Как найти скалярное произведение трех векторов

Лекция
4. Двойные произведения трех векторов

Из трех векторов
можно составить только три типа
произведений:

1). Двойное скалярное произведение
(простейшее).

Можно перемножить два вектора

и

скалярно и полученный скаляр

умножить на третий вектор
.
В результате получится вектор
,
называемый простейшим (или двойным
скалярным) произведением трех векторов.

1. Двойное векторное произведение.

Можно перемножить два вектора

и
векторно
и полученный вектор

умножить тоже векторно на третий вектор

.
В результате получится вектор
,
называемый двойным векторным
произведением трех векторов.

1. Смешанное произведение.

Можно перемножить два вектора

и

векторно и полученный вектор

умножить скалярно на третий вектор
.
В результате получится скаляр
(число)
,
называемый смешанным (векторно –
скалярным произведением) трех векторов.

Этими тремя произведениями и исчерпываются
все типы произведений трех векторов.

Изучим их подробно и установим два
замечательных факта. Во-первых, мы
покажем, что двойное векторное произведение

можно представить через двойные скалярные
произведения перемножаемых векторов.

Во-вторых, мы покажем, что смешанное
произведение

выражается через попарные скалярные
произведения своих множителей.

1. Двойное скалярное (простейшее)
   произведение трех векторов по
   нашему определению получается умножением
   скалярного произведения двух векторов
   
   на третий вектор
   :
   .
   Мы видим, что в результате получается
   вектор, коллинеарный с третьим вектором
   .

Из этого свойства, в общем виде, вытекает
неравенство
,
(которое заменится равенством лишь в
том особом случае, когда векторы

и
коллинеарны).
Итак, в общем случае, простейшее
произведение трех векторов не подчиняется
закону ассоциативности.

Этими двумя замечаниями исчерпываются
все особенности простей-шего произведения
трех векторов, которые полезно иметь в
виду. Во всем остальном, так как простейшее
произведение есть ничто иное как
произве-дение вектора на скаляр, то оно
подчиняется законам этого произведения.

1. Двойное векторное произведение трех
   векторов.

– вектор. Имеет место неравенство:.

Действительно, например:

,

.

Теорема. Двойное векторное
произведение

векторов
,
,

есть линейная комбинация векторов,
стоящих в скобках этого произведения.

Доказательство

Рассмотрим вектор
.
Вектор
.
Отсюда следует, что вектор

принадлежит плоскости векторов

и

и может быть разложен по этим векторам,
т.е.
.

Найдем
коэффициенты  и
.
Для этого введем прямоугольную декартову
систему координат Oxyz так,
чтобы ось Ох пошла по вектору
,
плоскость Oxy совпала с
плоскостью векторов

и

(рис. 3). Тогда

Рис. 3

Выразим теперь в координатной форме
:

,

.

Преобразуем правую часть полученного
равенства:

Но,

следовательно,

Аналогично можно доказать, что
.

1. Смешанное произведение трех векторов.

Смешанное произведение

трех векторов
,
,

есть число (скаляр), которое получается
в результате скалярного умножения
векторного произведения

векторов

и

на третий вектор
.

В

(4.1)

ыясним его

геометрический смысл

.
Пусть
тогда
обозначив
,
получим

Чтобы
истолковать полученный результат,
построим на векторах
,
,

параллелепипед, основанием которого
будем считать параллелограмм со сторонами

и
.
Площадь этого основания равна
.
Обозначим через Н высоту параллелепипеда,
опущенную на это основание. Тогда объем
V параллелепипеда определим
по известной из школы формуле
.

Теперь нам придется различать два
случая.

В первом случае, когда перемножаемые
векторы
,
,

образуют правую систему (рис. 4),
тогда угол
,
угол между векторами

и
,
будет острый и
.
Формула (4.1) примет вид:
.

Таким
образом, смешанное произведение векторов,
образующих правую тройку, равно объему
параллелепипеда, построенного на этих
векторах.

Во втором случае, когда перемножаемые
векторы
,
,

образуют левую тройку векторов
(рис.5), тогда

и формула (4.1) примет вид:
.

Таким образом, смешанное произведение
трех векторов, образующих левую тройку
векторов, отличается только знаком от
объема параллелепипеда, построенного
на перемножаемых векторах.

Итак,
,
причем знак «+» получается, когда
перемножаемые векторы образуют правую
тройку, и знак «-», когда их тройка левая.

Отсюда следует, что объем параллелепипеда,
построенного на трех векторах, всегда
равен абсолютной величине их
векторно-скалярного произведения:

.

В этом и состоит геометрический смысл
смешанного проведения трех векторов.

Алгебраические
свойства смешанного произведения

1. Свойство
ассоциативности.

Смешанное
произведение трех векторов не зависит
от группировки его сомножителей, т.е.
.

Действительно,
оба эти произведения имеют одинаковые
абсолютные величины, равные объему
параллелепипеда, построенного на
перемножаемых векторах
,
,

(если эти векторы отличны от нуля).

Знаки этих
произведений также совпадают, так как,
если система (,
,
)
– правая, то и (,,)
– правая (проверить самостоятельно).
Следовательно, оба произведения

и

равны.

На основании
свойства ассоциативности в смешанном
произведении можно опускать знаки
векторного и скалярного умножения и
записывать

или (,
,
).

Итак,
.

2.
Свойство цикличности (круговой
переместительности).

Так
как знак векторного умножения можно
поставить между любой парой соседних
множителей смешанного произведения
трех векторов, то перестановка этих
множителей изменит только знак. На
основании этого последовательно получим
.

Чтобы сформулировать
полученное свойство, отметим на окружности
три точки, которые обозначим, как
множители, буквами a,b,c.
Будем считать положительным обход
окружности в направлении abca
(рис. 6). Мы видим, что при перестановке
множителей, не нарушающей их кругового
порядка, смешанное произведение не
меняется, при перестановке же множителей,
нарушающей круговой порядок, смешанное
произведение трех векторов
,
,

меняет только свой знак.

3.
Свойство однородности.

Числовой множитель
можно выносить за знак смешанного
произведения, т.е.

.

4.
Свойство дистрибутивности.

Векторно-скалярное
умножение суммы векторов на два других
вектора можно выполнить почленно, т.е.
.

Это свойство не
нуждается в доказательстве, так как оно
непосредственно вытекает из свойства
дистрибутивности скалярного и векторного
произведений двух векторов.

Замечание.
Однородность и дистрибутивность
выполняется не только относительно
первого множителя произведения.

5.
Критерий компланарности трех векторов.

(,
,

– компланарны).

Доказательство
следует непосредственно из определения.

Смешанное
произведение в координатной форме

Пусть векторы
,
,

разложены по ортам
,
т.е.

Согласно представлению

в координатной форме, имеем

.

Следовательно,
,
или, окончательно,
.

Пример.
Пусть

Найти
.

Решение

.

Знак минус в ответе
указывает на то, что векторы
,
,

составляют левую тройку.

Объем параллелепипеда,
построенного на указанных векторах,
равен V=13.

Соседние файлы в папке Лекции по АГиТДУ

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Макеты страниц

Скалярное произведение векторов: теория и решения задач

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Определения и смысл скалярного произведения векторов

Найти скалярное произведение векторов можно несколькими различными способами. Способ зависит от того, какие условия даны в задаче. Поэтому существуют несколько определений скалярного произведения.

В задаче могут в явном или неявном виде присутствовать длины перемножаемых векторов и косинус угла между ними. В этом случае действует следующее определение.

Определение 1. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. Формула скалярного произведения векторов согласно определению 1: (1)

Можно встретить и другое название этой операции: внутреннее произведение.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.

Справедливо и другое определение, полностью равносильное определению 1.

Определение 2. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длины одного их этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Формула согласно определению 2:

(2)

(3)

Но в задаче могут в явном или неявном виде присутствовать координаты перемножаемых векторов. Как на плоскости, так и в пространстве. Тогда справедливо следующее определение.

Определение 3. Скалярное произведение векторов – это число, равное сумме попарных произведений их соответствующих координат.

Два перемножаемых вектора могут быть представлены также в виде матриц: первый вектор – в виде матрицы-строки, а второй – в виде матрицы-столбца:

.

В этом случае верно следующее определение.

Определение 4. Скалярное произведение векторов, представленных в виде матрицы-строки и матрицы-столбца представляет собой произведение этих матриц.

Почему скалярное произведение векторов называется именно скалярным и что представляет собой? Чем оно отличается от результатов других операций над векторами? Что такое скаляр? Скаляр – это число. И скалярное произведение векторов – это тоже число. Этим оно и отличается от уже рассмотренной суммы векторов, и от векторного произведения векторов, которое ещё предстоит рассмотреть. В отличие от скалярного произведения, сумма векторов – это вектор, и векторное произведение – тоже вектор.

На этом уроке будем решать распространённые задачи не только на непосредственное вычисление скалярного произведения, но и на выяснение ортогональности (перпендикулярности) векторов, вида угла (тупой, острый, прямой) между векторами, вычисление скалярного произведения векторов, которые даны в координатах, вычисление длин диагоналей параллелограма, построенного на вектора. Но все по порядку. Перед каждым видом задач будем обращать внимание на то, что на этот счёт гласит теория. По ходу урока вам пригодится онлайн-калькулятор для проверки решения задач на скалярное произведение векторов.

Если в задаче и длины векторов, и угол между ними преподнесены “на блюдечке с голубой каёмочкой”, то условие задачи и её решение выглядят так:

Пример 1. Даны векторы . Найти скалярное произведение векторов , если их длины и угол между ними представлены следующими значениями:

Задачу с применением этой формулы решим после следующего важного теоретического пункта.

Нахождение скалярного произведения векторов через координаты

То же самое число можно получить, если перемножаемые векторы заданы своими координатами. Повторим определение для этого случая.

Определение 3. Скалярное произведение векторов – это число, равное сумме попарных произведений их соответствующих координат.

На плоскости

Если два вектора и на плоскости определены своими двумя декартовыми прямоугольными координатами

,

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

.

Пример 2. Найти численную величину проекции вектора на ось, параллельную вектору .

Решение. Находим скалярное произведение векторов, складывая попарные произведения их координат:

.

Теперь нам требуется приравнять полученное скалярное произведение произведению длины вектора на проекцию вектора на ось, параллельную вектору (в соответствии с формулой ).

Находим длину вектора как квадратный корень из суммы квадратов его координат:

.

Составляем уравнение и решаем его:

Ответ. Искомая численная величина равна минус 8.

В пространстве

Если два вектора и в пространстве определены своими тремя декартовыми прямоугольными координатами

,

то скалярное произведение этих векторов также равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, только координат уже три:

.

Задача на нахождение скалярного произведения рассмотренным способом – после разбора свойств скалярного произведения. Потому что в задаче потребуется определить, какой угол образуют перемножаемые векторы.

Свойства скалярного произведения векторов

Алгебраические свойства

1. (переместительное свойство: от перемены местами перемножаемых векторов величина их скалярного произведения не меняется).

2. (сочетательное относительно числового множителя свойство: скалярное произведение вектора, умноженного на некоторый множитель, и другого вектора, равно скалярному произведению этих векторов, умноженному на тот же множитель).

3. (распределительное относительно суммы векторов свойство: скалярное произведение суммы двух векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений первого вектора на третий вектор и второго вектора на третий вектор).

4. (скалярный квадрат вектора больше нуля), если – ненулевой вектор, и , если – нулевой вектор.

Геометрические свойства

В определениях изучаемой операции мы уже касались понятия угла между двумя векторами. Пора уточнить это понятие.

На рисунке выше видны два вектора, которые приведены к общему началу. И первое, на что нужно обратить внимание: между этими векторами существуют два угла – φ 1 и φ 2 . Какой из этих углов фигурирует в определениях и свойствах скалярного произведения векторов? Сумма рассмотренных углов равна 2π и поэтому косинусы этих углов равны. В определение скалярного произведения входит только косинус угла, а не значение его выражения. Но в свойствах рассматривается только один угол. И это тот из двух углов, который не превосходит π , то есть 180 градусов. На рисунке этот угол обозначен как φ 1 .

1. Два вектора называют ортогональными и угол между этими векторами – прямой (90 градусов или π/2 ), если скалярное произведение этих векторов равно нулю:

.

Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов.

2. Два ненулевых вектора составляют острый угол (от 0 до 90 градусов, или, что тоже самое – меньше π/2 ) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно.

3. Два ненулевых вектора составляют тупой угол (от 90 до 180 градусов, или, что то же самое – больше π/2 ) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.

Пример 3. В координатах даны векторы:

.

Вычислить скалярные произведения всех пар данных векторов. Какой угол (острый, прямой, тупой) образуют эти пары векторов?

Решение. Вычислять будем путём сложения произведений соответствующих координат.

.

Получили отрицательное число, поэтому векторы образуют тупой угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили нуль, поэтому векторы образуют прямой угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

Пример 4. Даны длины двух векторов и угол между ними:

.

Определить, при каком значении числа векторы и ортогональны (перпендикулярны).

Решение. Перемножим векторы по правилу умножения многочленов:

.

Теперь вычислим каждое слагаемое:

.

Составим уравнение (равенство произведения нулю), приведём подобные члены и решим уравнение:

Ответ: мы получили значение λ = 1,8 , при котором векторы ортогональны.

Пример 5. Доказать, что вектор ортогонален (перпендикулярен) вектору

Решение. Чтобы проверить ортогональность, перемножим векторы и как многочлены, подставляя вместо его выражение, данное в условии задачи:

.

Для этого нужно каждый член (слагаемое) первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить:

.

В полученном результате дробь за счёт сокращается. Получается следующий результат:

.

Вывод: в результате умножения получили нуль, следовательно, ортогональность (перпендикулярность) векторов доказана.

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Даны длины векторов и , a угол между этими векторами равен π/4 . Определить, при каком значении μ векторы и взаимно перпендикулярны.

Матричное представление скалярного произведения векторов и произведение n-мерных векторов

Иногда выигрышным для наглядности является представление двух перемножаемых векторов в виде матриц. Тогда первый вектор представлен в виде матрицы-строки, а второй – в виде матрицы-столбца:

Тогда скалярное произведение векторов будет произведением этих матриц:

Результат тот же, что и полученный способом, который мы уже рассмотрели. Получили одно единственное число, и произведение матрицы-строки на матрицу-столбец также является одним единственным числом.

В матричной форме удобно представлять произведение абстрактных n-мерных векторов. Так, произведение двух четырёхмерных векторов будет произведением матрицы-строки с четырьмя элементами на матрицу-столбец также с четырьмя элементами, произведение двух пятимерных векторов – произведением матрицы-строки с пятью элементами на матрицу-столбец также с пятью элементами и так далее.

Пример 7. Найти скалярные произведения пар векторов

,

используя матричное представление.

Решение. Первая пара векторов. Представляем первый вектор в виде матрицы-строки, а второй – в виде матрицы-столбца. Находим скалярное произведение этих векторов как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец:

Аналогично представляем вторую пару и находим:

Как видим, результаты получились те же, что и у тех же пар из примера 2.

Угол между двумя векторами

Вывод формулы косинуса угла между двумя векторами очень красив и краток.

Чтобы выразить скалярное произведение векторов

(1)

в координатной форме, предварительно найдём скалярные произведение ортов. Скалярное произведение вектора на само себя по определению:

То, что записано в формуле выше, означает: скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины. Косинус нуля равен единице, поэтому квадрат каждого орта будет равен единице:

Так как векторы

попарно перпендикулярны, то попарные произведения ортов будут равны нулю:

Теперь выполним умножение векторных многочленов:

Подставляем в правую часть равенства значения соответствующих скалярных произведений ортов:

Получаем формулу косинуса угла между двумя векторами:

Пример 8. Даны три точки A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Найти угол .

Решение. Находим координаты векторов:

,

.

По формуле косинуса угла получаем:

Следовательно, .

Пример 9. Даны два вектора

Найти сумму, разность, длину, скалярное произведение и угол между ними.

5.Угол между и :

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 10. Определить, какой угол (острый, тупой или прямой) образуют и .

Пример 11. Определить угол треугольника ABC при вершине A, если , , .

Пример 12. На векторах и построен параллелограмм. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, если , , угол .

Пример 13. Среди векторов

Найти а) коллинеарные; б) ортогональные.

а) проверим пропорциональность соответствующих координат векторов – условие коллинеарности (повторение материала предыдущей части темы “Векторы”).

Для векторов и :

Равенство не выполняется.

Для векторов и :

Для векторов и :

Равенство не выполняется.

Наше исследование показало, что коллинеарны векторы и .

б) найдём скалярные произведения векторов.

Наше исследование показало, что ортогональны векторы и и и .

Применения скалярного произведения векторов

Расчёт работы постоянной силы

Посмотрите ещё раз на рисунок в начале статьи. Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из начала координат в конец вектора B под действием постоянной силы F = A, образующей угол с перемещением S = A. Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна . Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении её точки приложения равна скалярному произведению вектора силы F = B на вектор перемещения S = A.

Скалярное произведение векторов позволяет находить угол между двумя векторами. Поэтому оно часто встречается в последующих разделах математики, особенно, аналитической геометрии. Стоит ли говорить о том, что нахождение скалярного произведения векторов – фундаментальный навык для любого будущего инженера, проектирующего всё что угодно, от гладильных досок и лестниц-стремянок до зданий, или для программиста, собирающегося разрабатывать игры?

Экономический смысл скалярного произведения векторов

В экономических задачах можно рассматривать скалярное произведение вектора цен p
на вектор объёма проданных товаров x . Скалярное произведение px в этом случае даёт суммарную стоимость проданных товаров x при ценах p . Например, если объём всех товаров, проданных предприятием, выражается вектором x = (400; 750; 200; 300), элементы которого означают соответственно количество товаров различных групп, а цены в одних и тех же денежных единицах заданы в соответствующем порядке вектором p = (3; 2,1; 1,2; 0,5), то скалярное произведение

выражает суммарную стоимость всех товаров x.

Угол между векторами.

Формула вычисления угла между векторами

cos α =	a · b
| a |·| b |

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	24	=	24	= 0.96
| a | · | b |	5 · 5	25

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	40	=	40	=	4	= 0.8
| a | · | b |	5√ 2 · 5√ 2	50	5

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	28	=	14
| a | · | b |	5 · 6	15

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно – 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = – 9 3 · 6 = – 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( – 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = – 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , – 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( – 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( – 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = – 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( – 1 70 ) = – a r c cos 1 70

1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( – 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( – 1 ) · 3 = – 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = – 1 5 · 14 = – 1 70 ⇒ a → , b → ^ = – a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = – a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , – 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , – 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 – 2 , – 2 – ( – 1 ) ) = ( 5 , – 1 ) B C → = ( 7 – 3 , – 2 – 2 ) = ( 4 , – 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( – 1 ) · ( – 4 ) 5 2 + ( – 1 ) 2 · 4 2 + ( – 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 – 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → – a → 2 = a → + b → – 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 – b → – a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

[spoiler title=”источники:”]

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/angl/

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/nahozhdenie-ugla-mezhdu-vektorami-primery-i-reshen/

[/spoiler]

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач можно у нас всего за 10 минут.

Скалярное произведение векторов

Формула

Пусть даны векторы $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $. Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y $$ Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.

Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z $$

По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.

Примеры решений

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов $ overline{a} = (-1;2) $ и $ overline{b} = (2;1) $

Решение

В данном примере векторы заданы двумя координатами, поэтому применяем первую формулу для плоской задачи. Умножаем соответствующие координаты, а потом складываем их: $$ (overline{a},overline{b}) = -1 cdot 2 + 2 cdot 1 = -2 + 2 = 0 $$ Произведение получилось равным нулю, а это кстати означает, что векторы оказались ортогональными (перпендикулярными) друг к другу. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ (overline{a},overline{b}) = 0 $$

Пример 2

В пространстве заданы начала и концы векторов: $$ A = (1;3;-2), B = (-1;4;1), C = (2; 1; -2) $$ Требуется найти скалярное произведение векторов $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $.

Решение

В примеры решения данной задачи даны только точки и сразу вычислить произведение векторов не представляется возможным. Сначала нужно найти сами векторы $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. Вычисляются они с помощью разности соответствующих координат точек (из конца вычитается начало вектора): $$ overline{AB} = (-1 – 1; 4-3; 1-(-2)) = (-2; 1; 3) $$ $$ overline{AC} = (2 – 1; 1 – 3; -2 – (-2)) = (1; -2; 0) $$ Теперь, когда необходимые векторы найдены, то вычисляем их произведение: $$ (overline{AB},overline{AC}) = -2 cdot 1 + 1 cdot (-2) + 3 cdot 0 = -2-2+0 = -4 $$

Ответ

$$ (overline{AB},overline{AC}) = -4 $$

В статье мы ответили на вопрос: «Как найти скалярное произведение векторов?», а так же привели формулы и примеры решений задач.

Векторно-скалярным (или смешанным) произведением трех векторов , и называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор , т. е. .
Векторно-скалярное произведение обозначается так:

.
Векторно-скалярное произведение имеет простой геометрический смысл; оно есть число, выражающее объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , взятого со знаком плюс, если тройка , и правая, и со знаком минус, если эта тройка левая (рис.1).

Рис.1

Векторы , и образуют правую тройку, если они расположены, как указано на рисунке 2, и левую тройку, если они расположены, как указано на рисунке 3. Круговая перестановка трех множителей векторно-скалярного произведения не меняет его величины.

Рис.2

Перестановка двух соседних множителей меняет знак произведения:

Рис.3

Векторно-скалярное произведение равно нулю, если векторы компланарны.
Следовательно, равенство есть условие компланарности трех векторов. Если векторы , и заданы своими проекциями:

то векторно-скалярное произведение равно:

Отсюда, объем V параллелепипеда, построенного на векторах , и , вычисляется по формуле:

Условие, необходимое и достаточное для компланарности векторов, записывается так:

Объем треугольной пирамиды равен абсолютной величины векторно-скалярного произведения, составленного из трех векторов – ребер, выходящих из одной вершины, т. е: