Как найти скалярное произведение сторон квадратов

Скалярное произведение векторов называют число, равное произведению дин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение произведения векторов a→ и b→ имеет вид a→,b→. Преобразуем в формулу:

a→,b→=a→·b→·cosa→,b→^. a→ и b→ обозначают длины векторов, a→,b→^ – обозначение угла между заданными векторами. Если хоть один вектор нулевой, то есть имеет значение 0, то и результат будет равен нулю, a→,b→=0

При умножении вектора самого на себя, получим квадрат его дины:

a→,b→=a→·b→·cosa→,a→^=a→2·cos0=a→2

Скалярное умножение вектора самого на себя называют скалярным квадратом.

Вычисляется по формуле:

a→,b→=a→·b→·cosa→,b→^.

Запись a→,b→=a→·b→·cosa→,b→^=a→·npa→b→=b→·npb→a→ показывает, что npb→a→ – это числовая проекция a→ на b→, npa→a→- проекция b→ на a→ соостветсвенно.

Сформулируем определение произведения для двух векторов:

Скалярное произведение двух векторов a→ на b→ называют произведение длины вектора a→ на проекцию b→ на направление a→ или произведение длины b→ на проекцию a→ соответственно.

Для доказательства используем a→,b→=a→·b→·cosa→,b→^=ax·bx+ay·by для векторов a→=(ax,ay), b→=(bx,by) на декартовой системе.

Следует отложить векторы

OA→=a→=ax,ay и OB→=b→=bx,by.

Тогда длина вектора AB→будет равна AB→=OB→-OA→=b→-a→=(bx-ax,by-ay).

Рассмотрим треугольник OAB.

AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos(∠AOB) верно , исходя из теоремы косинусов.

По условию видно, что OA=a→, OB=b→, AB=b→-a→, ∠AOB=a→,b→^, значит, формулу нахождения угла между векторами запишем иначе

b→-a→2=a→2+b→2-2·a→·b→·cos(a→,b→^).

Тогда из первого определения следует, что b→-a→2=a→2+b→2-2·(a→,b→), значит (a→,b→)=12·(a→2+b→2-b→-a→2).

Применив формулу вычисления длины векторов, получим:
a→,b→=12·((a2x+ay2)2+(b2x+by2)2-((bx-ax)2+(by-ay)2)2)==12·(a2x+a2y+b2x+b2y-(bx-ax)2-(by-ay)2)==ax·bx+ay·by

Докажем равенства:

(a→,b→)=a→·b→·cos(a→,b→^)==ax·bx+ay·by+az·bz

– соответственно для векторов трехмерного пространства.

Скалярное произведение векторов с координатами говорит о том, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат в пространстве и на плоскости соответственно. a→=(ax,ay,az), b→=(bx,by,bz) и (a→,a→)=ax2+ay2.

Свойства объяснимы благодаря определению скалярного произведения на плоскости и свойствам при сложении и умножении действительных чисел.

Доказать свойство коммутативности (a→,b→)=(b→,a→). Из определения имеем, что (a→,b→)=ay·by+ay·by и (b→,a→)=bx·ax+by·ay.

По свойству коммутативности равенства ax·bx=bx·ax и ay·by=by·ay верны, значит ax·bx+ay·by=bx·ax+by·ay.

Отсюда следует, что (a→,b→)=(b→,a→). Что и требовалось доказать.

Дистрибутивность справедлива для любых чисел:

(a(1)→+a(2)→+…+a(n)→,b→)=(a(1)→,b→)+(a(2)→,b→)+…+(a(n)→,b→)

и (a→,b(1)→+b(2)→+…+b(n)→)=(a→,b(1)→)+(a→,b(2)→)+…+(a→,b→(n)),

отсюда имеем

(a(1)→+a(2)→+…+a(n)→,b(1)→+b(2)→+…+b(m)→)==(a(1)→,b(1)→)+(a(1)→,b(2)→)+…+(a(1)→,b(m)→)++(a(2)→,b(1)→)+(a(2)→,b(2)→)+…+(a(2)→,b(m)→)+…++(a(n)→,b(1)→)+(a(n)→,b(2)→)+…+(a(n)→,b(m)→)

Длина a→ равна 3, длина b→ равна 7. Найти скалярное произведение, если угол имеет 60 градусов.

Решение

По условию имеем все данные, поэтому вычисляем по формуле:

(a→,b→)=a→·b→·cos(a→,b→^)=3·7·cos60°=3·7·12=212

Ответ:(a→,b→)=212.

Заданны векторы a→=(1,-1,2-3), b→=(0,2,2+3). Чему равно скалярной произведение.

Решение

В данном примере рассматривается формула вычисления по координатам, так как они заданы в условии задачи:

(a→,b→)=ax·bx+ay·by+az·bz==1·0+(-1)·2+(2+3)·(2+3)==0-2+(2-9)=-9

Ответ: (a→,b→)=-9

Найти скалярное произведение AB→ и AC→. На координатной плоскости заданы точки A(1,-3), B(5,4), C(1,1).

Решение

Для начала вычисляются координаты векторов, так как по условию даны координаты точек:

AB→=(5-1,4-(-3))=(4,7)AC→=(1-1,1-(-3))=(0,4)

Подставив в формулу с использованием координат, получим:

(AB→,AC→)=4·0+7·4=0+28=28.

Ответ: (AB→,AC→)=28.

Заданы векторы a→=7·m→+3·n→ и b→=5·m→+8·n→, найти их произведение.m→ равен 3 и n→ равен 2 единицам, они перпендикулярные.

Решение

(a→,b→)=(7·m→+3·n→, 5·m→+8·n→). Применив свойство дистрибутивности, получим:

(7·m→+3·n→, 5·m→+8·n→)==(7·m→, 5·m→)+(7·m→, 8·n→)+(3·n→, 5·m→)+(3·n→, 8·n→)

Выносим коэффициент за знак произведения и получим:

(7·m→, 5·m→)+(7·m→, 8·n→)+(3·n→, 5·m→)+(3·n→, 8·n→)==7·5·(m→,m→)+7·8·(m→,n→)+3·5·(n→,m→)+3·8·(n→,n→)==35·(m→,m→)+56·(m→,n→)+15·(n→,m→)+24·(n→,n→)

По свойству коммутативности преобразуем:

35·(m→,m→)+56·(m→,n→)+15·(n→,m→)+24·(n→,n→)==35·(m→,m→)+56·(m→,n→)+15·(m→,n→)+24·(n→,n→)==35·(m→,m→)+71·(m→,n→)+24·(n→,n→)

В итоге получим:

(a→,b→)=35·(m→,m→)+71·(m→,n→)+24·(n→,n→).

Теперь применим формулу для скалярного произведения с заданным по условию углом:

(a→,b→)=35·(m→,m→)+71·(m→,n→)+24·(n→,n→)==35·m→2+71·m→·n→·cos(m→,n→^)+24·n→2==35·32+71·3·2·cosπ2+24·22=411.

Ответ: (a→,b→)=411

Если имеется числовая проекция.

Найти скалярное произведение a→и b→. Вектор a→ имеет координаты a→=(9,3,-3), проекция b→ с координатами (-3,-1,1).

Решение

По условию векторы a→ и проекция b→ противоположно направленные, потому что a→=-13·npa→b→→, значит проекция b→ соответствует длине npa→b→→, при чем со знаком «-»:

npa→b→→=-npa→b→→=-(-3)2+(-1)2+12=-11,

Подставив в формулу, получим выражение:

(a→,b→)=a→·npa→b→→=92+32+(-3)2·(-11)=-33.

Ответ: (a→,b→)=-33.

Какое значение должна принять λ при заданном скалярном произведении a→=(1,0,λ+1) и b→=(λ,1,λ) будет равным -1.

Решение

Из формулы видно, что необходимо найти сумму произведений координат:

(a→,b→)=1·λ+0·1+(λ+1)·λ=λ2+2·λ.

В дано имеем (a→,b→)=-1.

Чтобы найти λ, вычисляем уравнение:

λ2+2·λ=-1, отсюда λ=-1.

Ответ: λ=-1.

Перемещение материальной точки на 3 метра под действием силы равной 5 ньтонов направлено под углом 45 градусов относительно оси. Найти A.

Решение

Так как работа – это произведение вектора силы на перемещение, значит, исходя из условия F→=5, S→=3, (F→,S→^)=45°, получим A=(F→,S→)=F→·S→·cos(F→,S→^)=5·3·cos(45°)=1522.

Ответ: A=1522.

Материальная точка, перемещаясь из M(2,-1,-3) в N(5,3λ-2,4) под силой F→=(3,1,2), совершила работа равную 13 Дж. Вычислить длину перемещения.

Решение

При заданных координатах вектора MN→ имеем MN→=(5-2, 3λ-2-(-1), 4-(-3))=(3, 3λ-1,7).

По формуле нахождения работы с векторами F→=(3,1,2) и MN→=(3, 3λ-1,7) получим A=(F⇒, MN→)=3·3+1·(3λ-1)+2·7=22+3λ.

По условию дано, что A=13Дж, значит 22+3λ=13. Отсюда следует λ=-3, значит и MN→=(3,3λ-1,7)=(3,-10,7).

Чтобы найти длину перемещения MN→ , применим формулу и подставим значения:

MN→=32+(-10)2+72=158.

Ответ: 158.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}$$

$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}$$

Пример

Пример

• – тема “Свойства векторов” рассматривается на примере решения задачи 86;
• – онлайн задания, как находить угол между векторами, в том числе в координатной форме, как определяется скалярное произведение векторов, скалярный квадрат, представлены в контрольных работах 87 – 107 учебника.

Определение:

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

***

Задача 86.

Дано:

ABCD – квадрат

AC ∩ BD = O

Найти: углы между векторами BAC, DAB = ?

Вычисление:

a) Т.к. AC – диагональ квадрата, то она делит угол A пополам. Тогда угол между векторами = 45°

б) Т.к. ABCD – квадрат, то градусная мера угла между векторами = = 90°, т.е. прямой угол.

***

Скалярное произведение векторов

Задача 87.

Дано:

ABCD – ромб

BD = AB; AC ∩ BD = 0

Вычислите: угол, образованный векторами

и , и , и = ?

Решение:

а) По определению ромба ΔABD – равносторонний (AB = AD = BD).

Значит, все углы в треугольнике равны 60°. Тогда угол между векторами = 60°

б) Т.к. векторы ↑↑сонаправленные, то угол между векторами = 0°

в) Т.к. векторы ↑↓ – противоположно направленные, то угол между векторами = 180°

***

Определение:

Скалярным произведением двух векторов (формула 1) называется произведение длин этих векторов на косинус угла (Cos) между ними.

Обозначение: или

= *cos (a,b)     (1)

Из формулы скалярного произведения векторов через косинус угла (1) следует:

1) скалярное произведение векторов больше нуля, если угол между векторами меньше 90°, т.е.

>0, если <90°

скалярное произведение векторов меньше нуля, если угол между векторами больше 90°, т.е.

<0, если >90°

2) Если ↑↑ – сонаправленные векторы, то угол между векторами равен нулю градусов, т.е. =0° =

3) Если – перпендикулярные векторы и =90° Cos 90° = 0, то = 0

Верно и обратное, т.е. если = 0

Вывод: = 0

***

Задача 88.

Дано:

Векторы

=2

=3

Угол α = 90°

Найти: скалярное произведение векторов

Решение:

Используя формулу скалярного произведения векторов через косинус угла, получаем

= •• Cos 90° = 2 • 3 • 0 = 0

Ответ: = 0

***

Скалярный квадрат

***

Задача 89.

Дано:

ΔABC – равносторонний

AB = a

Найти: скалярное произведение векторов 1) 2)

Решение: В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.

1) = •Cos () = • =

2) = •Cos (120°) = –

***

Задача 90.

Дано:

Векторы

=2; =3

1) угол α = 45°

2) α = 135°

Найти: скалярное произведение векторов

Решение:

1) = •Cos 45° = 2 • 3 • = 3

2) = •Cos 135° = 2 • 3 • = -3

Ответ: 1) 3; 2) -3

***

Задача 91.

Дано:

ΔABC – равносторонний

AB = a

BD – высота

Найти: скалярное произведение векторов

1)

2) 3)

Решение:

1) = •Cos 120° = • (-Cos 60°) = –

2) т.к. векторы перпендикулярны BDAC = 0

3) = =

Ответ:1) –; 2) 0 ; 3)

Задача 92.

Дано:

ABCD – ромб

BD ∩ AC = 0

BD = AB

1) ;

2) ;

Найти: величину угла между векторами

1) ; 2)

Решение:

1) Рассмотрим ΔABC – равнобедренный, т.к. AB=BD.

Зная, что в ромбе все стороны равны, получаем ΔABD – равносторонний.

Тогда DAB =BDA = 60°

По свойству ромба следует, что ADC = 120°

Тогда угол между векторами =120°

2) Т.к. стороны параллельны и векторы сонаправлены:

BA || CD и ↑↑ , тогда векторы параллельны ||, поэтому векторы равны =.

Рассмотрим треугольник ΔCBD – равнобедренный, т.к. две стороны равны: BD=BC.

По определению ромба ΔCBD – равносторонний.

Значит, угол BDC = 60°

По свойству ромба угол ADC = 120°.

Тогда угол между векторами =120°.

Ответ: 1) =120°; 2) =120°.

***

Скалярное произведение векторов в координатах

Теорема:

Если два вектора имеют координаты {x₁; y₁}; { x₂; y₂}, то скалярным произведением двух векторов (формула 2) называется произведение их координат:

(2)

Доказательство:

1 случай.

Если какой-нибудь вектор – нулевой, то равенство (2) выполняется очевидно.

2 случай.

Если векторы и – неколлинеарны.

Отложим векторы от произвольной точки O.

Рассмотрим треугольник ΔOBA.

Известно, что формула косинуса

c² = a² + b² – 2ab • Cos α, получаем равенство

AB­­² = OB² + OA² – 2 • OB • OA • Cos α (3)

Учитывая значения (*) = ; = ; = ; а также, что OA = ||; OB = || ; AB = ||, подставив значения (*) в равенство (3), получаем

||² = ||² + ||² – 2 (4)

Используя формулу для вычисления длины вектора по его координатам, получаем

=; =.

Т.к. = {x₂ – x₁; y₂ – y₁}, то, используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

, получаем

|| = .

Тогда из равенства (4) следует

(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² = x₂² + y₂² + x₁² + y₁² – 2

x₂² -2 x₂ x₁ + x₁² + y₂² – 2 y₂y₁ + y₁² = x₂² + y₂² + x₁² + y₁² – 2

-2 x₂ x₁– 2 y₂y₁ = – 2

= x₂ x₁ + y₂ y₁

***

Следствия:

1) Если векторы перпендикулярны, т.е.

{x₁; y₁}{ x₂; y₂} x₁ x₂ + y₁ y₂ = 0

2) По определению скалярного произведения двух векторов (формула 1)

= •• Cos α

Cos α =

Формула для нахождения косинуса угла через координаты векторов:

Для вычисления синуса и тангенса угла между векторами через косинус угла используются формулы приведения и тригонометрические функции.

***

Скалярное векторное произведение

Задача 93.

Если {; -1}; {2; 3}, то = 0,5 + (-3) = -2,5

***

Задача 94.

Если {x; -1}; {3; 2} и векторы перпендикулярны , тогда = 3x – 2 0 = 3x – 2 2 = 3x x =

***

Задача 95.

Дано:

Координаты точек

A(2;8), B(-1;5), C(3;1)

Найти: косинус угла между векторами Cos A = ?

Решение:

Т.к. каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала

{b₁ – a₁; b₂ – a₂}, тогда

= {} = {}

= {} = {}

Используя формулу для нахождения углов через координаты векторов

Cos A = , получаем

Cos A = ===

Ответ: Cos A =

***

Длина вектора

Задача 96.

Дано:

угол между векторами равен = =60° ,

длины векторов || = 1, || = || = 2

Найти: произведение векторов ()= ?

Решение:

()=+= ||•||•Cos 60° + ||•||•Cos 60° = 1 + 2 = 3

Ответ: ()= 3

***

Задача 97.

Дано:

=, =

длина векторов ||=||=1

– перпендикулярные векторы

Найти: произведение векторов = ?

Решение:

= ()•() = 3² + 12 – 2– 8² =

= 3² + 10 – 8² = 3||² + 0 – 8||² = -5.

Ответ: = -5.

***

Задача 98.

Дано:

{1,5 ; 2}, {4 ; -0,5}

Найти: произведение векторов = ?

Решение:

= x₁ x₂ + y₁ y₂ = 6 + (-1) = 5

Ответ: = 5.

***

Задача 99.

Дано:

{0 ; -3}, {5 ; x}

– перпендикулярные векторы

Найти: произведение векторов = ?

Решение:

= x₁ x₂ + y₁ y₂

0 = 0 + (-3x)

3x = 0

x = 0

Ответ: при x=0, .

***

Задача 100.

Дано:

Координаты точек

A(2;8), B(-1;5), C(3;1)

Найти: косинус угла векторов

1) Cos B = ?

2) Cos C = ?

Решение:

1)

Т.к. каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала

{b₁ – a₁; b₂ – a₂}, тогда

= {} = {}

= {} = {}

Используя формулу для нахождения углов через заданные координаты векторов

Cos B = , получаем

Cos B = == 0

2)

= {} = {}

= {} = {}

Cos C = ===

Ответ: Cos B =0, Cos C =

***

Задача 101.

Дано:

, где i и j – координатные векторы

Найти: длину вектора || = ?

Решение:

Найдем координаты вектора .

{3; -4}

Т.к. длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат || = , тогда получаем

|| = = = 5.

Ответ: || = 5.

***

Задача 102.

Дано:

ABCD – ромб

AB =, AD =

Доказать: диагонали ромба в точке пересечения перпендикулярны

ACBD или =0

Доказательство:

Т.к. ABCD – ромб – параллелограмм, то векторы параллелограмма ,

= –

= (+) (–) = – ² + ² – = ² –² = =||² -||² = 0. Поэтому угол между векторами = 90°. Значит, диагонали ромба в точке пересечения перпендикулярны ACBD.

***

Задача 103.

Дано:

треугольник ΔABC – равнобедренный

AM – медиана

Доказать:

1) 4AM² = AB² + AC² + 2AB • AC • Cos A

2) CH = AM

Доказательство:

1) Т.к. точка M – середина BC, тогда

2=

Значит, (2) • (2) = ()() =

= AB² + 2AB + 2AB • AC • Cos A + AC² = AB² + AC² + 2AB • AC • Cos A

Получаем 4AM² = AB² + AC² + 2AB • AC • Cos A

2) По формуле, полученной выше, следует

4CH² = AC² + BC² + 2AC • BC • Cos C

Т.к. треугольник ΔABC – равнобедренный, тогда AB = BC, A = C Cos A = Cos C

Получим, что 4CH² = AC² + BC²(=AB²) + 2AC • BC(=AB) • Cos C (= Cos A)

4CH² = AC² + AB² + 2AC • AB • Cos A

4CH² = 4AM²

=

2CH = 2AM | : 2

CH = AM

***

Задача 104.

Дано:

ABCD – выпуклый четырехугольник

BD = d₁ и AC = d₂ – диагонали

d₁ ∩ d₂ = O – точка пересечения диагоналей

Доказать:

Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус острого угла между ними

S_ABCD= d₁ • d₂ • Sin α

Доказательство:

Площадь четырехугольника – сумма площадей четырех треугольников.

S_ABCD= S₁ + S₂ + S₃ + S₄ , где

S₁ = S_ΔAOB ; S₂ = S_ΔCOB ; S₃ = S_ΔCOD ; S₄ = S_ΔAOD

S₁ = BO • OA • Sin α

S₂ = BO • OC • Sin (180° – α) = BO • OC • Sin α

S₃ = CO • OD • Sin α

S₄ = AO • OD • Sin (180° – α) = AO • OD • Sin α

Сложив S₁ + S₂ + S₃ + S₄, получаем

S_ABCD= BO • Sin α (OA+OC) +

+ OD • Sin α (CO+OA)

Т.к. OA+OC = AC, CO+OA = AC, BO + OD = BD тогда

S_ABCD=BO • AC • Sin α +OD • AC • Sin α =BD • AC • Sin α

Формула площади выпуклого четырехугольника:

S_ABCD= d₁ • d₂ • Sin α

***

Задача 105.

Дано:

два вектора образуют угол α = 150°,

длины векторов || = 2 , || = 2

Найти: длину вектора |2–| = ?

Решение:

BC² = AB² + AC² – 2 AB • AC • Cos 150°

BC² = 48 + 4 – 2 • 4• 2 • (-) = 52 + 24 = 76

BC = = 2

Ответ: BC = |2–| = 2

***

Задача 106.

Дано:

Треугольник ΔABC

Угол B = 45°, C = 70°

a=24,6

Найти: Угол в градусах A, стороны b, c

Решение:

A = 180° – (45° + 70°) = 75°

Используя теорему синусов

, получаем выражение

b = ≈ 19,2

c = ≈

≈ 25,5

Ответ: A = 75°; b ≈ 19,2; c ≈ 25,5.

***

Задача 107.

Дано:

длины векторов || = 5, || = 8,

угол между 2 векторами =60°

Найти: значение векторов

1) ||= ?

2) ||= ?

Решение: По теореме косинусов

1)

AC² = AB² + BC² – 2AB • BC • Cos 120°

AC² = 25 + 64 – 80 • (- 0,5) = 129

AC = ±, но AC = – не удовлетворяет решению задачи. Значит, AC =.

2) BC² = AB² + AC² – 2AB • AC • Cos 60°

BC² = 89 – 80 • 0,5 = 49

BC = ±, но BC = – 7 не удовлетворяет решению задачи. Значит, BC = 7.

Ответ: || =; || = 7.

***