Как найти синус внешнего угла прямоугольном треугольнике - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

В некоторых
задачах ЕГЭ требуется найти синус,
косинус или тангенс внешнего
угла
треугольника. А что такое внешний
угол треугольника?

Давайте
вспомним сначала, что такое смежные
углы.
Вот они, на рисунке. У смежных углов
одна сторона общая, а две другие лежат
на одной прямой. Сумма смежных углов
равна

Возьмем
треугольник и продолжим одну из его
сторон. Внешний угол

при
вершине

—
это угол, смежный с углом

. Если
угол

острый, то смежный с ним угол —
тупой, и наоборот.

Обратите
внимание, что:

Запомните
эти важные соотношения. Сейчас мы берем
их без доказательств. В разделе
«Тригонометрия», в теме «Тригонометрический
круг»,
мы вернемся к ним.

Легко
доказать, что внешний
угол треугольника равен сумме двух
внутренних углов, не смежных с ним.

1.
В треугольнике

угол

равен

,

.
Найдите тангенс внешнего угла при
вершине

Пусть

—
внешний угол при вершине

.
Имеем:

Зная

,
найдем

по формуле

Получим:

2.
В треугольнике

угол

равен

,

.
Найдите синус внешнего угла при вершине

.

Задача
решается за четыре секунды. Поскольку
сумма углов

равна
,

.
Тогда и синус внешнего угла при
вершине

также равен

.

Высота в прямоугольном треугольнике

Вспомним,
что высота
треугольника —
это перпендикуляр, опущенный из его
вершины на противоположную сторону.

В
прямоугольном треугольнике катеты
являются высотами друг к другу. Главный
интерес представляет высота, проведённая
к гипотенузе.

Один
из типов экзаменационных задач В6 в
банке заданий ФИПИ — такие, где
в прямоугольном треугольнике высота
проведена из вершины прямого угла.
Посмотрим, что получается:

Высота
проведена к гипотенузе

.
Она делит треугольник

на два
прямоугольных треугольника —

и
.
Смотрим внимательно на рисунок
и находим на нем равные
углы.
Это и есть ключ к задачам по геометрии,
в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним,
что сумма двух острых углов прямоугольного
треугольника равна

.
Значит,

,
то есть угол

равен
углу

.
Аналогично, угол

.

Иными
словами, каждый из трех углов
треугольника

равен
одному из углов треугольника

и треугольника

.
Треугольники

называются подобными.
Давайте нарисуем их рядом друг
с другом.

Они
отличаются только размерами. Стороны
подобных треугольников пропорциональны.
Что это значит?

Возьмем
треугольники

и
.
Стороны треугольника

длиннее,
чем стороны треугольника

,
в некоторое число

раз:

При
решении задач нам пригодится равенство
углов треугольников

и
,
а также пропорциональность их сторон.
Обратите также внимание, что площадь
треугольника

можно
записать двумя разными способами: как
половину произведения катетов и как
половину произведения гипотенузы
на проведенную к ней высоту.

1.
В треугольнике

угол

равен

,

—
высота,

,

.
Найдите

.

Рассмотрим
треугольник

.
В нем известны косинус угла

и противолежащий катет

.
Зная синус угла
,
мы могли бы найти гипотенузу

.
Так давайте найдем

:

(поскольку
значение синуса острого угла положительно).
Тогда:

Рассмотрим
прямоугольный треугольник

,

.
Имеем:

Отсюда,
поскольку

:

и
тогда

Ответ:

.

2.
В треугольнике

угол

равен

,

,

.
Найдите высоту

Сделайте
чертеж и рассмотрите прямоугольный
треугольник

Ответ:

.

3.
В треугольнике

угол

равен

,

,

.
К гипотенузе проведена высота

.
Найдите

Это
чуть более сложная задача. Ведь вам
неизвестны катеты

и
.

Зато
можно записать теорему Пифагора:

Нам
известно также, что

Решая
эту систему из двух уравнений, найдем:

Запишем
площадь треугольника

двумя
способами:

и найдем

.

Найти
высоту, проведенную из вершины прямого
угла, можно было и другим способом.
Мы выбрали самый короткий путь —
составили и решили систему уравнений.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
#
#
30.03.201540.15 Mб22спицын мартыненко.djvu
#
#
#
#
#
#
#
#

Источник

Как найти синус внешнего угла

По определению любой угол составляют два несовпадающих луча, которые выходят из единственной общей точки – вершины. Если один из лучей продолжить за вершину, это продолжение вместе со вторым лучом образует еще один угол – он называется смежным. Смежный угол в вершине любого выпуклого многоугольника называют внешним, так как он лежит вне участка поверхности, ограниченного сторонами этой фигуры.

Инструкция

Если вам известно значение синуса внутреннего угла (α₀) геометрической фигуры, вычислять что-либо нет необходимости – синус соответствующего ему внешнего угла (α₁) будет иметь точно такое же значение: sin(α₁) = sin(α₀). Это определяется свойствами тригонометрической функции sin(α₀) = sin(180°-α₀). Если бы требовалось узнать, например, значение косинуса или тангенса внешнего угла, эту величину нужно было бы брать с противоположным знаком.

Существует теорема о том, что в треугольнике сумма величин двух любых внутренних углов равна величине внешнего угла третьей вершины. Используйте ее в том случае, если величина внутреннего угла, соответствующего рассматриваемому внешнему (α₁), неизвестна, а углы (β₀ и γ₀) в двух других вершинах приведены в условиях. Найдите синус от суммы известных углов: sin(α₁) = sin(β₀+γ₀).

Задача с теми же исходными условиями, что и в предыдущем шаге, имеет и другое решение. Оно вытекает из другой теоремы – о сумме внутренних углов треугольника. Так как эта сумма, согласно теореме, должна быть равна 180°, величину неизвестного внутреннего угла можно выразить через два известных (β₀ и γ₀) – она будет равна 180°-β₀-γ₀. Это означает, что вы можете использовать формулу из первого шага, заменив в нем величину внутреннего угла этим выражением: sin(α₁) = sin(180°-β₀-γ₀).

В правильном многоугольнике величина внешнего угла при любой вершине равна величине центрального угла, а значит, может быть рассчитана по той же формуле, что и он. Поэтому, если в условиях задачи дано число сторон (n) многоугольника, при вычислении синуса любого внешнего угла (α₁) исходите из того, что его величина равна полному обороту, поделенному на число сторон. Полный оборот в радианах выражается удвоенным числом Пи, поэтому формула должна иметь такой вид: sin(α₁) = sin(2*π/n). При расчетах в градусах удвоенное Пи замените на 360°: sin(α₁) = sin(360°/n).

Источники:

найти sin угла

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Внешний угол треугольника

Углы треугольника бывают внутренние и внешние. Что такое внешний угол треугольника? Как его найти?

Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине.

Как построить внешний угол треугольника? Нужно продлить сторону треугольника.

∠3 — внешний угол при вершине А,

∠2 — внешний угол при вершине С,

∠1 — внешний угол при вершине В.

Сколько внешних углов у треугольника?

При каждой вершине треугольника есть два внешних угла. Чтобы построить внешний угол при вершине треугольника, можно продлить любую из двух сторон, на которых лежит данная вершина. Таким образом получаем 6 внешних углов.

Внешние углы каждой пары при данной вершины равны между собой (как вертикальные):

Поэтому, когда говорят о внешнем угле треугольника, не важно, какую из сторон треугольника продлили.

Чему равен внешний угол?

Теорема (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Дано : ∆АВС, ∠1 — внешний угол при вершине С.

∠1 и ∠С (∠АСВ) — смежные, поэтому их сумма равна 180º, значит, ∠1=180º-∠С=180º-(180º-(∠А+∠В))=180º-180º+(∠А+∠В)=∠А+∠В.

Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?

Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна .

Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине — это угол, смежный с углом . Если угол острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.

Обратите внимание, что:

Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.

Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. В треугольнике угол равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .

Пусть — внешний угол при вершине .

Зная , найдем по формуле

2. В треугольнике угол равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине .

Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов и равна , . Тогда и синус внешнего угла при вершине также равен .

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.

При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника ABC, то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:

Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна 180°:

Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна 180°, значит:

Из этого следует, что

Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:

Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Сумма внешних углов

Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна 360°

Рассмотрим треугольник ABC:

Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны 180°. Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны 540°:

(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°.

Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:

∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° – (∠4 + ∠5 + ∠6) = 540° – 180° = 360°.

[spoiler title=”источники:”]

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vneshnij-ugol-treugolnika/

http://izamorfix.ru/matematika/planimetriya/vneshnie_ugly_treug.html

[/spoiler]

Источник

24
Мар 2012

03 Задание (2022)

Если в геометрической задаче присутствуют слова “внешний угол треугольника“, нам надо вспомнить несколько фактов:

1. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом треугольника:

2. Сумма смежных углов равна 180°

3. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним:

Чтобы найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника, нужно найти эту функцию соответствующего внутреннего угла, а затем воспользоваться следующим формулами приведения:

$cos(180^{circ}-{alpha})=-cos{alpha}$ (1)

$sin(180^{circ}-{alpha})=sin{alpha}$ (2)

$tg(180^{circ}-{alpha})=-tg{alpha}$ (3)

Необходимо также вспомнить, как тригонометрические функции острого угла выражаются одна через другую:

$sin{alpha}=sqrt{1-cos^2{alpha}}$

$cos{alpha}=sqrt{1-sin^2{alpha}}$

$cos{alpha}=sqrt{1/{1+tg^2{alpha}}}$

Прежде чем приступать к разбору решений задач, рекомендую вам прочитать статью о соотношении сторон и углов в прямоугольном треугольнике.

Рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике: .

1. Задание B7 (№ 27382)

В треугольнике ABC угол C равен $90^{circ}$ , , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

Найдем тангенс угла А, а затем воспользуемся формулой приведения.

АС=4, ВС найдем по теореме Пифагора:

$BC=sqrt{{AB}^2-{AC}^2}=sqrt{17-16}=1$

Отсюда . Соответственно, по формуле приведения (3), тангенс внешнего угла при вершине А равен -0,25.

Ответ: -0,25

2. Задание B7 (№ 27386)

В треугольнике ABC угол C равен $90^{circ}$ , синус внешнего угла при вершине A равен 0,1. Найдите .

Воспользуемся формулой приведения (2): sinA=0,1

Ответ: 0,1.

3. Задание B7 (№ 27387)

В треугольнике ABC угол C равен $90^{circ}$ , синус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

Найдем сначала sin A. Он равен синусу внешнего угла треугольника при вершине А. То есть .

Найдем cosA c помощью основного тригонометрического тождества:

$cosA=sqrt{1-({7/25})^2}=sqrt{{576}/{625}}={24}/{25}=0,96$

Ответ: 0,96

4. Задание B7 (№ 27389)

В треугольнике ABC угол C равен $90^{circ}$ , синус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

Найдем сначала sin A. Он равен синусу внешнего угла треугольника при вершине А. То есть .

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому $sinB=sin(90^{circ}-A)=cosA=0,96$

Ответ: 0,96

5. Задание B7 (№ 27392)

В треугольнике ABC угол C равен $90^{circ}$ , косинус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

Если косинус внешнего угла при вершине A равен , то cos A=. Отсюда sinA=0,96

Ответ: 0,96

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс “ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В”

Для вас другие записи этой рубрики:

Прямоугольник и прямоугольный треугольник: радиус вписанной и описанной окружности. Задание В6

Видеолекция 16. “Решение задания В6. Часть 3 : окружность”

Четырехугольники. ОГЭ задание 11, ЕГЭ Задание 6 (часть 3)

Вычисление элементов прямоугольных треугольников. ОГЭ (ГИА) Задание 9, ЕГЭ Задание 6 (часть 2)

Видеолекция 14. “Решение Задания В6. Часть 1: треугольники”

Задание В7 (2015): вписанный и центральный угол

Источник

Внешний угол треугольника. Продолжаем рассматривать задачи на решение прямоугольного треугольника. Такие типы заданий имеются в прототипах открытого банка заданий по математике. Некоторые примеры мы уже рассмотрели в статьях «Прямоугольный треугольник. Часть 1» и «Прямоугольный треугольник. Часть 2». В этой статье разберём задачи, в которых необходимо определить значения тригонометрических функций внешнего угла треугольника (или внутреннего, когда дано значение внешнего).

Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине

Угол DAB является внешним.

Стоит повторить определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике, также основные тригонометрические формулы для решения прямоугольного треугольника. Вспомним основные из них:

А также формулы приведения (не все). Отмечу одну типичную ошибку, которую допускают (из-за невнимательности). При решении подобных задач часто используется формула основного тригонометрического тождества:

Из неё мы получаем:

*Запись с ошибкой (её часто допускают — теряют квадрат):

Будьте внимательны!

Рассмотрим задачи:

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, sin A = 0,27. Найдите синус внешнего угла при вершине А.

Углы ВАС и BAD смежные, значит:

По свойству синуса:

А лучше раз и навсегда запомнить сам факт того, что синусы смежных углов равны, и вам даже не будет необходимости что-то записывать при решении такой задачи, ответ вы озвучите сразу.

Ответ: 0,27

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

Углы ВАС и BAD смежные, значит:

Значит по свойству тангенса (используем формулу приведения):

То есть необходимо найти тангенс угла ВАС. Известно, что:

Синус угла ВАС нам известен. Найдём его косинус.

Из основного тригонометрического тождества:

Вычисляем тангенс:

Таким образом tg BAD = – tg BAC = – 0,3

Ответ: – 0,3

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, АВ = 6, . Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

Углы ВАС и BAD смежные, значит:

По свойству косинуса:

Найдём cos BAC Для этого необходимо найти сторону АС. По теореме Пифагора:

Значит АС = 3.

По определению косинуса:

Таким образом, cos DAB = – cos BAC = – 0,5.

Ответ: – 0,5

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, косинус внешнего угла при вершине A равен . Найдите sin A.

Углы ВАС и BAD смежные, значит:

В данной задаче можем найти косинус угла ВАС, а затем используя основное тригонометрическое тождество синус этого угла.

По свойству косинуса (используем формулу приведения):

Значит

Найдём sin BAC. Из основного тригонометрического тождества получим:

Ответ: 0,9

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, тангенс внешнего угла при вершине A равен –2/9. Найдите tg = B.

Из свойств прямоугольного треугольника мы знаем, что tg ABC = ctg BAC.

Найдём ctg BAC. Известно, что tg BAC ∙ ctg BAC = 1, значит

Тангенс угла ВАС найти не сложно. Углы BAC и BAD смежные. Это значит, что

По свойству тангенса:

Значит

Таким образом:

Ответ: 4,5

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, косинус внешнего угла при вершине A равен – 0,7; АВ = 20. Найдите AC.

Найти АС мы сможем, если нам будет известен косинус угла ВАС. Так как по определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

Найдём косинус. По его свойству:

*Использовали формулу приведения.

Значит

Таким образом:

Ответ: 14

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

В треугольнике ABC АС = ВС, АВ = 12, тангенс внешнего угла при вершине A равен . Найдите AC.

Построим высоту CH.

Найдём тангенс внутреннего угла. По свойству тангенса:

Сторона АС является гипотенузой в прямоугольном треугольнике АСН. В этом треугольнике зная тангенс острого угла и один катет мы без труда можем найти второй катет.

Высота проведённая к основанию равнобедренного треугольника является медианой, то есть АН = ВН, a АВ = 2АН: