Как найти систему уравнений 7 класс

Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений
с двумя неизвестными.

Например, система уравнений может быть задана следующим образом.

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и «x», и «y».

Как решить систему уравнений

Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.

Способ подстановки
или
«железобетонный» метод

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно
решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений,
всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

Выразим из первого уравнения «x + 5y = 7»
неизвестное «x».

Перенесём в первом уравнении «x + 5 y = 7» всё что
содержит «x» в левую часть,
а остальное в правую часть по
правилу переносу.

При «x» стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение
на число не требуется.

Теперь, вместо «x» подставим во второе уравнение полученное выражение
«x = 7 − 5y» из первого уравнения.

Подставив вместо «x» выражение «(7 − 5y)»
во второе уравнение,
мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным «y».
Решим его по правилам
решения линейных уравнений.

Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение
«3(7 − 5y) − 2y = 4» отдельно.
Вынесем его решение отдельно с помощью
обозначения звездочка (*).

(*)   3(7 − 5y) − 2y = 4
21 − 15y − 2y = 4
− 17y = 4 − 21
                 − 17y = − 17     | :(−17)
y = 1

Мы нашли, что «y = 1».
Вернемся к первому уравнению «x = 7 − 5y» и вместо «y» подставим в него полученное числовое значение.
Таким образом можно найти «x».
Запишем в ответ оба полученных значения.

Ответ: x = 2; y = 1

Способ сложения

Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения.
Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.

По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные
уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.

Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.

При сложении уравнений мы получили уравнение «4x + 3y = 11».
По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего
не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.

Вернемся снова к исходной системе уравнений.

Чтобы при сложении неизвестное «x» взаимноуничтожилось,
нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при «x» стоял коэффициент
«−3».

Для этого умножим первое уравнение на «−3».

Теперь сложим уравнения.

Мы нашли «y = 1».
Вернемся к первому уравнению и подставим вместо «y» полученное числовое
значение и найдем «x».

Ответ: x = 2; y = 1

Пример решения системы уравнения
способом подстановки

Выразим из первого уравнения «x».

Подставим вместо «x» во второе уравнение полученное выражение.

(*) (17 + 3y) − 2y = −13
17 + 3y − 2y = −13
17 + y = −13
y = −13 − 17
y = −30

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = −30» и
найдем «x».

Ответ: x = −73; y = −30

Пример решения системы уравнения
способом сложения

Рассмотрим систему уравнений.

Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.

Мы видим, что в обоих уравнениях есть «2x».
Наша задача, чтобы при сложении уравнений «2x» взаимноуничтожились и в
полученном уравнении осталось только «y».

Для этого достаточно умножить первое уравнение на «−1».

Теперь при сложении уравнений у нас останется только «y» в уравнении.

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = 2» и
найдем «x».

Ответ: x = 1; y = 2

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

Пример:

Пример:
Пара значений (x=3);(y=-1) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо (x) и (y), оба уравнения превратятся в верные равенства (begin{cases}3-2cdot (-1)=5 \3 cdot 3+2 cdot (-1)=7 end{cases})

А вот (x=1); (y=-2) – не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» (begin{cases}1-2cdot(-2)=5 \3cdot1+2cdot(-2)≠7 end{cases})

Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо “(x=3); (y=-1)” пишут так: ((3;-1)).

Как решить систему линейных уравнений?

Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:

1. Способ подстановки.

1. Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.

   (begin{cases}x-2y=5\3x+2y=7 end{cases})(Leftrightarrow) (begin{cases}x=5+2y\3x+2y=7end{cases})(Leftrightarrow)

2. Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.

   (Leftrightarrow) (begin{cases}x=5+2y\3(5+2y)+2y=7end{cases})(Leftrightarrow)

3. Равносильными преобразованиями уравнений найдите  по очереди каждое неизвестное.

   (Leftrightarrow) (begin{cases}x=5+2y\15+6y+2y=7end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}x=5+2y\8y=-8end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}x=5+2y\y=-1end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}x=5-2\y=-1end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}x=3\y=-1end{cases})

4. Ответ запишите парой чисел ((x_0;y_0))

   Ответ: ((3;-1))

Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).

Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение. Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:

(begin{cases}x-2y=5\3x+2y=7 end{cases})(Leftrightarrow) (begin{cases}x=5+2y\3x=7-2yend{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}x=5+2y\x=frac{7-2y}{3}end{cases})

И сейчас нам нужно будет эту  дробь
подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее

2. Способ алгебраического сложения.

1. Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:(begin{cases}a_1 x+b_1 y=c_1\a_2 x+b_2 y=c_2end{cases}).

   (begin{cases}3y=13-2x\5x=5-2yend{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}2x+3y=13\5x+2y=5end{cases})(Leftrightarrow)

2. Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты  при одном из неизвестных стали одинаковы (например, ((3) и (3)) или противоположны по значению (например, (5) и (-5)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на (2), а второе – на (3).

   (begin{cases}2x+3y=13 |cdot 2\ 5x+2y=5 |cdot 3end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}4x+6y=26\15x+6y=15end{cases})(Leftrightarrow)

3. Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.

   

4. Найдите неизвестное из полученного уравнения.

   (-11x=11)     (|∶(-11))
   (x=-1)                

5. Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.

   (3y=13-2x)
   (3y=13-2·(-1))
   (3y=15)
   (y=5)

6. Ответ запишите парой чисел ((x_0;y_0)).

   Ответ: ((-1;5))

Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.

Пример. Решите систему уравнений: (begin{cases}12x-7y=2\5y=4x-6end{cases})

Решение:

(begin{cases}12x-7y=2\5y=4x-6end{cases})		Приводим систему к виду (begin{cases}a_1 x+b_1 y=c_1\a_2 x+b_2 y=c_2end{cases}) преобразовывая второе уравнение.
(begin{cases}12x-7y=2\-4x+5y=-6end{cases})		«Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на (3).
(begin{cases}12x-7y=2\-12x+15y=-18end{cases})		Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.
(0·x+8y=-16)		Делим уравнение на (8), чтобы найти (y).
(y=-2)		Игрек нашли. Теперь найдем (x), подставив вместо игрека (-2) в любое из уравнений системы.
(12x-7·(-2)=2) (12x+14=2) (12x=-12) (x=-1)		Икс тоже найден. Пишем ответ.

Ответ: ((-1;-2))

3. Графический способ.

1. Приведите каждое уравнение к виду линейной функции
    (y=kx+b).

   (begin{cases}3x-8=2y\x+y=6end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}2y=3x-8 |:2\y=6-xend{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}y=frac{3}{2}x-4\y=-x+6end{cases})

2. Постройте  графики  этих  функций.  Как?  Можете  прочитать  здесь.

   

3. Найдите координаты ((x;y)) точки пересечения графиков и запишите их в ответ в виде ((x_0;y_0 )).
   Ответ: ((4;2))

Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений (x_0) и (y_0) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
Пример: решая систему (begin{cases}3x-8=2y\x+y=6end{cases}), мы получили ответ ((4;2)). Проверим его, подставив вместо икса (4), а вместо игрека (2).

(begin{cases}3cdot 4-8=2cdot 2\4+2=6end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases} 12-8=4\6=6end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases} 4=4\6=6end{cases})

Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.

Пример. Решите систему уравнений: (begin{cases}3(5x+3y)-6=2x+11\4x-15=11-2(4x-y)end{cases})

Решение:

Ответ: ((2;-1))

Скачать статью

Время чтения: 7 минут.

Сегодня мы разберем, что такое система уравнений и какие существуют методы ее решения: быстро, кратко, понятно🧠

То есть, по итогу решения системы у нас будет пара значений x и y, которые мы можем подставить в два уравнения и получить верное равенство.

Способы решения систем уравнения:

• Графический метод 📈
• Способ подстановки 📝
• Способ сложения ➕

Ниже разберем каждый метод подробнее.

1. Графический метод решения

Чтобы решить систему графически, нам нужно:

• Выразить из каждого уравнения переменную y;
• Построить таблицы значений для каждого уравнения (см. картинку ниже);

• Построить графики по полученным в таблице точкам;
• Найти точку пересечения графиков – это и будет решение

Таким образом, решением данного уравнения будет являться точка (3;2), то есть x=3, y=2.

Памятка для системы уравнений графическим методом

По коэффициентам при х сразу можно понять, будет ли система иметь решения.

2. Способ подстановки

Способ подстановки говорит сам за себя – что-то берем и подставляем вместо другого. Ниже представлен алгоритм действий👇

Давай рассмотрим решение на конкретном примере.

То есть, мы выразили y из первого уравнения, подставили его во второе и нашли значение х. После чего нашли значение y. Все просто!💁‍♀️

3. Способ сложения

Напоминаю для тех, кто забыл:

• коэффициенты – это числа перед x и y;
• x и y – это переменные.

Получается, наша задача – это избавиться от одной из переменных, чтобы дальше решать обыкновенное уравнение с одной переменной.

Звучит не очень то и сложно. Давай разберем на примере!

В примере мы умножили первое уравнение на -2, чтобы при х вместо 5 стал коэффициент -10.

А затем сложили первое и второе уравнение: -10x + 10x = 0. Вот мы и избавились от х😏Дальше решение очень напоминает предыдущий способ.

На этом все! Ниже будет несколько примеров для тренировки. Если хочешь закрепить полученные знания, то обязательно реши их.

Остались вопросы? Можешь написать о них в комментариях!

#образование #математика #ОГЭ #егэ #впр

Конспект урока

Алгебра

7 класс

Урок № 48

Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Систематизация решений систем уравнений.
• Использование отношений коэффициентов при решении систем уравнений.
• Практическое применение теоремы.

Тезаурус:

Теорема.

Пусть дана система уравнений:

где все коэффициенты отличны от нуля.

Тогда система:

а) имеет единственное решение, если ;

б) не имеет решений, если ;

в) имеет бесконечно много решений, если , и при этом все решения можно записать в виде , где ─ любое число.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Перенеся все члены правых частей этих уравнений в левые части, и приведя подобные члены, получим равносильную данной систему вида:

где ─ некоторые числа.

Мы уже знаем, как решать такую систему, когда все коэффициенты при неизвестных отличны от нуля. Мы знаем так же, что если коэффициенты при неизвестных непропорциональны, то решение системы существует и единственно; если же коэффициенты при неизвестных системы пропорциональны, то либо решений бесконечно много, либо нет ни одного решения.

Нам остаётся рассмотреть те случаи, когда некоторые коэффициенты при неизвестных равны нулю. Рассмотрим это на характерных примерах.

Пример 1. Решим систему уравнений:

Второе уравнение этой системы имеет отличные от нуля коэффициенты при неизвестных, а первое уравнение имеет коэффициент при , отличный от нуля, и коэффициент при , равный нулю.

Эту систему проще решить методом подстановки. Найдем из первого уравнения:

И подставим его во второе. Получим:

Откуда

Таким образом, пара чисел есть единственное решение системы.

Пример 2. Решим систему уравнений:

Система есть частный случай системы , где

Единственным решением этой системы является пара чисел

Пример 3. Решим систему уравнений:

Из каждого уравнения системы получим

Так как систему мы рассматриваем как частный случай системы , где то система может быть записана так:

Здесь может быть любым числом, а .

Таким образом, решения системы записываются в виде пар чисел , где ─ любое число.

Пример 4. Решим систему уравнений

Эта система противоречива (не имеет решений), потому что не может одновременно равняться и 1, и .

Пример 5. Решим систему уравнений:

Если , то эта система противоречива, потому что никакая пара чисел не удовлетворяет второму уравнению системы

Если , то второе уравнение обращается в верное равенство при любых Остаётся только первое уравнение. Оно уже рассматривалось. Следовательно, все решения первого уравнения являются решениями системы.

О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Теорема

Пусть дана система уравнений:

где все коэффициенты отличны от нуля.

Тогда система :

а) имеет единственное решение, если ;

б) не имеет решений, если ;

в) имеет бесконечно много решений, если , и при этом все решения можно записать в виде , где ─ любое число.

Доказательство.

Из первого уравнения системы получим, что:

. Подставив полученное выражение вместо во второе уравнение системы и учитывая, что получим уравнение:

Здесь возможны три случая.

1. Если:

то уравнение имеет единственный корень, поэтому и система имеет единственное решение.

Так как и то условие можно записать в виде

1. Если:

то уравнение не имеет корней и система не имеет решений.

Так как то условия можно записать в виде

1. Если:

то уравнение имеет бесконечно много корней, поэтому и система имеет бесконечно много решений.

Так как то условия можно записать в виде

Итак:

если то система имеет единственное решение;

если то система не имеет решений;

если то система имеет бесконечно много решений, и эти решения задаются парами , где любое число.

Теорема доказана.

Пример 1. Определим число решений системы уравнений:

а) б) в)

Решение.

а) Так как выполняется условие , то система имеет единственное решение.

б) Так как выполняется условие , то система имеет бесконечно много решений.

в) Так как выполняется условие то система не имеет решений.

Ответ: а) единственное решение; б) бесконечно много решений; в) нет решений.

Пример 2. При каком значении система

не имеет решений?

Решение.

Система не имеет решений, если выполняется условие

. Условие выполняется лишь при При этом условие также выполняется. Следовательно, система не имеет решений при

Ответ: при

Пример 3. Существует ли значение , при котором система не имеет решений?

Решение.

Система не имеет решений, если выполняется условие . Условие выполняется лишь при При этом условие не выполняется. Следовательно, таких не существует.

Ответ: не существует.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Впишите пропущенные элементы при решении системы.

Задание:

Перенесем из первого уравнения в правую часть 4, получим

Найдем отношение коэффициентов при х и у в системе:

‑ так как отношения __ равны, значит, система имеет одно решение. Решим систему способом подстановки:

Ответ: ( ___; ___ ).

Решение.

Перенесем из первого уравнения в левую часть 4, получим:

Найдем отношение коэффициентов при х и у в системе:

‑ так как отношения не равны, значит, система имеет одно решение. Решим систему способом подстановки:

Ответ: (4; 16).

№2. Тип задания: восстановление последовательности элементов горизонтальное / вертикальное.

Задание:

Решите систему двух уравнений:

Варианты ответов:

Ответ: (1; 0).

Значит, система имеет единственное решение.

Так как отношение коэффициентов равно –

Значит, система имеет единственное решение.

Решение:

Так как отношение коэффициентов равно –

Значит, система имеет единственное решение.

Перенесем в первом уравнении из левой части в правую 4:

Ответ: (1; 0).