Как найти синус напряжения

Параметры переменного напряжения

Как вы помните из предыдущей статьи, переменное напряжение — это напряжение, которое меняется со временем. Оно может меняться с каким-то периодом, а может быть хаотичным. Но не стоит также забывать, что и переменное напряжение обладает своими особенными параметрами.

Среднее значение напряжения

Среднее значение переменного напряжения Uср — это, грубо говоря, площадь под осциллограммой относительно нуля за какой-то промежуток времени. Чтобы это понять, давайте рассмотрим вот такую осциллограмму.

Например,чему равняется среднее значение напряжения за эти два полупериода? В данном случае ноль вольт. Почему так? Площади S1 и S2 равны. Но все дело в том, что площадь S2 берется со знаком «минус». А так как площади равны, то в сумме они дают ноль: S1+(-S2)=S1-S2=0. Для бесконечного по времени синусоидального сигнала среднее значение напряжения также равняется нулю.

То же самое касается и других сигналов, например, двухполярного меандра. Меандр — это прямоугольный сигнал, у которого длительности паузы и импульса равны. В этом случае его среднее напряжение также будет равняться нулю.

Средневыпрямленное значение напряжения

Чаще всего используют средневыпрямленное значение напряжения Uср. выпр. То есть площадь сигнала, которая «пробивает пол» берут не с отрицательным знаком, а с положительным.

средневыпрямленное значение напряжения будет уже равняться не нулю, а S1+S2=2S1=2S2. Здесь мы суммируем площади, независимо от того, с каким они знаком.

На практике средневыпрямленное значение напряжения получить легко, использовав диодный мост. После выпрямления синусоидального сигнала, график будет выглядеть вот так:

Для того, чтобы примерно узнать, чему равняется средневыпрямленное напряжение, достаточно узнать максимальную амплитуду синусоидального сигнала Umax и сосчитать ее по формуле:

Среднеквадратичное значение напряжения

Чаще всего используют среднеквадратичное значение напряжения или его еще по-другому называют действующим. В литературе обозначается просто буквой U. Чтобы его вычислить, тут уже простым графиком не отделаешься. Среднеквадратичное значение — это значение постоянного напряжения, который, проходя через нагрузку (скажем, лампу накаливания), выделяет за тот же промежуток времени такое же количество мощности, какое выделит в этой нагрузке переменное напряжение. В английском языке среднеквадратичное напряжение обозначается так: RMS (rms) — root mean square.

Связь между амплитудным и среднеквадратическим значением устанавливается через коэффициент амплитуды K_a:

Вот некоторые значения коэффициента амплитуды K_a для некоторых сигналов переменного напряжения:

Более точные значения 1,41 и 1,73 — это √2 и √3 соответственно.

Как измерить среднеквадратичное значение напряжения

Для правильного замера среднеквадратического значения напряжения у нас должен быть мультиметр с логотипом T-RMS. RMS — как вы уже знаете — это среднеквадратическое значение. А что за буква «T» впереди? Думаю, вы помните, как раньше была мода на одно словечко: «тру». «Она вся такая тру…», «Ты тру или не тру?» и тд. Тру (true) — с англ. правильный, верный.

Так вот, T-RMS расшифровывается как True RMS — «правильное среднеквадратическое значение». Мои токоизмерительные клещи могут замерять этот параметр без труда, так как на них есть логотип «T-RMS».

мультиметр с True RMS

Проведем небольшой опыт. Давайте соберем вот такую схемку:

Выставим на моем китайском генераторе частоты треугольный сигнал с частотой, ну скажем, 100 Герц

генератор частоты

А вот осциллограмма этого сигнала. Внизу, в красной рамке, можно посмотреть его параметры

треугольный сигнал

И теперь вопрос: чему будет равно среднеквадратическое напряжение этого сигнала?

Так как один квадратик у нас равняется 1 Вольт (мы это видим внизу осциллограммы в красной рамке), то получается, что амплитуда Umax этого треугольного сигнала равняется 4 Вольта. Для того, чтобы рассчитать среднеквадратическое напряжение, мы воспользуемся формулой:

Итак, смотрим нашу табличку и находим интересующий нас сигнал:

Для нас не важно, пробивает ли сигнал «пол» или нет, главное, чтобы сохранялась форма сигнала. Видим, что наш коэффициент амплитуды K_a= 1,73.

Подставляем его в формулу и вычисляем среднеквадратическое значение нашего треугольного сигнала

Проверяем нашим прибором, так ли оно на самом деле?

Супер! И в правду Тrue RMS.

Замеряем это же самое напряжение с помощью моего китайского мультиметра

Он меня обманул :-(. Он умеет измерять только среднеквадратическое значение синусоидального сигнала, а у нас сигнал треугольный.

Самый интересный сигнал в плане расчетов — это двуполярный меандр, ну тот есть тот, который «пробивает пол».

Его амплитудное Umax, средневыпрямленное Uср.выпр. и среднеквадратичное напряжение U равняется одному и тому же значению. В данном случае это 1 Вольт.

Вот вам небольшая картинка, чтобы не путаться

среднее, среднеквадратичное и пиковое значения напряжения

• Сред. — средневыпрямленное значение сигнала. Это и есть площадь под кривой
• СКЗ — среднеквадратичное напряжение. Как мы видим, для синусоидальных сигналов, оно будет больше, чем средневыпрямленное.
• Пик. — амплитудное значение сигнала
• Пик-пик. — размах или двойная амплитаду. Или иначе, амплитуда от пика до пика.

Так что же все-таки показывает мультиметр при измерении переменного напряжения? Показывает он НЕ амплитудное, НЕ среднее и НЕ среднее выпрямленное напряжение, а среднее квадратическое, то есть действующее напряжение! Об этом всегда помним.

Источник

Решение типовых задач. Синусоидальные токи, напряжения

Синусоидальные токи, напряжения. Параметры идеальных элементов электрических цепей синусоидального тока

Общие сведения

Электромагнитный процесс в электрической цепи считается периодическим, если мгновенные значения напряжений и токов повторяются через равные промежутки времени Т. Время Т называется периодом. Напряжения u(t) = u(t+T) и токи i(t)=i(t+T) ветвей электрической цепи являются периодическими функциями времени.

Величина, обратная периоду (число периодов в единицу времени), называется частотой: f = 1/T. Частота имеет размерность 1/c, а единицей измерения частоты служит Герц (Гц).

Широкое применение в электротехнике нашли синусоидальные напряжения и токи:

,

– U_m, I_m – максимальные или амплитудные значения,

– ω = 2π/T = 2πf – угловая частота (скорость изменения аргумента),

– ωt + ψ_u, ωt + ψ_i – фазы, соответственно напряжения и тока.

Графики изменения u(t), i(t) удобно представлять не в функции времени t, а в функции угловой величины ωt , пропорциональной t (рис. 1.1).

Величина φ = (ωt + ψ_u) – (ωt + ψ_i) = ψ_u, — ψ_i называется углом сдвига фаз. На рис. 1.1 ψ_u > 0, ψ_i > 0, φ = ψ_u — ψ_i > 0, т.е. напряжение опережает ток. Аналогично можно ввести понятие углов сдвига фаз между двумя напряжениями или токами.

Количество тепла, рассеиваемого на сопротивление R при протекании по нему тока, электромагнитная сила взаимодействия двух проводников с равными токами, пропорциональны квадрату тока. Поэтому о величине тока судят по действующему значению за период. Действующее значение периодического тока i(t) определяется по выражению

.

Для квадратов левой и правой частей этого равенства, после умножения их на RT, будем иметь:

.

Из этого равенства следует, что действующее значение периодического тока равно по величине такому постоянному току I, который на неизменном сопротивлении R за время T выделяет тоже количество тепла, что и ток i(t).

При синусоидальном токе i(t) = I_m sin ωt интеграл

.

Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно

Действующее значение синусоидальных напряжений u(t), э.д.с. e(t) определяются аналогично:

; .

Для измерения действующих значений используются приборы электромагнитной, электродинамической, тепловой и др. систем.

Среднее значение синусоидального тока определяется как среднее за половину периода. Поэтому,

.

Средние значения синусоидальных напряжений u(t), э.д.с. e(t) определяются аналогично:

; .

Отношение амплитудного значения к действующему называется коэффициентом амплитуды k_a, а отношение действующего значения к среднему – коэффициентом формы k_ф. Для синусоидальных величин, например, тока i(t), эти коэффициенты равны:

; .

Для синусоидальных токов i(t) = I_m sin(ωt + ψ_i) уравнения идеальных элементов R, L, C при принятых на рис. 1.2. положительных направлениях имеют вид

; ;

.

На активном сопротивлении R мгновенные значения напряжения и тока совпадают по фазе. Угол сдвига фаз φ = 0.

На индуктивности L мгновенное значение тока отстает от мгновенного значения напряжения на угол . Угол сдвига фаз .

На емкости C мгновенное значение напряжения отстает от мгновенного значения тока на угол . Угол сдвига фаз .

Величины ωL и 1/ωC имеют размерность [Ом] и называются реактивным сопротивлением индуктивности или индуктивным сопротивлением X_L:

и реактивным сопротивлением емкости или емкостным сопротивлением X_С:

.

Величины 1/ωL и ωC имеют размерность [Ом -1 ] и называются реактивной проводимостью индуктивности или индуктивной проводимостью B_L:

и реактивной проводимостью емкости или емкостной проводимостью B_С:

.

Связь между действующими значениями напряжения и тока на идеальных элементах R, L, C устанавливают уравнения:

; ;

; ;

; .

Для синусоидального напряжения u = U_m sin ωt начальная фаза тока на входе пассивного двухполюсника (рис. 1.3.) равна

Проекция напряжения на линию тока

называется активной составляющей напряжения.

Проекция напряжения на линию, перпендикулярную току,

называется реактивной составляющей напряжения.

Проекция тока на линию напряжения

называется активной составляющей тока.

Проекция тока на линию, перпендикулярную напряжению,

называется реактивной составляющей тока.

Имеют место очевидные соотношения:

; .

В цепи синусоидального тока для пассивного двухполюсника по определению вводятся следующие величины:

,

2. Эквивалентные активное R_эк и реактивное X_эк сопротивления:

, ,

,

4. Эквивалентные активная G_эк и реактивная B_эк проводимости:

, .

Из треугольников сопротивлений и проводимостей (рис. 1.4) следует:

; ; ,

; ; ,

; ; .

Эквивалентные параметры являются измеряемыми величинами, поэтому могут быть определены из физического эксперимента (рис. 1.5).

Электрическая цепь по схеме рис. 1.5 должна содержать амперметр А и вольтметр U для измерения действующих значений напряжения и тока, фазометр φ для измерения угла сдвига фаз между мгновенными значениями напряжения и тока на входе пассивного двухполюсника П.

Угол сдвига фаз пассивного двухполюсника .

Физическая величина, численно равная среднему значению от произведения мгновенных значений напряжения u(t) и тока i(t), называется активной мощностью Р.По определению имеем:

Расчетные величины

;

называются полной мощностью S и реактивной мощностью Q в цепи синусоидального тока. Имеет место равенство

.

Коэффициент мощности k_м в цепи синусоидального тока определяется выражением:

.

Единицей измерения активной мощности является Ватт [Вт]. Для измерения активной мощности служит ваттметр. Ваттметр включается по схеме рис. 1.6.

Единица измерения полной мощности [ВА], реактивной – [ВАр].

Для вычисления мощностей удобно использовать следующие выражения:

;

;

.

Решение типовых задач

Для измерения мгновенных значений напряжений u(t) и токов i(t) служит осциллограф. Поскольку сопротивление входа этого прибора очень большое, непосредственно для измерения тока осциллограф использовать нельзя. Измеряют не ток, а пропорциональное току напряжение на шунте R_ш (рис. 1.7, а).

К источнику синусоидального напряжения частотой f = 50 Гц подключена катушка индуктивности (рис. 1.7, а). Активное сопротивление провода, из которого изготовлена катушка, R = 10 Ом, индуктивность L = 1,6 мГн. Осциллограмма напряжения u_ш(t) представлена на рис. 1.7, б. Сопротивление шунта R_ш = 0,1 Ом. Масштаб по вертикальной оси осциллограммы m_u = 0,02 В/дел (0,02 вольта на деление).

Рассчитать действующие значения напряжения u_RL, составляющих u_R и u_L этого напряжения. Построить графики мгновенных значений напряжений u_RL, составляющих u_R и u_L.

По осциллограмме рис. 1.7, б двойная амплитуда напряжения на шунте 2А = 10 дел. Находим амплитудное значение I_m тока i:

.

Реактивное сопротивление Х индуктивности L на частоте

.

Амплитудные значения напряжений u_R и u_L:

; .

Мгновенные значения составляющих напряжения на сопротивление R катушки индуктивности и индуктивности L соответственно равны (ψ_i = 0):

;

.

Мгновенное значение напряжения на активном сопротивлении в фазе с током, на индуктивности – опережает на угол .

Действующие значения напряжений:

;

;

.

Векторные диаграммы напряжений и тока приведены на рис. 1.8.

.

(т.к. ψ_i = 0),

.

К цепи со схемой рис.1.10 приложено синусоидальное напряжение u = 141 sin 314t B.

Найти мгновенные и действующие значения тока и напряжения на всех участках цепи, если R = 30 Ом,

Назначаем положительные направления тока и напряжений как на рис. 1.10. Определяем реактивное сопротивление Х_С емкости C на частоте ω = 314с -1 :

.

Полное сопротивление цепи:

.

– тока i: ;

– напряжения на резисторе R: ;

– напряжения на емкости С: .

Угол сдвига фаз между напряжением u и током i:

.

Начальная фаза тока i определяется из соотношения . Откуда,

.

Мгновенные значения тока и напряжений на участках цепи:

;

;

.

; ; .

Для пассивного двухполюсника (рис. 1.5) экспериментально определены:

Найти полное и эквивалентные активное и реактивное сопротивления двухполюсника.

;

;

.

По цепи по схеме рис. 1.10 действующие значения тока i на частотах

Определить параметры цепи R и C, если на этих частотах напряжение на входе U = 100 В.

По определению на частотах f₁ и f₂ имеем:

; .

Непосредственно по схеме цепи рис. 1.10 находим:

Значения параметров R и С найдем из решения системы уравнений

Программа расчета в пакете MathCAD.

Значения параметров цепи: .

Вычислить действующее значение тока и активную мощность на входе пассивного двухполюсника с эквивалентными активной проводимостью

G = 0,011 Ом -1 и реактивной проводимостью B = 0,016 Ом -1 . Напряжение на входе двухполюсника U = 30 В.

.

Действующее значение тока

.

.

Задача 1.6

Действующее значение синусоидального тока ветви с резистором R равно 0, 1 А (рис. 1.11). Найти действующие значения напряжения u, и токов i_L и i, если R = 430 Ом; X_L = 600 Ом. Чему равна активная, реактивная и полная мощности этого двухполюсника?

Положительные направления напряжения и токов указаны на рис. 1.11.

Действующее значение тока I_R = 0,1 А.

.

.

Действующее значение тока I можно вычислить, определив полную проводимость Y цепи. По виду схемы имеем

.

.

; , .

Выполняется соотношение .

Действующее значение синусоидального напряжения на емкости С в цепи со схемой рис. 1.10 U_С = 24 В. Найти действующее значение напряжения u и тока i, если X_C = 12 Ом; R = 16 Ом.

Определяем действующее значение тока i

.

Полное сопротивление цепи

.

Определяем действующее значение напряжения u

.

Задача 1.8

Для определения эквивалентных параметров пассивного двухполюсника в цепи синусоидального тока были сделаны измерения действующих значений напряжения, тока и активной мощности (рис. 1.12).

A → 0,5 A, U → 100 B, W → 30 Вт.

Для определения характера реактивного сопротивления (проводимости) параллельно двухполюснику была включена емкость С (В_С ˂ В_эк). При этом показания амперметра уменьшились. Рассчитать эквивалентные сопротивления и проводимости двухполюсника.

Действующее значение: I = 0,5 A, U = 100 B. Активная мощность, потребляемая двухполюсником, P = 30 Вт. Полное сопротивление двухполюсника

.

Эквивалентное активное сопротивление

.

Эквивалентное реактивное сопротивление

.

Характер реактивного сопротивления индуктивный (Х_эк = Х_L, φ > 0). После включения параллельно двухполюснику емкости С, ток I’ ˂ I. Этому случаю соответствует векторная диаграмма рис. 1.13 а. Емкостному характеру соответствует векторная диаграмма рис. 1.13 б.

Полная проводимость двухполюсника

.

Эквивалентная активная проводимость

.

Эквивалентная реактивная проводимость

.

Следует обратить внимание, что треугольники сопротивлений и проводимостей для одного и того же двухполюсника подобны (рис. 1.4). Поэтому,

и .

; .

1.3. Задачи и вопросы для самоконтроля

1. Какими параметрами описываются синусоидальные токи в электрических цепях?

2. Как связаны между собой круговая частота ω и период Т синусоидального тока?

3. Что такое действующее значение переменного тока?

4. Запишите формулы для вычисления индуктивного и емкостного сопротивлений.

5. Объясните, как определить напряжение на участке цепи, если заданы и r и x.

6. Нарисуйте треугольник сопротивлений и треугольник проводимостей с необходимыми обозначениями.

7. Запишите формулы для вычисления активной и реактивной мощностей.

8. Напряжение на индуктивности L = 0,1 Гн в цепи синусоидального тока изменяется по закону . Найти мгновенное значение тока и индуктивности.

9. Ток в емкости С = 0,1 мкФ равен . Найти мгновенное значение напряжения на емкости.

10. На участке цепи с последовательно включенными активным сопротивлением R = 160 Ом и емкостью С = 26,54 мкФ мгновенное значение синусоидального тока . Найти мгновенные значения напряжений на емкости и на всем участке цепи. Чему равны действующие значения этих величин?

Дата добавления: 2016-01-29 ; просмотров: 96919 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Переменный ток (англ. alternating current — AC) — электрический ток, который с течением времени изменяется по величине и направлению или, в частном случае, изменяется по величине, сохраняя своё направление в электрической цепи неизменным.

В быту для электроснабжения переменяется переменный, синусоидальный ток.

Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (Рисунок 1):

Максимальное значение функции называют амплитудой. Её обозначают с помощью заглавной (большой) буквы и строчной буквы m — максимальное значение. К примеру:

• амплитуду тока обозначают lm;
• амплитуду напряжения Um.

Период Т— это время, за которое совершается одно полное колебание.

Частота f равна числу колебаний в 1 секунду (единица частоты f — герц (Гц) или с^-1)

f = 1/T

Угловая частота ω (омега) (единица угловой частоты — рад/с или с^-1)

ω = 2πf = 2π/T

Аргумент синуса, т. е. (ωt + Ψ), называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания (числовое значение) в данный момент времени t.

Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой (ω) и начальной фазой Ψ (пси)

В странах СНГ и Западной Европе наибольшее распространение получили установки синусоидального тока частотой 50 Гц, принятой в энергетике за стандартную. В США стандартной является частота 60 Гц. Диапазон частот практически применяемых синусоидальных токов очень широк: от долей герца, например в геологоразведке, до миллиардов герц в радиотехнике.

Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот (до нескольких килогерц) получают с помощью синхронных генераторов (их изучают в курсе электрических машин). Синусоидальные токи и ЭДС высоких частот получают с помощью ламповых или полупроводниковых генераторов (подробно рассматриваемых в курсе радиотехники и менее подробно — в курсе ТОЭ). Источник синусоидальной ЭДС и источник синусоидального тока обозначают на электрических схемах так же, как и источники постоянной ЭДС и тока, но обозначают их е и j (или e(t) и j(t)).

Обратите внимание! При обозначении величин на схемах или в расчетах важен регистр букв, то есть заглавные буквы (E,I,U…) или строчные (e, i ,u…). Так как строчными буквами принято обозначать мгновенное значение, а заглавными могут обозначаться действующее значение величины (подробнее о действующем значении в следующей статье).

Изначально электрический ток получали с помощью гальванических элементов и это был постоянный ток, то есть он протекал от плюсового источника тока к минвсовому при постоянной величине, ну немного уменьшаясь из-за разряда батареи. Потом появились электрические генераторы, в которых вращающееся магнитное поле генерировало ток и этот ток был переменный, так как магнит по кругу двигался около катушки или катушка двигалась, а магнит был неподвижный, не важно, главное в том, что при движении рамки в магнитном поле ток увеличивается от нуля до максимума, затем от максимума до нуля, затем меняет направление и снова уменьшается, а затем снова возрастает от отрицательного минмума до нуля и все это за один оборот ротора.

Закон изменения тока в электрической машине как раз и описывается функцией синуса. Для выпрямления тока использовали коллекторы, которые переключали отдельные катушки при повороте так, чтобы направление тока всегда было в одну сторону, а за счет увеличения числа катушек уменьшалась пульсация.

Когда же был изобретен трансформатор, то от постоянного тока для передачи на большие расстояния отказались, так как переменный ток лего трансформируется с малого напряжения на большое, затем передается с минимальными потерями по ЛЭП и снова трансформируется на месте потребления до нужных малых напряжений. Везде сейчас используется переменный ток, во всех домах, для освещения улиц, в станках на заводах и фабриках. В России сейчас в быту применяется однофазная сеть с напряжением 220 Вольт и частотой 50 Герц. Это означает, что в розетке по одному проводу подведено напряжение, а второй провод является нулем. Но для объяснения, для чего нужен ноль еще нужно рассказать устройство трехфазной сети, но это уже к теме не относится. Для нас важно, что если к фазному и нулевому проводам подключить прибор, напримпр, лампу, то через него начнет протекать электрический ток, изменяемый по синусоиде. За одну секунду будет 50 положительных полупериодов, и столько отрицательных, а 100 раз вообще ток не будет течь, будет нулевое напряжение. Но мы это мерцание не увидим, так как нить накаливания в лампе не успевает остыть. А вот люминесцентные лампы дествительно потухают 100 раз в секунду и снова разгораются, что не совсем полезно для зрения.

1. Цепи синусоидального тока ( общие понятия и формулы ).

Синусоидальный ток представляет собой
ток, изменяющийся во

времени
по синусоидальному закону: i
= I_mSIN(
2πt / T + ψ ) =

I_mSIN(
ωt + ψ ).
Максимальное значение функции называется

амплитудой. Ее обозначают: I_m.
Период Т – это время, за которое

совершается одно колебание. Частота
равно числу колебаний за

одну секунду. ( ωt + ψ
) – называется фазой. Фаза
характеризует

состояние колебания в любой момент
времени. Под средним

значением
синусоидально изменяю­щейся величины
понимают ее среднее значение за
полпериода. Среднее
значение тока:

,
т. е. среднее значение синусоидального
тока составляет 2 / π = 0,638 от амплитудного.
Аналогично, Е_ср
= 2Е_m
/ π; U_ср
= 2U_m
/ π.
Широко
применяют понятие действующего значения
синусои­дально изменяющейся величины
(его называют также эффектив­ным или
среднеквадратичным). Действующее
значение тока:

,
следовательно,
действующее значение синусоидального
тока равно 0,707 от амплитудного. Аналогично,

E
= E_m
/ √2 и U
= U_m
/ √2.
Действующее
значение синусоидального тока численно
равно значению такого постоянного тока,
который за вре­мя, равное периоду
синусоидального тока, выделяет такое
же коли­чество теплоты, что и
синусоидальный ток.

Коэффи­циент
амплитуды
k_а
— это отношение амплитуды периодически
из­меняющейся функции к ее действующему
значению. Для синусои­дального тока:
k_a
= I_m
/ I
= √2

Под
коэффициентом формы
k_ф
понимают отношение действую­щего
значения периодически изменяющейся
функции к ее среднему за полпериода
значению. Для синусоидального тока: k_ф
= I
/ I_cp
= π
/ 2√2 = 1,11. Существует формула: I_me<sup>j(ωt
+ ψ
)</sup>
= I_me^jψ
= I_m^*,
где I_m^*
-комплексная величина, модуль которой
равен I_m
, Ψ –угол, под котором вектор I_m^*
проведен к оси +1 на комплексной плоскости,
равный начальной фазе. Величину I_m^*
называют комплексной
амплитудой
тока i.
Скорость поступления энергии по участка
цепи характери­зуется мощностью. Под
мгновенным значением мощности, или
под
мгновенной
мощностью,
понимают
произведение мгновенного зна­чения
напряжения и на участке цепи на мгновенное
значение тока
i,
протекающего
по этому участку: p
= ui,
где
р
—
функция времени.

1. Резистивный элемент ( активное сопротивление ) в цепи синусоидального тока.

Резистивный
элемент — это
идеализированный схемный

элемент, учитывающий
выделение теплоты в том
или ином

элементе реальной электрической цепи.
Его характеризуют

зависи­мостью напряжения
и на нем
от протекающего по нему

тока (вольтамперной
характеристикой) или сопротивлением

R
= u
/ i.
На схе­мах его
изображают, как и резистор.

Положительные направления
отсчета u
и i
совпадают. Пусть: i
= I_mSINωt.
По закону Ома: u
= iR
= RI_mSINωt
= U_mSINωt.
и U_m
= RI_m.
На рис. в даны
кривые мгновенных значений тока i,
напряжения u
и мощности р
= U_mI_mSIN²ωt
= U_mI_m*(
1 – COS2ωt
) /2 . Мгновенная
мощность р имеет
постоянную составляющую U_mI_m
/ 2 и составляющую
U_mI_m*COS2ωt
/ 2, изменяющуюся с
частотой 2ω. Потребляемая от источника
питания за время dt
энергия равна pdt.

1. Индуктивный элемент в цепи синусоидального
   тока.

Индуктивный элемент позволяет
учитывать явление наведения ЭДС,
изменяющимся во времени магнитным
потоком, и явление накоп­ления энергии
в магнитном поле реальных элементов
электрической цепи. Его характеризуют
зависимостью потокосцепления ψ от тока
I
(вебер-амперной характеристикой) или
индуктивностью L
= ψ
/ i.
На схеме замещения реальную индуктивную
катушку можно представить в виде
последовательно соединенных индуктивного
и резистивного элементов. Направления
тока, ЭДС самоиндукции и напряжение на
нем совпадают по направлению. i
= I_mSINωt,
U_L
= L*di / dt,

u
= ωLI_mSIN(ωt
+ 90) = U_m
SIN(ωt + 90), U_m
= ωLI_m,
U_L^*
= ωLI^*e^{jπ
/ 2}.

Произведение ωL
обозначается X_L,
называется индуктивным

со­противлением
и измеряется в омах
(Ом): X_L
= ωL.
Таким

образом, индуктивный элемент
(индуктивная катушка, у которой

R
= 0) при синусоидальном токе обладает
сопротивлени­ем,

модуль которого X_L
= ωL
прямо пропорционален частоте ω. На

рис. 3.6, б вектор напряжений
опережает вектор тока I
на 90°.

Комплекс ЭДС самоиндукции
E_L
находится в противофазе с

комплексом напряжений U.
Графики мгновенных значений i,
u,
р

изображены на рис. в.
Мгновенная мощность рассчитывается по
формуле:

p
= ui
= U_mCOSωt*I_mSINωt
= U_mI_mSIN2ωt
/ 2.

Мгновенная мощность проходит
через нулевое значение, когда через
нуль проходит либо i,
либо u.
За первую четверть периода, когда u
и i
положительны, р также положительна.
Площадь, ограниченная кривой р и осью
аб­сцисс за это время, представляет
собой энергию, которая взята от источника
питания на создание энергии магнитного
поля в индук­тивной катушке. Во вторую
четверть периода, когда ток в цепи
уменьшается от максимума до нуля, энергия
магнитного поля от­дается обратно
источнику питания, при этом мгновенная
мощность отрицательна. За третью четверть
периода у источника снова заби­рается
энергия, за четвертую отдается и т. д.
Следовательно, энер­гия периодически
то забирается индуктивной катушкой от
источни­ка, то отдается ему обратно.

Падение напряжения на
реальной индуктивной катушке равно
сумме напряжений на L
и на R.
Угол между напряжением U
на катушке и током I
равен 90⁰
— σ, причем

tgσ
= R
/ ωL
= l
/ Q_L,
где Q_L
— добротность реаль­ной индуктивной
катушки. Чем больше Q_L,
тем меньше σ.

1. Емкостной элемент ( конденсатор ) в
   цепи синусоидального тока.

Емкост­ный элемент
— это идеализированный схемный элемент,
позволя­ющий учесть протекание токов
смещения и явление накопления энергии
в электрическом поле реальных элементов
электрической цепи. Его характеризует
зависимость заряда q
от напряжения и (кулон-вольтная
характеристика) или емкость C
= q
/ u.
Положительные направления отсчета u
и i
совпадают. Если приложенное к конденсатору
напряжение u
не изменяется во времени, то заряд q
= Сu
на одной его обкладке и заряд — q
на другой (С — емкость конденсатора)
неизменны, и ток через конденсатор не
проходит (i
= dq
/ dt
=0). Если же напряжение на конденсаторе
изменяется во времени по синусоидальному
закону: u
= U_mSINωt,
то по синусоидальному
закону будет меняться и заряд q
конденса­тора:

q
= Сu
= CU_mSINωt
, т. е. конденсатор будет периодически
пе­резаряжаться. Периодическая
перезарядка конденсатора сопро­вождается
протеканием через него зарядного тока:

i
= dq / dt = ωCU_mCOSωt
= ωCU_mSIN(
ωt + 90⁰
). Ток
через

конденсатор опережает
по фазе напряжение
на конденсаторе на 90°,

поэтому на векторной
диаграмме (рис. б) вектор I_m
опережает вектор

на­пряжения U_m
на 90°. Амплитуда тока I_m
равна амплитуде напряже

­ния U_m,
деленной на емкостное сопротивление:
X_c
= 1 / ωC
,

I_m
= U_m
/ X_c
. Емкостное сопротивление обратно
пропорционально

частоте. Единица емкостного сопротивления
— Ом. Графики

мгновенных значений и, i,
p
изображены на рис. в. Мгновенная

мощность рассчитывается
по формуле: p
= U_mI_mSIN2ωt
/ 2. За первую четверть
периода конденсатор потребляет от
источ­ника питания энергию, которая
идет на создание электрического поля
в нем. Во вторую четверть периода
напряжение на конденса­торе уменьшается
от максимума до нуля, и запасенная в
электри­ческом поле энергия отдается
источнику (мгновенная мощность
отрицательна). За третью четверть периода
энергия снова запаса­ется, за четвертую
отдается и т. д. i
= C*du
/ dt,
u
= ∫idt
/ C.

1. Основы символического метода расчета
   цепей синусоидального тока.

Очень широкое распространение на
практике получил символический, или
комплексный, метод расчета цепей
синусоидального тока.

Сущность
символического метода расчета состоит
в том, что при (синусоидальном токе можно
перейти от уравнений, составленных для
мгновенных значений и являющихся
дифференциальными уравнениями к
алгебраическим уравнениям, составленным
относительно комплексов тока и ЭДС.
Этот переход основан на том, что в
уравнении, составленном но законам
Кирхго­фа для установившегося процесса,
мгновенное значение тока i
за­меняют комплексной амплитудой
тока I_m;
мгновенное значение на­пряжения на
резисторе сопротивлением R,
равное Ri,—
комплексом RI_m,
no
фазе совпадающим с током I_m;
мгновенное значе­ние напряжения на
индуктивной катушке u_L
= L*di
/ dt
–комплексом I_m^*jωL,
опережающим ток на 90°; мгновенное
значение напряжения на конденсаторе
u_c
= ∫idt
/ C
— комплексом I_m(
-j
/ ωC
) отстающим от то­ка на 90°; мгновенное
значение ЭДС е — комплексом Е_m.

Пример. Найти Im^*
для схемы на рисунке. Решение. Схему
на

рисунке можно описать в виде: u_R
+ u_L +
u_c = e
или

iR + L*di
/ dt + ∫idt / C
= e. в комплексной форме
это выглядит:

Im^*R
+ I_m^*jωL
+ I_m^*(
-j / ωC ) = E_m^*.
Если вынести Im^*
за скобку, то:

Im^**(
R + jωL + ( -j / ωC )) = E_m^*.
Тогда

.

1. Комплексное сопротивление. Закон Ома
   для цепи синусоидального тока.

Множитель R+
jωL
– (-j
/ ωC
) представляет собой комплекс, имеет
размерность сопротивления и обозначается
через Z.
Его называют комплексным сопротивлением:

Z
= ze^jφ
= R+
jωL
– 1 / ωC.
Комплекс, Z
можно записать в показательной форме.
Модуль комплексного сопротивления
принято обозначать через z.
Точку над Z
не ставят, потому что принято ставить
ее только над такими комплексными
величинами, которые отображают
сину­соидальные функции времени.

Уравнение Im^**(
R + jωL + ( -j
/ ωC )) = E_m^*
можно записать так: I_mZ
= E_m^*
. Разделим обе его части на √2 и перейдём
от комплексных амплитуд I_m^*
и E_m^*
к комплексам действующих значений I^*
и Е^*:
I^*
= E^*
/ Z.
Уравнение Im^**(
R + jωL + ( -j
/ ωC )) = E_m^*
представляет собой закон
Ома для цепи сину­соидального тока.

В общем случае Z
имеет некоторую действительную часть
R
и некоторую мнимую часть jХ:
Z
= R
+ jX,
где R
— активное сопротивление; X
— реактивное сопротивление.

1. Комплексная проводимость.

Под комплексной проводи­мостью
Y
понимают величину, обратную комплексному
сопротив­лению Z:
Y
= 1 / Z
= g
– jb
= ye^–jφ.
Единица комплексной проводимости — См
или

(Ом^-1 ).
Действи­тельную часть ее обозначают
через g,
мнимую — через b.
Так как

,
то

Если X
положительно, то и b
положительно. При X
отрицатель­ном b
также отрицательно.

При использовании комплексной
проводимости закон Ома записывают в
виде: I^*
= U^*Y,
или I^*
= U^*g
– jU^*b
= I_a^*
+ I_r^*,
где I_a^*
— активная составляющая тока; I_r^*—
реактивная составля­ющая тока; U
— напряжение на участке цепи, сопротивление
кото­рого равно Z.

1. Активная, реактивная и полная мощность.

Под активной
мощностью Р понимают
среднее значение мгновенной мощности
р за период Т:

.
Если ток i
= I_mSINωt,
напряжение на участке цепи

u
= U_mSIN(ωt
+ φ
), то

.
Активная мощность физически представляет
собой энергию, ко­торая выделяется в
единицу времени в виде теплоты на участке
цепи в сопротивлении R.
Тогда: P
= U*COSI
= I²R.
Единица активной
мощности — Вт.

Под реактивной
мощностью Q
понимают произведение напря­жения U
на участке цепи на ток I
по этому участку и на синус угла φ между
напряжением U
и током I:

Q
= UI*SINφ.
Единица реактивной
мощности — вольт-ампер
реактивный (ВАр). Если SINφ
>0, то Q
>0, если SINφ
<0, то Q
<0. Реактивная мощность Q
пропорциональна среднему за четверть
периода значению энергии, которая
отдается источником питания на создание
переменной составляющей элект­рического
и магнитного поля индуктивной катушки
и конденсатора. За один период переменного
тока энергия W_МЭСР
дважды отдается генератором в цепь и
дважды он получает ее обратно, т. е.
реак­тивная мощность является энергией,
которой обмениваются гене­ратор и
приемник.

Полная мощность
рассчитывается по формуле:
S
= UI.
Единица полной
мощности — В*А.
Мощности P,
Q
и S
связаны следующей
зависимостью:
P²
+ Q²
= S².
На щитке любого источника энергии
переменно­го тока указывается значение
S,
характеризующее ту мощность, которую
этот источник может отдавать потребителю,
если последний работает при COSφ
= 1 (т. е. если потребитель представляет
собой чисто активное сопротивле­ние).

1. Выражение мощности в комплексной
   форме записи.

Мощность в комплексной форме записи
имеет формулу:

Š = U^*I^#
= Ue^jφ_u
*Ie^-jφ_i
= UICOSφ + jUISINφ = P + jQ.
Значок ~ (тильда) над
S
обозначает комплекс (а не сопряжен­ный
комплекс) полной мощности, составленный
при участии сопря­женного комплекса
тока I^#.
Таким образом, активная мощность Р есть
действительная часть (Re),
а реактивная мощность Q
— мнимая часть (Im)
произ­ведения U^*I^#:
P
= Re
U^*I^#,
Q
= U^*I^#.

Пример.
Определить активную, реактивную и полную
мощности по данным: e
= 141SINωt
В, R₁
= 3 Ом, R₂
= 2 Ом, L
= 0,00955 Гн, ω = 314 рад /с.
Решение. Напряжение
на входе всей схемы равно ЭДС U
= E
= 100 В. Ток в цепи I^*
= 17,2е^–j31
А. Сопряженный комплекс тока I^#
= 17,2е^j31
А. Комплекс полной мощности S
= U^*I^#
= 100*17,2e^j31
=

= 1720*COS31⁰
+j*1720*SIN31⁰
= 1475 + j*886; P = 1475; Q = 886.
Следовательно,
активная мощность P
= 1470 Вт, реактивная Q
= 886 ВАр и S
= 1720 B*A.

1. Измерение мощности ваттметром.

Измерение мощности производят обычно
с помощью ваттметра электродинамической
системы, в котором имеются две катушки
— неподвижная и по­движная.

Подвижная катушка, выполненная
из очень тонкого провода, имеет практически
чисто активное сопротивление и называется
параллельной обмоткой.
Ее включают параллельно
участку цепи, подобно вольтметру. Жестко
скрепленная со стрелкой (указате­лем),
она может вращаться в магнитном поле,
создаваемом непод­вижной катушкой.

Неподвижная катушка, выполненная из
довольно толстого при­вода, имеет
очень малое активное сопротивление и
называется по­следовательной обмоткой.
Ее включают в цепь последовательно,
подобно амперметру.

Вращающий
момент ваттметра, а следовательно, и
его показа­ния пропорциональны
действительной части произведения
комп­лексного напряжения U_аb
на параллельной обмотке ваттметра на
сопряженный комплекс
тока I^#,
втекающего в конец последовательной
(токовой) обмотки ваттметра и снабженной
точкой: ReU_ab^*I^#
= U_abI*COS(U_abI).

Напряжение на параллельной обмотке
берут равным разности

потенциалов между ее концом, имеющим
точку (точка а), и ее кон­цом, не

имеющим точки (точка b).
Предполагается, что ток I
втекает в конец

последовательной обмотки,
у которого поставлена точка.

Цена деления ваттметра определяется
как частное от деления

произведения номинального
напряжения на номинальный ток на число
делений шкалы.

1. Двухполюсник в цепи синусоидального
   тока.

Если мы имеем пассивный
двухполюсник, то входное сопротивление
двухполюсника Z_вх
= Е / I.
В общем случае: Z_вх
= R_вх
+j
X_вх
= ze^jφ.
При Х_вх
> 0 входное сопротивление имеет
индуктивный харак­тер (φ > 0), при Х_вх
< 0 — емкостный и при Х_вх
= 0 — чисто актив­ный.

Входная проводимость Y,
представляет собой величину, обрат­ную
входному сопротивлению: Y_вх
= l
/ Z_вх.
Входное сопротивление
можно определить расчетным путем, если
известна схема внутренних соединений
двухполюсника и ха­рактер и значения
сопротивлений, либо опытным путем.

При опытном определении
входного сопротивления двухполюс­ника
собирают схему рис. а, в которой амперметр
измеряет ток I,
вольтметр — напряжение U_ab
= U
на входе двухполюсника.
Ваттметр измеряет
Re{U_ab^*I^#
}, т. е. активную мощность Р = UIcosφ.

Модуль входного сопротивления
z
= U
/ I.
При делении Р на произ­ведение UI
получают косинус угла между напряжением
и током: COSφ
= P
/ UI.
По косинусу угла находят
SINφ
и затем находят R_вх
= z*COSφ
и X_вх
= Z*SINφ
.

Так
как косинус есть функция четная,

т. е. cos(
-φ ) = соsφ,
то измерения

необходимо дополнить еще одним опытом,

который по­зволил бы путем сопоставлений

показаний амперметра в двух опы­тах

выявить знак угла φ. Для
определения знака

угла φ можно воспользоваться
специальным

прибором — фазометром либо
при его отсутствии, проделав следующий
опыт: параллельно исследуе­мому
двухполюснику путем замыкания ключа К
подключают не­большую емкость С (рис.
а). Если
показания амперметра при замыкании
ключа К станут меньше, чем они были при
разомкнутом ключе, то угол φ положите­лен
и входное сопротивление Z
= ze^jφ
имеет индуктивный характер (рис. б). Если
показания амперметра при замыкании
ключа станут больше, то φ отрицательно
и входное сопротивление имеет емкостный
характер (рис. в).

Пример.
В схеме рис. a
U
= 120 В; I
= 5 А; Р = 400 Вт. Замыкание ключа К приводит
к уменьшению показаний амперметра.
Опреде­лить входное сопротивление
двухполюсника.

Решение.
Модуль входного сопротивления: z
= U
/ I
= 24 Ом; COSφ
= P
/ UI
= 400 / 120*5 = 0,666; SINφ
= 0,745. Таким образом: R_вх
= z*COSφ
= 24*0,666 = 16 Ом;

X_вх
= z*SINφ
= 24*0,745 = 17,9 Ом. Комплекс входного
сопротивления: Z_вх
= 16 + j17,9
Ом.

1. Резонансный режим работы двухполюсника.

Пусть двух­полюсник
содержит один или несколько индуктивных
элементов и один или несколько
конденсаторов. Под резонансным
режимом (режимами)
работы такого двухполюсника понимают
режим (ре­жимы), при котором входное
сопротивление двухполюсника явля­ется
чисто активным. (Следовательно, для
определения условий наступления
резонанса следует при­равнять нулю
мнимую часть комплекса входного
сопротивления двухполюсника. Такой
способ справедлив, если не пренебрегать
активными сопротивлениями индук­тивных
катушек. )

По отношению к внешней цени двухполюсник
в резонансном режиме ведет себя как
активное сопротивление, поэтому ток и
на­пряжение на его входе совпадают
по фазе. Реактивная мощность двухполюсника
при этом равна нулю.

Различают две основные разновидности
резонансных режимов: резонанс токов и
резонанс напряжений.

1. 

   Резонанс
   токов.

Явление резонанса в схеме рис. а,
образованное

двумя параллельными ветвями с
разнохарактерны­ми

реактивными сопротивлениями, называют

резонансом токов.

Пусть первая ветвь содержит активное

сопротивление R₁
и ин­дуктивное ωL.,
а вторая ветвь — активное R₂
и емкостное 1 / ωС.

Ток I₁^*
в первой ветви отстает от напряжения U
= U_ab
(рис. б) и может быть записан как:

I₁^*
= U^*Y₁
= U^*(g₁
– jb₁
). Ток
I₂
во второй ветви опережает напряжение:

I₂^*
= U^*Y₂
= U^*(g₂
– jb₂
). Ток
в неразветвленной части цепи:

I^*
= I₁^*
+ I₁^*
= U^*(
g₁
+ g₂
) – jU^*(
b₁
+ b₂
). По определению
резонансного режима ток I^*
должен совпадать по фазе с напряжением
U.
Это будет при условии, что сумма реактивных
проводимостей ветвей равна нулю: b₁
+ b₂
= 0. b₁
и b₂
можно рассчитать:

,
следовательно, условие
наступления режима резонанса токов

можно записать так:

.
На рис. б изображена векторная диаграмма
для резонанс­ного режима. Из рисунка
следует, что если R₂
= 0, то резонанс насту­пит при:

ωL
/ ( R₂²
+ ω²L²
) = ωC.
В еще более частном случае, когда R₂
= 0 и R₁
<< L,
резонанс наступит при: ω²LC
≈ 1. Резонанса можно достичь путем
изменения ω, L,
С или R₁
и R₂.
Числовое значение тока в неразветвленной
части схемы может быть меньше токов в
ветвях схемы. При R₂
= 0, R₁
≈ 0 ток I
может ока­заться ничтожно малым по
сравнению с токами I₁
и I₂.
В идеализированном, практически не
выполнимом режиме ра­боты, когда R₁
= R₂
= 0, ток в неразветвленной части схемы
равен нулю и входное сопротивление
равно ∞.

Пример.
В схеме на рис. а R₁
= 30 Ом, ωL
= 40 Ом, R₂
= 0, ω^/
= 10³
рад /с. При каком значении емкости
конденсатора в схеме будет резонанс
токов? Решение.

1. Резонанс напряжений.

Резонанс в схеме
последователь­ного соединения

R,
L,
С (рис. а) называют резонансом напря­жений.
При

резонансе ток в цепи должен совпадать
по фазе с ЭДС

Е^*.
Это возможно, если входное сопротивление

схемы Z
= R
+ j(
ωL
— 1 / ωС) будет чисто активным:

Условие наступления резонанса
в схеме: ω₀L
= 1 / ω₀C,

где ω₀
–резонансная частота. При этом I^*
= E^*
/ R.
Напряжение на индуктивном элементе при
резонансе равно напряжению на емкостном:
U_L
= U_C
= ω₀LI
= ω₀LE
/ R.
Отношение: ω₀L
/ R
= √(L
/ C
) / R
= Q
называют
добротностью резонансного контура.
Добротность пока­зывает, во сколько
раз напряжение на индуктивном (емкостном)
элементе превышает напряжение на входе
схемы в резонансном режиме. Векторная
диаграмма для режима резонанса изображена
на рис. б.

Характеристическим
сопротивлением q
для схемы (рис. а) называют отношение
напряжения на L
и С в режиме резонанса к току в этом
режиме: q
= QR
= √(L
/ C
) .

1. Частотные характеристики двухполюсников.

Входное со­противление
и входная проводимость двухполюсника
в общем слу­чае являются функциями
частоты ω. Под частотными характери­стиками
(ЧХ) понимают следующие типы характеристик:
1) зависимость модуля входного сопротивления
(проводимости) от ча­стоты ω; 2)
зависимость действительной или мнимой
части входного сопротивления (проводимости)
от частоты ω. ЧХ могут быть получе­ны
расчетным (если известна схема, характер
элементов и их чис­ловые значения)
либо опытным (в этом случае схему
двухполюсни­ка и характер составляющих
ее элементов можно и не знать) путем.

При снятии ЧХ опытным путем на вход
двухполюсника подают напряжение, частоту
которого изменяют в широких пределах,
начи­ная с нуля, и по результатам
измерений подсчитывают модуль вход­ного
сопротивления (проводимости) или
действительную (мнимую) часть входного
сопротивления (проводимости).

В
общем случае двухполюсники содержат
резистивные и реак­тивные элементы.
В частном случае двухполюсники могут
состоять только из реактивных элементов,
тогда их называют реактивными
двухполюсниками. Применительно к ним
под ЧХ понимают зависи­мости X
= f(ω)
или b
= f(ω).

Качественно построим
характеристику z
= f(ω)
для

двухполюс­ника рис. а
(рис. б). При ω = 0 (конденсатор

представляет собой разрыв)
z
= R
+ R₁.
При ω ∞

сопротивление конденсато­ра
1 / ωC
0,
а индуктивное

сопротивление ωL
∞.
Поэтому при ω 
∞, z
= R
+ R₂.

При ω = ω₀^/
имеет место режим резонанса токов и
потому входное сопротивление имеет
максимум. В области частот от 0 до ω₀^/
z
–имеет индуктивный характер, в области
от ω₀^/
до ∞ -емкостной . Если R₁
= R₂
<< L
/ C,
то ω₀^/
≈ L
/ C*2R₁.

Рассмотрим вопрос о построении
частотных характеристик ре­активных
двухполюсников, не содержащих резистивных
сопротив­лений.
Входное сопротивление
их

Z
= jX,
а входная проводимость Y=
1 / Z
= -j
/ X
= – jb,
тогда b
= 1 / X.
Частотная

характеристика
таких

двухполюсников —это
зависимость

X
(ω) или b
(ω). Эти зависимости

взаимно обратны.
Для индуктивного

элемента Х(ω) = ωL
(рис. а), а

b(ω)
= 1 / ωL
(рис. б). Для емкостного элемента b(ω)
= – ωС (рис. в), а Х(ω) = -1 / ωC

(рис. г). Для получения Х(ω)
последовательно соединенных элемен­тов
надо сложить ординаты кривых Х(ω) этих
элементов.

1. Двухполюсники.

1.
Случай. ( сопротивление
и

емкость соединены последовательно ).

ЧХ последовательно соединенных

L₁
и С₁
(рис. д) построена на рис. е в

виде кривой 3 (прямая 1 — это

ЧХ L₁
, а кривая 2 — ЧХ С₁
).

Зависимость b(ω)
для схемы рис. д

изображена на рис. ж. При

частоте ω₀
= 1 / √L₁C₁
кривая Х(ω)

пересекает ось абсцисс, а
кривая

b(ω)
претерпевает разрыв от -∞ до +∞.

При этой частоте имеет место
резонанс напряжений.

Основные формулы: Z_вх
= R +jX,
если R = 0, то Z_вх
= jX = j*( ωL
– 1 / ωC ).

Y_вх
= 1 / Z_вх = 1 / ( R +jX ) = R
/ ( R²
+ X² )
– jX / ( R²
+ X² )
= g – jb = g – j /X.

2. Случай. При
параллельном соединении элементов
прово­димости их надо сложить, то
ясно, что для получения кривой b(ω)
параллельно соединенных элементов надо
сложить ординаты кривых b(ω)
этих элементов. Зависимость b(ω)
для схемы рис. з изобра­жена на рис.к,
а обратная ей зависимость Х(ω) — на рис.
и. При
частоте ω _о^/
= 1 / √L₂C₂
кривая b(ω)
пересекает ось абсцисс, а Х(ω)
претерпевает разрыв от
+∞ до -∞. При этой частоте имеет место
резонанс токов в цепи (рис. з).

Основные формулы:

;

3. Случай.
На рис. л последовательно соединены два
двухэлементных ранее рассмотренных
двухполюсни­ка. Так как Х(ω) каждого
из этих двухполюсников построена, то
ре­зультирующее Х(ω) схемы рис. л
получим, суммируя ординаты Х(ω) этих
двухполюсников (т. е. кривых рис. е, и).
Зависимость X(ω)
для схемы рис. л см. рис. м, a
b(ω)
— на рис. н. При плавном увеличении
частоты в схеме (рис. ж), начиная с ω = 0,
сначала возникает резонанс напряжений
при частоте ω₁
, затем резо­нанс токов при ω₂,
после этого резонанс напряжений при ω₃
. При дальнейшем увеличении ω резонансов
возникать не будет.

Сделаем следующие выводы:
1) режимы резонанса токов
и резонанса напряжений чередуют­ся;
2) число резонансных
частот для канонических схем на единицу
меньше числа реактивных элементов;
3) если в схеме есть путь
для прохождения постоянного тока, то
при плавном увеличении частоты, начиная
с нуля, первым наступит резонанс токов,
если нет — резонанс напряжений.

Это следует из того, что
если есть путь для постоянного тока, то
при ω = 0 характеристика X
= f(ω)
начинается с нуля, затем X
увеличивается, а при некоторой ω кривая
претерпевает разрыв, который и
соответствует резонансу токов.

1. 

   Передача
   энергии от активного двухполюсника в
   нагрузку.

К зажимам ab
активного двухполюсника (рис. а) подключена
Нагрузка

Z_н
= R_н
+jX_н.
Требуется выяснить, при соблюдении
ка­ких условий в

нагрузке выделяется максимальная
активная мощ­ность.

По методу эквивалентного
генератора ток в нагрузке: I^*
= U_abx^*
/ ( Z_вх
+ Z_н
),

где Z_вх
= R_вх
+ jX_вх
— входное сопротивление двухполюсника
по от­ношению к зажимам ab,
поэтому: I^*
= U_abx^*
/ ( R_вх
+ R_н
+j*(
X_вх
+X_н
)). По
условию, R_вх
и Х_вх
заданы и изменять их нельзя. Изменять
можно лишь R_н
и Х_н.
Выберем такое Х_н
, чтобы ток в цепи был максимальным; это
возможно, если Х_вх
+ Х_н
=0. При этом двухпо­люсник работает в
резонансном режиме — ток через нагрузку
по фазе совпадает с напряжением U_фbx:

I
= U_abx
/ ( R_вх
+ R_н
). Как
и в цепи постоянного тока, если взять
R_н
= R_вх
выделяющаяся в нагрузке мощность
максимальна: P_max
= U_abx²
/ 4R_вх
. Таким
образом, чтобы выделить в нагрузке,
присоединяемой к активному двухполюснику
с входным сопротивлением R_n
+ jX_вx,
максимально возможную мощность,
необходимо выбрать следую­щие
сопротивления нагрузки.: Х_н
= -Х_вх,
R_H
= R_вх.
При этом Z_н
= Z_вх^#,
а КПД составит 50%.

1. Расчет электрических цепей при наличии
   в них магнитносвязных катушек.

В
состав электрических цепей могут входить
катушки, магнитно-связанные с другими
катушками. Поток одной из них пронизывает
другие и наводит в них ЭДС взаимоиндукции,
которые должны быть учтены при расчете.
При составлении урав­нений для
магнитно-связанных цепей необходимо
знать, согласно или встречно направлены
потоки самоиндукции и взаимоиндукции.

Правильное заключение об этом можно
сделать, если

известно направление намотки
катушек на сердечнике и

выбрано положи­тельное
направление токов в них. На
рис. а

катушки включены согласно, на рис. б —
встречно. Чтобы не

загромождать чертеж,
сердечники катушек на электрических

схемах обычно не изображают, ограничиваясь
тем, что

одноименные зажимы (например,
начала катушек) помечают одинаковыми
значками, например точками. (
Схема рис. в эквивалентна
схеме рис. а, а схема рис. г
– схеме рис. б.
)

Если
на электрической схеме токи двух
магнитно-связанных катушек одинаково
ориентированы относительно одноименно
обоз­наченных зажимов, например оба
направлены к точкам или оба направлены
от точек, то имеет место согласное
включение, в про­тивном случае —
встречное. Если магнитно
связано несколько катушек, то начало и
конец размечают для каждой пары катушек
отдельно.

Пример.
Показать пример расчета для схемы.

Решение.

Введем обозначение: М –взаимная
индуктивность.

UL1 = L1*di1 / dt – M*di2 / dt	R1i1 + L2*di1 / dt – M*di2 / dt + ( 1 / C )*∫i3dt = 0;
UL2 = L2*di2 / dt – M*di1 / dt	-R2i2 – L2*di2 / dt + M*di1 / dt – ( 1 / C )*∫i3dt = 0;

1. Последовательное соединение двух
   магнитно-связных катушек.

На
рис. 1 изображена схема последовательного

согласованного включения двух катушек,
а на рис.2 —

последовательного встречного включения
тех же катушек.

При согласном включении:

iR₁
+ L₁*di
/ dt + M*di / dt + L₂*di
/ dt + M*di / dt + iR₂
= e.

В комплексной форме записи:

I^*(
R₁
+ R₂
+ jω*( L₁
+ L₂
+ 2M )) = E^*
;

I^*Z_согл
= E^*,

Z_согл
= R₁
+ R₂
+ jω*( L₁
+ L₂
+ 2M )

Векторная диаграмма для
согласного включения изображена на
рис. 3,

где
U₁
— напряжение на первой катушке; U₂
— на второй.

При встречном включении:

iR₁
+ L₁*di
/ dt – M*di / dt + L₂*di
/ dt – M*di / dt + iR₂
= e.

В комплексной форме записи:

I^*Z_согл
= E^*,

Z_согл
= R₁
+ R₂
+ jω*( L₁
+ L₂
– 2M )

Векторная диаграмма для встречного
включения при

L₁
> M
и L₂
> M
изображена на рис. 4.

1. Определение взаимной индуктивности
   опытным путем.

Первый способ.
Проделаем два опыта. В первый из них
включим катушки последовательно и
согласно. Измерим ток и напряжение на
входе и активную мощность цепи. Во втором
те же катушки включим последовательно
и встречно и также измерим I,
U,
Р. По результатам измерений найдем:
X_corл,
= ω(
L_l
+ L₃
+ 2M);
X_встр
= ω
( L_l
+ L₂
– 2M).

Разность Х_согл
— Х_встр
= 4 ωМ,
следовательно,
М
= ( Х_согл
– Х_встр
) / 4ω
.

Второй
способ. Подключим
первую катушку к источнику сину­соидальной
ЭДС через амперметр как на рисунке, а к
зажимам второй катушки

присоединим вольтметр с большим
внутренним сопротив­лением.

Измерим ток I₁
и напряжение U₂.

Мгновенное значение
напряжения u₂
= M*di₁
/ dt.
Его

действующее значение U₂
= ωMI₁
. Следовательно, M
= U₂
/ ωI₁.

Пример.
В схеме на рисунке вольтметр показал
100 В,

амперметр 10 А; ω
= 314 рад/с. Определить М. Решение.
По формуле из второго способа, М = 100 / (
314*10 ) = 0,0319 Гн.

1. Трансформатор. Вносимое сопротивление.

Трансформа­тор представляет
собой статическое (т. е. не имеющее
подвижных
частей) устройство,
служащее для преобразования числового
значения переменного во времени
напряжения, а также для электрического
разделения цепей и преобразования
числовых значений сопротивлений.
Передача энергии из одной цепи в другую
производится трансформатором благодаря
явлению взаимоиндукции. Трансформатор
имеет две обмотки, находящиеся на общем
сердечнике. Магнитную проницаемость
сердечника будем полагать постоянной.
Параметры первичной обмотки R₁
и L₁
, вторичной — R₂
b
L₂.
Взаимная индуктивность между обмотками
М. Сопротивление
нагрузки, подключенной к зажимам
вторичной обмотке, равно Z_н.

Выберем положительные
направления токов I₁^*
и I₂^*.
Обозначим

напряжение на нагрузке U_н^*.
Запишем уравнения в комплексной форме:

для первичной цепи:
I₁^*R₁
+ I₁^*jωL₁
+ I₂^*jωM
= E^*.

для вторичной цепи:
I₂^*R₂
+ I₂^*jωL₂
+ I₁^*jωM
+ U_н
= 0.

На
рис. б качественно построим

векторную диаграмму, полагая, что
нагрузка

Z_н
= z_нe^jφ
имеет индуктивный характер.

Ток I₂^*
направим по оси +1. Напряжение на

нагрузке U_н
опережает ток I₂^*
на угол φ

Падение напряжения I₂^*R₂
совпадает по фазе

стоком I₂^*
. Вектор I₂^*jωL₂
опережает вектор тока I₂^*
на 90 °.

В соответствии с уравнением
для вторичной цепи вектор I₁^*jωM
проводим так, чтобы геометрическая
сумма падений напряжений во вторичной
цепи равнялась нулю.

Вектор тока I₁^*
отстает от вектора I₁^*jωM
на 90⁰.
Вектор I₁^*R₁
совпадает с вектором тока I₁^*
по фазе, а вектор I₁^*jωL₁
опережает вектор I₁^*
на 90°.

Вектор I₂^*jωM
опережает вектор I₂^*
на 90°. В соответствии с урав­нением
дял первичной цепи геометрическая сумма
I₁^*R₁
+ I₁^*jωL₁
+ I₂^*jωM
дает E₁*_.

Основные формулы:
U_н^*
= I₂^*Z_н
= I₂^*(
R_н
+ jX_н
); I₁^*
= E₁^*
/ (( R₁
+ R_вн
) + j(
X₁
– X_вн
)),

где R_вн
и X_вн
–вносимые из вторичного контура в
первичный активное и реактивное
сопротивление.

и

Вносимые сопротивления
представляют собой такие сопротив­ления,
которые следоало бы “внести” в
первичную цепь (включить последовательно
с R₁
и X₁
), чтобы учесть влияние нагрузки вторич­ной
цепи трансформатора на ток в его первичной
цепи (рис. в).

1. Топографическая диаграмма.

Топографическая диаграмма

–совокупность точек комплексной

плоскости, изображающих комплексные

потенциалы одноименных точек цепи.

Пример. Построить
топографическую

диаграмму для схемы на рис.
а к этому

вопросу, совместив ее с
векторной диаграммой токов. Две ветви
схемы связаны магнитно. Значения
параметров: ωL₁
= 3 Ом; ωL₂
= 4 Ом; ωМ
= 3 Ом; R₁
= R₂
= 2 Ом; E^*
= 100 В. Решение.
Обозначим токи в ветвях через I₁^*
и I₂^*
и ток в неразветвленной части схемы —
через I^*.
Составим уравнения по второму закону
Кирхгофа для со­гласного включения
катушек: I₁^*(
R₁
+jωL₁
) + I₂^*jωM
= E^*;
I₁^*jωM
+ I₂^*(
R₂
+jωL₂
) = E^*.
Совместное решение их дает: I₁^*
= 16e^–j60
A,
I₂*
= 14,27e^–j86,5.
Топографическая диаграмма, совмещенная
с векторной диаграммой токов, изо­бражена
на рис. 6.