Векторы. Действия с векторами. Задание 4 (2015)
Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор, как находить его длину, и как умножать вектор на число, а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.
Как обычно, немного самой необходимой теории.
Вектор – это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:
Здесь точка А – начало вектора, а точка В – его конец.
У вектора есть два параметра: его длина и направление.
Длина вектора – это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается
Два вектора называются равными , если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.
Два вектора называются сонаправленными , если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора и сонаправлены:
Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора и , а также и направлены в противоположные стороны:
Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными : вектора , и – коллинеарны.
Произведением вектора на число называется вектор, сонаправленный вектору , если 0″ title=”k>0″/>, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :
=k:
Чтобы сложить два вектора и , нужно начало вектора соединить с концом вектора . Вектор суммы соединяет начало вектора с концом вектора :
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника .
Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма , нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку начала векторов с противоположным углом параллелограмма:
Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор :
:
Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов : чтобы из вектора вычесть вектор , нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора с концом вектора ( то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):
Чтобы найти угол между вектором и вектором , нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами:
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Предлагаю вам решить задачи из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике , а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:
1 . Задание 4 (№ 27709)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов и .
2 . Задание 4 (№ 27710)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
3 . Задание 4 (№ 27711)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов и .
4 . Задание 4 (№ 27712)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
5 . Задание 4 (№ 27713)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора .
6 . Задание 4 (№ 27714)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .
7 .Задание 4 (№ 27715)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора – .(чертеж из предыдущей задачи).
8 .Задание 4 (№ 27716)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора – .
9 . Задание 4 (№ 27717)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .
10 . Задание 4 (№ 27718)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора – .(чертеж из предыдущей задачи).
11 .Задание 4 (№ 27719)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов и .(чертеж из предыдущей задачи).
12 . Задание 4 (№ 27720)
Стороны правильного треугольника ABC равны Найдите длину вектора +.
13 . Задание 4 (№ 27721)
Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора -.(чертеж из предыдущей задачи).
14 . Задание 4 (№ 27722)
Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
Сумма векторов. Длина вектора. Задачи!
Сумма векторов. Длина вектора. Дорогие друзья, в составе типов задний экзамена присутствует группа задач с векторами. Задания довольно широкого спектра (важно знать теоретические основы). Большинство решается устно. Вопросы связаны с нахождением длины вектора, суммы (разности) векторов, скалярного произведения. Так же много заданий, при решении которых необходимо осуществить действия с координатами векторов.
Теория касающаяся темы векторов несложная, и её необходимо хорошо усвоить. В этой статье разберём задачи связанные с нахождением длины вектора, также суммы (разности) векторов. Некоторые теоретические моменты:
Вектор — это направленный отрезок.
Все векторы, имеющие одинаковое направление и равные по длине являются равными.
*Все представленные выше четыре вектора равны!
То есть, если мы будем при помощи параллельного переноса перемещать данный нам вектор, то всегда получим вектор равный исходному. Таким образом, равных векторов может быть бесчисленное множество.
Вектор может быть обозначен латинскими заглавными буквами, например:
При данной форме записи сначала записывается буква обозначающая начало вектора, затем буква обозначающая конец вектора.
Ещё вектор обозначается одной буквой латинского алфавита (прописной):
Возможно также обозначение без стрелок:
Суммой двух векторов АВ и ВС будет являться вектор АС .
Записывается как АВ + ВС = АС .
Это правило называется – правилом треугольника.
То есть, если мы имеем два вектора – назовём их условно (1) и (2), и конец вектора (1) совпадает с началом вектора (2), то суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом вектора (1), а конец совпадает с концом вектора (2).
Вывод: если мы имеем на плоскости два вектора, то всегда сможем найти их сумму. При помощи параллельного переноса можно переместить любой из данных векторов и соединить его начало с концом другого. Например:
Перенесём вектор b, или по-другому – построим равный ему:
Как находится сумма нескольких векторов? По тому же принципу:
Это правило является следствием изложенного выше.
Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.
Построим вектор равный вектору b так, чтобы его начало совпадало с концом вектора a, и мы можем построить вектор, который будет являться их суммой:
Ещё немного важной информации, необходимой для решения задач.
Вектор, равный по длине исходному, но противоположно направленный, обозначается также но имеет противоположный знак:
Эта информация крайне полезна для решения задач, в которых стоит вопрос о нахождении разности векторов. Как видите, разность векторов это та же сумма в изменнёном виде.
Пусть даны два вектора, найдём их разность:
Мы построили вектор противоположный вектору b, и нашли разность.
Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть соответствующие координаты начала:
То есть, координаты вектора представляют собой пару чисел.
И координаты векторов имеют вид:
Модулем вектора называется его длина, определяется по формуле:
Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца:
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину разности векторов АО и ВО .
Найдём вектор, который будет являться результатом АО – ВО:
АО – ВО = АО +(– ВО )= АВ
То есть разность векторов АО и ВО будет являться вектор АВ. А его длина равна восьми.
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора АВ + AD .
Найдём вектор, который будет являться суммой векторов AD и AB . Вектор BC равен вектору AD . Значит AB + AD = AB + BC = AC
Длина вектора AC это длина диагонали ромба АС, она равна 16.
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО + ВО .
Найдём вектор, который будет являться суммой векторов АО и ВО . Вектор ВО равен вектору OD, з начит
Длина вектора AD это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы в прямоугольном треугольнике AOD. Вычислим катеты:
По теореме Пифагора:
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО – ВО .
Найдём вектор, который будет являться результатом АО – ВО :
Длина вектора АВ это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы АВ в прямоугольном треугольнике AOB. вычислим катеты:
По теореме Пифагора:
Стороны правильного треугольника ABC равны 3.
Найдите длину вектора АВ – АС .
Найдём результат разности векторов:
Длина вектора СВ равна трём, так как в условии сказано, что треугольник равносторонний и его стороны равны 3.
27663. Найдите длину вектора а (6;8).
27664. Найдите квадрат длины вектора АВ .
27707. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину вектора АС .
27708. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину суммы векторов AB и AD .
27709. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов AB и AD .
27711. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов АО и ВО .
27713. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора АВ .
27715. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16.
Найдите длину вектора АВ – AD .
27716. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16.
Найдите длину вектора АВ – АС .
Стороны правильного треугольника ABC равны 2√3. Найдите длину вектора АВ + АС .
В будущем мы продолжим рассматривать задачи с векторами, не пропустите! Задания будут связаны с координатами векторов, скалярным произведением.
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр
Вступительный экзамен по математике. Преподаватели приглашают первого абитуриента:
— Сколько будет два плюс два?
— Три! — Нет! — Пять! — Нет! — Шесть!
— Неправильно! Да… дурак, но ищущий… берем!
Заходит второй абитуриент:
— Сколько будет два плюс два?
— Три! — Нет! — Три! — Нет! — Три!
— Неправильно! Да… дурак, но настырный… берем!
Заходит третий абитуриент:
— Сколько будет два плюс два?
— Четыре, конечно!
— Да… умный. Но мест уже нет!
Нахождение координат вектора
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.
Нахождение координат вектора
Для того, чтобы найти координаты вектора AB , нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).
Формулы для определения координат вектора
” data-lang=”default” data-override=”<“emptyTable”:””,”info”:””,”infoEmpty”:””,”infoFiltered”:””,”lengthMenu”:””,”search”:””,”zeroRecords”:””,”exportLabel”:””,”file”:”default”>” data-merged=”[]” data-responsive-mode=”2″ data-from-history=”0″>
| Для плоских задач | AB = x – Ax; By – Ay> |
| Для трехмерных задач | AB = x – Ax; By – Ay; Bz – Az> |
| Для n-мерных векторов | AB = 1 – A1; B2 – A2; . Bn – An> |
Примеры задач
Задание 1
Найдем координаты вектора AB , если у его точек следующие координаты: , .
Задание 2
Определим координаты точки B вектора , если координаты точки .
Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
Bx = AB x + Ax = 6 + 2 = 8.
By = AB y + Ay = 14 + 5 = 19.
[spoiler title=”источники:”]
http://matematikalegko.ru/vektori/summa-vektorov-dlina-vektora-zadachi.html
[/spoiler]
Скалярное произведение векторов
Формула
Пусть даны векторы $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $. Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y $$ Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.
Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z $$
По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти скалярное произведение векторов $ overline{a} = (-1;2) $ и $ overline{b} = (2;1) $ |
| Решение |
|
В данном примере векторы заданы двумя координатами, поэтому применяем первую формулу для плоской задачи. Умножаем соответствующие координаты, а потом складываем их: $$ (overline{a},overline{b}) = -1 cdot 2 + 2 cdot 1 = -2 + 2 = 0 $$ Произведение получилось равным нулю, а это кстати означает, что векторы оказались ортогональными (перпендикулярными) друг к другу. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ (overline{a},overline{b}) = 0 $$ |
| Пример 2 |
|
В пространстве заданы начала и концы векторов: $$ A = (1;3;-2), B = (-1;4;1), C = (2; 1; -2) $$ Требуется найти скалярное произведение векторов $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. |
| Решение |
|
В примеры решения данной задачи даны только точки и сразу вычислить произведение векторов не представляется возможным. Сначала нужно найти сами векторы $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. Вычисляются они с помощью разности соответствующих координат точек (из конца вычитается начало вектора): $$ overline{AB} = (-1 – 1; 4-3; 1-(-2)) = (-2; 1; 3) $$ $$ overline{AC} = (2 – 1; 1 – 3; -2 – (-2)) = (1; -2; 0) $$ Теперь, когда необходимые векторы найдены, то вычисляем их произведение: $$ (overline{AB},overline{AC}) = -2 cdot 1 + 1 cdot (-2) + 3 cdot 0 = -2-2+0 = -4 $$ |
| Ответ |
| $$ (overline{AB},overline{AC}) = -4 $$ |
В статье мы ответили на вопрос: «Как найти скалярное произведение векторов?», а так же привели формулы и примеры решений задач.
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления скалярного произведения векторов
Формула
Для того чтобы найти скалярное произведение двух векторов, заданных своими
координатами, необходимо вычислить сумму произведений
соответствующих координат этих векторов. Для случая, если векторы заданны на плоскости координатами $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, имеет место формула:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}$$
Если же векторы заданы в пространстве своими координатами: $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$ соответственно, то их скалярное произведение вычисляется по формуле:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}$$
Примеры вычисления скалярного произведения векторов
Пример
Задание. Найти скалярное произведение векторов $bar{a}=(1 ;-3)$ и $bar{b}=(-2 ;-3)$
Решение. Векторы заданны на плоскости, поэтому для вычисления их скалярного произведения воспользуемся формулой
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}$$
Подставляя координаты заданных векторов, получим
$$(bar{a}, bar{b})=1 cdot(-2)+(-3) cdot(-3)=-2+9=7$$
Ответ. $(bar{a}, bar{b})=7$ lt /$>
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. В пространстве заданы точки
$A(-1 ;-2 ; 5), B(-3 ; 2 ; 1)$ и $C(0 ; 1 ;-1)$ . Найти скалярное произведение векторов
$overline{A B}$ и
$overline{A C}$
Решение. Найдем сначала координаты векторов
$overline{A B}$ и
$overline{A C}$ . Для этого из координат конца вычислим соответствующие
координаты начала, получим:
$$overline{A B}=(-3-(-1) ; 2-(-2) ; 1-5)=(-2 ; 4 ;-4)$$
$$overline{A C}=(0-(-1) ; 1-(-2) ;-1-5)=(1 ; 3 ;-6)$$
Далее воспользуемся формулой для вычисления скалярного произведения векторов, заданных в пространстве:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}$$
Получим
$$(overline{A B}, overline{A C})=(-2) cdot 1+4 cdot 3+(-4)(-6)=-2+12+24=34$$
Ответ. $(overline{A B}, overline{A C})=34$
Читать дальше: как найти векторное произведение векторов.
Скалярное произведение векторов также является скалярной величиной, вычислить ее значение можно, воспользовавшись формулой a х b = |a| х |b| х cos α. В ином варианте вычисление произведения векторов на плоскости осуществляется попарным умножением значений координат векторов a • b = ax х bx + ay х by. Например, для 2-х векторов с координатами a = {3; 5} и b = {4; 3} скалярное произведение будет равно 3 х 4 + 5 х 3 = 27.
В случае рассмотрения скалярного произведения векторов, которые располагаются в системе координат XYZ, a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} расчет выполняется по аналогичным плоскостному варианту формулам. a • b = ax х bx + ay х by + az х bz.
Например, для 2-х векторов с координатами a = {3; 5; 2} и b = {4; 3; 5} скалярное произведение будет равно 3 х 4 + 5 х 3 + 2 х 5 = 37.
Общая для n-мерного пространства формула расчета будет иметь вид: a • b = a1 х b1 + a2 х b2 + … + an х bn.
Скалярное произведение векторов (далее в тексте СП). Дорогие друзья! В состав экзамена по математике входит группа задач на решение векторов. Некоторые задачи мы уже рассмотрели. Можете посмотреть их в категории «Векторы». В целом, теория векторов несложная, главное последовательно её изучить. Вычисления и действия с векторами в школьном курсе математики просты, формулы не сложные. Загляните в справочник. В этой статье мы разберём задачи на СП векторов (входят в ЕГЭ). Теперь «погружение» в теорию:
Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала
И ещё:
*Длина вектора (модуль) определяется следующим образом:
Данные формулы необходимо запомнить!!!
Покажем угол между векторами:
Понятно, что он может изменяться в пределах от 0 до 1800 (или в радианах от 0 до Пи).
Можем сделать некоторые выводы о знаке скалярного произведения. Длины векторов имеют положительное значение, это очевидно. Значит знак скалярного произведения зависит от значения косинуса угла между векторами.
Возможны случаи:
1. Если угол между векторами острый (от 00 до 900), то косинус угла будет иметь положительное значение.
2. Если угол между векторами тупой (от 900 до 1800), то косинус угла будет иметь отрицательное значение.
*При нуле градусов, то есть когда векторы имеют одинаковое направление, косинус равен единице и соответственно результат будет положительным.
При 180о, то есть когда векторы имеют противоположные направления, косинус равен минус единице, и соответственно результат будет отрицательным.
Теперь ВАЖНЫЙ МОМЕНТ!
При 90о, то есть когда векторы перпендикулярны друг другу, косинус равен нулю, а значит и СП равно нулю. Этот факт (следствие, вывод) используется при решение многих задач, где речь идёт о взаимном расположении векторов, в том числе и в задачах входящих в открытый банк заданий по математике.
Сформулируем утверждение: скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы лежат на перпендикулярных прямых.
Итак, формулы СП векторов:
Если известны координаты векторов или координаты точек их начал и концов, то всегда сможем найти угол между векторами:
Рассмотрим задачи:
27724 Найдите скалярное произведение векторов a и b.
Скалярное произведение векторов мы можем найти по одной из двух формул:
Угол между векторами неизвестен, но мы без труда можем найти координаты векторов и далее воспользоваться первой формулой. Так как начала обоих векторов совпадают с началом координат, то координаты данных векторов равны координатам их концов, то есть
Как найти координаты вектора изложено в этой статье.
Вычисляем:
Ответ: 40
Найдём координаты векторов и воспользуемся формулой:
Чтобы найти координаты вектора необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала, значит
Вычисляем скалярное произведение:
Ответ: 40
Найдите угол между векторами a и b. Ответ дайте в градусах.
Пусть координаты векторов имеют вид:
Для нахождения угла между векторами используем формулу скалярного произведения векторов:
Косинус угла между векторами:
Следовательно:
Координаты данных векторов равны:
Подставим их в формулу:
Угол между векторами равен 45 градусам.
Ответ: 45
Посмотреть решение
Посмотреть решение
27710. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов АВ и AD.
Посмотреть решение
27719. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов AB и BO.
Посмотреть решение
27719. Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов AB и АС.
Посмотреть решение
На этом всё! Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких.
На уроке физкультуры: — Так, парни, кто из вас курит? Честно! Не врать! Так. … значит, ты… и ты. … Понятно… Значит, так: мы с вами покурим, остальным — пять кругов по стадиону.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
