Как найти ско погрешности методики

Добрый день!

По результатам проверки нашего подразделения одним из замечаний стало то, что результаты анализов выдаются в протоколе без ошибки. То есть не указывается «плюс/минус некая погрешность». Метод, по которому проводится анализ, гостированный (ГОСТ 7847-73 анализ пека), там указаны только параметры сходимости и воспроизводимости.

Наш оператор проводит два измерения подряд (n=2), смотрит, чтобы полученные цифры меж собой не расходились более заданной планки, и выдает среднее арифметическое как результат (собственно строго по ГОСТ). Условий воспроизводимости, как таковой, у нас нет: оператор один и оборудование одно.

Однако, аудитор, когда объясняла, в чем суть замечания привела пример расчета для нашего случая :

Ошибка (Δ)=Ϭ_{сходимости}+Ϭ_{воспроизводимости} =2* Ϭ_{сходимости}

D (норматив, который как я понимаю, и указан в ГОСТ)=2,77* Ϭ_{сходимости} или же Ϭ_{сходимости}= D/2,77 отсюда следует:

Δ=2* Ϭ_{сходимости}=2* D/2,77 (и вот этот результат мол и пойдет как «плюс/ минус» к среднему арифметическому в протокол)

Я же не могу понять, почему в нашем случае ошибка это:

(Δ)=Ϭ_{сходимости}+Ϭ_{воспроизводимости} =2* Ϭ_{сходимости},

т.е. почему воспроизводимость приравняли к сходимости. Аналитики, сказали, что стоит брать просто цифру из госта и не проводить никаких расчетов. Я же думаю, что норматив сходимости и ошибка(погрешность) – это все же разные понятия.

Скажите, пожалуйста, сталкивались ли вы с расчетами погрешностей по гостированным методам? Если бы вас попросили указать ошибку «плюс/минус» в протокол по ГОСТ 7847-73, то каким образом от понятий сходимости и воспроизводимости, вы бы перешли непосредственно к погрешности измерения?

Заранее большое спасибо.

10.1 Основы теории суммирования погрешностей

Определение расчетным путем
оценки результирующей погреш­ности
по известным оценкам ее составляющих
называется суммированием
погрешностей.

Главной проблемой,
возникающей при суммировании, являет­ся
то, что все составляющие погрешности
должны рассматриваться как случайные
величины. С точки
зрения теории вероятностей они наиболее
полно могут быть описаны своими законами
распределе­ния, а их совместное
действие – соответствующим многомерным
распределением. Однако в такой постановке
задача суммирования погрешностей
практически не разрешима уже для
нескольких со­ставляющих, не говоря
о нескольких десятках.

Практически приемлемый
путь решения данной задачи сумми­рования
погрешностей состоит в отказе от
определения и использо­вания многомерных
функций распределения составляющих
погреш­ности. Необходимо подобрать
для характеристик составляющих такие
числовые оценки (СКО, эксцесс и др.),
оперируя с которыми можно было бы
получить соответствующие числовые
оценки ре­зультирующей погрешности.
При этом следует
учитывать, что:

• отдельные составляющие
погрешности могут быть коррелированны
между собой;

• при суммировании случайных величин
их законы распределе­ния существенно
деформируются, т.е. форма закона суммы
может резко отличаться от формы закона
распределения составляющих.

Правила суммирования
погрешностей основываются на том, что
погрешность по абсолютному значению
всегда много меньше са­мой измеряемой
величины. Поэтому изменение погрешности
в зави­симости от изменения измеряемой
величины может быть учтено, если все
суммируемые случайные и систематические
составляющие пог­решности разделить
на аддитивные и
мультипликативные.
Сумма аддитивных составляющих даст
значение аддитивной части результи­рующей
погрешности, а сумма мультипликативных
составляющих – значение мультипликативной
части результирующей погрешности.

В пределах некоторого
диапазона изменения, как правило,
де­сятикратного, измеряемой величины
изменение результирующей погрешности
может быть с достаточной степенью
точности пред­ставлено прямой линией
или простейшей кривой (парабола,
гипер­бола). Это дает возможность
описать результирующую погрешность
линейной или нелинейной двухзвенной
формулой. При большем из­менении
измеряемой величины весь диапазон
разбивается на учас­тки, для которых
и определяются крайние погрешности.

Пример 10.1
Основная допускаемая погрешность
измерения сопротивле­ния цифрового
микропроцессорного измерителя иммитанса
марки Е7-14 при различных диапазонах
измерения и добротностях Q
приведена в таблице.

Диапазон измерения	Конечное значение диапазона Rk, Ом	Предел допустимого значения основной погрешности, Ом.
0,1…1000мОм	1	10–3(1+Q)R+3·10–4Rk
0,001…10 Ом	10	10–3(1+Q)R+2·10–4Rk
0,01…100 Ом	100	10–3(1+Q)R+2·10–4Rk
100…1000 Ом	1000	[10–3(1+Q)R+2·10–3 R/Rk]R
1…10кОм	10000	[10–3(1+Q)R+2·10–3 R/Rk]R

Для устранения влияния
деформации формы законов распреде­ления
все суммируемые составляющие исходно
представляются сво­ими СКО и все
операции расчетного суммирования
проводятся только над ними. Учет взаимных
корреляционных связей между сумми­руемыми
составляющими производится путем
использования раз­личных правил
суммирования для жестко и слабо
коррелирован­ных составляющих. Эти
правила рассмотрены далее.

В результате суммирования
СКО составляющих получаются сред­ние
квадратические отклонения соответственно
аддитивной, муль­типликативной или
нелинейной составляющих результирующей
погрешности. СКО аддитивной составляющей
результирующей пог­решности будет
характеризовать результирующую
погрешность в начале диапазона. Сумма
СКО аддитивной и мультипликативной
составляющих в конце диапазона описывает
результирующую пог­решность в конце
диапазона. Если участков несколько, то
сумми­рование проводится на всех
участках, а затем принимается реше­ние
о методе описания результирующей
погрешности.

Результирующую погрешность
необходимо выразить в виде до­верительного
интервала. Его расчет по полученному
СКО является с точки зрения теории самой
трудной операцией при суммирова­нии
погрешностей. Это связано с тем, что
доверительный интервал равен произведению
рассчитанного СКО и множителя, зависящего
от закона распределения результирующей
погрешности. В то же время вся излагаемая
методика с самого начала была нацелена
на то, чтобы обойтись без точного
определения результирующего за­кона
распределения суммы всех составляющих.

Практические правила
расчетного суммирования результирую­щей
погрешности состоят в следующем:

1. Для определения суммарного
значения СКО должны учиты­ваться
корреляционные связи различных
составляющих погреш­ности. В связи с
этим исходными данными для более точного
рас­чета должны служить оценки именно
всех отдельных составляющих погрешности,
а не оценки некоторых суммарных
погрешностей.

2. Для каждой составляющей должно быть
найдено ее СКО. В большинстве случаев
для этого необходимо знание или
предпол­ожение о виде закона ее
распределения.

3. Все суммируемые составляющие
разделяются на аддитивные и мультипликативные
составляющие, которые суммируются
отдель­но.

4. Так как в большинстве
случаев точное значение коэффициен­та
корреляции ρ
найти невозможно, то все погрешности
должны быть условно разделены на:

• сильно коррелированные
при 0,7
<1,
для которых счита­ют ρ
= ±1 в зависимости от
знака коэффициента корреляции;

• слабо коррелированные
при 0
0,7,
для которых ρ
= 0.

5. Из суммируемых составляющих
выделяются группы сильно коррелированных
между собой погрешностей, и внутри этих
групп производится алгебраическое
суммирование их оценок.

6. После алгебраического
суммирования групп сильно коррели­рованных
погрешностей суммарные по группам и
оставшиеся вне групп погрешности можно
считать некоррелированными и склады­вать
по правилу геометрического суммирования.

Для определения СКО
суммарной погрешности при начальном
значении измеряемой величины складывают
лишь аддитивные со­ставляющие, а для
определения СКО погрешности в конце
диапа­зона изменения измеряемой
величины – все просуммированные выше
составляющие.

7. Для перехода от СКО
погрешности к доверительному значе­нию
должно быть вынесено суждение о форме
закона распределения результирующей
погрешности и тем самым выбрано значение
квантильного множителя.

Изложенная методика может
быть несколько упрощена. Самым сложным
в ней являются нахождение СКО всех
составляющих по известным их интервальным
оценкам и определение интервальной
оценки результирующей погрешности по
полученному СКО.

В обоих случаях необходимо
знание закона распределения пог­решностей.
Упрощение методики суммирования состоит
в том, что­бы сделать эти переходы по
возможности более простыми. Один из
вариантов состоит в следующем. Согласно
центральной предельной теореме, если
число суммируемых независимых составляющих
до­статочно велико (практически при
m
5)
и если среди этих состав­ляющих нет
существенно преобладающих над остальными,
то ре­зультирующий закон распределения
близок к нормальному. Однако предположение
о близости закона распределения к
нормальному без соответствующего
анализа достаточно рискованно даже и
при боль­шом числе суммируемых
составляющих. Тем не менее, при недо­статке
времени и невысоких требованиях к
точности получаемого результата
предположение о нормальности закона
распределения результирующей погрешности
вполне возможно. В этом случае
до­верительный интервал

,
где z_р
– квантильный множитель, определяемый
через функцию Лапласа; S_Σ
– суммарное СКО или его оценка.

Такой прием существенно
снижает трудоемкость расчетов, но может
вносить весьма значительные ошибки,
если реальное рас­пределение сильно
отличается от нормального закона.
Например, при фактическом арксинусоидальном
распределении ошибка мо­жет достигать
180 %. Поэтому использовать его надо весьма
ос­мотрительно.

В качестве другого пути
упрощения перехода от СКО результи­рующей
погрешности к ее интервальной оценке
следует указать воз­можность
использования доверительной вероятности
Р_д
= 0,9, при которой для
большой группы различных распределений
имеет мес­то соотношение

(10.1)

Действительно, для широкого
класса симмет­ричных, высокоэнтропийных
(k
>1,7)
распределений, а именно для равномерного,
треугольного, трапецеидальных,
нормального, экспоненциальных с
показателем степени α
2/3,
двухмодальных с глубиной антимодальности
менее 1,5, интегральные кривые F(х)
в области 0,05 и 0,95 квантилей пересекаются
между собой в очень узком интервале
значений Х/S=
1,6 ± 0,05. Поэтому с
погрешностью 0,05S
можно считать, что квантили 0,05 и 0,95 для
любых из этих распределений могут быть
найдены как

Х_0,05
= Х_ц
– 1,6S
и Х_0,95
= Х_ц
+ 1,6S,

где Х_ц
– координата центра
распределения; SТ
– его СКО. Отсюда следу­ет, что значение
доверительного интервала, найденное
по формуле (10.1), для любого из названных
распределений является интервалом с
90%-ной доверительной вероятностью.

При Р_д
> 0,9 интегральные
кривые для разных законов рас­пределения
резко расходятся между собой. В этом
случае для нахождения доверительного
интервала

вместо большого числа таблиц квантилей
разнообразных распре­делений нужно
найти для близких классов распределений
аппроксими­рующие выражения

,
где ε
– эксцесс распределения.

Для входящих в классы
экспоненциальных и трапецеидальных
распределений, а именно: распределения
Лапласа (ε
= 6); нормаль­ного
распределения (ε
= 3); трапецеидального
распределения с соот­ношением верхнего
и нижнего оснований 1:2 (ε
= 2) и равномерного распределения (ε
= 1,8), зависимость
квантильного множителя от эксцесса и
доверительной вероятности аппроксимируется
уравнением

(10.2)

Погрешность аппроксимации
не превышает 4% при
изменении Р
от 0,9 до 0,99 и 8% – от 0,9 до 0,999.

Для кругловершинных
двухмодальных распределений,
представ­ляющих собой композицию
нормального и дискретного двузначного
распределений, в диапазоне изменения
ε
от 3 до 1,3 для Р
от 0,9 до 0,999 с погрешностью 10% зависимость

аппроксимирует­ся выражением

(10.3)

Для островершинных
двухмодальных распределений, образую­щихся
как композиция распределения Лапласа
и дискретного двуз­начного распределения,
рассматриваемая зависимость в интервале
значений ε
от 1,8 до 6 при Р
от 0,9 до 0,999 с погрешностью 5% аппроксимируется
формулой

(10.4)

Для уплощенных распределений,
образующихся как компози­ция
экспоненциального распределения с α
= 1/2 и равномерного
рас­пределения в интервале значений
ε
от 6 до 1,8 с погрешностью 8%, рассматриваемая
зависимость аппроксимируется формулой

(10.5)

Использование приведенных
уравнений позволяет, не прибегая к
таблицам, с достаточной для практики
степенью точности вычис­лять
доверительные интервалы для всех
встречающихся распреде­лений
погрешностей. Однако для выбора формулы
нужно вынести суждение о классе
распределения суммарной погрешности.

Дальнейшие упрощения
методики, выражающиеся в пренебре­жении
разделением погрешностей на аддитивные
и мультиплика­тивные, коррелированные
и некоррелированные, недопустимы,
пос­кольку при суммировании погрешностей
получены неверные результаты.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Была ли эта статья полезной?

Среднеквадрати́ческое отклонение (среднеквадрати́чное отклонение, стандартное отклонение^[1]) — наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания (аналога среднего арифметического с бесконечным числом исходов). Обычно означает квадратный корень из дисперсии случайной величины, но иногда может означать тот или иной вариант оценки этого значения.

В литературе обычно обозначают греческой буквой (сигма). В статистике принято два обозначения:  — для генеральной совокупности и (с англ. standard deviation — стандартное отклонение) — для выборки.

Варианты определения[править | править код]

Обычно определяется как квадратный корень из дисперсии случайной величины: . Измеряется в единицах измерения самой случайной величины и используется при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

На практике, когда вместо точного распределения случайной величины в распоряжении имеется лишь выборка, стандартное отклонение, как и математическое ожидание, оценивают (выборочная дисперсия), и делать это можно разными способами. Термины «стандартное отклонение» и «среднеквадратическое отклонение» обычно применяют к квадратному корню из дисперсии случайной величины (определённому через её истинное распределение), но иногда и к различным вариантам оценки этой величины на основании выборки.

В частности, если  — -й элемент выборки,  — объём выборки,  — среднее арифметическое выборки (выборочное среднее — оценка математического ожидания величины):

,

то два основных способа оценки стандартного отклонения записываются нижеследующим образом.

Оценка стандартного отклонения на основании смещённой оценки дисперсии (иногда называемой просто выборочной дисперсией^[2]):

.

Это в буквальном смысле среднее квадратическое разностей измеренных значений и среднего.

Оценка стандартного отклонения на основании несмещённой оценки дисперсии (подправленной выборочной дисперсии^[2], в ГОСТ Р 8.736-2011 — «среднее квадратическое отклонение»):

Само по себе, однако, не является несмещённой оценкой квадратного корня из дисперсии, то есть извлечение квадратного корня «портит» несмещённость.

Обе оценки являются состоятельными^[2].

Кроме того, среднеквадратическим отклонением называют математическое ожидание квадрата разности истинного значения случайной величины и её оценки для некоторого метода оценки^[3]. Если оценка несмещённая (выборочное среднее — как раз несмещённая оценка для случайной величины), то эта величина равна дисперсии этой оценки.

Среднее значение выборки также является случайной величиной с оценкой среднеквадратичного отклонения^{[3][нет в источнике]}:

Правило трёх сигм[править | править код]

Правило трёх сигм () гласит: вероятность того, что любая случайная величина отклонится от своего среднего значения менее чем на :

.

Практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале , где  — математическое ожидание случайной величины. Более строго — приблизительно с вероятностью 0,9973 значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале.

Интерпретация[править | править код]

Большее значение среднеквадратического отклонения показывает больший разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; меньшее значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.

Например, для у всех трёх числовых множеств: {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} и {6, 6, 8, 8} средние значения равны 7, а среднеквадратические отклонения, соответственно, равны 7, 5 и 1. У последнего множества среднеквадратическое отклонение маленькое, так как значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения; у первого множества самое большое значение среднеквадратического отклонения — значения внутри множества сильно расходятся со средним значением.

В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределённости. К примеру, в физике среднеквадратическое отклонение используется для определения погрешности серии последовательных измерений какой-либо величины. Это значение очень важно для определения правдоподобности изучаемого явления в сравнении с предсказанным теорией значением: если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратического отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить.

Практическое применение[править | править код]

На практике среднеквадратическое отклонение позволяет оценить, насколько значения из множества могут отличаться от среднего значения.

Экономика и финансы[править | править код]

Среднее квадратическое отклонение доходности портфеля отождествляется с риском портфеля.

В техническом анализе среднеквадратическое отклонение используется для построения линий Боллинджера, расчёта волатильности.

Оценка рисков и критика[править | править код]

Среднеквадратическое отклонение широко распространено в финансовой сфере в качестве критерия оценки инвестиционного риска. По мнению американского экономиста Нассима Талеба, этого делать не следует. Так, по теории около двух третей изменений должны укладываться в определённые рамки (среднеквадратические отклонения −1 и +1) и что колебания свыше семи стандартных отклонений практически невозможны. Однако в реальной жизни, по мнению Талеба, всё иначе — скачки отдельных показателей могут превышать 10, 20, а иногда и 30 стандартных отклонений. Талеб считает, что риск-менеджерам следует избегать использования средств и методов, связанных со стандартными отклонениями, таких как регрессионные модели, коэффициент детерминации (R-квадрат) и бета-факторы. Кроме того, по мнению Талеба, среднеквадратическое отклонение — слишком сложный для понимания метод. Он считает, что тот, кто пытается оценить риск с помощью единственного показателя, обречён на неудачу^[4].

Климат[править | править код]

Предположим, существуют два города с одинаковой средней максимальной дневной температурой, но один расположен на побережье, а другой внутри континента. Известно, что в городах, расположенных на побережье, множество различных максимальных дневных температур меньше, чем у городов, расположенных внутри континента. Поэтому среднеквадратическое отклонение максимальных дневных температур у прибрежного города будет меньше, чем у второго города, несмотря на то, что среднее значение этой величины у них одинаковое, что на практике означает, что вероятность того, что максимальная температура воздуха каждого конкретного дня в году будет сильнее отличаться от среднего значения, выше у города, расположенного внутри континента.

Спорт[править | править код]

Предположим, что есть несколько футбольных команд, которые оцениваются по некоторому набору параметров, например, количеству забитых и пропущенных голов, голевых моментов и т. п. Наиболее вероятно, что лучшая в этой группе команда будет иметь лучшие значения по большему количеству параметров. Чем меньше у команды среднеквадратическое отклонение по каждому из представленных параметров, тем предсказуемее является результат команды, такие команды являются сбалансированными. С другой стороны, у команды с большим значением среднеквадратического отклонения сложно предсказать результат, что в свою очередь объясняется дисбалансом, например, сильной защитой, но слабым нападением.

Использование среднеквадратического отклонения параметров команды позволяет в той или иной мере предсказать результат матча двух команд, оценивая сильные и слабые стороны команд, а значит, и выбираемых способов борьбы.

Пример[править | править код]

Предположим, что интересующая нас группа (генеральная совокупность) это класс из восьми учеников, которым выставляются оценки по 10-бальной системе. Так как мы оцениваем всю группу, а не её выборку, можно использовать стандартное отклонение на основании смещённой оценки дисперсии. Для этого берём квадратный корень из среднего арифметического квадратов отклонений величин от их среднего значения.

Пусть оценки учеников класса следующие:

.

Тогда средняя оценка равна:

.

Вычислим квадраты отклонений оценок учеников от их средней оценки:

Среднее арифметическое этих значений называется дисперсией:

Стандартное отклонение равно квадратному корню дисперсии:

Эта формула справедлива только если эти восемь значений и являются генеральной совокупностью. Если бы эти данные были случайной выборкой из какой-то большой совокупности (например, оценки восьми случайно выбранных учеников большого города), то в знаменателе формулы для вычисления дисперсии вместо n = 8 нужно было бы поставить n − 1 = 7:

и стандартное отклонение равнялось бы:

Этот результат называется стандартным отклонением на основании несмещённой оценки дисперсии. Деление на n − 1 вместо n даёт неискажённую оценку дисперсии для больших генеральных совокупностей.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Боровиков В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов / В. Боровиков. — СПб.: Питер, 2003. — 688 с. — ISBN 5-272-00078-1..
• Нассим Талеб, Дениэл Гольдштейн, Марк Шпицнагель. Шесть ошибок руководителей компаний при управлении рисками // Управление рисками (Серия «Harvard Business Review: 10 лучших статей») = On Managing Risk / Коллектив авторов. — М.: Альпина Паблишер, 2022. — С. 41—50. — 206 с. — ISBN 978-5-9614-8186-0.