Как найти синус комплексного числа

Тригонометрические функции комплексного числа

В статье рассматривается  способы расчета и выдача значений  основных тригонометрических функций 

Синус комплексного числа

Если представить  комплексное число  как (z=x+iy)

То синус числа, выраженный через гиперболические функции

(sin(z)=sin(x)ch(y)+icos(x)sh(y))

Косинус комплексного числа

Если представить (z=x+iy)

То косинус числа, выраженный через гиперболические функции

(cos(z)=cos(x)ch(y)-isin(x)sh(y))

Введите в поле  число, комплексное или вещественное и  программа выдаст результат

Тангенс комплексного числа

Если представить  (z=x+iy)

То тангенс числа, выраженный через синус и косинус

(operatorname{tg}z{}=cfrac{sin(z)}{cos(x)})

или  

(operatorname{tg},z{}=cfrac{sin(2x)}{cos(2x)+ch(2y)}+icfrac{sh(2y)}{cos(2x)+ch(2y)})

Котангенс комплексного числа

Котангенс комплексного числа также  легко решается

(operatorname{ctg},z{}=cfrac{cos(z)}{sin(x)})

1. ↑ Cotes R. Logometria (англ.) // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : journal. — 1714-1716. — Vol. 29. — P. 32. — doi:10.1098/rstl.1714.0002. Архивировано 6 июля 2017 года.
2. ↑ Cotes R. Harmonia mensurarum (неопр.). — 1722. — С. 28. Архивная копия от 7 июня 2020 на Wayback Machine
3. ↑ González-Velasco Enrique A. Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History (англ.). — 2011. — P. 182. Архивная копия от 19 октября 2014 на Wayback Machine
4. ↑ Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum (неопр.). — 1748. — Т. 1. — С. 104.

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

а) Находим модуль числа и аргумент . После этого можно записать

, то есть .

Можно записать решение иначе, используя формулу сложения (2.5) и формулу Эйлера (2.4):

Полому , а из показательной формы записи числа находим .

б) Представим число в виде произведения , а множитель в показательной форме: . Тогда

Поэтому имеем , или , так как для
данного значения аргумента имеет место ограничение . После этого записываем

.

Применяя последовательно формулы (2.5),(2.6), находим

, то есть .

Поэтому .

Неоднолистность функции следует из определения, так как существуют не равные значения аргумента, такие, что в них совпадают значения функции. Например, для и получается .

Чтобы определить область однолистности, запишем разность

или .

Значения функции совпадают для тех и , для которых выполняется равенство , то есть .

Однолистным отображение будет в любой области, принадлежащей горизонтальной полосе ширины , в частности полосе или (рис. 2.9).

Любая прямая , параллельная действительной оси отображается в луч , так как из получаем . В частности, действительная ось , то есть , переходит в луч — действительную положительную полуось, а прямая , то есть , — в луч , геометрически это — та же действительная полуось

Для однозначности отображения на границе проведем разрез по лучу. При этом точкам прямой будут соответствовать точки нижнего “берега” оси , а точкам прямой точки верхнего “берега”.

Такой же результат получим и для следующей полосы . Она отображается также в плоскость с разрезом .

Вообще любая полоса с помощью функции переходит в плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси.

Нарушенную разрезом непрерывность отображения можно восстановить, построением римановой поверхности функции по такому же принципу как сделано для .

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

а) Используем формулу (2.13): , поэтому , а так как , то и, следовательно, .

б) Учитывая равенство , используем, как и выше, формулу (2.13):

Поэтому и, следовательно, .

Для решения используем формулу сложения, обозначая , а также формулу (2.13).

а) Решим первый пример:

поэтому .

б) Решим второй пример:

поэтому .

Для решения можно использовать формулу сложения непосредственно для гиперболической функции:

а) Используем определение функции и формулу (2.13):

поэтому .

б) Представим число в виде произведения двух чисел:

и найдем модуль и аргумент каждого. Для числа имеем . Число является действительным, причем отрицательным, так как

Поэтому . Окончательно, используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получаем

Корнями уравнения , или , являются четыре комплексных числа, которые могут быть найдены по правилу извлечения корня из комплексного числа:

Для того чтобы отобрать корень, которому соответствует точка в третьей четверти, нужно взять . Искомым корнем будет число , или в алгебраической форме .

Вычислим теперь или, что то же, . Можно перейти к показательной функции по формуле (2.12) или использовать формулу сложения для гиперболической функции и формулу (2.13):

Получаем ответ: .

(2.14)

(2.15)

а) Находим модуль и аргумент числа . По формулам (2.14) и (2.15) получаем:

б) Для числа находим модуль и аргумент: . Поэтому имеем результат:

в) Находим модуль и аргумент числа . Получаем ответ:

Находим модуль и аргумент числа . По формуле (2.14) получаем . Поэтому:

Точка расположена в первой четверти, так как и . Поэтому

(2.16)

(2.17)

а) Из равенства по определению логарифма получаем . Далее, учитывая равенства , по формуле (2.14) находим . Уравнение имеет бесчисленное множество решений, которые геометрически изображаются точками, расположенными на расстоянии друг от друга на прямой , параллельной мнимой оси. Среди решений есть действительное число — точка на оси .

б) Все решения уравнения получаются, как значения выражения , то есть .

в) Из равенства получаем . Находим модуль и аргумент числа . Множество решений уравнения описывается равенством

В случаях “б” и “в” уравнения не имеют действительных решений, так как ни при каких значениях среди полученных множеств нет действительных чисел. Геометрически же соответствующие точки расположены на той же прямой , что и в случае “а”, на расстоянии друг от друга; начальными значениями (при ) для них являются и . Решения уравнений “б” и “в” изображены на рис. 2.10 (по осям масштабы разные).

Используя формулу (2.12), сведем задачу к решению показательного уравнения . Получим квадратное уравнение относительно функции , корнями которого являются числа . Далее нужно найти значения выражений . Для этого используем формулу (2.14):

Получили два множества решений исходного уравнения:

Геометрически — это точки, лежащие на прямых

параллельных мнимой оси; расстояние между любыми соседними точками на каждой прямой равны ; начальные значения (при ):

или и (рис. 2.11).

(2.18)

Множество решений уравнения определяется выражением , или с помощью формулы (2.18): . Выражение в скобках, в силу двузначности корня, записывается в виде и . Для каждого из этих чисел по сформулированному выше правилу находим логарифм:

а) для числа имеем , поэтому

б) для числа имеем , поэтому

Получаем два множества решений уравнения:

Геометрически — это множество точек, расположенных на расстоянии друг от друга на прямых, параллельных мнимой оси (рис. 2.12):

и ,

Действительных решений уравнение не имеет, так как ни при каком значении среди чисел нет действительных. Это соответствует известному свойству функции в действительной области .

Содержание

Алгебра — это наука о решении уравнений. Но в каких числах? Если принимать в рассмотрение только множество натуральных чисел $ mathbb N_{} $, то уравнение $ 5+x=3 $ решений не имеет. Дополнив множество $ mathbb N_{} $ нулем и отрицательными числами, мы добиваемся того, что во множестве $ mathbb Z_{} $
целых чисел любое уравнение $ a+x=b $ получает решение, причем единственное. Но вот уравнение $ 2cdot x=3 $ решений снова не имеет… Снова дополняем множество $ mathbb Z_{} $ дробными числами до множества $ mathbb Q_{} $ рациональных чисел. В этом множестве будет существовать единственное решение уравнения
$ acdot x=b $ если только $ a_{}ne 0 $. Но вот уравнение $ x^2-2=0 $ решений в $ mathbb Q_{} $ не
имеет. Пополнив множество рациональных чисел числами иррациональными, мы получаем решение — в вещественных числах $ mathbb R_{} $ — и этого уравнения, но, однако же, не любого квадратного! Так, не существует вещественного числа, удовлетворяющего уравнению $ x^2+1=0 $.

Задача. Расширить множество вещественных чисел так, чтобы в этом расширении уравнение $ x^2+1=0 $ имело решение.

Такое расширение должно «наследовать» все свойства вещественных чисел, т.е. в этом множестве операции должны подчиняться аксиомам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности:

1.

$ {mathfrak a}_1+{mathfrak a}_2={mathfrak a}_2+{mathfrak a}_1 $;

2.

$ ({mathfrak a}_1+{mathfrak a}_2)+{mathfrak a}_3={mathfrak a}_1+({mathfrak a}_2
+{mathfrak a}_3) $;

3.

$ {mathfrak a}_1cdot {mathfrak a}_2={mathfrak a}_2cdot {mathfrak a}_1 $;

4.

$ ({mathfrak a}_1cdot {mathfrak a}_2)cdot {mathfrak a}_3={mathfrak a}_1cdot ({mathfrak a}_2cdot
{mathfrak a}_3) $;

5.

$ ({mathfrak a}_1+{mathfrak a}_2)cdot {mathfrak a}_3={mathfrak a}_1cdot {mathfrak a}_3+
{mathfrak a}_2cdot {mathfrak a}_3 $;

6.

существует нейтральный элемент $ {mathfrak o} $ относительно сложения:
$ {mathfrak a}+{mathfrak o}={mathfrak a} $;

7.

существует нейтральный элемент $ {mathfrak e} $ относительно умножения:
$ {mathfrak a}cdot {mathfrak e}={mathfrak a} $.

Все указанные равенства должны выполняться для произвольных чисел $ {mathfrak a},
{mathfrak a}_1,{mathfrak a}_2,{mathfrak a}_3 $.

Комплéксным¹⁾ числом
называется упорядоченная пара вещественных чисел $ z=(a,b) $. Аксиоматически вводятся понятие равенства
комплексных чисел, а также правила действий над ними.

Два комплексных числа $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называются равными: $ z_1=z_2 $ тогда и только тогда, когда $ a=c $ и $ b=d $. В противном случае они называюся неравными.

?

Доказать, что

$$left(2,, sqrt{12} right)=left(frac{1}{2} sqrt{7+4sqrt{3}}+
frac{1}{2} sqrt{7-4sqrt{3}},, 2sqrt{3} right) .$$

Суммой комплексных чисел $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называется комплексное число
$$ z_3=z_1+z_2 = (a+c,b+d) . $$

П

Пример. $ (1,-1)+(2,1)=(3,0) $, $ (0,1)+(1,0)=qquad qquad $ , $ (3,2)+(-3,-2)=qquad $ .

Произведением комплексных чисел $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называется комплексное число
$$ z_4=z_1cdot z_2 = (ac-bd, ad+bc) . $$

§

Так же как и в случае вещественных чисел, для знака умножения используют $ times_{} $; часто его вовсе опускают: $ z_1cdot z_2 = z_1times z_2 = z_1z_2 $.

П

Пример. $ (2,3)cdot (1,2)=(-4,7) $, $ (1,-1)cdot(1,1)= qquad $ ,
$ (0,1)cdot(0,1)=qquad $ .

В отличие от суммы комплексных чисел, определение произведения кажется довольно
искусственным. Ответ на вопрос

Что послужило основанием для такого правила умножения?

будет дан

☟

НИЖЕ. А пока убедимся, что даже введенное таким «неестественным» способом, оно,
тем не менее, сохранит те свойства операций над числами вещественными, которые
упомянуты выше. Имеем, например:
$$z_1cdot z_2=(ac-bd, ad+bc), z_2cdot z_1=(ca-db,, da+cb) Rightarrow
z_1cdot z_2=z_2cdot z_1 . $$
Остальные свойства проверяются аналогично.

Теперь осталось определить операции, противоположные сложению и умножению, т.е. вычитание и деление.

Разностью комплексных чисел $ z_1 $ и $ z_2 $ называется число $ z_5 $ такое, что $ z_2+z_5=z_1 $. Этот факт записывают:
$ z_5 = z_1-z_2 $.

Вопрос о существовании и единственности такого числа решается конструктивно:
его построением. Пусть $ z_1=(a,b) $, $ z_2=(c,d) $, $ z_5=(x,y) $, тогда
$$(c,d)+(x,y)=(a,b) iff c+x=a, d+y=b iff x=a-c, y=b-d ,
$$
т.е. $ (a,b)-(c,d)=(a-c,, b-d) $. В частности,
$$(a,b)-(a,b)=(0,0) quad mbox{ или }quad (a,b)+(0,0)=(a,b)$$
для любого комплексного числа. Таким образом, комплексное
число $ (0,0) $ играет для сложения ту же роль, что для вещественных чисел играл нуль $ 0 $.

Частным комплексных чисел $ z_1 $ и $ z_2 $ называется число $ z_6 $ такое, что $ z_2cdot z_6=z_1 $. Этот факт записывают:
$$ z_6= z_1colon z_2 quad mbox{ или } z_6 = z_1big/ z_2 . $$

Вопрос о существовании и единственности такого числа решается конструктивно:
его построением. Пусть $ z_1=(a,b) $, $ z_2=(c,d) $, $ z_6=(x,y) $, тогда
$$(c,d)cdot (x,y)=(a,b) iff
left{begin{array}{c}
cx-dy=a, \
dx+cy=b
end{array} right.
iff
left{begin{array}{c}
(c^2+d^2)x=(ac+bd), \
(c^2+d^2)y=(bc-ad).
end{array} right.
$$
Таким образом, необходимым условием существования частного является
$ c^2+d^2ne 0 $ т.е. $ z_2ne (0,0) $. При выполнении этого условия, частное
будет единственно и определяется формулой:
$$(a,b) colon (c,d) =left( frac{ac+bd}{c^2+d^2} , ,
frac{bc-ad}{c^2+d^2} right) . $$

Запомнить и применять эту формулу довольно сложно, но, как мы вскоре увидим,
в этом и нет необходимости.

А пока что заметим, что введенные на множестве комплексных чисел операции
полностью подчиняются указанной в начале раздела
системе аксиом

1

–

7

чисел вещественных.
Нейтральный элемент относительно сложения совпадает с числом $ (0,0) $, а относительно умножения — с числом $ (1,0) $:
$$
(a,b)cdot (x,y)=(a,b) iff
left{
begin{array}{l}
a,x-b,y=a, \
b,x+a,y=b,
end{array}
right.
iff
left{
begin{array}{l}
left(a^2+b^2 right)x=left(a^2+b^2 right), \
left(a^2+b^2 right)y=0
end{array}
right. qquad Rightarrow y=0,, x=1 .
$$

Каждое комплексное число может быть представлено в виде
$$z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)(0,1) , $$
т.е. в виде комбинации комплексных чисел вида $ (a,0) $ — с нулевой второй
компонентой, и одного специального числа $ (0,1) $. За последним закрепляется
обозначение²⁾
$$ mathbf i = (0,1) . $$

Следует заметить, что множество комплексных чисел, имеющих нулевую вторую компоненту
$$ left{ (a,0) mid ain mathbb R right} $$
обладает
свойством замкнутости относительно операций сложения и умножения.
Замкнутость понимается в том смысле, что сумма и произведение чисел с нулевой второй компонентой
снова будет числом с нулевой второй компонентой; то же справедливо и
для разности и произведения:
$$(a,0)+(b,0)=(a+b,0), (a,0)-(b,0)=(a-b,0), $$
$$ (a,0)cdot(b,0)=(ab,0) , (a,0)colon (b,0)= left( frac{a}{b} ,0 right) ( npu bne 0) . $$
Как легко видеть, первые компоненты под действием таких операций ведут себя
в точности как обычные вещественные числа (с сохранением
системы аксиом

1

–

7

). Исходя из этого обстоятельства,
производится отождествление комплексного числа $ (a,0) $ с вещественным
числом $ a_{} $. Результатом этого является следующая нормальная форма
записи комплексного числа
$$ (a,b)=a+ b mathbf i = a+ mathbf i b npu quad {a,b } subset mathbb R .$$
Для числа $ mathbf i $ получаем одно определяющее равенство:
$$
mathbf i^2=(0,1)cdot (0,1)=(-1,0)=-1 .
$$
Из соображений упрощения записи, договорились число $ 0+mathbf i b $
записывать просто в виде $ mathbf i b $, а числа $ a+mathbf i 1 $ и $ a-mathbf i 1 $
записывать в виде $ a+mathbf i $ и $ a-mathbf i $.

Польза от нормальной формы записи состоит в том, что она упрощает действия с комплексными числами. В самом деле, перемножение двух комплексных чисел, представленных в нормальной форме,
можно начать производить по обычным правилам перемножения вещественных
чисел:
$$(a+mathbf i , b)(c+ mathbf i , d)=ac + mathbf i, ad+ mathbf i, bc+ mathbf i^2 bd , $$
а затем воспользоваться равенством $ mathbf i^2 = -1 $:
$$= (ac-bd)+mathbf i , (ad+bc) . $$
Мы получили тот же результат, что формально определен аксиомой.

Если $ n_{} $ — целое число, то число
$$
z^n =
left{
begin{array}{cl}
overbrace{ztimes dots times z}^{n} & npu n>0, \
1 & npu n=0, zne 0, \
1/z^{-n} & npu n<0, zne 0
end{array} right.
$$
называется $ mathbf n $-й степенью числа $ z_{} $.

Для вычисления $ z^n $ при $ n>1 $ и $ z=a+ mathbf i, b $ можно применить формулу бинома Ньютона:
$$
left(a+ mathbf i, b right)^n =
$$
$$
=a^n+C_n^1 a^{n-1}bmathbf i+C_n^2 a^{n-2}b^2mathbf i^2
+C_n^3 a^{n-3}b^3mathbf i^3+C_n^4 a^{n-4}b^4mathbf i^4+dots+b^n mathbf i^n
$$
(здесь $ C_n^k $ означает биномиальный коэффициент );
и для приведения этого числа к нормальной форме, нам потребуется вычислить
степени $ mathbf i $. Получаем последовательно:
$$mathbf i^2=-1, mathbf i^3=mathbf i^2mathbf i=-mathbf i, mathbf i^4=1, mathbf i^5=mathbf i, dots $$
и понятно, что последовательность оказывается циклической с периодом $ 4_{} $.
Окончательно:
$$left(a+ mathbf i, b right)^n
=left(a^n- C_n^2 a^{n-2}b^2 +C_n^4 a^{n-4}b^4 – dots right)
+ mathbf i left(C_n^1 a^{n-1}b-C_n^3 a^{n-3}b^3+ dots right) .
$$

П

Пример. Найти нормальную форму числа $ (1+mathbf i )^3 $.

Решение. Разложение по формуле бинома дает
$ (1+mathbf i)^3= (1-3) +mathbf i (3-1) =-2+2mathbf i $.

♦

П

Пример. Найти нормальную форму числа

$$ frac{(3+2mathbf i )^2(1-3mathbf i )}{(3+mathbf i )^2(1+2mathbf i )}+frac{1+mathbf i }{1-mathbf i } .
$$

Решение.
$$(3+2mathbf i)^2=5+12 mathbf i ,
(5+12 mathbf i)(1-3mathbf i)=5-15mathbf i+12mathbf i-36mathbf i^2=41-3mathbf i ,$$
$$(3+mathbf i)^2=8+6mathbf i ,
(8+6mathbf i)(1+2mathbf i)=8+16mathbf i +6mathbf i +12mathbf i^2=-4+22 mathbf i .$$

Для вычисления частного $ (41-3mathbf i)/(-4+22mathbf i) $
воспользуемся следующим приемом: домножим и числитель и знаменатель дроби
на число $ (-4-22 mathbf i) $. Получим
$$
frac{(41-3mathbf i)(-4-22 mathbf i)}{(-4+22 mathbf i)(-4-22 mathbf i)}=
frac{-164-902 mathbf i +12 mathbf i +66 mathbf i^2}{16+88mathbf i – 88 mathbf i – 484 mathbf i^2}=
frac{-230-890 mathbf i}{500}
=-frac{23}{50}
-frac{89}{50} mathbf i .
$$
Аналогично:
$$
frac{1+mathbf i}{1-mathbf i}=frac{(1+mathbf i)^2}{(1-mathbf i)(1+mathbf i)}=frac{2mathbf i}{2}=mathbf i .
$$

Ответ. $ -frac{23}{50} -frac{39}{50} mathbf i $.

Прием, использованный нами при решении последнего примера, можно сделать универсальным.

Число $ a-mathbf i b $ называется числом, комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) числу $ z=a+mathbf i b $.
Оно обозначается $ overline{z} $. Сама операция нахождения $ overline{z} $ называется комплексным сопряжением.

П

Пример. $ overline{-2-2mathbf i}=-2+2mathbf i, overline{3mathbf i}=-3mathbf i, overline{4}=4 $.

?

Доказать, что

а) $ overline{overline{z}}=z $;

б) $ overline{z_1+z_2}=overline{z_1}+overline{z_2} $;

в) $ overline{z_1cdot z_2}=overline{z_1} cdot overline{z_2} $.

Легко установить, что сумма и произведение двух комплексно-сопряженных
чисел будет числом вещественным:
$$ {.}_{} mbox{ при } z= a+ mathbf i b mbox{ имеем: } z+overline{z}=2a, z cdot overline{z}=a^2+b^2 . $$
На последнем свойстве и основан прием вычисления частного двух чисел $ z_1/z_2 $.
Именно, эта дробь домножается на число, сопряженное к знаменателю:
$$
frac{z_1}{z_2}=frac{z_1 overline{z_2}}{z_2 overline{z_2}} ;
$$
при перемножении в знаменателе образуется вещественное число:
$$
=frac{(a+mathbf i b)(c-mathbf i d)}{c^2+d^2} ,
$$
и, таким образом, операцию деления сводим к операции умножения:
$$
=frac{(ac+bd)+ mathbf i (bc-ad)}{c^2+d^2}=frac{ac+bd}{c^2+d^2} +
mathbf i frac{bc-ad}{c^2+d^2} .
$$

Для комплексного числа, представленного в нормальной форме $ z=a+mathbf i b $, число $ a $ называется вещественной частью и
обозначается $ mathfrak{Re}(z) $, число $ b_{} $ называется мнимой частью и
обозначается $ mathfrak{Im} (z) $. Таким образом, $ z=mathfrak{Re}(z) +mathbf i mathfrak{Im}(z) $.
Число $ mathbf i $ называется мнимой единицей. Число $ zne 0 $, имеющее ненулевую мнимую часть:
$ mathfrak{Im}(z) ne 0 $, называется мнимым числом, а число $ z $, имеющее нулевую вещественную часть: $ mathfrak{Re}(z)=0 $, называется чисто мнимым.

В некоторых учебниках (см., к примеру, [5]) мнимая часть числа $ a+mathbf i b $ определяется как число $ mathbf i b $; но всё же чаще я встречал это определение именно в приводимом здесь (и в дальнейшем используемом) варианте.

Аксиому равенства комплексных чисел можно записать теперь в виде:
$$z_1=z_2 quad iff quad mathfrak{Re}(z_1)=mathfrak{Re} (z_2), mathfrak{Im} (z_1)=mathfrak{Im} (z_2) .$$

?

Найти вещественное число $ x_{} $, удовлетворяющее уравнению

$$ (1+ mathbf i)x^3+(1+2, mathbf i)x^2- (1+4,mathbf i)x – 1+ mathbf i = 0 . $$

?

Верно ли равенство $ mathfrak{Re}(z_1z_2)= mathfrak{Re}(z_1) mathfrak{Re}(z_2) $?

Множество всех комплексных чисел с определенными выше операциями обозначается $ mathbb C_{} $ . Отождествление комплексного числа
$ z_{} $, у которого
$ mathfrak{Im} (z)=0 $, с вещественным числом $ mathfrak{Re}(z) $ позволяет говорить, что множество
$ mathbb C_{} $ включает в себя множество вещественных чисел $ mathbb R_{} $: $ mathbb R_{} subset mathbb C_{} $.

Комплексные числа «наследуют» все привычные нам свойства чисел вещественных, кроме одного: их нельзя сравнивать в смысле отношений $ >_{} $ или $ < $:
неравенство $ 1+7mathbf i>3-2mathbf i $ так же бессмысленно, как и $ 1+7mathbf i<3-2mathbf i $.

Определение комплексного числа как упорядоченной пары вещественных чисел
напоминает определение вектора на плоскости. Если на плоскости $ (x,y) $
задана декартова прямоугольная система координат, то задание точки $ {mathbf A} $
ее координатами $ x=a,y=b $ однозначно определяет вектор, имеющий начало в начале координат $ {mathbf O} $ ($ x=0,y=0 $), а конец — в точке $ {mathbf A} $. Такое соответствие

$$
vec{mathbf OA} longleftrightarrow (a,b) longleftrightarrow
z=a+mathbf i , b $$
позволяет дать интерпретацию комплексного числа как вектора на плоскости.
Сама эта плоскость называется комплексной плоскостью, ось абсцисс на ней — вещественной осью (на ней располагаются вещественные числа), ось ординат — мнимой осью
(на ней располагаются чисто мнимые числа).

?

Изобразить на комплексной плоскости а) число $ (-z) $; б) число $ overline{z} $.

Определения равенства и суммы (разности) векторов и комплексных чисел

оказываются идентичными: сумма комплексных чисел определяет вектор на
плоскости, равный сумме векторов, соответствующих слагаемым (по какому бы
способу — параллелограмма или треугольника — она ни вычислялась).

Подмеченная аналогия между алгебраическим объектом и геометрическим
прекращается как только мы попытаемся установить соответствие между
операциями умножения. В самом деле, согласно
введенному в предыдущем пункте определению, произведение комплексных чисел есть снова
комплексное число, т.е. — в нашей геометрической интерпретации
— вектор. Вспомним, что скалярное произведение векторов определяется
как число вещественное, т.е. является скаляром³⁾.

Однако, несмотря на то, что не всегда удается установить параллель между
свойствами двух объектов, хотя бы некоторые результаты, а также приемы
исследования, могут допускать распространение. Один из таких приемов
лежит на виду. Вспомним, что вектор на плоскости может быть задан не
только в декартовых координатах, но и в полярных, т.е. своей длиной
и углом, образованным с полярной осью.

Для числа $ z=a+mathbf i , b $ его модулем (или абсолютной величиной) называется неотрицательное вещественное число обозначаемое $ |z| $, определяемое как
$$|z|=sqrt{a^2+b^2}= sqrt{z, overline{z}} ; $$
при этом корень квадратный в правой части понимается как корень арифметический, т.е. как единственное неотрицательное вещественное число, квадрат которого равен $ a^2+b^2 $.

Геометрическая интерпретация модуля комплексного числа очевидна: это длина
вектора, этим числом порождаемого. В случае когда $ mathfrak{Im} (z) =0 $ введенное определение модуля соответствует определению модуля вещественного числа: $ |z|=|a| $.

Аргументом комплексного числа $ z=a+mathbf i , bne 0 $

называется величина угла⁴⁾,
образованного на комплексной плоскости вектором $ vec{mathbf OA} $
с вещественной осью. При этом, для однозначности определения, договоримся,
что угол будет отсчитываться от вещественной оси в положительном направлении,
т.е. против часовой стрелки, и что он будет находиться в интервале $ [0,2, pi[ $
если вычисляется в радианах. Аргумент комплексного числа $ 0_{} $ не определяется.
Будем обозначать аргумент числа $ z_{} $ через $ operatorname{arg}, (z) $.
Для определения $ operatorname{arg}, (z) $ мы имеем две формулы:
$$
cos left( operatorname{arg}, (z) right) = frac{a}{sqrt{a^2+b^2}} ,
sin left( operatorname{arg}, (z) right) = frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} ,
$$
которые позволяют однозначно восстановить⁵⁾
угол в интервале $ [0, 2, pi[ $.

Итак, ненулевое комплексное число $ zne 0 $, наряду со своей нормальной формой
$ z=a+mathbf i , b $, может быть представлено еще и в форме
$$
z= rho left(cos varphi + mathbf i sin varphi right) quad npu
rhoge 0, 0 le varphi < 2, pi .
$$
Последняя называется тригонометрической формой комплексного числа. Формулы, связывающие две формы:
$$ rho=|z|=sqrt{a^2+b^2}, cos varphi = a / rho, sin varphi = b / rho , . $$

П

Пример. Найти тригонометрическую форму комплексных чисел

а) $ -4 $ ; б) $ mathbf i $ ; в) $ -6,mathbf i $ ; г) $ -1+mathbf i $;
д) $ frac{1}{2}-mathbf i frac{sqrt{3}}{2} $;
е) $ -2+mathbf i $ .

Решение.
$$
begin{array}{c|c|c|c|c}
z & |z| & cos &operatorname{sign} (sin ) & operatorname{arg}(z) \
hline
-4=-4+0mathbf i & 4 & -1 & & pi \
mathbf i=0+1mathbf i & sqrt{0+1}=1 & 0 & >0 & pi/2 \
-6,mathbf i=0-6,mathbf i & sqrt{0+36}=6 &
0 &<0 & 3pi/2\
-1+mathbf i=-1+1mathbf i & sqrt{1+1}=sqrt{2}&
-frac{scriptstyle 1}{scriptstyle{sqrt{2}}}=-frac{scriptstyle{sqrt{2}}}{scriptstyle 2} &
>0 & 3pi/4 \
frac{1}{2}-mathbf i frac{scriptstyle{sqrt{3}}}{scriptstyle 2} &
sqrt{frac{1}{4}+frac{3}{4}}=1 & frac{1}{2} & <0 & 5pi/3 \
-2+mathbf i & sqrt{4+1}=sqrt{5} & scriptstyle{-2}/{scriptstyle sqrt{5}}&
>0 & arccos left(-scriptstyle{2}/scriptstyle{sqrt{5}} right) approx \
& & & & approx 2.67794
end{array}
$$

Ответ. а) $ 4left(cos pi + mathbf i , sin pi right) $;
б) $ cos pi/2 + mathbf i , sin pi/2 $;
в) $ 6left(cos 3pi/2 + mathbf i , sin 3pi/2 right) $;
г) $ sqrt{2} left(cos 3pi/4 + mathbf i , sin 3pi/4 right) $;

д) $ cos 5pi/3 + mathbf i , sin 5pi/3 $;

е)
$ sqrt{5} left{cos left( arccos left(
-scriptstyle{2}/scriptstyle{sqrt{5}} right) right) +mathbf i
sin left( arccos left(-scriptstyle{2}/scriptstyle{sqrt{5}} right) right) right}
approx 2.23606 left( cos 2.67794 + mathbf i sin 2.67794 right) $.

?

Пусть $ z=a+mathbf i , b $.

Выразить а) $ operatorname{arg} (-z) $ ; б) $ operatorname{arg} (overline{z}) $
в) $ operatorname{arg} (1/z) $; г) $ operatorname{arg} (b+mathbf i, a) $ через
$ operatorname{arg} (z) $.

В дальнейшем я иногда буду пренебрегать требованием, чтобы в тригонометрической форме аргумент
соответствовал интервалу $ [0, 2, pi[ $, т.е. буду допускать
неоднозначность в определении $ operatorname{arg} (z) $.

С учетом этого допущения, сформулируем следующий критерий равенства чисел $ z_{1} $ и $ z_{2} $, представленных в тригонометрической форме.

Т

Теорема. Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а их аргументы различаются на целое кратное числа $ 2, pi $ или, если использовать терминологию из теории чисел, сравнимы по модулю $ 2, pi $:

$$
rho_1 left(cos varphi_1 + mathbf i , sin varphi_1 right)=
rho_2 left(cos varphi_2 + mathbf i , sin varphi_2 right) iff
$$
$$
iff rho_1=rho_2 , varphi_1 equiv varphi_2 pmod{2, pi} .
$$

Доказательство следует из аксиомы равенства комплексных чисел.

♦

В каждом разделе математики имеется исторически сложившаяся система названий
и обозначений, при этом иногда одни и те же слова или символы в разных разделах
обозначают совершенно не связанные по смыслу объекты. В частности, это
относится к слову «модуль»: если в разделе МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА оно означает натуральное число $ M_{} $, по отношению к которому сравниваются два других целых числа (одинаковы ли у них остатки при делении на $ M_{} $), то в теории комплексных чисел оно закреплено за другим понятием. К сожалению, в настоящем разделе приходится использовать оба этих определения; хорошо хоть обозначения у них разные…

В противоположность предыдущему замечанию — удобное обозначение почему бы не тиражировать? В разделе МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА сравнимость понималась по отношению к натуральному числу и формально вводилось через операцию деления на модуль; мы же использовали в только что приведенной теореме обобщение этого понятия: $ varphi_1 equiv varphi_2 pmod{2, pi} $, основанное на свойстве разности двух чисел $ varphi_1 – varphi_2 $ быть целым кратным (иррационального!) числа $ 2, pi $. В дальнейшем мы заимствуем и другое полезное обозначение из теории чисел: $ varphi_1 = varphi pmod{2, pi} $ означает, что угол $ varphi_1 $ — это «загнанный в интервал» $ [0, 2, pi[ $ угол $ varphi $, т.е. $ varphi_1 $ отличается от $ varphi_{} $ на целое кратное числа $ 2, pi $ и, при этом, $ varphi_1 in [0, 2, pi[ $.

Тригонометрическая форма комплексных чисел позволяет дать геометрическую интерпретацию
правилам их умножения и деления.

Т

Теорема. Имеет место равенство:

$$rho_1 left(cos varphi_1 + mathbf i , sin varphi_1 right) cdot
rho_2 left(cos varphi_2 + mathbf i , sin varphi_2 right)=
$$
$$
= rho_1 rho_2 left(cos (varphi_1+varphi_2) + mathbf i ,
sin (varphi_1+varphi_2) right) ;
$$
иными словами: при перемножении комплексных чисел перемножаются их модули и
складываются аргументы (по модулю $ 2, pi $):
$$
left| z_1cdot z_2 right| = left| z_1 right| cdot left| z_2 right| ,
operatorname{arg} (z_1 cdot z_2)= operatorname{arg} (z_1) + operatorname{arg} (z_2) pmod{2, pi} .
$$

Доказательство.
$$ z_1z_2=rho_1 rho_2big(left[cos varphi_1cos varphi_2 –
sin varphi_1sin varphi_2 right] + mathbf i ,
left[cos varphi_1sin varphi_2 +
sin varphi_1cos varphi_2 right] big) =
$$
$$
=rho_1 rho_2left(cos (varphi_1+varphi_2) + mathbf i ,
sin (varphi_1+varphi_2) right) .
$$

♦

=>

Справедлива формула

$$
frac{z_1}{z_2}=frac{rho_1}{rho_2 }left(cos (varphi_1-varphi_2) + mathbf i ,
sin (varphi_1-varphi_2) right) quad npu z_2 ne 0
.
$$

=>

Индукцией по числу сомножителей показывается справедливость общей формулы:

$$
prod_{j=1}^n z_j= prod_{j=1}^n rho_j
left(cos sum_{j=1}^n varphi_j + mathbf i ,
sin sum_{j=1}^n varphi_j right) .
$$

В частном случае, когда все сомножители одинаковы, приходим к
одной замечательной формуле —

Т

Теорема. Для любого целого $ n $ справедлива формула Муавра:

$$
left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^n = cos nvarphi + mathbf i , sin nvarphi
.
$$

Доказательство для положительных $ n $ следует из результата предыдущего пункта. При $ n=0 $ формула
фактически является формальным определением нулевой степени комплексного числа.
Для отрицательного показателя $ n=-m, min mathbb N $ справедливость формулы доказывается
сведением к уже рассмотренному случаю положительного показателя:
$$
left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^{n}=
left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^{-m}=
$$
$$
=frac{1}{left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^{m}}
=
frac{1}{cos mvarphi + mathbf i , sin mvarphi}= frac{cos mvarphi – mathbf i , sin mvarphi }{cos^2 mvarphi + sin^2 mvarphi }
=
$$
$$
=cos mvarphi – mathbf i , sin mvarphi=
cos (- mvarphi) + mathbf i , sin (- mvarphi)=cos nvarphi + mathbf i , sin nvarphi .
$$

♦

=>

Справедлива формула возведения в степень комплексного числа, представленного в тригонометрической форме:

$$
left[ rho left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right) right]^n
= rho^n left( cos nvarphi + mathbf i , sin n varphi right)
npu forall rho ne 0 u nin mathbb Z
.
$$

П

Пример. Вычислить

$$
left[frac{1}{2 sqrt{2}}left(sqrt{3} – mathbf i , sqrt{5} right) right]^{117}
.
$$

Решение. С одной стороны, можно воспользоваться формулой бинома Ньютона —
мы получим точный ответ, хотя и дорогой ценой… Если же нас интересует
приближенное значение, то его можно получить по формуле Муавра, предварительно представив число
в тригонометрической форме:
$$
left| z right| = 1,
cos (operatorname{arg} (z)) = frac{1}{2}sqrt{frac{3}{2}} approx 0.61237,
sin (operatorname{arg} (z)) <0 qquad Rightarrow
$$
$$
Rightarrow qquad operatorname{arg} (z) = 2pi – arccos left( frac{1}{2}sqrt{frac{3}{2}} right) approx
5.37144 .
$$
Применяем формулу Муавра:
$$z^{117}approx cos left( 117 times operatorname{arg} (z) right) +
mathbf i , sin left( 117 times operatorname{arg} (z) right)
$$
и отбрасываем целое кратное $ 2 pi_{ } $:
$$ 117 times operatorname{arg} (z) approx 0.14077
+ 200 pi quad Rightarrow quad
z^{117}approx cos 0.14077 + mathbf i , sin 0.14077 .$$

Ответ.
$$frac{sqrt{2}}{2^{60}} left[466022392183308159, sqrt{3}+
mathbf i , 51153470739918917, sqrt{5} right] approx
0.99010 + mathbf i , 0.14030 .
$$

?

Вычислить

а) $ left(sqrt{3}+ mathbf i , right)^n $ ; б)
$ left[ sin varphi_1 – sin varphi_2 + mathbf i , left( cos varphi_1 –
cos varphi_2 right) right]^n $.

И

Биографические заметки о Муавре

☞

ЗДЕСЬ

Т

Теорема. Справедливо неравенство треугольника:
$$
left| z_1 + z_2 right| le left| z_1right| + left| z_2right| .
$$

Доказательство. Имеем:
$$left| z_1 + z_2 right|^2=left( z_1 + z_2 right)overline{left( z_1 + z_2 right)}=
left( z_1 + z_2 right)left( overline{z_1} + overline{z_2} right)=
z_1overline{z_1} + z_1overline{z_2}+ overline{z_1}z_2+ z_2 overline{z_2}=
$$
$$
=rho_1^2 + rho_2^2 +rho_1 rho_2 left( cos varphi_1 + mathbf i sin varphi_1
right)left( cos varphi_2 – mathbf i sin varphi_2
right) +
$$
$$
+ rho_1 rho_2 left( cos varphi_1 – mathbf i sin varphi_1
right)left( cos varphi_2 + mathbf i sin varphi_2 right)=
$$
$$
=rho_1^2 + rho_2^2 +2,rho_1 rho_2 left(cos varphi_1 cos varphi_2+
sin varphi_1 sin varphi_2 right)=
$$
$$
=rho_1^2 + rho_2^2 +2,rho_1 rho_2 cos left( varphi_1 – varphi_2 right) le
rho_1^2 + rho_2^2 +2,rho_1 rho_2 = left( rho_1 +rho_2 right)^2
$$
поскольку $ left| cos left( varphi_1 – varphi_2 right) right|le 1 $.
Извлекая корень (арифметический), получаем доказываемое неравенство.

♦

?

При каких условиях на $ z_{1} $ и $ z_{2} $ неравенство треугольника
превращается в равенство?

=>

$ displaystyle left| sum_{j=1}^n z_j right| le sum_{j=1}^n |z_j | $.

=>

$ displaystyle left| z_1 + z_2 right| ge big| | z_1 | – | z_2 | big| ,
left| z_1 – z_2 right| ge big| | z_1 | – | z_2 | big| $.

?

Доказать «равенство параллелограмма»:

$$ |z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2|z_1|^2 + 2|z_2|^2 quad mbox{ при }
{z_1, z_2 } subset mathbb C . $$

Задача. Найти компактное выражение для
$$
B= sin varphi + sin 2, varphi + dots + sin n, varphi .
$$

Для пояснения такой постановки сошлемся на известные выпускнику школы формулы, выражающие
суммы арифметической и геометрической прогрессий:
$$
a+(a+d)+dots+(a+(n-1)d)=frac{(2a+(n-1)d)n}{2} ,
$$
$$
a+aq+dots+aq^{n-1}
=afrac{q^n-1}{q-1} quad npu qne 1 .
$$
О подобных формулах говорят, что соответствующие суммы «свернулись».

Поставленную задачу будем решать путем ее усложнения. Попробуем одновременно
с указанной суммой свернуть и сумму
$$
A= cos varphi + cos 2, varphi + dots + cos n, varphi .
$$
Для этого составим выражение
$$
A+ mathbf i B= left( cos varphi + mathbf i sin varphi right) +
left( cos 2, varphi + mathbf i sin 2,varphi right) + dots +
left( cos n, varphi + mathbf i sin n, varphi right)=
$$
на основании формулы Муавра:
$$
=left( cos varphi + mathbf i sin varphi right) +
left( cos varphi + mathbf i sin varphi right)^2 + dots +
left( cos varphi + mathbf i sin varphi right)^n .
$$
Введем новую переменную: $ z= cos varphi + mathbf i sin varphi $. Тогда
последняя сумма оказывается суммой геометрической прогрессии:
$$ A+ mathbf i B =z+z^2+dots +z^n =frac{z^{n+1} – z}{z-1} quad npu zne 1
. $$
Возвращаемся к исходной переменной $ varphi $:
$$
A+ mathbf i, B =frac{left(cos varphi + mathbf i, sin varphi right)^{n+1} –
left(cos varphi + mathbf i, sin varphi right)}
{cos varphi + mathbf i, sin varphi-1}
npu varphi ne 2, pi k , kin mathbb Z .
$$
(последнее условие можно записать в виде $ varphi notequiv 0 pmod{2, pi} $)
и снова применяем формулу Муавра, только теперь уже «в обратном направлении»:
$$
A+ mathbf i, B =
frac{left(cos (n+1), varphi + mathbf i, sin (n+1), varphi right) –
left(cos varphi + mathbf i, sin varphi right)}
{cos varphi + mathbf i, sin varphi-1}
$$
при $ varphi notequiv 0 pmod{2, pi} $.
Искомое выражение для $ B $ получится если мы вычислим мнимую часть дроби, стоящей в правой части.
Мы сейчас сделаем это, только предварительно слегка преобразуем числитель и знаменатель
с использованием известных тригонометрических формул:
$$
cos alpha – cos beta = 2 sin frac{alpha + beta }{2} ,
sin frac{beta – alpha}{2} quad , quad
sin alpha – sin beta = 2 cos frac{alpha + beta }{2} ,
sin frac{ alpha – beta}{2} .
$$
Итак, числитель правой части формулы равен
$$
left(cos (n+1), varphi – cos , varphi right) +
mathbf i , left(sin (n+1), varphi – sin , varphi right)=
$$
$$
=-2, sin frac{(n+2), varphi}{2} , sin frac{n, varphi}{2} +
2, mathbf i, cos frac{(n+2), varphi}{2} , sin frac{n, varphi}{2}=
$$
$$
=2, mathbf i, sin frac{n, varphi}{2}
left(cos frac{(n+2), varphi}{2} + mathbf i, sin frac{(n+2), varphi}{2} right)
;
$$
а знаменатель:
$$
(cos varphi -1) + mathbf i, sin varphi =-2, sin^2 frac{varphi}{2} +
2, mathbf i, sin frac{varphi}{2} , cos frac{varphi}{2}
=2, mathbf i, sin frac{varphi}{2}
left(cos frac{varphi}{2} + mathbf i, sin frac{varphi}{2} right) .
$$
Следовательно,
$$
A+ mathbf i, B =
frac{sin displaystyle frac{n, varphi}{2} }{sin displaystyle frac{varphi}{2} }
cdot
frac{displaystyle cos frac{(n+2), varphi}{2} + mathbf i, sin frac{(n+2), varphi}{2}}
{displaystyle cos frac{varphi}{2} + mathbf i, sin frac{varphi}{2}}=
$$
ко второй дроби применяем формулу деления чисел, представленных в тригонометрической форме:
$$
=
frac{sin displaystyle frac{n, varphi}{2} }{sin displaystyle frac{varphi}{2} }
left(cos frac{(n+1), varphi}{2} + mathbf i, sin frac{(n+1), varphi}{2} right)
,
$$
и вычислить мнимую часть этого выражения не составляет труда.
Окончательно имеем:
$$
sin varphi + sin 2, varphi + dots + sin n, varphi =
frac{sin displaystyle frac{n}{2} , varphi , sin displaystyle frac{n+1}{2} , varphi }
{sin displaystyle frac{1}{2} , varphi}
npu varphi notequiv 0 pmod{2, pi} .
$$
В качестве «бонуса» мы получили и аналогичную формулу для косинусов:
$$
cos varphi + cos 2, varphi + dots + cos n, varphi =
frac{sin displaystyle frac{2,n+1}{2} , varphi}{2 sin displaystyle frac{1}{2} ,
varphi} – frac{1}{2} .
$$

?

Свернуть сумму

$$cos varphi + cos 3, varphi + dots + cos (2n-1)varphi . $$

Ответ

☞

ЗДЕСЬ

§

Применение формулы суммы косинусов см. в разделе

☞

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Задача. Найти общую формулу, выражающую $ cos n varphi $ через
$ cos varphi $ и $ sin varphi $.

Из школьного курса алгебры известна такая формула для $ n_{}=2 $: $ cos 2 varphi =
cos^2 varphi – sin^2 varphi $.
Для выведения же общей формулы воспользуемся двумя формулами разложения
$ left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^n $: формулой бинома Ньютона
$$
left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^n =
$$
$$
=cos^{n} varphi+C_n^1 cos^{n-1} varphi sin varphi mathbf i+C_n^2 cos^{n-2} varphi sin^2 varphi mathbf i^2
+C_n^3 cos^{n-3} varphi sin^3 varphi mathbf i^3+
$$
$$
+C_n^4 cos^{n-4} varphi sin^4 varphi mathbf i^4+dots+sin^n varphi mathbf i^n
$$
и формулой Муавра. Получаем:
$$ cos nvarphi + mathbf i , sin nvarphi =left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^n= $$
$$
=left(cos^n varphi – C_n^2 cos^{n-2}varphi sin^2 varphi +
C_n^4 cos^{n-4}varphi sin^4 varphi – dots right) +
$$
$$
+ mathbf i , left(C_n^1 cos^{n-1}varphi sin varphi –
C_n^3 cos^{n-3}varphi sin^3 varphi- dots right) .
$$
На основании аксиомы равенства комплексных чисел:
$$
begin{array}{cl}
cos nvarphi = & cos^n varphi – displaystyle frac{n(n-1)}{2} cos^{n-2}varphi sin^2 varphi +
C_n^4 cos^{n-4}varphi sin^4 varphi – dots \
= & displaystyle sum_{j=0}^{lfloor n/2 rfloor} (-1)^j
C_n^{2, j} sin^{2, j} varphi cos^{n-2,j} varphi ; \
sin nvarphi = & sin varphi left(n cos^{n-1}varphi
-C_n^3 cos^{n-3}varphi sin^2 varphi +C_n^5 cos^{n-5}varphi sin^4 varphi-dots right) = \
= &displaystyle
sum_{j=0}^{lfloor (n-1)/2 rfloor} (-1)^j
C_n^{2, j+1} sin^{2, j+1} varphi cos^{n-2,j-1} varphi
.
end{array}
$$
Здесь $ C_n^k $ означает биномиальный коэффициент,
а $ lfloor quad rfloor $ — целую часть числа.
Таким образом, снова комплексные числа позволили нам вывести два совершенно
вещественных равенства.

П

Пример.

$$
begin{array}{ll}
cos , 4varphi &= cos^4 varphi – 6, cos^2 varphi sin^2 varphi + sin^4 varphi ,\
sin , 5varphi &= 5 , cos^4 varphi sin varphi – 10 , cos^2 varphi sin^3 varphi+ sin^5 varphi .
end{array}
$$

?

Найти выражения $ sin , n varphi $ через $ sin varphi $ и $ cos , n varphi $ через $ cos varphi $.

Решение

☞

ЗДЕСЬ.

?

Найти выражение $ operatorname{tg}, n varphi $ через $ operatorname{tg} , varphi $.

§

Решение обратной задачи: выражение $ cos^n varphi $ и $ sin^n varphi $ через косинусы и
синусы кратных углов, т.е. через $ cos varphi,sin varphi,cos 2varphi ,
sin 2varphi ,dots, cos nvarphi , sin nvarphi $

☞

ЗДЕСЬ.

Пусть $ n_{} $ означает натуральное число. Корнем $ n_{} $-й степени из комплексного числа $ z_{} $
называется такое комплексное число $ w_{} $, что $ w^n=z $. Очевидно, что корень первой степени из $ z_{} $ совпадает с самим числом $ z_{} $ и корень любой степени из $ 0_{} $ равен $ 0_{} $ (в дальнейшем эти случаи рассматривать не будем). Обозначение корня при $ nge 2 $ такое же как и в случае вещественных чисел:
$$ w = sqrt[n]{z}, mbox{ а при } n=2 mbox{ показатель обычно не указывают: } w=sqrt{z} . $$

Задача. Вычислить $ displaystyle sqrt[n]{z} $.

Пусть $ z_{} $ представлено в каноническом виде: $ z=a+mathbf i b $ при
$ { a,b }subset mathbb R $. Будем искать число $ w $ также в каноническом виде:
$ w=x+ mathbf i y $, где $ x_{} $ и $ y_{} $ неизвестные вещественные величины. По определению квадратного корня, должно быть выполнено:
$$w^2=z iff (x+ mathbf i y)^2 = a+mathbf i b
iff (x^2-y^2) + 2,mathbf i xy = a+mathbf i b iff
$$
$$
iff x^2-y^2 = a, 2, xy = b .
$$
(на основании аксиомы равенства комплексных чисел). Возведем оба получившихся уравнения в квадрат и сложим:
$$left(x^2+y^2 right)^2 = a^2+ b^2 iff x^2+y^2 = sqrt{a^2+ b^2}
mbox{(поскольку } {x,y }subset mathbb R mbox{ )} . $$
Вместе с первым уравнением получаем линейную систему
относительно $ x_{}^2 $ и $ y_{}^2 $. Решаем ее относительно $ x_{}^2 $:
$$x^2=frac{1}{2} left(a+sqrt{a^2+ b^2} right)
Rightarrow
x=pm frac{1}{sqrt{2}} sqrt{a+sqrt{a^2+ b^2}}
.
$$
Имеем: $ x=0 iff b=0, ale 0 $. В этом случае $ y=pm sqrt{-a} $.
Таким образом:
$$
sqrt{a}= pm mathbf i sqrt{-a} quad npu a<0 .
$$
Если $ b ne 0 $, то
$$
y=frac{b}{2,x}= pm
frac{b}{sqrt{2}, sqrt{a+sqrt{a^2+ b^2}}}=
pm frac{1}{sqrt{2}} sqrt{- a+sqrt{a^2+ b^2} } , operatorname{sign}, (b)
;
$$
здесь $ operatorname{sign} $ означает знак числа.
Таким образом:
$$
sqrt{z} =pm frac{1}{sqrt{2}} left(sqrt{a+sqrt{a^2+ b^2}}
+mathbf i sqrt{-a+sqrt{a^2+ b^2}} ,
, operatorname{sign} , (b) right) .
$$

?

Вычислить а) $ sqrt{2, mathbf i} $; б) $ sqrt{-3} $ ; в) $ sqrt{2-3, mathbf i} $.

Формулы для вычисления квадратного корня позволят теперь решить любое
квадратное уравнение
$$z^2+p, z+q=0, quad npu {p,q }subset mathbb C .$$
В самом деле, преобразуем левую часть, выделив полный квадрат:
$$
z^2+p, z+q=z^2+p, z+left(frac{p}{2}right)^2 +left(q-frac{p^2}{4} right)=
left( z + frac{p}{2} right)^2 – frac{mathcal D}{4}
$$
при
$$ mathcal D= p^2-4, q ,$$
т.е. известному нам по вещественному случаю дискриминанте квадратного трехчлена.
Итак, квадратное уравнение преобразовано к виду:
$$left( z + frac{p}{2} right)^2 = frac{mathcal D}{4} ,$$
их которого получаем привычную форму записи его корней
$$
z_{1,2}=frac{1}{2} left(-ppm sqrt{mathcal D} right) ,
$$
с той только оговоркой, что теперь под $ sqrt{mathcal D} $ понимается
два значения корня квадратного из комплексного числа.

П

Пример. Решить уравнение $ z^2-2, z+3=0 $.

Решение. Здесь $ mathcal D=-8 $ и $ sqrt{mathcal D}= pm mathbf i 2 sqrt{2} $.

Ответ. $ 1pm mathbf i sqrt{2} $.

П

Пример. Решить уравнение $ z^2-(3+2, mathbf i ), z +(5+5, mathbf i ) =0 $.

Решение. Здесь $ mathcal D=(3+2, mathbf i )^2-4, (5+5, mathbf i )=-15 – 8, mathbf i $. По
формуле извлечения корня: $ sqrt{mathcal D}=pm (1-4, mathbf i ) $.

Ответ. $ 2- mathbf i , 1+3, mathbf i $.

П

Пример. Решить уравнение $ (3- mathbf i ), z^2+(1+ mathbf i ), z + 6, mathbf i =0 $.

Решение. Можно сначала поделить все уравнение на коэффициент при $ z^2 $,
но можно действовать и напрямую, обобщив понятие дискриминанта:
$$ mathcal D=(1+ mathbf i )^2- 4, (3- mathbf i ), 6, mathbf i=-24-70, mathbf i ,
sqrt{mathcal D}=pm ( 5 – 7, mathbf i ) ,$$
а также формулу вычисления корней:
$$
z_{1,2}=frac{-(1+ mathbf i) pm ( 5 – 7, mathbf i )}{2 (3- mathbf i)}
.
$$

Ответ. $ 1-mathbf i , -frac{6}{5} + frac{3}{5} mathbf i $.

Алгоритм предыдущего пункта может быть очевидным образом обобщен для нахождения корней степеней $ 2^m $ из комплексных чисел. Понятно также, что количество корней возрастает вдвое при переходе от $ 2^m $ к $ 2^{m+1} $. Вопрос о том будут ли все эти корни различными пока открыт.

Попробуем найти приемом, задействованным в предыдущем пункте, величину $ sqrt[3]{z} $.
$$ w^3=z iff (x+ mathbf i y)^3 = a+mathbf i b
iff
left(x^3-3, x y^2 right) + mathbf i , (3, x^2 y-y^3) = a+mathbf i b
$$
$$
iff
left{ begin{array}{c}
x^3-3, x y^2 = a, \
3, x^2 y-y^3 = b .
end{array} right.
$$
Возведем оба получившихся уравнения в квадрат и сложим:
$$x^6+3, x^4y^2+3, x^2y^4+y^6=a^2+b^2 iff (x^2+y^2)^3=a^2+b^2
$$
$$
iff x^2+y^2 = sqrt[3]{a^2+b^2} . $$
Выразим отсюда $ y^2 $ и подставим в первое уравнение:
$$
4, x^3 – 3, x sqrt[3]{a^2+b^2} -a =0 .
$$
Получилось кубическое уравнение относительно неизвестной вещественной величины $ x_{} $. Существует общий метод решения подобного уравнения (см.

☞

ЗДЕСЬ); однако его применение к настоящему случаю отягощается серьезной проблемой.

Попробуем решить получившееся кубическое уравнение хотя бы при частных значениях $ a_{} $ и $ b_{} $. Пусть, например,
$ b=0 $, тогда
$$4, x^3 – 3, x sqrt[3]{a^2} -a=(x- sqrt[3]{a})
left(4, x^2 +4,sqrt[3]{a} x +left( sqrt[3]{a} right)^2 right)=
(x- sqrt[3]{a})left( 2, x + sqrt[3]{a} right)^2 ,$$
т.е. решениями уравнения являются
$$x_1=sqrt[3]{a}, x_{2,3}=- frac{1}{2} sqrt[3]{a} . $$
Подставляя в первое из уравнений, получим соответствующие значения для $ y_{} $:
$$y_1=0, y_{2,3}=pm frac{sqrt{3}}2 sqrt[3]{a} . $$
Таким образом, кубический корень из вещественного числа $ z=a $
имеет три значения:
$$
left{ sqrt[3]{a}, sqrt[3]{a} left(-frac{1}{2} pm mathbf i
frac{sqrt{3}}2 right) right} .
$$

Рассмотрим теперь случай $ a_{}=0 $. Уравнение принимает вид
$$4, x^3 – 3, x sqrt[3]{b^2}=0 ,$$
из которого сразу же находятся значения $ x_{} $:
$$x_1=0, x_{2,3}= pm frac{sqrt{3}}{2} sqrt[3]{b} . $$
Соответствующие значения для $ y $:
$$
y_1=- sqrt[3]{b}, y_{2,3}= frac{1}{2} sqrt[3]{b} . $$
Таким образом, кубический корень из чисто мнимого числа $ z=mathbf i b $
имеет три значения:
$$
left{ -mathbf i sqrt[3]{b}, sqrt[3]{b} left( pm
frac{sqrt{3}}2 + frac{1}{2}, mathbf i right) right} .
$$

Теперь приведем другой способ вычисления $ w=sqrt[n]{z} $, основанный на
тригонометрической форме записи чисел $ w_{} $ и $ z_{} $. Пусть
$$z=a+mathbf i b= rho left( cos varphi + mathbf i sin varphi right) ,
w=x+mathbf i y = r left( cos vartheta + mathbf i sin vartheta right) .$$
Применяя формулу Муавра, получаем
$$w^n=r^n left( cos nvartheta + mathbf i sin nvartheta right)=
rho left( cos varphi + mathbf i sin varphi right)$$
и на основании правила равенства комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, получаем:
$$r^n = rho , nvartheta equiv varphi pmod{2 pi}$$
Первое из этих равенств мы получали в явном виде для квадратных и
кубических корней, оно равносильно
$$r= sqrt[n]{rho} , $$
т.е. модуль корня $ n_{} $-й степени из комплексного числа равен (арифметическому)
корню $ n_{} $-й степени из модуля этого числа.

Т

Теорема. Существует $ n_{} $ различных значений корня
$ n_{} $-й степени из комплексного числа $ z=rho (cos varphi + mathbf i sin varphi ) $.
Все они даются формулой

$$
w_k= sqrt[n]{rho} left(cos frac{varphi+2 pi k}{n} + mathbf i
sin frac{varphi+2 pi k}{n}right) npu kin {0,1,dots, n-1} .
$$

Доказательство того, что при любом целом числе $ k_{} $ числа $ w_k $ являются корнями $ n $-й
степени из $ z_{} $ уже проведено. Далее, из периодичности $ sin $ и $ cos $ следует, что
$$w_{0}=w_{nk}, w_{1}=w_{nk+1},dots , w_{n-1}=w_{nk+n-1} quad npu kin mathbb Z
,
$$
т.е. все эти корни содержатся в объявленном множестве. Осталось показать,
что все числа $ w_0,w_1,dots, w_{n-1} $ различны. Но это так и есть, поскольку
их аргументы не подчиняются правилу равенства комплексных чисел.

♦

П

Пример. Вычислить $ sqrt[3]{mathbf i} $ .

Решение. $ mathbf i= cos {pi}/2 + mathbf i sin {pi}/2 $
$$sqrt[3]{mathbf i} = sqrt[3]{cos frac{pi}2 + mathbf i sin frac{pi}{2}}=
cos frac{{pi}/2 + 2pi k}{3} + mathbf i
sin frac{{pi}/2 + 2pi k}{3} npu k in {0,1,2}.$$
Видим, что значения
$$w_0=cos frac{pi}6 + mathbf i sin frac{pi}6=frac{sqrt{3}}2 + frac{1}{2} {mathbf i}
, quad
w_1= cos frac{5pi}6 + mathbf i sin frac{5pi}6=-frac{sqrt{3}}2 + frac{1}{2} {mathbf i}
, quad
w_2=cos frac{3pi}2 + mathbf i sin frac{3pi}2=-mathbf i $$
совпадают с выведенной выше формулой для $ sqrt[3]{mathbf i b} $.

♦

П

Пример. Вычислить $ sqrt[7]{1+9, mathbf i} $.

Решение.
$$ 1+9, mathbf i =sqrt{82}left(cos varphi + mathbf i sin varphi right) quad
npu varphi=arccos frac{1}{sqrt{82}} approx 1.460139106 .
$$
Значения корней получаются по формуле
$$
{w_k}_{k=0}^6=left{ sqrt[14]{82}
left(cos frac{varphi+2 pi k}{7} + mathbf i
sin frac{varphi+2 pi k}{7}right) right}_{k=0}^6
approx
$$
$$
approx big{1.34024 + 0.28368, mathbf i,
0.61383 + 1.22472 , mathbf i, -0.57480 + 1.24351, mathbf i,
-1.33060 + 0.32591, mathbf i, -1.08442 – 0.83710 , mathbf i,
$$
$$
-0.02165 – 1.36976 , mathbf i,
1.05742 – 0.87096 , mathbf i big} .
$$
Изобразим корни на комплексной плоскости:
видим, что они располагаются на окружности с центром в $ 0_{} $ и радиусом $ sqrt[14]{82} approx 1.36993 $; и делят эту окружность на $ 7_{} $ дуг одинаковой длины.

Аналитика подтвержает геометрию: число $ w_k $ может быть получено домножением $ w_0 $ на число $ cos 2 pi k/7 + mathbf i
sin 2 pi k/7 $, что соответствует повороту вектора $ vec{Ow_0} $ на угол кратный $ 2pi/7 $.

♦

Обобщим соображения из последнего примера: корень $ n_{} $-й степени из комплексного числа $ z_{} $ можно представить в виде произведения
$$
sqrt[n]{rho} left(cos frac{varphi+2 pi k}{n} + mathbf i
sin frac{varphi+2 pi k}{n}right) =
$$
$$
=sqrt[n]{rho} left(
cos frac{varphi}{n} + mathbf i
sin frac{varphi}{n} right)
left(
cos frac{2 pi k}{n} + mathbf i
sin frac{2 pi k}{n} right)=
w_0
left(
cos frac{2 pi k}{n} + mathbf i
sin frac{2 pi k}{n} right)
$$
двух сомножителей, первый из которых не зависит от $ k_{} $. Числа
$$
varepsilon_k = cos frac{2 pi k}{n} + mathbf i
sin frac{2 pi k}{n}
$$
при $ kin {0,1,dots,n-1} $ имеют очевидный смысл — они являются
корнями $ n $-й степени из единицы:
$$
varepsilon_k^n=1 quad npu quad kin {0,1,dots,n-1 } .
$$
Также очевидно, что $ varepsilon_0=1 $.

Т

Теорема. Множество всех корней $ n_{} $-й степени из комплексного
числа $ z_{} $ можно представить в виде произведения какого-то фиксированного корня
на множество всех корней $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $:

$${w_k }_{k=0}^{n-1} = {w_j varepsilon_k }_{k=0}^{n-1} .$$

Доказательство. Для $ j=0 $ справедливость утверждения уже показана. Для $ j>0 $
она очевидно следует из равенства $ w_j varepsilon_k=w_0 varepsilon_{k+j} $
и цикличности последовательности $ {varepsilon_{k}}_{k=0,1,2,dots} $.

♦

П

Пример. Множества корней $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $:

$$begin{array}{l|l}
n=1& 1 \
& \
n=2& 1,, -1 \
& \
n=3& 1,, -frac{1}{2} + mathbf i frac{sqrt{3}}{2},,
-frac{1}{2} – mathbf i frac{sqrt{3}}2 \
& \
n=4& 1,, mathbf i,, -1,, -mathbf i \
& \
n=5& 1,, frac{1}{4} left( scriptstyle{(sqrt{5}-1)} +displaystyle{mathbf i} scriptstyle{sqrt{2 (5+sqrt{5})}} right),,
frac{1}{4} left( -scriptstyle{(sqrt{5}+1)} +displaystyle{mathbf i} scriptstyle{sqrt{2 (5-sqrt{5})}} right),,
frac{1}{4} left( -scriptstyle{(sqrt{5}+1)} – displaystyle{mathbf i} scriptstyle{sqrt{2 (5-sqrt{5})}} right),,
frac{1}{4} left( scriptstyle{(sqrt{5}-1)} – displaystyle{mathbf i} scriptstyle{sqrt{2 (5+sqrt{5})}} right) \
& \
n=6& 1, frac{1}{2} + mathbf i frac{sqrt{3}}{2} , -frac{1}{2} + mathbf i frac{sqrt{3}}{2},
-1, – frac{1}{2} – mathbf i frac{sqrt{3}}{2}, frac{1}{2} – mathbf i frac{sqrt{3}}{2}
end{array}
$$
Как были получены эти выражения? — Мы ведь не выводили в предыдущем пункте алгебраического представления для, скажем $ sqrt[5]{z} $, но, тем не менее, какие-то значения в таблице привели. Ответ на этот вопрос заключается в том, что уравнение $ z^n-1=0 $, определяющее корни $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $, иногда удается решить в «хороших» выражениях (см.

☞

ВОЗВРАТНЫЙ ПОЛИНОМ ). Так, к примеру, уравнение $ z^9-1=0 $ можно переписать в виде:

$$ (z^9-1)equiv (z-1)(z^2+z+1)(z^6+z^3+1)=0 , $$
и выражения для, по крайней мере, трех его корней угадываются сразу:
$$ left{ 1,, -frac{1}{2} + mathbf i frac{sqrt{3}}{2},,
-frac{1}{2} – mathbf i frac{sqrt{3}}2 right} . $$
Разумеется, они совпадают с уже встречавшимися в таблице корнями кубическими из $ 1_{} $. Оставшееся уравнение $ z^6+z^3+1=0 $ можно свести к квадартному заменой переменной. Но дальше пройти не удается: алгебраические выражения для корней этого уравнения не получить.

♦

Уравнение $ z^n-1=0 $ называется уравнением деления круга — с очевидным геометрическим смыслом ⁷⁾.

Т

Теорема. Для любых $ {k,ell}subset {0,1,dots,n-1} $ справедливы
равенства

$$ varepsilon_{k}=varepsilon_{1}^k , overline{varepsilon_{k}}= frac{1}{varepsilon_{k}}=varepsilon_{n-k},
varepsilon_{k}varepsilon_{ell}= varepsilon_{k+ell pmod{n}}=
left{
begin{array}{lc}
varepsilon_{k+ell} & npu k+ell<n \
varepsilon_{k+ell-n} & npu k+ellge n
end{array}
right.
.
$$

?

Вычислить сумму всех корней $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $.

Решение

☞

ЗДЕСЬ

Пусть $ varepsilon_{} $ — корень $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $.
Говорят, что он является первообразным корнем n-й степени из 1 или что он принадлежит показателю n если $ varepsilon_{} $ не является корнем меньшей степени из $ 1_{} $:
$$ varepsilon^j ne 1 quad npu jin {1,dots,n-1},quad varepsilon^n = 1 . $$
Образно говоря: если мы построим таблицу подобную той, что построена в предыдущем примере, для всех корней степеней $ 2,3,dots, n $, то первообразным корнем $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $ будет тот, который нигде раньше в этой таблице не встречался.

П

Пример. В приведенном выше примере, корень $ displaystyle -frac{1}{2} + mathbf i frac{sqrt{3}}{2} $ не является первообразным корней $ 6_{} $-й степени из $ 1_{} $, но является
первообразным корнем $ 3_{} $-й степени из $ 1_{} $.

Т

Теорема. Корень

$$ varepsilon_k = cos frac{2 pi k}{n} + mathbf i
sin frac{2 pi k}{n}
$$
будет первообразным степени $ n_{} $ тогда и только тогда, когда $ operatorname{HOD} (k,n)=1 $ ( $ operatorname{HOD} $ означает наибольший общий делитель ).

?

Указать индексы $ kin{0,dots, 15} $, которые соответствуют первообразным корням $ displaystyle cos frac{2 pi k}{16} + mathbf i sin frac{2 pi k}{16} $ степени $ 16 $ из $ 1_{} $.

?

Будет ли произведение двух первообразных корней степени $ n_{} $ первообразным корнем степени $ n_{} $ ?

=>

При любом $ nin mathbb N $ корень

$$ varepsilon_1 = cos frac{2 pi }{n} + mathbf i
sin frac{2 pi }{n}
$$
будет первообразным степени $ n_{} $.

?

Будет ли $ varepsilon_{n-1} $ первообразным корнем?

=>

Число первообразных корней $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $ равно $ phi (n) $, где $ phi $ — функция Эйлера.

?

[2]. Пусть $ varepsilon_{k} $ — первообразный корень. Доказать, что
$ varepsilon_{k}^{k^{^{phi(n)-1}}} = varepsilon_{1} $.

=>

Произвольный корень $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $ может быть получен как некоторая степень произвольного первообразного корня $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $.

В самом деле, если $ varepsilon^n=1 $ и $ varepsilon^jne 1 $ при $ jin {1,2,dots,n-1} $, то все числа $ varepsilon, varepsilon^2,dots,varepsilon^{n-1} $ будут корнями $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $, все они будут различны между собой и отличны от $ 1_{} $. Следовательно, эти степени представляют собой перестановку корней $ varepsilon_1, varepsilon_2,dots, varepsilon_{n-1} $.

?

В каком случае степень первообразного корня будет первообразным корнем?

§

Подробнее об уравнении деления круга

☞

ЗДЕСЬ

§

Использование корней из единицы

☞

ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Материал настоящего раздела довольно сложен и может быть пропущен при первом чтении.

Еще одно представление комплексного числа может быть организовано на основании важной функции комплексного аргумента.

В курсе математического анализа доказывается существование следующего предела
$$
lim_{nto+infty} left(1+frac{1}{n}right)^n ,
$$
он имеет специальное обозначение⁸⁾:
$$
e approx 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595ldots
$$
и исключительно важен в приложениях. Также доказывается, что показательная функция $ e^x $ (экспонента) может быть представлена рядом Тейлора
$$
e^x=1+x+ frac{x^2}{2!}+dots + frac{x^n}{n!}+dots = sum_{j=0}^{infty} frac{x^j}{j!}
$$
сходящимся при всех $ xin mathbb R $. Аналогичным рядом по комплексной переменной $ z=x+ mathbf i y $ определяется комплексная экспонента:
$$
e^z=1+z+ frac{z^2}{2!}+dots + frac{z^n}{n!}+dots = sum_{j=0}^{infty} frac{z^j}{j!} ;
$$
и в курсе теории функций комплексной переменной доказывается, что этот ряд сходится при всех $ zin mathbb C $.

По аналогии с рядами Тейлора для функций
$$
sin x = x – frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+dots = sum_{j=0}^{infty} frac{(-1)^jx^{2j+1}}{(2j+1)!}
$$
и
$$
cos x = 1- frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}-frac{x^6}{6!}+dots = sum_{j=0}^{infty} frac{(-1)^jx^{2j}}{(2j)!}
$$
определяются тригонометрические функции
$$
sin z = z – frac{z^3}{3!}+frac{z^5}{5!}-frac{z^7}{7!}+dots = sum_{j=0}^{infty} frac{(-1)^jz^{2j+1}}{(2j+1)!}
$$
и
$$
cos z = 1- frac{z^2}{2!}+frac{z^4}{4!}-frac{z^6}{6!}+dots = sum_{j=0}^{infty} frac{(-1)^jz^{2j}}{(2j)!} ;
$$
оба ряда сходятся при всех $ zin mathbb C $.

В комплексной плоскости (как и на вещественной оси) справедливы тождества
$$ sin (-z) equiv – sin z,quad cos (-z) equiv cos z , $$
т.е. функция $ sin $ является нечетной, а функция $ cos $ — четной.

Т

Теорема [Эйлер]. Формула

$$ e^{mathbf i z} equiv cos z + mathbf i sin z $$
имеет место при всех $ z in mathbb C $.

Доказательство.
$$
begin{array}{ccl}
e^{mathbf i z}&=& displaystyle 1+mathbf i z+ frac{mathbf i^2 z^2}{2!}+frac{mathbf i^3 z^3}{3!}+frac{mathbf i^4 z^4}{4!}+ dots = 1+mathbf i z- frac{z^2}{2!}-frac{mathbf i z^3}{3!}+frac{z^4}{4!}+ dots \
& = & displaystyle left(1- frac{z^2}{2!}+frac{z^4}{4!}-dots right) + mathbf ileft(z-frac{z^3}{3!}+frac{z^5}{5!}- dots right) = \
& = & cos z + mathbf i sin z .
end{array}
$$

♦

=>

Для вещественного числа $ varphi $ имеем

$$ e^{{mathbf i}varphi }= cos varphi + mathbf i sin varphi ; $$
сравнивая это выражение с тригонометрической формой комплексного числа $ z_{} $ получаем его экспоненциальное представление
$$ z= rho e^{{mathbf i}varphi } . $$

=>

Следующая формула Эйлера связывает между собой четыре знаменитые математические величины:

$$ e^{mathbf i pi}= – 1 . $$

И

См. по поводу этой формулы

☞

цитату А.Н.Крылова.

=>

Тригонометрические функции комплексного аргумента могут быть выражены как линейные комбинации экспонент:

$$ cos z= frac{1}{2} left( e^{{mathbf i} z}+e^{-{mathbf i} z} right),quad sin z= frac{1}{2{mathbf i}} left( e^{{mathbf i} z}-e^{-{mathbf i} z} right) .
$$

?

Угадайте первые три цифры числа $ 1001^{1000} $.

Этот вопрос — о полезности комплексных чисел, о необходимости их введения — остается открытым. Проанализируем все полученные в настоящем разделе результаты на предмет ответа на вопрос: «стоила ли овчинка выделки?», т.е. оправдано ли введение новой (и подозрительно мнимой) сущности получением новых ивещественных результатов?

1.

Применение комплексных чисел для выведения тригонометрических формул. Действительно, использование аппарата мнимых чисел позволило упростить вывод вещественных равенств. Однако, после получения ответа в задаче о суммировании $ sin varphi + sin 2,varphi+dots + sin n, varphi $ был сразу же показан альтернативный способ получения того же ответа без использования комплексных чисел. Можно ожидать, что и остальные результаты того пункта — как то выражение синусов и косинусов кратных углов как степеней косинусов и синусов исходного угла, а также решение обратной задачи — тоже допускают принципиально вещественное решение⁹⁾. Таким образом, польза от введения комплексных чисел не очень оправдана применением их для решения подобных задач.

2.

Геометрические приложения. Проанализируем их на примерах трех введенных операций. Пусть $ w=x+ mathbf i y $ — переменная величина, т.е. числа $ { x,y } subset mathbb R $ могут принимать произольные значения, а $ z=a+ mathbf i b $ — фиксированное комплексное число. Геометрический смысл операции суммирования $ w+z $ заключается в преобразовании комплексной плоскости, а именно — в сдвиге ее точек
$$ (x,y) mapsto (x+a,y+b) $$
на фиксированную величину.

Вторая из введенных операций — комплексное сопряжение — также имеет простое геометрическое содержание:
$$ w mapsto overline{w} quad iff quad (x,y) mapsto (x,-y) ; $$
каждая точка комплексной плоскости зеркально отражается относительно вещественной оси.

Наконец, операция умножения комплексных чисел: $ w mapsto wcdot z $. Геометрию этой операции мы анализировали ВЫШЕ переходом к тригонометрической форме записи комплексного числа. Проведем более подробый анализ. Рассмотрим сначала частный случай числа $ z_{} $: пусть его модуль равен $ 1_{} $, т.е. $ z = cos varphi + mathbf i sin varphi $. Умножение числа $ w_{} $ на такое число $ z_{} $ равносильно повороту точек комплексной плоскости на угол $ varphi $ вокруг начала координат. Так, к примеру, умножению на мнимую единицу $ mathbf i $ соответствует поворот точек плоскости на угол $ pi/2 $; а если еще раз повернем на тот же угол — то результатом будет преобразование
$$ (x,y) mapsto (-x,-y) ; $$
и результат снова полностью соответствует основополагающему правилу комплексных чисел: $ mathbf i^2=-1 $.

Рассмотрим теперь другой частный случай выбора числа $ z_{} $. Пусть оно будет вещественно: $ z=a in mathbb R $ и отлично от $ 0_{} $. Тогда
$$ w mapsto a cdot w quad iff quad (x,y) mapsto (ax,ay) ; $$
и мы имеем дело с растяжением каждого отрезка комплексной плоскости, имеющего одним концом начало координат, на величину¹⁰⁾ $ a_{} $.

Теперь понятно, что умножение $ w_{} $ на произвольное число $ z = rho (cos varphi + mathbf i sin varphi) $ (отличное от $ 0_{} $) сводится к комбинации рассмотренных выше преобразований: т.е. к одновременному повороту вокруг начала координат на угол $ varphi $ и растяжению с коэффициентом $ rho $.

Подводим итоги: комплексные числа позволяют дать аналитические выражения (формулы) для ряда важных операций на плоскости, как то — сдвига, зеркального отражения, поворота, растяжения. Сразу же возникают соображения о возможности комбинирования этих операций ($ w mapsto z_1cdot w + z_2 $, $ w mapsto z_1cdot (overline{w} + z_2) $ и т.п.) для покрытия возможно большего разнообразия мыслимых геометрических преобразований. В этом месте происходит зарождение отдельного раздела комплексного анализа — теории функций комплексной переменной¹¹⁾. Пока не устремляясь к этим красочным горизонтам, охладим наш пыл одним критическим замечанием.

Дело в том, что все указанные геометрические преобразования могут быть аналитически представлены и без введения комплексной переменной. Формулы
$$ X=x+a, Y=y+b ; $$
$$X=x,Y=-y ; $$
$$X= x cos varphi – y sin varphi, quad Y=x sin varphi + y cos varphi ; $$
$$ X=ax, Y=ay $$
полностью описывают все обсужденные операции на вещественной плоскости $ (x,y) $. Никакой мнимой единицы вводить не нужно… И мы вынуждены повторить приведенный выше вывод: польза от введения комплексных чисел не очень оправдана применением их для решения подобных задач.

Это мнение следует считать моим личным и весьма субъективным. В книге [3] можно найти ряд приложений комплексных чисел к задачам геометрии. Моих знаний не достаточно для оценки этих задач как представляющих исключительно только исторический интерес.

3.

Решение уравнений. Да, задача, поставленная в начале раздела, решена: мы придали смысл словам «решить уравнение $ x^2+1 = 0 $»; более того, на основе разработанного аппарата, мы смогли решить любое уравнение второго порядка. А зачем это нужно? Какой смысл имеют мнимые корни такого уравнения, какую реальность они отражают? — Ответа на этот вопрос пока не даем. Отметим только два обстоятельства. Первое: если полагать, что реальную смысловую нагрузку несут хотя бы вещественные решения уравнения, то, оказывается, что без комплексных чисел не обойтись.

П

Пример. Решить уравнение $ x^3-3,x+1=0 $.

Ответом будут три вещественных корня:
$$ 2 cos ({2pi}/9) approx 1.53208, 2 cos ({4pi}/9) approx 0.34729, 2 cos ({8pi}/9) approx -1.87938 , . $$
Истинность можно проверить подстановкой в уравнение (с применением формулы приведения для степени косинуса, выведенной

☞

ЗДЕСЬ ). Как был получен этот ответ?
Решение этого примера на основе формулы Кардано изложено

☞

ЗДЕСЬ. Это решение существенно использует комплексные числа в промежуточных выкладках, хотя они и не участвуют в конечном результате. В данном конкретном примере можно было бы обойтись без них — например, каким-то чудесным способом угадав ответ. Но попробуйте угадать ответ для, скажем, уравнения $ x^3-17,x+2=0 $ (которое также имеет три вещественных корня). Ответ можно выразить в виде определенной комбинации
коэффициентов уравнения, но эта комбинация будет явным образом содержать $ mathbf i $. Попытки избавиться от мнимой единицы не приводят к результату. Именно эта задача — решения кубического уравнения с вещественными коэффициентами и заведомо вещественными решениями — привела к первому появлению комплексных чисел на математическом горизонте в XVI веке; иными словами, для получения правильного вещественного ответа пришлось вводить число с парадоксальным правилом возведения в квадрат: $ mathbf i^2=-1 $. См. свидетельство «психологического шока» первооткрывателя

☞

слова Кардано.

♦

Второе обстоятельство, оправдывающее введение комплексных чисел, заключается в их достаточности для решения произвольного уравнения вида $ a_0x^n+a_1x^{n-1}+dots+a_n=0 $; здесь $ n_{} $ — натуральное число, $ a_0,a_1,dots,a_n $ — произвольные фиксированные числа, а $ x_{} $ — неизвестная, относительно которой разыскивается решение уравнения. Оказывается, что все решения этого уравнения можно найти в комплексных числах — при любых коэффициентах (будь они вещественные или даже мнимые).
Иными словами, введения других, «сверхкомплексных», чисел не требуется. Этот результат носит название “Основной теоремы высшей алгебры”; это название объясняется тем, что вплоть до конца XIX века основной задачей алгебры считалась задача решения уравнений и систем уравнений.

4.

Наконец, исключительно важное значение мнимые числа имеют в экономической науке. К примеру, вручение престижной премии в номинации «Экономика» за 2002 г. см.

☞

ЗДЕСЬ.

.

[1]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948

[2]. Задача № E 1899 из журнала American Mathematical Monthly, v. 74, N 8, 1967, c. 1010

[3]. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. М.Едиториал УРСС, 2004

[4]. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.Наука. 1984

[5]. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М. Наука. 1965