#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
Приветствую, сообщество Хакнем! Сейчас у школьников неделя каникул, а потом 2 недели дистанционного обучения. Но экзамены никто не отменял. Поэтому не стоит расслабляться!
И сегодня я предлагаю порешать задачку №12 из ОГЭ на тему «Последовательности чисел». Это тема 9 класса, и часто остаётся не охваченной должным образом, а часто и самими школьниками воспринимается как сложная тема. Итак, давайте разбираться.зято с yandex.ru и принадлежит автору.
Вот некоторые последовательности, которые вам наверняка знакомы:
1; 2; 3; 4; 5; … — последовательность натуральных чисел;
2; 4; 6; 8; 10; …— последовательность чётных чисел;
1; 3; 5; 7; 9; — последовательность нечётных чисел;
1; 4; 9; 16; 25; …— последовательность квадратов натуральных чисел и др.
Ещё об одной последовательности чисел Фибоначчи:
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55… я рассказывала в одной из своих статей (ссылка). Кому интересно, почитайте.
Немного теории не помешает
Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности; число, стоящее на первом месте, называют первым членом, на втором месте — вторым членом, на сотом месте — сотым членом, на месте с номером n — n – ым членом последовательности.
Обозначают члены последовательности буквами с индексами, указывающими на порядковый номер члена:
Член последовательности, следующий за членом с номером n, имеет номер n+1, поэтому его обозначают символом:
А член, предшествующий an, обозначается:
Переходим к задачам из ОГЭ.
Задача 1
Последовательность задана формулой
Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?
Решение:
Рассмотрим несколько членов этой последовательности:
Таким образом, число 3 – является членом последовательности.
Ответ: 3.
Задача 2
Последовательность задана формулой
Сколько членов в этой последовательности больше 1?
Решение:
Также как и в предыдущей задаче определим, что последовательность чисел перед нами:
Это число является неправильной дробью и оно больше 1,
и т.д. до n = 10.
При n = 1:
Нам уже не подходит.
Таким образом, таких членов, меньших 1 всего 9.
Ответ: 2.
Задача 3
Последовательность задана условиями:
Решение:
Из формулы видно — чтобы найти следующий член последовательности, нужно вычесть из предыдущего 1:
Таким образом, с7 = – 9.
Ответ: – 9.
Задача 4
Последовательность задана условиями:
Решение:
Из данной формулы получим формулу n-го члена:
Т.е. каждый следующий член последовательности — число, обратное предыдущему члену последовательности, взятому с противоположным знаком:
Ответ: 4.
Задача 5
Сколько натуральных чисел n удовлетворяет неравенству
Решение:
Решим неравенство:
40/(n+1) – 2 > 0
40 – 2 (n +1) > 0
40 – 2n – 2 > 0
38 – 2n >0
n ˂ 19.
Таким образом, 18 натуральных чисел удовлетворяют данному неравенству.
Ответ: 18.
Надеюсь, моя статья поможет вам при подготовке к экзамену! Удачи!
#хакнем_математика 👈 подпишись на этот хэштег, чтобы получать новый интересный и познавательный контент по математике 🥳
Автор: #ирина_чудневцева 42 года, город Ярославль, мама 16-летнего подростка.
Похожие материалы:
Сколько целых решений имеет неравенство -18
Для того, чтобы определить сколько целых решений имеет неравенство — 18 < х < 174 выполним следующие действия.
Алгоритм решения задачи
- вспомним определение целого числа;
- выясним входят ли концы отрезка в решение неравенства;
- найдем число отрицательных решений неравенства;
- найдем число положительных решений неравенства;
- найдем количество целых решений неравенства.
Определение целого числа
Давайте вспомним определение целого числа в математике.
Натуральные числа, противоположные им числа и 0 называются целыми числами.
Теперь выясним входят ли концы отрезка в решение неравенства.
Знаки в заданном неравенстве — 18 < х < 174 строгие и при изображении этих точек на координатной прямой они будут выколотыми и не будут являться решением неравенства.
Найдем количество целых решений неравенства — 18 < х < 174
Чтобы посчитать число целых решений неравенства можно поступить двумя способами:
1) выписать все целые числа удовлетворяющие неравенству и сосчитать их;
2) методом логических рассуждений вычислить число отрицательных решений, число положительных решений и не забыть про ноль.
Давайте решим наше задание вторым способом.
Рассмотрим отрезок (- 18; 0). На нем целых чисел, удовлетворяющих нашему неравенству будет 17 (так как -18 не входит и число 0 мы посчитаем отдельно).
0 будем считать за 1 решение неравенства.
Рассмотрим отрезок (0; 174). На нем целых чисел, удовлетворяющих неравенству 173.
Сложим число всех найденных решений на каждом из рассмотренных отрезков и получим:
102. Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству x 2 — x — 30 < 0?
Решебник по алгебре за 9 класс (А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Т.Н. Мишустина и др., 2010 год),
задача №102
к главе «Неравенства и системы неравенств».
Выделите её мышкой и нажмите CTRL + ENTER
Большое спасибо всем, кто помогает делать сайт лучше! =)
Нажмите на значок глаза возле рекламного блока, и блоки станут менее заметны. Работает до перезагрузки страницы.
математика — Неравенство в целых числах
По стройте область , заданную этими неравенствами , и посмотрите.
Область я построил, получается очень узкий и с вершинами имеющими большие координаты (-80; -60); (60; 40); (0; 0) и по графику точки не удается посчитать. Должен быть аналитический метод решения.
2 ответа
Количество точек на границе треугольника подсчитывается просто, и оно равно $%60$%. Далее, нетрудно подсчитать площадь этого треугольника — либо по общей формуле, через определитель, либо разбивая прямоугольник $%[-80;60]times[-60;40]$% на несколько фигур, включая исследуемый треугольник, площадь которых легко вычисляется. Получается значение площади $%S=200$%. Далее можно применить известную формулу Пика, согласно которой площадь многоугольника в узлах целочисленной решётки равна $%B+Gamma/2-1$%, где $%B$% — число внутренних целочисленных точек многоугольника, а $%Gamma$% — число граничных. Мы знаем, что $%Gamma=60$%, откуда $%B=200-60/2+1=171$%. В задаче нужно подсчитать значение $%B+Gamma$%, и оно равно $%231$%.
Имеет смысл рассмотреть другое решение, на формулу Пика не опирающееся. Оно состоит в следующем. Будем использовать уже введённые обозначения $%A(0;0)$%, $%B(60;40)$%, $%C(-80;-60)$%. Построим прямоугольник $%CDBE$%, где $%D(-80;40)$%, $%E(60;-60)$%. В прямоугольнике имеется ровно $%(140+1)(100+1)$% точек (далее под точками понимаются целочисленные), и из них $%21$% лежит на диагонали $%BC$%. Поэтому выше и ниже неё лежат по $%frac12((140+1)(100+1)-21)=7100$% точек. Нас не интересует то, что лежит ниже диагонали, поэтому имеем $%21+7100$% точек. Из них мы вычитаем то, что лежит выше диагонали $%AC$% в прямоугольнике с указанной диагональю; это будет $%frac12((80+1)(60+1)-21)=2460$%, а также аналогичное количество для диагонали $%AC$%, которое равно $%frac12((60+1)(40+1)-21)=1246$%. Наконец, надо вычесть ещё точки прямоугольника с диагональю $%AD$%, не считая его правой и нижней границ, а это $%80cdot40=3200$%. В итоге получается $%21+7100-2460-1240-3200=231$%.
отвечен 22 Ноя ’13 18:59
Все множество, которое удовлетворяет даной системе, есть внутренняя часть треугольника (с границей) АВС, где А(0;0); В(60;40); С(-80;-60). Треугольник очень «худенький» и «длинный», т.к. растояние от точки А до прямой ВС равно $%5x-7y-20=0$% равно $%20/ sqrt=2,32..$%, т.е. точек там не так уж и много во внутренней части. На отрезке АВ лежат точки $%(3t; 2t), t<=20, t>=0$%, т.е. 21 точка. На отрезке АС $%(4t; 3t), t>=-20, t<=0$%, т.е. 21 точка. На отрезке BС $%(-80+7t; -60+5t), t<=20, t>=0$%, т.е. 21 точка. Осталось как-то оценить внутренние точки.
отвечен 22 Ноя ’13 14:48
Спасибо. Но точки на прямой найти не очень сложно, главная проблема определить количесиво целых решений внутри треугольника.
Можно попробовать сделать так: решить в целых числах совокупность неравенства 3y/2<=x<=4+7y/5 и 4y/3<=x<=4+7y/5. В первом неравенстве рассматривать значения у кратные 10 (общий знаменатель выражений 3у/2 и 7у/5). Аналогично для второго неравенства, только значения у, кратные 15.
Исходя из этих соображений, у меня получается количество целых пар 64. Хотелось бы, чтобы кто-нибудь проверил, если не сложно. Заранее спасибо.
№7. Последовательность задана условиями c 1 = − 3, c n + 1 = c n − 1. Найдите c 7 .
Решение:
Данная последовательность является арифметической, так как каждый последующий член последовательности отличается от предыдущего на ( − 1 ) .
d = − 1 – разность арифметической прогрессии.
Запишем формулу нахождения n-го члена арифметической прогрессии:
c n = c 1 + ( n − 1 ) ⋅ d
c 7 = c 1 + ( 7 − 1 ) ⋅ d = − 3 + 6 ⋅ ( − 1 ) = − 9
Ответ: -9
№8. Сколько натуральных чисел n удовлетворяет неравенству 40 n + 1 > 2 ?
Решение:
Разделим обе части неравенства на 2. Получим неравенство 20 n + 1 > 1.
Чтобы дробь была больше единицы, знаменатель дроби должен быть меньше числителя.
n + 1 < 20 ⇒ n < 19 – это значит, что 18 натуральных чисел n : 1 ; 2 ; … ; 17 ; 18 удовлетвояют исходному неравенству.
Ответ: 18
№9. Дана арифметическая прогрессия: − 4 ; − 2 ; 0 ; … Найдите сумму первых десяти её членов.
Решение:
a 1 = − 4 – первый член арифметической прогрессии.
d = − 2 − ( − 4 ) = − 2 + 4 = 2 – разность арифметической прогрессии.
a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d – формула нахождения n-го члена.
a 10 = − 4 + ( 10 − 1 ) ⋅ 2 = − 4 + 18 = 14
S n = a 1 + a n 2 ⋅ n – формула нахождения суммы n первых членов.
S 10 = − 4 + 14 2 ⋅ 10 = 10 2 ⋅ 10 = 50
Ответ: 50
№10. Дана арифметическая прогрессия ( a n ) : − 7 ; − 5 ; − 3 ; … Найдите a 16 .
Решение:
a 1 = − 7
d = − 5 − ( − 7 ) = − 5 + 7 = 2
a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d ⇒ a 16 = − 7 + ( 16 − 1 ) ⋅ 2 = − 7 + 15 ⋅ 2 = − 7 + 30 = 23
Ответ: 23
№11. Арифметические прогрессии ( x n ), ( y n ) и ( z n ) заданы формулами n-го члена: x n = 2 n + 4, y n = 4 n , z n = 4 n + 2. Укажите те из них, у которых разность d равна 4.
- ( x n ) и ( y n )
- ( y n ) и ( z n )
- ( x n ) , ( y n ) и ( z n )
- ( x n )
Решение:
Данные последовательности заданы аналитически (то есть зависимость от n). Для того, чтобы определить, чему равняется разность d в каждой из этих последовательностей, необходимо привести их к рекуррентной форме записи (когда каждый последующий член выражается через предыдущий).
x n = 2 n + 4
x n + 1 = 2 ⋅ ( n + 1 ) + 4 = 2 n + 2 + 4 = x n + 2
d = 2
y n = 4 n
y n+1 =4⋅( n+1 )= 4 n +4= y n +4
d=4
z n = 4 n + 2
z n + 1 = 4 ⋅ ( n + 1 ) + 2 = 4 n + 4 + 2 = z n + 4
d = 4
Разность d=4 одинаковая у последовательностей ( y n ) и ( y n )
Правильный ответ под номером 2.
Ответ: 2
№12. В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?
- 28+2n
- 30+2n
- 32+2n
- 2n
Решение:
Задана арифметическая прогрессия, в которой a 1 = 30, d = 2.
Запишем формулу n-го члена:
a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d = 30 + ( n − 1 ) ⋅ 2 = 30 + 2 n − 2 = 28 + 2 n
Правильный ответ под номером 1.
Ответ: 1
№13. Дана арифметическая прогрессия: 33 ; 25 ; 17 ; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.
- -7
- -8
- -9
- -1
Решение:
Выпишем еще несколько членов этой прогрессии:
a 1 = 33, d = 25 − 33 = − 8
a 2 = 25
a 3 = 17
a 4 = 17 − 8 = 9
a 5 = 9 − 8 = 1
a 6 = 1 − 8 = − 7
Павильный ответ под номером 1.
Ответ: 1
№14. Арифметическая прогрессия задана условиями: a 1 = 6, a n + 1 = a n + 6. Какое из данных чисел является членом это прогрессии?
- 80
- 56
- 48
- 32
Решение:
Выпишем несколько первых членов арифметической прогрессии:
a 1 = 6
a 2 = 6 + 6 = 12
a 3 = 12 + 6 = 18
a 4 = 18 + 6 = 24
…
Каждый член данной арифметической прогрессии делится на 6. Из представленных в вариантах ответа числах только число 48 делится на 6.
Правильный ответ под номером 3.
Ответ: 3
№15. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии: − 8,6 ; − 8 ; 4 ; …
Решение:
Для того, чтобы найти сумму всех отрицательных членов заданной прогрессии, сперва необходимо выяснить, сколько их всего – отрицательных членов последовательности.
a 1 = − 8,6, d = 0,2
a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d < 0
− 8,6 + ( n − 1 ) ⋅ 0,2 < 0
0,2 n − 0,2 < 8,6
0,2 n < 8,8 ⇒ n < 8,8 0,2 ⇒ n < 44 ⇒ n = 43
Всего 43 отрицательных члена прогрессии. Вычислим 43-й член прогрессии (самый последний из отрицательных):
a 43 = a 1 + ( 43 − 1 ) ⋅ d = − 8,6 + 42 ⋅ 0,2 = − 8,6 + 8,4 = − 0,2
Применим формулу суммы:
S n = a 1 + a n 2 ⋅ n ⇒ S 43 = − 8,6 + ( − 0,2 ) 2 ⋅ 43 = − 8,8 2 ⋅ 43 = − 4,4 ⋅ 43 = − 189,2
Ответ: -189,2
Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 № 341669
i
Сколько натуральных чисел n удовлетворяет неравенству ?
Спрятать решение
Решение.
Дробь, числитель и знаменатель которой положительны, больше двух, если числитель больше знаменателя более чем в два раза. Поэтому, имеем: Таким образом, восемнадцать натуральных чисел удовлетворяют данному неравенству.
Ответ: 18.
Раздел кодификатора ФИПИ: 4.5 Элементарные задачи на числовые последовательности.
Спрятать решение
·
Помощь
Niki M 3 года назад
Евгений трохов 3 года назад Преобразуем неравенство: 40/(п+1)>2 40>2(n+1) 40>2n+2 40-2>2n 38>2n 2n<38 n<38/2 n<19. Поскольку сказано про натуральные числа,то п=1–18(от 1 до 18). Ответ:данному неравенству удовлетворяют 18 натуральных чисел в промежутке от 1 до 18. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить tester9 3 года назад Что бы найти диапазон натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству, нужно выразить неизвестную n: 40/(n+1)>2 -> n+1<40/2 -> n<40/2-1 -> n<19 Ряд натуральных чисел начинается с единицы с шагом +1. Значит, минимальное значение n равно единице. Тогда n<19 и n>=1 Следовательно, все значения n, удоволетворяюшие представленному в задании неравенству, принадлежат интервалу от 1 до 18 включительно. Это 18 натуральных чисел. комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить 40 / 20 = 2, а по условию должно быть больше, чем 2, следовательно, 40 / 19 > 2, а так, как знаменатель представлен, в виде как n + 1, то тогда n = 18 Это наибольшее значение n, а наименьшим натуральным числом будет очевидно единица. Таким образом, множество натуральных чисел от 1 до 18 будет удовлетворять исходному условию. комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить Stan1711 3 года назад Чтоб выражение 40/n+1>2 отвечало требованиям неравенства нужно чтобы знаменатель (n+1<20) был мешньше 20 ,то есть 19 и меньше.Этим требованиям отвечает n равное 18 и до 1.(n+1<20; n <19; n =18-:-1. ) Ответ: n верно от 1 до 18. комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить Знаете ответ? |