Как найти скалярное произведение векторов с углом

Как найти скалярное произведение векторов с углом

Скалярное произведение векторов {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )} равно произведению {displaystyle |mathbf {a} ||mathbf {b} |cos(theta )}

Скаля́рное произведе́ние (иногда называемое внутренним произведением) — результат операции над двумя векторами, являющийся скаляром, то есть числом, не зависящим от выбора системы координат.
Используется в определении длины векторов и угла между ними.

Обычно для скалярного произведения векторов mathbf {a} и mathbf {b} используется одно из следующих обозначений.

{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )}
{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} , {vec {a}}cdot {vec {b}}} или просто {displaystyle mathbf {a} mathbf {b} }
langle mathbf {a} ,mathbf {b} rangle и {displaystyle langle a|brangle ;} второе обозначение применяется в квантовой механике для векторов состояния[1].

В простейшем случае, а именно в случае конечномерного вещественного евклидового пространства, иногда используют «геометрическое» определение скалярного произведения ненулевых векторов mathbf {a} и mathbf {b} как произведения длин этих векторов на косинус угла между ними[2]:

{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=|mathbf {a} ||mathbf {b} |cos(theta ).}

Равносильное определение: скалярное произведение есть произведение длины проекции первого вектора на второй и длины второго вектора (см. рисунок). Если хотя бы один из векторов нулевой, то произведение считается равным нулю[3].

У понятия скалярного произведения существует также большое количество обобщений для различных векторных пространств, то есть для множеств векторов с операциями сложения и умножения на скаляры[⇨]. Данное выше геометрическое определение скалярного произведения предполагает предварительное определение понятий длины вектора и угла между ними. В современной математике используется обратный подход: аксиоматически определяется скалярное произведение, а уже через него — длины и углы[4]. В частности, скалярное произведение определяется для комплексных векторов, многомерных и бесконечномерных пространств, в тензорной алгебре.

Скалярное произведение и его обобщения играют чрезвычайно большую роль в векторной алгебре, теории многообразий, механике и физике. Например, работа силы при механическом перемещении равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения[5].

Определение и свойства[править | править код]

Будем говорить, что в вещественном или комплексном векторном пространстве L определено скалярное произведение, если каждой паре векторов {displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} } из L поставлено в соответствие число {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )} из того числового поля, над которым задано {displaystyle L,} удовлетворяющее следующим аксиомам.

  1. Для любых трёх элементов {displaystyle mathbf {a} _{1},mathbf {a} _{2},mathbf {b} } пространства mathbb {L} и любых чисел alpha ,beta справедливо равенство: {displaystyle (alpha mathbf {a} _{1}+beta mathbf {a} _{2},mathbf {b} )=alpha (mathbf {a} _{1},mathbf {b} )+beta (mathbf {a} _{2},mathbf {b} )} (линейность скалярного произведения по первому аргументу).
  2. Для любых {displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} } справедливо равенство {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )={overline {(mathbf {b} ,mathbf {a} )}}}, где черта означает комплексное сопряжение.
  3. Для любого {displaystyle mathbf {a} } имеем: {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {a} )geqslant 0}, причём {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {a} )=0} только при {displaystyle mathbf {a} =0} (положительная определённость и невырожденность скалярного произведения соответственно).

Заметим, что из аксиомы 2 следует, что {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {a} )} — вещественное число. Поэтому аксиома 3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения. Если аксиома 3 не выполняется, то произведение называется индефинитным или неопределённым.

Если {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {a} )=0} не только при {displaystyle mathbf {a} =0}, то произведение называется квазискалярным[6].

Из данных аксиом получаются следующие свойства:

  1. коммутативность для вещественных векторов: {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=(mathbf {b} ,mathbf {a} );}

    Дистрибутивность скалярного произведения в случае вещественного евклидового пространства

  2. дистрибутивность относительно сложения: {displaystyle (mathbf {a} +mathbf {b} ,mathbf {c} )=(mathbf {a} ,mathbf {c} )+(mathbf {b} ,mathbf {c} )} и {displaystyle (mathbf {c} ,mathbf {a} +mathbf {b} )=(mathbf {c} ,mathbf {a} )+(mathbf {c} ,mathbf {b} );}
  3. инволюционная линейность относительно второго аргумента: {displaystyle (mathbf {a} ,(alpha _{1}mathbf {b} _{1}+alpha _{2}mathbf {b} _{2}))={overline {alpha _{1}}}(mathbf {a} ,mathbf {b} _{1})+{overline {alpha _{2}}}(mathbf {a} ,mathbf {b} _{2});} (в случае вещественного L — просто линейность по второму аргументу).
  4. {displaystyle (alpha mathbf {a} ,beta mathbf {b} )=alpha {overline {beta }}(mathbf {a} ,mathbf {b} )} (что совпадает с {displaystyle alpha beta (mathbf {a} ,mathbf {b} )} для вещественного L).

Также есть свойства, связанные не с данными аксиомами:

  1. неассоциативность относительно умножения на вектор[7]‘: {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )mathbf {c} neq mathbf {a} (mathbf {b} ,mathbf {c} )};
  2. ортогональность: два ненулевых вектора a и b ортогональны тогда и только тогда, когда (a, b) = 0 (определения ниже).

Замечание. В квантовой физике скалярное произведение (волновых функций, которые комплекснозначны) принято определять как линейное по второму аргументу (а не по первому), соответственно, по первому аргументу оно будет инволюционо линейным. Путаницы обычно не возникает, поскольку традиционное обозначение для скалярного произведения в квантовой физике также отличается: {displaystyle langle phi |psi rangle }, т.е. аргументы отделяются вертикальной чертой, а не запятой, и скобки всегда угловые.

Определение и свойства в евклидовом пространстве[править | править код]

Вещественные векторы[править | править код]

В n-мерном вещественном евклидовом пространстве векторы определяются своими координатами — наборами n вещественных чисел в ортонормированном базисе. Определить скалярное произведение векторов {displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2}dots a_{n}),mathbf {b} =(b_{1},b_{2}dots b_{n})} можно так[4]:

{displaystyle langle mathbf {a} ,mathbf {b} rangle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+dots +a_{n}b_{n}.}

Проверка показывает, что все три аксиомы выполнены.

Например, скалярное произведение векторов {displaystyle (1,3,-5)} и {displaystyle (4,-2,-1)} будет вычислено так:

{displaystyle {begin{aligned} (1,3,-5)cdot (4,-2,-1)&=1cdot 4+3cdot (-2)+(-5)cdot (-1)\&=4-6+5\&=3.end{aligned}}}

Можно доказать[8], что эта формула равносильна определению через проекции или через косинус: {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=|mathbf {a} ||mathbf {b} |cos(theta ).}

Комплексные векторы[править | править код]

Для комплексных векторов {displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2}dots a_{n}),mathbf {b} =(b_{1},b_{2}dots b_{n})} определим аналогично[9]:

{displaystyle langle mathbf {a} ,mathbf {b} rangle =sum _{k=1}^{n}a_{k}{overline {b_{k}}}=a_{1}{overline {b_{1}}}+a_{2}{overline {b_{2}}}+cdots +a_{n}{overline {b_{n}}}.}

Пример (для n=2): {displaystyle (1+i,2)cdot (2+i,i)=(1+i)cdot ({overline {2+i}})+2cdot {overline {i}}=(1+i)cdot (2-i)+2cdot (-i)=3-i.}

Свойства[править | править код]

Помимо общих свойств скалярного произведения, для многомерных евклидовых векторов верно следующее:

  1. в отличие от обычного умножения скаляров, где если ab = ac и a ≠ 0, то b равняется c, для скалярного умножения векторов это неверно: если a · b = a · c, то есть a · (b − c) = 0, то в общем случае a и b − c лишь ортогональны; но вектор b − c в общем случае не равен 0, то есть b ≠ c;
  2. правило произведения: для дифференцируемых вектор-функций a(t) и b(t) верно соотношение (a(t), b(t))′ = a′(t) ⋅ b(t) + a(t) ⋅ b′(t)[10];
  3. оценка угла между векторами:
    в формуле {displaystyle (mathbf {mathbf {a} } ,mathbf {b} )=|mathbf {a} |cdot |mathbf {b} |cdot cos angle {(mathbf {a} ,mathbf {b} )}} знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение больше 0, если угол между векторами острый, и меньше 0, если угол между векторами тупой;
  4. проекция вектора mathbf {a} на направление, определяемое единичным вектором mathbf {e} :
    {displaystyle a_{e}=(mathbf {a} ,mathbf {e} )=|mathbf {a} ||mathbf {e} |cos angle {(mathbf {a} ,mathbf {e} )}=|mathbf {a} |cos angle {(mathbf {a} ,mathbf {e} )}}, так как {displaystyle |mathbf {e} |=1;}
  5. площадь параллелограмма, натянутого на два вектора {displaystyle mathbf {a} } и {displaystyle mathbf {b} }, равна {displaystyle {sqrt {(mathbf {a} ,mathbf {a} )(mathbf {b} ,mathbf {b} )-(mathbf {a} ,mathbf {b} )^{2}}}.}

Теорема косинусов в вещественном пространстве[править | править код]

Dot product cosine rule.svg

Теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения. Пусть на сторонах треугольника находятся векторы a, b и c, первые два из которых образуют угол θ, как показано в изображении справа. Тогда, следуя свойствам и определению скалярного произведения через косинус:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {color {orange}c} cdot mathbf {color {orange}c} &=(mathbf {color {red}a} -mathbf {color {blue}b} )cdot (mathbf {color {red}a} -mathbf {color {blue}b} )\&=mathbf {color {red}a} cdot mathbf {color {red}a} -mathbf {color {red}a} cdot mathbf {color {blue}b} -mathbf {color {blue}b} cdot mathbf {color {red}a} +mathbf {color {blue}b} cdot mathbf {color {blue}b} \&=|mathbf {color {red}a} |^{2}-mathbf {color {red}a} cdot mathbf {color {blue}b} -mathbf {color {red}a} cdot mathbf {color {blue}b} +|mathbf {color {blue}b} |^{2}\&=|mathbf {color {red}a} |^{2}-2mathbf {color {red}a} cdot mathbf {color {blue}b} +|mathbf {color {blue}b} |^{2}\&=|mathbf {color {red}a} |^{2}+|mathbf {color {blue}b} |^{2}-2|mathbf {color {red}a} |{cdot }|mathbf {color {blue}b} |cos mathbf {color {purple}theta } .\end{aligned}}}

Связанные определения[править | править код]

В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия[11]:

Длина вектора, под которой обычно понимается его евклидова норма:

{displaystyle |mathbf {a} |={sqrt {(mathbf {a} ,mathbf {a} )}}}

(термин «длина» обычно применяется к конечномерным векторам, однако в случае вычисления длины криволинейного пути часто используется и в случае бесконечномерных пространств).

Углом varphi между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

{displaystyle cos varphi ={frac {(mathbf {a} ,mathbf {b} )}{|mathbf {a} ||mathbf {b} |}} (0leqslant varphi leqslant pi ).}

Данные определения позволяют сохранить формулу: {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=|mathbf {a} ||mathbf {b} |cos(varphi )} и в общем случае. Корректность формулы для косинуса гарантирует неравенство Коши — Буняковского[12]:

Для любых элементов {displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} } векторного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство:

{displaystyle vert (mathbf {a} ,mathbf {b} )vert ^{2}leqslant (mathbf {a} ,mathbf {a} )(mathbf {b} ,mathbf {b} )}

В случае, если пространство является псевдоевклидовым, понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

{displaystyle |(mathbf {a} ,mathbf {b} )|=|mathbf {a} ||mathbf {b} |operatorname {ch} varphi .}
  • Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.
  • Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством.
    • При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.
  • Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

История[править | править код]

Скалярное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году[13] одновременно с векторным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как скалярная и векторная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю[14].

Вариации и обобщения[править | править код]

В пространстве измеримых интегрируемых с квадратами на некоторой области Ω вещественных или комплексных функций можно ввести положительно определённое скалярное произведение:

{displaystyle (mathbf {f} ,mathbf {g} )=int limits _{Omega }f(x){overline {g(x)}}dOmega }

При использовании неортонормированных базисов скалярное произведение выражается через компоненты векторов с участием метрического тензора[15] g_{ij}:

{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=g_{ij}a^{i}b^{j}}

При этом сама метрика (говоря точнее, её представление в данном базисе) так связана со скалярными произведениями базисных векторов f_{i} :

{displaystyle g_{ij}=(mathbf {f} _{i},mathbf {f} _{j})}

Аналогичные конструкции скалярного произведения можно вводить и на бесконечномерных пространствах, например, на пространствах функций:

{displaystyle (mathbf {f} ,mathbf {g} )=int limits _{(Omega _{1}times Omega _{2})}K(x_{1},x_{2})f(x_{1})g(x_{2})d(Omega _{1}times Omega _{2})}
{displaystyle (mathbf {f} ,mathbf {g} )=int limits _{Omega }K(x)f(x)g(x)dOmega }

где К — положительно определённая, в первом случае симметричная относительно перестановки аргументов (при комплексных x — эрмитова) функция (если нужно иметь обычное симметричное положительно определённое скалярное произведение).

Простейшим обобщением конечномерного скалярного произведения в тензорной алгебре является свёртка по повторяющимся индексам.

См. также[править | править код]

  • Гильбертово пространство
  • Векторное произведение
  • Внешнее произведение
  • Псевдоскалярное произведение
  • Смешанное произведение

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Hall B. C. Quantum Theory for Mathematicians. — NY: Springer Science & Business Media, 2013. — xvi + 553 p. — (Graduate Texts in Mathematics. Vol. 267). — ISBN 978-1-4614-7115-8. Архивная копия от 31 января 2016 на Wayback Machine — P. 85.
  2. ↑ Имеется в виду наименьший угол между векторами, не превосходящий pi.
  3. ↑ Векторная алгебра // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 634.
  4. ↑ 1 2 Гельфанд, 1971, с. 30—31.
  5. ↑ Тарг С. М. Работа силы // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. — Т. 4. — С. 193—194. — 704 с. — ISBN 5-85270-087-8.
  6. ↑ Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. II том. — М., Высшая школа, 1970. — с. 316.
  7. ↑ Weisstein, Eric W. Dot Product Архивная копия от 29 апреля 2021 на Wayback Machine. From MathWorld — A Wolfram Web Resource.
  8. ↑ Calculus II – Dot Product. tutorial.math.lamar.edu. Дата обращения: 9 мая 2021. Архивировано 9 мая 2021 года.
  9. ↑ Гельфанд, 1971, с. 86.
  10. ↑ Stewart, James (2016), Calculus (8 ed.), Cengage, Section 13.2.
  11. ↑ Гельфанд, 1971, с. 34.
  12. ↑ §9.5. Линейные пространства со скалярным произведением: евклидовы и унитарные
  13. ↑ Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System. — Courier Dover Publications, 1994. — С. 32. — 270 с. — ISBN 0486679101. Архивная копия от 6 марта 2019 на Wayback Machine
  14. ↑ Hamilton W. R. On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra // Philosophical Magazine. 3rd Series. — London, 1846. — Т. 29. — С. 30.
  15. ↑ Гельфанд, 1971, с. 240.

Литература[править | править код]

  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 4-е изд. — М.: Наука, 1971. — 272 с.

Ссылки[править | править код]

  • Емелин А. Скалярное произведение векторов. Дата обращения: 14 ноября 2019.
Источник

Два вектора

a→

и

b→

 всегда образуют угол.

Угол между векторами может принимать значения от

0°

до

180°

включительно.

Если векторы не параллельны, то их можно расположить на пересекающихся прямых.

Векторы могут образовать:

1. острый угол;

Lenkis_vekt4.png

2. тупой угол;

Lenkis_vekt5.png

3. прямой угол (векторы перпендикулярны).

Lenkis_vekt2.png

Если векторы расположены на параллельных прямых, то они могут образовать:

4. угол величиной

0°

 (векторы сонаправлены);

Lenkis_vekt1.png

5. угол величиной

180°

 (векторы противоположно направлены).

Lenkis_vekt3.png

Если один из векторов или оба вектора нулевые, то угол между ними будет равен

0°

.

Угол между векторами записывают так:

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

a→⋅b→=a→⋅b→⋅cosa→b→ˆ

.

Результат скалярного произведения векторов является числом (в отличие от результата рассмотренных ранее действий с векторами — сложения, вычитания и умножения на число. В таких случаях результатом был вектор). При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число — соответственно, их произведение также будет являться числом.

1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число). 

Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен

0°

, а косинус равен (1), скалярное произведение также будет положительным.

2. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число). 

Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен

180°

. Скалярное произведение также отрицательно, так как косинус этого угла равен (-1).

Справедливы и обратные утверждения:

1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.

2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.

Особенный третий случай!

Обрати внимание!

3. Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов равно нулю, так как косинус прямого угла равен (0).

Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

Вектор, умноженный на самого себя, будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора  равен квадрату длины данного вектора и обозначается как 

a→2

.

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов и любого числа справедливы следующие свойства:

1.

a→2≥0

, к тому же

a→2>0

, если

a→≠0→

.

2. Переместительный, или коммутативный, закон скалярного произведения:

a→⋅b→=b→⋅a→

.

3. Распределительный, или дистрибутивный, закон скалярного произведения:

a→+b→⋅c→=a→⋅c→+b→⋅c→

.

4. Сочетательный, или ассоциативный, закон скалярного произведения:

k⋅a→⋅b→=k⋅a→⋅b→

.

Использование скалярного произведения

Удобно использовать скалярное произведение векторов для определения углов между прямыми и между прямой и плоскостью.

Угол между прямыми

Ознакомимся с ещё одним определением.

Вектор называют направляющим вектором прямой, если он находится на прямой или параллелен этой прямой.

Taisne_vektors.png

Чтобы определить косинус угла между прямыми, надо определить косинус угла между направляющими векторами этих прямых, то есть найти векторы, параллельные прямым, и определить косинус угла между векторами.

Для этого необходимо рассмотреть определение скалярного произведения, если векторы даны в координатной системе.

Если

a→x1;y1;z1

,

b→x2;y2;z2

, то

a→⋅b→=x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2

.

Прежде была рассмотрена формула определения длины вектора в координатной форме.

Теперь, объединив эти формулы, получим формулу для определения косинуса угла между векторами в координатной форме. Так как из формулы скалярного произведения следует, что

cosα=a→⋅b→a→⋅b→

, то

cosα=x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2x12+y12+z12 ⋅x22+y22+z22

.

Угол между прямой и плоскостью

Введём понятие о нормальном векторе плоскости.

Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.

Plakne_vektors.png

Используя следующий рисунок, легко доказать, что косинус угла

β

между нормальным вектором

n→

 данной плоскости и неким вектором

b→

 равен синусу угла

α

между прямой и плоскостью, так как

α

и

β

 вместе образуют угол в

90°

.

Plakne_vektors_lenkis.png

При нахождении косинуса угла между

n→

и

b→

можно использовать это число как синус угла между прямой, на которой лежит вектор

b→

, и плоскостью.

Источник

План урока:

Угол между векторами

Понятие скалярного произведения векторов

Скалярное произведение в координатах

Определение перпендикулярности векторов и прямых

Вычисление угла между векторами

Свойства скалярного произведения

Угол между векторами

Любую пару векторов можно отложить от одной точки. Если при этом вектора не сонаправлены друг с другом, то они образуют некоторый угол. Его и именуют углом между векторами.

1 skalyarnoe proizvedenie

Если же пара векторов сонаправлена, то принято считать, что угол между такими векторами составляет 0°.

На рисунке показаны два вектора, a и b. Чтобы определить угол между a и b, надо отложить их от одной и той же точки:

2 skalyarnoe proizvedenie

В приведенном примере угол составил 135°. Для обозначения этого угла может быть использована такая запись:

3 skalyarnoe proizvedenie

Задание. В квадрате АВСD проведены диагонали, они пересекаются в точке О. Определите, какой угол образуют вектора:

4 skalyarnoe proizvedenie

Так как в квадрате диагонали пересекаются под углом 90°, а со сторонами образуют угол 45°, то мы легко определим, что

5 skalyarnoe proizvedenie

Здесь нам помог тот факт, что вектора из пунктов а) и б) изначально отложены из одной точки. С пунктом в) ситуация сложнее. Надо отложить от точки А вектор ОА и определить угол, образующийся при этом:

6 skalyarnoe proizvedenie

Пусть после откладывания вектора ОА от А получился вектора АА’. Нам надо найти ∠ВАА’. Нам уже известен ∠ОАВ, который является смежным с ∠ВАА’, поэтому можно записать равенство:

7 skalyarnoe proizvedenie

Ответ: а) 45°; б) 90°; в) 135°.

Понятие скалярного произведения векторов

Большое распространение в науке получила математическая операция, именуемая скалярным произведением векторов. В геометрии оно помогает находить угол между векторами, а в физике вычислять некоторые физические величины. В рамках школьной программы его используют для нахождения работы, совершенной той или иной силой. В рамках же более сложных дисциплин, с которыми мало кто сталкивается, оно применяется в квантовой механике и специальных разделах математики – тензорной алгебре, теории многообразий и т. п. Ввел его в науку Уильям Гамильтон в 1846 г, который разрабатывал теорию особых чисел – кватерионов. Они, кстати, используются компьютерами для расчетов трехмерной графики в играх и других приложениях.

Прежде, чем мы научимся применять на практике скалярное произведение, сначала сформулируем правило, позволяющее вычислить его.

8 skalyarnoe proizvedenie

Например, пусть есть вектора a и b, причем даны их длины:

9 skalyarnoe proizvedenie

Угол между a и b тоже известен и составляет 60°, это записывается таким образом:

10 skalyarnoe proizvedenie

Задание. Вычислите скалярное произведение векторов d и f, если их длины составляют 6 и 10 соответственно, а угол между векторами равен 45°.

Решение. Просто подставляем числа из условия в формулу:

11 skalyarnoe proizvedenie

Задание. АВС – равносторонний треугольник со стороной 4. Каково скалярное произведение векторов АВ и АС?

Решение. Все углы в равностороннем треугольнике равны 60°, поэтому и угол между АВ и АС также составляет 60°.

12 skalyarnoe proizvedenie

Ответ: 8.

Напомним, что косинус, взятый от острого угла – это положительная величина, а косинус тупого угла – это отрицательное число. У прямого же угла косинус равен нулю. Это означает, что по знаку скалярного произведения можно определить тип угла между векторами.

13 skalyarnoe proizvedenie

Часто скалярное произведение применяется в физике. Например, с его помощью рассчитывается работа, совершаемая силой при перемещении того или иного тела. И сила, и перемещение – это векторные величины. Чтобы найти работу силы, надо скалярно перемножить вектора силы и перемещения:

14 skalyarnoe proizvedenie

Эта формула отражает физический смысл скалярного произведения.

Задание. Под воздействием силы 10Н тело переместилось в горизонтальном направлении на 3 метра. При этом сила образует угол 60° с направлением перемещения тела. Какую работу совершила сила?

Решение.

15 skalyarnoe proizvedenie

Скалярное произведение в координатах

Оказывается, что для перемножения векторов достаточно знать только их координаты.

16 skalyarnoe proizvedenie

Докажем эту формулу. Сначала рассмотрим случай, когда один из перемножаемых векторов, например a, является нулевым. Тогда у него нулевая длина и нулевые координаты:

17 skalyarnoe proizvedenie

Теперь рассмотрим случай, когда оба перемножаемых вектора ненулевые. Тогда отложим их от некоторой точки О и, если вектора неколлинеарны, то мы получим ∆ОАВ:

18 skalyarnoe proizvedenie

Для частных случаев, когда a и b коллинеарны (то есть либо сонаправлены, либо противоположно направлены), эта формула также справедлива. Если aи b сонаправлены, то угол α принимается равным нулю (и cosα = 1):

19 skalyarnoe proizvedenie

Если же a и b направлены противоположно, то α = 180° (и cosα = – 1):

20 skalyarnoe proizvedenie

Итак, мы убедились, что в любой ситуации формула (1) справедлива. При этом вектор АВ можно представить как разность a и b:

21 skalyarnoe proizvedenie

Если вектор а имеет координаты {x1; у1}, а координаты b– это {x2; у2},то координаты их разности a – b будут записываться в виде {х1 – х2;у1 – у2}. С учетом этого (2) примет вид

22 skalyarnoe proizvedenie

В результате нам удалось доказать формулу скалярного произведения через координаты:

23 skalyarnoe proizvedenie

Задание. Перемножьте скалярно вектораa и b, если определены их координаты:

24 skalyarnoe proizvedenie

Ответ: а) 23; б) 0; в) 5.

Определение перпендикулярности векторов и прямых

Напомним, что скалярное произведение оказывается нулевым исключительно в случае перпендикулярности векторов. Это позволяет использовать его для проверки перпендикулярности векторов.

Задание. Проверьте, являются ли перпендикулярными вектора:

25 skalyarnoe proizvedenie

Решение. В каждом случае мы должны скалярно перемножить пару векторов. Если результат окажется нулевым, то можно сделать вывод о перпендикулярности векторов. В противном случае они не перпендикулярны. Первый вектор будет обозначать буквой а, а второй – буквой b:

26 skalyarnoe proizvedenie

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.

Задание. При каком значении переменной х вектора а{4; 5} и b{x; – 6} окажутся перпендикулярными?

Решение. Перемножим скалярно вектора и получим некоторое выражение с переменной x:

27 skalyarnoe proizvedenie

Найдем, при каком х это выражение обращается в нуль, то есть вектора становятся перпендикулярными:

28 skalyarnoe proizvedenie

Задание. Определите, перпендикулярны ли прямые АВ и CD, если даны координаты точек: А(3; 8), В(4; 10), С(7;12) и D(5;13).

Решение. В этой задаче сначала надорассчитать координаты векторов АВ и CD по координатамих начальной и конечной точки:

29 skalyarnoe proizvedenie

Мы вычислили координаты векторов: АВ{1; 2} и CD{– 2; 1}. Теперь мы можем проверить их перпендикулярность, скалярно перемножив вектора:

30 skalyarnoe proizvedenie

Мы получили ноль. Это означает, что АВ и CD – перпендикулярные вектора. Значит, и прямые, на которых они лежат, также перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

Задание. Перпендикулярны ли друг другу прямые, задаваемые уравнениями

31 skalyarnoe proizvedenie

Названия точкам в данном примере присвоены произвольно. На следующем шаге по координатам точек мы находим координаты векторов, лежащих на исследуемых прямых:

32 skalyarnoe proizvedenie

Полученный ноль показывает, что исходные прямые перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

В случае, когда прямые заданы уравнениями, необязательно проделывать столь длительные вычисления для определения их перпендикулярности. Есть теорема, сокращающая объем вычислений.

33 skalyarnoe proizvedenie

Докажем это утверждение. Пусть две прямые заданы уравнениями

34 skalyarnoe proizvedenie

Найдем какие-нибудь точки этих прямых. Для этого подставим в уравнения значения х = 0 и х = 1:

35 skalyarnoe proizvedenie

Прямые окажутся перпендикулярными исключительно в том случае, если это выражение будет нулевым. Это условие перпендикулярности можно записать как уравнение:

36 skalyarnoe proizvedenie

В результате мы получили доказываемую нами формулу.

Задание. Проверьте, какие из этих пар прямых перпендикулярны:

37 skalyarnoe proizvedenie

Решение. В каждом случае надо просто перемножить угловые коэффициенты прямых, то есть числа, стоящие перед переменной х. Другие числа в этих уравнениях (свободные коэффициенты) никак не влияют на перпендикулярность. Если вычисленное произведение окажется равным (– 1), то из этого будет вытекать перпендикулярность прямых.

38 skalyarnoe proizvedenie

Вычисление угла между векторами

Мы научились по координатам векторов определять, перпендикулярны ли они. Однако в более общем случае можно рассчитать угол и между двумя неперпендикулярными векторами.

В самом деле, по известным координатам векторов легко как рассчитать длину каждого из них, так и скалярно перемножить вектора. Тогда из формулы скалярного произведения можно выразить значение косинуса угла между векторами:

39 skalyarnoe proizvedenie

Зная же косинус, можно рассчитать и сам угол, используя специальные таблицы либо функцию арккосинуса на калькуляторе.

Задание. Вычислите угол между векторами а{3; 4} и b{8; 15}.

Решение. Сначала рассчитываем длины векторов:

40 skalyarnoe proizvedenie

Задание. Точки А(2; 8), В(– 1; 5) и С(3; 1) соединили отрезками и получили ∆АВС. Вычислите угол ∠А в ∆АВС.

Решение.∠А данного треугольника представляет собой угол между двумя векторами АВ и АС. Вычислим координаты этих векторов:

41 skalyarnoe proizvedenie

Осталось лишь с помощью калькулятора найти сам ∠А:

42 skalyarnoe proizvedenie

Свойства скалярного произведения

Существует несколько важных свойств скалярного произведения. Эти свойства очень схожи с законами алгебры, которые используются при работе с обычными числами.

43 skalyarnoe proizvedenie

Переместительный закон легко доказать, опираясь только на определение операции скалярного произведения:

44 skalyarnoe proizvedenie

Задание. Известно, что угол между векторами a и с составлет 60°, так же как и угол между векторами b и с. Определены и длины векторов:

45 skalyarnoe proizvedenie

Задание. Найдите скалярное произведение векторов p и q, если

46 skalyarnoe proizvedenie

Решение. Сначала надо перемножить вектора и раскрыть при этом скобки также, как они раскрываются при перемножении обычных чисел:

47 skalyarnoe proizvedenie

Примечание. Иногда скалярное произведение вектора на самого себя именуют скалярным квадратом.

Тогда выражение (1) примет вид:

48 skalyarnoe proizvedenie

В сегодняшнем уроке мы узнали, что такое скалярное произведение. Оно имеет много приложений в физике и других науках, в частности, с его помощью вычисляется работа. В геометрии оно помогает вычислять углы между векторами, а значит, и между прямыми. В будущем, при более углубленном изучении геометрии, вы узнаете о существовании других типов произведений векторов – векторном и смешанном.

Источник
Автор статьи

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Угол между векторами

Рассмотрим два данных вектора $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$. Отложим от произвольно выбранной точки $O$ векторы $overrightarrow{a}=overrightarrow{OA}$ и $overrightarrow{b}=overrightarrow{OB}$, тогда угол $AOB$ называется углом между векторами $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ (рис. 1).

Рисунок 1.

Отметим здесь, что если векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ сонаправлены или один из них является нулевым вектором, тогда угол между векторами равен $0^0$.

Логотип baranka

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Обозначение: $widehat{overrightarrow{a},overrightarrow{b}}$

Понятие скалярного произведения векторов

Определение 1

Скалярное произведение двух векторов – это скаляр (число), равный произведению длин двух векторов на косинус угла между этими векторами.

Математически это определение можно записать следующим образом:

Скалярное произведение может равняться нулю в двух случаях:

  1. Если один из векторов будет нулевым вектором (Так как тогда его длина равна нулю).

  2. Если векторы будут взаимно перпендикулярны (то есть $cos{90}^0=0$).

Отметим также, что скалярное произведение больше нуля, если угол между этими векторами острый (так как ${cos left(widehat{overrightarrow{a},overrightarrow{b}}right) } >0$), и меньше нуля, если угол между этими векторами тупой (так как ${cos left(widehat{overrightarrow{a},overrightarrow{b}}right) }

С понятием скалярного произведения связано понятие скалярного квадрата.

«Как найти скалярное произведение векторов» 👇

Определение 2

Скалярным квадратом вектора $overrightarrow{a}$ называется скалярное произведение этого вектора самого на себя.

Получаем, что скалярный квадрат равен

[overrightarrow{a}overrightarrow{a}=left|overrightarrow{a}right|left|overrightarrow{a}right|{cos 0^0 }=left|overrightarrow{a}right|left|overrightarrow{a}right|={left|overrightarrow{a}right|}^2]

Вычисление скалярного произведения по координатам векторов

Помимо стандартного способа нахождения значения скалярного произведения, который вытекает из определения, существует еще один способ.

Рассмотрим его.

Пусть векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ имеют координаты $left(a_1,b_1right)$ и $left(a_2,b_2right)$, соответственно.

Скалярное произведение векторов $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ равно сумме произведений соответствующих координат.

Математически это можно записать следующим образом

[overrightarrow{a}overrightarrow{b}=a_1a_2+b_1b_2]

Доказательство.

  1. Пусть один из векторов будет нулевым вектором. К примеру, $overrightarrow{a}=(0,0)$.

    Тогда $overrightarrow{a}overrightarrow{b}=0$. С другой стороны $a_1a_2+b_1b_2=0cdot a_2+0cdot b_2=0$, значит

    [overrightarrow{a}overrightarrow{b}=a_1a_2+b_1b_2]

  2. Оба вектора не будут нулевыми векторами.

    Отложим от произвольной точки $O$ векторы $overrightarrow{OA}$ и $overrightarrow{OB}$ (рис. 2).

    Иллюстрация теоремы 1

    Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

    По теореме косинусов, получим:

    [{AB}^2={OA}^2+{OB}^2-2OAcdot OBcosO]

    Так как $overrightarrow{AB}=overrightarrow{OB}-overrightarrow{OA}$, получим

    [{|overrightarrow{OB}-overrightarrow{OA}|}^2={|overrightarrow{OA}|}^2+{|overrightarrow{OB}|}^2-2left|overrightarrow{OA}right||overrightarrow{OB}|] [overrightarrow{OA}overrightarrow{OB}=frac{1}{2}left({|overrightarrow{OA}|}^2+{|overrightarrow{OB}|}^2-{|overrightarrow{OB}-overrightarrow{OA}|}^2right)]

    Так как векторы $overrightarrow{OA}$ и $overrightarrow{OB}$ имеют координаты $left(a_1,b_1right)$ и $left(a_2,b_2right)$, соответственно, то $overrightarrow{OB}-overrightarrow{OA}=left(a_2-a_1,b_2-b_1right)$. Тогда равенство примет вид

    [overrightarrow{OA}overrightarrow{OB}=frac{1}{2}left(a^2_1+b^2_1+a^2_2+b^2_2-{(a_2-a_1)}^2-{(b_2-b_1)}^2right)=a_1a_2+b_1b_2]

Теорема доказана.

Эта теорема имеет несколько следствий:

Следствие 1: Векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $a_1a_2+b_1b_2=0$

Следствие 2: Косинус угла между векторами равен $cosalpha =frac{a_1a_2+b_1b_2}{sqrt{a^2_1+b^2_1}cdot sqrt{a^2_2+b^2_2}}$

Свойства скалярного произведения векторов

Для любых трех векторов и действительного числа $k$ справедливо:

  1. ${overrightarrow{a}}^2ge 0$

    Данное свойство следует из определения скалярного квадрата (определение 2).

  2. Переместительный закон: $overrightarrow{a}overrightarrow{b}=overrightarrow{b}overrightarrow{a}$.

    Данное свойство следует из определения скалярного произведения (определение 1).

  3. Распределительный закон:

    $left(overrightarrow{a}+overrightarrow{b}right)overrightarrow{c}=overrightarrow{a}overrightarrow{c}+overrightarrow{b}overrightarrow{c}$.
    end{enumerate}

    По теореме 1, имеем:

    [left(overrightarrow{a}+overrightarrow{b}right)overrightarrow{c}=left(a_1+a_2right)a_3+left(b_1+b_2right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+b_1b_3+b_2b_3==overrightarrow{a}overrightarrow{c}+overrightarrow{b}overrightarrow{c}]

  4. Сочетательный закон: $left(koverrightarrow{a}right)overrightarrow{b}=k(overrightarrow{a}overrightarrow{b})$.
    end{enumerate}

    По теореме 1, имеем:

    [left(koverrightarrow{a}right)overrightarrow{b}=ka_1a_2+kb_1b_2=kleft(a_1a_2+b_1b_2right)=k(overrightarrow{a}overrightarrow{b})]

Пример задачи на вычисление скалярного произведения векторов

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$, если $left|overrightarrow{a}right|=3$ и $left|overrightarrow{b}right|=2$, а угол между ними равен ${{30}^0, 45}^0, {90}^0, {135}^0$.

Решение.

Используя определение 1, получаем

Для ${30}^0:$

[overrightarrow{a}overrightarrow{b}=6{cos left({30}^0right) }=6cdot frac{sqrt{3}}{2}=3sqrt{3}]

Для ${45}^0:$

[overrightarrow{a}overrightarrow{b}=6{cos left({45}^0right) }=6cdot frac{sqrt{2}}{2}=3sqrt{2}]

Для ${90}^0:$

[overrightarrow{a}overrightarrow{b}=6{cos left({90}^0right) }=6cdot 0=0]

Для ${135}^0:$

[overrightarrow{a}overrightarrow{b}=6{cos left({135}^0right) }=6cdot left(-frac{sqrt{2}}{2}right)=-3sqrt{2}]

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Скалярное произведение векторов

Формула

Пусть даны векторы $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $. Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y $$ Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.

Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z $$

По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.

Примеры решений

Пример 1
Найти скалярное произведение векторов $ overline{a} = (-1;2) $ и $ overline{b} = (2;1) $
Решение

В данном примере векторы заданы двумя координатами, поэтому применяем первую формулу для плоской задачи. Умножаем соответствующие координаты, а потом складываем их:

$$ (overline{a},overline{b}) = -1 cdot 2 + 2 cdot 1 = -2 + 2 = 0 $$

Произведение получилось равным нулю, а это кстати означает, что векторы оказались ортогональными (перпендикулярными) друг к другу.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ (overline{a},overline{b}) = 0 $$
Пример 2

В пространстве заданы начала и концы векторов: $$ A = (1;3;-2), B = (-1;4;1), C = (2; 1; -2) $$ Требуется найти скалярное произведение векторов $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $.
Решение

В примеры решения данной задачи даны только точки и сразу вычислить произведение векторов не представляется возможным. Сначала нужно найти сами векторы $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. Вычисляются они с помощью разности соответствующих координат точек (из конца вычитается начало вектора):

$$ overline{AB} = (-1 – 1; 4-3; 1-(-2)) = (-2; 1; 3) $$

$$ overline{AC} = (2 – 1; 1 – 3; -2 – (-2)) = (1; -2; 0) $$

Теперь, когда необходимые векторы найдены, то вычисляем их произведение:

$$ (overline{AB},overline{AC}) = -2 cdot 1 + 1 cdot (-2) + 3 cdot 0 = -2-2+0 = -4 $$
Ответ
$$ (overline{AB},overline{AC}) = -4 $$

В статье мы ответили на вопрос: «Как найти скалярное произведение векторов?», а так же привели формулы и примеры решений задач.

Источник

Добавить комментарий