У многих учеников возникают проблемы с этой темой, в основном, из-за непонимания общего смысла тригонометрии. В этой статье я постараюсь помочь вам разобраться зачем нужна тригонометрия и расскажу про лайфхак, чтобы не учить значения синуса и косинуса.
К моменту начала изучения тригонометрии Вы, скорее всего, уже знаете: определение прямоугольного треугольника и окружности — этого вполне достаточно для понимания темы.
*прошу заметить, что некоторые формулировки могут не соответствовать действительности – это сделано для того, чтобы вы лучше запомнили основы. Точные понятия и определения расскажет ваш учитель математики.
Что такое синус и косинус?
Изначально не было никакой окружности. Изучая треугольники, древние ученые выражали углы через соотношение сторон. То-есть синусы и косинусы появились раньше градусной меры углов.
Поскольку угол может быть найден через разные соотношения сторон, решили дать им названия: синус и косинус.
Синус – это отношение стороны треугольника, лежащей напротив данного угла, к гипотенузе (большей стороне).
Косинус – это отношение прилежащей стороны к гипотенузе.
Думаю не ошибусь, если скажу, что теорема Пифагора – самая полезная теорема в геометрии. Давайте применим её для данного треугольника:
Пояснение: делим обе части уравнения на квадрат гипотенузы и делаем замену.
Тригонометрическая окружность
Большие числа тяжело было показывать на координатной прямой, поэтому математики придумали также поделить окружность на равные части:
При переходе через равное расстояние одни и те же точки могут менять свою координату. Например, точка 0 (начало отсчёта) может являться 16, точка 1 может принимать значение 17 и так далее.
Идея с бесконечной прямой хороша, но как переводить эти величины в известную нам координатную плоскость?
На помощь приходит определение круга:
Проведём два перпендикулярных диаметра круга (это будет условная координатная плоскость), а радиус будет равен 1.
Центр круга будет точкой отсчёта (0) для новых осей.
Далее всё предельно просто:
- Выберем любую точку на окружности
- Опустим из этой точки перпендикуляр вниз и соединим её с центром окружности
Где-то мы это уже видели.
Но почему катеты прямоугольного треугольника подписаны как синус и косинус?
Обратимся к определению синуса и косинуса – это отношения к гипотенузе. В данном случае наша гипотенуза всегда будет равна 1, а значит, что синусом и косинусом угла будет являться сама сторона треугольника.
Измерения окружности
Буквой «П» принято отмечать Полуокружности.
Если из точки П пройти ещё одну Полуокружность, Вы снова попадете в точку 0, но уже с другим значением – 2П (2 полуокружности).
Мы можем разбить всю окружность на несколько частей:
Эти значение НЕ НУЖНО учить. Просто нужно понять, что мы делим Полуокружности на определенное количество частей.
Как найти синус и косинус?
Для синуса и косинуса достаточно запомнить всего 5 значений:
Всё на одной схеме:
Не судите строго, это моя первая статья на Дзене;)
Буду рад Вашей обратной связи!
Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = Противолежащий катет гипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos α = Прилежащий катет гипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет
Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:
sin ∠ A = C B A B
cos ∠ A = A C A B
tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C
ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B
sin ∠ B = A C A B
cos ∠ B = B C A B
tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B
ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C
Тригонометрия: Тригонометрический круг
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )
На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.
Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .
Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .
Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .
Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :
cos α = O B O A = O B 1 = O B
sin α = A B O A = A B 1 = A B
Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :
Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .
Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .
Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .
Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .
Основное тригонометрическое тождество
sin 2 α + cos 2 α = 1
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :
A B 2 + O B 2 = O A 2
sin 2 α + cos 2 α = R 2
sin 2 α + cos 2 α = 1
Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
0 °
30 °
45 °
60 °
90 °
sin α
0
1 2
2 2
3 2
1
cos α
1
3 2
2 2
1 2
0
tg α
0
3 3
1
3
нет
ctg α
нет
3
1
3 3
0
Тригонометрия: градусы и радианы
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия: Формулы приведения
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Рассмотрим тупой угол β :
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin ( 180 ° − α ) = sin α
cos ( 180 ° − α ) = − cos α
tg ( 180 ° − α ) = − tg α
ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α
Тригонометрия: Теорема синусов
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C
Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Тригонометрия: Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
Это тема 10-11 классов.
Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!
Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.
Вот что мы видим на этом рисунке:
А теперь подробно о тригонометрическом круге:
Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.
Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.
Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Всё это легко увидеть на нашем рисунке.
Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :
Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:
Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).
Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.
Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.
Легко заметить, что
Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:
где — целое число. То же самое можно записать в радианах:
Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,
Единичная окружность
О чем эта статья:
10 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Единичная окружность в тригонометрии
Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.
Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.
Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.
Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.
Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.
Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.
В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.
Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.
Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.
Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:
- Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
- Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cos, отрицательны.
- В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
- В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.
Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:
Радиан — одна из мер для определения величины угла.
Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.
Число радиан для полной окружности — 360 градусов.
Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.
Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.
Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:
- 2π радиан = 360°
- 1 радиан = (360/2π) градусов
- 1 радиан = (180/π) градусов
- 360° = 2π радиан
- 1° = (2π/360) радиан
- 1° = (π/180) радиан
Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Уравнение единичной окружности
При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:
Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
[spoiler title=”источники:”]
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/trigonometricheskij-krug/
http://skysmart.ru/articles/mathematic/edinichnaya-okruzhnost
[/spoiler]
урок 2. Математика ЕГЭ
Тригонометрическая окружность
В этой статье мы поговорим об основах тригонометрии – о тригонометрической окружности. С нее начинается изучение тригонометрии в 10-м классе.
Именно тригонометрические уравнения, как правило, попадаются в самом легком задании второй части ЕГЭ по профильной математике. А умение преобразовывать тригонометрические выражения часто бывают и в первой части. Без этой важной темы на ЕГЭ никак не обойтись.
Тригонометрия очень непривычная тема для школьников. А единичная окружность – это основа, если вы разберетесь с ней, то все остальное не будет казаться таким сложным.
Единичная окружность
Чтобы начать пользоваться тригонометрической окружностью, ее нужно построить.
Для начала нарисуем обычную прямоугольную декартову систему координат – ту, в которой вы должны были в младших классах строить различные графики прямых, парабол и т.д. Горизонтальную ось (ось абсцисс), как обычно, обозначим за (x), а вертикальную (ось ординат) за (y). И нарисуем в этой системе координат обыкновенную окружность единичного радиуса с центром в точке с координатами ((0;0)) – начало координат.
Пусть наша единичная окружность пересекает оси абсцисс и ординат в точках (A,B,C,D), как показано на рисунке. Центр окружности обозначим за точку (O).
Тригонометрическая окружность
Сразу обратите внимание, что оси (x) и (y) делят наш круг на четыре части, их называют четвертями. А еще каждой четверти присвоили свой номер так же, как пронумеровано римскими цифрами на рисунке. В школе часто мучают этими четвертями.
Как считать углы на единичной окружности
А теперь мы подобрались к самому главному: будем рисовать углы на окружности. Все углы отсчитываются, начиная с отрезка (OA) ПРОТИВ часовой стрелки. Например, давайте повернем отрезок (OA) против часовой стрелки на угол (30^o) (как стрелку часов) и получим некоторую точку (M), лежащую на окружности. На рисунке хорошо видно, как мы получили угол (angle{AOM}).
Острый угол на единичной окружности
Таким образом, можно получать любые углы, просто поворачивая отрезок (OA). На рисунке 3 кроме угла (angle{AOM}=30^o) я нарисовал углы: (angle{AON}=45^o), (angle{AOK}=60^o), (angle{AOB}=90^o), (angle{AOF}=120^o), (angle{AOL}=135^o), (angle{AOT}=150^o), (angle{AOC}=180^o).
Рис.3. Углы на тригонометрической окружности
Обратите внимание на углы (angle{AOB}=90^o) и (angle{AOC}=180^o): прямой и развернутый углы соответственно. Они нам понадобятся чуть позже.
Но и это еще не все! Оказывается, бывают углы больше чем (180^o). Например, на нашей окружности такими углами будут (angle{AOW}=210^o), (angle{AOQ}=315^o).
Есть даже угол, который соответствует полному обороту (angle{AOA}=360^o) (см. Рис. 4)
Рис.4. Развернутые углы на тригонометрической окружности
Обратите внимание, что абсолютно все углы отсчитываются от отрезка (OA). И каждому углу соответствует своя точка на окружности. В тригонометрии принято все углы на единичной окружности обозначать просто точками. Например, точка (K) на рисунке 3 соответствует углу в (60^o), точка (W) соответствует углу (210^o).
Любознательный читатель может спросить: а существуют ли углы большие (360^o)? И ответом будет – конечно, да. Нам ничто не мешает повернуть отрезок (OA) на (360^o), а потом продолжить поворачивать его, например, еще градусов на (30^o). И тогда мы получим прекрасный угол, соответствующий точке (V=390^o).
Угол больше одного оборота на тригонометрической окружности
Кстати, точка (V) совпадет с точкой (M), соответствующей углу в (30^o). Получается, одна и та же точка может соответствовать сразу нескольким углам!
Действительно, если к любому углу прибавить (360^o), то вы попадете опять в ту же самую точку. Аналогично можно обратить внимание, что точка (A) одновременно соответствует как минимум двум углам: (0^o) и (360^o).
Угол в (720^o) будет соответствовать двум полным оборотам.
А ведь можно к любому углу прибавить не (360^o), а (720^o), что соответствует сразу 2-м полным оборотам. И так добавлять обороты можно до бесконечности. Значит, любой точке на единичной окружности соответствует бесконечное количество углов с шагом в (360^o). Например, углы (60^o, , 420^o, , 780^o, , 1140^o) и т.д. все лежат в одной и той же точке на окружности, так как они все отличаются на один полный оборот – на (360^o). Это важная мысль, в дальнейшем она нам пригодится.
В общем, можно отсчитывать углы от отрезка (OA) сколько угодно большие и можно накручивать круги до бесконечности. Причем каждой точке соответствует бесконечное количество углов.
А еще существуют отрицательные углы! Оказывается, если повернуть отрезок (OA) ПО ЧАСОВОЙ стрелке, то мы получим отрицательный угол. Например, на рисунке показан угол в (-30^o).
Отрицательные углы на единичной окружности
Любой угол, получившийся поворотом по часовой стрелке, будет отрицательным.
Кстати, точка (M) на окружности, соответствующая углу в (-30^o), отсчитанному по часовой стрелке, совпадает с точкой, соответствующей углу в (330^o), отсчитанным против часовой.
Как переводить радианы в градусы?
Все знают, чтобы измерить некоторое расстояние, можно воспользоваться несколькими единицами измерения: сантиметрами, метрами, километрами или даже световыми годами. Точно так же углы можно измерять по-разному. Мы всю свою жизнь углы измеряли градусами и интуитивно уже понимаем, сколько градусов соответствует визуально какому углу. Довольно легко представить угол в (30^o) или (90^o).
Но, к большому сожалению, в математике углы часто измеряют не в градусах, а в радианах. Так просто удобно в некоторых случаях. А нам с вами ничего не остается, как привыкнуть к новой единице измерения углов.
Ничего страшного в этом нет. Первое, с чем нам нужно познакомиться – это иррациональное число Пи:
$$pi=3,14…;$$
Это известная константа, которая обладает интересными свойствами и используется во множестве научных областей. Но об этом в другой раз. Сейчас нам нужно запомнить, что угол в (pi) радиан это тоже самое, что и угол равный (180^o).
$$pi , рад=180^o;$$
Из этого факта легко переводить радианы в градусы и наоборот:
$$ frac{pi}{2}=frac{180}{2}^o=90^o;$$
$$ frac{pi}{3}=frac{180}{3}^o=60^o;$$
$$ frac{pi}{4}=frac{180}{4}^o=45^o;$$
$$ frac{pi}{6}=frac{180}{6}^o=30^o;$$
Для того, чтобы перевести абсолютно любой угол в градусы, удобно воспользоваться пропорцией. Для примера переведем (frac{5pi}{6}) радиан:
$$pi , рад=180^o;$$
$$frac{5pi}{6} , рад=x^o;$$
Пропорции решаются перемножением крест на крест:
$$pi*x=frac{5pi}{6}*180;$$
$$x=frac{frac{5pi}{6}*180}{pi}=frac{5}{6}*180=150^o.$$
Теперь отметим на тригонометрической окружности углы в радианах так же, как мы отмечали углы в градусах:
Радианы на тригонометрической окружности
Чтобы интуитивно воспринимать радианы, важно помнить, что (pi , рад=180^o;) – это равно половине окружности. Тогда (2pi=360^o) – это полный круг. Представьте, что перед вами пирог или пицца, которую вы режете на части. Тогда, помня, что (pi) это ровно половина пирога, легко представить, что, например, (frac{pi}{6}) – это мы половину пирога поделили на 6 одинаковых частей и взяли одну. А (frac{5*pi}{6}) – это опять делим половину пирога на 6 частей, только в этот раз берем 5 частей из 6-ти, считая от 0.
Можно пользоваться такой аналогией, а можно решать пропорции, как вам удобнее.
Мы научились отмечать на единичной окружности углы и познакомились с радианами.
Теперь приступаем к самому важному: какое отношение имеет этот круг единичного радиуса к тригонометрическим функциям?
Прямоугольный треугольник в тригонометрии
$$sin(alpha)=frac{a}{c};$$
$$cos(alpha)=frac{b}{c};$$
И из этих формул и теоремы Пифагора следует одна из самых важных тригонометрических формул:
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1.$$
Раз эти определения вводились для прямоугольного треугольника, то у них есть большой недостаток. Они работают только в прямоугольном треугольнике, а значит только для острых углов. (В прямоугольном треугольнике, один угол прямой, а два другие обязательно острые).
Но синус и косинус можно посчитать на калькуляторе от абсолютно любого угла. Тогда определение из 9-го класса нам не годится.
И вот здесь на помощь приходит тригонометрическая окружность. При помощи нее мы сейчас постараемся определить синус и косинус.
Нарисуем единичную окружность (единичного радиуса) и отметим на ней какой-нибудь острый угол (angle{AOM}=alpha). Точка (M) лежит на дуге этой окружности и соответствует углу в (30^o). Посмотрите внимательно на рисунок: у точки (M) мы можем определить координаты. Пусть по оси (x) координата точки (M) будет (M_{x}), а по оси (y) – (M_{y}).
Точка (M):
$$(M_{x};M_{y});$$
Координаты точки на окружности
Опустим из точки (M) перпендикуляры на оси координат. Перпендикуляр к оси (x) попадет в точку (M_{x}), а перпендикуляр к оси (y) попадет в (M_{y}). Строго говоря, в математике (M_{x}) и (M_{y}) называются проекциями точки (M) на оси координат.
Мы получили прямоугольный треугольник (triangle{MOM}_{x}). По определению из 9-го класса синус (angle{alpha}) – это отношение противолежащего катета (MM_{x}) к гипотенузе (MO) в (triangle{MOM_{x}}):
$$sin(alpha)=frac{MM_{x}}{MO};$$
Обратите внимание, что (MO) это радиус нашей единичной окружности, значит он равен единице:
$$sin(alpha)=frac{MM_{x}}{MO}=MM_{x};$$
Из рисунка видно, что (MM_{x}=OM_{y}) или, другими словами, длина отрезка (MM_{x}) – это координата точки (M) по оси (y).
Это важный момент! Получается, что (sin(alpha)) равен координате точки (M) по оси (y).
Аналогичные рассуждения можно провести и для косинуса. Косинус по определению в прямоугольном треугольнике (triangle{MOM_{x}}) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$$cos(alpha)=frac{OM_{x}}{MO}=OM_{x}=M_{x};$$
Косинус (angle{alpha}), оказывается, будет равен координате точки (M) по оси (x).
Точно такие же рассуждения можно сделать для любого другого угла (beta). Из рисунка ниже видно, что синус (angle{beta}) – это координата точки (N) по оси (y). А косинус угла (angle{beta}) – это координата точки (N) по оси (x). (Показано фиолетовым цветом).
Координаты точки на окружности
Данная логика будет справедлива и для тупых углов. Посмотрите на угол (gamma). Значение синуса (angle{gamma}) будет соответствовать координате точки (K) по оси (y), а косинуса – по оси (x).
Тупой угол на единичной окружности
Можно сделать вывод, что значения синуса любого угла на окружности лежат на оси (y), а значения косинуса на (x).
А раз такие дела, то давайте обзовем наши оси координат не (x) и (y), а осями (cos) и (sin) соответственно. На этих осях будут лежать значения косинуса и синуса всех углов на окружности. И в дальнейшем на всех рисунках оси мы будем обозначать (cos) и (sin) соотвественно.
Обратите внимание еще на один факт: координаты любой точки на окружности обязательно будут больше минус единицы и меньше единицы. Это значит, что значения синуса и косинуса лежат в этом же промежутке. Синус и косинус – это ограниченные функции.
$$sin(alpha)in[-1;1];$$
$$cos(alpha)in[-1;1];$$
Пример 1
Изобразить на тригонометрической окружности синус и косинус (frac{pi}{3}=60^o).
Повернем отрезок (OA) против часовой стрелки на (frac{pi}{3}), получим точку (W) на окружности, которая соответствует этому углу. Если выполнять все это на миллиметровке и строить очень точно, то вы увидите, что координата точки (W) по (y) будет (W_{y}=frac{sqrt{3}}{2}approx0,87), а по оси (x) координата будет (W_{x}=frac{1}{2}).
Значения косинуса и синуса на тригонометрической окружности
Исходя из сказанного выше, мы делаем вывод:
$$sin(frac{pi}{3})=frac{sqrt{3}}{2};$$
$$cos(frac{pi}{3})=frac{1}{2};$$
Посмотрев в таблицу стандартных углов тригонометрических функций, понимаем, что мы сделали все правильно.
Тригонометрическая таблица стандартных углов
Вам, конечно, не придется сидеть с миллиметровкой и высчитывать значения тригонометрических функций, вы будете пользоваться таблицей стандартных углов. А тригонометрическая окружность нужна как большой помощник. При дальнейшем изучении тригонометрии вы в этом не раз убедитесь.
Кстати, интересно и очень важно отметить, что значение, например, синуса (frac{pi}{2}=(90^o)) будет равно 1, а косинус (frac{pi}{2}) будет равен 0. Чтобы это понять, необязательно смотреть в таблицу стандартных углов, такой вывод можно сделать при помощи тригонометрической окружности.
Прямой угол на единичной окружности
Действительно, обратите внимание: угол в (frac{pi}{2}=(90^o) соответствует на окружности точке (B). Координата точки (B) по оси (x) будет (0), а по оси (y) (1). А так как координаты точек на окружности, согласно сказанному выше, и есть значения косинуса и синуса угла, то:
$$sin(frac{pi}{2})=1;$$
$$cos(frac{pi}{2})=0;$$
Знаки синуса и косинуса в зависимости от угла
В самом начале мы не просто так разбивали нашу окружность на четверти. Дело в том, что в каждой из этих четвертей тригонометрические функции имеют разные знаки. В школе обычно заставляют учить в какой четверти какой знак. Но мы, как всегда, постараемся вникнуть в суть и понять, как это работает. Тем более, что ничего сложного здесь нет, если разобраться в материале выше.
Мы с вами выяснили, что координаты любой точки на окружности – это и есть значения синуса и косинуса. Рассмотрим первую четверть: возьмем произвольную точку (M), лежащую на дуге в этой четверти, координата точки (M) по (x) будет (M_{x}) и она будет обязательно положительной, так как лежит между нулем и единицей! А это значит, что косинус угла, соответствующего точке (M) тоже будет положительным. Аналогично координата точки (M) по оси (y) тоже лежит от 0 до 1, а значит синус (angle{MOA}) тоже положительный.
Знак синуса и косинуса в первой четверти
И какой бы угол мы не нарисовали в первой четверти, у него будут положительные координаты, а значит, и положительные значения косинуса и синуса!
Рассмотрим теперь вторую четверть. Руководствуясь той же логикой: координаты произвольной точки (K), лежащей на дуге из второй четверти по (x) будут отрицательны, а по (y) положительны. Делаем вывод, что косинус любого угла из второй четверти будет отрицательным, а синус положительным.
Точно так же в третьей четверти и косинус, и синус будут отрицательными.
В четвертой четверти косинус положительный, а синус отрицательный.
Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности
Теперь разберемся, как пользоваться тригонометрической окружностью в случае тангенса и котангенса.
Опять из программы 9-го класса вы должны помнить, что в прямоугольном треугольнике тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему. А котангенс – отношение прилежащего к противолежащему.
$$ tg(alpha)=frac{a}{b};$$
$$ctg(alpha)=frac{b}{a};$$
Отсюда, кстати, следуют несколько простейших тригонометрических формул:
$$tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)};$$
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};$$
$$tg(alpha)*ctg(alpha)=1.$$
Тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике
Тангенс на окружности и его знаки
Чтобы на окружности можно было пользоваться тангенсом, нам понадобится дополнительная ось. Проведем ее перпендикулярно оси (x) (теперь это у нас ось косинусов) через точку (A):
Тангенс на тригонометрической окружности
Эта ось параллельна оси (y) и полностью ее дублирует. В точке (A) будет координата (0). Отметим на окружности в первой четверти произвольную точку (L). Соединим точку (L) с центром окружности и продлим прямую до пересечения с новой осью в точке (F).
Мы получили прямоугольный треугольник (FOA). В этом прямоугольном треугольнике можем расписать тангенс по определению:
$$tg(angle{FOA})=frac{FA}{OA};$$
А так как (OA) это ни что иное, как радиус единичной окружности:
$$tg(angle{FOA})=FA;$$
А (FA) – это координата точки (F) по нашей новой оси.
Значит (tg(angle{FOA})=tg(angle{LOA})) будет равен координате точки (F) по новой оси.
Аналогичным образом я могу выбрать другую произвольную точку (P) на окружности в первой четверти, продлить до пересечения с новой осью, получить некоторую точку (T). И опять, тангенс получившегося угла (angle{TOA}=angle{POA}) будет равен координате точки (T) на новой оси.
Тут все ясно, но возникает справедливый вопрос: а что, если угол лежит не в первой четверти?
Логика рассуждений сохраняется: произвольному углу (angle{QOA}) соответствует своя точка на окружности (Q), соединим точку (Q) с центром окружности и продлим до пересечения с новой осью в точке (H). Оказывается, тангенс (angle{QOA}) будет равен координате точки (H) по новой оси.
Тангенс на тригонометрической окружности от тупого угла
Общая логика простая – берем точку на окружности, соответствующую некоторому углу (alpha), соединяем ее с центром окружности и продляем до пересечения с осью тангенса. Координата точки пересечения с осью тангенса и будет значением тангенса угла (alpha).
Эта ось называется осью тангенсов, так как на ней лежат значения тангенсов всех углов на окружности.
Стоит обратить внимание на знаки тангенса. Если соединять точки на окружности, лежащие в первой и третьей четвертях с центром окружности, то пересекать ось тангенсов эти прямые будут всегда выше (0). Значение тангенса любых углов из первой и третьей четвертей будет положительно.
А если углы лежат во второй и четвёртой четвертях, то их тангенс будет отрицательным.
Котангенс на окружности и его знаки
С котангенсом ситуация очень похожа на тангенс. Только в этот раз мы проводим горизонтальную ось перпендикулярно оси синусов через произвольную точку (B). Эта ось будет параллельна оси (x) и полностью ее дублировать. Сразу назовем эту ось осью котангенса. Ноль на оси котангенса будет совпадать с точкой (B).
Теперь выберем произвольную точку (N) на окружности, этой точке будет соответствовать угол (angle{NOA}). Соединим точку (N) с центром окружности и продлим получившуюся прямую до пересечения с осью котангенса в точке (Q).
Котангенс на тригонометрической окружности
Обратите внимание, что (angle{NOA}=angle{OQB}), как накрест лежащие при параллельных прямых (оси синуса и котангенса). Рассмотрим прямоугольный треугольник (BOQ) и распишем в нем котангенс (angle{OQB}), как отношение прилежащего катета к противолежащему в прямоугольном треугольнике:
$$ctg(angle{NOA})=ctg(angle{OQB})=frac{QB}{OB}=QB;$$
Мы получили, что котангенс (angle{NOA}) равен координате точки (Q) на оси котангенса.
Аналогичным образом можно выбрать произвольную точку на единичной окружности, соединить ее с центром окружности, продлить получившуюся прямую до пересечения с осью котангенса, координата получившейся точки будет значением котангенса угла, соответствующего точке на окружности.
И у внимательного читателя должен возникнуть вопрос! Ведь не любую точку на окружности возможно соединить с центром окружности и продлить до пересечения с осью тангенса или котангенса.
Действительно, если точки (B) и (D) соединить с центром окружности, то получится прямая параллельная оси тангенса, а значит, она никогда не пересчёт ее. Как же тогда найти значения тангенса углов, соответствующих точкам (B) и (D)? А никак, тангенс этих углов не существует. Точкам (B) и (D) соответствуют углы: (frac{pi}{2}=90^o, , frac{3pi}{2}=270^o, , -frac{pi}{2}=-90^o) и т.д. Каждой точке на окружности, как мы помним, соответствует бесконечное количество углов с периодом (2pi=360^o).
Аналогичные рассуждения с котангенсом. Котангенс не будет существовать от углов: (0, , pi=180^o, , -pi=-180^o, , 2pi) и т.д.
Несколько важных свойств тангенса и котангенса.
- Из построения можно заметить, что для любых углов из первой и третьей четвертей котангенс и тангенс будут положительные, а для второй и четвертой – отрицательные;
- Тангенс и котангенс – неограниченные функции. Это значит, что они могут принимать абсолютно любые значения: (tg(alpha)in(-infty;+infty);) и (ctg(alpha)in(-infty;+infty);)
- Тангенс не существует от углов (frac{pi}{2}*n), где (n in Z) ((n) целое число);
- Котангенс не существует от углов (pi*n), где (n in Z) ((n) целое число);
Пример 2
Изобразить на тригонометрической окружности (ctg(frac{pi}{6})).
Котангенс 30 градусов на тригонометрической окружности
- Рисуем единичную окружность;
- Повернем отрезок (OA) на угол (30^o), что то же самое, что и на (frac{pi}{6}) радиан. Пусть угол пересекает нашу окружность в точке (M);
- Нарисуем ось котангенса параллельно оси косинусов через точку (B);
- Продлим (OM) до пересечения с осью котангенсов в точке (E);
- Координата точки (E) будет соответствовать значению котангенса угла (frac{pi}{6});
- Если делать, опять же, по миллиметровке и измерить аккуратно расстояние (BE), то координата точки (E) будет (sqrt{3}approx1,73;)
- Согласно таблице стандартных углов (ctg(frac{pi}{6})=sqrt{3}). Значит все построено верно;
Симметрия тригонометрических функций
При помощи элементарной геометрии и тригонометрической окружности можно вывести несколько очень важных свойств.
Для начала поговорим про синус и косинус некоторого острого угла (angle{alpha}). Посмотрите на рисунок. Как мы с вами выяснили, значение синуса угла (alpha) будет равно координате точки (M) по оси (y).
Симметричные свойства синуса и косинуса на единичной окружности
Проведем из точки (M) перпендикуляр к оси (y) и продлим до пересечения с окружностью в точке (N). Точка (N) будет соответствовать углу (angle{NOA}).
А так как координаты точек (N) и (M) по (y) равны, то и значения синусов углов (angle{NOA}) и (angle{MOA}) будут равны.
Теперь обратите внимание, что получившаяся картинка симметрична относительно вертикальной оси (y). А значит
$$angle{NOC}=angle{MOA}=angle{alpha};$$
$$angle{NOA}=180-angle{NOC}=180-alpha;$$
А сложив вместе два вывода, получаем:
$$sin(angle{MOA})=sin(angle{NOA}) Rightarrow sin(alpha)=sin(180-alpha);$$
Теперь поговорим про косинус. Координаты у точек (M) и (N) по оси (x) будут одинаковы по модулю, но разные по знаку, так как картинка полностью симметрична относительно оси (y). А это означает, что значения косинусов (angle{MOA}) и (angle{NOA}) будут равны по модулю, но противоположны по знаку:
$$cos(angle{MOA})=-cos(angle{NOA});$$
$$cos(angle{alpha})=-cos(180-angle{alpha});$$
Еще раз нарисуем тригонометрическую окружность и отметим произвольный острый угол (alpha), соответствующий точке (P) на окружности.
Симметричные свойства синуса и косинуса на единичной окружности
Проведем перпендикуляр из точки (P) к оси (x) и продлим до пересечения с окружностью в точке (K). Получили два равных геометрически, исходя из горизонтальной симметрии, угла (angle{POA}=angle{KOA}=angle{alpha}).
Но так как на окружности принято углы, отсчитанные по часовой стрелке, брать со знаком минус, то:
$$angle{KOA}=-angle{alpha};$$
$$angle{POA}=angle{alpha};$$
Обратите внимание, что координаты точек (P) и (K) по оси (x) буду одинаковые, а значит и значения косинусов углов, соответствующих этим точкам, будут одинаковы:
$$cos(angle{POA})=cos(angle{KOA});$$
$$cos(alpha)=cos(-alpha);$$
А вот координаты по оси (y) у точек (P) и (K) будут равны по модулю, но противоположны по знаку. Это дает нам следующее соотношение:
$$sin(-alpha)=-sin(alpha).$$
Кстати, из сказанного выше следует важный вывод, который нам пригодится в дальнейшем при решении тригонометрических уравнений. Из тригонометрической окружности видно, что каждому значению синуса и косинуса соответствует как минимум два угла (кроме единицы и минус единицы).
Теперь обсудим некоторые свойства тангенса и котангенса.
Нарисуем единичную окружность и отметим на ней произвольный угол (angle{LOA}=beta). Продлим сторону (LO) угла до пересечения с осью тангенсов в точке (I) и до пересечения с окружностью с другой стороны в точке (S). Обратите внимание, что значение тангенса углов (angle{LOA}) и тупого угла (angle{SOA}) будут равны! Так как ось тангенсов пересекают в одной точке.
Симметричные свойства тангенса на единичной окружности
$$tg(angle{LOA})=tg(angle{SOA});$$
Кроме этого отметим, что, так как углы (angle{LOA}) и (angle{SOA}) лежат на одной прямой:
$$angle{SOA}=angle{LOA}+180^o=beta+180^o;$$
И получаем:
$$tg(beta)=tg(beta+180);$$
А теперь давайте отметим на рисунке угол (angle{TOA}=-beta). Минус появился потому, что угол (beta) посчитан по часовой стрелке. Продлим (TO) до пересечения с осью тангенса в точке (E). Так как картинка абсолютно симметрична относительно оси (x), то (EA=IA), значит координаты точек (I) и (E) на оси тангенса будут равны по модулю, но противоположны по знаку:
Симметричные свойства тангенса на единичной окружности
$$tg(angle{LOA})=-tg(angle{TOA});$$
$$tg(beta)=-tg(-beta);$$
Абсолютно аналогичные рассуждения можно провести и для котангенса. В качестве тренировки попробуйте это сделать сами:
$$ctg(beta)=ctg(beta+180);$$
$$ctg(beta)=-ctg(180-beta);$$
Выпишем еще раз все полученные формулы:
$$sin(alpha)=sin(180-alpha);$$
$$cos(alpha)=-cos(180-alpha);$$
$$cos(alpha)=cos(-alpha);$$
$$sin(-alpha)=-sin(alpha).$$
$$tg(beta)=tg(beta+180);$$
$$tg(beta)=-tg(-beta);$$
$$ctg(beta)=ctg(beta+180);$$
$$ctg(beta)=-ctg(180-beta);$$
В школе заставляют их учить, но, как видите, достаточно научиться пользоваться тригонометрической окружностью и они легко выводятся.
Краткие правила пользования тригонометрической окружностью
- Углы, отсчитываемые против часовой стрелки, положительны, по часовой – отрицательны;
- Каждой точке на окружности соответствует бесконечное количество углов с периодом (360^o) или (2pi);
- Координата по (x) любой точки на окружности – это значение косинуса угла, координата по (y) – синуса;
- Значения косинуса и синуса принадлежат промежутку ([-1;1]);
- Синус положительный в первой и второй четвертях, отрицательный – в третьей и четвертой;
- Косинус положительный в первой и четвертой, отрицательный – во второй и третьей;
- Чтобы найти тангенс угла, нужно нарисовать ось тангенса параллельно оси (y). Соединить точку на окружности, соответствующую углу, с центром окружности и продлить до пересечения с осью тангенса. Координата полученной точки на оси тангенса и будет значением тангенса угла;
- Чтобы найти котангенс угла, нужно нарисовать ось котангенса параллельно оси (x). Соединить точку на окружности, соответствующую углу, с центром окружности и продлить до пересечения с осью котангенса. Координата полученной точки на оси котангенса и будет значением котангенса угла;
- Тангенс и котангенс положительны в первой и третьей четвертях, отрицательны – во второй и четвертой;
- Тангенс и котангенс могут принимать значения из промежутка ((-infty;+infty)).
Урок с подробным разбором тригонометрических уравнений. Рассмотрим основные методы решения простейших уравнений из тригонометрии, метод замены переменной, однородные уравнения и уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Как пользоваться формулами приведения? Правило лошади, единичная окружность и формулы суммы и разности для нахождения формул приведения.
Разбираем тригонометрию с нуля. Синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике. Таблица стандартных углов и свойства тригонометрических функций.
Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.
Как решать уравнения со степенями. Разбираем основные методы и способы решения простейших показательных уравнений.
Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №4 из ЕГЭ по профильной математике.
Цикл уроков про степени и логарифмы и их свойства. Учимся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задания №9 и №15 ЕГЭ по профильной математике.
Индивидуальные занятия с репетитором для учеников 6-11 классов. Для каждого ученика я составляю индивидуальную программу обучения. Стараюсь заинтересовать ребенка предметом, чтобы он с удовольствием занимался математикой и физикой.
План урока:
Синус и косинус угла на единичной окружности
График синуса и косинуса
Тангенс угла
График тангенса
Котангенс угла
Синус и косинус угла на единичной окружности
Впервые мы познакомились с синусом, косинусом и другими тригонометрическими функциями ещё в 8 класс на уроках геометрии, при изучении прямоугольного треугольника. Пусть есть некоторый треуг-ник АВС, у которого∠ С – прямой, а ∠ВАС принимается за α. Тогда sinα – это отношение ВС к АВ, а cosα– это отношение АС к АВ. В свою очередь tgα– это отношение ВС к АС:
С помощью тригонометрических функций удобно было находить стороны прямоугольного треугол-ка. Например, пусть известно, что гипотенуза АВ равна 5, а sinα = 0,8. Тогда из формулы sinα = ВС/АВ легко получить, что
ВС = АВ•sinα = 5•0,8 = 4
Если известно, что cosα = 0,6, то мы сможем найти и второй катет:
cosα = АС/АВ
АС = АВ•cosα = 5•0,6 = 3
Отдельно заметим, что тангенс угла может быть рассчитан не как отношение двух катетов, а как отношение синуса к косинусу:
tgα = ВС/ АС = (АВ•sinα)/(АВ•cosα) = (sinα)/(cosα)
Отметим на единичной окружности произвольную точку А, которой соответствует некоторый угол α. У этой точки есть свои координаты хА и уА:
Попытаемся определить, чему равны координаты точки А. Для этого обозначим буквой B точку, в которой перпендикуляр, опущенный из А, пересекает горизонтальную ось Ох, и рассмотрим треугольник ОАВ:
Ясно, что ОАВ – это прямоугольный треугольник, ведь∠ АОВ = 90°. Значит, отрезок АВ можно рассчитать по формуле
АВ = sinα•ОА
Но ОА – это радиус единичной окружности. Это значит, что ОА = 1. Тогда
АВ = sinα•ОА = sinα•1 = sinα
С другой стороны, видно, что величина отрезка АВ равна координате уА. Получается, что уА = АВ = sinα, или
уА = sinα
Отрезок ОВ также можно найти из прямоугольного треугольника АОВ, используя косинус:
ОВ = cosα•ОА
Учитывая, что ОА = 1, а длина ОВ равна координате хА, мы получим следующее:
хА = ОВ = cosα•ОА = cosα•1 = cosα
то есть координата хА равна cos α:
хА = cosα
Итак, мы выяснили, что координаты точки, лежащей на единичной окружности, равны синусу и косинусу угла, соответствующего этой точке.
Таким образом, нам удалось дать новое определение синусу и косинусу угла:
Заметим, что в прямоугольном треугольнике углы, помимо самого прямого угла, могут быть только острыми. Поэтому предыдущее определение синуса и косинуса, данное в 8 классе в курсе геометрии, было пригодно лишь для углов из диапазона 0 <α < 90°. На единичной окружности можно отложить любой угол, то есть теперь мы можем вычислять тригонометрические ф-ции для произвольных значений α. При этом синус и косинус могут оказаться отрицательными величинами. Например, для угла α = 2π/3 косинус окажется отрицательным, ведь координата хА соответствующей ему точки окажется левее нуля на горизонтальной оси Ох:
Заметим, что знак синуса и косинуса определяется той четвертью, в которой будет располагаться точка на окружности. Углам в диапазоне 0 <α<π/2 соответствует I четверть, здесь все тригонометрические ф-ции принимают положительные значения. Ко II четверти относятся углы из промежутка π/2 <α<π. Здесь косинус становится меньше нуля, а синус остается положительным. В III четверти будут располагаться точки, соответствующие углам из интервала π <α< 3π/2, у них отрицательны и синус, и косинус. Наконец, к IV четверти относят углы из диапазона 3π/2 <α< 2π. Здесь отрицателен синус, а косинус больше нуля.
Как же определять значение синуса угла и его косинуса? Из геометрии нам уже известны их значения для трех углов: 30°, 45° и 60°:
Далее определим тригонометрические ф-ции угла, равного нулю. Если такой угол отложить на единичной окружности, то ему будет соответствовать точка А с координатами (1; 0). Поэтому
sin 0° = уА = 0
cos 0° = xА = 1
Аналогичным образом можно найти значение этих ф-ций и для угла 90°. Прямому углу на единичной окружности соответствует точка В с координатами (0; 1). Поэтому
sin90° = уВ = 1
cos90° = xВ = 0
Для определения тригонометрических ф-ций у углов, больших 90°, удобно использовать симметрию. Например, пусть необходимо вычислить синус для угла 120°. Отложим на окружности две точки, В и А. Первая будет соответствовать 120°, а вторая 60°:
Видно, что эти точки находятся на одном горизонтальном уровне, то есть их ординаты (координаты у) одинаковы. При этом абсциссы у них противоположны, ведь точки симметричны относительно оси Оу. Отсюда можно сделать вывод, что
уВ = уА
хВ = – хА
Но координаты А – это синус и косинус 60°, а координаты В являются тригонометрическими ф-циями угла 120°. То есть можно записать
sin 120° = sin 60°
cos 120° = – cos 60°
Так как для угла 60° значения синуса и косинуса нам уже известны, то можно записать:
В будущем мы изучим более простые способы вычисления синуса и косинуса углов, больших 90°, когда построения нам уже не потребуются. Однако сразу заметим, что в первую очередь необходимо запомнить значения синуса и косинуса для пяти углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Приведем таблицу значений тригонометрических функций:
Некоторые люди испытывают проблемы с запоминанием этой таблицы. Однако ее можно представить в более простом виде. Заменим числа 0, 1 и 1/2 следующими выражениями с корнями:
С учетом этого таблицу тригонометрических функций можно переписать так:
Теперь в каждой ячейке стоит дробь, у которой знаменатель равен двум. В числителе же стоит корень. Обратите внимание, что у синуса под корнем последовательно стоят числа 0, 1, 2, 3, и 4. У косинуса эти же числа идут в обратном порядке – от четверки до нуля. В таком виде таблицу запомнить проще.
Для вычисления тригонометрических ф-ций углов, не попадающих в диапазон 0 ⩽ α < 2π их надо привести к этому самому диапазону. Напомним, что для этого можно просто добавить к углу несколько полных оборотов, или отнять их.
Задание. Вычислите cos 7π/3.
Решение. Угол 7π/3 равен углу π/3:
7π/3 = 6π/3 + π/3 = 2π + π/3 = π/3
Значит, и косинус у угла 7π/3 будет равен косинусу угла π/3:
cos 7π/3 = cosπ/3 = 1/2
Ответ: 1/2.
График синуса и косинуса
Заметим, что координаты точек, лежащей на единичной окружности, варьируются в пределах от – 1 до 1. Это означает, что значение синуса и косинуса также может находиться только в интервале между этими числами. Получается, что область значения этих ф-ций – это промежуток [– 1; 1].
Вычислить синус и косинус можно для абсолютно любого угла поворота, поэтому область определения этих тригонометрических ф-ций – вся числовая прямая, то есть промежуток (– ∞; + ∞).
Изучение графиков тригонометрических функций начнем с синуса. В тригонометрии при построении графика синуса принято по оси Ох откладывать значение угла в радианах, а не в градусах. Из-за этого в школьной тетради тяжело точно отметить точки, через которые проходит этот график. Например, возьмем угол, равный 90°. Его величина в радианах π/2, а sinπ/2 = 1. Получается, график должен пройти через точку (π/2; 1). Однако число π/2 – иррациональное, равное примерно 1,5708…, и точно отложить отрезок длиной π/2 невозможно.
Поэтому в учебных целях график строят приближенно (естественно, что на практике точный график можно построить с помощью компьютера с любой требуемой точностью). Считают, что величина π/2 примерно равна 1,5, то есть дроби 3/2. Если выбрать масштаб, при котором единице равны 2 клеточки, то π/2 – это 3 клеточки. Тогда π/6 – это одна клеточка, а π/3 – две.
Мы знаем, что
sin 0 = 0
sin π/6 = 1/2
sin π/2 = 1
Значит, график синуса должен проходить через точки (0; 0), (π/6; 1/2) и (π/2; 1). Отметим их на координатной плоскости:
С помощью некоторых соображений симметрии можно вычислить ещё несколько точек в диапазоне от 0 до 2π. Не будем перечислять их координаты, а просто отметим их на рисунке:
Теперь соединим их плавной кривой:
Мы получили график синуса на промежутке от 0 до 2π. Но ведь мы можем вычислить синус для любого другого угла! При этом мы используем тот факт, что углам, отличающимся на 2π (на один полный оборот), на единичной окружности соответствует одинаковая точка. То есть этим двум углам будут соответствовать точки на графике с одинаковой ординатой (координатой у), но абсциссами, отличающимися на 2π. Другими словами, точку графика можно перенести на 2π (то есть 12 клеточек) влево или вправо:
Перенести можно не одну точку, а сразу всё множество точек, лежащих между 0 и 2π:
Получили ещё два участка графика, на промежутках [– 2π; 0] и [2π; 4π]. Эти участки также можно переместить влево и вправо. Продолжая этот процесс бесконечно, мы получим весь график у = sinx:
В результате мы получили кривую, которую называют синусоидой.
Теперь построим график косинуса. Мы знаем что
cos 0 = 1
cos π/3 = 1/2
cos π/2 = 1
Получается, что график должен проходить через точки (0;1), (π/3; 1/2) и (π/2; 0). Отметим их на плоскости:
Можно вычислить, используя симметрию на единичной окружности, ещё несколько точек, которые должны лежать на графике. Не приводя этих вычислений, просто отметим эти точки на плоскости:
Соединяем эти точки плавной линией:
Как и в случае с синусом, участок графика косинуса можно перенести на 2π (12 клеточек влево и вправо). В результате таких действий получим окончательный вид ф-ции у = cosх:
Можно заметить несколько особенностей полученных графиков. Во-первых, все точки обоих графиков лежат в «полосе» между прямыми у = 1 и у = – 1. Это следствие того, что и у синуса, и у косинуса область значений – это промежуток [– 1; 1]:
Во-вторых, график косинуса очень похож на синусоиду. Он имеет такую же форму, но просто смещен на π/2 (3 клеточки) влево. Это не случайно, в будущих уроках мы узнаем причину этого явления. Но, так как график косинуса – это просто смещенная синусоида, то термин «косинусоида» для его обозначения почти не используется – он просто избыточен.
В-третьих, графики обладают периодичностью. Они «повторяются» с периодом 2π. Дело в том, что углам, отличающимся друг от друга на 2π (то есть ровно на один полный поворот в 360°), на единичной окружности соответствует одна и та же точка. То есть справедливы формулы:
sin (x+ 2π) = sinx
cos (x+ 2π) = sinx
В-четвертых, можно заметить, что график косинуса симметричен относительно оси Ох, а график синуса симметричен относительно начала координат. Это значит, что синус является нечетной функцией, а косинус – четной функцией. Напомним, что ф-ция f(x) является нечетной, если справедливо условие
f(x) = – f(– x)
Если f(x) – четная ф-ция, то должно выполняться условие:
f(x) = f(– x)
Действительно, если отложить на единичной окружности углы α и (– α), то можно заметить, что их косинусы будут равны друг другу, и синусы окажутся противоположными:
Поэтому верны формулы:
sin (– α) = – sinα
cos (– α) = cosα
Тангенс угла
Синус и косинус являются основными, или, как говорят математики, прямыми тригонометрическими ф-циями. Однако есть ещё две производных тригонометрических ф-ций – тангенс и котангенс. Напомним, что тангенс угла в прямоугольном треугол-ке – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Однако в тригонометрии куда удобнее пользоваться другим его определением. Тангенс – это отношение синуса угла к его косинусу:
Для получения тангенса на единичной окружности необходимо продолжить прямую, образующую угол α, до её пересечения с прямой х = 1. Точка их пересечения будет иметь координаты (1; tgα):
Заметим, что если α относится ко второй четверти, то тангенс получится отрицательным. Действительно, с одной стороны, соответствующая прямая пересечет линию х = 1 в точке, лежащей ниже оси Ох:
С другой стороны, мы знаем, что во второй четверти синус положителен, а косинус – отрицателен. Тогда их отношение, то есть тангенс, должно быть отрицательным:
Очевидно, что тангенс должен быть периодической ф-цией. Однако его период вдвое меньше 2π и составляет π. Действительно, углы, отличающиеся на π, будут иметь одинаковое значение тангенса, что видно из построения:
Это значит, что справедлива формула:
tg(α + π) = tg α
С другой стороны, это означает, что тангенсы углов из III четверти положительны, ведь они равны тангенсам углов из I четверти. Аналогично можно утверждать, что тангенсы углов из IV четверти отрицательны:
Также тангенс является нечетной ф-цией. Чтобы убедиться в этом, найдем с помощью единичной окружности tgα и tg (– α):
Из построения видно, что tg (– α) = tgα, поэтому тангенс попадает под определение нечетной ф-ции.
Доказать этот факт можно и иначе. Вспомним, что синус – это нечетная ф-ция, а косинус – четная. Тогда, используя определение тангенса, можно записать:
Для вычисления тангенса проще всего использовать его определение. Мы знаем синусы и косинусы стандартных углов, а потому, деля их друг на друга, сможем найти и тангенсы стандартных углов:
Ещё раз отметим, что важнее всего запомнить значения синусов и косинусов стандартных углов. Зная их, школьник всегда сможет самостоятельно вычислить тангенс.
Можно ли вычислить тангенс для угла π/2, то есть для 90°? Сделать это не получится, ведь cosπ/2 равен нулю. Если подставить cosπ/2 в формулу для вычисления тангенса, то получится деление на ноль! Так как тангенс – периодическая ф-ция, то его нельзя вычислить и в тех точках, которые отличаются от π/2 на целое число π.
В частности, тангенс не определен при х = – π/2.
График тангенса
Так как тангенс обладает периодом, равным π, достаточно построить его график на каком-нибудь промежутке длиной π. Далее его можно будет просто перенести на π единиц влево и вправо. Удобно выбрать промежуток от – π/2 до π/2. Дело в том, что на нем она определена во всех точках, кроме его концов.
Через точки х = – π/2 и х = π/2 проведем штриховые линии – они означают, что график НЕ должен пересекать их. Ясно, что график проходит через точку (0; 0), ведь tg 0 = 0. Тангенс представляет собой дробь sinx/cosx. При увеличении х от 0 до π/2 знаменатель возрастает, а числитель убывает, стремясь к нулю. Поэтому вся дробь неограниченно растет, и график тангенса возрастает до бесконечности:
Так как мы строим график нечетной ф-ции, то мы можем полученную ветвь отобразить симметрично относительно начала координат:
Полученный график называют тангенсоидой. Осталось воспользоваться тем, что мы рассматриваем периодическую ф-цию с периодом π, и перенести тангенсоиду влево и вправо:
Котангенс угла
Помимо тангенса в тригонометрии выделяют ещё одну производную ф-цию – котангенс. Он представляет отношение косинуса к синусу:
Видно, что определение котангенса очень похоже определение тангенса. В принципе, удобней использовать несколько другую формулу:
Почти во всех задачах с помощью формулы
можно избавиться от котангенса, заменив его дробью 1/tgα. Поэтому мы вкратце расскажем об основных особенностях котангенса, ведь он очень редко используется на практике.
Значения этой ф-ции рассчитываются так:
При х = 0 значение котангенса не определено, так как в этой точке косинус становится равным нулю, а деление на ноль невозможно.
График котангенса – это тангенсоида, которая отображена симметрично относительно оси Ох и смещена на π/2:
Можно заметить, что вертикальные штриховые линии (асимптоты) графика проходят через точки, кратные π: –2π, – π, 0, π, 2π… Они разбивают координатную прямую на интервалы (– 2π; – π), (– π; 0), (0; π), (π; 2π), на каждом из которых ф-ция у = ctgx убывает. Видно, что котангенс – это периодическая ф-ция с периодом π.
Для сравнения покажем на одной плоскости графики тангенса и котангенса:
Котангенс, как и тангенс – нечетная ф-ция, то есть
ctg (– x) = – ctgx
Теперь у нас есть представление об основных тригонометрических ф-циях. Важнейшими из них являются синус и косинус. Тангенс является производной ф-цией от них и рассчитывается как отношение синуса к косинусу. Редко используемый котангенс, наоборот, представляет собой отношение косинуса к синусу.
Впервые элементы тригонометрии стали использовать ещё древние греки, которые производили с их помощью астрономические расчеты. В XVIII веке Эйлер сформулировал определения тригонометрических функций с помощью единичной окружности, благодаря которым стало возможным вычислять их значение для любых углов. Изначально тригонометрия использовалась для географических расчетов и навигации, однако со временем область ее применения расширилась. Оказалось, что без неё не обойтись в анализе финансовых рынков и биологических процессов, архитектуре, акустике и оптике, теории вероятностей.
Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.
Вот что мы видим на этом рисунке:
-
-
- Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит
градусов, или радиан. - Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
- И синус, и косинус принимают значения от до .
- Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
- Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
- Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
- Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
- Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит
-
А теперь подробно о тригонометрическом круге
Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями 
и 
, в которой мы привыкли рисовать графики функций.
Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.
Полный круг — 
градусов.
Точка с координатами 
соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами 
отвечает углу в 
, точка с координатами 
— углу в 
. Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу 
.
Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Например:
Всё это легко увидеть на нашем рисунке.
Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса 
, синус — ордината 
. Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от 
до 
:
Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:
Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по 
(это косинус угла ) и по 
(это синус угла ).
Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует 
радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.
Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол 
— это угол величиной в 
, который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.
Легко заметить, что
,
.
Углы могут быть и больше градусов. Например, угол 
— это два полных оборота по часовой стрелке и еще 
. Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через 
. То есть:
,
,
где 
— целое число.
То же самое можно записать в радианах:
,
.
Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения.
По определению:
В результате получим следующую таблицу.
 |
0 |  |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
0 |  |
|
 |
не существует |  |
|
 |
0 |
 |
не существует | |
|
|
0 | |
|
 |
не существует |
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
