Как найти систему линейных уравнений задающих подпространство

Способы описания подпространств линейного пространства

Рассмотрим два важных способа описания линейных подпространств, которые условно будем называть внутренним и внешним. В первом (внутреннем) способе используется понятие линейной оболочки векторов, когда все элементы подпространства выражаются через некоторые его элементы (образующие). При втором (внешнем) способе применяются однородные системы уравнений. В этом случае подпространство описывается как пересечение некоторых содержащих его множеств. Для каждого способа описания подпространств укажем методики на хождения размерностей, базисов, алгебраических дополнений, пересечений и сумм подпространств.

Любое n-мерное вещественное линейное пространство изоморфно n-мерному арифметическому пространству . Чтобы установить изоморфизм , достаточно выбрать в пространстве базис и каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец. Поэтому в данном разделе будем рассматривать описание подпространств n-мерного арифметического пространства .

Первый (внутренний) способ. Пусть в пространстве заданы столбцы . Напомним, что для систем столбцов были определены понятия базы (максимальной линейно независимой подсистемы столбцов) и ранга (максимального числа линейно не зависимых столбцов системы), а также методы их нахождения.

Рассматривая линейную оболочку столбцов как линейное подпространство , заключаем, что база системы столбцов является базисом этого подпространства, а ранг системы столбцов равен размерности подпространства .

Поэтому для нахождения размерности и базиса подпространства нужно выполнить следующие действия:

1) составить из данных столбцов матрицу размеров ;

2) привести ее к ступенчатому виду (1.4), используя элементарные преобразования строк;

3) определить размерность и базис подпространства

– количество ненулевых строк в матрице равняется размерности подпространства, т.е. ,

– столбцы матрицы , содержащие единичные элементы (в начале каждой “ступеньки”), определяют номера линейно независимых столбцов матрицы , т.е. искомый базис.

Таким образом, если подпространство задано своими образующими , то его размерность равна рангу системы столбцов , т.е. , а базисом служит максимальная линейно независимая подсистема образующих.

Второй (внешний) способ. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы уравнений с неизвестными. Множество решений системы уравнений можно рассматривать как пересечение подпространств , где — множество решений i-го уравнения системы . Напомним, что любое решение однородной системы представляется в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений. Поэтому раз мерность пространства , а базисом служит фундаментальная система решений однородной системы . Способы нахождения фундаментальной системы решений рассмотрены ранее.

Переход от одного способа описания подпространств к другому

Переход от внутреннего описания к внешнему. Пусть подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Требуется составить такую однородную систему уравнений, множество решений которой совпадает с , т.е. . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Из данных столбцов составить матрицу размеров , а затем блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка.

2. Элементарными преобразованиями над строками блочной матрицы и первыми ее столбцами привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы .

3. Из последних строк матрицы составить матрицу .

4. Записать искомую систему уравнений .

Поясним содержание алгоритма. Заданное подпространство состоит из линейных комбинаций данных векторов, т.е. все его элементы имеют вид . Решаемую задачу можно сформулировать так: для каких векторов найдутся такие числа , чтобы выполнялось равенство . Другими словами, при каких неоднородная система ( уравнений с неизвестными ) имеет решения? Используя необходимое и достаточное условие (5.24) совместности системы, получаем равенство . Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много однородных систем, имеющих од но и то же множество решений.

Пример 8.8. Подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Составить систему уравнений, определяющую подпространство .

Решение. 1. Составляем матрицу и блочную матрицу:

2. Приводим левый блок к простейшему виду. Вычитаем первую строку из остальных, а затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на (-2):

Преобразовываем столбцы левого блока: ко второму столбцу прибавим пер вый, умноженный на (-1), к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (-3), а затем второй, умноженный на (-1). Эти преобразования не изменяют правый блок полученной матрицы. Находим простейший вид Л матрицы и матрицу

3. Из последних строк матрицы составляем матрицу искомой системы.

4. Записываем систему уравнений Заданные в условии примера столбцы являются решениями полученной системы, в чем можно убедиться при их подстановке в систему уравнений вместо .

Переход от внешнего описания к внутреннему. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы т уравнений с л неизвестными: . Требуется найти размерность и базис этого подпространства, т.е. представить его в виде линейной оболочки . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Найти фундаментальную систему решений однородной системы . Искомая размерность .

2. Представить заданное пространство как линейную оболочку .

Первый пункт алгоритма удобно выполнять следующим образом:

– составить блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка;

– элементарными преобразованиями над столбцами блочной матрицы и строками верхнего блока привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы ;

– из последних столбцов матрицы составить фундаментальную матрицу .

Столбцы фундаментальной матрицы составляют искомую фундаментальную систему решений.

Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много базисов одного и того же линейного подпространства.

Пример 8.9. Найти размерность и базис подпространства , заданного системой уравнений

Решение. 1. Фундаментальная матрица для этой системы была найдена в примере 5.6

Ее столбцы образуют фундаментальную систему решений. Размерность подпространства равна , .

2. Столбцы являются искомым базисом, так как они линейно независимы и .

23. Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений

Пусть дано N-Мерное линейное пространство L и пусть в нём зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, … , Еn ). Пусть М – линейное подпространство в L .

Определение 30. Будем говорить, что Система линейных уравнений задаёт подпространство М, если этой системе удовлетворяют координаты всех векторов из М и не удовлетворяют координаты никаких других векторов.

Из свойств решений однородной системы линейных уравнений следует, что любая однородная линейная система уравнений ранга R с n Переменными задаёт в любом N-Мерном пространстве Ln (если в нём зафиксирован базис) (N–r )-мерное линейное подпространство.

Справедливо и обратное утверждение. А именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 30. Если в линейном N-Мерном пространстве Ln Зафиксирован базис, то любое его К-мерное линейное подпространство можно задать системой линейных однородных уравнений с N Неизвестными ранга (N – к).

Доказательство. Пусть в Ln зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, … , Еn ). Пусть Lк – линейное К-мерное подпространство в Ln. Выберем в Lк Любой базис А = (А1, а2,… , ак). Пусть В матричной форме А = Е × А, где А = .

Так как А – базис, то ранг матрицы А Равен К.

Получили параметрические уравнения, определяющие Lк .

После исключения параметров получится система (N – к) линейных однородных уравнений. Векторы А1, а2, … , ак являются её линейно независимыми решениями. Все остальные решения являются их линейными комбинациями.

Следовательно, система векторов (А1, а2, … , ак) будет фундаментальной системой решений полученной системы уравнений и поэтому ранг этой системы уравнений равен (N – к).

Пример. В пространстве L5 зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, е3, е4 , Е5 ). Найти систему линейных однородных уравнений, задающих L3 = , если А1 = (1, –2, 2, 0, 1), А2 = (0, 4, 7, 0, 1), А3 = (–2, 3, –1, 0, 0).

Решение. Найдём ранг системы векторов (А1, а2, а3 ). Для этого достаточно найти ранг матрицы . Минор . Окаймляющий минор ¹ 0, следовательно, ранг матрицы равен 3, т. е. векторы А1, а2, а3 линейно независимы и подпространство L3 – трёхмерное. Согласно доказанной теоремы, оно может быть задано системой линейных однородных уравнений ранга 2.

D Î L3 Û D = с1А1 + С2А2 + С3А3 . Отсюда D Î L3 Û Х1 = с1 – 2с3 , х2 = –2с1 + 4с2 + 3с3 , х3 = 2с1 + 7с2 – с3 , х4 = 0, х5 = с1 + с2. Если из первого, второго и пятого уравнений выразить С1, с2 и С3 И подставить их в третье и четвёртое уравнения, то получим следующую систему

Замечание. Очевидно, система, задающая данное подпространство, определяется не единственным образом. К найденным уравнениям можно добавлять новые уравнения, являющиеся их линейными комбинациями.

VMath

Инструменты сайта

Основное

Информация

Действия

Содержание

Благодарю Ю.А.Смолькина за обнаружение 07.08.19 ошибки на настоящей странице и информирование о ней.

Линейное пространство

Определения

Пусть дано множество $ mathbb V_<>=left < X,Y,Z,U,dots right>$ элементов произвольной природы. Пусть для элементов этого множества определены две операции: сложения $ X+Y_<> $ и умножения на любое вещественное число $ alpha_<> $: $ alpha cdot X_<> $, и множество $ mathbb V_<> $ замкнуто относительно этих операций: $ X+Y in mathbb V , alpha cdot X in mathbb V_<> $. Пусть эти операции подчиняются аксиомам:

1. $ X+Y=Y+X_<> $ для $ < X,, Y>subset mathbb V_<> $;

2. $ (X+Y)+Z_<>=X+(Y+Z) $ для $ < X,, Y,, Z >subset mathbb V_<> $;

3. в $ mathbb V_<> $ cуществует нулевой вектор $ mathbb O_<> $ со свойством $ X+ mathbb O =X_<> $ для $ forall Xin mathbb V_<> $;

4. для каждого $ Xin mathbb V_<> $ существует обратный вектор $ X^<prime>in mathbb V_<> $ со свойством $ X+X^<prime>=mathbb O_<> $;

5. $ 1cdot X=X_<> $ для $ forall Xin mathbb V_<> $;

6. $ lambda left(mu X right)_<>= left(lambda mu right)X $ для $ forall Xin mathbb V_<> $, $ <lambda ,, mu >subset mathbb R_<> $ ;

7. $ (lambda + mu)X=lambda X + mu X_<> $ для $ forall Xin mathbb V_<> $, $ <lambda ,, mu >subset mathbb R_<> $ ;

8. $ lambda (X + Y) =lambda X_<> + lambda Y $ для $ < X,, Y>subset mathbb V_<> , lambda in mathbb R $.

Тогда такое множество $ mathbb V_<> $ называется линейным (векторным) пространством, его элементы называются векторами, и — чтобы подчеркнуть их отличие от чисел из $ mathbb R_<> $ — последние называются скалярами 1) . Пространство, состоящее из одного только нулевого вектора, называется тривиальным .

Элементарно доказывается единственность нулевого вектора, и единственность вектора, обратного вектору $ Xin mathbb V_<> $: $ X^<prime>=-1cdot X_<> $, его привычно обозначают $ – X_<> $.

Подмножество $ mathbb V_ <1>$ линейного пространства $ mathbb V_<> $, само являющееся линейным пространством (т.е. $ mathbb V_ <1>$ замкнуто относительно сложения векторов и умножения на произвольный скаляр), называется линейным подпространством пространства $ mathbb V_<> $. Тривиальными подпространствами линейного пространства $ mathbb V_<> $ называются само $ mathbb V_<> $ и пространство, состоящее из одного нулевого вектора $ mathbb O_<> $.

Примеры линейных пространств

Пример 1. Пространство $ mathbb R^ <3>$ упорядоченных троек вещественных чисел $ (a_1,a_2,a_<3>) $ с операциями, определяемыми равенствами:

$$ (a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)= (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3), alpha (a_1,a_2,a_3) = ( alpha a_1, alpha a_2, alpha a_3 ) . $$ Геометрическая интерпретация очевидна: вектор в пространстве, «привязанный» к началу координат, может быть задан координатами своего конца $ (a_1,a_2,a_<3>) $. На рисунке показано и типичное подпространство пространства $ mathbb R^ <3>$: плоскость, проходящая через начало координат. Точнее говоря, элементами $ mathbb V_1 $ являются векторы, имеющие начало в начале координат и концы — в точках плоскости. Замкнутость такого множества относительно сложения векторов и их растяжения 2) очевидна.

Пример 2. Основываясь на том же примере, можно дать и иную интерпретацию векторного пространства $ mathbb V_1 $ (заложенную, кстати, уже в самом происхождении слова «вектор» 3) ) — оно определяет набор «сдвигов» точек пространства $ mathbb R^ <3>$. Эти сдвиги — или параллельные переносы любой пространственной фигуры — выбираются параллельными плоскости $ mathbb V_1 $.

Пример 3. Естественным обобщением $ mathbb R^ <3>$ служит пространство $ mathbb R_<>^ $: векторное пространство строк $ (a_1,dots,a_) $ или столбцов $ (a_1,dots,a_n)^ <^top>$. Один из способов задания подпространства в $ mathbb R_<>^ $ — задание набора ограничений. Множество решений системы линейных однородных уравнений:

$$ left<begin a_<11>x_1 +a_<12>x_2+ldots+a_<1n>x_n &=&0,\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+ldots+a_<2n>x_n &=&0,\ ldots& & ldots \ a_x_1 +a_x_2+ldots+a_x_n &=&0 endright. iff AX=mathbb O $$ образует линейное подпространство пространства $ mathbb R_<>^ $. В самом деле, если $$x_1=alpha_1,dots, x_n=alpha_n $$ — решение системы, то и $$x_1=t alpha_1,dots, x_n= t alpha_n $$ — тоже решение при любом $ t in mathbb R $. Если $$x_1=beta_1,dots, x_n=beta_n $$ — еще одно решение системы, то и $$x_1=alpha_1+beta_1,dots,x_n=alpha_n+beta_n $$ — тоже будет ее решением.

Почему множество решений системы неоднородных уравнений не образует линейного подпространства?

Пример 4. Обобщая далее, можем рассмотреть пространство «бесконечных» строк или последовательностей $ (a_1,dots,a_n, dots ) $, обычно являющееся объектом математического анализа — при рассмотрении последовательностей и рядов. Подпространство этого пространства образуют, например, линейные рекуррентные последовательности $ _ $ удовлетворяющие — при произвольных числах $ > subset mathbb R $ — линейному однородному разностному уравнению $ n_<> $-го порядка, $$ x_=a_1 x_+ dots+ a_n x_K npu K in <0,1,2,dots > ; $$ здесь числа $ < a_1,dots,a_, a_n ne 0 > subset mathbb R $ считаются фиксированными.

Можно рассматривать строки (последовательности) «бесконечные в обе стороны» $ < dots,a_<-2>,a_<-1>,a_0,a_1,a_2,dots > $ — они используются в ТЕОРИИ СИГНАЛОВ.

Пример 5. Множество $ mtimes n_<> $-матриц с вещественными элементами с операциями сложения матриц и умножения на вещественные числа образует линейное пространство. Будем обозначать это пространство $ mathbb R^ $.

В пространстве квадратных матриц фиксированного порядка каждое из следующих подмножеств составляет линейное подпространство: симметричных, кососимметричных, верхнетреугольных, нижнетреугольных и диагональных матриц.

Пример 6. Множество полиномов одной переменной $ x_<> $ степени в точности равной $ n_<> $ с коэффициентами из $ mathbb A_<> $ (где $ mathbb A_<> $ — любое из множеств $ mathbb Z, mathbb Q, mathbb R_<> $ или $ mathbb C_<> $) с обычными операциями сложения полиномов и умножения на число из $ mathbb A_<> $ не образует линейного пространства. Почему? — Потому что оно не является замкнутым относительно сложения: сумма полиномов $ f(x)=x^n -x+1 $ и $ g(x)=-x^n+x^-2 $ не будет полиномом $ n_<> $-й степени. Но вот множество полиномов степени не выше $ n_<> $ $$ mathbb P_n= left < p(x) in mathbb A [x] big| deg p(x) le n right>$$ линейное пространство образует; только к этому множеству надо придать еще и тождественно нулевой полином 4) . Очевидными подпространствами $ mathbb P_ $ являются $ mathbb P_<0>, mathbb P_1,dots,mathbb P_ $. Кроме того, подпространствами будут множество четных и множество нечетных полиномов степени не выше $ n_<> $. Множество всевозможных полиномов $$ mathbb P= bigcup_^ <infty>mathbb P_n $$ (без ограничения на степени) тоже образует линейное пространство.

Пример 7. Обобщением предыдущего случая будет пространство полиномов нескольких переменных $ x_1,dots, x_ <ell>$ степени не выше $ n_<> $ с коэффициентами из $ mathbb A_<> $. Например, множество линейных полиномов $$ left< a_1x_1+dots+a_<ell>x_<ell>+b big| (a_1,dots,a_<ell>,b) in mathbb A^ <ell+1>right> $$ образует линейное пространство. Множество однородных полиномов (форм) степени $ n_<> $ (с присоединением к этому множеству тождественно нулевого полинома) — также линейное пространство.

Изоморфизм

Пусть имеются два линейных пространства разной природы: $ mathbb V_<> $ с операцией $ +_<> $ и $ mathbb W_<> $ с операцией $ boxplus_<> $. Может оказаться так, что эти пространства «очень похожи», и свойства одного получаются простым «переводом» свойств другого.

Говорят, что пространства $ mathbb V_<> $ и $ mathbb W_<> $ изоморфны если между множествами их элементов можно установить такое взаимно-однозначное соответствие, что если $ X_<> leftrightarrow X^ <prime>$ и $ Y_<> leftrightarrow Y^ <prime>$ то $ X+Y leftrightarrow X_<>^ <prime>boxplus Y^ <prime>$ и $ lambda X_<> leftrightarrow lambda X^ <prime>$.

При изоморфизме пространств $ mathbb V_<> $ и $ mathbb W_<> $ нулевому вектору одного пространства будет соответствовать нулевой вектор другого пространства.

Пример. Пространство $ mathbb R^_<> $ изоморфно пространству $ mathbb P_^<> $. В самом деле, изоморфизм устанавливается соответствием $$ [a_1,dots,a_n] leftrightarrow a_1+a_2x+dots + a_nx^ .$$

Пример. Пространство $ mathbb R^ $ вещественных матриц порядка $ m_<>times n $ изоморфно пространству $ mathbb R_<>^ $. Изоморфизм устанавливается с помощью операции векторизации матрицы (матрица «вытягивается» в один столбец).

Пример. Пространство квадратичных форм от $ n_<> $ переменных изоморфно пространству симметричных матриц $ n_<> $-го порядка. Изоморфизм устанавливается соответствием, которое мы проиллюстрируем для случая $ n=3_<> $:

$$ a_<11>x_1^2+a_<12>x_1x_2+a_<13>x_1x_3+a_<22>x_2^2+a_<23>x_2x_3+a_<33>x_3^2 leftrightarrow left( begin a_ <11>& frac<1><2>a_ <12>& frac<1><2>a_ <13>\ frac<1><2>a_ <12>& a_ <22>& frac<1><2>a_ <23>\ frac<1><2>a_ <13>& frac<1><2>a_ <23>& a_ <33>end right) . $$

Линейная зависимость, базис, координаты

Линейной комбинацией системы векторов $ \> $ называется произвольный вектор $$ alpha_1 X_1+dots+ alpha_m X_m $$ при каких-то фиксированных значениях скаляров $ alpha_<1>, dots, alpha_ $.

Множество всевозможных линейных комбинаций системы векторов $ \> $ $$ left< alpha_1 X_1+dots+ alpha_m X_m bigg| <alpha_1,dots,alpha_m>subset mathbb R right> $$ называется линейной оболочкой векторов $ X_1,dots,X_ $ и обозначается $ <mathcal L>(X_1,dots,X_) $.

Теорема 1. Линейная оболочка векторов $ X_1,dots,X_ $ образует линейное подпространство пространства $ mathbb V_<> $.

Пример. В пространстве $ mathbb P_ $ полиномов степеней $ le n_<> ge 3 $ линейной оболочкой полиномов $ x,x^2,x^3 $ будет множество полиномов вида $ a_0x^3+a_1x^2+a_2x $, т.е. множество полиномов степеней $ le 3 $, имеющих корень $ lambda_<>=0 $. ♦

Система векторов $ < X_<1>,dots,X_m > $ называется линейно зависимой (л.з.) если существуют числа $ alpha_<1>,dots,alpha_m $, такие что хотя бы одно из них отлично от нуля и $$ alpha_1X_1+dots+alpha_mX_m=mathbb O $$ Если же это равенство возможно только при $ alpha_<1>=0,dots,alpha_m=0 $, то система векторов называется линейно независимой (л.н.з.).

Пример. Для полиномов нескольких переменных свойство линейной зависимости является частным проявлением более общего свойства функциональной зависимости. Так, однородные полиномы (формы)

$$ f_1=(x_1+x_2+x_3)^2,quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2 $$ являются линейно зависимыми, поскольку $$ f_1-2,f_2-f_3 equiv 0 . $$ Полиномы $$ tilde f_1=x_1+x_2+x_3,quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2 $$ не являются линейно зависимыми, но являются функционально зависимыми, поскольку $$ tilde f_1^2-2,f_2-f_3 equiv 0 . $$ ♦

Теорема 2. а) Если система содержит хотя бы один нулевой вектор, то она л.з.

б) Если система л.н.з., то и любая ее подсистема л.н.з.

в) При $ m>1 $ система $ ,dots,X_m> $ л.з. тогда и только тогда, когда по меньшей мере один ее вектор линейно выражается через остальные, т.е. существуют $ jin <1,dots,n >$ и константы $ gamma_<1>,dots,gamma_, gamma_,dots,gamma_ $ такие, что $$ X_j=gamma_1X_1+dots+gamma_X_+ gamma_X_+dots + gamma_X_ .$$

Теорема 3. Если каждый из векторов системы $ < X_1,dots,X_> $ линейно выражается через векторы другой системы $ < B_<1>,dots,B_k > $ с меньшим числом векторов: $ k ☞ ЗДЕСЬ.

Две системы векторов называются эквивалентными если каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой и обратно.

Теорема 4. Системы векторов

$$ < X_1,dots,X_> quad mbox < и >quad < Y_<1>,dots,Y_k > $$ будут эквивалентными тогда и только тогда когда совпадают линейные оболочки этих систем: $$<mathcal L>(X_1,dots,X_m)=<mathcal L>(Y_1,dots,Y_k) . $$

Теорема 5. Если каждая из двух эквивалентных систем

$$ < X_1,dots,X_> quad mbox < и >quad < Y_<1>,dots,Y_k > $$ является л.н.з., то эти системы состоят из одинакового числа векторов: $ m=k_<> $ .

Линейно независимая система векторов $ \>subset mathbb V $ называется базисом этого пространства если каждый $ Xin mathbb V $ можно представить в виде линейной комбинации указанных векторов: $$ X=sum_ alpha_j X_j . $$

При этом не подразумевается конечность системы, т.е. суммирование может распространяться на бесконечное число слагаемых. Так, например, пространство бесконечных строк (или последовательностей) $ left[a_<1>,a_2,dots, right] $ имеет бесконечный базис, состоящий из векторов $$ [underbrace<0,dots,0,1>_j,0,dots , ] quad npu j in mathbb N . $$

В случае, когда базис пространства $ mathbb V_<> $ конечен, пространство $ mathbb V_<> $ называется конечномерным, а число векторов базиса тогда называется размерностью пространства $ mathbb V_<> $ и обозначается 5) : $ dim mathbb V_<> $. Также полагают, что размерность тривиального пространства, состоящего из одного только нулевого вектора, равна нулю: $ dim <mathbb O_<>>= 0 $.

Пример. Линейное пространство $ mtimes n_<> $ матриц имеет размерность $ mn_<> $. Так, для случая $ m_<>=3 ,n=2 $ в качестве базиса можно выбрать следующий набор матриц

$$ left( begin 1 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 0 end right) , left( begin 0 & 1 \ 0 & 0 \ 0 & 0 end right) , left( begin 0 & 0 \ 1 & 0 \ 0 & 0 end right) , left( begin 0 & 0 \ 0 & 1 \ 0 & 0 end right) , left( begin 0 & 0 \ 0 & 0 \ 1 & 0 end right) , left( begin 0 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 1 end right) . $$ ♦

Найти размерности подпространства симметричных и подпространства кососимметричных матриц порядка $ n_<> $.

Пример [1]. Замечательный пример трехмерного линейного пространства дает нам совокупность всех цветов. Под суммой двух цветов будем понимать цвет, образованный их смешением

под умножением цвета на положительное число $ k_<> $ — увеличение в $ k_<> $ раз яркости цвета

Анимация ☞ ЗДЕСЬ (1500 K, gif)

под умножением на $ (-1) $ — взятие дополнительного цвета. При этом оказывается, что совокупность всех цветов выражается линейно через три цвета: красный, зеленый и синий, т.е. образует трехмерное линейное пространство. (Точнее, некоторое тело в трехмерном пространстве, поскольку яркости цветов ограничены верхним порогом раздражения.) Исследование этого трехмерного тела всех цветов является важным орудием цветоведения. ♦

Если $ dim mathbb V=d_<> $ и вектора $ X_1,dots,X_ $ являются базисными для $ mathbb V_<> $, то разложение вектора $ X in mathbb V_<> $ в сумму: $$ X=alpha_1 X_1+dots+ alpha_d X_d .$$ называется разложением вектора $ X_<> $ по базису $ X_1,dots,X_ $; при этом числа $ alpha_1,dots, alpha_ $ называются координатами вектора $ X_<> $ в данном базисе.

Теорема 6. Если $ dim mathbb V=d>0 $, то любая система из $ d_<> $ линейно независимых векторов пространства образует базис этого пространства.

Доказательство. Пусть $ $ — л.н.з. система. Рассмотрим произвольный $ Xin mathbb V_<> $. Если система $ $ л.н.з., то $ dim mathbb V ge d+1 $, что противоречит условию теоремы. Следовательно, система линейно зависима: $ alpha_0X+alpha_1Y_1+dots+alpha_dY_d=mathbb O $ при каком-то из чисел $ <alpha_j>_^ $ не равном нулю. Если $ alpha_0=0 $, то $ alpha_1Y_1+dots+alpha_dY_d=mathbb O $ при каком-то ненулевом коэффициенте. Это означает, что система $ $ линейно зависима, что противоречит предположению. Следовательно $ alpha_0ne 0 $, но тогда вектор $ X_<> $ может быть представлен в виде линейной комбинации векторов $ Y_1,dots,Y_d $: $$X=- <alpha_1>/ <alpha_0>Y_1-dots -<alpha_d>/<alpha_0>Y_d .$$ По определению, система $ $ является базисом $ mathbb V $. ♦

Теорема 7. Любой вектор $ X in mathbb V_<> $ может быть разложен по фиксированному базису пространства единственным образом.

Очевидно, $ dim mathbb R^ = n $: строки из $ n_<> $ элементов $$[1,0,0,dots,0], [0,1,0,dots,0], [0,0,1,dots,0], dots , [0,0,0,dots,1] $$ образуют базис этого пространства.

Имеются два способа задания линейных подпространств в $ mathbb R^_<> $. Пусть $$ mathbb V_1 = <mathcal L>(A_1,dots,A_k) quad npu subset mathbb R^n .$$ В разделе ☞ РАНГ установлено, что $$ dim mathbb V_1 = operatorname < A_1,dots,A_k >= operatorname (A) ,$$ где $ A_<> $ — матрица, составленная из строк (столбцов) $ A_<1>,dots,A_k $.

Пример. Найти базис подпространства

Решение. Ищем $$ operatorname left( begin 1 & 2 & 1 & 1 \ -1&0&-1&0 \ -1& 2 &-1 &1 \ 0& 1& 0 & 1 end right) $$ по методу окаймляющих миноров. Существует минор третьего порядка $$ left| begin 1 & 2 & 1 \ -1&0&0 \ 0& 1 & 1 end right| $$ отличный от нуля, а определитель самой матрицы равен нулю. Замечаем, что найденный отличный от нуля минор расположен в первой, второй и четвертой строках матрицы. Именно эти строки и образуют базис.

Ответ. Базис составляют, например, первая, вторая и четвертая строки.

Другим способом задания линейного подпространства в $ mathbb R^ $ может служить задание набора ограничений, которым должны удовлетворять векторы подпространства. Таким набором ограничений может являться, например, система уравнений $$ left<begin a_<11>x_1 +a_<12>x_2+ldots+a_<1n>x_n &=&0,\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+ldots+a_<2n>x_n &=&0,\ ldots& & ldots \ a_x_1 +a_x_2+ldots+a_x_n &=&0 endright. qquad iff qquad AX=mathbb O . $$ Какова размерность подпространства решений этой системы? На этот вопрос мы ответим сразу же, если вспомним определение фундаментальной системы решений (ФСР). Именно, ФСР — как набор линейно независимых решений, через которые линейно выражается любое решение системы однородных уравнений — является базисом подпространства этих решений.

Теорема 8. Множество решений системы однородных уравнений $ AX=mathbb O_<> $ образует линейное подпространство пространства $ mathbb R^ $. Размерность этого подпространства равна $ n-operatorname (A) $, а фундаментальная система решений образует его базис.

Пример. В пространстве $ mathbb P_ $ полиномов степеней $ le n_<> $ каноническим базисом можно взять систему мономов $ <1,x,x^2,dots, x^n >$, т.е. $ dim mathbb P_ =n+1 $. Координатами полинома

$$ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+dots+a_nx^n $$ будут его коэффициенты. Можно выбрать и другой базис, например, $ <1, x-c,(x-c)^2,dots,(x-c)^n >$ при произвольном числе $ c_<> $. Координатами полинома в этом базисе будут теперь коэффициенты формулы Тейлора: $$ f(x) equiv f(c)+ frac(c)> <1!>(x-c) + frac(c)> <2!>(x-c)^2+ dots + frac(c)> (x-c)^ . $$

Найти координаты полинома

Теорема 9. Любое векторное пространство $ mathbb V_<> $ размерности $ d_<> $ изоморфно $ mathbb R^ $.

Доказательство. Изоморфизм можно установить следующим соответствием. Если $ $ — какой-то базис $ mathbb V_<> $, то вектору $ X in mathbb V $ поставим в соответствие набор его координат в этом базисе: $$ X=x_1X_1+dots+x_d X_d Rightarrow X mapsto [x_1,dots,x_d]in mathbb R^d . $$ На основании теоремы $ 6 $, такое соответствие будет взаимно-однозначным, а проверка двух свойств изоморфизма тривиальна. ♦

Критерии линейной зависимости

Теорема . Строки

$$ <(a_<11>,dots,a_<1n>),dots, (a_,dots,a_)> subset mathbb C^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ left|begin a_<11>&dots & a_ <1n>\ dots & & dots \ a_& dots & a_ end right|=0 , . $$

Теорема . Строки

$$ <(a_<11>,dots,a_<1n>),dots, (a_,dots,a_)> subset mathbb C^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ operatorname A

$$ <(a_<11>,dots,a_<1n>),dots, (a_,dots,a_)> subset mathbb R^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ det (A^ <top>A) = 0 , . $$ (Определитель в левой части можно интерпретировать как определитель Грама системы строк.)

Теорема . Аналитические на интервале $ ]a,b[ $ функции $ u_1(x),dots,u_n(x) $ линейно зависимы на $ ]a,b[ $ тогда и только тогда, когда их вронскиан

Относительный базис

В настоящем пункте $ mathbb V_1 $ обозначает линейное подпространство пространства $ mathbb V_<> $, отличное от тривиального; обозначаем $ d_1=dim mathbb V_1 $.

Теорема. Произвольный базис подпространства $ mathbb V_1 $ можно дополнить до базиса пространства $ mathbb V_<> $.

Доказательство. Пусть $ > $ — какой-то базис $ mathbb V_1 $. В пространстве $ mathbb V_<> $ найдется вектор $ X_ $ такой, что система $ , X_> $ будет л.н.з. (В противном случае, $ dim mathbb V=d_1 $, что противоречит условию настоящего пункта.) Если $ d_1+1=d = dim mathbb V $, то, на основании теоремы 5 предыдущего пункта, требуемый базис построен. Если же $ d_1+1 ♦

Говорят, что система векторов $ $ линейно независима относительно подпространства $ mathbb V_1 $ пространства $ mathbb V_<> $ если $$<.>_<> mbox < из условия >quad alpha_1X_1+dots+alpha_k X_k in mathbb V_1 quad mbox < следует >quad alpha_1=dots=alpha_k=0 .$$

Теорема. Обозначим $ \> $ — произвольный базис $ mathbb V_1 $. Система $ ,dots,X_k> $ л.н.з. относительно $ mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ ,X_1,dots,X_k> $ линейно независима.

Пример. Найти все значения параметра $ <coloralpha > $, при которых система

Решение. Базисом подпространства $ mathbb V_1 $ является произвольная ФСР заданной системы однородных уравнений, например $ >, Y_2=[6,-5,0,1]^<^<top>>> $. Теорема утверждает, что система $ < X_1, X_2>$ л.н.з. относительно $ mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ < X_1, X_2,Y_1,Y_2>$ л.н.з. (в обычном понимании). Последнее равносильно тому, что матрица, составленная из этих векторов, должна иметь ранг равный $ 4_<> $. $$operatorname left( begin 1 & 1 &-1 & 6 \ 2 & <coloralpha > & 2 & -5 \ <coloralpha > & 2 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 1 end right)=4 iff left| begin 1 & 1 &-1 & 6 \ 2 & <coloralpha > & 2 & -5 \ <coloralpha > & 2 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 1 end right|= <coloralpha >^2-10, <coloralpha > +16 ne 0 . $$

Ответ. $ <coloralpha >not in < 2,, 8>$.

Говорят, что система векторов $ $ образует базис пространства $ mathbb V_<> $ относительно (или над) $ mathbb V_1 $ если она л.н.з. относительно $ mathbb V_1 $ и любой вектор $ Xin mathbb V_<> $ можно представить в виде $$ X=c_1X_1+dots+c_kX_k+Y, quad mbox < где >quad Yin mathbb V_1 . $$

Теорема. Обозначим $ < Y_1,dots,Y_> $ — произвольный базис подпространства $ mathbb V_1 $. Система $ $ образует базис $ mathbb V_<> $ относительно $ mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ < X_1,dots,X_k,Y_1,dots,Y_> $ образует базис $ mathbb V_<> $.

Доказательство. Действительно, любой вектор $ Xin mathbb V_<> $ выражается через векторы $ X_1,dots,X_k,Y_1,dots,Y_ $. По предыдущей теореме для линейной независимости этих векторов необходимо и достаточно относительной линейной независимости $ X_1,dots,X_k $. ♦

Базис $ mathbb V_<> $ строится дополнением базиса $ mathbb V_1 $ векторами $ X_1,dots,X_k $ линейно независимыми относительно $ mathbb V_1 $. Поэтому $$<.>_<> mbox <число векторов относительного базиса > = dim mathbb V – dim mathbb V_1 .$$

Это число называется коразмерностью 6) подпространства $ mathbb V_1 $ в пространстве $ mathbb V $.

Сумма и пересечение линейных подпространств

Пусть $ mathbb V_1 $ и $ mathbb V_2 $ — подпространства линейного пространства $ mathbb V_<> $. Множество $$ mathbb V_1+ mathbb V_2 = left$$ называется суммой, а множество $$ mathbb V_1 cap mathbb V_2 = left$$ — пересечением подпространств $ mathbb V_1 $ и $ mathbb V_2 $. Аналогично определяется сумма и пересечение произвольного количества подпространств.

Понятие пересечения линейных подпространств совпадает с понятием пересечения их как множеств.

Теорема. $ mathbb V_1+ mathbb V_2 $ и $ mathbb V_1 cap mathbb V_2 $ являются подпространствами линейного пространства $ mathbb V_<> $.

Докажите, что $ mathbb V_1+ mathbb V_2 $ — это подпространство минимальной размерности, содержащее как $ mathbb V_1 $, так и $ mathbb V_2 $.

Теорема. Имеет место формула:

$$ dim , mathbb V_1 + dim , mathbb V_2=dim , (mathbb V_1 cap mathbb V_2) + dim , (mathbb V_1 + mathbb V_2) . $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Можно ли обобщить этот результат на случай трех (и более подпространств)? Cправедлив ли, к примеру, аналог формулы включений-исключений в следующем виде:

$$dim , mathbb V_1 + dim , mathbb V_2 + dim , mathbb V_3 – $$ $$ -left <dim , (mathbb V_1 cap mathbb V_2) + dim , (mathbb V_1 cap mathbb V_3) + dim , (mathbb V_2 cap mathbb V_3) right>+ $$ $$+ dim , (mathbb V_1 cap mathbb V_2 cap mathbb V_3) =dim , (mathbb V_1 + mathbb V_2 + mathbb V_3) ?$$

Теорема. Имеет место формула:

Пример. Найти базис суммы и размерность пересечения

$$mathbb V_1=<mathcal L>left( left[ begin 0 \1 \ 1 \ 1 end right] , left[ begin 1 \1 \ 1 \ 2 end right] , left[ begin -2 \0 \ 1 \ 1 end right] right) quad mbox < и >quad mathbb V_2=<mathcal L>left( left[ begin -1 \3 \ 2 \ -1 end right] , left[ begin 1 \1 \ 0 \ -1 end right] right) $$

Решение. Действуя согласно предыдущей теореме, составляем матрицу из всех векторов $$ left( begin 0 & 1 & -2 & -1 & 1 \ 1 & 1 & 0 & 3 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 2 & 0 \ 1 & 2 & 1 & -1 & -1 end right) $$ и ищем ее ранг методом окаймляющих миноров. Имеем: $ operatorname = 3 $ при ненулевом миноре матрицы расположенном в первых трех ее столбцах.

Ответ. Базис $ mathbb V_1 + mathbb V_2 $ составляют векторы $ X_1,X_2,X_3 $; $ dim , (mathbb V_1 cap mathbb V_2) = 3+2 – 3 =2 $.

Алгоритм нахождения базиса $ <mathcal L>(X_1,dots,X_m) cap <mathcal L>(Y_1,dots,Y_<ell>) $ проиллюстрируем на примере.

Пример. Найти базис $ mathbb V_1 cap mathbb V_2 $ при

$$ begin mathbb V_1= <mathcal L>left( left[ begin 1 \ -1 \ 1 \ -1 \ 1 end right],, left[ begin 1 \ 2 \ 1 \ 2 \ 1 end right],, left[ begin 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 end right] right) \ <>_<> qquad qquad quad X_1 quad quad X_2 quad quad X_3 end , begin mathbb V_2= <mathcal L>left( left[ begin 1 \ 0 \ 0 \ 0 \ 1 end right],, left[ begin 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 end right],, left[ begin 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 end right] right) \ <>_<> quad qquad qquad Y_1 qquad Y_2 quad quad Y_3 end . $$

Решение. 1. Сначала найдем базисы каждого из подпространств: $$dim mathbb V_1=2, mathbb V_1=mathcal L(X_1, X_2) ; dim mathbb V_2=3, mathbb V_2=mathcal L(Y_1, Y_2, Y_3) . $$

2. Произвольный вектор $ Zin mathbb R^5 $, принадлежащий $ mathbb V_1 cap mathbb V_2 $, должен раскладываться по базису каждого из подпространств: $$Z=alpha_1 X_1 + alpha_2 X_2= beta_1 Y_1 + beta_2 Y_2 + beta_3 Y_3 .$$ Для определения неизвестных значений координат составляем систему уравнений $$ begin qquad X_1 X_2 \ qquad <colordownarrow> <colordownarrow> \ left( begin 1 & 1 & -1 & &-1 & & 0 \ -1 & 2 & 0 & & -1 & & -1 \ 1 & 1 & 0 & & 0 & & -1 \ -1 & 2 & 0 & & -1 & & -1 \ 1 & 1 & -1 & & -1 & & 0 end right) \ qquad qquad qquad <coloruparrow> qquad <coloruparrow> qquad quad <coloruparrow> \ quad qquad qquad -Y_1 quad – Y_2 quad -Y_3 end left( begin alpha_1 \ alpha_2 \ beta_1 \ beta_2 \ beta_3 end right)= mathbb O_ <5times 1>$$ и решаем ее по методу Гаусса с нахождением фундаментальной системы решений: $$ left( begin 1 & 1 & -1 & -1 & 0 \ 0 & 3 & -1 & -2 & -1 \ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end right) left( begin alpha_1 \ alpha_2 \ beta_1 \ beta_2 \ beta_3 end right)= mathbb O quad Rightarrow qquad mbox < ФСР >qquad begin alpha_1 & alpha_2 & beta_1 & beta_2 & beta_3 \ hline -1/3 & 1/3 & -1 & 1 & 0 \ 1/3 & 2/3 & 1 & 0 & 1 end $$

3. Получившиеся значения координат позволяют выразить базис пересечения — либо через базис подпространства $ mathbb V_1 $ (если использовать полученные значения для $ alpha_1,alpha_2 $), либо через базис подпространства $ mathbb V_2 $ (если использовать $ beta_1,beta_2, beta_3 $). Например, $$ Z_1=-1/3 X_1 + 1/3 X_2 = [0,1,0,1,0]^<^<top>>, $$ $$ Z_2=1/3 X_1 + 2/3 X_2 = [1,1,1,1,1]^<^<top>> . $$

Найти базисы суммы и пересечения подпространств

Решение ☞ ЗДЕСЬ.

Прямая сумма линейных подпространств

Пусть $ mathbb V_1 $ и $ mathbb V_2 $ — подпространства линейного пространства $ mathbb V_<> $. Говорят, что $ mathbb V_<> $ раскладывается в прямую сумму подпространств $ mathbb V_1 $ и $ mathbb V_2 $ если любой вектор $ Xin mathbb V_<> $ может быть представлен в виде $ X=X_1+X_2 $, где $ X_1in mathbb V_1,X_2in mathbb V_2 $ и такое представление единственно. Этот факт записывают: $ mathbb V= mathbb V_1 oplus mathbb V_2 $. Вектор $ X_ <1>$ называется проекцией вектора $ X_<> $ на подпространство $ mathbb V_1 $ параллельно подпространству $ mathbb V_ <2>$.

Пример. Линейное пространство квадратных матриц порядка $ n_<> $ раскладывается в прямую сумму подпространств: подпространства симметричных матриц и подпространства кососимметричных матриц. В самом деле, для матрицы $ A_ $ справедливо разложение

$$A=frac<1> <2>left(A+A^ <^top>right) + frac<1> <2>left(A-A^ <^top>right) $$ и в правой части первая скобка дает симметричную матрицу, а вторая — кососимметричную. Покажите, что не существует иного разложения матрицы $ A_<> $ в сумму симметричной и кососимметричной.

Теорема. Пусть $ mathbb V=mathbb V_1 + mathbb V_2 $. Эта сумма будет прямой тогда и только тогда, когда подпространства $ mathbb V_1 $ и $ mathbb V_2 $ имеют тривиальное пересечение:

$$mathbb V_1 cap mathbb V_2= <mathbb O > .$$

Доказательство. Необходимость. Пусть сумма $ mathbb V_1 + mathbb V_2 $ — прямая, но существует вектор $ Xne mathbb O $, принадлежащий $ mathbb V_1 cap mathbb V_2 $. Но тогда и вектор $ (-X) $ принадлежит $ mathbb V_1 cap mathbb V_2 $. Для нулевого вектора $ mathbb O $ получаем два представления в виде суммы проекций на подпространства: $$ mathbb O = mathbb O + mathbb O = X+ (-X) , . $$ Это противоречит понятию прямой суммы.

Достаточность. Если $ mathbb V_1 cap mathbb V_2= <mathbb O >$, но существует вектор $ X in mathbb V_1 + mathbb V_2 $, имеющий два различных разложения в сумму проекций $$ X=X_1+X_2 =Y_1+ Y_2 quad npu quad subset mathbb V_1, subset mathbb V_2, $$ то $$ (X_1-Y_1)+(X_2-Y_2) =mathbb O quad Rightarrow quad X_1-Y_1=Y_2-X_2 , , $$ т.е. вектор $ X_1-Y_1 $ принадлежит $ mathbb V_1 cap mathbb V_2 $. Но, по предположению, $ mathbb V_1 cap mathbb V_2= <mathbb O >$, следовательно, $ X_1-Y_1=mathbb O $, но тогда и $ Y_2-X_2=mathbb O $. ♦

Сумма $ mathbb V=mathbb V_1 + mathbb V_2 $ будет прямой тогда и только тогда, когда базис $ mathbb V_<> $ может быть получен объединением базисов $ mathbb V_ $.

Пример [2]. Доказать, что сумма подпространств

$$mathbb V_1=<mathcal L>left( left[ begin 2 \3 \ 11 \ 5 end right] , left[ begin 1 \1 \ 5 \ 2 end right] , left[ begin 0 \1 \ 1 \ 1 end right] right) quad mbox < и >quad mathbb V_2=<mathcal L>left( left[ begin 2 \1 \ 3 \ 2 end right] , left[ begin 1 \1 \ 3 \ 4 end right] , left[ begin 5 \2 \ 6 \ 2 end right] right) $$ будет прямой и найти проекции вектора $ Z=[2,0,0,3]^ <top>$ на эти подпространства.

Решение. Базисы $ mathbb V_1 $ и $ mathbb V_2 $ составляют соответственно системы $ $ и $ < Y_1,Y_2 >$, т.е. $ dim , mathbb V_1=dim , mathbb V_2 =2 $. На основании следствия достаточно установить, что объединенная система $ $ л.н.з. Для этого достаточно проверить, что определитель матрицы $$ A=left( begin 1 & 0 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 1 \ 5 & 1 & 3 & 3 \ 2 & 1 & 2 & 4 end right) $$ отличен от нуля. Поскольку это условие выполнено, то сумма $ mathbb V_1 + mathbb V_2 $ — прямая и базис этой суммы состоит из взятых векторов. Для нахождения разложения вектора $ X_<> $ по этому базису решаем систему уравнений $$A left[ begin alpha_2 \ alpha_3 \ beta_1 \ beta_2 end right] = Z $$ и получаем единственное решение: $ alpha_2=-1,, alpha_3=-1,, beta_1 =1, , beta_2=1 $. Разложение $ Z=Z_1+Z_2 $ составляют векторы $ Z_1=alpha_2 X_2+alpha_3 X_3 $ и $ Z_2=beta_1 Y_1+beta_2 Y_2 $.

Линейные многообразия

Пусть $ mathbb V_1 $ — линейное подпространство пространства $ mathbb V_<> $, а $ X_ <0>$ — произвольный фиксированный вектор из $ mathbb V_<> $. Множество $$ mathbb M = X_0+ mathbb V_1 = left $$ называется линейным многообразием (порожденным подпространством $ mathbb V_1 $). Размерностью этого многообразия называется размерность порождающего его подпространства: $ dim mathbb M = dim mathbb V_1 $. В случае $ 1 ☞ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ: если система совместна, то ее общее решение можно представить как сумму какого-то одного ее решения и общего решения соответствующей однородной системы $ AX= mathbb O $. Таким образом, многообразие решений неоднородной системы $ AX= <mathcal B>$ допускает «параметрическое представление»: $$mathbb M=X_0+ <mathcal L>(X_1,dots,X_>)= $$ $$=left> X_> mid (t_1,dots, t_>) in mathbb R^> right> ; $$ здесь $ X_ <0>$ означает частное решение системы (т.е. $ AX_0= <mathcal B>$),

$ >> $ — ФСР для системы $ AX= mathbb O $,

а $ mathfrak r= operatorname A= operatorname [Amid mathcal B] $.

Получаем, следовательно, $ (n-<mathfrak r>) $-мерную плоскость в $ mathbb R^n $, a в случае $ (n-<mathfrak r>)=1 $ — прямую $$mathbb M=X_0+tX_1 quad npu t in mathbb R ; $$ в последнем случае вектор $ X_ <1>$ называют направляющим вектором этой прямой.

Некоторые задачи на линейные многообразия ☞ ЗДЕСЬ.

[spoiler title=”источники:”]

http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/lineinaia-algebra-uchebnoe-posobie-z-i-andreeva/23-zadanie-podprostranstv-konechnomernogo-lineinogo-prostranstva-s-pomoshchiu-sistem-lineinykh-uravnenii

http://vmath.ru/vf5/linear_space

[/spoiler]

Источник

Линейные
подпространства

Способы
задания линейных подпространств

Операции
с линейными подпространствами

Линейные
подпространства

Из

множества векторов линейного пространства

выберем некоторую совокупность векторов
и обозначим ее

.
Пусть для любых векторов

из

и любого числа

выполняются следующие условия:

2)

.

Тогда
множество векторов

называется линейным
подпространством
пространства

Примеры
линейных подпространств:

1.
Каждое линейное пространство обладает
двумя подпространствами: нулевым
подпространством и самим пространством.
Эти подпространства называют
тривиальными.

2.
Линейное пространство

векторов на прямой, проходящей через
начало координат, имеет два тривиальных
подпространства.

3.
Линейное пространство

векторов на плоскости (рис. 4.2) имеет
кроме двух тривиальных подпространств
бесконечное множество подпространств

.
Каждое из них состоит из векторов,
которые лежат на прямой, проходящей
через начало координат (предполагается,
что все векторы отложены от начала
координат).

4.
В геометрическом пространстве

векторов пространства каждая прямая и
каждая плоскость, проходящие через
начало координат, определяют линейное
подпространство.

Способы
задания линейных подпространств

Линейное
векторное подпространство задается
двумя возможными способами: набором
векторов или системами линейных
уравнений.

1-й
способ.
Набор линейно независимых векторов
(базис подпространства) тесно связан с
понятием линейной оболочки системы
векторов.

О
пределение.
Линейной
оболочкой

двух
векторов

и

,
принадлежащих линейному пространству

,
называется совокупность всех линейных
комбинаций этих векторов

,
где

.

Иначе
говоря, линейная оболочка состоит из
бесконечного множества векторов

,
представимых в виде линейных комбинаций
векторов

.
На рис. 4.3 построены векторы

,
а также приведено несколько их линейных
комбинаций

.

В
общем случае линейной оболочкой множества

векторов, принадлежащих линейному
пространству

,
называется совокупность всех линейных
комбинаций этих векторов

Свойства
линейной оболочки

1.
Линейная оболочка содержит само множество

векторов.

2.
Если линейное пространство

содержит множество

векторов,
то:

а)
пространство

содержит и его линейную оболочку

;

б)

–
линейное подпространство пространства

Замечание.
Из определения и свойств линейной
оболочки следует, что каждое векторное
пространство есть линейная оболочка
векторов своего базиса. Поэтому часто
в задачах в целях экономии места мы,
разыскивая базис подпространства, будем
ограничиваться перечислением векторов
базиса, не записывая конечным результатом
их произвольную линейную комбинацию.

2-й
способ.
Существует еще один способ задания
подпространства – в виде однородной
системы линейных уравнений. Рассмотрим
однородную линейную систему

уравнений с

переменными

имеющую
ненулевые решения. Пусть ранг системы
равен

.
Она обладает фундаментальным набором
решений (ФНР) (см. гл.2, §2,5
«Однородные системы уравнений»).

которые
линейно независимы. Эти независимые
решения, являющиеся совокупностями из

чисел, можно представить как

–
мерные линейно независимые векторы.
Любое решение системы представляется
в виде линейной комбинации ФНР. Если
взять векторы

в качестве базиса некоторого
линейного векторного подпространства,
то все множество решений однородной
системы и будет этим векторным
подпространством,
называемым пространством решений
однородной системы. Размерность
подпространства равна числу независимых
векторов, т.е.

.

Таким
образом, векторное подпространство
может быть задано как набором векторов,
составляющих базис векторного
подпространства, так и посредством
задания однородной системы линейных
уравнений, фундаментальный набор решений
которой есть базис линейного векторного
подпространства. Переход от задания
подпространства в виде набора векторов
к заданию в виде однородной системы
уравнений и обратно достаточно прост.

ПРИМЕР
1. Линейное подпространство

задано набором линейно независимых
векторов

,

.
Найти однородную систему линейных
уравнений, задающую подпространство

Решение.
Рассмотрим 2 способа решения задачи.
Введем произвольный вектор

,
принадлежащий подпространству

.
Разложим вектор

по векторам базиса

или в
координатном виде

(4)

1 способ.
Использование формы, в которой записывается
решение системы однородных уравнений
и представление в этой форме векторов
базиса как фундаментальных решений
некоторой системы. Запишем равенство
(4) в виде решения системы уравнений

Тогда
система имеет вид

Окончательно,

(5)

Замечание.
Переход к системе уравнений требует
наличия в каждом из векторов

нулевой координаты. Если ее нет, комбинируя
векторы

,
такие координаты легко получить.

2 способ
основан на использовании теоремы
Кронекера-Капелли. Составим расширенную
матрицу из коэффициентов и свободных
членов и преобразуем, используя метод
Гаусса

~
~
(6)

Система
должна иметь решения, поскольку вектор

принадлежит подпространству. Ранги
матрицы коэффициентов и расширенной
матрицы системы по теореме Кронекера-Капелли
должны быть равны. Это выполняется при
соблюдении условий:

(7)

Полученная
система однородных линейных уравнений
задает требуемое линейное подпространство.
Системы (5) и (7) несколько отличаются
друг от друга. От системы (7) можно перейти
к системе (5), взяв разность 1-го и 2-го
уравнений в системе (7).

Замечание.
Продолжив преобразование матрицы (6) по
методу Гаусса-Жордана, получим координаты

вектора

в базисе

линейного подпространства

т.е.

.

ПРИМЕР
2. Линейное подпространство

задано однородной системой линейных
уравнений

Найти
набор
линейно независимых векторов (базис),
задающий линейное подпространство

Решение.
Найдем фундаментальный набор решений
однородной системы. Ранг матрицы
коэффициентов уравнений равен 2. Поэтому
могут быть найдены две переменные,
выраженные через две другие. Положим
базисными переменными

.
Свободными переменными станут

.
Вычтем из первого уравнения второе.
Будем иметь

Запишем решения в
развернутой матричной форме

Обозначив
свободные переменные, стоящие в правой
части равенства:

,
получим

где

Любой
вектор

,
координаты которого являются переменными
в однородной системе уравнений,
представлен как линейная комбинация
двух линейно независимых векторов,
составляющих ФНР однородной системы.
Следовательно, все множество векторов

составляет линейное векторное
подпространство с базисом

.
Итак, базис линейного подпространства

ПРИМЕР. Найти линейную
оболочку множества решений системы
уравнений

Решение.
Ранг матрицы коэффициентов системы
уравнений равен 2. Выберем свободными
переменными

и

.
Тогда общее решение однородной системы
уравнений имеет вид

,
где

.

Векторы

образуют фундаментальный набор решений
однородной системы. Любое решение
системы является их линейной комбинацией.
Значит, линейная оболочка векторов

и есть множество решений однородной
системы уравнений, т.е.

,
где

Кратко оформим идеи перехода между
способами задания линейного подпространства
в виде таблицы

Подпространство

задано своим базисом

Подпространство

задано системой уравнений

Операции
с линейными подпространствами

1
)
Сумма подпространств. Суммой

линейных подпространств

линейного пространства

называется совокупность всех векторов

,
которые можно представить в виде
(разложить)

,
где

,

.

2)
Пересечение подпространств. Пересечением

линейных подпространств

линейного пространства

называется совокупность всех векторов

,
которые принадлежат одновременно
подпространствам

.
На рис. 4.4 пересечению подпространств

геометрического пространства

принадлежат векторы

и

.

3)
Умножение числа на подпространство.
Умножение числа

на линейное векторное подпространство

не изменяет его, т.е.

.

4)
Сумма подпространства и вектора.
Алгебраическая сумма векторного
подпространства

и отдельного вектора

,
принадлежащего подпространству

,
не изменяет последнего

,
если

.

Алгебраическая
сумма векторного подпространства

и отдельного вектора

,
не принадлежащего подпространству

,
порождает множество

векторов, которое не является векторным
подпространством

С
множеством

векторов, называемым линейным
многообразием,
мы познакомимся позже.

Свойства
суммы и пересечения линейных подпространств

1)
Сумма и пересечение линейных подпространств
являются линейными подпространствами.

2)Суммой
двух подпространств

является подпространство

,
т.е.

.

3)
Размерность суммы линейных подпространств
равна сумме размерностей подпространств
минус размерность их пересечения
(формула Грассмана)

Пусть линейные подпространства задаются
своими базисами или в виде систем
линейных уравнений. Тогда без труда
решается задача нахождения базиса или
системы уравнений, задающих сумму
подпространств или их пересечение. Идеи
решений таких задач оформим в виде
таблицы.

Задание
подпространств

своими
базисами

:

;

:

.

системами
линейных уравнений

;

Идеи решения

Находится
ранг системы векторов

,
определяются все линейно независимые
векторы, которые составляют базис
суммы.

Находится
объединение систем:

.

Используется
равенство линейных комбинаций

Находится
пересечение систем

.

ПРИМЕР.
Линейные подпространства

трехмерного векторного пространства

заданы
своими базисами векторов

:

;

:

.

Найти

системы
линейных уравнений, задающие эти
подпространства (переход

);
базис

(переход

);
систему
уравнений, задающую

(переход

или

);
базис

(переход

или

);
систему
уравнений, задающую

(переход

или

).

Решение.
1) переход

нами был разобран в предыдущем примере.
Ответ:

:

;

:

.

2) Составим матрицу
из координат векторов и приведем ее к
треугольному виду

~

.

Очевидно,
ранг равен 3. Проводя элементарные
преобразования, мы не меняли положение
строк. Первые 3 вектора, написанные в
координатах по строкам матрицы, являются
линейно независимыми и могут составить
базис суммы подпространств. Итак, векторы

задают подпространство

.
Размерности пространств

совпадают. Следовательно, векторы

образуют базис всего пространства

3) Сумма
подпространств

имеет размерность векторного пространства

и системой уравнений описана быть не
может. Для обоснования утверждения
рассмотрим произвольный вектор

,
принадлежащий пространству

.
Вектор

раскладывается по базису

единственным образом.
.

Составим расширенную
матрицу и воспользуемся преобразованием
Гаусса-Жордана

Получим
выражение

представляющее
собой связь координат произвольного
вектора

в новом и в старом базисах. Таким образом,
задача о нахождении системы линейных
уравнений, описывающей векторное
подпространство вырождается в задачу
нахождения связи координат произвольного
вектора в старом и новом базисах.

4) Базис
пересечения подпространств

.
Любой вектор

,
принадлежащий подпространствам

,
может быть разложен по базисам этих
подпространств.

(8)

Решение системы
уравнений по методу Гаусса-Жордана

дает
следующие значения переменных

.

Вернемся
к системе (8)

При

получим

или

.
Следовательно, вектор

является общим для подпространств

и может быть положен базисом их
пересечения. Ответ: базис пересечения

имеет вид

.

5) Найдем
систему уравнений, задающую пересечение
подпространств. Ее вид

.
Легко видеть, что фундаментальное
решение системы

совпадает с вектором

базиса пересечения подпространств.

Пусть
пересечение двух подпространств

является нулевым подпространством
.
Тогда сумма

называется прямой
суммой
и обозначается через
.
Если подпространство

совпадает со всем пространством
,
т.е
,
то подпространства

называются дополнениями
друг к другу в пространстве
.

Свойства
прямой суммы подпространств.

Прямая
сумма подпространств есть подпространство.
Пересечение
подпространств является нулевым
подпространством.
Сумма
базисов линейных подпространств линейно
независима.
Сумма
базисов линейных подпространств
образует базис прямой суммы.
Размерность
суммы подпространств равна размерности
прямой суммы.
Любой
вектор, принадлежащий прямой сумме,
может быть разложен, причем единственным
образом, по составляющим сумму
подпространствам.
Совокупность
любых двух векторов, взятых по одному
от каждого подпространства, линейно
независима.
Для
любого подпространства существует
дополнение.
Если
подпространство не является нулевым,
то дополнительное подпространство
определено неоднозначно.

Пусть
задано подпространство

.
Любой вектор
,
принадлежащий подпространству
,
в соответствии со свойством 6 может быть
разложен на сумму векторов
,
где

и
.
Вектор

называется проекцией
вектора

на
подпространство

параллельно подпространству
,
вектор

называется проекцией вектора

на
подпространство

параллельно подпространству
.

ПРИМЕР.
В векторном пространстве

заданы подпространства

и
.
Найти проекцию вектора

на подпространство

параллельно подпространству
.

Решение.
Подпространства

составляют прямую сумму, поскольку их
пересечение, как легко определить,
является нулевым подпространством.
Подпространства

дополняют друг друга до всего векторного
пространства
,
так как размерность суммы подпространств
равна размерности всего пространства.
Разложим вектор

по
суммарному базису

и
перейдем к уравнению в координатах

Решив
уравнение, например, методом Гаусса,
получим

Вектор

,

разложенный
по базису подпространства
,
есть проекция

вектора

на
подпространство

параллельно подпространству
.

Замечание
1.
Для линейных векторных пространств и
подпространств мы не ввели расстояния
и углы. Это будет сделано при дальнейшем
изложении. Рисунки, содержащие декартову
систему координат, носят условный
характер.

Замечание
2.
Векторные пространства и подпространства
содержат нулевой вектор. Наглядная
геометрическая иллюстрация этого факта
приводит нас к необходимости рисовать
декартову систему координат и проводить
подпространства через начало координат,
хотя можно было бы ограничиться одной
точкой О – полюсом.

Источник

Способы описания подпространств линейного пространства

Любое n-мерное вещественное линейное пространство изоморфно n-мерному арифметическому пространству $mathbb{R}^n$ . Чтобы установить изоморфизм $Vleftrightarrow mathbb{R}^n$ , достаточно выбрать в пространстве базис и каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец. Поэтому в данном разделе будем рассматривать описание подпространств n-мерного арифметического пространства $mathbb{R}^n$ .

Первый (внутренний) способ. Пусть в пространстве $mathbb{R}^n$ заданы столбцы a_1,a_2,ldots,a_k . Напомним, что для систем столбцов были определены понятия базы (максимальной линейно независимой подсистемы столбцов) и ранга (максимального числа линейно не зависимых столбцов системы), а также методы их нахождения.

Рассматривая линейную оболочку $L=operatorname{Lin}(a_1,a_2,ldots,a_k)$ столбцов как линейное подпространство $mathbb{R}^n$ , заключаем, что база системы столбцов является базисом этого подпространства, а ранг системы столбцов равен размерности подпространства $dim{L}=operatorname{rg} (a_1,a_2,ldots,a_k)$ .

Поэтому для нахождения размерности и базиса подпространства $L=operatorname{Lin} (a_1,a_2,ldots,a_k)$ нужно выполнить следующие действия:

1) составить из данных столбцов матрицу $A=begin{pmatrix} a_1&cdots&a_k end{pmatrix}$ размеров ntimes k ;

2) привести ее к ступенчатому виду (1.4), используя элементарные преобразования строк;

3) определить размерность и базис подпространства $L=operatorname{Lin} (a_1,a_2,ldots,a_k):$

– количество ненулевых строк в матрице равняется размерности подпространства, т.е. $dim{L}= operatorname{rg}A= operatorname{rg}(a_1,a_2,ldots,a_k)= operatorname{rg}A'$ ,

Таким образом, если подпространство $Ltriangleleft mathbb{R}^n$ задано своими образующими a_1,a_2,ldots,a_k: $L=operatorname{Lin} (a_1,a_2,ldots,a_k)$ , то его размерность равна рангу системы столбцов , т.е. $dim{L}= operatorname{Lin} (a_1,a_2,ldots,a_k)$ , а базисом служит максимальная линейно независимая подсистема образующих.

Второй (внешний) способ. Пусть подпространство $Ltriangleleft mathbb{R}^n$ задано как множество L={Ax=o} решений однородной системы Ax=o уравнений с неизвестными. Множество решений системы уравнений можно рассматривать как пересечение подпространств $textstyle{L_1capldotscap L_m=bigcuplimits_{i=1}^{m}L_i}$ , где L_i — множество решений i-го уравнения системы (i=1,ldots,m) . Напомним, что любое решение однородной системы представляется в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений. Поэтому раз мерность пространства dim{L}=n-operatorname{rg}A , а базисом служит фундаментальная система решений однородной системы Ax=o . Способы нахождения фундаментальной системы решений рассмотрены ранее.

Переход от одного способа описания подпространств к другому

Переход от внутреннего описания к внешнему. Пусть подпространство задано линейной оболочкой столбцов $a_1,a_2,ldots,a_{k}:$ $L=operatorname{Lin} (a_1,a_2,ldots,a_{k})$ . Требуется составить такую однородную систему Psi x=o уравнений, множество решений которой совпадает с , т.е. L={Psi x=o} . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Из данных столбцов составить матрицу $A=begin{pmatrix}a_1&cdots&a_k end{pmatrix}$ размеров ntimes k , а затем блочную матрицу (Amid E) , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка.

2. Элементарными преобразованиями над строками блочной матрицы и первыми ее столбцами привести матрицу (Amid E) к виду (Lambdamid S) , где Lambda — простейший вид матрицы $Lambda=begin{pmatrix} E_r!!&vline!!&O\hline O!!&vline!!&O end{pmatrix}$ .

3. Из последних (n-r) строк матрицы составить матрицу $Psi=(Omid E_{n-r})S$ .

4. Записать искомую систему уравнений Psi x=o .

Поясним содержание алгоритма. Заданное подпространство состоит из линейных комбинаций данных векторов, т.е. все его элементы имеют вид x=beta_1a_1+ldots+ beta_ka_k . Решаемую задачу можно сформулировать так: для каких векторов найдутся такие числа beta_1,ldots,beta_k , чтобы выполнялось равенство x=beta_1a_1+ldots+beta_ka_k . Другими словами, при каких неоднородная система Abeta=x ( уравнений с неизвестными $beta=begin{pmatrix} beta_1&cdots&beta_k end{pmatrix}^T$ ) имеет решения? Используя необходимое и достаточное условие (5.24) совместности системы, получаем равенство Psi x=o . Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много однородных систем, имеющих од но и то же множество решений.

Пример 8.8. Подпространство $Ltriangleleft mathbb{R}^n$ задано линейной оболочкой столбцов $a_1=begin{pmatrix}1&1&1&1end{pmatrix}^T,$ $a_2=begin{pmatrix}1&2&1&3end{pmatrix}^T,$ $a_3=begin{pmatrix} 3&4&3&5 end{pmatrix}^T$ . Составить систему уравнений, определяющую подпространство .

Решение. 1. Составляем матрицу $A=begin{pmatrix} a_1&a_2&a_3 end{pmatrix}$ и блочную матрицу:

$(Amid E_4)= begin{pmatrix}1&1&3!!&vline!!&1&0&0&0\ 1&2&4!!&vline!!&0&1&0&0\ 1&1&3!!&vline!!&0&0&1&0\ 1&3&5!!&vline!!&0&0&0&1 end{pmatrix}!.$

$(Amid E_4)sim begin{pmatrix}1&1&3!!&vline!!&1&0&0&0\ 0&1&1!!&vline!!&-1&1&0&0\ 0&0&0!!&vline!!&-1&0&1&0\ 0&2&2!!&vline!!&-1&0&0&1 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&1&3!!&vline!!&1&0&0&0\ 0&1&1!!&vline!!&-1&1&0&0\ 0&0&0!!& vline!!&-1&0&1&0\ 0&0&0!!&vline!!&1&-2&0&1 end{pmatrix}!.$

$Asim begin{pmatrix}1&1&3\ 0&1&1\ 0&0&0\ 0&0&0 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0!!&vline!!&0\ 0&1!!&vline!!&0\hline 0&0!!&vline!!&0\ 0&0!!& vline!!&0 end{pmatrix}= Lambda;quad S=begin{pmatrix}1&0&0&0\ -1&1&0&0\ -1&0&1&0\ 1&-2&0&1 end{pmatrix}!;quad r=operatorname{rg}A=2.$

3. Из последних n-r=4-2=2 строк матрицы составляем матрицу $Psi=begin{pmatrix}-1&0&1&0\ 1&-2&0&1 end{pmatrix}$ искомой системы.

4. Записываем систему уравнений $Psi x=ocolon begin{cases}-x_1+x_3=0,\ x_1-2x_2+x_4=0.end{cases}$ Заданные в условии примера столбцы a_1,,a_2,,a_3 являются решениями полученной системы, в чем можно убедиться при их подстановке в систему уравнений вместо .

Переход от внешнего описания к внутреннему. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы т уравнений с л неизвестными: L={Ax=o} . Требуется найти размерность и базис varphi_1,ldots,varphi_k этого подпространства, т.е. представить его в виде линейной оболочки $L=operatorname{Lin}(varphi_1,ldots,varphi_k)$ . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Найти фундаментальную систему $varphi_1,ldots,varphi_{n-r}$ решений однородной системы Ax=o (r=operatorname{rg}A) . Искомая размерность k=n-r .

2. Представить заданное пространство как линейную оболочку $L=operatorname{Lin} (varphi_1,ldots,varphi_{n-r})$ .

Первый пункт алгоритма удобно выполнять следующим образом:

– составить блочную матрицу $begin{pmatrix}dfrac{A}{E}end{pmatrix}$ , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка;

– элементарными преобразованиями над столбцами блочной матрицы и строками верхнего блока привести матрицу $begin{pmatrix}dfrac{A}{E}end{pmatrix}$ к виду $begin{pmatrix}dfrac{Lambda}{T}end{pmatrix}$ , где Lambda — простейший вид матрицы $Acolon, Lambda=begin{pmatrix}E_r!!&vline!!&O\hline O!!& vline!!&Oend{pmatrix}$ ;

– из последних (n-r) столбцов матрицы составить фундаментальную матрицу $Phi=Tcdot! begin{pmatrix}dfrac{O}{E_{n-r}}end{pmatrix}$ .

Столбцы фундаментальной матрицы $Phi=begin{pmatrix} varphi_1&cdots& varphi_{n-r} end{pmatrix}$ составляют искомую фундаментальную систему решений.

Пример 8.9. Найти размерность и базис подпространства $Ltriangleleft mathbb{R}^4$ , заданного системой уравнений

$begin{cases} x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\[2pt] 2x_1+3x_2+x_4=0,\[2pt] 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0. end{cases}$

Решение. 1. Фундаментальная матрица для этой системы была найдена в примере 5.6 (m=3,,n=4,,r=operatorname{rg}A=2)colon

$Phi=begin{pmatrix}varphi_1&varphi_2 end{pmatrix}= begin{pmatrix} -6&-2\ 4&1\ 1&0\ 0&1end{pmatrix}!.$

Ее столбцы varphi_1,,varphi_2 образуют фундаментальную систему решений. Размерность подпространства равна k=n-r=2 , dim{L}=2 .

2. Столбцы varphi_1,,varphi_2 являются искомым базисом, так как они линейно независимы (operatorname{rg}Phi=2) и $L=operatorname{Lin} (varphi_1, varphi_2)$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Справедливо и обратное утверждение. А именно, имеет место следующая теорема.

Так как А – базис, то ранг матрицы А Равен К.

Если D – любой вектор, то D Î Lк Û D = С1А1 + С2А2 + … +СкАк , Где С1, с2, … , ск независимо друг от друга пробегают все элементы поля Р. Их называют параметрами. В матричном виде D = А × С, где С – Столбец параметров. Отсюда D = Е×(А×с). Если Х – столбец координат вектора D В базисе Е, то D = Е×х. Отсюда, Е×х = Е×(А×с) и Х = А×с. Распишем в координатном виде.

Получили параметрические уравнения, определяющие Lк .

Пример. В пространстве L5 зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, е3, е4 , Е5 ). Найти систему линейных однородных уравнений, задающих L3 = <А1, а2, а3>, если А1 = (1, –2, 2, 0, 1), А2 = (0, 4, 7, 0, 1), А3 = (–2, 3, –1, 0, 0).

< Предыдущая		Следующая >

Источник