Как найти синус угла больше 90 градусов

Свойства тригонометрических функций

Отсюда вытекает много интересных свойств и тригонометрических формул.
Во-первых, надеюсь, все знают, что в прямоугольном треугольнике самая большая сторона – это гипотенуза.
Поэтому из определения синуса и косинуса ((sin(alpha)=frac{a}{c}; quad cos(alpha)=frac{b}{c})) следует, что они всегда меньше единицы, ведь мы катет (меньшую сторону) делим на гипотенузу (большую сторону треугольника). И как мы узнаем позже, синус и косинус всегда больше минус единицы. То есть синус и косинус могут принимать только значения из промежутка:

$$ sin(alpha) in [-1;1];$$
$$ cos(alpha) in [-1;1];$$

Для тангенса и котангенса никаких ограничений нет, они могут принимать абсолютно любые значения.

Теперь выведем несколько формул, без которых нам точно потом не обойтись. Например, можно обратить внимание, что тангенс выражается через деление синуса на косинус, просто расписав их по определению:

$$frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}=frac{frac{a}{c}}{frac{b}{c}}=frac{a}{c}*frac{c}{b}=frac{a}{b};$$

А последняя формула есть ни что иное, как определение тангенса:
$$ tg(alpha)=frac{a}{b};$$
Значит
$$ tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}.$$

Аналогичные рассуждения можно провести для котангенса:
$$frac{cos(alpha)}{sin(alpha)}=frac{frac{b}{c}}{frac{a}{c}}=frac{b}{c}*frac{c}{a}=frac{b}{a};$$
А котангенс по определению:
$$ctg(alpha)=frac{b}{a};$$
Значит
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)}.$$

Кроме этого, легко заметить, что функции тангенса и котангенса взаимно обратны:
$$tg(alpha)*ctg(alpha)=frac{a}{b}*frac{b}{a}=1.$$

А теперь мы подобрались к не самой очевидной тригонометрической формуле, но одной из самых главных во всей тригонометрии. Основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1. qquad (1)$$

Выводится оно тоже из определений синуса и косинуса с использованием теоремы Пифагора (гипотенуза в прямоугольном треугольнике равна сумме квадратов катетов (c^2=a^2+b^2;)):
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=left(frac{a}{c}right)^2+left(frac{b}{c}right)^2=left(frac{a^2}{c^2}right)+left(frac{b^2}{c^2}right)=frac{a^2+b^2}{c^2}=frac{c^2}{c^2}=1.$$
С основным тригонометрическим тождеством вы будете сталкиваться постоянно и в 9-м и в 10-м классах.

И разберем еще две важные формулы:
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
Выводится она очень легко, опять же, используя определения тангенса и косинуса. Рекомендую потренироваться и сделать это самим.
$$1+left(frac{a}{b}right)^2=frac{1}{frac{b^2}{c^2}};$$
$$left(frac{b^2}{b^2}right)+left(frac{a^2}{b^2}right)=1*frac{c^2}{b^2};$$
$$frac{b^2+a^2}{b^2}=frac{c^2}{b^2};$$
Используем теорему Пифагора:
$$frac{c^2}{b^2}=frac{c^2}{b^2};$$
Получили верное равенство, значит формула верна.

И вторая аналогичная формула для котангенса:
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{sin^2(alpha)};$$
Вывод один в один, сделайте сами.

Для удобства соберем все формулы вместе.
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1. qquad(1)$$
$$ tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}. qquad(2)$$
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)}. qquad(3)$$
$$tg(alpha)*ctg(alpha)=1.qquad(4)$$
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)}. qquad(5)$$
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{sin^2(alpha)}. qquad(6)$$

Это далеко не все тригонометрические формулы, их гораздо больше. Но для начала и для 9-го класса этого вполне достаточно.

Зачем же они нужны? Оказывается, эти формулы помогают связать тригонометрические функции между собой. Посмотрите внимательно на первую формулу (1): зная, например, чему равен косинус, можно легко найти синус, и наоборот.

Пример 1
Пусть (cos(alpha) =frac{1}{2}), найдите (sin(alpha)=?)

Берем основное тригонометрическое тождество (формула (1)) и подставляем в него известный по условию задачи (cos(alpha)=frac{1}{2}:)
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1;$$
$$sin^2(alpha)+left(frac{1}{2}right)^2=1;$$
А дальше просто решаем получившееся уравнение относительно синуса:
$$sin^2(alpha)=1-left(frac{1}{2}right)^2;$$
$$sin^2(alpha)=1-frac{1}{4};$$
Приводим к общему знаменателю:

$$sin^2(alpha)=frac{4}{4}-frac{1}{4};$$
$$sin^2(alpha)=frac{3}{4};$$
И здесь внимательно решаем квадратное уравнение:
$$sin(alpha)=pmfrac{sqrt{3}}{2};$$
Обратите внимание на (pm). Синус может быть как положительным, так и отрицательным, так как при подстановке и возведении в квадрат минус сгорает. Значит здесь получается два ответа.

Ответ:(sin(alpha)=pmfrac{sqrt{3}}{2}.)

Аналогично, зная хотя бы одну тригонометрическую функцию, можно найти все остальные, используя тригонометрические формулы. Рассмотрим еще пример:

Пример 2
Пусть (sin(alpha) =frac{1}{3}), найдите (ctg(alpha)=?)

Смотрим на наш список формул и находим такую, в которой есть и синус и котангенс – это формула (6):
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{sin^2(alpha)}.$$
Подставляем известный из условия синус (sin(alpha) =frac{1}{3}):
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{left(frac{1}{3}right)^2}.$$
Перевернем правую часть:
$$1+сtg^2(alpha)=left(frac{3}{1}right)^2.$$
$$1+сtg^2(alpha)=9.$$
Теперь решим уравнение и найдем котангенс:
$$сtg^2(alpha)=8.$$
$$сtg(alpha)=pmsqrt{8}=pmsqrt{4}*sqrt{2}=pm2sqrt{2}.$$

Ответ:(сtg(alpha)=pm2sqrt{2}).

Выглядит пугающе, но учить вам это НЕ НУЖНО! В некоторых школах есть изверги, которые заставляют учить такую таблицу, но в этом совершенно нет необходимости. В дальнейшем мы научимся сами выводить все значения тригонометрических функций только из маленькой таблицы.

Обратите внимание, что синус некоторого угла в треугольнике всегда положителен, неважно, тупой или острый угол. А вот косинус, тангенс и котангенс в треугольнике положительны только от острых углов и отрицательны от тупых.

Тут может возникнуть вопрос, как может существовать синус, косинус, тангенс или котангенс от тупого угла, большего чем (90^o), если мы давали определение всех тригонометрических функций через прямоугольный треугольник, в котором нет углов больших (90^o). Ну что ж, да тригонометрические функции существуют для любых углов и острых, и тупых, но для самого начала тригонометрии определения через прямоугольный треугольник нам более чем достаточно. Просто запомните выводы, которые мы сделали в предыдущем абзаце.

Рассмотрим пример на тригонометрию по типу схожий с заданиями ОГЭ. Обычно задачи сводятся просто к нахождению тригонометрической функции некоторого угла, нарисованного на рисунке:

Пример 2
По рисунку определить значение (sin(alpha)=?)

По определению синус в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Первым делом достроим наш синий угол (angle{ABC}) до прямоугольного треугольника, для этого опустим из точки (A) высоту (AH) к (BC). Получили прямоугольный треугольник (AHB). Теперь можем воспользоваться определением синуса:
$$sin(alpha)=frac{AH}{AB};$$
По клеточкам на рисунке найдем длину отрезка (AH=15). А гипотенузу (AB) найти по клеточкам не выйдет, так как она идет по диагонали. Но мы можем найти опять по клеточкам второй катет в прямоугольном треугольнике (BH=12) и применить теорему Пифагора:
$$AB^2=AH^2+BH^2;$$
$$AB^2=15^2+12^2=225+144=369;$$
$$AB=sqrt{369}=3sqrt{41};$$
Подставим в формулу для синуса и найдем его:
$$sin(alpha)=frac{AH}{AB}=frac{15}{3sqrt{41}};$$

Ответ: (sin(alpha)= frac{15}{3sqrt{41}}.)

Разберем еще примеры посложнее на нахождение тригонометрических функций друг через друга. Некоторые даже будут из реального ЕГЭ:

Пример 3
Пусть (tg(alpha)=sqrt{3}), найти (cos(alpha)=?), если известно, что (alpha<90^o).
Задание из ЕГЭ по профильной математике.

Условие аналогично условию в примерах №1 и 2, но появилось еще какое-то ограничение на угол (alpha), пока не будем обращать на него внимания, и решаем как обычно. Воспользуемся формулой (5), в ней есть и косинус, и тангенс, как раз одна из функций нам дана, а другую надо найти:
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+(sqrt{3})^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+3=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$4=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$cos^2(alpha)=frac{1}{4};$$
$$cos(alpha)=pmfrac{1}{2}.$$

У нас опять получилось два ответа из-за квадрата. В условии сказано, что задание из первой части ЕГЭ, а значит два ответа быть не может. Для этого нам и дано, что (alpha<90^o). Это означает, что угол (alpha) острый, а значит косинус у острого угла обязательно должен быть положительный.

Ответ: (cos(alpha)=frac{1}{2}.)

Пример 4
Пусть (tg(alpha) =-2), найти (sin(alpha)=?), при (90^o<alpha<180^o).

Опять обратимся к нашим формулам (1-6) и пытаемся найти такую, в которой есть и синус и тангенс. И тут оказывается, что такой формулы нет. Но нам никто не запрещает, зная тангенс и используя формулу (5), найти косинус:
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+(-2)^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$5=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$cos^2(alpha)=frac{1}{5};$$
$$cos^2(alpha)=pmsqrt{frac{1}{5}};$$
Так как согласно условию (alpha>90^o), то значение косинуса должно быть отрицательным:
$$cos(alpha)=-sqrt{frac{1}{5}};$$

А потом, уже зная косинус, по основному тригонометрическому тождеству (1) можно найти требуемый в задаче синус:
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1;$$
$$sin^2(alpha)+left(-sqrt{frac{1}{5}}right)^2=1;$$
$$sin^2(alpha)+frac{1}{5}=1;$$
$$sin^2(alpha)=-frac{1}{5}+1;$$
$$sin^2(alpha)=frac{4}{5};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{4}{5}};$$
Синус у нас положительный и при острых ((alpha<90^o)) и при тупых углах ( (90<alpha<180) ):
$$sin(alpha)=sqrt{frac{4}{5}};$$

Ответ: (sin(alpha)=sqrt{frac{4}{5}}.)

Итак, зная значение хотя бы одной из четырех тригонометрических функций, при помощи формул (1-6) можно найти три оставшихся, именно для этого формулы и нужны.

Зная угол (angle{A}=60^o), мы знаем все тригонометрические функции от этого угла. Смотрите в таблицу (1):
$$sin(60^o)=frac{sqrt{3}}{2};$$
$$cos(60^o)=frac{1}{2};$$
$$tg(60^o)=sqrt{3};$$
$$ctg(60^o)=frac{1}{sqrt{3}};$$
С другой стороны, можно расписать функции по определению через отношение сторон в прямоугольном треугольнике:
$$sin(angle{A})=frac{BC}{AB};$$
$$cos(angle{A})=frac{AC}{AB};$$
$$tg(angle{A})=frac{BC}{AC};$$
$$ctg(angle{A})=frac{AC}{BC};$$

Не пугайтесь, все нам не понадобится. Воспользуемся пока формулами:
$$cos(60^o)=frac{1}{2};$$
$$cos(angle{A}=60^o)=frac{AC}{AB};$$
Нам известны косинус (angle{A}) и сторона (AC), а значит, мы можем найти гипотенузу (AB):
$$frac{1}{2}=frac{5}{AB};$$
$$AB=frac{5}{frac{1}{2}}=5*frac{2}{1}=10;$$
Нашли гипотенузу, теперь найдем последнюю сторону (BC). Для этого нам нужна любая формула с (BC), например:
$$sin(angle{A})=frac{BC}{AB};$$
Синус знаем, (AB) только что нашли – выражаем (BC):
$$BC=AB*sin(60^o)=10*frac{sqrt{3}}{2}=5*sqrt{3}.$$

Ответ: (AB=10;) (BC=5*sqrt{3}.)

Подведем итоги. Зная любую сторону в прямоугольном треугольнике и хотя бы один из острых углов, можно найти все остальные стороны при помощи тригонометрии.

Рассмотрим задачу посложнее.

Пример 6
Дан прямоугольный треугольник (bigtriangleup{ABC}), в котором угол (angle{C}=90^o), угол (tg(angle{A})=frac{1}{5}), сторона (AB=13). В треугольнике из прямого угла (angle{C}) проведена высота (CH). Найти (AH).

Первым делом обратите внимание на один очень важный факт. Если провести высоту в прямоугольном треугольнике из прямого угла, то она поделит треугольник еще на два прямоугольных. В нашем случае (bigtriangleup{ACH}) и (bigtriangleup{CHB}) тоже будут прямоугольными. А значит в них выполняются все соотношения для тригонометрических функций.
Например, в (bigtriangleup{ACH}) для угла (angle{A}) противолежащим катетом будет (CH), а прилежащим – сторона (AH), гипотенуза будет соответственно (AC). А значит можно записать формулы, следующие из определения тригонометрических функций:

$$sin(angle{A})=frac{CH}{AC};$$
$$cos(angle{A})=frac{AH}{AC};$$
$$tg(angle{A})=frac{CH}{AH};$$
$$ctg(angle{A})=frac{AH}{CH};$$

Аналогичные соотношения можно записать и для (bigtriangleup{CHB}) и (bigtriangleup{ABC}). Не буду нагромождать, запишите эти соотношения сами в качестве тренировки.

Следующий важный момент, на который следует обратить внимание – это углы в получившихся треугольниках. Обозначим угол (angle{CAB}=alpha). Тогда, так как (angle{CHA}=90^o), можно выразить угол:
$$angle{ACH}=180-angle{CAB}-angle{CHA}=180-alpha-90=90-alpha;$$
Напомню, что треугольник (bigtriangleup{ABC}) прямоугольный с прямым углом (angle{ACB}=90^o).
Значит
$$angle{HCB}=angle{ACB}-angle{ACH}=90-(90-alpha)=alpha=angle{CAB};$$

Важный факт: (angle{HCB}=angle{CAB})! А равенство этих углов само собой означает и равенство всех тригонометрических функций. То есть, например, (sin(angle{HCB})=sin(angle{ACB})). Точно так же у них равны и косинусы, и тангенсы, и даже котангенсы!

Аналогичные рассуждения можно провести для углов (angle{ACH}=angle{CBA}).
Запомните это!

А теперь приступим непосредственно к решению задачи. Нам известна гипотенуза (AB) и (tg(alpha)). По определению тангенса в (bigtriangleup{ABC}):
$$tg(angle{A})=frac{CB}{AC};$$
Либо из (bigtriangleup{ACH}):
$$tg(angle{A})=frac{CH}{AH};$$

В этих формулах есть проблема: нет известной нам стороны, гипотенузы (AB). А значит, у нас две неизвестные, и решить мы не можем.

Но зная тангенс, мы легко можем найти косинус по формуле:
$$1+tg(alpha)^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+left(frac{1}{5}right)^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+frac{1}{25}=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$frac{26}{25}=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$cos^2(alpha)=frac{1}{frac{26}{25}}=1*frac{25}{26}=frac{25}{26};$$
$$cos(alpha)=pmsqrt{frac{25}{26}}=pmfrac{5}{sqrt{26}};$$
Так как (anglealpha) это острый угол из прямоугольного треугольника, то его косинус точно будет положительным:
$$cos(alpha)=frac{5}{sqrt{26}}.$$
Не самый приятный косинус, но что делать, будем решать так, как есть.

С другой стороны, из (bigtriangleup{ABC}):
$$cos(alpha)=frac{AC}{AB};$$
Подставим известное (AB):
$$frac{5}{sqrt{26}}=frac{AC}{13};$$
$$AC=13*frac{5}{sqrt{26}}=frac{13*5}{sqrt{26}};$$
Либо косинус еще можно расписать в (bigtriangleup{ACH}):
$$cos(alpha)=frac{AH}{AC}=frac{5}{sqrt{26}};$$
Подставим найденное (AC):
$$frac{AH}{frac{13*5}{sqrt{26}}}=frac{5}{sqrt{26}};$$
$$AH=frac{5}{sqrt{26}}*frac{13*5}{sqrt{26}}=frac{5*13*5}{26}=frac{25}{2}=12,5.$$

Ответ: (AH=12,5.)

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, угол C равен 90°:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. 

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x, ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A. Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B) и на ось игрек (точка C).

Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось x, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x. Косинус тупого угла отрицательный.

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x.  (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y.

Координата по оси x – косинус угла, координата по оси y – синус угла.

Пример:

cos 150 ° = − 3 2

sin 150 ° = 1 2

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

	0°	30°	45°	60°	90°
sinα	0	12	22	32	1
cosα	1	32	22	12	0
tgα	0	33	1	3	нет
ctgα	нет	3	1	33	0

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β:

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Скачать домашнее задание к уроку 1.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Таблица СИНУСОВ для углов от 0° до 360° градусов

СИНУС (SIN α) — это одна из прямых тригонометрических функций для углов, в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к его единственной гипотенузе.

α (радианы)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	√3π/2	2π
α (градусы)	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
SIN α (СИНУС)	0	1/2	√ 2/2	√3 /2	1	0	-1	0

Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)

Угол в градусах	Sin (Синус)
0°	0
1°	0.0175
2°	0.0349
3°	0.0523
4°	0.0698
5°	0.0872
6°	0.1045
7°	0.1219
8°	0.1392
9°	0.1564
10°	0.1736
11°	0.1908
12°	0.2079
13°	0.225
14°	0.2419
15°	0.2588
16°	0.2756
17°	0.2924
18°	0.309
19°	0.3256
20°	0.342
21°	0.3584
22°	0.3746
23°	0.3907
24°	0.4067
25°	0.4226
26°	0.4384
27°	0.454
28°	0.4695
29°	0.4848
30°	0.5
31°	0.515
32°	0.5299
33°	0.5446
34°	0.5592
35°	0.5736
36°	0.5878
37°	0.6018
38°	0.6157
39°	0.6293
40°	0.6428
41°	0.6561
42°	0.6691
43°	0.682
44°	0.6947
45°	0.7071
46°	0.7193
47°	0.7314
48°	0.7431
49°	0.7547
50°	0.766
51°	0.7771
52°	0.788
53°	0.7986
54°	0.809
55°	0.8192
56°	0.829
57°	0.8387
58°	0.848
59°	0.8572
60°	0.866
61°	0.8746
62°	0.8829
63°	0.891
64°	0.8988
65°	0.9063
66°	0.9135
67°	0.9205
68°	0.9272
69°	0.9336
70°	0.9397
71°	0.9455
72°	0.9511
73°	0.9563
74°	0.9613
75°	0.9659
76°	0.9703
77°	0.9744
78°	0.9781
79°	0.9816
80°	0.9848
81°	0.9877
82°	0.9903
83°	0.9925
84°	0.9945
85°	0.9962
86°	0.9976
87°	0.9986
88°	0.9994
89°	0.9998
90°	1

Полная таблица синусов для углов от 0° до 360° с шагом всего в 1°

Угол в градусах	Sin (Синус)
91°	0.9998
92°	0.9994
93°	0.9986
94°	0.9976
95°	0.9962
96°	0.9945
97°	0.9925
98°	0.9903
99°	0.9877
100°	0.9848
101°	0.9816
102°	0.9781
103°	0.9744
104°	0.9703
105°	0.9659
106°	0.9613
107°	0.9563
108°	0.9511
109°	0.9455
110°	0.9397
111°	0.9336
112°	0.9272
113°	0.9205
114°	0.9135
115°	0.9063
116°	0.8988
117°	0.891
118°	0.8829
119°	0.8746
120°	0.866
121°	0.8572
122°	0.848
123°	0.8387
124°	0.829
125°	0.8192
126°	0.809
127°	0.7986
128°	0.788
129°	0.7771
130°	0.766
131°	0.7547
132°	0.7431
133°	0.7314
134°	0.7193
135°	0.7071
136°	0.6947
137°	0.682
138°	0.6691
139°	0.6561
140°	0.6428
141°	0.6293
142°	0.6157
143°	0.6018
144°	0.5878
145°	0.5736
146°	0.5592
147°	0.5446
148°	0.5299
149°	0.515
150°	0.5
151°	0.4848
152°	0.4695
153°	0.454
154°	0.4384
155°	0.4226
156°	0.4067
157°	0.3907
158°	0.3746
159°	0.3584
160°	0.342
161°	0.3256
162°	0.309
163°	0.2924
164°	0.2756
165°	0.2588
166°	0.2419
167°	0.225
168°	0.2079
169°	0.1908
170°	0.1736
171°	0.1564
172°	0.1392
173°	0.1219
174°	0.1045
175°	0.0872
176°	0.0698
177°	0.0523
178°	0.0349
179°	0.0175
180°	0

Полная таблица синусов для углов от 91° до 180°

Угол	Sin (Синус)
181°	-0.0175
182°	-0.0349
183°	-0.0523
184°	-0.0698
185°	-0.0872
186°	-0.1045
187°	-0.1219
188°	-0.1392
189°	-0.1564
190°	-0.1736
191°	-0.1908
192°	-0.2079
193°	-0.225
194°	-0.2419
195°	-0.2588
196°	-0.2756
197°	-0.2924
198°	-0.309
199°	-0.3256
200°	-0.342
201°	-0.3584
202°	-0.3746
203°	-0.3907
204°	-0.4067
205°	-0.4226
206°	-0.4384
207°	-0.454
208°	-0.4695
209°	-0.4848
210°	-0.5
211°	-0.515
212°	-0.5299
213°	-0.5446
214°	-0.5592
215°	-0.5736
216°	-0.5878
217°	-0.6018
218°	-0.6157
219°	-0.6293
220°	-0.6428
221°	-0.6561
222°	-0.6691
223°	-0.682
224°	-0.6947
225°	-0.7071
226°	-0.7193
227°	-0.7314
228°	-0.7431
229°	-0.7547
230°	-0.766
231°	-0.7771
232°	-0.788
233°	-0.7986
234°	-0.809
235°	-0.8192
236°	-0.829
237°	-0.8387
238°	-0.848
239°	-0.8572
240°	-0.866
241°	-0.8746
242°	-0.8829
243°	-0.891
244°	-0.8988
245°	-0.9063
246°	-0.9135
247°	-0.9205
248°	-0.9272
249°	-0.9336
250°	-0.9397
251°	-0.9455
252°	-0.9511
253°	-0.9563
254°	-0.9613
255°	-0.9659
256°	-0.9703
257°	-0.9744
258°	-0.9781
259°	-0.9816
260°	-0.9848
261°	-0.9877
262°	-0.9903
263°	-0.9925
264°	-0.9945
265°	-0.9962
266°	-0.9976
267°	-0.9986
268°	-0.9994
269°	-0.9998
270°	-1

Таблица синусов для углов 181° — 270°

Угол	Sin (Синус)
271°	-0.9998
272°	-0.9994
273°	-0.9986
274°	-0.9976
275°	-0.9962
276°	-0.9945
277°	-0.9925
278°	-0.9903
279°	-0.9877
280°	-0.9848
281°	-0.9816
282°	-0.9781
283°	-0.9744
284°	-0.9703
285°	-0.9659
286°	-0.9613
287°	-0.9563
288°	-0.9511
289°	-0.9455
290°	-0.9397
291°	-0.9336
292°	-0.9272
293°	-0.9205
294°	-0.9135
295°	-0.9063
296°	-0.8988
297°	-0.891
298°	-0.8829
299°	-0.8746
300°	-0.866
301°	-0.8572
302°	-0.848
303°	-0.8387
304°	-0.829
305°	-0.8192
306°	-0.809
307°	-0.7986
308°	-0.788
309°	-0.7771
310°	-0.766
311°	-0.7547
312°	-0.7431
313°	-0.7314
314°	-0.7193
315°	-0.7071
316°	-0.6947
317°	-0.682
318°	-0.6691
319°	-0.6561
320°	-0.6428
321°	-0.6293
322°	-0.6157
323°	-0.6018
324°	-0.5878
325°	-0.5736
326°	-0.5592
327°	-0.5446
328°	-0.5299
329°	-0.515
330°	-0.5
331°	-0.4848
332°	-0.4695
333°	-0.454
334°	-0.4384
335°	-0.4226
336°	-0.4067
337°	-0.3907
338°	-0.3746
339°	-0.3584
340°	-0.342
341°	-0.3256
342°	-0.309
343°	-0.2924
344°	-0.2756
345°	-0.2588
346°	-0.2419
347°	-0.225
348°	-0.2079
349°	-0.1908
350°	-0.1736
351°	-0.1564
352°	-0.1392
353°	-0.1219
354°	-0.1045
355°	-0.0872
356°	-0.0698
357°	-0.0523
358°	-0.0349
359°	-0.0175
360°	0

Таблица синусов для углов от 271° до 360°

Таблица синусов особенно нужна, когда у вас под рукой нет супер навороченного инженерного калькулятора с маленькой спасительной кнопкой с надписью «sin». В таком случае, чтобы узнать, чему же равняется синус определенного заданного угла, просто найдите информацию о интересующем градусе.

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите полностью всё таблицу, на выделенном фоне нажмите уже правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

Как пользоваться таблицей? Всё гораздо проще, чем Вы думаете, ищем в левой вертикальной колонке, соответствующий градус, и напротив него и будет указано нужное значение синуса для данного нужного нам угла.

Чему равен синус 45? …

– А вот собственно и сам ответ на поставленную задачку.sin 45 = 0.7071

Таблицы значений синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов (sin, cos, tg, ctg)

Таблицы значений синусов (sin), косинусов (cos), тангенсов (tg), котангенсов (ctg) – это мощный и полезный инструмент, помогающий решать множество задач, как теоретического, так и прикладного характера. В этой статье мы приведем таблицу основных тригонометрических функций (синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов) для углов 0, 30, 45, 60, 90, . 360 градусов ( 0 , π 6 , π 3 , π 2 , . . . , 2 π радиан). Также будут показаны отдельные таблицы Брадиса для синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов с пояснением, как их использовать для нахождения значений основных тригонометрических функций.

Таблица основных тригонометрических функций для углов 0, 30, 45, 60, 90, . 360 градусов

Исходя из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно найти значения этих функций для углов 0 и 90 градусов

sin 0 = 0 , cos 0 = 1 , t g 0 = 0 , котангенс нуля – не определен,

sin 90 ° = 1 , cos 90 ° = 0 , с t g 90 ° = 0 , тангенс дявяноста градусов не определен.

Значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов в курсе геометрии определяются как соотношения сторон прямоугольного треугольника, углы которого равны 30, 60 и 90 градусов, и также 45, 45 и 90 градусов.

Определение тригонометрических функуций для острого угла в прямоугольном треугольнике

Синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс – отношение прилежащего катета к противолежащему.

В соответствии с определениями находятся значения функций:

sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1 , sin 60 ° = 3 2 , cos 45 ° = 1 2 , t g 45 ° = 3 , c t g 45 ° = 3 3 .

Сведем эти значения в таблицу и назовем ее таблицей основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблица основных значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

α °
0
30
45
60
90

sin α
0
1 2
2 2
3 2
1

cos α
1
3 2
2 2
1 2
0

t g α
0
3 3
1
3
н е о п р е д е л е н

c t g α
н е о п р е д е л е н
3
1
3 3
0

α , р а д и а н
0
π 6
π 4
π 3
π 2

Одно из важных свойств тригонометрических функций – периодичность. На основе этого свойства данную таблицу можно расширить,используя формулы приведения. Ниже представим расширенную таблицу значений основных тригонометрических функций для углов 0, 30, 60, . ,120, 135, 150, 180, . , 360 градусов ( 0 , π 6 , π 3 , π 2 , . . . , 2 π радиан).

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

α °
0
30
45
60
90
120
135
150
180
210
225
240
270
300
315
330
360

sin α
0
1 2
2 2
3 2
1
3 2
2 2
1 2
0
– 1 2
– 2 2
– 3 2
– 1
– 3 2
– 2 2
– 1 2
0

cos α
1
3 2
2 2
1 2
0
– 1 2
– 2 2
– 3 2
– 1
– 3 2
– 2 2
– 1 2
0
1 2
2 2
3 2
1

t g α
0
3 3
1
3
–
– 1
– 3 3
0
0
3 3
1
3
–
– 3
– 1
0

c t g α
–
3
1
3 3
0
– 3 3
– 1
– 3
–
3
1
3 3
0
– 3 3
– 1
– 3
–

α , р а д и а н
0
π 6
π 4
π 3
π 2
2 π 3
3 π 4
5 π 6
π
7 π 6
5 π 4
4 π 3
3 π 2
5 π 3
7 π 4
11 π 6
2 π

Периодичность синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяет расширять эту таблицу до сколь угодно больших значений углов. Значения, собранные в таблице, используются при решении задач чаще всего, поэтому их рекомендуется выучить наизусть.

Как пользоваться таблицей основных значений тригонометрических функций

Принцип пользования таблицей значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов понятен на интуитивном уровне. Пересечение строки и столбца дает значение функции для конкретного угла.

Пример. Как пользоваться таблицей синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Нужно узнать, чему равен sin 7 π 6

Находим в таблице столбец, значение последней ячейки которого равно 7 π 6 радиан – то же самое, что 210 градусов. Затем выбираем сроку таблицы, в которой представлены значения синусов. На пересечении строки и столбца находим искомое значение:

sin 7 π 6 = – 1 2

Таблицы Брадиса

Таблица Брадиса позволяет вычислить значение синуса, косинуса, тангенса или котангенса с точностью до 4-х знаков после запятой без использования вычислительной техники. Это своего рода замена инженерному калькулятору.

Владимир Модестович Брадис (1890 – 1975) – советский математик-педагог, с 1954 года член-корреспондент АПН СССР. Таблицы четырёхзначных логарифмов и натуральных тригонометрических величин, разработанные Брадисом, впервые вышли в 1921 году.

Сначала приведем таблицу Брадиса для синусов и косинусов. Она позволяет достаточно точно вычислять приближенные значения этих функций для углов, содержащих целое количество градусов и минут. В крайнем левом столбце таблицы представлены градусы, а в верхней строке – минуты. Отметим, что все значения углов таблицы Брадиса кратны шести минутам.

Таблица Брадиса для синусов и косинусов

sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′	cos	1′	2′	3′
0.0000	90°
0°	0.0000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89°	3	6	9
1°	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88°	3	6	9
2°	0349	0366	0384	0401	0419	0436	0454	0471	0488	0506	0523	87°	3	6	9
3°	0523	0541	0558	0576	0593	0610	0628	0645	0663	0680	0698	86°	3	6	9
4°	0698	0715	0732	0750	0767	0785	0802	0819	0837	0854	0.0872	85°	3	6	9
5°	0.0872	0889	0906	0924	0941	0958	0976	0993	1011	1028	1045	84°	3	6	9
6°	1045	1063	1080	1097	1115	1132	1149	1167	1184	1201	1219	83°	3	6	9
7°	1219	1236	1253	1271	1288	1305	1323	1340	1357	1374	1392	82°	3	6	9
8°	1392	1409	1426	1444	1461	1478	1495	1513	1530	1547	1564	81°	3	6	9
9°	1564	1582	1599	1616	1633	1650	1668	1685	1702	1719	0.1736	80°	3	6	9
10°	0.1736	1754	1771	1788	1805	1822	1840	1857	1874	1891	1908	79°	3	6	9
11°	1908	1925	1942	1959	1977	1994	2011	2028	2045	2062	2079	78°	3	6	9
12°	2079	2096	2113	2130	2147	2164	2181	2198	2215	2233	2250	77°	3	6	9
13°	2250	2267	2284	2300	2317	2334	2351	2368	2385	2402	2419	76°	3	6	8
14°	2419	2436	2453	2470	2487	2504	2521	2538	2554	2571	0.2588	75°	3	6	8
15°	0.2588	2605	2622	2639	2656	2672	2689	2706	2723	2740	2756	74°	3	6	8
16°	2756	2773	2790	2807	2823	2840	2857	2874	2890	2907	2924	73°	3	6	8
17°	2924	2940	2957	2974	2990	3007	3024	3040	3057	3074	3090	72°	3	6	8
18°	3090	3107	3123	3140	3156	3173	3190	3206	3223	3239	3256	71°	3	6	8
19°	3256	3272	3289	3305	3322	3338	3355	3371	3387	3404	0.3420	70°	3	5	8
20°	0.3420	3437	3453	3469	3486	3502	3518	3535	3551	3567	3584	69°	3	5	8
21°	3584	3600	3616	3633	3649	3665	3681	3697	3714	3730	3746	68°	3	5	8
22°	3746	3762	3778	3795	3811	3827	3843	3859	3875	3891	3907	67°	3	5	8
23°	3907	3923	3939	3955	3971	3987	4003	4019	4035	4051	4067	66°	3	5	8
24°	4067	4083	4099	4115	4131	4147	4163	4179	4195	4210	0.4226	65°	3	5	8
25°	0.4226	4242	4258	4274	4289	4305	4321	4337	4352	4368	4384	64°	3	5	8
26°	4384	4399	4415	4431	4446	4462	4478	4493	4509	4524	4540	63°	3	5	8
27°	4540	4555	4571	4586	4602	4617	4633	4648	4664	4679	4695	62°	3	5	8
28°	4695	4710	4726	4741	4756	4772	4787	4802	4818	4833	4848	61°	3	5	8
29°	4848	4863	4879	4894	4909	4924	4939	4955	4970	4985	0.5000	60°	3	5	8
30°	0.5000	5015	5030	5045	5060	5075	5090	5105	5120	5135	5150	59°	3	5	8
31°	5150	5165	5180	5195	5210	5225	5240	5255	5270	5284	5299	58°	2	5	7
32°	5299	5314	5329	5344	5358	5373	5388	5402	5417	5432	5446	57°	2	5	7
33°	5446	5461	5476	5490	5505	5519	5534	5548	5563	5577	5592	56°	2	5	7
34°	5592	5606	5621	5635	5650	5664	5678	5693	5707	5721	0.5736	55°	2	5	7
35°	0.5736	5750	5764	5779	5793	5807	5821	5835	5850	5864	0.5878	54°	2	5	7
36°	5878	5892	5906	5920	5934	5948	5962	5976	5990	6004	6018	53°	2	5	7
37°	6018	6032	6046	6060	6074	6088	6101	6115	6129	6143	6157	52°	2	5	7
38°	6157	6170	6184	6198	6211	6225	6239	6252	6266	6280	6293	51°	2	5	7
39°	6293	6307	6320	6334	6347	6361	6374	6388	6401	6414	0.6428	50°	2	4	7
40°	0.6428	6441	6455	6468	6481	6494	6508	6521	6534	6547	6561	49°	2	4	7
41°	6561	6574	6587	6600	6613	6626	6639	6652	6665	6678	6691	48°	2	4	7
42°	6691	6704	6717	6730	6743	6756	6769	6782	6794	6807	6820	47°	2	4	6
43°	6820	6833	6845	6858	6871	6884	6896	8909	6921	6934	6947	46°	2	4	6
44°	6947	6959	6972	6984	6997	7009	7022	7034	7046	7059	0.7071	45°	2	4	6
45°	0.7071	7083	7096	7108	7120	7133	7145	7157	7169	7181	7193	44°	2	4	6
46°	7193	7206	7218	7230	7242	7254	7266	7278	7290	7302	7314	43°	2	4	6
47°	7314	7325	7337	7349	7361	7373	7385	7396	7408	7420	7431	42°	2	4	6
48°	7431	7443	7455	7466	7478	7490	7501	7513	7524	7536	7547	41°	2	4	6
49°	7547	7559	7570	7581	7593	7604	7615	7627	7638	7649	0.7660	40°	2	4	6
50°	0.7660	7672	7683	7694	7705	7716	7727	7738	7749	7760	7771	39°	2	4	6
51°	7771	7782	7793	7804	7815	7826	7837	7848	7859	7869	7880	38°	2	4	5
52°	7880	7891	7902	7912	7923	7934	7944	7955	7965	7976	7986	37°	2	4	5
53°	7986	7997	8007	8018	8028	8039	8049	8059	8070	8080	8090	36°	2	3	5
54°	8090	8100	8111	8121	8131	8141	8151	8161	8171	8181	0.8192	35°	2	3	5
55°	0.8192	8202	8211	8221	8231	8241	8251	8261	8271	8281	8290	34°	2	3	5
56°	8290	8300	8310	8320	8329	8339	8348	8358	8368	8377	8387	33°	2	3	5
57°	8387	8396	8406	8415	8425	8434	8443	8453	8462	8471	8480	32°	2	3	5
58°	8480	8490	8499	8508	8517	8526	8536	8545	8554	8563	8572	31°	2	3	5
59°	8572	8581	8590	8599	8607	8616	8625	8634	8643	8652	0.8660	30°	1	3	4
60°	0.8660	8669	8678	8686	8695	8704	8712	8721	8729	8738	8746	29°	1	3	4
61°	8746	8755	8763	8771	8780	8788	8796	8805	8813	8821	8829	28°	1	3	4
62°	8829	8838	8846	8854	8862	8870	8878	8886	8894	8902	8910	27°	1	3	4
63°	8910	8918	8926	8934	8942	8949	8957	8965	8973	8980	8988	26°	1	3	4
64°	8988	8996	9003	9011	9018	9026	9033	9041	9048	9056	0.9063	25°	1	3	4
65°	0.9063	9070	9078	9085	9092	9100	9107	9114	9121	9128	9135	24°	1	2	4
66°	9135	9143	9150	9157	9164	9171	9178	9184	9191	9198	9205	23°	1	2	3
67°	9205	9212	9219	9225	9232	9239	9245	9252	9259	9256	9272	22°	1	2	3
68°	9272	9278	9285	9291	9298	9304	9311	9317	9323	9330	9336	21°	1	2	3
69°	9336	9342	9348	9354	9361	9367	9373	9379	9383	9391	0.9397	20°	1	2	3
70°	9397	9403	9409	9415	9421	9426	9432	9438	9444	9449	0.9455	19°	1	2	3
71°	9455	9461	9466	9472	9478	9483	9489	9494	9500	9505	9511	18°	1	2	3
72°	9511	9516	9521	9527	9532	9537	9542	9548	9553	9558	9563	17°	1	2	3
73°	9563	9568	9573	9578	9583	9588	9593	9598	9603	9608	9613	16°	1	2	2
74°	9613	9617	9622	9627	9632	9636	9641	9646	9650	9655	0.9659	15°	1	2	2
75°	9659	9664	9668	9673	9677	9681	9686	9690	9694	9699	9703	14°	1	1	2
76°	9703	9707	9711	9715	9720	9724	9728	9732	9736	9740	9744	13°	1	1	2
77°	9744	9748	9751	9755	9759	9763	9767	9770	9774	9778	9781	12°	1	1	2
78°	9781	9785	9789	9792	9796	9799	9803	9806	9810	9813	9816	11°	1	1	2
79°	9816	9820	9823	9826	9829	9833	9836	9839	9842	9845	0.9848	10°	1	1	2
80°	0.9848	9851	9854	9857	9860	9863	9866	9869	9871	9874	9877	9°	0	1	1
81°	9877	9880	9882	9885	9888	9890	9893	9895	9898	9900	9903	8°	0	1	1
82°	9903	9905	9907	9910	9912	9914	9917	9919	9921	9923	9925	7°	0	1	1
83°	9925	9928	9930	9932	9934	9936	9938	9940	9942	9943	9945	6°	0	1	1
84°	9945	9947	9949	9951	9952	9954	9956	9957	9959	9960	9962	5°	0	1	1
85°	9962	9963	9965	9966	9968	9969	9971	9972	9973	9974	9976	4°	0	0	1
86°	9976	9977	9978	9979	9980	9981	9982	9983	9984	9985	9986	3°	0	0	0
87°	9986	9987	9988	9989	9990	9990	9991	9992	9993	9993	9994	2°	0	0	0
88°	9994	9995	9995	9996	9996	9997	9997	9997	9998	9998	0.9998	1°	0	0	0
89°	9998	9999	9999	9999	9999	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0°	0	0	0
90°	1.0000
sin	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos	1′	2′	3′

Для нахождения значений синусов и косинусов углов, не представленных в таблице, необходимо использовать поправки.

Теперь приведем таблицу Брадиса для тангенсов и котангенсов. Она содержит значения тангенсов углов от 0 до 76 градусов, и котангенсов углов от 14 до 90 градусов.

Таблица Брадиса для тангенса и котангенса

tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′	ctg	1′	2′	3′
0	90°
0°	0,000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89°	3	6	9
1°	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88°	3	6	9
2°	0349	0367	0384	0402	0419	0437	0454	0472	0489	0507	0524	87°	3	6	9
3°	0524	0542	0559	0577	0594	0612	0629	0647	0664	0682	0699	86°	3	6	9
4°	0699	0717	0734	0752	0769	0787	0805	0822	0840	0857	0,0875	85°	3	6	9
5°	0,0875	0892	0910	0928	0945	0963	0981	0998	1016	1033	1051	84°	3	6	9
6°	1051	1069	1086	1104	1122	1139	1157	1175	1192	1210	1228	83°	3	6	9
7°	1228	1246	1263	1281	1299	1317	1334	1352	1370	1388	1405	82°	3	6	9
8°	1405	1423	1441	1459	1477	1495	1512	1530	1548	1566	1584	81°	3	6	9
9°	1584	1602	1620	1638	1655	1673	1691	1709	1727	1745	0,1763	80°	3	6	9
10°	0,1763	1781	1799	1817	1835	1853	1871	1890	1908	1926	1944	79°	3	6	9
11°	1944	1962	1980	1998	2016	2035	2053	2071	2089	2107	2126	78°	3	6	9
12°	2126	2144	2162	2180	2199	2217	2235	2254	2272	2290	2309	77°	3	6	9
13°	2309	2327	2345	2364	2382	2401	2419	2438	2456	2475	2493	76°	3	6	9
14°	2493	2512	2530	2549	2568	2586	2605	2623	2642	2661	0,2679	75°	3	6	9
15°	0,2679	2698	2717	2736	2754	2773	2792	2811	2830	2849	2867	74°	3	6	9
16°	2867	2886	2905	2924	2943	2962	2981	3000	3019	3038	3057	73°	3	6	9
17°	3057	3076	3096	3115	3134	3153	3172	3191	3211	3230	3249	72°	3	6	10
18°	3249	3269	3288	3307	3327	3346	3365	3385	3404	3424	3443	71°	3	6	10
19°	3443	3463	3482	3502	3522	3541	3561	3581	3600	3620	0,3640	70°	3	7	10
20°	0,3640	3659	3679	3699	3719	3739	3759	3779	3799	3819	3839	69°	3	7	10
21°	3839	3859	3879	3899	3919	3939	3959	3979	4000	4020	4040	68°	3	7	10
22°	4040	4061	4081	4101	4122	4142	4163	4183	4204	4224	4245	67°	3	7	10
23°	4245	4265	4286	4307	4327	4348	4369	4390	4411	4431	4452	66°	3	7	10
24°	4452	4473	4494	4515	4536	4557	4578	4599	4621	4642	0,4663	65°	4	7	11
25°	0,4663	4684	4706	4727	4748	4770	4791	4813	4834	4856	4877	64°	4	7	11
26°	4877	4899	4921	4942	4964	4986	5008	5029	5051	5073	5095	63°	4	7	11
27°	5095	5117	5139	5161	5184	5206	5228	5250	5272	5295	5317	62°	4	7	11
28°	5317	5340	5362	5384	5407	5430	5452	5475	5498	5520	5543	61°	4	8	11
29°	5543	5566	5589	5612	5635	5658	5681	5704	5727	5750	0,5774	60°	4	8	12
30°	0,5774	5797	5820	5844	5867	5890	5914	5938	5961	5985	6009	59°	4	8	12
31°	6009	6032	6056	6080	6104	6128	6152	6176	6200	6224	6249	58°	4	8	12
32°	6249	6273	6297	6322	6346	6371	6395	6420	6445	6469	6494	57°	4	8	12
33°	6494	6519	6544	6569	6594	6619	6644	6669	6694	6720	6745	56°	4	8	13
34°	6745	6771	6796	6822	6847	6873	6899	6924	6950	6976	0,7002	55°	4	9	13
35°	0,7002	7028	7054	7080	7107	7133	7159	7186	7212	7239	7265	54°	4	8	13
36°	7265	7292	7319	7346	7373	7400	7427	7454	7481	7508	7536	53°	5	9	14°
37°	7536	7563	7590	7618	7646	7673	7701	7729	7757	7785	7813	52°	5	9	14
38°	7813	7841	7869	7898	7926	7954	7983	8012	8040	8069	8098	51°	5	9	14
39°	8098	8127	8156	8185	8214	8243	8273	8302	8332	8361	0,8391	50°	5	10	15
40°	0,8391	8421	8451	8481	8511	8541	8571	8601	8632	8662	0,8693	49°	5	10	15
41°	8693	8724	8754	8785	8816	8847	8878	8910	8941	8972	9004	48°	5	10	16
42°	9004	9036	9067	9099	9131	9163	9195	9228	9260	9293	9325	47°	6	11	16
43°	9325	9358	9391	9424	9457	9490	9523	9556	9590	9623	0,9657	46°	6	11	17
44°	9657	9691	9725	9759	9793	9827	9861	9896	9930	9965	1,0000	45°	6	11	17
45°	1,0000	0035	0070	0105	0141	0176	0212	0247	0283	0319	0355	44°	6	12	18
46°	0355	0392	0428	0464	0501	0538	0575	0612	0649	0686	0724	43°	6	12	18
47°	0724	0761	0799	0837	0875	0913	0951	0990	1028	1067	1106	42°	6	13	19
48°	1106	1145	1184	1224	1263	1303	1343	1383	1423	1463	1504	41°	7	13	20
49°	1504	1544	1585	1626	1667	1708	1750	1792	1833	1875	1,1918	40°	7	14	21
50°	1,1918	1960	2002	2045	2088	2131	2174	2218	2261	2305	2349	39°	7	14	22
51°	2349	2393	2437	2482	2527	2572	2617	2662	2708	2753	2799	38°	8	15	23
52°	2799	2846	2892	2938	2985	3032	3079	3127	3175	3222	3270	37°	8	16	24
53°	3270	3319	3367	3416	3465	3514	3564	3613	3663	3713	3764	36°	8	16	25
54°	3764	3814	3865	3916	3968	4019	4071	4124	4176	4229	1,4281	35°	9	17	26
55°	1,4281	4335	4388	4442	4496	4550	4605	4659	4715	4770	4826	34°	9	18	27
56°	4826	4882	4938	4994	5051	5108	5166	5224	5282	5340	5399	33°	10	19	29
57°	5399	5458	5517	5577	5637	5697	5757	5818	5880	5941	6003	32°	10	20	30
58°	6003	6066	6128	6191	6255	6319	6383	6447	6512	6577	6643	31°	11	21	32
59°	6643	6709	6775	6842	6909	6977	7045	7113	7182	7251	1,7321	30°	11	23	34
60°	1,732	1,739	1,746	1,753	1,760	1,767	1,775	1,782	1,789	1,797	1,804	29°	1	2	4
61°	1,804	1,811	1,819	1,827	1,834	1,842	1,849	1,857	1,865	1,873	1,881	28°	1	3	4
62°	1,881	1,889	1,897	1,905	1,913	1,921	1,929	1,937	1,946	1,954	1,963	27°	1	3	4
63°	1,963	1,971	1,980	1,988	1,997	2,006	2,014	2,023	2,032	2,041	2,05	26°	1	3	4
64°	2,050	2,059	2,069	2,078	2,087	2,097	2,106	2,116	2,125	2,135	2,145	25°	2	3	5
65°	2,145	2,154	2,164	2,174	2,184	2,194	2,204	2,215	2,225	2,236	2,246	24°	2	3	5
66°	2,246	2,257	2,267	2,278	2,289	2,3	2,311	2,322	2,333	2,344	2,356	23°	2	4	5
67°	2,356	2,367	2,379	2,391	2,402	2,414	2,426	2,438	2,450	2,463	2,475	22°	2	4	6
68°	2,475	2,488	2,5	2,513	2,526	2,539	2,552	2,565	2,578	2,592	2,605	21°	2	4	6
69°	2,605	2,619	2,633	2,646	2,66	2,675	2,689	2,703	2,718	2,733	2,747	20°	2	5	7
70°	2,747	2,762	2,778	2,793	2,808	2,824	2,840	2,856	2,872	2,888	2,904	19°	3	5	8
71°	2,904	2,921	2,937	2,954	2,971	2,989	3,006	3,024	3,042	3,06	3,078	18°	3	6	9
72°	3,078	3,096	3,115	3,133	3,152	3,172	3,191	3,211	3,230	3,251	3,271	17°	3	6	10
73°	3,271	3,291	3,312	3,333	3,354	3,376	3	7	10
3,398	3,42	3,442	3,465	3,487	16°	4	7	11
74°	3,487	3,511	3,534	3,558	3,582	3,606	4	8	12
3,630	3,655	3,681	3,706	3,732	15°	4	8	13
75°	3,732	3,758	3,785	3,812	3,839	3,867	4	9	13
3,895	3,923	3,952	3,981	4,011	14°	5	10	14
tg	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg	1′	2′	3′

Как пользоваться таблицами Брадиса

Рассмотрим таблицу Брадиса для синусов и косинусов. Все, что относится к синусам находится вверху и слева. Если нам нужны косинусы – смотрим на правую сторону внизу таблицы.

Для нахождения значений синуса угла нужно найти пересечение строки, содержащей в крайней левой ячейке необходимое количество градусов, и столбца, содержащего в верхней ячейке необходимое число минут.

Если точного значения угла нет в таблице Брадиса, прибегаем к помощи поправок. Поправки на одну, две и три минуты даны в крайних правых столбцах таблицы. Для нахождения значения синуса угла, которого нет в таблице, находим самое близкое к нему значение. После этого прибавляем или отнимаем поправку, соответствующую разнице между углами.

В случае, если мы ищем синус угла, который больше 90 градусов, сначала нужно воспользоваться формулами приведения, а уже потом – таблицей Брадиса.

Пример. Как пользоваться таблицей Брадиса

Пусть нужно найти синус угла 17 ° 44 ‘ . По таблице находим, чему равен синус 17 ° 42 ‘ и прибавляем к его значению поправку на две минуты:

17 ° 44 ‘ – 17 ° 42 ‘ = 2 ‘ ( н е о б х о д и м а я п о п р а в к а ) sin 17 ° 44 ‘ = 0 . 3040 + 0 . 0006 = 0 . 3046

Принцип работы с косинусами, тангенсами и котангенсами аналогичен. Однако, важно помнить о знаке поправок.

При вычислении значений синусов поправка имеет положительный знак, а при вычислении косинусов поправку необходимо брать с отрицательным знаком.

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

• 

Вот что мы видим на этом рисунке:

Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.

Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .

И синус, и косинус принимают значения от до .

Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

[spoiler title=”источники:”]

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/tablitsy-znachenij-sinusov-kosinusov-tangensov-kot/

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/trigonometricheskij-krug/

[/spoiler]