суммы разности тригонометрических функций попадаются в ЕГЭ по профильной математике в №12. В прошлые года эти формулы давались в справочные материалах и учить их было не обязательно. Тем не менее, я бы рекомендовал выучить хотя бы формулы суммы и разности для синуса и косинуса.

Это не очень удобно, но иногда формулы суммы разности используют для вывода формул приведения:

Пример 3
Упростить выражение (sin(frac{pi}{2}+alpha)).

Воспользуемся формулой синуса суммы:
$$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(frac{pi}{2}+alpha)=sin(frac{pi}{2})*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(frac{pi}{2})=$$
$$=1*cos(alpha)+sin(alpha)*0=cos(alpha);$$

Формулы суммы разности так же полезны, когда нужно посчитать значение тригонометрических функций некоторых нестандартных углов:

Пример 4
Найдите значение (sin(15^o)=?)

(15^o) нестандартный угол, вы его не найдете в тригонометрической таблице углов. Представим (15^o) в виде разности стандартных углов (15^o=45^o-30^o). И воспользуемся формулой синуса разности:
$$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(15^o)=sin(45^o-30^o)=sin(45^o)*cos(30^o)-sin(30^o)*cos(45^o)=$$
$$=frac{sqrt{2}}{2}*frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=$$
$$=frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4};$$
Вот мы наши синус (15^o). Получилось такое иррациональное некрасивое выражение, так и оставляем.

Ответ: (sin(15^o)=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}.)

Пример 5
Найдите значение (cos(75^o)=?)

(75^o) можно представить в виде суммы стандартных углов (75^o=30^o+45^o). Здесь воспользуемся формулой косинуса суммы:
$$cos(alpha+beta)=cos(30^o)*cos(45^o)-sin(30^0)*sin(45^0)=$$
$$=frac{sqrt{3}}{2}*frac{sqrt{2}}{2}-frac{1}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=$$
$$=frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4};$$
У нас получился опять отвратительный ответ, но внимательный читатель заметит, что ответ такой же, как в предыдущем примере, это значит, что (cos(75^o)=sin(15^o)). Такой же вывод можно было бы сделать исходя из формул приведения и знания тригонометрической окружности.

Ответ: (cos(75^o)=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}.)

Мы не будем выводить эти формулы – это не самое приятное занятие. Их проще выучить, а вывод вам вряд ли когда-либо пригодится. Но сами формулы суммы и разности служат основой для доказательства других тригонометрических формул.

Формулы двойного угла

$$cos(2*alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2*sin(alpha)^2=2*cos(alpha)^2-1;$$
$$sin(2*alpha)=2*sin(alpha)*cos(alpha);$$
$$tg(2*alpha)=frac{2*tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
$$ctg(2*alpha)=frac{ctg(alpha)^2-1}{2*ctg(alpha)};$$

Формулы двойного угла для синуса, косинуса, тангенса и котангенса дают возможность выразить двойной угол (2alpha) через (alpha). Формулы для синуса и косинуса очень часто встречаются на ЕГЭ. Их обязательно нужно знать. Все они легко выводятся из формул синуса и косинуса суммы (формулы №5 и №6) :

$$cos(2alpha)=cos(alpha+alpha)=cos(alpha)*cos(alpha)-sin(alpha)*sin(alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2;$$
Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством можно преобразовать эту формулу:
$$cos(2alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-sin(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2sin(alpha)^2;$$
$$cos(2alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=cos(alpha)^2-(1-cos(alpha)^2)=2cos(alpha)^2-1;$$

Синус двойного угла выводится аналогичным образом только с использованием формулы синуса суммы:
$$sin(2alpha)=sin(alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(alpha)=2sin(alpha)cos(alpha);$$

Для вывода формул двойного угла для тангенса нам понадобится представить тангенс в виде отношения синуса к косинуса по определению и только что выведенные формулы синуса и косинуса двойного угла:
$$tg(2alpha)=frac{sin(2alpha)}{cos(2alpha)}=frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}=frac{frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{cos(alpha)^2}}{frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}}=frac{frac{2sin(alpha)}{cos(alpha)}}{1-frac{sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}}=frac{2tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
Котангенс двойного угла выводится абсолютно также:
$$сtg(2alpha)=frac{cos(2alpha)}{sin(2alpha)}=frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{2sin(alpha)cos(alpha)}=frac{frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{sin(alpha)^2}}{frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{sin(alpha)^2}}=frac{frac{cos(alpha)^2}{sin(alpha)^2}-1}{frac{2cos(alpha)}{sin(alpha)}}=frac{ctg(alpha)^2-1}{2ctg(alpha)};$$

В первой части на ЕГЭ попадаются номера на преобразование тригонометрических выражений, где часто содержится двойной угол:

Пример 6
Найти значение (24cos(2alpha)=?), если (sin(alpha)=-0,2.)

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
$$cos(2alpha)=1-2sin(alpha)^2;$$
$$24cos(2alpha)=24(1-2sin(alpha)^2)=24-48sin(alpha)^2=24-48*(-0,2)^2=24-48*0,04=22,08.$$

Пример 7
Найти значение (frac{10sin(6alpha)}{3cos(3alpha)}=?), если (sin(3alpha)=0,6.)

Используем синус двойного угла, для этого представим (6alpha=2*(3alpha)):
$$sin(6alpha)=sin(2*(3alpha))=2sin(3alpha)cos(3alpha);$$
$$frac{10sin(6alpha)}{3cos(3alpha)}=frac{10*2sin(3alpha)cos(3alpha)}{3cos(3alpha)}=frac{20sin(3alpha)}{3}=frac{20*0,6}{3}=frac{12}{3}=4.$$

Пример 8
Найти значение выражения (frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{sin(22^o)}=?)

Замечаем, что (22^o=2*11^o) и воспользуемся синусом двойного угла:
$$frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{sin(22^o)}=frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{2sin(11^o)cos(11^o)}=frac{12}{2}=6.$$

Формулы тройного угла

Формулы тройного угла обычно попадаются на математических олимпиадах или вступительных экзаменах в математические ВУЗы. Учить их необязательно, но знать о существовании полезно, тем более, что они достаточно легко выводятся.
$$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3*sin(alpha)^2*cos(alpha)=-3*cos(alpha)+4*cos(alpha)^3;$$
$$sin(3*alpha)=3*sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3;$$
$$tg(3*alpha)=frac{3*tg(alpha)-tg(alpha)^3}{1-3*tg(alpha)^2};$$
$$ctg(3*alpha)=frac{ctg(alpha)^3-3*ctg(alpha)}{3*ctg(alpha)^2-1};$$

Выведем эти формулы, использую формулы сложения. Начнем с косинуса тройного угла:
$$cos(3*alpha)=cos(2alpha+alpha)=cos(2alpha)*cos(alpha)-sin(2alpha)*sin(alpha)=$$
$$=(cos(alpha)^2-sin(alpha)^2)*cos(alpha)-2sin(alpha)*cos(alpha)*sin(alpha)=$$
$$=cos(alpha)^3-sin(alpha)^2*cos(alpha)-2sin(alpha)^2*cos(alpha)=$$
$$=cos(alpha)^3-3sin(alpha)^2*cos(alpha);$$

Если расписать (sin(alpha)^2=1-cos(alpha)^2), то получим еще один вариант формулы тройного угла:
$$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3sin(alpha)^2*cos(alpha)=cos(alpha)^3-3(1-cos(alpha)^2)*cos(alpha)=$$
$$=4cos(alpha)^3-3cos(alpha);$$

Аналогично выводится формула синуса тройного угла:
$$sin(3alpha)=sin(2alpha+alpha)=sin(2alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(2alpha)=$$
$$=2sin(alpha)*cos(alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*(cos(alpha)^2-sin(alpha)^2)=$$
$$=2sin(alpha)*cos(alpha)^2+sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3;$$
Распишем по основному тригонометрическому тождеству (cos(alpha)^2=1-sin(alpha)^2) и подставим:
$$sin(3alpha)=3sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=$$
$$=3sin(alpha)*(1-sin(alpha)^2)-sin(alpha)^3=3sin(alpha)-4sin(alpha)^3;$$

Для тангенса и котангенса формулы тройного угла здесь выводить не будем, так как они достаточно редки. Но в качестве упражнения можете сами выполнить вывод, представив тангенс или котангенс по определению: через отношение синуса тройного угла к косинусу тройного угла или наоборот соотвественно.

Формулы тройного угла обычно используются при преобразовании сложных тригонометрических выражений. Например, на вступительных экзаменах в МФТИ любят давать тригонометрические уравнения на тройной угол и больше.

Формулы половинного угла (двойного аргумента)

$$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
$$tg(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
$$ctg(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$

Формулы половинного угла это по сути формулы обратные формулам двойного угла. Достаточно запомнить их элементарный вывод, тогда учить совсем необязательно. Здесь важный момент, что любой угол (alpha) всегда можно представить в виде удвоенного угла (frac{alpha}{2}):
$$alpha=2*frac{alpha}{2};$$

Выведем формулу синуса половинного угла, для этого нам понадобится формула косинуса двойного угла:
$$cos(alpha)=1-2*sin(frac{alpha}{2})^2;$$
Выразим отсюда (sin(frac{alpha}{2})):
$$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
Иногда эту формулу записывают без квадрата:
$$sin(frac{alpha}{2})=pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}};$$
Плюс минус возникает при избавлении от квадрата.
Вывод косинуса половинного угла тоже получается из формулы косинуса двойного угла:
$$cos(alpha)=2*cos(frac{alpha}{2})^2-1;$$
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{cos(alpha)+1}{2};$$
$$cos(frac{alpha}{2})=pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}};$$

Доказательство формул половинного угла для тангенса и котангенса следует из выше доказанных формул:
$$tg(frac{alpha}{2})=frac{sin(frac{alpha}{2})}{cos(frac{alpha}{2})}=frac{pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}}}{pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}}}=sqrt{frac{frac{1-cos(alpha)}{2}}{frac{cos(alpha)+1}{2}}}=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
Точно так же для котангенса:
$$сtg(frac{alpha}{2})=frac{cos(frac{alpha}{2})}{sin(frac{alpha}{2})}=frac{pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}}}{pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}}}=sqrt{frac{frac{cos(alpha)+1}{2}}{frac{1-cos(alpha)}{2}}}=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$

Пример 9
При помощи формул половинного угла можно, например, посчитать (cos(15^o)):

$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
$$cos(15^o)^2=frac{1+cos(30^o)}{2}=frac{1+frac{sqrt{3}}{2}}{2}=frac{2+sqrt{3}}{4};$$
$$cos(15^o)=sqrt{frac{2+sqrt{3}}{4}}.$$

Кстати, формулы половинного угла справедливы не только в явном виде, когда аргумент правой части формулы (alpha), а левой (frac{alpha}{2}). Но и в неявном, достаточно, чтобы аргумент правой части был больше аргумента левой в два раза:
$$sin(5alpha)=pmsqrt{frac{1-cos(10alpha)}{2}};$$

Формулы понижения степени

$$sin(alpha)^2=frac{1-cos(2*alpha)}{2};$$
$$cos(alpha)^2=frac{1+cos(2*alpha)}{2};$$
$$sin(alpha)^3=frac{3*sin(alpha)-sin(3*alpha)}{4};$$
$$cos(alpha)^3=frac{3*cos(alpha)+cos(3*alpha)}{4};$$
$$sin(alpha)^4=frac{3-4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
$$cos(alpha)^4=frac{3+4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$

Формулы понижения второй степени на самом деле дублируют формулы половинного угла.

Формулы понижения третей степени перестановкой слагаемых дублируют формулы тройного угла.

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:

$$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$sin(alpha)-sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)+cos(beta)=2*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=-2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{beta-alpha}{2}right);$$
$$tg(alpha)+tg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$tg(alpha)-tg(beta)=frac{sin(alpha-beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$ctg(alpha)+ctg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
$$ctg(alpha)-ctg(beta)=frac{sin(beta-alpha)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$

Формулы для суммы и разности тригонометрических функций полезны, если необходимо превратить сумму двух функций в произведение. Они в основном используются в уравнениях и преобразованиях сложных выражений, когда необходимо слагаемые разложить на множители.

Для вывода формул суммы и разности синусов и косинусов нам понадобится пара трюков и формулы синуса и косинуса суммы и разности (тут можно запутаться, в названиях формул, будьте внимательны). Вывод получается не самый очевидный.

Обратите внимание, что любой угол (alpha) можно представить в таком странном виде:
$$alpha=frac{alpha}{2}+frac{alpha}{2}+frac{beta}{2}-frac{beta}{2}=frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2};$$
Аналогично угол (beta):
$$beta=frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2};$$
Эти странности нам понадобятся при выводе формул, просто обратите на них внимание.
А теперь перейдем непосредственно к выводу формулы суммы синусов двух углов. Для начала распишем угла (alpha) и (beta) по формулам выше:
$$sin(alpha)+sin(beta)=sin(frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2}); qquad (*)$$
Теперь воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности:

$$sin(gamma+sigma)=sin(gamma)*cos(sigma)+sin(sigma)*cos(gamma);$$
$$sin(gamma-sigma)=sin(gamma)*cos(sigma)-sin(sigma)*cos(gamma);$$

Только у нас под синусами будут стоять не (gamma) и (sigma), а целые выражения.
Пусть:
$$gamma=frac{alpha+beta}{2};$$
$$sigma=frac{alpha-beta}{2};$$
Применим формулы синуса суммы и разности в (*):
$$sin(alpha)+sin(beta)=sin(frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2})=$$
$$=left(sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha-beta}{2})*cos(frac{alpha+beta}{2})right)+$$
$$+left(sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2})-sin(frac{alpha-beta}{2})*cos(frac{alpha+beta}{2})right)=$$
$$=2*sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2}); $$
В самом конце мы просто раскрыли большие скобки и привели подобные слагаемые.

Аналогично выводятся все остальные формулы.

Пример 10
Вычислить (sin(165)+sin(75)=?)

(165^o) и (75^o) это не табличные углы. Значения синусов этих углов мы не знаем. Для решения этого примера воспользуемся формулой суммы синусов:
$$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$sin(165^o)+sin(75^o)=2*sinleft(frac{165^o+75^o}{2}right)*cosleft(frac{165^o-75^o}{2}right)=$$
$$=2*sin(120^o)*cos(45^o)=2*frac{sqrt{3}}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=frac{sqrt{6}}{2}.$$

Преобразование произведения тригонометрических функций

$$sin(alpha)*sin(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)right);$$
$$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)right);$$
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)right);$$

В некотором смысле формулы произведения синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются обратными к тригонометрическим формулам суммы и разности тригонометрических функций. При помощи этих формул возможно перейти от произведения к сумме или разности.

Для вывода нам опять понадобятся формулы косинуса суммы и разности:
$$cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);$$
$$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$

Сложим эти две формулы. Для этого складываем их левые части и приравниваем сумме правых частей:

$$cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha)+cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Приводим подобные слагаемые:
$$cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=2*cos(alpha)*cos(beta);$$
Отсюда получаем:
$$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta));$$
Формула произведения косинусов доказана.

Произведение синусов доказывается похожим образом. Для этого домножим формулу косинуса суммы слева и справа на ((-1)):
$$-cos(alpha+beta)=-cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Косинус разности оставим без изменений:
$$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Сложим опять эти две формулы:
$$cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha)-cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
$$cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)=2*sin(beta)*sin(alpha);$$
$$sin(beta)*sin(alpha)=frac{1}{2}*(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta));$$
Произведение синусов тоже доказано.

Для того, чтобы вывести формулу произведения синуса и косинуса, нам понадобятся формулы синуса суммы и разности:
$$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
Сложим их:
$$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=2*sin(alpha)*cos(beta);$$
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta));$$

Пример 11
Вычислить (sin(75^o)*cos(15^o)=?)

Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса:
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta));$$
$$sin(75^o)*cos(15^o)=frac{1}{2}*(sin(75^o+15^o)+sin(75^o-15^o))=$$
$$=frac{1}{2}*(sin(90^o)+sin(60^o))=frac{1}{2}*(1+frac{sqrt{3}}{2})=frac{2+sqrt{3}}{4}.$$