Как найти скалярное произведение векторов по рисунку

Скалярное произведение векторов

Формула

Пусть даны векторы $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $. Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y $$ Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.

Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z $$

По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.

Примеры решений

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов $ overline{a} = (-1;2) $ и $ overline{b} = (2;1) $

Решение

В данном примере векторы заданы двумя координатами, поэтому применяем первую формулу для плоской задачи. Умножаем соответствующие координаты, а потом складываем их: $$ (overline{a},overline{b}) = -1 cdot 2 + 2 cdot 1 = -2 + 2 = 0 $$ Произведение получилось равным нулю, а это кстати означает, что векторы оказались ортогональными (перпендикулярными) друг к другу. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ (overline{a},overline{b}) = 0 $$

Пример 2

В пространстве заданы начала и концы векторов: $$ A = (1;3;-2), B = (-1;4;1), C = (2; 1; -2) $$ Требуется найти скалярное произведение векторов $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $.

Решение

В примеры решения данной задачи даны только точки и сразу вычислить произведение векторов не представляется возможным. Сначала нужно найти сами векторы $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. Вычисляются они с помощью разности соответствующих координат точек (из конца вычитается начало вектора): $$ overline{AB} = (-1 – 1; 4-3; 1-(-2)) = (-2; 1; 3) $$ $$ overline{AC} = (2 – 1; 1 – 3; -2 – (-2)) = (1; -2; 0) $$ Теперь, когда необходимые векторы найдены, то вычисляем их произведение: $$ (overline{AB},overline{AC}) = -2 cdot 1 + 1 cdot (-2) + 3 cdot 0 = -2-2+0 = -4 $$

Ответ

$$ (overline{AB},overline{AC}) = -4 $$

В статье мы ответили на вопрос: «Как найти скалярное произведение векторов?», а так же привели формулы и примеры решений задач.

Содержание:

• Формула
• Примеры вычисления скалярного произведения векторов

Формула

Для того чтобы найти скалярное произведение двух векторов, заданных своими
координатами, необходимо вычислить сумму произведений
соответствующих координат этих векторов. Для случая, если векторы заданны на плоскости координатами $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, имеет место формула:

Если же векторы заданы в пространстве своими координатами: $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$ соответственно, то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

Примеры вычисления скалярного произведения векторов

Читать дальше: как найти векторное произведение векторов.

План урока:

Угол между векторами

Понятие скалярного произведения векторов

Скалярное произведение в координатах

Определение перпендикулярности векторов и прямых

Вычисление угла между векторами

Свойства скалярного произведения

Угол между векторами

Любую пару векторов можно отложить от одной точки. Если при этом вектора не сонаправлены друг с другом, то они образуют некоторый угол. Его и именуют углом между векторами.

Если же пара векторов сонаправлена, то принято считать, что угол между такими векторами составляет 0°.

На рисунке показаны два вектора, a и b. Чтобы определить угол между a и b, надо отложить их от одной и той же точки:

В приведенном примере угол составил 135°. Для обозначения этого угла может быть использована такая запись:

Задание. В квадрате АВСD проведены диагонали, они пересекаются в точке О. Определите, какой угол образуют вектора:

Так как в квадрате диагонали пересекаются под углом 90°, а со сторонами образуют угол 45°, то мы легко определим, что

Здесь нам помог тот факт, что вектора из пунктов а) и б) изначально отложены из одной точки. С пунктом в) ситуация сложнее. Надо отложить от точки А вектор ОА и определить угол, образующийся при этом:

Пусть после откладывания вектора ОА от А получился вектора АА’. Нам надо найти ∠ВАА’. Нам уже известен ∠ОАВ, который является смежным с ∠ВАА’, поэтому можно записать равенство:

Ответ: а) 45°; б) 90°; в) 135°.

Понятие скалярного произведения векторов

Большое распространение в науке получила математическая операция, именуемая скалярным произведением векторов. В геометрии оно помогает находить угол между векторами, а в физике вычислять некоторые физические величины. В рамках школьной программы его используют для нахождения работы, совершенной той или иной силой. В рамках же более сложных дисциплин, с которыми мало кто сталкивается, оно применяется в квантовой механике и специальных разделах математики – тензорной алгебре, теории многообразий и т. п. Ввел его в науку Уильям Гамильтон в 1846 г, который разрабатывал теорию особых чисел – кватерионов. Они, кстати, используются компьютерами для расчетов трехмерной графики в играх и других приложениях.

Прежде, чем мы научимся применять на практике скалярное произведение, сначала сформулируем правило, позволяющее вычислить его.

Например, пусть есть вектора a и b, причем даны их длины:

Угол между a и b тоже известен и составляет 60°, это записывается таким образом:

Задание. Вычислите скалярное произведение векторов d и f, если их длины составляют 6 и 10 соответственно, а угол между векторами равен 45°.

Решение. Просто подставляем числа из условия в формулу:

Задание. АВС – равносторонний треугольник со стороной 4. Каково скалярное произведение векторов АВ и АС?

Решение. Все углы в равностороннем треугольнике равны 60°, поэтому и угол между АВ и АС также составляет 60°.

Ответ: 8.

Напомним, что косинус, взятый от острого угла – это положительная величина, а косинус тупого угла – это отрицательное число. У прямого же угла косинус равен нулю. Это означает, что по знаку скалярного произведения можно определить тип угла между векторами.

Часто скалярное произведение применяется в физике. Например, с его помощью рассчитывается работа, совершаемая силой при перемещении того или иного тела. И сила, и перемещение – это векторные величины. Чтобы найти работу силы, надо скалярно перемножить вектора силы и перемещения:

Эта формула отражает физический смысл скалярного произведения.

Задание. Под воздействием силы 10Н тело переместилось в горизонтальном направлении на 3 метра. При этом сила образует угол 60° с направлением перемещения тела. Какую работу совершила сила?

Решение.

Скалярное произведение в координатах

Оказывается, что для перемножения векторов достаточно знать только их координаты.

Докажем эту формулу. Сначала рассмотрим случай, когда один из перемножаемых векторов, например a, является нулевым. Тогда у него нулевая длина и нулевые координаты:

Теперь рассмотрим случай, когда оба перемножаемых вектора ненулевые. Тогда отложим их от некоторой точки О и, если вектора неколлинеарны, то мы получим ∆ОАВ:

Для частных случаев, когда a и b коллинеарны (то есть либо сонаправлены, либо противоположно направлены), эта формула также справедлива. Если aи b сонаправлены, то угол α принимается равным нулю (и cosα = 1):

Если же a и b направлены противоположно, то α = 180° (и cosα = – 1):

Итак, мы убедились, что в любой ситуации формула (1) справедлива. При этом вектор АВ можно представить как разность a и b:

Если вектор а имеет координаты {x₁; у₁}, а координаты b– это {x₂; у₂},то координаты их разности a – b будут записываться в виде {х₁ – х₂;у₁ – у₂}. С учетом этого (2) примет вид

В результате нам удалось доказать формулу скалярного произведения через координаты:

Задание. Перемножьте скалярно вектораa и b, если определены их координаты:

Ответ: а) 23; б) 0; в) 5.

Определение перпендикулярности векторов и прямых

Напомним, что скалярное произведение оказывается нулевым исключительно в случае перпендикулярности векторов. Это позволяет использовать его для проверки перпендикулярности векторов.

Задание. Проверьте, являются ли перпендикулярными вектора:

Решение. В каждом случае мы должны скалярно перемножить пару векторов. Если результат окажется нулевым, то можно сделать вывод о перпендикулярности векторов. В противном случае они не перпендикулярны. Первый вектор будет обозначать буквой а, а второй – буквой b:

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.

Задание. При каком значении переменной х вектора а{4; 5} и b{x; – 6} окажутся перпендикулярными?

Решение. Перемножим скалярно вектора и получим некоторое выражение с переменной x:

Найдем, при каком х это выражение обращается в нуль, то есть вектора становятся перпендикулярными:

Задание. Определите, перпендикулярны ли прямые АВ и CD, если даны координаты точек: А(3; 8), В(4; 10), С(7;12) и D(5;13).

Решение. В этой задаче сначала надорассчитать координаты векторов АВ и CD по координатамих начальной и конечной точки:

Мы вычислили координаты векторов: АВ{1; 2} и CD{– 2; 1}. Теперь мы можем проверить их перпендикулярность, скалярно перемножив вектора:

Мы получили ноль. Это означает, что АВ и CD – перпендикулярные вектора. Значит, и прямые, на которых они лежат, также перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

Задание. Перпендикулярны ли друг другу прямые, задаваемые уравнениями

Названия точкам в данном примере присвоены произвольно. На следующем шаге по координатам точек мы находим координаты векторов, лежащих на исследуемых прямых:

Полученный ноль показывает, что исходные прямые перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

В случае, когда прямые заданы уравнениями, необязательно проделывать столь длительные вычисления для определения их перпендикулярности. Есть теорема, сокращающая объем вычислений.

Докажем это утверждение. Пусть две прямые заданы уравнениями

Найдем какие-нибудь точки этих прямых. Для этого подставим в уравнения значения х = 0 и х = 1:

Прямые окажутся перпендикулярными исключительно в том случае, если это выражение будет нулевым. Это условие перпендикулярности можно записать как уравнение:

В результате мы получили доказываемую нами формулу.

Задание. Проверьте, какие из этих пар прямых перпендикулярны:

Решение. В каждом случае надо просто перемножить угловые коэффициенты прямых, то есть числа, стоящие перед переменной х. Другие числа в этих уравнениях (свободные коэффициенты) никак не влияют на перпендикулярность. Если вычисленное произведение окажется равным (– 1), то из этого будет вытекать перпендикулярность прямых.

Вычисление угла между векторами

Мы научились по координатам векторов определять, перпендикулярны ли они. Однако в более общем случае можно рассчитать угол и между двумя неперпендикулярными векторами.

В самом деле, по известным координатам векторов легко как рассчитать длину каждого из них, так и скалярно перемножить вектора. Тогда из формулы скалярного произведения можно выразить значение косинуса угла между векторами:

Зная же косинус, можно рассчитать и сам угол, используя специальные таблицы либо функцию арккосинуса на калькуляторе.

Задание. Вычислите угол между векторами а{3; 4} и b{8; 15}.

Решение. Сначала рассчитываем длины векторов:

Задание. Точки А(2; 8), В(– 1; 5) и С(3; 1) соединили отрезками и получили ∆АВС. Вычислите угол ∠А в ∆АВС.

Решение.∠А данного треугольника представляет собой угол между двумя векторами АВ и АС. Вычислим координаты этих векторов:

Осталось лишь с помощью калькулятора найти сам ∠А:

Свойства скалярного произведения

Существует несколько важных свойств скалярного произведения. Эти свойства очень схожи с законами алгебры, которые используются при работе с обычными числами.

Переместительный закон легко доказать, опираясь только на определение операции скалярного произведения:

Задание. Известно, что угол между векторами a и с составлет 60°, так же как и угол между векторами b и с. Определены и длины векторов:

Задание. Найдите скалярное произведение векторов p и q, если

Решение. Сначала надо перемножить вектора и раскрыть при этом скобки также, как они раскрываются при перемножении обычных чисел:

Примечание. Иногда скалярное произведение вектора на самого себя именуют скалярным квадратом.

Тогда выражение (1) примет вид:

В сегодняшнем уроке мы узнали, что такое скалярное произведение. Оно имеет много приложений в физике и других науках, в частности, с его помощью вычисляется работа. В геометрии оно помогает вычислять углы между векторами, а значит, и между прямыми. В будущем, при более углубленном изучении геометрии, вы узнаете о существовании других типов произведений векторов – векторном и смешанном.

Почему скалярное произведение векторов называется именно скалярным и что представляет собой? Чем оно отличается от результатов других операций над векторами? Что такое скаляр? Скаляр — это число.

И скалярное произведение векторов — это тоже число. Этим оно и отличается от уже рассмотренной суммы векторов, и от векторного произведения векторов, которое ещё предстоит рассмотреть.

Скалярное произведение векторов: теория и решения задач

В отличие от скалярного произведения, сумма векторов — это вектор, и векторное произведение — тоже вектор.

Определение 1. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. Формула скалярного произведения векторов согласно определению 1. Можно встретить и другое название этой операции: внутреннее произведение.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом. На этом уроке будем решать распространённые задачи не только на непосредственное вычисление скалярного произведения, но и на выяснение ортогональности (перпендикулярности) векторов, вида угла (тупой, острый, прямой) между векторами, вычисление скалярного произведения векторов, которые даны в координатах, вычисление длин диагоналей параллелограма, построенного на вектора.

Но все по порядку. Перед каждым видом задач будем обращать внимание на то, что на этот счёт гласит теория. По ходу урока вам пригодится онлайн-калькулятор для проверки решения задач на скалярное произведение векторов.

Если в задаче и длины векторов, и угол между ними преподнесены «на блюдечке с голубой каёмочкой», то условие задачи и её решение выглядят так:

Пример 1. Даны векторы . Найти скалярное произведение векторов , если их длины и угол между ними представлены следующими значениями:

Решение:

Справедливо и другое определение, полностью равносильное определению 1.

Определение 2. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длины одного их этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Формула согласно определению 2:

•    (2)
• или
•    (3)

Задачу с применением этой формулы решим после следующего важного теоретического пункта.

Определение скалярного произведения векторов через координаты

То же самое число можно получить, если перемножаемые векторы заданы своими координатами.

Определение 3. Скалярное произведение векторов — это число, равное сумме попарных произведений их соответствующих координат.

На плоскости

Если два вектора и на плоскости определены своими двумя декартовыми прямоугольными координатами и, то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

Пример 2. Найти численную величину проекции вектора на ось, параллельную вектору. Решение. Находим скалярное произведение векторов, складывая попарные произведения их координат:

Теперь нам требуется приравнять полученное скалярное произведение произведению длины вектора на проекцию вектора на ось, параллельную вектору (в соответствии с формулой ). Находим длину вектора как квадратный корень из суммы квадратов его координат:

Составляем уравнение и решаем его:

Ответ. Искомая численная величина равна минус 8.

В пространстве

Если два вектора и в пространстве определены своими тремя декартовыми прямоугольными координатами

и

то скалярное произведение этих векторов также равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, только координат уже три.

Задача на нахождение скалярного произведения рассмотренным способом — после разбора свойств скалярного произведения. Потому что в задаче потребуется определить, какой угол образуют перемножаемые векторы.

Свойства скалярного произведения векторов

1. переместительное свойство: от перемены местами перемножаемых векторов величина их скалярного произведения не меняется).
2. сочетательное относительно числового множителя свойство: скалярное произведение вектора, умноженного на некоторый множитель, и другого вектора, равно скалярному произведению этих векторов, умноженному на тот же множитель).
3. распределительное относительно суммы векторов свойство: скалярное произведение суммы двух векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений первого вектора на третий вектор и второго вектора на третий вектор).
4. скалярный квадрат вектора больше нуля), если — ненулевой вектор, и , если — нулевой вектор.

В определениях изучаемой операции мы уже касались понятия угла между двумя векторами. Пора уточнить это понятие. На рисунке выше видны два вектора, которые приведены к общему началу. И первое, на что нужно обратить внимание: между этими векторами существуют два угла — φ1 и φ2.

Какой из этих углов фигурирует в определениях и свойствах скалярного произведения векторов? Сумма рассмотренных углов равна 2π и поэтому косинусы этих углов равны. В определение скалярного произведения входит только косинус угла, а не значение его выражения.

Но в свойствах рассматривается только один угол. И это тот из двух углов, который не превосходит π, то есть 180 градусов. На рисунке этот угол обозначен как φ1:

1. Два вектора называют ортогональными и угол между этими векторами — прямой (90 градусов или π/2), если скалярное произведение этих векторов равно нулю. Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов.
2. Два ненулевых вектора составляют острый угол (от 0 до 90 градусов, или, что тоже самое — меньше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно.
3. Два ненулевых вектора составляют тупой угол (от 90 до 180 градусов, или, что то же самое — больше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.

Источник: https://function-x.ru/vectors_scalar.html

Угол между векторами

Рассмотрим два данных вектора $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$. Отложим от произвольно выбранной точки $O$ векторы $overrightarrow{a}=overrightarrow{OA}$ и $overrightarrow{b}=overrightarrow{OB}$, тогда угол $AOB$ называется углом между векторами $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ (рис. 1).

Отметим здесь, что если векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ сонаправлены или один из них является нулевым вектором, тогда угол между векторами равен $0^0$.

Обозначение: $widehat{overrightarrow{a},overrightarrow{b}}$

Понятие скалярного произведения векторов

Математически это определение можно записать следующим образом:

Скалярное произведение может равняться нулю в двух случаях:

1. Если один из векторов будет нулевым вектором (Так как тогда его длина равна нулю).

2. Если векторы будут взаимно перпендикулярны (то есть $cos{90}^0=0$).

Отметим также, что скалярное произведение больше нуля, если угол между этими векторами острый (так как ${cos left(widehat{overrightarrow{a},overrightarrow{b}}right) } >0$), и меньше нуля, если угол между этими векторами тупой (так как ${cos left(widehat{overrightarrow{a},overrightarrow{b}}right) }

С понятием скалярного произведения связано понятие скалярного квадрата.

«Как найти скалярное произведение векторов» 👇

Вычисление скалярного произведения по координатам векторов

Помимо стандартного способа нахождения значения скалярного произведения, который вытекает из определения, существует еще один способ.

Рассмотрим его.

Пусть векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ имеют координаты $left(a_1,b_1right)$ и $left(a_2,b_2right)$, соответственно.

Доказательство.

1. Пусть один из векторов будет нулевым вектором. К примеру, $overrightarrow{a}=(0,0)$.

   Тогда $overrightarrow{a}overrightarrow{b}=0$. С другой стороны $a_1a_2+b_1b_2=0cdot a_2+0cdot b_2=0$, значит

   [overrightarrow{a}overrightarrow{b}=a_1a_2+b_1b_2]

2. Оба вектора не будут нулевыми векторами.

   Отложим от произвольной точки $O$ векторы $overrightarrow{OA}$ и $overrightarrow{OB}$ (рис. 2).

   

   Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

   По теореме косинусов, получим:

   [{AB}^2={OA}^2+{OB}^2-2OAcdot OBcosO]

   Так как $overrightarrow{AB}=overrightarrow{OB}-overrightarrow{OA}$, получим

   [{|overrightarrow{OB}-overrightarrow{OA}|}^2={|overrightarrow{OA}|}^2+{|overrightarrow{OB}|}^2-2left|overrightarrow{OA}right||overrightarrow{OB}|] [overrightarrow{OA}overrightarrow{OB}=frac{1}{2}left({|overrightarrow{OA}|}^2+{|overrightarrow{OB}|}^2-{|overrightarrow{OB}-overrightarrow{OA}|}^2right)]

   Так как векторы $overrightarrow{OA}$ и $overrightarrow{OB}$ имеют координаты $left(a_1,b_1right)$ и $left(a_2,b_2right)$, соответственно, то $overrightarrow{OB}-overrightarrow{OA}=left(a_2-a_1,b_2-b_1right)$. Тогда равенство примет вид

   [overrightarrow{OA}overrightarrow{OB}=frac{1}{2}left(a^2_1+b^2_1+a^2_2+b^2_2-{(a_2-a_1)}^2-{(b_2-b_1)}^2right)=a_1a_2+b_1b_2]

Теорема доказана.

Эта теорема имеет несколько следствий:

Следствие 1: Векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $a_1a_2+b_1b_2=0$

Следствие 2: Косинус угла между векторами равен $cosalpha =frac{a_1a_2+b_1b_2}{sqrt{a^2_1+b^2_1}cdot sqrt{a^2_2+b^2_2}}$

Свойства скалярного произведения векторов

Для любых трех векторов и действительного числа $k$ справедливо:

1. ${overrightarrow{a}}^2ge 0$

   Данное свойство следует из определения скалярного квадрата (определение 2).

2. Переместительный закон: $overrightarrow{a}overrightarrow{b}=overrightarrow{b}overrightarrow{a}$.

   Данное свойство следует из определения скалярного произведения (определение 1).

3. Распределительный закон:

   $left(overrightarrow{a}+overrightarrow{b}right)overrightarrow{c}=overrightarrow{a}overrightarrow{c}+overrightarrow{b}overrightarrow{c}$.
   end{enumerate}

   По теореме 1, имеем:

   [left(overrightarrow{a}+overrightarrow{b}right)overrightarrow{c}=left(a_1+a_2right)a_3+left(b_1+b_2right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+b_1b_3+b_2b_3==overrightarrow{a}overrightarrow{c}+overrightarrow{b}overrightarrow{c}]

4. Сочетательный закон: $left(koverrightarrow{a}right)overrightarrow{b}=k(overrightarrow{a}overrightarrow{b})$.
   end{enumerate}

   По теореме 1, имеем:

   [left(koverrightarrow{a}right)overrightarrow{b}=ka_1a_2+kb_1b_2=kleft(a_1a_2+b_1b_2right)=k(overrightarrow{a}overrightarrow{b})]

Пример задачи на вычисление скалярного произведения векторов