Как найти скалярное произведение радиус векторов

План урока:

Угол между векторами

Понятие скалярного произведения векторов

Скалярное произведение в координатах

Определение перпендикулярности векторов и прямых

Вычисление угла между векторами

Свойства скалярного произведения

Угол между векторами

Любую пару векторов можно отложить от одной точки. Если при этом вектора не сонаправлены друг с другом, то они образуют некоторый угол. Его и именуют углом между векторами.

Если же пара векторов сонаправлена, то принято считать, что угол между такими векторами составляет 0°.

На рисунке показаны два вектора, a и b. Чтобы определить угол между a и b, надо отложить их от одной и той же точки:

В приведенном примере угол составил 135°. Для обозначения этого угла может быть использована такая запись:

Задание. В квадрате АВСD проведены диагонали, они пересекаются в точке О. Определите, какой угол образуют вектора:

Так как в квадрате диагонали пересекаются под углом 90°, а со сторонами образуют угол 45°, то мы легко определим, что

Здесь нам помог тот факт, что вектора из пунктов а) и б) изначально отложены из одной точки. С пунктом в) ситуация сложнее. Надо отложить от точки А вектор ОА и определить угол, образующийся при этом:

Пусть после откладывания вектора ОА от А получился вектора АА’. Нам надо найти ∠ВАА’. Нам уже известен ∠ОАВ, который является смежным с ∠ВАА’, поэтому можно записать равенство:

Ответ: а) 45°; б) 90°; в) 135°.

Понятие скалярного произведения векторов

Большое распространение в науке получила математическая операция, именуемая скалярным произведением векторов. В геометрии оно помогает находить угол между векторами, а в физике вычислять некоторые физические величины. В рамках школьной программы его используют для нахождения работы, совершенной той или иной силой. В рамках же более сложных дисциплин, с которыми мало кто сталкивается, оно применяется в квантовой механике и специальных разделах математики – тензорной алгебре, теории многообразий и т. п. Ввел его в науку Уильям Гамильтон в 1846 г, который разрабатывал теорию особых чисел – кватерионов. Они, кстати, используются компьютерами для расчетов трехмерной графики в играх и других приложениях.

Прежде, чем мы научимся применять на практике скалярное произведение, сначала сформулируем правило, позволяющее вычислить его.

Например, пусть есть вектора a и b, причем даны их длины:

Угол между a и b тоже известен и составляет 60°, это записывается таким образом:

Задание. Вычислите скалярное произведение векторов d и f, если их длины составляют 6 и 10 соответственно, а угол между векторами равен 45°.

Решение. Просто подставляем числа из условия в формулу:

Задание. АВС – равносторонний треугольник со стороной 4. Каково скалярное произведение векторов АВ и АС?

Решение. Все углы в равностороннем треугольнике равны 60°, поэтому и угол между АВ и АС также составляет 60°.

Ответ: 8.

Напомним, что косинус, взятый от острого угла – это положительная величина, а косинус тупого угла – это отрицательное число. У прямого же угла косинус равен нулю. Это означает, что по знаку скалярного произведения можно определить тип угла между векторами.

Часто скалярное произведение применяется в физике. Например, с его помощью рассчитывается работа, совершаемая силой при перемещении того или иного тела. И сила, и перемещение – это векторные величины. Чтобы найти работу силы, надо скалярно перемножить вектора силы и перемещения:

Эта формула отражает физический смысл скалярного произведения.

Задание. Под воздействием силы 10Н тело переместилось в горизонтальном направлении на 3 метра. При этом сила образует угол 60° с направлением перемещения тела. Какую работу совершила сила?

Решение.

Скалярное произведение в координатах

Оказывается, что для перемножения векторов достаточно знать только их координаты.

Докажем эту формулу. Сначала рассмотрим случай, когда один из перемножаемых векторов, например a, является нулевым. Тогда у него нулевая длина и нулевые координаты:

Теперь рассмотрим случай, когда оба перемножаемых вектора ненулевые. Тогда отложим их от некоторой точки О и, если вектора неколлинеарны, то мы получим ∆ОАВ:

Для частных случаев, когда a и b коллинеарны (то есть либо сонаправлены, либо противоположно направлены), эта формула также справедлива. Если aи b сонаправлены, то угол α принимается равным нулю (и cosα = 1):

Если же a и b направлены противоположно, то α = 180° (и cosα = – 1):

Итак, мы убедились, что в любой ситуации формула (1) справедлива. При этом вектор АВ можно представить как разность a и b:

Если вектор а имеет координаты {x₁; у₁}, а координаты b– это {x₂; у₂},то координаты их разности a – b будут записываться в виде {х₁ – х₂;у₁ – у₂}. С учетом этого (2) примет вид

В результате нам удалось доказать формулу скалярного произведения через координаты:

Задание. Перемножьте скалярно вектораa и b, если определены их координаты:

Ответ: а) 23; б) 0; в) 5.

Определение перпендикулярности векторов и прямых

Напомним, что скалярное произведение оказывается нулевым исключительно в случае перпендикулярности векторов. Это позволяет использовать его для проверки перпендикулярности векторов.

Задание. Проверьте, являются ли перпендикулярными вектора:

Решение. В каждом случае мы должны скалярно перемножить пару векторов. Если результат окажется нулевым, то можно сделать вывод о перпендикулярности векторов. В противном случае они не перпендикулярны. Первый вектор будет обозначать буквой а, а второй – буквой b:

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.

Задание. При каком значении переменной х вектора а{4; 5} и b{x; – 6} окажутся перпендикулярными?

Решение. Перемножим скалярно вектора и получим некоторое выражение с переменной x:

Найдем, при каком х это выражение обращается в нуль, то есть вектора становятся перпендикулярными:

Задание. Определите, перпендикулярны ли прямые АВ и CD, если даны координаты точек: А(3; 8), В(4; 10), С(7;12) и D(5;13).

Решение. В этой задаче сначала надорассчитать координаты векторов АВ и CD по координатамих начальной и конечной точки:

Мы вычислили координаты векторов: АВ{1; 2} и CD{– 2; 1}. Теперь мы можем проверить их перпендикулярность, скалярно перемножив вектора:

Мы получили ноль. Это означает, что АВ и CD – перпендикулярные вектора. Значит, и прямые, на которых они лежат, также перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

Задание. Перпендикулярны ли друг другу прямые, задаваемые уравнениями

Названия точкам в данном примере присвоены произвольно. На следующем шаге по координатам точек мы находим координаты векторов, лежащих на исследуемых прямых:

Полученный ноль показывает, что исходные прямые перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

В случае, когда прямые заданы уравнениями, необязательно проделывать столь длительные вычисления для определения их перпендикулярности. Есть теорема, сокращающая объем вычислений.

Докажем это утверждение. Пусть две прямые заданы уравнениями

Найдем какие-нибудь точки этих прямых. Для этого подставим в уравнения значения х = 0 и х = 1:

Прямые окажутся перпендикулярными исключительно в том случае, если это выражение будет нулевым. Это условие перпендикулярности можно записать как уравнение:

В результате мы получили доказываемую нами формулу.

Задание. Проверьте, какие из этих пар прямых перпендикулярны:

Решение. В каждом случае надо просто перемножить угловые коэффициенты прямых, то есть числа, стоящие перед переменной х. Другие числа в этих уравнениях (свободные коэффициенты) никак не влияют на перпендикулярность. Если вычисленное произведение окажется равным (– 1), то из этого будет вытекать перпендикулярность прямых.

Вычисление угла между векторами

Мы научились по координатам векторов определять, перпендикулярны ли они. Однако в более общем случае можно рассчитать угол и между двумя неперпендикулярными векторами.

В самом деле, по известным координатам векторов легко как рассчитать длину каждого из них, так и скалярно перемножить вектора. Тогда из формулы скалярного произведения можно выразить значение косинуса угла между векторами:

Зная же косинус, можно рассчитать и сам угол, используя специальные таблицы либо функцию арккосинуса на калькуляторе.

Задание. Вычислите угол между векторами а{3; 4} и b{8; 15}.

Решение. Сначала рассчитываем длины векторов:

Задание. Точки А(2; 8), В(– 1; 5) и С(3; 1) соединили отрезками и получили ∆АВС. Вычислите угол ∠А в ∆АВС.

Решение.∠А данного треугольника представляет собой угол между двумя векторами АВ и АС. Вычислим координаты этих векторов:

Осталось лишь с помощью калькулятора найти сам ∠А:

Свойства скалярного произведения

Существует несколько важных свойств скалярного произведения. Эти свойства очень схожи с законами алгебры, которые используются при работе с обычными числами.

Переместительный закон легко доказать, опираясь только на определение операции скалярного произведения:

Задание. Известно, что угол между векторами a и с составлет 60°, так же как и угол между векторами b и с. Определены и длины векторов:

Задание. Найдите скалярное произведение векторов p и q, если

Решение. Сначала надо перемножить вектора и раскрыть при этом скобки также, как они раскрываются при перемножении обычных чисел:

Примечание. Иногда скалярное произведение вектора на самого себя именуют скалярным квадратом.

Тогда выражение (1) примет вид:

В сегодняшнем уроке мы узнали, что такое скалярное произведение. Оно имеет много приложений в физике и других науках, в частности, с его помощью вычисляется работа. В геометрии оно помогает вычислять углы между векторами, а значит, и между прямыми. В будущем, при более углубленном изучении геометрии, вы узнаете о существовании других типов произведений векторов – векторном и смешанном.

Скаля́рное произведе́ние (иногда называемое внутренним произведением) — результат операции над двумя векторами, являющийся скаляром, то есть числом, не зависящим от выбора системы координат.
Используется в определении длины векторов и угла между ними.

Обычно для скалярного произведения векторов и используется одно из следующих обозначений.

или просто

и второе обозначение применяется в квантовой механике для векторов состояния^[1].

В простейшем случае, а именно в случае конечномерного вещественного евклидового пространства, иногда используют «геометрическое» определение скалярного произведения ненулевых векторов и как произведения длин этих векторов на косинус угла между ними^[2]:

Равносильное определение: скалярное произведение есть произведение длины проекции первого вектора на второй и длины второго вектора (см. рисунок). Если хотя бы один из векторов нулевой, то произведение считается равным нулю^[3].

У понятия скалярного произведения существует также большое количество обобщений для различных векторных пространств, то есть для множеств векторов с операциями сложения и умножения на скаляры^[⇨]. Данное выше геометрическое определение скалярного произведения предполагает предварительное определение понятий длины вектора и угла между ними. В современной математике используется обратный подход: аксиоматически определяется скалярное произведение, а уже через него — длины и углы^[4]. В частности, скалярное произведение определяется для комплексных векторов, многомерных и бесконечномерных пространств, в тензорной алгебре.

Скалярное произведение и его обобщения играют чрезвычайно большую роль в векторной алгебре, теории многообразий, механике и физике. Например, работа силы при механическом перемещении равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения^[5].

Определение и свойства[править | править код]

Будем говорить, что в вещественном или комплексном векторном пространстве определено скалярное произведение, если каждой паре векторов из поставлено в соответствие число из того числового поля, над которым задано удовлетворяющее следующим аксиомам.

1. Для любых трёх элементов пространства и любых чисел справедливо равенство: (линейность скалярного произведения по первому аргументу).
2. Для любых справедливо равенство , где черта означает комплексное сопряжение.
3. Для любого имеем: , причём только при (положительная определённость и невырожденность скалярного произведения соответственно).

Заметим, что из аксиомы 2 следует, что — вещественное число. Поэтому аксиома 3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения. Если аксиома 3 не выполняется, то произведение называется индефинитным или неопределённым.

Если не только при , то произведение называется квазискалярным^[6].

Из данных аксиом получаются следующие свойства:

1. коммутативность для вещественных векторов:

   

   Дистрибутивность скалярного произведения в случае вещественного евклидового пространства

2. дистрибутивность относительно сложения: и
3. инволюционная линейность относительно второго аргумента: (в случае вещественного — просто линейность по второму аргументу).
4. (что совпадает с для вещественного ).

Также есть свойства, связанные не с данными аксиомами:

1. неассоциативность относительно умножения на вектор^[7]‘: ;
2. ортогональность: два ненулевых вектора a и b ортогональны тогда и только тогда, когда (a, b) = 0 (определения ниже).

Замечание. В квантовой физике скалярное произведение (волновых функций, которые комплекснозначны) принято определять как линейное по второму аргументу (а не по первому), соответственно, по первому аргументу оно будет инволюционо линейным. Путаницы обычно не возникает, поскольку традиционное обозначение для скалярного произведения в квантовой физике также отличается: , т.е. аргументы отделяются вертикальной чертой, а не запятой, и скобки всегда угловые.

Определение и свойства в евклидовом пространстве[править | править код]

Вещественные векторы[править | править код]

В -мерном вещественном евклидовом пространстве векторы определяются своими координатами — наборами вещественных чисел в ортонормированном базисе. Определить скалярное произведение векторов можно так^[4]:

Проверка показывает, что все три аксиомы выполнены.

Например, скалярное произведение векторов и будет вычислено так:

Можно доказать^[8], что эта формула равносильна определению через проекции или через косинус:

Комплексные векторы[править | править код]

Для комплексных векторов определим аналогично^[9]:

Пример (для ):

Свойства[править | править код]

Помимо общих свойств скалярного произведения, для многомерных евклидовых векторов верно следующее:

1. в отличие от обычного умножения скаляров, где если ab = ac и a ≠ 0, то b равняется c, для скалярного умножения векторов это неверно: если a · b = a · c, то есть a · (b − c) = 0, то в общем случае a и b − c лишь ортогональны; но вектор b − c в общем случае не равен 0, то есть b ≠ c;
2. правило произведения: для дифференцируемых вектор-функций a(t) и b(t) верно соотношение (a(t), b(t))′ = a′(t) ⋅ b(t) + a(t) ⋅ b′(t)^[10];
3. оценка угла между векторами:

   в формуле знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение больше 0, если угол между векторами острый, и меньше 0, если угол между векторами тупой;

4. проекция вектора на направление, определяемое единичным вектором :

   , так как

5. площадь параллелограмма, натянутого на два вектора и , равна

Теорема косинусов в вещественном пространстве[править | править код]

Теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения. Пусть на сторонах треугольника находятся векторы a, b и c, первые два из которых образуют угол θ, как показано в изображении справа. Тогда, следуя свойствам и определению скалярного произведения через косинус:

Связанные определения[править | править код]

В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия^[11]:

Длина вектора, под которой обычно понимается его евклидова норма:

(термин «длина» обычно применяется к конечномерным векторам, однако в случае вычисления длины криволинейного пути часто используется и в случае бесконечномерных пространств).

Углом между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

Данные определения позволяют сохранить формулу: и в общем случае. Корректность формулы для косинуса гарантирует неравенство Коши — Буняковского^[12]:

В случае, если пространство является псевдоевклидовым, понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

• Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.
• Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством.
  • При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.
• Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

История[править | править код]

Скалярное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году^[13] одновременно с векторным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как скалярная и векторная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю^[14].

Вариации и обобщения[править | править код]

В пространстве измеримых интегрируемых с квадратами на некоторой области Ω вещественных или комплексных функций можно ввести положительно определённое скалярное произведение:

При использовании неортонормированных базисов скалярное произведение выражается через компоненты векторов с участием метрического тензора^[15] :

При этом сама метрика (говоря точнее, её представление в данном базисе) так связана со скалярными произведениями базисных векторов :

Аналогичные конструкции скалярного произведения можно вводить и на бесконечномерных пространствах, например, на пространствах функций:

где К — положительно определённая, в первом случае симметричная относительно перестановки аргументов (при комплексных x — эрмитова) функция (если нужно иметь обычное симметричное положительно определённое скалярное произведение).

Простейшим обобщением конечномерного скалярного произведения в тензорной алгебре является свёртка по повторяющимся индексам.

См. также[править | править код]

• Гильбертово пространство
• Векторное произведение
• Внешнее произведение
• Псевдоскалярное произведение
• Смешанное произведение

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 4-е изд. — М.: Наука, 1971. — 272 с.

Ссылки[править | править код]

• Емелин А. Скалярное произведение векторов. Дата обращения: 14 ноября 2019.

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Скалярное произведение векторов

Формула

Пусть даны векторы $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $. Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y $$ Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.

Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z $$

По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.

Примеры решений

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов $ overline{a} = (-1;2) $ и $ overline{b} = (2;1) $

Решение

В данном примере векторы заданы двумя координатами, поэтому применяем первую формулу для плоской задачи. Умножаем соответствующие координаты, а потом складываем их: $$ (overline{a},overline{b}) = -1 cdot 2 + 2 cdot 1 = -2 + 2 = 0 $$ Произведение получилось равным нулю, а это кстати означает, что векторы оказались ортогональными (перпендикулярными) друг к другу. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ (overline{a},overline{b}) = 0 $$

Пример 2

В пространстве заданы начала и концы векторов: $$ A = (1;3;-2), B = (-1;4;1), C = (2; 1; -2) $$ Требуется найти скалярное произведение векторов $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $.

Решение

В примеры решения данной задачи даны только точки и сразу вычислить произведение векторов не представляется возможным. Сначала нужно найти сами векторы $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. Вычисляются они с помощью разности соответствующих координат точек (из конца вычитается начало вектора): $$ overline{AB} = (-1 – 1; 4-3; 1-(-2)) = (-2; 1; 3) $$ $$ overline{AC} = (2 – 1; 1 – 3; -2 – (-2)) = (1; -2; 0) $$ Теперь, когда необходимые векторы найдены, то вычисляем их произведение: $$ (overline{AB},overline{AC}) = -2 cdot 1 + 1 cdot (-2) + 3 cdot 0 = -2-2+0 = -4 $$

Ответ

$$ (overline{AB},overline{AC}) = -4 $$

В статье мы ответили на вопрос: «Как найти скалярное произведение векторов?», а так же привели формулы и примеры решений задач.

Скалярное произведение векторов

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные определения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.

Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.

Угол между векторами

Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=

2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.

3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.

Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:

Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

→a * →b = →|a| * →|b| * cosα

Алгебраическая интерпретация.

Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:

• Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, то есть cosα > 0.
• Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.

То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by

А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz

Докажем это определение:

Сначала докажем равенства

для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)

Тогда, →AB = →OB – →OA = →b – →a = (bx – ax, by – ay)

Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов можно записать:

то последнее равенство можно переписать так:

а по первому определению скалярного произведения имеем

Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем

Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств (→a, →b) = |→a|*|→b|*cos(→a, →b) = ax*bx + ay*by + ax*bz для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz), заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости (→a, →a) = ax2 + ay2 в пространстве (→a, →a) = ax2 + ay2 + az2.

Записывайтесь на наши курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В плоской задаче скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В пространственной задаче скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by + az * bz

Формула скалярного произведения n-мерных векторов

В n-мерном пространстве скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:

a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + . + an * bn

Свойства скалярного произведения

Свойства скалярного произведения векторов:

Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. В результате получается нуль, если вектор равен нулевому вектору.

a ≠ 0, b ≠ 0, a * b = 0 a ┴ b

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения (→a, →b) = (→b, →a)

По определению (→a, →b) = ax*bx + ay*by и (→b, →a) = bx*ax + by*ay. В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо ax*bx = bx*ax b ay*by = by*ay, тогда ax*bx + ay*by = bx*ax + by*ay.

Следовательно, (→a, →b) = (→b, →a), что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,

Примеры вычислений скалярного произведения

Пример 1.

Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:

(→a,→b) = →|a| * →|b| * cos(→a,→b) = 3 * 7 cos60° = 3 * 7 * 1/2 = 21/2 = 10,5.

Ответ: (→a,→b) = 21/2 = 10,5.

Пример 2.

Найти скалярное произведение векторов →a и →b, если →|a| = 2, →|b| = 5, ∠(→a,→b) = π/6.

Используем формулу →a * →b = →|a| * →|b| * cosα.

В данном случае:

→a * →b = →|a| * →|b| * cosα = 2 * 5 * cosπ/6 = 10 * √3/2 = 5√3

Пример 3.

Как найти скалярное произведение векторов →a = 7*→m + 3*→n и →b = 5*→m + 8*→n, если векторы →m и →n перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем

Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:

В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид

Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем

Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:

Пример 4.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

Введем систему координат.

Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.

Точка А имеет координаты (0;0;0). Точка С — (1;0;0). Точка В — (1/2;√3/2;0). Тогда точка В1 имеет координаты (1/2;√3/2;1), а точка С1 – (1;0;1).

Найдем координаты векторов →AB1 и →BC1:

Найдем длины векторов →AB1 и →BC1:

Найдем скалярное произведение векторов →AB1 и →BC1:

Найдем косинус угла между прямыми AB1 и BC1:

Пример 5.

а) Проверить ортогональность векторов: →a(1; 2; -4) и →b(6; -1; 1) .

б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).

а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: →ab = 1*6 + 2*(-1) + (-4)*1 = 0, следовательно

б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости, а задача всё равно решается через векторы. Найдем их: →KL(-2-3; 0-5) = →KL(-5; -5), →MN(1-8; 4-(-1)) = →MN(-7;5)

Вычислим их скалярное произведение: →KL*→MN = -5*(-7) + (-5)*5 = 10 ≠ 0, значит, отрезки KL и MN не перпендикулярны.

Обратите внимание на два существенных момента:

• В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.
• В окончательном выводе подразумевается, что если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными. Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках, что они не перпендикулярны.

Ответ: а) →a перпендикулярно →b, б) отрезки KL, MN не перпендикулярны.

Пример 6.

Даны три вершины треугольника A(-1; 0), B(3; 2), C(5; -4). Найти угол при вершине B — ∠ABC.

По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:

Требуемый угол ∠ABC помечен зеленой дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.

Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами →BA и →BC, иными словами: ∠ABC = ∠(→BA; →BC).

Вычислим скалярное произведение:

Вычислим длины векторов:

Найдем косинус угла:

Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:

Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдём сам угол:

Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.

Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°

Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.

А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Умножаем вектор на вектор скалярным способом

Скалярный способ умножения векторов обозначают так:

Результат скалярного произведения – число. Это число можно получить одним из двух способов.

Когда известны длины векторов и угол между ними

Зная длину векторов и угол между ними, можно вычислить их скалярное произведение по формуле:

Когда известны координаты двух векторов

С помощью координат векторов, скалярное произведение вычисляем, пользуясь такой формулой:
[ large boxed < left( vec, vec right) = a_ cdot b_ + a_ cdot b_ >]

Пример скалярного произведения в физике

Одним из примеров применения скалярного произведения, может послужить формула работы.
В физике работу рассчитывают, находя скалярное произведение двух векторов: вектора силы, действующей на тело и, вектора перемещения этого тела.
[ A = left| vec right| cdot left| vec right| cdot cos(alpha) ]

Эту формулу можно записать в сокращенном, векторном виде:
[ A = left( vec, vec right) ]

Ее произносят так: работа — это скаляр, который мы получим, когда перемножим скалярно силу и перемещение (рис. 1).

Примечание:
Умножать можно векторы, имеющие различную размерность. То есть, длина перемножаемых векторов будет измеряться в различных единицах.

Линейная алгебра для разработчиков игр

Эта статья является переводом цикла из четырёх статей «Linear algebra for game developers», написанных David Rosen и посвящённых линейной алгебре и её применению в разработке игр. С оригинальными статьями можно ознакомиться тут: часть 1, часть 2, часть 3 и часть 4. Я не стал публиковать переводы отдельными топиками, а объединил все статьи в одну. Думаю, что так будет удобнее воспринимать материал и работать с ним. Итак приступим.

Зачем нам линейная алгебра?

Одним из направлений в линейной алгебре является изучение векторов. Если в вашей игре применяется позиционирование экранных кнопок, работа с камерой и её направлением, скоростями объектов, то вам придётся иметь дело с векторами. Чем лучше вы понимаете линейную алгебру, тем больший контроль вы получаете над поведением векторов и, следовательно, над вашей игрой.

Что такое вектор?

В играх вектора используются для хранения местоположений, направлений и скоростей. Ниже приведён пример двухмерного вектора:

Вектор местоположения (также называемый «радиус-вектором») показывает, что человек стоит в двух метрах восточнее и в одном метре к северу от исходной точки. Вектор скорости показывает, что за единицу времени самолёт перемещается на три километра вверх и на два — влево. Вектор направления говорит нам о том, что пистолет направлен вправо.

Как вы можете заметить, вектор сам по себе всего лишь набор цифр, который обретает тот или иной смысл в зависимости от контекста. К примеру, вектор (1, 0) может быть как направлением для оружия, как показано на картинке, так и координатами строения в одну милю к востоку от вашей текущей позиции. Или скоростью улитки, которая двигается вправо со скоростью в 1 милю в час (прим. переводчика: довольно быстро для улитки, 44 сантиметра в секунду).

Важно отслеживать единицы измерения. Допустим у нас есть вектор V (3,5,2). Это мало что говорит нам. Три чего, пять чего? В нашей игре Overgrowth расстояния указываются в метрах, а скорости в метрах в секунду. Первое число в этом векторе — это направление на восток, второе — направление вверх, третье — направление на север. Отрицательные числа обозначают противоположные направления, на запад, вниз и на юг. Местоположение, определяемое вектором V (3,5,2), находится в трёх метрах к востоку, в пяти метрах вверху и в двух метрах к северу, как показано на картинке ниже.

Итак, мы изучили основы работы с векторами. Теперь узнаем как вектора использовать.

Сложение векторов

Чтобы сложить вектора, нам надо просто сложить каждую их составляющую друг с другом. Например:

(0, 1, 4) + (3, -2, 5) = (0+3, 1-2, 4+5) = (3, -1, 9)

Зачем нам нужно складывать вектора? Наиболее часто сложение векторов в играх применяется для физического интегрирования. Любой физический объект будет иметь вектора для местоположения, скорости и ускорения. Для каждого кадра (обычно это одна шестидесятая часть секунды), мы должны интегрировать два вектора: добавить скорость к местоположению и ускорение к скорости.

Давайте рассмотрим пример с прыжками Марио. Он начинает с позиции (0, 0). В момент начала прыжка его скорость (1, 3), он быстро двигается вверх и вправо. Его ускорение равно (0, -1), так как гравитация тянет его вниз. На картинке показано, как выглядит его прыжок, разбитый на семь кадров. Чёрным текстом показана его скорость в каждом фрейме.

Давайте рассмотрим первые кадры поподробнее, чтобы понять как всё происходит.

Для первого кадра, мы добавляем скорость Марио (1, 3) к его местоположению (0, 0) и получаем его новые координаты (1, 3). Затем мы складываем ускорение (0, -1) с его скоростью (1, 3) и получаем новое значение скорости Марио (1, 2).

Делаем то-же самое для второго кадра. Добавляем скорость (1, 2) к местоположению (1, 3) и получаем координаты (2, 5). Затем добавляем ускорение (0, -1) к его скорости (1, 2) и получаем новую скорость (1, 1).

Обычно игрок контролирует ускорение игрового персонажа с помощью клавиатуры или геймпада, а игра, в свою очередь, рассчитывает новые значения для скоростей и местоположения, используя физическое сложение (через сложение векторов). Это та-же задача, которая решается в интегральном исчислении, просто мы его сильно упрощаем для нашей игры. Я заметил, что мне намного проще внимательно слушать лекции по интегральному исчислению, думая о практическом его применении, которое мы только что описали.

Вычитание векторов

Вычитание рассчитывается по тому-же принципу что и сложение — вычитаем соответствующие компоненты векторов. Вычитание векторов удобно для получения вектора, который показывает из одного местоположения на другое. Например, пусть игрок находится по координатам (1, 2) с лазерным ружьём, а вражеский робот находится по координатам (4, 3). Чтобы определить вектор движения лазерного луча, который поразит робота, нам надо вычесть местоположение игрока из местоположения робота. Получаем:

(4, 3) — (1, 2) = (4-1, 3-2) = (3, 1).

Умножение вектора на скаляр

Когда мы говорим о векторах, мы называем отдельные числа скалярами. Например (3, 4) — вектор, а 5 — это скаляр. В играх, часто бывает нужно умножить вектор на число (скаляр). Например, моделируя простое сопротивление воздуха путём умножения скорости игрока на 0.9 в каждом кадре. Чтобы сделать это, нам надо умножить каждый компонент вектора на скаляр. Если скорость игрока (10, 20), то новая скорость будет:

0.9*(10, 20) = (0.9 * 10, 0.9 * 20) = (9, 18).

Длина вектора

Если у нас есть корабль с вектором скорости V (4, 3), нам также понадобится узнать как быстро он двигается, чтобы посчитать потребность в экранном пространстве или сколько потребуется топлива. Чтобы сделать это, нам понадобится найти длину (модуль) вектора V. Длина вектора обозначается вертикальными линиями, в нашем случае длина вектора V будет обозначаться как |V|.

Мы можем представить V как прямоугольный треугольник со сторонами 4 и 3 и, применяя теорему Пифагора, получить гипотенузу из выражения: x 2 + y 2 = h 2

В нашем случае — длину вектора H с компонентами (x, y) мы получаем из квадратного корня: sqrt(x 2 + y 2 ).

Итак, скорость нашего корабля равна:

|V| = sqrt(4 2 + 3 2 ) = sqrt(25) = 5

Этот подход используется и для трёхмерных векторов. Длина вектора с компонентами (x, y, z) рассчитывается как sqrt(x 2 + y 2 + z 2 )

Расстояние

Если игрок P находится в точке (3, 3), а взрыв произошёл в точке E по координатам (1, 2), нам надо определить расстояние между игроком и взрывом, чтобы рассчитать степень ущерба, нанесённого игроку. Это легко сделать, комбинируя две вышеописанных операции: вычитание векторов и их длину.
Мы вычитаем P — E, чтобы получить вектор между ними. А затем определяем длину этого вектора, что и даёт нам искомое расстояние. Порядок следования операндов тут не имеет значения, |E — P| даст тот-же самый результат.

Расстояние = |P — E| = |(3, 3) — (1, 2)| = |(2, 1)| = sqrt(2 2 +1 2 ) = sqrt(5) = 2.23

Нормализация

Когда мы имеем дело с направлениями (в отличие от местоположений и скоростей), важно, чтобы вектор направления имел длину, равную единице. Это сильно упрощает нам жизнь. Например, допустим орудие развёрнуто в направлении (1, 0) и выстреливает снаряд со скоростью 20 метров в секунду. Каков в данном случае вектор скорости для выпущенного снаряда?

Так как вектор направления имеет длину равную единице, мы умножаем направление на скорость снаряда и получаем вектор скорости (20, 0). Если-же вектор направления имеет отличную от единицы длину, мы не сможем сделать этого. Снаряд будет либо слишком быстрым, либо слишком медленным.

Вектор с длиной равной единице называется «нормализованным». Как сделать вектор нормализованным? Довольно просто. Мы делим каждый компонент вектора на его длину. Если, к примеру, мы хотим нормализовать вектор V с компонентами (3, 4), мы просто делим каждый компонент на его длину, то есть на 5, и получаем (3/5, 4/5). Теперь, с помощью теоремы Пифагора, мы убедимся в том, что его длина равна единице:

(3/5) 2 + (4/5) 2 = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1

Скалярное произведение векторов

Что такое скалярное произведение (записывается как •)? Чтобы рассчитать скалярное произведение двух векторов, мы должны умножить их компоненты, а затем сложить полученные результаты вместе

(a1, a2) • (b1, b2) = a1b1 + a2b2

Например: (3, 2) • (1, 4) = 3*1 + 2*4 = 11. На первый взгляд это кажется бесполезным, но посмотрим внимательнее на это:

Здесь мы можем увидеть, что если вектора указывают в одном направлении, то их скалярное произведение больше нуля. Когда они перпендикулярны друг другу, то скалярное произведение равно нулю. И когда они указывают в противоположных направлениях, их скалярное произведение меньше нуля.
В основном, с помощью скалярного произведения векторов можно рассчитать, сколько их указывает в одном направлении. И хоть это лишь малая часть возможностей скалярного произведения, но уже очень для нас полезная.

Допустим у нас есть стражник, расположенный в G(1, 3) смотрящий в направлении D(1,1), с углом обзора 180 градусов. Главный герой игры подсматривает за ним с позиции H(3, 2). Как определить, находится-ли главный герой в поле зрения стражника или нет? Сделаем это путём скалярного произведения векторов D и V (вектора, направленного от стражника к главному герою). Мы получим следующее:

V = H — G = (3, 2) — (1, 3) = (3-1, 2-3) = (2, -1)
D•V = (1, 1) • (2, -1) = 1*2 + 1*-1 = 2-1 = 1

Так как единица больше нуля, то главный герой находится в поле зрения стражника.

Мы уже знаем, что скалярное произведение имеет отношение к определению направления векторов. А каково его более точное определение? Математическое выражение скалярного произведения векторов выглядит так:

Где Θ (произносится как «theta») — угол между векторами A и B.

Это позволяет нам найти Θ (угол) с помощью выражения:

Как я говорил ранее, нормализация векторов упрощает нашу жизнь. И если A и B нормализованы, то выражение упрощается следующим образом:

Давайте опять рассмотрим сценарий со стражником. Пусть теперь угол обзора стражника будет равен 120 градусам. Получим нормализованные вектора для направления взгляда стражника (D’) и для направления от стражника к главному герою (V’). Затем определим угол между ними. Если угол более 60 градусов (половина от угла обзора), то главный герой находится вне поля зрения стражника.

D’ = D / |D| = (1, 1) / sqrt(1 2 + 1 2 ) = (1, 1) / sqrt(2) = (0.71, 0.71)
V’ = V / |V| = (2, -1) / sqrt(2 2 + (-1) 2 ) = (2,-1) / sqrt(5) = (0.89, -0.45)

Θ = acos(D’V’) = acos(0.71*0.89 + 0.71*(-0.45)) = acos(0.31) = 72

Угол между центром поля зрения стражника и местоположением главного героя составляет 72 градуса, следовательно стражник его не видит.

Понимаю, что это выглядит довольно сложно, но это потому, что мы всё делаем вручную. В программе это всё довольно просто. Ниже показано как я сделал это в нашей игре Overgrowth с помощью написанных мной С++ библиотек для работы с векторами:

Векторное произведение

Допустим у нас есть корабль с пушками, которые стреляют в правую и в левую стороны по курсу. Допустим, что лодка расположена вдоль вектора направления (2, 1). В каких направлениях теперь стреляют пушки?

Это довольно просто в двухмерной графике. Чтобы повернуть направление на 90 градусов по часовой стрелке, достаточно поменять местами компоненты вектора, а затем поменять знак второму компоненту.
(a, b) превращается в (b, -a). Следовательно у корабля, расположенного вдоль вектора (2, 1), пушки справа по борту будут стрелять в направлении (1, -2), а пушки с левого борта, будут стрелять в противоположном направлении. Меняем знаки у компонент вектора и получаем (-1, 2).

А что если мы хотим рассчитать это всё для трехмерной графики? Рассмотрим пример с кораблём.
У нас есть вектор мачты M, направленной прямо вверх (0, 1, 0) и направление ветра: север-северо-восток W (1, 0, 2). И мы хотим вычислить вектор направления паруса S, чтобы наилучшим образом «поймать ветер».

Для решения этой задачи мы используем векторное произведение: S = M x W.

Подставим теперь нужные нам значения:

S = MxW = (0, 1, 0) x (1, 0, 2) = ([1*2 — 0*0], [0*1 — 0*2], [0*0 — 1*1]) = (2, 0, -1)

Для расчётов вручную довольно сложно, но для графических и игровых приложений я рекомендую написать функцию, подобную той, что указана ниже и не вдаваться более в детали подобных расчётов.

Векторное произведение часто используется в играх, чтобы рассчитать нормали к поверхностям. Направления, в которых «смотрит» та или иная поверхность. Например, рассмотрим треугольник с векторами вершин A, B и С. Как мы найдем направление в котором «смотрит» треугольник, то есть направление перпендикулярное его плоскости? Это кажется сложным, но у нас есть инструмент для решения этой задачи.

Используем вычитание, для определения направления из A в С (C — A), пусть это будет «грань 1» (Edge 1) и направление из A в B (B — A), пусть это будет «грань 2» (Edge 2). А затем применим векторное произведение, чтобы найти вектор, перпендикулярный им обоим, то есть перпендикулярный плоскости треугольника, также называемый «нормалью к плоскости».

Вот так это выглядит в коде:

В играх основное выражение освещённости записывается как N • L, где N — это нормаль к освещаемой поверхности, а L — это нормализованный вектор направления света. В результате поверхность выглядит яркой, когда на неё прямо падает свет, и тёмной, когда этого не происходит.

Теперь перейдем к рассмотрению такого важного для разработчиков игр понятия, как «матрица преобразований» (transformation matrix).

Для начала изучим «строительные блоки» матрицы преобразований.

Базисный вектор

Допустим мы пишем игру Asteroids на очень старом «железе» и нам нужен простой двухмерный космический корабль, который может свободно вращаться в своей плоскости. Модель корабля выглядит так:

Как нам рисовать корабль, когда игрок поворачивает его на произвольный градус, скажем 49 градусов против часовой стрелки. Используя тригонометрию, мы можем написать функцию двухмерного поворота, которая принимает координаты точки и угол поворота, и возвращает координаты смещённой точки:

Применяя эту функцию ко всем трём точкам, мы получим следующую картину:

Операции с синусами и косинусами работают довольно медленно, но так как мы делаем расчёты лишь для трёх точек, это будет нормально работать даже на старом «железе» (прим. переводчика: в случаях, когда предполагается интенсивное использование тригонометрических функций, для ускорения вычислений, в памяти организуют таблицы значений для каждой функции и рассчитывают их во время запуска приложения. Затем при вычислении той или иной тригонометрической функции просто производится обращение к таблице).

Пусть теперь наш корабль выглядит вот так:

Теперь старый подход будет слишком медленным, так как надо будет поворачивать довольно большое количество точек. Одно из элегантных решений данной проблемы будет звучать так — «Что если вместо поворота каждой точки модели корабля, мы повернём координатную решётку нашей модели?»

Как это работает? Давайте посмотрим внимательнее, что собой представляют координаты.
Когда мы говорим о точке с координатами (3, 2), мы говорим, что её местоположение находится в трех шагах от точки отсчёта по координатной оси X, и двух шагах от точки отсчёта по координатной оси Y.

По-умолчанию координатные оси расположены так: вектор координатной оси X (1, 0), вектор координатной оси Y (0, 1). И мы получим расположение: 3(1, 0) + 2(0, 1). Но координатные оси не обязательно должны быть в таком положении. Если мы повернём координатные оси, в это-же время мы повернём все точки в координатной решётке.

Чтобы получить повернутые оси X и Y мы применим тригонометрические функции, о которых говорили выше. Если мы поворачиваем на 49 градусов, то новая координатная ось X будет получена путём поворота вектора (0, 1) на 49 градусов, а новая координатная ось Y будет получена путём поворота вектора (0, 1) на 49 градусов. Итак вектор новой оси X у нас будет равен (0.66, 0.75), а вектор новой оси Y будет (-0.75, 0.66). Сделаем это вручную для нашей простой модели из трёх точек, чтобы убедиться, что это работает так, как нужно:

Координаты верхней точки (0, 2), что означает, что её новое местоположение находится в 0 на новой (повёрнутой) оси X и 2 на новой оси Y:

0*(0.66,0.75) + 2*(-0.75, 0.66) = (-1.5, 1.3)

Нижняя левая точка (-1, -1), что означает, что её новое местоположение находится в -1 на повернутой оси X, и -1 на повернутой оси Y:

-1*(0.66,0.75) + -1*(-0.75, 0.66) = (0.1, -1.4)

Нижняя правая точка (1, -1), что означает её новое местоположение находится в 1 на повернутой оси X, и -1 на повернутой оси Y

1*(0.66,0.75) + -1*(-0.75, 0.66) = (1.4, 0.1)

Мы показали, как координаты корабля отображаются в другой координатной сетке с повернутыми осями (или «базисными векторами»). Это удобно в нашем случае, так как избавляет нас от необходимости применять тригонометрические преобразования к каждой из точек модели корабля.

Каждый раз, когда мы изменяем базисные вектора (1, 0) и (0, 1) на (a, b) и (c, d), то новая координата точки (x, y) может быть найдена с помощью выражения:

Обычно базисные вектора равны (1, 0) и (0, 1) и мы просто получаем x(1, 0) + y(0, 1) = (x, y), и нет необходимости заботиться об этом дальше. Однако, важно помнить, что мы можем использовать и другие базисные вектора, когда нам это нужно.

Матрицы

Матрицы похожи на двухмерные вектора. Например, типичная 2×2 матрица, может выглядеть так:

Когда вы умножаете матрицу на вектор, вы суммируете скалярное произведение каждой строки с вектором, на который происходит умножение. Например, если мы умножаем вышеприведённую матрицу на вектор (x, y), то мы получаем:

Будучи записанным по-другому, это выражение выглядит так:

Выглядит знакомо, не так-ли? Это в точности такое-же выражение, которые мы использовали для смены базисных векторов. Это означает, что умножая 2×2 матрицу на двухмерный вектор, мы тем самым меняем базисные вектора. Например, если мы вставим стандартные базисные вектора в (1, 0) и (0, 1) в колонки матрицы, то мы получим:

Это единичная матрица, которая не даёт эффекта, который мы можем ожидать от нейтральных базисных векторов, которые мы указали. Если-же мы повернём базисные вектора на 49-градусов, то мы получим:

Эта матрица будет поворачивать двухмерный вектор на 49 градусов против часовой стрелки. Мы можем сделать код нашей игры Asteriods более элегантным, используя матрицы вроде этой. Например, функция поворота нашего корабля может выглядеть так:

Однако, наш код будет ещё более элегантным, если мы сможем также включить в эту матрицу перемещение корабля в пространстве. Тогда у нас будет единая структура данных, которая будет заключать в себе и применять информацию об ориентации объекта и его местоположении в пространстве.

К счастью есть способ добиться этого, хоть это и выглядит не очень элегантно. Если мы хотим переместиться с помощью вектора (e, f), мы лишь включаем его в нашу матрицу преобразования:

И добавляем дополнительную единицу в конец каждого вектора, определяющего местоположение объекта, например так:

Теперь, когда мы перемножаем их, мы получаем:

(a, c, e) • (x, y, 1) + (b, d, f) • (x, y, 1) + (0, 0, 1) • (x, y, 1)

Что, в свою очередь, может быть записано как:

x(a, b) + y(c, d) + (e, f)

Теперь у нас есть полный механизм трансформации, заключённый в одной матрице. Это важно, если не принимать в расчёт элегантность кода, так как с ней мы теперь можем использовать все стандартные манипуляции с матрицами. Например перемножить матрицы, чтобы добавить нужный эффект, или мы можем инвертировать матрицу, чтобы получить прямо противоположное положение объекта.

Трехмерные матрицы

Матрицы в трехмерном пространстве работают так-же как и в двухмерном. Я приводил примеры с двухмерными векторами и матрицами, так как их просто отобразить с помощью дисплея, показывающего двухмерную картинку. Нам просто надо определить три колонки для базисных векторов, вместо двух. Если базисные вектора это (a,b,c), (d,e,f) and (g,h,i) то наша матрица будет выглядеть так:

Если нам нужно перемещение (j,k,l), то мы добавляем дополнительную колонку и строку, как говорили раньше:

И добавляем единицу [1] в вектор, как здесь:

Вращение в двухмерном пространстве

Так как в нашем случае у нас только одна ось вращения (расположенная на дисплее), единственное, что нам надо знать, это угол. Я говорил об этом ранее, упоминая, что мы можем применять тригонометрические функции для реализации функции двухмерного вращения наподобие этой:

Более элегантно это можно выразить в матричной форме. Чтобы определить матрицу, мы можем применить эту функцию к осям (1, 0) и (0, 1) для угла Θ, а затем включить полученные оси в колонки нашей матрицы. Итак, начнём с координатной оси X (1, 0). Если мы применим к ней нашу функцию, мы получим:

(1*cos(Θ) — 0*sin(Θ), 1*sin(Θ) + 0*cos(Θ)) = (cos(Θ), sin(Θ))

Затем, мы включаем координатную ось Y (0, 1). Получим:

(0*cos(Θ) — 1*sin(Θ), 0*sin(Θ) + 1*cos(Θ)) = (-sin(Θ), cos(Θ))

Включаем полученные координатные оси в матрицу, и получаем двухмерную матрицу вращения:

Применим эту матрицу к Сюзанне, мартышке из графического пакета Blender. Угол поворота Θ равен 45 градусов по часовой стрелке.

Как видите — это работает. Но что если нам надо осуществить вращение вокруг точки, отличной от (0, 0)?
Например, мы хотим вращать голову мартышки вокруг точки, расположенной в её ухе:

Чтобы сделать это, мы можем начать с создания матрицы перемещения (translation matrix) T, которая перемещает объект из начальной точки в точку вращения в ухе мартышки, и матрицу вращения R, для вращения объекта вокруг начальной точки. Теперь для вращения вокруг точки, расположенной в ухе, мы можем сперва переместить точку в ухе на место начальной точки, с помощью инвертирования матрицы T, записанной как T -1 . Затем, мы вращаем объект вокруг начальной точки, с помощью матрицы R, а затем применяем матрицу T для перемещения точки вращения назад, к своему исходному положению.
Ниже дана иллюстрация к каждому из описанных шагов:

Это важный шаблон, который мы будем применять позднее — применение вращения для двух противоположных трансформаций позволяет нам вращать объект в другом «пространстве». Что очень удобно и полезно.

Теперь рассмотрим трёхмерное вращение.

Трёхмерное вращение

Вращение вокруг оси Z работает по тому-же принципу, что и вращение в двухмерном пространстве. Нам лишь нужно изменить нашу старую матрицу, добавив к ней дополнительную колонку и строку:

Применим эту матрицу к трехмерной версии Сюзанны, мартышки из пакета Blender. Угол поворота Θ пусть будет равен 45 градусов по часовой стрелке.

То-же самое. Вращение только вокруг оси Z ограничивает нас, как насчёт вращения вокруг произвольной оси?

Вращение, определяемое осью и углом (Axis-angle rotation)

Представление вращения, определяемого осью и углом, также известно как вращение в экспоненциальных координатах, параметризованное вращением двух величин. Вектора, определяющего вращение направляющей оси (прямая линия) и угла, описывающего величину поворота вокруг этой оси. Вращение осуществляется согласно правилу правой руки.

Итак, вращение задаётся двумя параметрами (axis, angle), где axis — вектор оси вращения, а angle — угол вращения. Этот приём довольно прост и являет собой отправную точку для множества других операций вращения, с которыми я работаю. Как практически применить вращение, определяемое осью и углом?

Допустим мы имеем дело с осью вращения, показанной на рисунке ниже:

Мы знаем как вращать объект вокруг оси Z, и мы знаем как вращать объект в других пространствах. Итак, нам лишь надо создать пространство, где наша ось вращения будет являться осью Z. И если эта ось будет осью Z, то что будет являться осями X и Y? Займемся вычислениями сейчас.

Чтобы создать новые оси X и Y нам нужно лишь выбрать два вектора, которые перпендикулярны новой оси Z и перпендикулярны друг другу. Мы уже говорили ранее о векторном умножении, которое берёт два вектора и даёт в итоге перпендикулярный им вектор.

У нас есть один вектор сейчас, это ось вращения, назовём его A. Возьмём теперь случайный другой вектор B, который находится не в том-же направлении, что и вектор A. Пусть это будет (0, 0, 1) к примеру.

Теперь мы имеем ось вращения A и случайный вектор B, мы можем получить нормаль C, через векторное произведение A и B. С перпендикулярен векторам A и B. Теперь мы делаем вектор B перпендикулярным векторам A и C через их векторное произведение. И всё, у нас есть все нужные нам оси координат.

На словах это звучит сложно, но довольно просто выглядит в коде или будучи показанным в картинках.
Ниже показано, как это выглядит в коде:

Тут показана иллюстрация для каждого шага:

Теперь, имея информацию о новых координатных осях, мы можем составить матрицу M, включив каждую ось как колонку в эту матрицу. Нам надо убедиться, что вектор A является третьей колонкой, чтобы он был нашей новой осью координат Z.

Теперь это похоже на то, что мы делали для поворота в двухмерном пространстве. Мы можем применить инвертированную матрицу M, чтобы переместиться в новую систему координат, затем произвести вращение, согласно матрице R, чтобы повернуть объект вокруг оси Z, затем применить матрицу M, чтобы вернуться в исходное координатное пространство.

Теперь мы можем вращать объект вокруг произвольной оси. В конце концов мы можем просто создать матрицу T = T = M -1 RM и использовать её много раз, без дополнительных усилий с нашей стороны. Есть более эффективные способы конвертирования вращений, определяемых осью и углом во вращения, определяемые матрицами. Просто описанный нами подход показывает многое из того, о чём мы говорили ранее.

Вращение, определяемое осью и углом, возможно, самый интуитивно понятный способ. Применяя его, очень легко инвертировать поворот, поменяв знак у угла, и легко интерполировать, путём интерполяции угла. Однако тут есть серьёзное ограничение, и заключается оно в том, что такое вращение не является суммирующим. То есть вы не можете комбинировать два вращения, определяемых осью и углом в третье.
Вращение, определяемое осью и углом — хороший способ для начала, но оно должно быть преобразовано во что-то другое, чтобы использоваться в более сложных случаях.

Эйлеровские углы

Эйлеровские углы представляют собой другой способ вращения, заключающийся в трёх вложенных вращениях относительно осей X, Y и Z. Вы, возможно, сталкивались с их применением в играх, где камера показывает действие от первого лица, либо от третьего лица.

Допустим вы играете в шутер от первого лица и вы повернулись на 30 градусов влево, а затем посмотрели на 40 градусов вверх. В конце-концов в вас стреляют, попадают, и, в результате удара, камера поворачивается вокруг своей оси на 45 градусов. Ниже показано вращение с помощью углов Эйлера (30, 40, 45).

Углы Эйлера — удобное и простое в управлении средство. Но у этого способа есть два недостатка.

Первый, это вероятность возникновения ситуации под названием «блокировка оси» или «шарнирный замок» (gimbal lock). Представьте, что вы играете в шутер от первого лица, где вы можете посмотреть влево, вправо, вверх и вниз или повернуть камеру вокруг зрительной оси. Теперь представьте, что вы смотрите прямо вверх. В этой ситуации попытка взглянуть налево или направо будет аналогична попытке вращения камеры. Всё что мы можем вы этом случае, это вращать камеру вокруг своей оси, либо посмотреть вниз. Как вы можете представить, это ограничение делает непрактичным применение углов Эйлера в лётных симуляторах.

Второе — интерполяция между двумя эйлеровскими углами вращения не даёт кратчайшего пути между ними.
Например, у вас две интерполяции между двумя одинаковыми вращениями. Первая использует интерполяцию эйлеровского угла, вторая использует сферическую линейную интерполяцию (spherical linear interpolation (SLERP)), чтобы найти кратчайший путь.

Итак, что-же больше подойдет для интерполяции вращений? Может быть матрицы?

Вращение с помощью матриц

Как мы уже говорили ранее, матрицы вращения хранят в себе информацию о трёх осях. Это означает, что интерполяция между двумя матрицами лишь линейно интерполирует каждую ось. В результате это даёт нам эффективный путь, то так-же привносит новые проблемы. Например, тут показаны два вращения и одно интерполированное полу-вращение:

Как вы можете заметить, интерполированное вращение значительно меньше, чем любое из исходных вращений, и две оси более не перпендикулярны друг другу. Это логично, если вдуматься — середина отрезка, соединяющего любые две точки на сфере будет расположена ближе к центру сферы.

Это в свою очередь порождает известный «эффект фантика» (candy wrapper effect), при применении скелетной анимации. Ниже показана демонстрация этого эффекта на примере кролика из нашей игры Overgrowth (прим. переводчика: обратите внимание на середину туловища кролика).

Вращение, основанное на матричных операциях, очень полезно, так как они могут аккумулировать вращения без всяких проблем, вроде блокировки оси (gimbal lock), и может очень эффективно применяться к точкам сцены. Вот почему поддержка вращения на матрицах встроена в графические карты. Для любого типа трёхмерной графики матричный формат вращения — это всегда итоговый применяемый способ.

Однако, как мы уже знаем, матрицы не очень хорошо интерполируются, и они не столь интуитивно понятны.

Итак, остался только один главный формат вращения. Последний, но тем не менее, важный.

Кватернионы

Что-же такое кватернионы? Если очень кратко, то это альтернативный вариант вращения, основанный на оси и угле (axis-angle rotation), который существует в пространстве.

Подобно матрицам они могут аккумулировать вращения, то есть вы можете составлять из них цепочку вращений, без опаски получить блокировку оси (gimbal lock). И в то-же время, в отличие от матриц, они могут хорошо интерполироваться из одного положения в другое.

Являются-ли кватернионы лучшим решением, нежели остальные способы вращений (rotation formats)?
На сегодняшний день они комбинируют все сильные стороны других способов вращений. Но у них есть два слабых места, рассмотрев которые, мы придём к выводу, что кватернионы лучше использовать для промежуточных вращений. Итак, каковы недостатки кватернионов.

Во-первых кватернионы непросто отобразить на трёхмерном пространстве. И мы вынуждены всегда реализовывать вращение более простым способом, а затем конвертировать его. Во-вторых, кватернионы не могут эффективно вращать точки, и мы вынуждены конвертировать их в матрицы, чтобы повернуть значительное количество точек.

Это означает, что вы скорее всего не начнете или не закончите серию вращений с помощью кватернионов. Но с их помощью можно реализовать промежуточные вращения более эффективно, нежели при применении любого другого подхода.

«Внутренняя кухня» механизма кватернионов не очень понятна и не интересна мне. И, возможно, не будет интересна и вам, если только вы не математик. И я советую вам найти библиотеки, которые работают с кватернионами, чтобы облегчить вам решение ваших задач с их помощью.

Математические библиотеки «Bullet» или «Blender» будут хорошим вариантом для начала.

[spoiler title=”источники:”]

http://formulki.ru/vektory/umnozhaem-vektor-na-vektor-skalyarnym-sposobom

http://habr.com/ru/post/131931/

[/spoiler]

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти скалярное произведение двух векторов, перечислим свойства этого действия, а также разберем примеры решения задач.

Нахождение скалярного произведения векторов

Скалярное произведение векторов a и b – это скалярная величина, которая равняется произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними.

a · b = |a| · |b| · cos α.

Примечание: скалярной называется величина, значений которой можно выразить одним числом (чаще всего, действительным).

С алгебраической точки зрения, скалярное произведение двух векторов – это сумма попарного произведения соответствующих координат этих векторов.

Формулы скалярного произведения векторов с заданными координатами

Свойства скалярного произведения векторов

1. Если вектор умножить на себя же, то результат всегда будет больше или равен нулю.

a · a ≥ 0

Примечание: ноль получается исключительно в том случае, когда вектор является нулевым.

a · a = 0, если a = 0

2. При умножении вектора на самого себя получается квадрат его длины (модуля).

a · a = |a|²

3. Для скалярного произведения применим переместительный закон:

a · b = b · a

4. Если два ненулевых вектора ортогональны, их скалярное произведение равняется нулю.

a ⟂ b, a ≠ 0, b ≠ 0 <=> a · b = 0

5. Сочетательный закон:

(α · a) · b = α · (a · b)

6. Дистрибутивность скалярного произведения:

(a + b) · c = a · c + b · c

Примеры задач

Задание 1
Найдем скалярное произведение векторов a = {6; 2} и b = {1; 9}.

Решение:
a · b = 6 · 1 + 2 · 9 = 24

Задание 2
Известны длины векторов (|a| = 5, |b| = 12) и угол между ними (α = 45°). Вычислим их скалярное произведение.

Решение:
a · b = 5 · 12 · cos 45° ≈ 42,4264