Как найти синус угла между диагональю параллелепипеда

Светило науки – 9801 ответ – 46531 помощь

Дано: диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 136, а его измерения относятся 16:18:24.

1) Измерения можно сократить на 2 записать:
а = 8х, в = 9х и с = 12х.
Диагональ D равна корню из квадратов измерений.
D = 

√((8х)²+(9х)²+(12х)²) = √(64x²+81x²+144x²) = √(289x²) = 17x.
Отсюда коэффициент кратности х = 136/17 = 8.
Получаем измерения:
а = 64, в = 72 и с = 96.

2) Синус угла между диагональю параллелепипеда и основанием равен отношению высоты к диагонали.
Если считать, что высота – это измерение с, то синус угла 

α равен:
sinα c/D = 96/136 = 12/17 ≈ 
0,705882.
А сам угол α = arc sin(12/17) = 

0,783668 радиан или


44,90087°. 

А) Пусть сторона квадрата основания равна x. Тогда из условия “его измерения относятся как 1:1:2” получаем, что высота и ширина равны x, а длина равна 2x. Таким образом, размеры параллелепипеда равны x, x, 2x.

Также из условия “диагональ параллелепипеда равна 2 корень из 6 см” мы можем записать:

(2x^2 + 4x^2)^0.5 = 2(6)^0.5

Упрощая выражение, получаем:

2x^2 + 4x^2 = 24

6x^2 = 24

x^2 = 4

x = 2

Таким образом, размеры параллелепипеда равны 2 см, 2 см, 4 см.

б) Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания можно найти, используя формулу:

sin(угол) = противолежащий катет / гипотенуза

В данном случае гипотенуза равна диагонали параллелепипеда, то есть 2(6)^0.5 см. Противолежащий катет – это расстояние от центра квадрата основания до диагонали параллелепипеда. Чтобы найти это расстояние, можно нарисовать плоскость, проходящую через центр квадрата основания и перпендикулярную диагонали. Тогда расстояние от центра до диагонали будет равно половине длины диагонали квадрата основания, то есть (2)^0.5 см. Таким образом, sin(угол) = (2)^0.5 / 2(6)^0.5.

Упрощая выражение, получаем:

sin(угол) = (2)^0.5 / 4(3)^0.5

sin(угол) = (2)^0.5 / 12

Ответ: sin(угол) = (2)^0.5 / 12.

Контрольная работа № 3 по геометрии в 10 классе «Перпендикулярность прямых и плоскости» с ответами и решениями для УМК Атанасян (сложный уровень). Урок 43 поурочного планирования по геометрии. Геометрия 10 КР-3 Уровень 2. Цитаты использованы в учебных целях.

К-3 Уровень 1 (легкий)

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 10 классе (Атанасян)

II уровень сложности. Геометрия 10 класс
«Перпендикулярность прямых и плоскости»

К-3 Вариант 1 (транскрипт заданий)

1. Диагональ куба равна 6 см. Найдите: а) ребро куба; б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.
2. Сторона АВ ромба ABCD равна а, один из углов ромба равен 60°. Через сторону АВ проведена плоскость α на расстоянии а/2 от точки D.
   а) Найдите расстояние от точки С до плоскости α.
   б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DABM, M ∈ α.
   в) Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью α.

К-3 Вариант 2 (транскрипт заданий)

1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда равна 2√6 см, а его измерения относятся как 1 : 1 : 2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
2. Сторона квадрата ABCD равна а. Через сторону AD проведена плоскость α на расстоянии a/2 от точки В.
   а) Найдите расстояние от точки С до плоскости α.
   б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла BADM, М ∈ α.
   в) Найдите синус угла между плоскостью квадрата и плоскостью α.

Геометрия 10 КР-3 Уровень 2
ОТВЕТЫ на контрольную работу:

ОТВЕТЫ на КР-3 Вариант 1

№ 1. Диагональ куба равна 6 см. Найдите: а) ребро куба; б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.
ОТВЕТ:  a) DC = 2√3 см;  б) cos ∠CB₁D = √6/3.

№ 2. Сторона АВ ромба ABCD равна а, один из углов ромба равен 60°. Через сторону АВ проведена плоскость α на расстоянии а/2 от точки D.
а) Найдите расстояние от точки С до плоскости α.
б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DABM, M ∈ α.
в) Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью α.
ОТВЕТ:  Ответ: a) а/2;   в) 1/√3.

ОТВЕТЫ на КР-3 Вариант 2

№ 1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда равна 2√6 см, а его измерения относятся как 1 : 1 : 2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
ОТВЕТ: Ответ: a) 2; 2; 4;   б) √6/3.

№ 2. Сторона квадрата ABCD равна а. Через сторону AD проведена плоскость α на расстоянии a/2 от точки В.
а) Найдите расстояние от точки С до плоскости α.
б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла BADM, М ∈ α.
в) Найдите синус угла между плоскостью квадрата и плоскостью α.
ОТВЕТ:  Ответ: а) а/2;  в) 1/2.

Смотрите также задания и ответы на контрольную работу № 3 для других уровней:

К-3 Уровень 1 (легкий)

Вы смотрели: Контрольная работа № 3 по геометрии в 10 классе «Перпендикулярность прямых и плоскости» с ответами и решениями для УМК Атанасян (сложный уровень). Урок 43 поурочного планирования по геометрии. Геометрия 10 КР-3 Уровень 2. Цитаты использованы в учебных целях.

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 10 классе (Атанасян)

(с) В учебных целях использованы цитаты из учебного пособия «Поурочные разработки по геометрии. 10 класс — М.: ВАКО», которое используется в комплекте с учебником «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 10-11 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».