Как найти сколько чисел удовлетворяет неравенству

#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳

Приветствую, сообщество Хакнем! Сейчас у школьников неделя каникул, а потом 2 недели дистанционного обучения. Но экзамены никто не отменял. Поэтому не стоит расслабляться!

И сегодня я предлагаю порешать задачку №12 из ОГЭ на тему «Последовательности чисел». Это тема 9 класса, и часто остаётся не охваченной должным образом, а часто и самими школьниками воспринимается как сложная тема. Итак, давайте разбираться.зято с yandex.ru и принадлежит автору.

Источник фото: infourok.ru
Источник фото: infourok.ru

Вот некоторые последовательности, которые вам наверняка знакомы:

1; 2; 3; 4; 5; … — последовательность натуральных чисел;

2; 4; 6; 8; 10; …— последовательность чётных чисел;

1; 3; 5; 7; 9; — последовательность нечётных чисел;

1; 4; 9; 16; 25; …— последовательность квадратов натуральных чисел и др.

Ещё об одной последовательности чисел Фибоначчи:

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55… я рассказывала в одной из своих статей (ссылка). Кому интересно, почитайте.

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

Немного теории не помешает

Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности; число, стоящее на первом месте, называют первым членом, на втором месте — вторым членом, на сотом местесотым членом, на месте с номером nn – ым членом последовательности.

Обозначают члены последовательности буквами с индексами, указывающими на порядковый номер члена:

Последовательность членов a
Последовательность членов a

Член последовательности, следующий за членом с номером n, имеет номер n+1, поэтому его обозначают символом:

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

А член, предшествующий an, обозначается:

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

Переходим к задачам из ОГЭ.

Задача 1

Последовательность задана формулой

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

Решение:

Рассмотрим несколько членов этой последовательности:

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

Таким образом, число 3 – является членом последовательности.

Ответ: 3.

Задача 2

Последовательность задана формулой

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

Сколько членов в этой последовательности больше 1?

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

Решение:

Также как и в предыдущей задаче определим, что последовательность чисел перед нами:

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

Это число является неправильной дробью и оно больше 1,

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

и т.д. до n = 10.

При n = 1:

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

Нам уже не подходит.

Таким образом, таких членов, меньших 1 всего 9.

Ответ: 2.

Задача 3

Последовательность задана условиями:

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

Решение:

Из формулы видно — чтобы найти следующий член последовательности, нужно вычесть из предыдущего 1:

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

Таким образом, с7 = – 9.

Ответ: – 9.

Задача 4

Последовательность задана условиями:

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

Решение:

Из данной формулы получим формулу n-го члена:

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

Т.е. каждый следующий член последовательности — число, обратное предыдущему члену последовательности, взятому с противоположным знаком:

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

Ответ: 4.

Задача 5

Сколько натуральных чисел n удовлетворяет неравенству

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

Решение:

Решим неравенство:

40/(n+1) – 2 > 0

40 – 2 (n +1) > 0

40 – 2n – 2 > 0

38 – 2n >0

n ˂ 19.

Таким образом, 18 натуральных чисел удовлетворяют данному неравенству.

Ответ: 18.

Надеюсь, моя статья поможет вам при подготовке к экзамену! Удачи!

#хакнем_математика 👈 подпишись на этот хэштег, чтобы получать новый интересный и познавательный контент по математике 🥳

Автор: #ирина_чудневцева 42 года, город Ярославль, мама 16-летнего подростка.

Похожие материалы:

Числовые последовательности в ОГЭ по математике (задание 12)

Сколько целых решений имеет неравенство -18

Для того, чтобы определить сколько целых решений имеет неравенство — 18 < х < 174 выполним следующие действия.

Алгоритм решения задачи

  • вспомним определение целого числа;
  • выясним входят ли концы отрезка в решение неравенства;
  • найдем число отрицательных решений неравенства;
  • найдем число положительных решений неравенства;
  • найдем количество целых решений неравенства.

Определение целого числа

Давайте вспомним определение целого числа в математике.

Натуральные числа, противоположные им числа и 0 называются целыми числами.

Теперь выясним входят ли концы отрезка в решение неравенства.

Знаки в заданном неравенстве — 18 < х < 174 строгие и при изображении этих точек на координатной прямой они будут выколотыми и не будут являться решением неравенства.

Найдем количество целых решений неравенства — 18 < х < 174

Чтобы посчитать число целых решений неравенства можно поступить двумя способами:

1) выписать все целые числа удовлетворяющие неравенству и сосчитать их;

2) методом логических рассуждений вычислить число отрицательных решений, число положительных решений и не забыть про ноль.

Давайте решим наше задание вторым способом.

Рассмотрим отрезок (- 18; 0). На нем целых чисел, удовлетворяющих нашему неравенству будет 17 (так как -18 не входит и число 0 мы посчитаем отдельно).

0 будем считать за 1 решение неравенства.

Рассмотрим отрезок (0; 174). На нем целых чисел, удовлетворяющих неравенству 173.

Сложим число всех найденных решений на каждом из рассмотренных отрезков и получим:

102. Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству x 2 — x — 30 < 0?

ГДЗ к Задачнику по Алгебре за 9 класс (А.Г. Мордкович и др.) Решебник по алгебре за 9 класс (А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Т.Н. Мишустина и др., 2010 год),
задача №102
к главе «Неравенства и системы неравенств».

Выделите её мышкой и нажмите CTRL + ENTER

Большое спасибо всем, кто помогает делать сайт лучше! =)

Нажмите на значок глаза возле рекламного блока, и блоки станут менее заметны. Работает до перезагрузки страницы.

математика — Неравенство в целых числах

По стройте область , заданную этими неравенствами , и посмотрите.

Область я построил, получается очень узкий и с вершинами имеющими большие координаты (-80; -60); (60; 40); (0; 0) и по графику точки не удается посчитать. Должен быть аналитический метод решения.

2 ответа

Количество точек на границе треугольника подсчитывается просто, и оно равно $%60$%. Далее, нетрудно подсчитать площадь этого треугольника — либо по общей формуле, через определитель, либо разбивая прямоугольник $%[-80;60]times[-60;40]$% на несколько фигур, включая исследуемый треугольник, площадь которых легко вычисляется. Получается значение площади $%S=200$%. Далее можно применить известную формулу Пика, согласно которой площадь многоугольника в узлах целочисленной решётки равна $%B+Gamma/2-1$%, где $%B$% — число внутренних целочисленных точек многоугольника, а $%Gamma$% — число граничных. Мы знаем, что $%Gamma=60$%, откуда $%B=200-60/2+1=171$%. В задаче нужно подсчитать значение $%B+Gamma$%, и оно равно $%231$%.

Имеет смысл рассмотреть другое решение, на формулу Пика не опирающееся. Оно состоит в следующем. Будем использовать уже введённые обозначения $%A(0;0)$%, $%B(60;40)$%, $%C(-80;-60)$%. Построим прямоугольник $%CDBE$%, где $%D(-80;40)$%, $%E(60;-60)$%. В прямоугольнике имеется ровно $%(140+1)(100+1)$% точек (далее под точками понимаются целочисленные), и из них $%21$% лежит на диагонали $%BC$%. Поэтому выше и ниже неё лежат по $%frac12((140+1)(100+1)-21)=7100$% точек. Нас не интересует то, что лежит ниже диагонали, поэтому имеем $%21+7100$% точек. Из них мы вычитаем то, что лежит выше диагонали $%AC$% в прямоугольнике с указанной диагональю; это будет $%frac12((80+1)(60+1)-21)=2460$%, а также аналогичное количество для диагонали $%AC$%, которое равно $%frac12((60+1)(40+1)-21)=1246$%. Наконец, надо вычесть ещё точки прямоугольника с диагональю $%AD$%, не считая его правой и нижней границ, а это $%80cdot40=3200$%. В итоге получается $%21+7100-2460-1240-3200=231$%.

отвечен 22 Ноя ’13 18:59

Все множество, которое удовлетворяет даной системе, есть внутренняя часть треугольника (с границей) АВС, где А(0;0); В(60;40); С(-80;-60). Треугольник очень «худенький» и «длинный», т.к. растояние от точки А до прямой ВС равно $%5x-7y-20=0$% равно $%20/ sqrt=2,32..$%, т.е. точек там не так уж и много во внутренней части. На отрезке АВ лежат точки $%(3t; 2t), t<=20, t>=0$%, т.е. 21 точка. На отрезке АС $%(4t; 3t), t>=-20, t<=0$%, т.е. 21 точка. На отрезке BС $%(-80+7t; -60+5t), t<=20, t>=0$%, т.е. 21 точка. Осталось как-то оценить внутренние точки.

отвечен 22 Ноя ’13 14:48

Спасибо. Но точки на прямой найти не очень сложно, главная проблема определить количесиво целых решений внутри треугольника.

Можно попробовать сделать так: решить в целых числах совокупность неравенства 3y/2<=x<=4+7y/5 и 4y/3<=x<=4+7y/5. В первом неравенстве рассматривать значения у кратные 10 (общий знаменатель выражений 3у/2 и 7у/5). Аналогично для второго неравенства, только значения у, кратные 15.

Исходя из этих соображений, у меня получается количество целых пар 64. Хотелось бы, чтобы кто-нибудь проверил, если не сложно. Заранее спасибо.

№7. Последовательность задана условиями c 1 = − 3, c n + 1 = c n − 1. Найдите c 7 .

Решение:

Данная последовательность является арифметической, так как каждый последующий член последовательности отличается от предыдущего на ( − 1 ) .

d = − 1 – разность арифметической прогрессии.

Запишем формулу нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

c n = c 1 + ( n − 1 ) ⋅ d

c 7 = c 1 + ( 7 − 1 ) ⋅ d = − 3 + 6 ⋅ ( − 1 ) = − 9

Ответ: -9

№8. Сколько натуральных чисел n удовлетворяет неравенству 40 n + 1 > 2 ?

Решение:

Разделим обе части неравенства на 2. Получим неравенство 20 n + 1 > 1.

Чтобы дробь была больше единицы, знаменатель дроби должен быть меньше числителя.

n + 1 < 20 ⇒ n < 19 – это значит, что 18 натуральных чисел n : 1 ; 2 ; … ; 17 ; 18 удовлетвояют исходному неравенству.

Ответ: 18

№9. Дана арифметическая прогрессия: − 4 ; − 2 ; 0 ; … Найдите сумму первых десяти её членов.

Решение:

a 1 = − 4 – первый член арифметической прогрессии.

d = − 2 − ( − 4 ) = − 2 + 4 = 2 – разность арифметической прогрессии.

a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d – формула нахождения n-го члена.

a 10 = − 4 + ( 10 − 1 ) ⋅ 2 = − 4 + 18 = 14

S n = a 1 + a n 2 ⋅ n – формула нахождения суммы n первых членов.

S 10 = − 4 + 14 2 ⋅ 10 = 10 2 ⋅ 10 = 50

Ответ: 50

№10. Дана арифметическая прогрессия ( a n ) : − 7 ; − 5 ; − 3 ; … Найдите a 16 .

Решение:

a 1 = − 7

d = − 5 − ( − 7 ) = − 5 + 7 = 2

a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d ⇒ a 16 = − 7 + ( 16 − 1 ) ⋅ 2 = − 7 + 15 ⋅ 2 = − 7 + 30 = 23

Ответ: 23

№11. Арифметические прогрессии ( x n ), ( y n ) и ( z n ) заданы формулами n-го члена: x n = 2 n + 4, y n = 4 n , z n = 4 n + 2. Укажите те из них, у которых разность d равна 4.

  1. ( x n ) и ( y n )
  2. ( y n ) и ( z n )
  3. ( x n ) , ( y n ) и ( z n )
  4. ( x n )

Решение:

Данные последовательности заданы аналитически (то есть зависимость от n). Для того, чтобы определить, чему равняется разность d в каждой из этих последовательностей, необходимо привести их к рекуррентной форме записи (когда каждый последующий член выражается через предыдущий).

x n = 2 n + 4
x n + 1 = 2 ⋅ ( n + 1 ) + 4 = 2 n + 2 + 4 = x n + 2
d = 2

y n = 4 n
y n+1 =4⋅( n+1 )= 4 n +4= y n +4
d=4

z n = 4 n + 2
z n + 1 = 4 ⋅ ( n + 1 ) + 2 = 4 n + 4 + 2 = z n + 4
d = 4

Разность d=4 одинаковая у последовательностей ( y n ) и ( y n )

Правильный ответ под номером 2.

Ответ: 2

№12. В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

  1. 28+2n
  2. 30+2n
  3. 32+2n
  4. 2n

Решение:

Задана арифметическая прогрессия, в которой a 1 = 30, d = 2.

Запишем формулу n-го члена:

a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d = 30 + ( n − 1 ) ⋅ 2 = 30 + 2 n − 2 = 28 + 2 n

Правильный ответ под номером 1.

Ответ: 1

№13. Дана арифметическая прогрессия: 33 ; 25 ; 17 ; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

  1. -7
  2. -8
  3. -9
  4. -1

Решение:

Выпишем еще несколько членов этой прогрессии:

a 1 = 33, d = 25 − 33 = − 8

a 2 = 25

a 3 = 17

a 4 = 17 − 8 = 9

a 5 = 9 − 8 = 1

a 6 = 1 − 8 = − 7

Павильный ответ под номером 1.

Ответ: 1

№14. Арифметическая прогрессия задана условиями: a 1 = 6, a n + 1 = a n + 6. Какое из данных чисел является членом это прогрессии?

  1. 80
  1. 56
  1. 48
  1. 32

Решение:

Выпишем несколько первых членов арифметической прогрессии:

a 1 = 6

a 2 = 6 + 6 = 12

a 3 = 12 + 6 = 18

a 4 = 18 + 6 = 24

Каждый член данной арифметической прогрессии делится на 6. Из представленных в вариантах ответа числах только число 48 делится на 6.

Правильный ответ под номером 3.

Ответ: 3

№15. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии: − 8,6 ; − 8 ; 4 ; …

Решение:

Для того, чтобы найти сумму всех отрицательных членов заданной прогрессии, сперва необходимо выяснить, сколько их всего – отрицательных членов последовательности.

a 1 = − 8,6, d = 0,2

a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d < 0

− 8,6 + ( n − 1 ) ⋅ 0,2 < 0

0,2 n − 0,2 < 8,6

0,2 n < 8,8 ⇒ n < 8,8 0,2 ⇒ n < 44 ⇒ n = 43

Всего 43 отрицательных члена прогрессии. Вычислим 43-й член прогрессии (самый последний из отрицательных):

a 43 = a 1 + ( 43 − 1 ) ⋅ d = − 8,6 + 42 ⋅ 0,2 = − 8,6 + 8,4 = − 0,2

Применим формулу суммы:

S n = a 1 + a n 2 ⋅ n ⇒ S 43 = − 8,6 + ( − 0,2 ) 2 ⋅ 43 = − 8,8 2 ⋅ 43 = − 4,4 ⋅ 43 = − 189,2

Ответ: -189,2

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задания Д12 № 341669

i

Сколько натуральных чисел n удовлетворяет неравенству  дробь: числитель: 40, знаменатель: n плюс 1 конец дроби больше 2 ?

Спрятать решение

Решение.

Дробь, числитель и знаменатель которой положительны, больше двух, если числитель больше знаменателя более чем в два раза. Поэтому, имеем:  2 умножить на левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка меньше 40 равносильно n меньше 19. Таким образом, восемнадцать натуральных чисел удовлетворяют данному неравенству.

Ответ: 18.

Раздел кодификатора ФИПИ: 4.5 Эле­мен­тар­ные за­да­чи на чис­ло­вые по­сле­до­ва­тель­но­сти.

Спрятать решение

·

Помощь

Niki M
[390K]

3 года назад 

Евген­ий трохо­в
[56.3K]

3 года назад 

Преобразуем неравенство:

40/(п+1)>2

40>2(n+1)

40>2n+2

40-2>2n

38>2n

2n<38

n<38/2

n<19.

Поскольку сказано про натуральные числа,то п=1–18(от 1 до 18).

Ответ:данному неравенству удовлетворяют 18 натуральных чисел в промежутке от 1 до 18.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

комментировать

в избранное

ссылка

отблагодарить

teste­r9
[78.9K]

3 года назад 

Что бы найти диапазон натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству, нужно выразить неизвестную n:

40/(n+1)>2 -> n+1<40/2 -> n<40/2-1 -> n<19

Ряд натуральных чисел начинается с единицы с шагом +1. Значит, минимальное значение n равно единице.

Тогда n<19 и n>=1

Следовательно, все значения n, удоволетворяюшие представленному в задании неравенству, принадлежат интервалу от 1 до 18 включительно.

Это 18 натуральных чисел.

комментировать

в избранное

ссылка

отблагодарить

40 / 20 = 2,

а по условию должно быть больше, чем 2, следовательно,

40 / 19 > 2,

а так, как знаменатель представлен, в виде как

n + 1,

то тогда n = 18

Это наибольшее значение n, а наименьшим натуральным числом будет очевидно единица.

Таким образом, множество натуральных чисел

от 1 до 18

будет удовлетворять исходному условию.

комментировать

в избранное

ссылка

отблагодарить

Stan1­711
[3.2K]

3 года назад 

Чтоб выражение 40/n+1>2 отвечало требованиям неравенства нужно чтобы знаменатель (n+1<20) был мешньше 20 ,то есть 19 и меньше.Этим требованиям отвечает n равное 18 и до 1.(n+1<20; n <19; n =18-:-1. )

Ответ: n верно от 1 до 18.

комментировать

в избранное

ссылка

отблагодарить

Знаете ответ?

Добавить комментарий