Как найти синус половины угла

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла , так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла α2 при помощи тригонометрических функций угла α. В статье раскрыты формулы половинного угла и добавлены их доказательства с примерами решений.

Список формул половинного угла

Стандартные формулы половинного угла:

sin2α2=1-cosα2cos2α2=1+cosα2tg2α2=1-cosα1+cosαctg2α2=1+cosα1-cosα

Формулы для sin и cos половинного угла справедливы при любом значении заданного угла α. Формулу для tg любого угла αопределяет tgα2, значение угла α≠π+2π·z при z равном любому целому числу ( выражение 1+cosα с таким же значением α не должно принимать значение 0). Формула ctg угла считается справедливой для любого угла α, где половинный угол имеет место быть, α≠2π·z.

Самые значимые формулы половинного угла для квадратов тригонометрических функций выводятся через положительное или отрицательное значение арифметического квадратного корня. Имеем формулы половинного угла:

sinα2=±1-cosα2, cosα2=±1+cosα2, tgα2=±1-cosα1+cosα, ctgα2=±1+cosα1-cosα

Знак «-» указывает, что тригонометрическая функция принадлежит определенной четверти угла α2.

Применим формулы на практике.

Доказательство формул половинного угла

Доказательство формул половинного угла основывается на формулах cos двойного угла cosα=1-2·sin2α2 и cosα=2·cos2α2-1. Упростив первое выражение по sin2α2, получим саму формулу половинного угла sin2α2=1-cosα2, второе выражение по cos2α2 получим cos2α2=1+cosα2.

Чтобы доказать формулы половинного угла для tg и ctg угла α2, необходимо применить основные тригонометрические тождества tgα2=sinα2cosα2 и ctgα2=cosα2sinα2, к ним необходимо добавить формулы половинного угла cos и sin, которые доказали выше. При подстановке получим выражения, имеющие вид:

tg2α2=sin2α2cos2α2=1-cosα21+cosα2=1-cosα1+cosα;ctg2α2=cos2α2sin2α2=1-cosα21+cosα2=1+cosα1-cosα;

Все формулы половинного угла были доказаны.

Примеры использования

Покажем применение формул половинного угла при решении примера.

Пример 1

Известно, что cos30°=32. Необходимо вычислить значение cos 15 градусов, используя формулы половинного угла.

Решение

Данный пример рассматривает применение формулы половинного угла для косинуса, имеющей вид cos2α2=1+cosα2.

Следуя из условия, подставляем числовые значения и получаем: cos215°=1+cos30°2=1+322=2+34. После получения значения косинуса 15 градусов, необходимо найти само значение косинуса. Для этого вспомним, что угол в 15 градусов принадлежит первой четверти. Там косинус угла имеет положительное значение ( чтобы вспомнить знаки тригонометрических функций, необходимо повторить теорию знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Следуя из вышесказанного, имеем cos215°=2+34, тогда cos 15°=2+34=2+32. Ответ: cos 15°=2+32.

Применяя формулу половинного угла, стоит учитывать тот факт, что угол может быть не явного вида α2 и α, а потребует дальнейшего приведения к стандартному виду. Главное условие – нахождение аргумента в правой части формул половинного угла было в 2 раза больше, чем в левой. Иначе применение формулы будет невозможно.

Если формула позволит записывать данное равенство таким образом sin27α=1-cos14α2 или sin2 5α17=1-cos10α172, то формула будет применима.

Для правильного преобразования и применения формул половинного аргумента необходимо досконально изучить свойства тригонометрических функций. Не любое выражение поддается такому преобразованию в тригонометрии. Необходимо внимательно следить за значениями углов тригонометрических функций и их нахождение в четвертях для определения знака для выражения.

Все формулы половинного угла в тригонометрии:

Примеры использования

Примеры использования

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Синус половинного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Синус половинного угла выражается формулой, связывающей функцию угла (
alpha
) и функцию угла (
frac{alpha}{2}
) с формулой
(
sin frac{alpha}{2}=pm sqrt{frac{1-cos alpha}{2}}
)

Вывод формулы синуса с половинным углом

Вы можете получить эту формулу, используя формулу с двойным углом косинуса следующим образом:
(
cos alpha=cos left(2 cdot frac{alpha}{2}right)=1-2 sin ^{2} frac{alpha}{2}
)

отсюда
(
sin ^{2} frac{alpha}{2}=frac{1-cos alpha}{2}
)

Эта формула также называется формулой для снижения степени синуса.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача
  • Рассчитать:

    (
    int_{0}^{frac{pi}{3}} 3 sin ^{2} frac{x}{2} d x
    )

  • Решение:

    Чтобы вычислить этот интеграл, мы используем формулу полусинусоидального угла.

    (
    int_{0}^{frac{pi}{3}} 3 sin ^{2} frac{x}{2} d x=3 int_{0}^{frac{pi}{3}} frac{1-cos x}{2} d x=frac{3}{2}left(int_{0}^{frac{pi}{3}} d x-int_{0}^{frac{pi}{3}} cos x d xright) frac{3}{2}left(left.xright|_{0} ^{frac{pi}{3}}-sin left.xright|_{0} ^{frac{5}{3}}right)=frac{3}{2}left(frac{pi}{3}-0-sin frac{pi}{3}+sin 0right)=frac{3}{2}left(frac{pi}{3}-frac{sqrt{3}}{2}right)=frac{pi}{2}-frac{3 sqrt{3}}{4}
    )

  • Ответ

    (
    int_{0}^{frac{pi}{3}} 3 sin ^{2} frac{x}{2} d x=frac{pi}{2}-frac{3 sqrt{3}}{4}
    )

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    простить выражение
    (
    sin ^{2} frac{x}{2}-frac{1}{2} operatorname{tg} x sin x+frac{1}{2 cos x}
    )

  • Решение:

    Чтобы упростить это выражение, мы будем использовать формулу для уменьшения степени синуса, а также представим касательную в виде (
    operatorname{tg} x=frac{sin x}{cos }
    ):

    (
    sin ^{2} frac{x}{2}-frac{1}{2} operatorname{tg} x sin x+frac{1}{2 cos x}=frac{1-cos x}{2}-frac{1}{2} cdot frac{sin x}{cos x} cdot sin x+frac{1}{2 cos x}=frac{cos x-cos ^{2} x-sin ^{2} x+1}{2 cos x}=frac{cos x-1+1}{2 cos x}=frac{cos x}{2 cos x}=frac{1}{2}
    )

  • Ответ

    (
    sin ^{2} frac{x}{2}-frac{1}{2} operatorname{tg} x sin x+frac{1}{2 cos x}=frac{1}{2}
    )

  • Формулы половинного угла (половинного аргумента) – это часть от всех основных тригонометрических формул. Они выражают функции синус, косинус, тангенс, котангенс угла `frac{alpha}2` через эти ж функции аргумента `alpha`. Они, можно сказать, противоположны формулам двойного угла. Ниже приведены все формулы половинных углов, их вывод, а также примеры решения задач с их использованием.

    Список всех формул половинного угла

    Их можно встретить записанными в двух видах. В первом каждая из тригонометрических функций выражается через радикал:

    `sin frac alpha 2=pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}`
    `cos frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}`
    `tg frac alpha 2=pm sqrt{frac {1-cos alpha}{1+cos alpha}}=` `frac {sin alpha}{1+cos alpha}=frac {1-cos alpha}{sin alpha}`
    `ctg frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}{1-cos alpha}}=` `frac {sin alpha}{1-cos alpha}=frac {1+cos alpha}{sin alpha}`

    Знак «+» или «-» перед корнями зависит от того, в какую из координатных четвертей попадает угол `frac{alpha}2`.

    Во втором варианте имеем дело с квадратами тригонометрических функций половинного угла:

    `sin^2 frac alpha 2=frac {1-cos alpha}2`
    `cos^2 frac alpha 2=frac {1+cos alpha}2`
    `tg^2 frac alpha 2=frac {1-cos alpha}{1+cos alpha}`
    `ctg^2 frac alpha 2=frac {1+cos alpha}{1-cos alpha}`

    Формула синуса и косинуса половинного угла имеет место при любом угле `alpha`.

    Формула тангенса половинного угла справедлива для тех углов `alpha`, при которых определен `tg frac alpha 2`, то есть при ` alphanepi+2pi n, n in Z`.

    Формула котангенса выполняется для тех `alpha`, при которых определен `ctg frac alpha 2`, то есть при ` alphane 2pi n, n in Z`.

    С помощью следующего набора формул можно выразить каждую из тригонометрических функций угла `alpha` через тангенс половинного угла.

    `sin alpha= frac{2tgfrac{alpha}{2}}{1 + tg^{2}frac{alpha}{2}},` ` alphane pi +2pi n, n in Z`
    `cos alpha= frac{1 — tg^{2}frac{alpha}{2}}{1 + tg^{2}frac{alpha}{2}},` ` alpha ne pi +2pi n, n in Z`
    `tg alpha= frac{2tgfrac{alpha}{2}}{1 — tg^{2}frac{alpha}{2}},` ` alpha ne pi +2pi n, n in Z,` ` alpha ne frac{pi}{2}+ pi n, n in Z`
    `ctg alpha = frac{1 — tg^{2}frac{alpha}{2}}{2tgfrac{alpha}{2}},` ` alpha ne pi n, n in Z,` `alpha ne pi + 2pi n, n in Z`

    Вывод формул половинного угла

    Формула косинуса и синуса половинного угла выводится из формул косинуса двойного угла `cos 2alpha=1-2 sin^2 alpha` и `cos 2alpha=2 cos^2 alpha-1`. Запишем их в следующем виде: `cos alpha=1-2 sin^2 frac alpha 2` и `cos alpha=2 cos^2 frac alpha 2-1`. Выразив из первого равенства ` sin frac alpha 2` получим `sin frac alpha 2=pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}`. Аналогично разрешив второе равенство относительно ` cos frac alpha 2` в результате будем иметь `cos frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}`.

    Формулы тангенса и котангенса половинного угла можно вывести, используя определения этих функций в виде `tg frac alpha 2=frac{sinfrac alpha 2}{cos frac alpha 2}` и `ctg frac alpha 2=frac{cos frac alpha 2}{sin frac alpha 2}`, а также две уже доказанные выше формулы для синуса и косинуса.

    В результате будем иметь: `tg frac alpha 2=frac{sinfrac alpha 2}{cos frac alpha 2}=` `frac{pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}}{pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}}=` `pm sqrt{frac {1-cos alpha}{1+cos alpha}}` и `ctg frac alpha 2=frac{cosfrac alpha 2}{sin frac alpha 2}=` `frac{pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}}{pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}}=` `pm sqrt{frac {1+cos alpha}{1-cos alpha}}`.

    Примеры использования при решении задач

    Пример 1. Найти `cos 15^circ`, если известно, что `cos 30^circ=frac{sqrt3}2`.

    Решение. Формула половинного угла для тригонометрической функции косинус имеет вид `cos^2 frac alpha 2=frac {1+cos alpha}2`. Подставив известные значения, имеем `cos^2 15^circ=frac {1+cos 30^circ}2=` `frac{1+frac{sqrt3}2}2=frac{2+sqrt3}4`. Имея значение `cos^2 15^circ`, найдем `cos 15^circ`. Поскольку угол 15 градусов лежит в первой координатной четверти, а косинус в этой четверти имеет знак «+», то `cos 15^circ=sqrt{frac{2+sqrt3}4}=` `frac{sqrt{2+sqrt3}}2`.

    Ответ. `cos 15^circ=frac{sqrt{2+sqrt3}}2`.

    Пример 2. Вычислить значение выражения `4cos frac {alpha}2+2cos alpha+5`, если `cos alpha=frac {1}8`.

    Решение. Используя ту же формулу, что и в первом примере (`cos frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}`) и известное значение косинуса, упростим выражение: `4sqrt{frac {1+cos alpha}2}+2cos alpha+5=4sqrt{frac {1+frac {1}8}2}+2 cdot frac {1}8+5=` `4sqrt{frac {9}16}+frac{1}4+5=8frac{1}4`.

    Ответ. `4cos frac {alpha}2+2cos alpha+5=8frac{1}4`.

    Еще несколько примеров с подробным объяснением посмотрите на видео:

    В большинстве случаев формулы половинного угла используются при преобразовании тригонометрических выражений.

    Материалы по теме:

    • Тригонометрические формулы: косинус, синус и тангенс двойного угла
    • Формулы понижения степени в тригонометрии: вывод и примеры
    • Все формулы по тригонометрии
    • Формулы приведения тригонометрических функций

    Загрузка…

    ВИДЕО УРОК

    Синус, косинус, тангенс и котангенс половины угла.

    Формулы деления аргумента пополам выражают тригонометрические функции
    половинного аргумента 
    α/2  через
    тригонометрические функции аргумента 
    α.

    Синус половины
    угла равен плюс или минус квадратному корню из полуразности между единицей и
    косинусом целого числа.

    Рассмотрим соотношения

    В результате почленного вычитания получим:

    откуда

    ПРИМЕР:

    Вычислите  sin α/2, если

    cos α = – 4/5  и  180° < α < 270°.

    РЕШЕНИЕ:

    По формуле

    Находим

    Учитывая, что  sin α/2 ˃ 0  при 

    180°
    < α <
    270°, то есть 

    90° < α/2 < 135°, получим

    ОТВЕТ

    sin
    α/2 0,948683.

    ПРИМЕР:

    Найдём  sin 15°  без таблицы:

    РЕШЕНИЕ:

    ОТВЕТ:

    Косинус половины угла
    равен плюс или минус квадратному корню из полусуммы единицы и косинуса целого
    числа.

    Складывая почленно равенства

    будем иметь:

    откуда

    ПРИМЕР:

    Найдём

    sin
     α/2, cos
     α/2,

    если

    cos
    α = 0,8
     
    и 
    0 < α < π/2.

    РЕШЕНИЕ:

    Угол 
    α/2  находится в 
    I  четверти, поэтому 

    sin  α/2 ˃ 0, cos α/2 ˃ 0.

    ОТВЕТ:

    sin
    α/2 ≈ 0,316,

    cos
    α/2  ≈ 0,949.

    Тангенс половины угла равен плюс или минус корню квадратному из дроби,
    числитель которой есть разность между единицей и косинусом целого угла, а
    знаменатель есть сумма единицы и косинуса целого угла.

    Разделим почленно равенство

    на равенство

    получим:

    ПРИМЕР:

    Найдём значение  tg 112°30ʹ  без
    таблиц
    .

    РЕШЕНИЕ:

    ОТВЕТ:

    tg 112°30ʹ = –1 – √͞͞͞͞͞2.   


    Котангенс половины угла равен плюс или минус корню квадратному из дроби,
    числитель которой есть сумма между единицей и косинусом целого угла, а
    знаменатель есть разность единицы и косинуса целого угла.

    ПРИМЕР:

    Даноcos α = 49/81.

    Найтиsin  α/2, cos
     α/2.

    РЕШЕНИЕ:

    Имеем:

    ПРИМЕР:

    Найти  tg  α/2, если  

    cos
    α = 0,8
     
    и 
    0 < α < π/2.

    РЕШЕНИЕ:

    По формуле

    находим:

    tg  α/2 ˃
    0, так как половина острого угла – угол острый, а тангенс острого угла
    положительный
    .

    Если
    бы, например угол 
    α  находился в промежутке между  270°  и  360°, то  cos α  был бы
    так же положительным, но тангенс половины этого угла уже был бы отрицательным,
    так как

    135° < α/2
    <
    180°,

    то есть подвижной радиус, соответствующий углу  α/2, расположился бы во второй четверти, поэтому перед корнем в формуле

    надо
    взять знак минус.

    Последний пример поясняет смысл двух знаков  ±  перед
    радикалом в формулах

    Знаки
    плюс или минус берутся в соответствии с тем, в какой четверти расположится
    подвижной радиус половины угла.

    Если
    же величина угла 
    α, а
    следовательно, и 
    α/2  неизвестны, то перед радикалом ставим оба
    знака.

    Для
    тангенса половинного угла можно вывести ещё две формулы.

    Если в равенстве

    помножить числитель и знаменатель правой части на  2 sin  α/2, то получим:

    Но
    так как

    2 sin2 α/2 = 1
    cos α, а 

    2 sin α/2 cos α/2 = sin α, то

    Если же числитель и знаменатель правой части равенства

    помножить
    на 
    2 cos α/2, а
    затем воспользоваться формулами

    2 sin α/2 cos α/2 = sin α,

    2 cos2 α/2 = 1
    +
    cos α

    получим:

    Применим полученные формулы к предыдущему примеру. Имеем:  cos α = 0,8. Пусть угол  α – острый. Тогда

    откуда по формуле

    находим:

    По формуле

    получим:

    Пусть угол  α  заключён между  270°  и  360°, тогда  cos α = +0,8, но  sin α = 0,6, и для  tg  α/2  получим:

    по другой формуле:

    Формулы

    были
    выведены из таких тождеств:

    2 sin2 α/2 = 1
    cos α,

    2 cos2 α/2 = 1
    +
    cos α.

    Эти
    тождества

    1 – cos α = 2
    sin2 α/2,

    1 + cos α = 2
    cos2 α/2.

    полезно
    помнить, так как ими часто приходится пользоваться при различных
    преобразованиях. Эти формулы связывают тригонометрические функции углов, из
    которых один вдвое больше другого.

    ПРИМЕР:

    Привести к простейшему
    виду выражение

    РЕШЕНИЕ:

    Пользуясь формулой

    1 + cos 2α = 2 cos2 α

    имеем:

    ПРИМЕР:


    Привести к простейшему
    виду выражение

    РЕШЕНИЕ:

    Пользуясь формулой

    sin 2α = 2
    sin α cos α

    имеем:

    ПРИМЕР:


    Доказать справедливость
    равенства

    РЕШЕНИЕ:


    Преобразуем левую часть:

    а это – правая часть.


    Аналогично можно вывести
    формулы и для 
    ctg  α/2.

    Выражение тригонометрических функций угла через тангенс половины этого угла.

    Все тригонометрические функции любого угла выражаются
    рационально
    (с
    помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую
    степень
    ) через тангенс половины этого
    угла
    .

    Имеем:

    sin α = 2 sin α/2 cos α/2.

    Разделим правую часть на

    sin2 α/2 + cos2 α/2,

    получим:

    Числитель и знаменатель правой части делим
    на 
    cos2 α/2, получим:

    Точно
    так же, разделив правую часть тождества

    cos
    α
    = cos
    2
    α/2sin2
    α/2

    на  sin2 α/2 + cos2 α/2, получим:

    Разделим числитель и знаменатель правой части
    на 
    cos2 α/2, будем иметь:

    и, наконец,

    Так как значения функций  sес α  и  cosес α  обратны
    по величине соответственным значениям функций 
    cos α  и  sin α, то они также рационально
    выражаются через 
    tg  α/2.

    Задания к уроку 23

    • Задание 1
    • Задание 2
    • Задание 3

    ДРУГИЕ УРОКИ

    • Урок 1. Градусное измерение угловых величин
    • Урок 2. Радианное измерение угловых величин
    • Урок 3. Основные тригонометрические функции
    • Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
    • Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
    • Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
    • Урок 7. Знаки тригонометрических функций
    • Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
    • Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
    • Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
    • Урок 11. Основные тригонометрические тождества
    • Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
    • Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
    • Урок 14. Теорема синусов
    • Урок 15. Теорема косинусов
    • Урок 16. Решение косоугольных треугольников
    • Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
    • Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
    • Урок 19. Формулы приведения (1)
    • Урок 20. Формулы приведения (2)
    • Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
    • Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
    • Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
    • Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
    • Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
    • Урок 27. Обратные тригонометрические функции
    • Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
    • Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
    • Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
    • Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований

    Добавить комментарий