Как найти синус косинус угла по клеточкам

Угол на клетчатой бумаге. В этой статье мы с вами рассмотрим задачу, суть которой заключается в том, чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла, построенного на листе в клетку. Такие задания входят в состав экзамена по математике. 

Способы решения существуют разные, их более трёх. Подход изложенный ниже можно было бы назвать универсальным. Если у вас найдутся задачи, которые вы таким способом решить не сможете, пришлите мне их, подберём другой. Углы могут быть построены следующим образом (примеры):

Итак, рассмотрим задание:

Найдите тангенс угла AOB. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 8.

Соединим точки А и В. Получили треугольник АОВ. На сторонах полученного треугольника построим прямоугольные треугольники так, чтобы эти стороны являлись гипотенузами.

Суть подхода такова: находим все стороны треугольника (это можно сделать по теореме Пифагора); далее используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла; зная косинус мы без труда найдём остальные тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс).

АВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3,

ОВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 1, 

OА является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 2,

По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус  угла между ними.

Из основного тригонометрического тождества можем найти sin AOB:

*Обратите внимание, что перед знаком корня у нас «+», так как угол острый (от 0 до 90 градусов). А синус острого угла имеет положительное значение. 

Теперь можем найти тангенс:

Умножим результат на 8 и запишем ответ:

Ответ: 11

Ещё раз повторим: как бы не был построен угол, мы всегда можем достроить его до треугольника, найти стороны этого треугольника (используя теорему Пифагора), далее используя теорему косинусов найти косинус угла (заданного в условии). Затем не составит труда, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус. Тангенс и котангенс далее не сложно найти по их формулам.

Ниже предложено самостоятельно решить задачи. При их решении на сайте использовались и другие способы (вы решите представленным выше):

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите тангенс угла AOB.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на половину корня из пяти.

Посмотреть решение

Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на два корня из пяти.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на  два корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите тангенс угла AOB.

Посмотреть решение

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

С уважением, Александр Крутицких.

*Делитесь информацией в социальных сетях )

Один из типов задач в задании 3 – это задачи на нахождение углов.

На клетчатой решетке изображен угол, величину которого надо найти.

Это могут быть самые разнообразные углы:

Методы вычисления могут быть разные.

Принцип большинства заданий – найти прямоугольный треугольник и вычислить у него стороны и найти угол используя синус или косинус или тангенс (в зависимости от задания)

Если необходимо найти тангенс тупого угла, то в начале находим тангенс смежного острого угла и применяем формулу приведения (в ответе появится минус). Напомню, что синус тупого и острого угла имеет один и тот же знак, а вот косинус, так же как и тангенс, тупого и острого угла имеет противоположные знаки.

Если так не получается, то начинаем искать отрезки, треугольники и вычислять стороны. Применять свойство равнобедренных треугольников или теорему косинусов.

Если совсем непонятно, что делать, то встройте угол в прямоугольник и посчитайте все стороны и решение придет

Мы рассмотрели один из типов задач. Главное, поймите принцип, а тогда решите любую задачу.

Чтобы найти косинус угла по клеточкам, следует вспомнить, что это собственно за величина – косинус.

По определению, косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Зная это определение мы очень легко можем найти косинус любого прямоугольного треугольника, нарисованного на клеточках. То есть если задан просто угол, мы достраиваем его до прямоугольного треугольника:

Разберем несколько случаев.

Катеты расположены вертикально и горизонтально. Тогда их длину определяем по клеточкам, а длину гипотенузы по теореме Пифагора.

Катеты расположены произвольно. Заключаем треугольник в прямоугольник и находим катеты и гипотенузу по теореме Пифагора для всех трех сторон. Дальше находим косинус как отношение по определению.

Например здесь катет АО находится как корень из 20 (16+4). Гипотенуза ОВ находится как корень из 37 (36+1). Их отношение – косинус угла АОВ.

Если треугольник АОВ не получается прямоугольным, то имеет смысл использовать теорему косинусов:

Тригонометрический круг со всеми значениями

Тригонометрический круг один из основных элементов геометрии для решения уравнений с синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.

Каково определение данного термина, как строить данный круг, как определить четверть в тригонометрии, как узнать углы в построенном тригонометрическом круге — об этом и многом другом расскажем далее.

Тригонометрическая окружность

Тригонометрическим видом числовой окружности в математике является круг, имеющий одинарный радиус с центром в начале координатной плоскости. Как правило, она образована пространством из формул синуса с косинусом, тангенсом и котангенсом на системе координат.

Назначение такой сферы с n-мерным пространством в том, что благодаря ей могут быть описаны тригонометрические функции. Выглядит она просто: круг, внутри которого находится система координат и множественные прямоугольного вида треугольники, образованные из этой окружности по тригонометрическим функциям.

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный вид треугольника — это тот, у которого один из углов равен 90°. Он образован катетами и гипотенузой со всеми значениями тригонометрии. Катеты две стороны треугольника, которые прилегают к углу 90°, а третья гипотенуза, она всегда длиннее катетов.

Синусом называется отношение одного из катетов к гипотенузе, косинусом отношение другого катета к ней, а тангенсом отношение двух катетов. Отношение символизирует деление. Также тангенсом является деление острого угла на синус с косинусом. Котангенсом является противоположное тангенсу отношение.

Формулы последних двух отношений выглядят следующим образом: tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = cos(a) / sin(a).

Построение единичной окружности

Построение единичной окружности сводится к ее прорисовке с единичным радиусом в центре системы координат. Затем для построения нужно отсчитать углы и, двигаясь против часовой стрелки, обойти по целому кругу, проставляя соответствующие им линии координаты.

Начинается построение после черчения круга и установки точки в его центре с размещения системы координат ОХ. Точкой О сверху оси координат является синус, а Х косинус. Соответственно они являются абсциссой и ординатой. Затем нужно провести измерения ∠. Они проводятся градусами и радианами.

Сделать перевод этих показателей просто полный круг равен двум пи радиан. Угол от нуля против часовой стрелки идет со знаком +, а ∠ от 0 по часовой стрелке со знаком -. Положительные и отрицательные значения синуса с косинусом повторяются каждый оборот круга.

Углы на тригонометрическом круге

Для того, чтобы освоить теорию тригонометрической окружности, нужно понять, как считаются ∠ на ней, и в чем они измеряются. Считаются они очень просто.

Окружность делится системой координат на четыре части. Каждая часть образует ∠ 90°. Половина от этих углов равняется 45 градусам. Соответственно две доли окружности равняются 180°, а три 360°. Как пользоваться этой информацией?

Если требуется решить задачу по нахождению ∠, прибегают к теоремам о треугольниках и основным Пифагоровым законам, связанных с ними.

Измеряются углы в радианах:

• от 0 до 90° значения углов от 0 до ∏/2,
• от 90 до 180° значения углов от ∏/2 до ∏,
• от 180 до 270° от ∏ до 3*∏/2,
• последняя четверть от 2700 до 3600 — значения от 3*∏/2 до 2*∏.

Чтобы узнать конкретное измерение, перевести радианы в градусы или наоборот, следует прибегнуть к таблице-шпаргалке.

Перевод углов из градусов в радианы

Углы возможно измерить в градусах либо радианах. Требуется осознавать связь между обоими значениями. Эта взаимосвязь выражена в тригонометрии с помощью специальной формулы. Благодаря пониманию связи, можно научиться оперативным образом управлять углами и переходить от градусов к радианам обратно.

Для того чтобы точно узнать, чему равен один радиан, можно воспользоваться следующей формулой:

1 рад. = 180 / ∏ = 180 / 3,1416 = 57,2956

В конечном итоге, 1 радиан равен 57°, а в 1 градусе 0,0175 радиан:

1 градус = (∏ /180) рад. = 3,1416 / 180 рад. = 0,0175 рад.

Косинус, синус, тангенс, котангенс на тригонометрической окружности

Косинус с синусом, тангенсом и котангенсом на тригонометрической окружности функции углов альфа от 0 до 360 градусов. Каждая функция обладает положительным или отрицательным значением в зависимости от того, какая величина у угла. Они символизируют отношения к прямоугольным треугольникам, образованным в круге.

Заключение

В целом, тригонометрическая окружность – единичная окружность, необходимая для решения соответствующих задач и описания функций. Она состоит из многих составляющих, запомнить которые нужно обязательно для правильного решения последующих задач.

Тригонометрический круг.

Скачать шаблоны для тригонометрии.

Здесь голубая сетка – линии декартовой системы координат. Масштаб – 1:10. В этом масштабе радиус окружности, равный единице, составляет 10 клеточек. sin30° = 1/2 составляет 5 клеточек, и т.п. Можно примерно (на глаз) отмечать или определять значения синусов и косинусов.
Зеленая радиальная сетка – лучи с шагом 15° или, что одно и то же, с шагом π/12. Удобно рисовать углы в радианах или градусах и ориентироваться в их величинах и расположении относительно четвертей круга.

Лучше всего использовать смешанную сетку – рисунок слева. Этот рисунок вы можете скачать себе на компьютер и распечатать на черно-белом принтере. Получится тонкая сетка линий, как бы нарисованных карандашом, поверх которой вам будет удобно делать свои чертежи для решения задач по тригонометрии. На втором рисунке показан пример использования такой смешанной сетки для того, чтобы проверить правильно ли определены значения sin(−π/3) и cos(−π/3). Остальные примеры и пояснения к ним расположены ниже.

Примеры.

4/π ≈ 4/3,14 ≈ 1,28
Значит 4 радиана это угол 1π + 0,28π. Кусочек 0,28π больше, чем π/4 = 0,25π, и меньше, чем π/3 ≈ 0,33π
Рисуем луч внутри сектора с границами π + π/4 и π + π/3. (Здесь серым шаблон – то, что получится после распечатки, фиолетовым – то, что отметите вы вручную.)

Отмечаем проекцию на вертикальную ось – ось синусов. Попали на отрицательный участок оси в 8-ю клеточку из 10-ти. Следовательно, sin4 ≈ −8/10 = −0,8.
Для сравнения – с помощью калькулятора получим ответ −0,7568.

Те, кто лучше ориентируется при измерении углов в градусах, могут вспомнить, что 1 радиан равен приблизительно 57,3 градуса. Соответственно, 4 рад ≈ 229º. Попробуйте самостоятельно начертить этот луч на круге.

Пример 2. Требуется убедиться, что правильно запомнились табличные значения тригонометрических функций для характерных (“геометрических”) углов.

Вспоминаем, что:
1/2 = 0,5 = 5/10 – пять клеток от центра окружности;
√2 _ /2 ≈ 1,4142/2 = 0,707 ≈ 7/10 – семь клеток от центра окружности (чуть дальше, чем граница седьмой клетки);
√3 _ /2 ≈ 1,7321/2 = 0,866 ≈ 8,7/10 – чуть дальше, чем середина девятой клетки.
Отмечаем значения синусов и косинусов на синей сетке, значения углов – на зелёной.
Совмещаем обе сетки. Если всё правильно, то в результате получатся картинки, аналогичные следующим.

Замечание.

Не забывайте – значения синусов и косинусов любых углов по абсолютной величине не превышают 1. Если вы пытаетесь записать в ответ большее число, то ищите ошибку. Возможно, вы пишите ответ в клеточках, а не в заданных единицах?

mathematichka@yandex.ru

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Внимание, © mathematichka. Копирование рисунков на других сайтах запрещено. Ставьте ссылку.

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

• 

Вот что мы видим на этом рисунке:

Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.

Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .

И синус, и косинус принимают значения от до .

Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

[spoiler title=”источники:”]

http://mathematichka.ru/school/formuly_Trig/templates.html

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/trigonometricheskij-krug/

[/spoiler]